Resistencia de materiales tema 4

Resistencia de Materiales

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones

Tema 4

Estados de Esfuerzos y

Deformaciones

______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESIME AZCAPOTZALCO

Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama

www.deasaingenieria.com.mx

Índice de contenido



• Sección 1 - Estado general de esfuerzos

• Sección 2 - Transformación de esfuerzos planos

• Sección 3 - Esfuerzos Principales

• Sección 4 - Estado plano de deformación

• Sección 5 - Transformación de deformaciones planas

• Sección 6 - Deformaciones principales

• Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana

• Sección 8 - Círculo de Mohr


ESIME AZCAPOTZALCO






• Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación

• Sección 10 – Rosetas de Deformación

• Sección 11 – Resumen de Ecuaciones

• Sección 12 - Ejercicios


ESIME AZCAPOTZALCO



Estado general de esfuerzos


Sección 1 - Estado general de esfuerzos

En capítulos anteriores se desarrollaron métodos para determinar

las distribuciones de esfuerzo normal y/o cortante en una sección

transversal de un miembro cuando se somete a carga axial, fuerza cortante,

momento flector y/o momento torsor.

Si consideramos un elemento

diferencial cuadrado, notaremos que

éste tiene seis caras, y que en cada una

de ellas puede existir un esfuerzo

normal y dos esfuerzos cortantes.

En la figura mostrada, se

muestran solo los esfuerzos de las

caras visibles. En las caras paralelas no

visibles, deben ocurrir esfuerzos de la

misma magnitud y sentido contrario para

que el elemento esté equilibrado.


ESIME AZCAPOTZALCO



En este capítulo enfocaremos nuestra atención en el estado plano

de esfuerzos, el cual ocurre cuando todos los esfuerzos que actúan sobre el

elemento diferencial pueden visualizarse en una representación plana, como

se muestra en la figura. Note que en el elemento diferencial tridimensional

sólo se muestran los esfuerzos en las caras visibles, de forma análoga al

caso anterior.


Sección 1 - Estado general de esfuerzos


ESIME AZCAPOTZALCO




Sección 2 - Transformación de esfuerzos

Consideremos un elemento diferencial sometido al estado plano de

esfuerzos que se muestra en la figura. Si realizamos un corte sobre él,

deben aparecer en el plano de corte un esfuerzo normal (sq) y uno cortante

(txy) para que el elemento se mantenga en equilibrio. El ángulo q indica

la dirección normal al plano de corte.

Transformación de esfuerzos planos


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Asumiendo como unitaria la profundidad del elemento, podemos

establecer las ecuaciones para que se mantenga el equilibrio en el elemento

diferencial. En primer lugar, establezcamos las fuerzas que ejercen sx, sy y

txy sobre el elemento:

qts tan dydyP xyxx

dydyP xyyy tqs tan




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Si proyectamos estas fuerzas sobre la dirección q, podremos

obtener el valor del esfuerzo sq:

Luego, al desarrollar la expresión nos queda:

Si utilizamos la identidades trigonométricas:

; ;

0cos

sincos q

sqq qq

dyPPF yx

qqtqsqss q cossin2sincos 22 xyyx

2

2cos1cos2 qq

2

2cos1sin 2 qq

qqq 2cossin2 sen




ESIME AZCAPOTZALCO



Podemos plantear finalmente:

Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo normal sobre

cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación q respecto a

la dirección x.

Si planteamos la misma expresión para un ángulo q’=q+90º, nos

queda:

qtqssss

s q 2sin2cos22

xy

yxyx

)1802sin()1802cos(22

'

qtq

sssss q xy

yxyx




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Recordando que trigonométrica mente se cumple que:

Hallaremos que para las expresiones planteadas anteriormente se

cumple:

Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un

estado de esfuerzos plano, la suma de los esfuerzos normales producidos

en dos planos perpendiculares entre sí es siempre constante.

0)180cos()cos(

0)180sin()sin(

ctteyx 'qq ssss




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Ahora buscaremos una expresión que nos permita hallar el

esfuerzo cortante sobre el plano q. Si proyectamos ahora las fuerzas Px y

Py sobre la dirección q ’ (perpendicular a q ), tenemos:

Desarrollando la expresión nos queda:

Recordando las identidades trigonométricas:

; ;

0cos

cossin '' q

tqq qqq

dyPPF yx

qtqtqqsstqq22

' cossincos)( xyxyyx sen

2

2cos1cos2 qq

2

2cos1sin 2 qq

qqq 2cossin2 sen




ESIME AZCAPOTZALCO



Podemos plantear finalmente:

Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo cortante sobre

cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación q respecto a

la dirección x.

Si planteamos la misma expresión para un ángulo q’=q+90º, nos

queda:

qtqss

tqq 2cos2sin2

'

xy

yx

)1802cos()1802sin(2

'

qtq

sstqq xy

yx




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Recordando que trigonométrica mente se cumple que:

Si sumamos los esfuerzos cortantes para q y q ‘ veremos que

se cumple:

;

Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un

estado de esfuerzos plano, se cumple que en dos planos cualesquiera

perpendiculares entre sí los esfuerzos cortantes serán de la misma

magnitud. El cambio de signo se debe a que en un plano, el esfuerzo

cortante trata de hacer girar al elemento en sentido horario, y en el otro

plano ocurre al revés.

0)180cos()cos(

0)180sin()sin(

0'' qqqq tt qqqq tt ''




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Sección 3 - Esfuerzos Principales

En el diseño y análisis de esfuerzos, con frecuencia se requiere

determinar los esfuerzos máximos en un elemento para garantizar la

seguridad del miembro cargado.

La ecuación que muestra la variación del esfuerzo en un elemento

diferencial para cualquier plano depende de la variable q. Por ello

podemos derivar dicha ecuación para conseguir la dirección de los

esfuerzos máximos:

De lo que resulta:

Esfuerzos Principales

qtq

qss

q

ss

qq

s q 2sin2cos22

xy

yxyx

d

d

d

d

d

d

d

d

qtqss

q

s q 2cos22sin22

xy

yx

d

d


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Igualando la ecuación anterior a cero, para obtener los valores

máximos y minimos, queda:

Donde qp es la orientación del plano principal. Recordando que la

función tanq se repite cada 180º, la función tan2q se repetiría cada 90º,

por lo que habrían dos soluciones. La ecuación anterior podemos

visualizarla también de la forma:

Donde el término -2txy representaría el cateto opuesto de un

triángulo rectángulo con ángulo interno 2qp, y el término sx-sy representaría el

cateto adyacente.

yx

xy

pss

tq

22tan

yx

xy

p

p

ss

t

q

q

2

2cos

2sin




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Podemos entonces hacer una representación de ese triángulo y

hallar las expresiones para sin2q y cos2q.

2

2

2xy

yxH t

ss

De la figura puede definirse

la hipotenusa de triángulo:

Finalmente, se puede plantear para qp1:

;

Para qp2 las expresiones serían las mismas, pero con signo

contrario.

H

xy

p

tq 12sin

H

yx

p

22cos 1

ssq




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Al introducir estas expresiones en la ecuación de sq, obtenemos:

Finalmente queda:

Donde sp1,2 son los esfuerzos de mayor magnitud que pueden darse

en el elemento diferencial y se denominan esfuerzos principales.

2

2

2,122

xy

yxyxt

sssss

HH

xy

xy

yx

yxyx tt

ss

sssss

2

222,1




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Si sustituimos sin(2qp1,2) y cos(2qp1,2) en la expresión referente a

tqq’, obtenemos:

Esto quiere decir que en los planos principales, sólo existen

esfuerzos normales, pues el esfuerzo cortante es nulo.

02

221

HH

yx

xy

xyyx

pp

ss

ttss

tqq




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También podemos obtener expresiones para determinar los

esfuerzos cortantes máximos en el elemento. Si derivamos la expresión del

esfuerzo cortante que depende del ángulo q:

Finalmente queda:

De forma análoga al caso de esfuerzos normales principales,

existen dos ángulos solución para esta ecuación. Podemos establecer las

expresiones para sin2qp y para cos2qp.

0)22(2cos22

)('

qtq

ss

q

tqq send

dxy

yx

xy

yx

p

p

pt

ss

q

qq

22cos

2sin2tan




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Se cumple que:

Por lo tanto:

Al sustituir esta expresión en la expresión de tqq’, nos queda:

2

2

2xy

yxH t

ss

H

xytq2cos

H

yx

22sin

ssq

2

2

max2

xy

yxt

sst




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Si sustituimos sin(2q) y cos(2q) en la expresión referente a sq,

obtenemos:

Esto quiere decir que en los planos donde el esfuerzo cortante es

máximo, se origina un esfuerzo normal que designaremos esfuerzo normal

promedio (sprom).

prom

yxs

ssss qq

2'




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Estado plano de deformaciones


Sección 4 - Estado plano de deformaciones

Si consideramos un elemento sometido a un estado bidimensional

de esfuerzos, los esfuerzos normales tenderán a alargar ó acortar el

elemento diferencial en la dirección en que actúen, produciendo

deformaciones normales unitarias (e). El esfuerzo cortante distorsionará el

elemento en el plano en que actúe, produciendo una deformación angular g) .

Entonces, un elemento diferencial en el plano puede sufrir tres

deformaciones, como se muestra en la figura.


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Transformación de deformaciones planas


Sección 5 - Transformación de deformaciones planas

Ahora enfocaremos nuestra atención en encontrar las

deformaciones unitarias normales y tangenciales para cualquier dirección en

un elemento diferencial deformado.


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Consideremos el elemento diferencial cortado en la dirección q,

como se muestra en la figura. En primer lugar, estableceremos los

alargamientos totales en las direcciones x e y, despreciando los términos

que resulten muy pequeños:

qg

e tan2

dxdxxy

xx

dxdxxy

yy 2

tang

qe




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El alargamiento en la dirección x’ viene dado por la proyección de

las deformaciones x y y sobre dicha dirección. Y la deformación unitaria

normal, es la razón entre el alargamiento proyectado y la longitud del

segmento x’ en el elemento diferencial antes de ser deformado. Podemos

entonces establecer que:

Al desarrollar esta expresión, nos queda:

q

qqeq

cos

sincos

'

'

dx

yx

dx

x

qqg

qeqg

qeeq cossin2

sincossin2

cos 22 xy

y

xy

x




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Utilizando las identidades trigonométricas:

; ;

Obtenemos finalmente:

De forma similar a la ecuación relativa a esfuerzos normales, para

esta expresión también se cumple que:

qg

qeeee

eq 2sin2

2cos22

xyyxyx

2

2cos1cos2 qq

2

2cos1sin 2 qq

qqq 2cossin2 sen

'qq eeee yx




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Ahora, proyectaremos las deformaciones x y y sobre una dirección

perpendicular a x’. Y la deformación unitaria tangencial, es la razón entre el

alargamiento proyectado y la longitud del segmento x’ en el elemento

diferencial antes de ser deformado. Podemos entonces establecer que:

Al desarrollar esta expresión, nos queda:

q

qqg qq

cos

)90sin()90cos(

'

'

' dx

yx

dx

y

qg

qqeqg

qqeg qq22

' cos2

cossinsin2

sincos xy

y

xy

x




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Utilizando las identidades trigonométricas:

; ;

Obtenemos finalmente:

De forma similar a la ecuación relativa a esfuerzos cortantes, para

esta expresión también se cumple que:

Recordemos que el cambio de signo se debe a que en dos planos

perpendiculares, la deformaciones tangenciales giran en sentidos opuestos.

qg

qee

g qq 2cos2

2sin2

'

xyyx

2

2cos1cos2 qq

2

2cos1sin 2 qq

qqq 2cossin2 sen

qqqq gg ''




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Sección 6 - Deformaciones Principales

La ecuación que muestra la variación de las deformaciones en un

elemento diferencial para cualquier plano depende de la variable q. Por

ello podemos derivar dicha ecuación para conseguir la dirección de las

deformaciones máximas:

De lo que resulta:

Deformaciones Principales

q

g

qq

ee

q

ee

qq

eq 2sin2

2cos22

xyyxyx

d

d

d

d

d

d

d

d

qg

qee

q

eq 2cos22

2sin22

xyyx

d

d


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Igualando la ecuación anterior a cero, para obtener los valores

máximos y minimos, queda:

Donde qp es la orientación del plano principal. Observemos que la

solución de esta ecuación es igual que aquella de la ecuación relativa a los

esfuerzos principales, si consideramos las siguiente sustituciones:

; ;

Entonces, podemos establecer la expresión para deformaciones

principales:

yx

xy

pee

gq

2tan

yy es xx es 2

xy

xy

gt

22

2,1222

xyyxyx geeeee




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Análogamente, la ecuación para determinar las deformaciones

tangenciales máximas sería:

De igual forma que en el caso de esfuerzos principales, en los

planos donde ocurre la deformación unitaria normal máxima, la deformación

unitaria tangencial es nula. Y en los planos donde la deformación unitaria

tangencial es máxima, la deformación unitaria normal es eprom.

22

max

222

xyyx geeg

2

yx

prom

eee




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Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana

Cuando un elemento diferencial se somete a esfuerzo normal de

tracción, sufre una deformación normal positiva (ó estiramiento) en la

dirección en que se produce dicho esfuerzo, y una contracción en la

dirección perpendicular a la que ocurre el mismo.

Relación entre Esfuerzo y Deformación plana

Si por el contrario,

el esfuerzo normal es de

compresión, el elemento se

acortará en la dirección del

mismo y se estirará en la

dirección perpendicular.


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El alargamiento ó acortamiento que experimenta un elemento

diferencial en la dirección perpendicular al esfuerzo, se puede hallar

utilizando el módulo de Poisson (n). En caso de que el esfuerzo se

produzca en la dirección x, la deformación que sufriría el elemento en la

dirección perpendicular (ey/s x) se puede determinar mediante la relación:

El signo (-) indica que las deformaciones producidas tienen

sentidos contrarios. En caso de que el esfuerzo se produjese en la dirección

y, se podría determinar análogamente la deformación en la dirección x:

E

xx

xy

snene

s

E

x

yy

yx

snene

ss




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Entonces, la deformación unitario normal resultante en una

dirección depende no sólo del esfuerzo normal en la misma dirección, sino

también del esfuerzo normal que actúa perpendicularmente al anterior.

Podemos entonces plantear una expresión para la deformación

resultante en la dirección x, dado un elemento diferencial sometido a

esfuerzos normales en las direcciones x e y:

Al desarrollar esto, nos queda:

Análogamente, podemos establecer una expresión para ey:

yx

xxx

ss

eee

)(1

yxxE

snse

)(1

xyyE

snse




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Las expresiones anteriores nos permiten determinar las

deformaciones unitarias en las direcciones x e y, conocidos los esfuerzos

normales en estas direcciones. También podemos expresar estas

ecuaciones de modo que permitan determinar los esfuerzos, en función de

las deformaciones. Para el esfuerzo normal en la dirección x, tendríamos:

Y para el esfuerzo normal en la dirección y:

Note que el esfuerzo normal también depende de las

deformaciones que ocurren en su dirección paralela y perpendicular.

)()1( 2 yxx

Eene

ns

)()1( 2 xyx

Eene

ns




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Sección 8 - Círculo de Mohr

Círculo de Mohr para estado de Esfuerzo Plano Observemos las ecuaciones que describen cómo varían los

esfuerzos normales y cortantes en función de la dirección del plano en el

que actúen:

Si elevamos ambas expresiones al cuadrado y las sumamos, queda:

Círculo de Mohr

qtqss

tqq 2cos2sin2

'

xy

yx

qtqssss

s q 2sin2cos22

xy

yxyx

2

2

2

'

2

22xy

yxyxt

sst

sss qqq


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Como la parte izquierda de la ecuación está compuesta de

términos constantes, podemos escribirla de la forma:

De modo que la ecuación podríamos rescribirla de la forma:

Esta ecuación puede graficarse como una circunferencia, la cual se

conoce como el Círculo de Mohr. Cada uno de los puntos que conforman

esta circunferencia representa un plano, y las coordenadas de dicho punto

indican los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre el mismo.

2

2

2

2xy

yxR t

ss

22

'

2Rprom qqq tss




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Método para graficar el círculo de Mohr A continuación describiremos un procedimiento para graficar el

círculo de Mohr para un elemento diferencial sometido a un estado plano de

esfuerzos.

Su tomarán la siguiente convenciones:

- Los esfuerzos normales se representarán en la abscisa y los esfuerzos

cortantes en la ordenada.

- Los esfuerzos normales de tracción (positivos) se ubicarán en la parte

derecha de la abscisa.

- Los esfuerzos cortantes se tomarán como positivos si en su plano de

acción hacen girar al elemento en sentido contrario a las agujas del reloj.

- Los esfuerzos cortantes positivos se ubicarán en la parte superior de las

ordenadas.




ESIME AZCAPOTZALCO



Los pasos a seguir son:

1. Graficar los puntos (sx,txy) y (sy,tyx), que indican los esfuerzos

que actúan sobre los planos x e y respectivamente.

Note que en este

caso, txy hace girar al

elemento en sentido

antihorario y tyx lo hace

girar en sentido contrario,

por lo cual el primero se

ubica en el sector positivo

de las ordenadas,

siguiendo la convención

establecida.

También es importante señalar que para el caso mostrado, ambos

esfuerzos normales (sx y sy) son de tracción.




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2. Trazar una línea que una los puntos (sx,txy) y (sy,tyx) y definir la

dirección x, como se muestra. Observe que la línea trazada corta el eje de

las abscisas en el valor sprom.

3. Con centro en el punto (sprom,0), trazar una circunferencia que

pase por los puntos (sx,txy) y (sy,tyx).




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Ventajas de trabajar con el círculo de Mohr

Para definir el círculo de Mohr, sólo necesitan conocerse los

parámetros sx, sy y txy, pero a partir de él pueden determinarse de forma

rápida precisa:

- El esfuerzo normal y cortante para cualquier plano del elemento

diferencial.

- Los esfuerzos principales (s1 y s2).

- Las orientaciones de los planos donde ocurren los esfuerzos principales

(qp1 y qp2).

- El esfuerzo cortante máximos (tmax)

- Las orientaciones de los planos donde ocurre el esfuerzo cortante

máximo.




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Para determinar el esfuerzo normal y cortante de cualquier plano

con dirección q, se traza un radio que corte el círculo y esté inclinado un

ángulo igual a 2q respecto al eje x. Las coordenadas del punto de corte

son los valores de los esfuerzos sq y tqq’ en el plano en cuestión.

Es importante acotar que se

considerarán positivos los ángulos

medidos en sentido antihorario.

Note que para el caso

mostrado, el esfuerzo sq es de

tracción (+) y el esfuerzo cortante

tqq’ trata de hacer girar el

elemento en sentido antihorario,

según las convenciones establecidas.




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Los esfuerzos principales son los cortes de la circunferencia con el

eje de las abscisas (s). Las orientaciones de los planos principales se miden

desde el eje x hasta el eje horizontal.

Note que en los planos

donde ocurren los esfuerzos

principales, el esfuerzo cortante es

nulo.

Observe también que para

cualquier círculo de Mohr, el ángulo

entre los planos principales 1 y 2

siempre es 2q=180º, es decir,

q=90º.




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El esfuerzo cortante máximo puede determinarse trazando un radio

perpendicular al eje de las abscisas.

Puede observarse que es

posible determinar la orientación del

plano donde ocurre este esfuerzo

respecto al eje x.

Note que para cualquier

círculo de Mohr, entre los planos

donde ocurren los esfuerzos

principales y los esfuerzos cortantes

máximos existe siempre un ángulo

2q=90º, es decir, q=45º.




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Círculo de Mohr para Deformación plana Observemos las ecuaciones que describen cómo varían las

deformaciones unitarias normales y tangenciales en función de la dirección

del plano en el que actúen:

Observe que las ecuaciones son idénticas a las referidas a

esfuerzos normales y cortantes, si se hacen las sustituciones:

; ;

qg

qeeg qq 2cos

22sin

22

'

xyyx

qg

qeeee

eq 2sin2

2cos22

xyyxyx

yy es xx es 2

xy

xy

gt




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De modo que, de forma análoga al caso de esfuerzos, esta

ecuación puede rescribirse de la siguiente manera:

Donde:

Entonces, el círculo de Mohr para deformación plana se trata de la

misma forma que el círculo de esfuerzos, con la diferencia en que el eje de

las abscisas se referirá a la variable e en vez de s, y el eje de las ordenadas

se referirá a g/2 en vez de t, y se siguen las mismas convenciones

establecidas anteriormente.

2

2

'2

2Rprom

qq

q

gee

22

2

22

xyyxR

gee




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Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación

Recipientes de pared delgada Designaremos recipientes de pared delgada a todos aquellos

contenedores de forma cilíndrica o circular en los que se cumpla la relación:

Donde r es el radio interno del recipiente y t el espesor de pared del

mismo.

Ahora centraremos nuestra atención en determinar los esfuerzos

que ocurren en estos elementos.

Casos de estado plano

de esfuerzo y deformación

10t

r


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En recipientes de forma cilíndrica sometidos a presión interna, se

generan dos esfuerzos normales en los elementos diferenciales distanciados

de los extremos. Uno de estos esfuerzos tiene dirección tangencial (sT), y el

otro tiene dirección longitudinal (sL).

En recipientes esféricos sometidos a presión interna, se generan

también dos esfuerzos, con la diferencia de que en este caso ambos

esfuerzos normales son tangenciales (sT).




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Si tomamos una porción longitudinal de un recipiente cilíndrico,

observaremos que para que ésta se mantenga en equilibrio, debe cumplirse:

Donde P es la presión interna del recipiente. Finalmente puede

plantearse:

rtrP L s 22

t

rPL

2s




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Al hacer un corte longitudinal en el recipiente cilíndrico,

observaremos que para que se mantenga en equilibrio, debe cumplirse:

Finalmente :

LtLrP T s

t

rPT s




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En el caso de recipientes esféricos, para que se mantenga el

equilibrio en una porción del mismo que ha sufrido un corte diametral debe

cumplirse:

Entonces, puede plantearse:

t

rPT

2s

rtrP T s 22




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Sección 10 - Rosetas de deformación

En algunos casos, es muy difícil determinar analíticamente los

esfuerzos a los que está sometido un elemento. Cuando esto ocurre, se

determinan experimentalmente las deformaciones que éste sufre, utilizando

medidores de deformación por resistencia eléctrica. Al disponer estos en un

patrón compuesto por tres medidores, puede estimarse el estado de

deformación plana del elemento utilizando las relaciones:

Rosetas de deformación

bbxybybxbqqgqeqeeq cossinsincos 22

aaxyayaxaqqgqeqeeq cossinsincos 22

ccxycycxcqqgqeqeeq cossinsincos 22

Resumen de ecuaciones

Relación entre carga, fuerza cortante y momento flector:

V: Fuerza Cortante en una sección transversal

M: Momento Flector en una sección transversal

x: Distancia desde un extremo de la viga

)(0

xqdx

dV

x

VLim

x

Vdx

dM

x

MLim

x

0


Sección 11 - Resumen de ecuaciones


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Esfuerzo normal debido a momento flector:

s: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversal

M: Momento flector sobre la sección transversal

y: Distancia desde el centroide hasta el punto de interés sobre la sección

transversal

I: Momento de inercia de la sección transversal

I

yMs


Sección 11 - Resumen de ecuaciones


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