Função real: Função real: : Uma função f sobre um conjunto X : Uma função f sobre um conjunto X

com imagem no conjunto Y, associa a com imagem no conjunto Y, associa a cada x um único elemento y, para cada x um único elemento y, para todos os elementos de X. O que todos os elementos de X. O que

caracteriza o nome da função é o caracteriza o nome da função é o contradomínio Y da mesma. Se Y é um contradomínio Y da mesma. Se Y é um

conjunto de:conjunto de:

números reais, temos uma números reais, temos uma função real.função real.

vetores, temos uma função vetores, temos uma função vetorial.vetorial.

matrizes, temos uma matrizes, temos uma função matricial.função matricial.

números complexos, a números complexos, a função é complexa.função é complexa.

►Conjunto dos reaisConjunto dos reais

Seqüência real:Seqüência real:

Uma seqüência real (ou sucessão) é uma Uma seqüência real (ou sucessão) é uma função f:NR que associa a cada número função f:NR que associa a cada número natural n um número real f(n). O valor natural n um número real f(n). O valor numérico f(n) é o termo de ordem n da numérico f(n) é o termo de ordem n da seqüência. Do modo como definimos a seqüência. Do modo como definimos a seqüência, o domínio de f é um conjunto seqüência, o domínio de f é um conjunto infinito, mas o contradomínio poderá ser infinito, mas o contradomínio poderá ser finito ou infinito. O domínio de uma finito ou infinito. O domínio de uma seqüência é indicado por Dom(f)=N e a seqüência é indicado por Dom(f)=N e a imagem de uma seqüência por imagem de uma seqüência por Im(f)={aIm(f)={a11,a,a22,a,a33, ...}., ...}.

FUNÇÃO:FUNÇÃO:

►Muitas vezes, a seqüência (função) é Muitas vezes, a seqüência (função) é confundida com a Imagem da função confundida com a Imagem da função (conjunto de números), no entanto, (conjunto de números), no entanto, esta confusão até mesmo colabora esta confusão até mesmo colabora para o entendimento do significado de para o entendimento do significado de uma seqüência no âmbito do Ensino uma seqüência no âmbito do Ensino Médio.Médio.

►Um fato importante é que a função Um fato importante é que a função determina a regra que os elementos determina a regra que os elementos do conjunto imagem devem seguir.do conjunto imagem devem seguir.

FUNÇÃO IDENTIDADE:FUNÇÃO IDENTIDADE:

►Função identidade: Seja f:NR definida Função identidade: Seja f:NR definida por f(n)=n. Esta função pode ser por f(n)=n. Esta função pode ser representada graficamente de várias representada graficamente de várias formas, sendo que duas delas estão formas, sendo que duas delas estão mostradas abaixo, com o diagrama de mostradas abaixo, com o diagrama de Venn-Euler (esquerda) e o gráfico Venn-Euler (esquerda) e o gráfico cartesiano (direito). Neste caso, cartesiano (direito). Neste caso, Dom(f)=N e Im(f)={1,2,3,...}Dom(f)=N e Im(f)={1,2,3,...}

Gráficos:Gráficos:

Seqüência de números Seqüência de números pares:pares:

►Seja f:NR definida por f(n)=2n. Neste Seja f:NR definida por f(n)=2n. Neste caso Im(f)={2,4,6,...}. Duas caso Im(f)={2,4,6,...}. Duas representações gráficas para esta representações gráficas para esta seqüência, são:seqüência, são:

Os gráficosOs gráficos

Números impares:Números impares:

►Sequência de números ímpares: A Sequência de números ímpares: A função f:NR definida por f(n)=2n-1, função f:NR definida por f(n)=2n-1, está representada abaixo e a sua está representada abaixo e a sua imagem é Im(f)={1,3,5,...}.imagem é Im(f)={1,3,5,...}.

Os gráficosOs gráficos

Sequência dos recíprocos :Sequência dos recíprocos :

►: A sequência dos recíprocos (ou : A sequência dos recíprocos (ou inversos) dos números naturais f:NR é inversos) dos números naturais f:NR é definida por f(n)=1/n. Neste caso definida por f(n)=1/n. Neste caso Im(f)={1,1/2,1/3,1/4,...,1/n,...}.Im(f)={1,1/2,1/3,1/4,...,1/n,...}.

Gráficos:Gráficos:

Sequência constante: Sequência constante:

►Uma sequência constante é uma Uma sequência constante é uma função f:NR definida, por exemplo, por função f:NR definida, por exemplo, por f(n)=3 e pode ser representada f(n)=3 e pode ser representada graficamente por:graficamente por:

Os recíprocos:Os recíprocos:

Seqüência nula: Seqüência nula:

►A seqüência nula f:NR é definida por A seqüência nula f:NR é definida por f(n)=0. A imagem é o conjunto f(n)=0. A imagem é o conjunto Im(f)={0}. f pode ser vista Im(f)={0}. f pode ser vista graficamente como:graficamente como:

O Gráfico:O Gráfico:

Sequência alternada: Sequência alternada:

►Uma seqüência alternada f:NR pode Uma seqüência alternada f:NR pode ser definida por f(n)=(-1)ser definida por f(n)=(-1)nnn. Esta n. Esta seqüência de números fica alternando seqüência de números fica alternando o sinal de cada termo, sendo um o sinal de cada termo, sendo um negativo e o seguinte positivo, e assim negativo e o seguinte positivo, e assim por diante. A imagem é o conjunto:, por diante. A imagem é o conjunto:, Im -1+2,-3,+4,-5,+6,...}Im -1+2,-3,+4,-5,+6,...}

Seqüência aritmética: Seqüência aritmética:

►A seqüência aritmética f:NR é definida A seqüência aritmética f:NR é definida por: f(n)=apor: f(n)=a11+(n-1)r e pode ser vista +(n-1)r e pode ser vista com os gráficos abaixo: com os gráficos abaixo:

O Gráfico:O Gráfico:

Seqüência geométrica: Seqüência geométrica:

►Uma seqüência geométrica é uma Uma seqüência geométrica é uma função f:NR definida por: f(n)=afunção f:NR definida por: f(n)=a11qqn-1n-1 que pode ser esboçada graficamente que pode ser esboçada graficamente por:por:

O Gráfico:O Gráfico:

Seqüência recursiva:: Seqüência recursiva::

►Uma seqüência é recursiva se, o termo Uma seqüência é recursiva se, o termo de ordem n é obtido em função dos de ordem n é obtido em função dos termos das posições anteriores.termos das posições anteriores.

►Exemplo: A importante seqüência de Exemplo: A importante seqüência de Fibonacci, definida por f:NR tal que Fibonacci, definida por f:NR tal que f(1)=1 e f(2)=1 comf(1)=1 e f(2)=1 com

►f(n+2)=f(n)+f(n+1)f(n+2)=f(n)+f(n+1)

As seqüência de Fibonacci As seqüência de Fibonacci

► Aparecem de uma forma natural em estudos Aparecem de uma forma natural em estudos de Biologia, Arquitetura, Artes e Padrões de de Biologia, Arquitetura, Artes e Padrões de beleza. O livro "A divina proporção", Huntley, beleza. O livro "A divina proporção", Huntley, Editora Universidade de Brasília, trata do Editora Universidade de Brasília, trata do assunto.assunto.

►Observação: O gráfico de uma seqüência não é Observação: O gráfico de uma seqüência não é formado por uma coleção contínua de pontos formado por uma coleção contínua de pontos mas por uma coleção discreta. Eventualmente mas por uma coleção discreta. Eventualmente usamos retas ou curvas entre dois pontos usamos retas ou curvas entre dois pontos dados para melhor visualizar o gráfico, mas dados para melhor visualizar o gráfico, mas não podemos considerar tais linhas como não podemos considerar tais linhas como representativas do gráfico da seqüência.representativas do gráfico da seqüência.

Seqüência finitas e infinitasSeqüência finitas e infinitas

►Quanto ao Quanto ao número de elementos da imagemnúmero de elementos da imagem, , uma seqüência poderá ser finita ou infinita.uma seqüência poderá ser finita ou infinita.

► Seqüência Finita: Uma seqüência é finita se, o Seqüência Finita: Uma seqüência é finita se, o seu conjunto imagem é um conjunto finito.seu conjunto imagem é um conjunto finito.

► Exemplos: As seqüência f:NR definidas por Exemplos: As seqüência f:NR definidas por f(n)=0, g(n)=(-1)f(n)=0, g(n)=(-1)nn e h(n)=cos(n/3) são finitas e e h(n)=cos(n/3) são finitas e as suas imagens são, respectivamente:as suas imagens são, respectivamente:

► Im(f)={0}, Im(g)={-1,1}, Im(h)={1/2,-1/2,-Im(f)={0}, Im(g)={-1,1}, Im(h)={1/2,-1/2,-1,1}1,1}

Seqüência Infinita: Seqüência Infinita:

►Uma seqüência é infinita se, o seu Uma seqüência é infinita se, o seu conjunto imagem é um conjunto infinito.conjunto imagem é um conjunto infinito.

►Exemplos: As seqüência f:NR definidas Exemplos: As seqüência f:NR definidas por f(n)=2n, g(n)=(-1)por f(n)=2n, g(n)=(-1)nnn, h(n)=sin.(n) e n, h(n)=sin.(n) e k(n)=cos(3n) são infinitas, pois suas k(n)=cos(3n) são infinitas, pois suas imagens possuem infinitos termos.imagens possuem infinitos termos.

►Exemplo: Seja a seqüência infinita f:NR, Exemplo: Seja a seqüência infinita f:NR, cujo conjunto imagem é dado por cujo conjunto imagem é dado por Im(f)={5,10,15,20,...}. Observamos queIm(f)={5,10,15,20,...}. Observamos que

Seqüência aritméticas e Seqüência aritméticas e ►Uma seqüência muito útil é a Uma seqüência muito útil é a

seqüência aritmética, que possui seqüência aritmética, que possui domínio infinito. Esta seqüência é domínio infinito. Esta seqüência é conhecida no âmbito do Ensino Médio, conhecida no âmbito do Ensino Médio, como uma Progressão Aritmética como uma Progressão Aritmética infinita, Progressão Aritmética finita infinita, Progressão Aritmética finita não énão é uma seqüência, uma vez que o uma seqüência, uma vez que o domínio da função que define a domínio da função que define a progressão, é um conjunto finito progressão, é um conjunto finito {1,2,3,...,m} contido no conjunto N dos {1,2,3,...,m} contido no conjunto N dos números naturais .números naturais .

Progressão Aritmética finita: Progressão Aritmética finita:

►Surge aqui o conceito de Progressão Surge aqui o conceito de Progressão Aritmética finita, que é uma coleção finita Aritmética finita, que é uma coleção finita de números reais com as mesmas de números reais com as mesmas características que uma seqüência características que uma seqüência aritmética. As Progressões Aritméticas aritmética. As Progressões Aritméticas são denotadas por PA e são são denotadas por PA e são caracterizadas pelo fato que, cada termo caracterizadas pelo fato que, cada termo a partir do segundo, é obtido pela soma a partir do segundo, é obtido pela soma do anterior com um número fixo r, do anterior com um número fixo r, denominado razão da PA.denominado razão da PA.

C = { a1, a2, a3, ..., an, ..., am-C = { a1, a2, a3, ..., an, ..., am-1, am }1, am }

► n indica uma posição na seqüência. n é o índice n indica uma posição na seqüência. n é o índice para a ordem do termo geral apara a ordem do termo geral ann no conjunto C. no conjunto C.

► aann é o n-ésimo termo da PA, que se lê a índice n. é o n-ésimo termo da PA, que se lê a índice n.► aa11 é o primeiro termo da PA, que se lê a índice 1. é o primeiro termo da PA, que se lê a índice 1.► aa22 é o segundo termo da PA, que se lê a índice 2. é o segundo termo da PA, que se lê a índice 2.► aamm é o último elemento da PA. é o último elemento da PA.► r é a razão da PA e é possível observar quer é a razão da PA e é possível observar que► aa22=a=a11+r, a+r, a33=a=a22+r, ..., a+r, ..., ann=a=an-1n-1+r, ..., a+r, ..., amm=a=am-m-

11+r+r► A razão de uma Progressão Aritmética, pode ser A razão de uma Progressão Aritmética, pode ser

obtida, subtraindo o termo anterior (antecedente) obtida, subtraindo o termo anterior (antecedente) do termo posterior (conseqüente), ou seja:do termo posterior (conseqüente), ou seja:

► aa22-a-a11 = a = a33-a-a22 = a = a44-a-a33 = ...  a = ...  ann-a-an-1n-1 = r = r

Exemplos de Progressões Exemplos de Progressões Aritméticas (finitas)Aritméticas (finitas)

► A PA definida pelo conjunto C={2,5,8,11,14} possui A PA definida pelo conjunto C={2,5,8,11,14} possui razão r=3, pois:razão r=3, pois:

► 2+3=5,  5+3=8,  8+3=11,  11+3=142+3=5,  5+3=8,  8+3=11,  11+3=14► A PA definida pelo conjunto M={1,2,3,4,5} possui A PA definida pelo conjunto M={1,2,3,4,5} possui

razão r=1, pois:razão r=1, pois:► 1+1=2,  2+1=3,  3+1=4,  4+1=51+1=2,  2+1=3,  3+1=4,  4+1=5► A PA definida por M(3)={3,6,9,12,15,18} possui A PA definida por M(3)={3,6,9,12,15,18} possui

razão r=3, pois:razão r=3, pois:► 6-3 = 9-6 = 12-9 = 15-12 = 36-3 = 9-6 = 12-9 = 15-12 = 3► A PA definida por M(4)= {0,4,8,12,16 } possui A PA definida por M(4)= {0,4,8,12,16 } possui

razão r=4, pois:razão r=4, pois:► 4-0 = 8-4 = 12-8 = 16-12 = 44-0 = 8-4 = 12-8 = 16-12 = 4

Média aritmética: Média aritmética:

►Dados n números reais xDados n números reais x11, x, x22, x, x33, ..., , ..., xxnn, definimos a média aritmética entre , definimos a média aritmética entre estes números, denotada pela letra x estes números, denotada pela letra x com um traço sobre a mesma, como a com um traço sobre a mesma, como a divisão entre a soma desses números divisão entre a soma desses números e o número de elementos:e o número de elementos:

PA:PA:

►Na Progressão Aritmética, cada termo Na Progressão Aritmética, cada termo é a média aritmética entre o é a média aritmética entre o antecedente e o conseqüente do antecedente e o conseqüente do termo tomado, daí a razão de tal termo tomado, daí a razão de tal denominação para este tipo de denominação para este tipo de seqüência.seqüência.

Fórmula do termo Geral de uma Fórmula do termo Geral de uma PAPA

► Consideremos a PA com razão r, definida Consideremos a PA com razão r, definida porpor

► P = { aP = { a11, a, a22, a, a33, ..., a, ..., an-1n-1, a, ann } }►Observamos que:Observamos que:► aa11 = a = a11 = a = a11 + 0r + 0r

aa22 = a = a11 + r = a + r = a11 + 1r + 1raa33 = a = a22 + r = a + r = a11 + 2r + 2raa44 = a = a33 + r = a + r = a11 + 3r + 3r... ... ... ... ... ... ... ... aann = a = an-1n-1+r = a+r = a11+(n-1)r+(n-1)r

► e obtemos a fórmula do termo geral da PA:e obtemos a fórmula do termo geral da PA:► aann = a = a11 + (n-1) r + (n-1) r

PA:PA:

► Com o material apresentado, podemos obter Com o material apresentado, podemos obter qualquer termo de uma Progressão Aritmética qualquer termo de uma Progressão Aritmética (PA), sem precisar escrevê-la completamente.(PA), sem precisar escrevê-la completamente.

► Exemplo: Seja a PA com razão r=5, dada pelo Exemplo: Seja a PA com razão r=5, dada pelo conjunto C={3,8,...,aconjunto C={3,8,...,a3030,...,a,...,a100100}. O trigésimo e }. O trigésimo e o centésimo termos desta PA podem ser obtidos, o centésimo termos desta PA podem ser obtidos, substituindo os dados da PA na fórmula do termo substituindo os dados da PA na fórmula do termo geral ageral ann=a=a11+(n-1)r. Assim:+(n-1)r. Assim:

► aa3030=3+(30-1)3=90   e   a=3+(30-1)3=90   e   a100100=3+(100-1)3=300=3+(100-1)3=300

Qual é o termo de ordem n=4 Qual é o termo de ordem n=4 desta PA?desta PA?

► Exemplo: Para inserir todos os múltiplos de 5, Exemplo: Para inserir todos os múltiplos de 5, que estão entre 21 e 623, montaremos uma que estão entre 21 e 623, montaremos uma tabela.tabela.

►   21 2530...615620623 a21 2530...615620623 a11aa22...a...an-1n-1aann Aqui, o  Aqui, o primeiro múltiplo de 5 é aprimeiro múltiplo de 5 é a11=25, o último =25, o último múltiplo de 5 é amúltiplo de 5 é ann=620 e a razão é r=5. =620 e a razão é r=5. Substituindo os dados na fórmula aSubstituindo os dados na fórmula ann=a=a11+(n-1)r, +(n-1)r, obteremosobteremos

► 620 = 25 + (n-1)5620 = 25 + (n-1)5► de onde segue que n=120, assim o número de de onde segue que n=120, assim o número de

múltiplos de 5 entre 21 e 623, é igual a 120 múltiplos de 5 entre 21 e 623, é igual a 120

Progressões Aritméticas Progressões Aritméticas monótonasmonótonas

►Quanto à monotonia, uma PA pode Quanto à monotonia, uma PA pode ser:ser:

►crescentecrescente se para todo n se para todo n>>1: r>0 e 1: r>0 e aann<a<an+1n+1..

►constanteconstante se para todo n se para todo n>>1: r=0 e 1: r=0 e aan+1n+1=a=ann..

►decrescentedecrescente se para todo n se para todo n>>1: r<0 e 1: r<0 e aan+1n+1<a<ann..

Extremos e Meios em uma Extremos e Meios em uma PAPA

►Em uma Progressão Aritmética (finita) Em uma Progressão Aritmética (finita) dada pelo conjunto:dada pelo conjunto:

►C = { aC = { a11, a, a22, a, a33, ..., a, ..., ann,...,a,...,am-1m-1, a, amm } }►os termos aos termos a11 e a e amm são denominados são denominados extremosextremos enquanto os demais: a enquanto os demais: a22, , aa33, ..., a, ..., am-2m-2, a, am-1m-1 são os são os meiosmeios aritméticos.aritméticos.

►aa11aa22, a, a33, ..., a, ..., am-2m-2, a, am-1m-1aammmeios meios aritméticosaritméticos

Exemplo: Exemplo:

►Na PA definida por C={1,3,5,7,9,11}, Na PA definida por C={1,3,5,7,9,11}, os números 1 e 11 são os extremos e os números 1 e 11 são os extremos e os números 3, 5, 7 e 9 são os meios os números 3, 5, 7 e 9 são os meios aritméticos.aritméticos.

Termos eqüidistantes dos Termos eqüidistantes dos extremos: extremos:

►: Em uma PA com m termos, dois : Em uma PA com m termos, dois termos são eqüidistantes dos termos são eqüidistantes dos extremos se a soma de seus índices é extremos se a soma de seus índices é igual a m+1 e sob estas condições, igual a m+1 e sob estas condições, são eqüidistantes dos extremos os são eqüidistantes dos extremos os pares de termos apares de termos a11 e a e amm,  a,  a22 e a e am-m-11,   a,   a33 e a e am-2m-2, ..., ...

M É PAR:M É PAR:

►Se a PA possui um número de termos Se a PA possui um número de termos m que é par, temos m/2 pares de m que é par, temos m/2 pares de termos eqüidistantes dos extremos.termos eqüidistantes dos extremos.

Exemplo: Exemplo:

►A PA definida por A PA definida por C={4,8,12,16,20,24}, possui um C={4,8,12,16,20,24}, possui um número par de termos e os extremos número par de termos e os extremos são asão a11=4 e a=4 e a66=24, assim:=24, assim:

►aa22 + a + a55 =  8 + 20  = 28 = a =  8 + 20  = 28 = a11 + a + a66aa33 + a + a44 = 12 + 16  = 28 = a = 12 + 16  = 28 = a11 + a + a66aa44 + a + a33 = 16 + 12  = 28 = a = 16 + 12  = 28 = a11 + a + a66aa55 + a + a22 = 20 +  8  = 28 = a = 20 +  8  = 28 = a11 + a + a66

M É IMPAR:M É IMPAR:

►Se o número m de termos é impar, Se o número m de termos é impar, temos (m-1)/2 pares de termos temos (m-1)/2 pares de termos eqüidistantes e ainda teremos um eqüidistantes e ainda teremos um termo isolado (de ordem (m+1)/2) que termo isolado (de ordem (m+1)/2) que é eqüidistante dos extremos é eqüidistante dos extremos

Exemplo: Exemplo:

►Na PA de C={1,3,5,7,9} os números 1 Na PA de C={1,3,5,7,9} os números 1 e 9 são os extremos da PA e os e 9 são os extremos da PA e os números 3, 5 e 7 são os meios da PA. números 3, 5 e 7 são os meios da PA. O par de termos eqüidistante dos O par de termos eqüidistante dos extremos é formado por 3 e 7, e além extremos é formado por 3 e 7, e além disso o número 5 que ficou isolado disso o número 5 que ficou isolado também é eqüidistante dos extremos.também é eqüidistante dos extremos.

Exemplo: Exemplo:

►A PA definida por C={4,8,12,16,20}, A PA definida por C={4,8,12,16,20}, possui um número ímpar de termos e possui um número ímpar de termos e os extremos são aos extremos são a11=4 e a=4 e a55=20, logo=20, logo

►aa22 + a + a44 =  8 + 16  = 24 = a =  8 + 16  = 24 = a11 + a + a55aa33 + a + a33 = 12 + 12  = 24 = a = 12 + 12  = 24 = a11 + a + a55aa44 + a + a22 = 16 +  8  = 24 = a = 16 +  8  = 24 = a11 + a + a55

Interpolação aritméticaInterpolação aritmética

► Interpolar k meios aritméticos entre os Interpolar k meios aritméticos entre os números a e b, significa obter uma PA com números a e b, significa obter uma PA com k+2 termos cujos extremos são a e b, sendo k+2 termos cujos extremos são a e b, sendo que a é o primeiro termo e b é o (último) que a é o primeiro termo e b é o (último) termo de ordem k+2. Para realizar a termo de ordem k+2. Para realizar a interpolação, basta determinar a razão da interpolação, basta determinar a razão da PA.PA.

► Exemplo: Para interpolar 6 meios aritméticos Exemplo: Para interpolar 6 meios aritméticos entre a=-9 e b=19, é o mesmo que obter entre a=-9 e b=19, é o mesmo que obter uma PA tal que auma PA tal que a11=-9, a=-9, amm=19 e m=8. Como =19 e m=8. Como r=(ar=(amm-a-a11)/(m-1), então r=(19-(-9))/7=4 e )/(m-1), então r=(19-(-9))/7=4 e assim a PA ficará na forma do conjunto:assim a PA ficará na forma do conjunto:

► C = { -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15, 19 }C = { -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15, 19 }

Soma dos n primeiros termos Soma dos n primeiros termos de uma PA (finita)de uma PA (finita)

►a fórmula para o cálculo da soma dos a fórmula para o cálculo da soma dos n primeiros termos da PA.n primeiros termos da PA.

►SSnn = (a = (a11 + a + ann)n/2)n/2

Seqüência geométricas e PG:Seqüência geométricas e PG:

►Outra sequência muito importante é a Outra sequência muito importante é a sequência geométrica, que possui sequência geométrica, que possui domínio infinito. Esta sequência é domínio infinito. Esta sequência é conhecida no âmbito do Ensino Médio, conhecida no âmbito do Ensino Médio, como uma Progressão Geométrica como uma Progressão Geométrica infinita, mas o objeto matemático infinita, mas o objeto matemático denominado Progressão Geométrica denominado Progressão Geométrica finita finita não énão é uma sequência, uma vez que uma sequência, uma vez que o domínio da função é um conjunto finito o domínio da função é um conjunto finito {1,2,3,...,m} que é um subconjunto {1,2,3,...,m} que é um subconjunto próprio de N.próprio de N.

Progressão Geométrica Progressão Geométrica finita: finita:

►Uma Progressão Geométrica finita, é uma Uma Progressão Geométrica finita, é uma coleção finita de números reais que coleção finita de números reais que possui as mesmas características que possui as mesmas características que uma seqüência geométrica, no entanto, uma seqüência geométrica, no entanto, possui um número finito de elementos. As possui um número finito de elementos. As Progressões Geométricas são denotadas Progressões Geométricas são denotadas por PG e são caracterizadas pelo fato que por PG e são caracterizadas pelo fato que a divisão do termo seguinte pelo termo a divisão do termo seguinte pelo termo anterior é um quociente q fixado.anterior é um quociente q fixado.

Média geométrica: Média geométrica:

►Na Progressão Geométrica, cada Na Progressão Geométrica, cada termo é a média geométrica entre o termo é a média geométrica entre o antecedente e o conseqüente do antecedente e o conseqüente do termo tomado, daí a razão de tal termo tomado, daí a razão de tal denominação para este tipo de denominação para este tipo de seqüência .seqüência .

Fórmula do termo geral da Fórmula do termo geral da PG.PG.

►Observamos que:Observamos que:► aa11 = a = a11 = a = a11 q q00

aa22 = a = a11 q = a q = a11 q q11aa33 = a = a22 q = a q = a11 q q22aa44 = a = a33 q = a q = a11 q q33... ... ...... ... ...aann = a = an-1n-1 q = a q = a11 q qn-1n-1

► E temos a fórmula para o termo geral da PG, E temos a fórmula para o termo geral da PG, dada por:dada por:

► aann = a = a11 q qn-1n-1

Exemplos com progressões Exemplos com progressões geométricas finitas.geométricas finitas.

►Seja a PG finita, definida por Seja a PG finita, definida por G={2,4,8,16,32}. Obtemos a razão G={2,4,8,16,32}. Obtemos a razão q=2 da PG com a divisão do q=2 da PG com a divisão do conseqüente pelo antecedente, pois:conseqüente pelo antecedente, pois:

►32÷16 = 16÷8 = 8÷4 = 4÷2 = 232÷16 = 16÷8 = 8÷4 = 4÷2 = 2

Interpolação Geométrica.Interpolação Geométrica.

► Interpolar k meios geométricos entre dois números Interpolar k meios geométricos entre dois números dados a e b, significa obter uma PG com k+2 dados a e b, significa obter uma PG com k+2 termos, cujos extremos são a e b, sendo que a é o termos, cujos extremos são a e b, sendo que a é o primeiro termo da PG e b é o último termo da PG, primeiro termo da PG e b é o último termo da PG, que possui ordem k+2. Para realizar a interpolação que possui ordem k+2. Para realizar a interpolação geométrica, basta determinar a razão da PG.geométrica, basta determinar a razão da PG.

► Exemplo: Para interpolar três meios geométricos Exemplo: Para interpolar três meios geométricos entre 3 e 48, basta tomar aentre 3 e 48, basta tomar a11=3, a=3, ann=48, k=3 e n=5 =48, k=3 e n=5 para obter a razão da PG. Como apara obter a razão da PG. Como ann=a=a11qqn-1n-1, então , então 48=3q48=3q44 e segue que q e segue que q44=16, garantindo que a =16, garantindo que a razão é q=2. Temos então a PG:razão é q=2. Temos então a PG:

► R = { 3, 6, 12, 24, 48 }R = { 3, 6, 12, 24, 48 }

Fórmula da soma dos termos de Fórmula da soma dos termos de uma PG finita.uma PG finita.

►SSnn = a = a11(1-q(1-qnn)/(1-q) )/(1-q)

Exercícios resolvidos.Exercícios resolvidos.

► Seja a seqüência f com Seja a seqüência f com Im(f)={3,6,9,12,15,18,...}. Determinar os Im(f)={3,6,9,12,15,18,...}. Determinar os elementos indicados.elementos indicados.

► a. f(1), b. f(3), c. f(4)-f(1), d. f(4)+f(2)a. f(1), b. f(3), c. f(4)-f(1), d. f(4)+f(2)► Para a seqüência f:NR definida por Para a seqüência f:NR definida por

f(n)=2n+1, determinar:f(n)=2n+1, determinar: Os 4 primeiros termos da seqüência.Os 4 primeiros termos da seqüência. A imagem de f.A imagem de f. O n-ésimo termo da seqüência.O n-ésimo termo da seqüência.

PG.PG.

As Progressões Geométricas são formadas por As Progressões Geométricas são formadas por uma seqüência numérica, onde estes uma seqüência numérica, onde estes números são definidos (exceto o primeiro) números são definidos (exceto o primeiro) utilizando a constante q, chamada de razão. utilizando a constante q, chamada de razão. O próximo número da P.G. é o número atual O próximo número da P.G. é o número atual multiplicado por q. Exemplo:multiplicado por q. Exemplo:

(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...), (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...), onde a razão é 2onde a razão é 2

VEJAVEJA

► A razão pode ser qualquer número racional A razão pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações). Para descobrir qual a (positivos, negativos, frações). Para descobrir qual a razão de uma PG, basta escolher qualquer número razão de uma PG, basta escolher qualquer número da seqüência, e dividir pelo número anterior. da seqüência, e dividir pelo número anterior.

Fórmula do termo geralFórmula do termo geralA seguinte fórmula pode ser utilizada para A seguinte fórmula pode ser utilizada para encontrar qualquer valor de uma seqüência em encontrar qualquer valor de uma seqüência em progressão geométrica:progressão geométrica:

an = a1 . q(n - 1)an = a1 . q(n - 1)

CALCULOCALCULO

► onde a é um termo, então a1 refere-se ao primeiro onde a é um termo, então a1 refere-se ao primeiro termo. No lugar de n colocamos o número do termo termo. No lugar de n colocamos o número do termo que queremos encontrar. Exemplo:que queremos encontrar. Exemplo:

q = 2q = 2a1 = 5a1 = 5

para descobrir, por exemplo, o termo a12, faremos:para descobrir, por exemplo, o termo a12, faremos:a12 = 5 . 2 (12 - 1)a12 = 5 . 2 (12 - 1)

a12 = 5 . 211a12 = 5 . 211

a12 = 5 . 2048 = 10240 a12 = 5 . 2048 = 10240

TIPOS DE PG.TIPOS DE PG.► As PG's podem ser divididas em quatro tipos, de acordo com o As PG's podem ser divididas em quatro tipos, de acordo com o

valor da razão:valor da razão:

Oscilante (q < 0)Oscilante (q < 0)Neste tipo de PG, a razão é negativa, o que fará com que a Neste tipo de PG, a razão é negativa, o que fará com que a seqüência numérica seja composta de números negativos e seqüência numérica seja composta de números negativos e positivos, se intercalando. positivos, se intercalando.

(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde a razão é -2(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde a razão é -2

Crescente (q > 0)Crescente (q > 0)Na PG crescente, a razão é sempre positiva, e por isto a Na PG crescente, a razão é sempre positiva, e por isto a seqüência será formada por números crescentes, como:seqüência será formada por números crescentes, como:

(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde a razão é 3(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde a razão é 3

CONSTANTECONSTANTE► Nesta PG, a seqüência numérica tem sempre os mesmos números, Nesta PG, a seqüência numérica tem sempre os mesmos números,

podendo ter a exceção do primeiro. Para isso, a razão deve ser podendo ter a exceção do primeiro. Para isso, a razão deve ser sempre 0 ou 1:sempre 0 ou 1:

(4, 0, 0,0,0,0,0,0,0, ...) onde a razão é 0(4, 0, 0,0,0,0,0,0,0, ...) onde a razão é 0(4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...) onde a razão é 1(4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...) onde a razão é 1

DecrescenteDecrescenteAs progressões geométricas decrescentes tem a razão sempre As progressões geométricas decrescentes tem a razão sempre positiva e diferente de zero, e os números da seqüência são sempre positiva e diferente de zero, e os números da seqüência são sempre menores do que o número anterior:menores do que o número anterior:

(64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, ..) razão (64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, ..) razão = 1/2= 1/2(-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde a razão é 3 (observe que na PG (-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde a razão é 3 (observe que na PG crescente temos um exemplo com a mesma razão, porém o número crescente temos um exemplo com a mesma razão, porém o número inicial aqui é negativo, alterando toda a seqüência) inicial aqui é negativo, alterando toda a seqüência)

►

PA.PA.► Denomina-se Denomina-se progressão aritméticaprogressão aritmética (PA) a seqüência em que cada termo, (PA) a seqüência em que cada termo,

a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética.anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética.

►

A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois:A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois:

a1 = 2a1 = 2a2 = 2+5 = 7a2 = 2+5 = 7a3 = 7 +5 = 12a3 = 7 +5 = 12a4 = 12 + 5= 17a4 = 12 + 5= 17

As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.razão r.

Se r > 0, então a PA é crescente.Se r > 0, então a PA é crescente.Se r = 0, então a PA é constante.Se r = 0, então a PA é constante.Se r < 0, a PA é decrescenteSe r < 0, a PA é decrescente

PRATICANDOPRATICANDO► Seja (a1, a2, a3, ... , ak, ... , a50) uma progressão aritmética. Se a2 = Seja (a1, a2, a3, ... , ak, ... , a50) uma progressão aritmética. Se a2 =

14, a5 – a3 = 18 e14, a5 – a3 = 18 e

ak = 239, então k é igual a: ak = 239, então k é igual a:

Resolução: Resolução: Retirando os dados do problema temos: Retirando os dados do problema temos:

a2 = 14 a2 = 14 a5 – a3 = 18 a5 – a3 = 18 ak = 239 ak = 239 k = ? k = ? Para o calculo de k deveremos utilizar a equação Para o calculo de k deveremos utilizar a equação ak = a1 + (k – 1) . ak = a1 + (k – 1) . rr , mas para darmos continuidade devemos achar o valor de a1 e de r, , mas para darmos continuidade devemos achar o valor de a1 e de r, então observe os cálculos abaixo: então observe os cálculos abaixo:

Utilizando o termo geral da P.A, Utilizando o termo geral da P.A, an = a1 + (n-1) . ran = a1 + (n-1) . r podemos dizer podemos dizer que: que: a2 = a1 + r a2 = a1 + r 14 = a1 + r 14 = a1 + r

ESSE TRABALHO É DE:ESSE TRABALHO É DE:

►ANTONIO CARLOS CARNEIRO ANTONIO CARLOS CARNEIRO BARROSOBARROSO

►PROFESSOR DE MATEMÁTICAPROFESSOR DE MATEMÁTICA►01/03/200901/03/2009

EXEMPLOEXEMPLO► Utilizando novamente o termo geral da P.A, podemos dizer Utilizando novamente o termo geral da P.A, podemos dizer

que: que: a5 = a1+ 4r e a3 = a1 + 2r a5 = a1+ 4r e a3 = a1 + 2r

Substituindo no dado do problema a5 – a3 = 18, temos: Substituindo no dado do problema a5 – a3 = 18, temos:

a1 + 4r - a1 - 2r = 18 → unindo os termos semelhantes. a1 + 4r - a1 - 2r = 18 → unindo os termos semelhantes.

a1 - a1 + 4r - 2r = 18 → operando os termos semelhantes. a1 - a1 + 4r - 2r = 18 → operando os termos semelhantes.

2r = 18 2r = 18

r = 18 : 2 r = 18 : 2

r = 9 r = 9

CALCULANDO A1CALCULANDO A1► Agora devemos descobrir o valor de a1, para isso substituiremos o valor de r Agora devemos descobrir o valor de a1, para isso substituiremos o valor de r

= 9 na equação 14 = a1 + r: = 9 na equação 14 = a1 + r:

a1 + 9 = 14 a1 + 9 = 14

a1 = 14 – 9 a1 = 14 – 9

a1 = 5 a1 = 5

Agora que sabemos que a1 = 5 e r = 9 podemos calcular qual é o termo de k: Agora que sabemos que a1 = 5 e r = 9 podemos calcular qual é o termo de k:

ak = a1 + (k – 1) .r → Substituído os dados na equação. ak = a1 + (k – 1) .r → Substituído os dados na equação.

239 = 5 + (k – 1) . 9 239 = 5 + (k – 1) . 9

239 = 5 + 9k – 9 → unindo os termos semelhantes. 239 = 5 + 9k – 9 → unindo os termos semelhantes.

239 -5 + 9 = 9k 239 -5 + 9 = 9k 243 = 9k 243 = 9k

k = 243 : 9 k = 243 : 9

PG.PG.► Uma P.G de razão 3 foi formada introduzindo–se três termos entre o 2º termo e 486. Qual o 1º termo da Uma P.G de razão 3 foi formada introduzindo–se três termos entre o 2º termo e 486. Qual o 1º termo da

P.G? P.G?

Resolução: Resolução:

q = 3 q = 3 Como foram introduzidos três termos entre o 2º termo e 486 podemos então concluir que 486 é o sexto Como foram introduzidos três termos entre o 2º termo e 486 podemos então concluir que 486 é o sexto termo da minha P.G. termo da minha P.G.

a1 , a2, a3, a4, a5, 486 a1 , a2, a3, a4, a5, 486

a3 , a4 e a5 são os três termos introduzidos. a3 , a4 e a5 são os três termos introduzidos.

Então podemos dizer que a6 = 486, utilizando o termo geral de uma P.G Então podemos dizer que a6 = 486, utilizando o termo geral de uma P.G an = a1 . qn - 1, temos: an = a1 . qn - 1, temos:

a6 = a1 . qn – 1 → Substituindo os dados. a6 = a1 . qn – 1 → Substituindo os dados.

486 = a1 . 36 – 1 486 = a1 . 36 – 1

486 = a1 . 35 486 = a1 . 35

486 = a1 . 243 486 = a1 . 243

a1 = 486 : 243 a1 = 486 : 243

a1 = 2 a1 = 2