프로그래머, 수학으로 생각하라

Chapter 1

Chapter 1

0 이야기

10진법

2진법

숫자표기 기수법

0의 역할

이 장에서 배울 내용

선생님 : 공책을 펴고 ‘십이’라고 쓰세요.

필자 : 102

선생님 : 틀렸네요 12 라고 쓰는 겁니다.

초등학교 1학년의 추억

‘십이’

아라비아 숫자 : 12

로마자 표기법 : ⅩⅡ

등등

다양한 표기법….

• 사용하는 숫자 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10종류

• 자릿수에 의미가 있으며 오른쪽 부터 1의자리, 10의자리, 100의 자리 자리로 표기

10 진법

2 5 0 3

2는 ‘1000의 개수’를 나타냄

5는 ‘100의 개수’를 나타냄

0은 ’10의 개수’를 나타냄

3은 ‘1의 개수’를 나타냄

10 진수 2503 분해

2 x 1000 + 5 x 100 + 0 x 10 + 3 x 1

2 x 103 + 5 x 102 + 0 x 10 + 3 x 1

2 x 103 + 5 x 102 + 0 x 101 + 3 x 100

10 진수 2503 분해

2 x 103 + 5 x 102 + 0 x 101 + 3 x 100

10 진수 2503 분해

기수 또는 밑수

3 2 1 0 규칙적

• 사용하는 숫자 : 0, 1 2종류

• 자릿수에 의미가 있으며 오른쪽 부터 1의자리, 2의자리, 4의 자리 자리로 표기

2 진법

1 1 0 0

1는 ‘8의 개수’를 나타냄

1는 ‘4의 개수’를 나타냄

0은 ’2의 개수’를 나타냄

0은 ‘1의 개수’를 나타냄

2 진수 1100 분해

1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20

2 진수 1100 분해

2 진법으로 쓴 1100 을 10진법으로 변환

1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20

= 1 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 0 x 1

= 8 + 4 + 0 + 0

= 12

10진법으로 쓴 12를 2진법으로 변환

126310

2222

나머지 0

나머지 0

나머지 1

나머지 1

1 1 0 0

10진법으로 쓴 12를 2진법으로 변환

1 x 101 + 2 x 100

1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20

10진법은 밑수가 10이고 2진법은 밑수가 2가 됨

10진법 에서 2진법 표기 형식을 바꾸는 것을 진법변환(기수 교환) 이라고 함

컴퓨터에서 2진법을 사용하는 이유

10진수 덧셈 표 2진수 덧셈 표

2진수는 2가 없음10

한자릿수를 계산하는 전자 회로를 만들 시

10진법을 이용하는 것보다 2진법을 이용하는 것이 훨씬 편함

컴퓨터에서 2진법을 사용하는 이유

10진법 : 자릿수가 적어지지만, 숫자의 종류가 많아짐

2진법 : 숫자의 종류는 적지만, 자릿수가 많아짐

컴퓨터에서 2진법을 사용하는 이유

사람 :

자릿수가 많으면 연산하기 어려움

컴퓨터 :

연산이 아주 빠르기 때문에 자릿수의 많고 적음이 없고사람처럼 계산 실수를 하지 않음 따라서 계산 규칙이 간단한 것을 선호

컴퓨터에서 10진법을 계산할 경우

21 + 19 10101 + 10011

40 101000

2진법으로 변환

10진법으로 변환

위치값 기수법

위치값 기수법을 사용하지 않는 로마 숫자

로마 숫자 표기법의 특징

숫자의 자리는 의미가 없으며 숫자 그 자체가 그 수를 나타냄

0이 없습니다.

Ⅰ(1), Ⅴ(5), Ⅹ(10), L(50), C(100), D(500), M(1000) 등의 문자를 사용

나열한 문자가 나타내는 수를 모두 더한 것이 전체 수가 됨

위치값 기수법을 사용하지 않는 로마 숫자

로마 숫자 표기법 덧셈

Ⅲ + Ⅲ = ⅢⅢ (x)

Ⅲ + Ⅲ = Ⅵ (o)

(자릿수와는 무관)

‘1은 100(10의 0승)’ 100 = 1

‘102은 10을 2번 곱한 수’ 100은 10을 0번 곱한 수 1이 아니라 0 이 아닌가????

지수법칙

100은 10을 0번 곱한 수라는 의미를 어떻게 해석해야 하는가?

다른 관점에서 본다면….

103 = 1000

102 = 100

101 = 10

100 = ?

10분의 1

10분의 1

10분의 1

지수가 1감소할 때 마다 기수 분의 1만큼 감소함

0을 특별할 것으로 생각하지 말고 0을 포함하여 규칙을 만듬

다른 관점에서 본다면….

“지수가 1 줄어들면 전체는 밑수 분의 1이 된다”

100 = 1

10-1 = 1/10

10-2 = 1/100

10-3 = 1/1000

10분의 1

10분의 1

10분의 1

마찬가지로 적용

10-1은 무엇인가?

20 생각해보기

23 = 1000

22 = 100

21 = 10

20 = ?

2분의 1

2분의 1

2분의 1

20 = 1

2-1 = 1/2

2-2 = 1/22

2-3 = 1/23

2분의 1

2분의 1

2분의 1

마찬가지로 적용

2-1은 무엇인가?

패턴 찾기

10+5 = 1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 1010+4 = 1 x 10 x 10 x 10 x 10 10+3 = 1 x 10 x 10 x 10 10+2 = 1 x 10 x 1010+1 = 1 x 10 100 = 110-1 = 1 ÷ 10 10-2 = 1 ÷ 10 ÷ 10 10-3 = 1 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 10-4 = 1 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 10-5 = 1 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10

2+5 = 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 22+4 = 1 x 2 x 2 x 2 x 22+3 = 1 x 2 x 2 x 22+2 = 1 x 2 x 22+1 = 1 x 2 20 = 12-1 = 1 ÷ 2 2-2 = 1 ÷ 2 ÷ 22-3 = 1 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 2-4 = 1 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 2-5 = 1 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2

지수법칙 : Na x Nb = Na+b

0의 역할

1) 자리확보

2) 패턴을 만들어 규칙을 간단하게 하기

자리 확보

2 5 0 3 2 5 30을 생략 하면?

자리 확보

위치값 기수법에서는 자리가 중요한 의미가 있으므로

10의 자릿수가 없어도 그곳에 무언가 숫자를 두어야 함

0의 역할은 자리를 확보하는 역할

패턴을 만들어 규칙을 간단하게 하기

0을 사용하여 위치값 기수법의 각 자리의 크기를 10n 으로 통일해서 나타낼 수 있음

그렇지 않으면 1자리만 특별하게 취급해 다뤄야 함

0을 사용하면 패턴을 만들어내고 그 패턴을 이용하여 식을 표현할 수 있게 됨

인간의 한계

10000000000000 과 1000000000000 중 어느 값이 더 큰가???

위치값 표기법으론 바로 알기가 쉽지 않음

1013 과 1012 으론 쉽기 알 수 있음 지수 표기법을 사용

End