República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior.

Instituto Universitario Tecnológico de Ejido (IUTE)

Ejido Edo. Mérida

:

Integrante:

Nublis Casanova

C.I 16654044

Pnf. Informática Sección “A”

ALGEBRA LINEAL

Prof. Judith Rodríguez

Vector unitario:

Se denota frecuentemente con un acento circunflejo sobre su nombre, como (se

lee "r vector" o "vector r"). La notación mediante el uso de una breve ( ) también

es común, especialmente en desarrollos manuscritos. La tendencia actual es

representar el vector en la dirección del vector en la forma .

Definición

Habiendo definido el concepto de vector unitario al comienzo de este artículo y

habiendo presentado la notación usual en la sección anterior, presentamos en

esta sección una definición simbólica de vector unitario.

Sea el vector v ∈ ℝn. Se dice que v es un vector unitario y se lo denota

mediante si y solamente si el módulo de v es igual a 1.

O en forma más compacta:

Desigualdad triangular:

Desigualdad del triángulo:

La desigualdad es un teorema de geometría euclidiana que establece

En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados

cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. 1

Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como

espacios vectoriales.

Camino euclidiano de mínimo recorrido

Desigualdad del triángulo tendiendo hacia la igualdad mientras reduce su altura.

En geometría euclidiana (y en algunas otras geometrías) la desigualdad triangular

es un teorema importante acerca de las medidas y las distancias. Siguiendo en

geometría euclidiana, dicha desigualdad en triángulos rectángulos, es una

consecuencia del teorema de Pitágoras, y para los triángulos en general una

consecuencia de la ley de los cosenos, aunque ésta puede ser probada sin esos

teoremas. La desigualdad se puede ver intuitivamente ya sea en ℝ² o ℝ³ (aunque

también es válida para ℝn). La figura de la derecha muestra tres ejemplos

progresivos partiendo de una clara desigualdad (triángulo más alto) hasta

acercarse tanto como se quiera a la igualdad (triángulo más bajo). Advierta que se

logra tanta más aproximación a la igualdad, cuanto más se aproxima el vértice Z

(el opuesto al lado z) a cualquier punto del segmento que conforma al lado z de la

base del triángulo, y esto con total independencia del camino que se utilice.

El teorema de la desigualdad triangular solo menciona los casos de desigualdad

(no podría ser de otra manera debido a su enunciado) y así evita el tratar con el

caso límite de si tres vértices colineales siguen o no definiendo un triángulo, (aún

si se conviene en que sí, estaríamos ante un caso de figura geométrica

degenerada y éstas conducen en general a soluciones espurias, aunque

particularmente en éste caso, no es así).

Siendo h la altura del triángulo y tomando límite con , la polémica se soslaya

y se adquiere el derecho a extender la fórmula inicial a una más general.

Si (x, y, z) son las respectivas denominaciones de los lados de un triángulo

cualquiera y h la altura correspondiente al lado z, entonces podremos reconocer

dos casos:

1) Aceptado h>0. Implica quedarnos con las tres desigualdades tradicionales del

teorema:

2) Aceptado h≥0. En éste segundo caso logramos tres desigualdades más

generales que las del teorema porque incluyen el caso que más nos interesa, el

cual es el caso límite de igualdad:

En geometría euclidiana, sólo se obtiene el caso límite de igualdad cuando el

triángulo (aunque degenerado) tenga altura h=0 (sobre el lado que se a

denominado z) y además el vértice Z pertenezca al segmento xy (o sea al lado z),

llegando entonces los tres vértices, a ser colineales, como se muestra en el

ejemplo (línea base).

Como el vértice Z puede estar en cualquier lugar (del plano al que pertenece el

triángulo), pero en la desigualdad triangular solo se logra el caso límite de

igualdad3 cuando dicho vértice se encuentra en un lugar tal que pertenece al

segmento constituyente del lado z, y como por otra parte la mínima longitud que

puede tener la suma x+y cumpliendo con ser mayor o igual a la longitud del lado z

es justamente la longitud del lado z, se concluye entonces que para el caso límite

de x+y=z estamos ante una longitud de mínimo recorrido posible entre los vértices

X e Y de z, (en definitiva entre dos puntos cualquiera, por ser z un lado genérico),

lo cual demuestra que la línea recta es el camino de menor longitud posible entre

ellos.

Por todo lo anterior es posible afirmar que:

En geometría euclidiana la distancia más corta entre dos puntos es

una línea recta.

Es importante registrar que la desigualdad triangular elucídela en ℝ² o ℝ³ es una

idea de gran simplicidad. Luego en matemáticas más avanzadas se podrá ver que

la “idea” de la desigualdad (ya no triangular) se puede generalizar también a

polígonos de cuatro o más lados. Luego sabiendo que los polígonos al tender su

número de lados a infinito ( ) se convierten en curvas, en las que aún vale

una versión con similitudes a la “idea” de desigualdad. Además en algunos casos

puede generalizarse el concepto a algunos espacios no euclidianos (con solo

reemplazar el concepto de recta por el de línea geodésica).

Suma de vectores:

Con los vectores podemos realizar una serie de operaciones. Una de ellas es la

suma. Podemos realizar la suma de vectores desde dos puntos de vista:

matemática y gráfica.

Suma de vectores matemática:

Para realizar la suma matemática de vectores, lo único que tenemos que hacer es

sumar las respectivas componentes de los vectores sumandos, obteniendo así, el

vector suma. Veamos un ejemplo:

(3, 2, -5) + (2, 1,3) = (3+2, 2+1, -5+3) = (5, 3, -2)

Suma gráfica de vectores:

Para realizar la suma gráfica de dos vectores, utilizamos el "método del

paralelogramo". Para ello, trazamos en el extremo del vector A, una paralela al

vector B y viceversa. Ambas paralelas y los dos vectores, determinan un

paralelogramo. La diagonal del paralelogramo, que contiene al punto origen de

ambos vectores, determina el vector SUMA. Puedes ver un ejemplo en el gráfico

que va a continuación:

Si tenemos que sumar varios vectores, podemos aplicar el método anterior,

sumando primero dos y a la suma, añadirle un tercero y así sucesivamente. Pero

también podemos hacerlo colocando en el extremo del primer vector, un vector

igual en módulo, dirección y sentido que el segundo. A continuación de éste,

colocamos un vector equivalente al tercero y así sucesivamente. Finalmente,

unimos el origen del primer vector con el extremo del último que colocamos y, el

vector resultante es el vector suma.

Puedes probar este método en el applet que viene a continuación, sumando

fuerzas:

Para manejarlo, elige en la lista desplegable rotulada con "Number of Forces", el

número de vectores que deseas sumar. A continuación, pulsa en "Find out

Resultant" y observarás el proceso de suma de los vectores. Pulsando en "Clear

Construction", limpias todo y puedes repetir el proceso.

Producto escalar

En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno,

interior o punto (en inglés, dot product), es una operación definida sobre dos

vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta

operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional:

longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar

puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y

en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios

vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios

prehilbertianos.

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es

una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar

una forma cuadrática definida positiva.

Un producto escalar se puede expresar como una aplicación

donde V es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el

que está definido V. debe satisfacer las siguientes condiciones:

1. Linealidad por la izquierda: , y linealidad

conjugada por la derecha:

2. Hermeticidad: ,

3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,

Donde son vectores de V, representan escalares del cuerpo

y es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal

se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por o por .

Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se

denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se

dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un

espacio euclídeo.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido,

de la siguiente manera:

.

Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real

A • B = |A| |B| cos(θ).

|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el

producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman.

En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es

Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de

coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.

Proyección de un vector sobre otro

Puesto que |A| cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la

dirección del vector B, esto es |A| cos θ = proy AB, será

De modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el

producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Ángulos entre dos vectores

La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del

ángulo existente entre los vectores:

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre

sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son

ortogonales.

Ya que él .

Vectores paralelos o en una misma dirección

Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es

de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados).

Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por

lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

Observación

Una importante variante del producto escalar estándar se utiliza en el espacio-

tiempo de Minkowsky, es decir, dotado del producto escalar:

.

Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:

Expresión analítica del producto escalar

Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas

rectangulares, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios

{i, j, k} tenemos:

El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:

Norma o Módulo de un vector

Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico

considerado.

Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.

Efectuado el producto escalar, tenemos:

De modo que

Por componentes, tomando la base canónica en formada por los vectores

unitarios {i, j, k}

De modo que

Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales

En el espacio vectorial se suele definir el producto interior (llamado, en

este caso en concreto, producto punto) por:

En el espacio vectorial se suele definir el producto interior por:

Siendo el número complejo conjugado de

En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos reales

Donde tr (A) es la traza de la matriz B y AT es la matriz traspuesta de A.

En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos complejos

Donde tr(A) es la traza de la matriz B y A * es la matriz traspuesta conjugada de A.

En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo C[a, b],

acotado por a y b:

En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:

Dado tal que

:

Generalizaciones

Formas cuadráticas

Dada una forma bilineal simétrica definida sobre un espacio vectorial

puede definirse un producto escalar diferente del producto escalar euclídeo

mediante la fórmula:

Dónde:

Es una base del espacio vectorial

Puede comprobarse que la operación anterior satisface todas las

propiedades que debe satisfacer un producto escalar.

Tensores métricos

Se pueden definir y manejar espacio no-euclídeos o más exactamente variedades

de Riemann, es decir, espacios no-planos con un tensor de curvatura diferente de

cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y volúmenes. En

estos espacios más generales se adopta el concepto de geodésica en lugar del de

segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y, también, se

modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual

introduciendo un tensor métrico , tal que la restricción del tensor

a un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal .

Así, dados dos vectores campos vectoriales y del espacio tangente a la

variedad de Riemann se define su producto interno o escalar como:

La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir a

partir de su vector tangente de la siguiente manera:

Diferencia de R1, R2, R3 y RN….

Espacio euclidiano o Espacio vectorial:

Un espacio euclidiano es el conjunto de n-adas ordenadas, también conocido por

espacio n-dimencional y de denota por Rn este es una sucesión de n números

reales ejemplo (a1, a2,..., en) donde los vectores Rn se clasifican así:

R1 = espacio unidimensional, línea recta real.

R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.

R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.

Rn = espacio n-dimencional, n-adas ordenadas.

Operaciones Básicas con Vectores en R2:

Suma de vectores y multiplicación por un escalar:

Siendo X y Y dos vectores y H un escalar se dice que:

X + Y = (x1 , x2) + (y1 , y2) = (y1 , y2) + (x1 , x2) y la multiplicación por un escalar

se define H(x1 , x2)=(Hx1 , Hx2).

Las propiedades que cumple la suma de vectores son la misma que cumplían las

estructuras algebraicas de una operación que son: la de cierre, la conmutativa, la

asociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva.

Las leyes que cumple la multiplicación por un escalar son:

La de cierre bajo la multiplicación Hx,

La distributiva (H+I)x = Hx + Ix ; H(x + y) = Hx + Hy,

La asociativa (HI)x = H(Ix),

y el elemento neutro de la multiplicación 1x = x.

Operaciones Básicas con Vectores en Rn:

Las operaciones básicas con vectores en Rn son las mismas que las operaciones

básicas que vimos anteriormente, o sea, la suma de vectores y la multiplicación

por un escalar la diferencia seria que en estos serian n-esimos elementos y n-

esimos vectores

ejemplo:

Para suma de vectores

X + Y = (x1 , x2, ... , xn) + (y1 , y2, ... , yn).

Para multiplicación de un vector por un escalar

H(x1 , x2, ... , xn) = (Hx1 , Hx2, ... , Hxn).

Las propiedades que cumplen son las mismas que vimos en operaciones básicas

con vectores en R2.

El vector cero “0” es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en Rn:

0 = (0, 0, 0, ..., 0n), este vector tiene como propiedad de que es único, es decir, U

+ 0 = 0,

0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde “U” es un vector y “a” un escalar.

Espacios Vectoriales:

Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o

axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas

propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es

un espacio no vacío.

Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de

un espacio n-dimencional , debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no

se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y

cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por

un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre sería un

espacio vectorial.

Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores,

un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual

a las estructuras algebraicas de dos operaciones <conjunto, operación

,operación> (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio

vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación

por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que

actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.

Cuerpo:

Es el conjunto de números y operaciones cualesquiera que deben obedecer las

diez propiedades algebraicas que mencionamos en operaciones básicas de

espacios vectoriales.

Sub cuerpo:

Si se operan escalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la suma y la

multiplicación por un escalar estos escalares no deben salirse del sub espacio

determinado y las operaciones de prueba son las mismas que se han mencionado

con anterioridad.

Sub espacio vectorial:

Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un

sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y

multiplicación por un escalar definidas en V.

Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la

suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento

neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por

un escalar.

Combinación Lineal:

Se denomina combinación lineal a u vector V en un espacio vectorial U u un

cuerpo h.

Si los vectores v1, v2, v3, ..., vn en u si V puede expresarse como:

V = c1v1 + c2v2 + c3v3 +... + cnvn donde c son escalares del cuerpo h.

Envolvente Lineal:

Este es el conjunto de todas las combinaciones lineales semejantes denotado por

Lin(v1, v2, ..., vn) y se denomina envolvente lineal de u1, u2, ...,un.

Siendo S un sub conjunto de un espacio vectorial V entonces Lin S es un sub

conjunto de un espacio vectorial V y si W es un subconjunto de V que contiene a

S, necesariamente Lin S es complemento de W.

Conjuntos Generadores:

Si todo vector es un espacio vectorial puede ser expresado como combinación

lineal como lo vimos anteriormente entonces se dice que la combinación lineal es

un conjunto generador de un espacio vectorial..

En otras palabras si u1, u2, ..., un generan u entonces u pertenecen a V si existen

escalares c tal que:

V = c1u1 + c2v2 + ... + cnun entonces V es una combinación lineal de u1, u2, ...,

u3 .

Espacio fila y Espacio Columna de una Matriz:

Si A es una matriz m x n en un cuerpo K cualquiera, las filas de A pueden ser

vistas como vectores de Kn llamado espacio fila de U denotado por f - Lin A.

Así haciendo la matriz transpuesta esto quiere decir que si las columnas las

hacemos vectores de Km estos generan un sub espacio de Km llamado espacio

columna de A denotado c-Lin A.

Si hacemos operaciones elementales entre fila a A y obtenemos una matriz B

podemos decir que B es que cada fila de B es una combinación lineal de cada fila

de A por lo que el espacio fila de B esta contenido al espacio fila de A y así

viceversa, o sea, si efectuamos operaciones entre fila a B obtenemos A y esto

sería convención lineal de cada fila de B, esto cumple ciertos teoremas y

propiedades:

atrices equivalentes por filas tienen el mismo espacio fila.

tienen las mismas filas no nulas.

filas.

Conjuntos Generadores e Independencia Lineal:

Si todo vector puede expresarse como combinación lineal de vectores en un

conjunto S entonces el conjunto S es un conjunto de un espacio vectorial.

Dependencia e Independencia Lineal:

Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solución no

trivial esto quiere decir que la combinación lineal denotado así: c1v1 + c2v2 + c3v3

= 0 , ósea que tiene una solución única.

Para comprobar la independencia Lineal.

Sea S = {v1, v2, ..., vn } un conjunto de vectores en un espacio vectorial V

entonces partiremos de la ecuación vectorial c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 (que es la

misma que combinación lineal don de c son escalares) se escribe un sistema

homogéneo de ecuaciones lineales en variable c1, c2, ..., ck . después se hace

Gauss-Jordán a la matriz aumentada para diagonal izarla si la solución de la

diagonalizacion tiene solamente solución trivial c1, c2, c3 entonces S es

linealmente independiente.

Si un conjunto S={v1, v2, ..., v3}, k>=2 es linealmente dependiente si solo si por lo

menos uno de los vectores vj puede expresarse como una combinación lineal de

los demás vectores S.

Base y Dimension:

En un conjunto S={v1 ,v2, ..., vk} es un espacio vectorial V este se denomina Base

si cumple que si es espacio vectorial tiene una base con un numero finito de

vectores entonces V es de dimensión finita y en caso contrario es de dimensión

infinita.

Base y Dependencia Lineal:

Si un conjunto finito S={ v1 , v2, ..., vn } es una base de un espacio vectorial V si

todo conjunto que contiene más de n vectores de V es linealmente dependiente.

Numero de Vectores de una Base:

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V

tiene n vectores.

Dimensión de un Espacio Vectorial:

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la

dimensión de esa base y se denota dim(V) = n.

Teóricamente la dimensión se determina al hallar el conjunto de vectores

linealmente independientes que genera el sub espacio, este conjunto es una base

del sub-espacio y la dimensión del mismo es el número de vectores que hay en la

base.

Para ver que una base en un espacio n-dimensional:

Siendo V su espacio vectorial y n = n entonces S = { v1, v2,... ,vn } en un conjunto

de vectores linealmente independientes en V, entonces S es una base de V.

Ejemplo: si S = { v1, v2, ..., vn } genera a V, entonces S es una base de V

Rango de una matriz y sistema de ecuaciones lineales:

Sea una matriz Am x n = entonces sus n-adas corresponden a las

Filas de la matriz, ejemplo: (a11, a12, ..., a1n), (a21, a22, ..., a2n), ..., (am1,am2,

..., amn) estas series son los vectores fila de A y los vectores columnas de A

corresponden a las columnas de la matriz ejemplo: (a11, a21, ..., am1), (a12, a22,

..., am2), ..., (a1n, a2n, ..., amn).

El espacio fila y el espacio columna son sub-espacios de Rn generado por los

vectores fila y espacio columna de A.

Veremos a continuación que los espacios fila y espacio columna comparten

muchas propiedades veremos primero el espacio fila, considerando que dos

matrices son equivalentes por fila si la segunda matriz se obtiene por operaciones

elementales entre fila esta tienen el mismo espacio fila, también hay que

considerar que la matriz no se modifica sus columnas por las operaciones

elementales entre filas, pero si pueden modificar sus filas.

Si la matriz equivalente B esta en forma escalonada entonces esta constituye un

conjunto independiente.

Y la base para el espacio fila de una matriz: si la matriz A es igual en fila a la

matriz B entonces en esta ultima los vectores fila B son diferentes de cero esta

forma una base para el espacio fila.

Si A es una matriz m x n entonces el espacio renglón y el espacio columna son

iguales.

Para poder resolver la ecuación lineal utilizaremos la notación matricial Ax = B que

se utiliza para representar ecuaciones lineales.

= la solución de éste sistema nos permite ver el conjunto solución, esta solución

se escribe como n-adas y se denomina: vectores solución para un sistema

homogéneo se utiliza la notación matricial Ax = 0 es un espacio Rn esta solución

se denomina espacio solución del sistema también se llama espacio nulo de a. La

dimensión de este sistema se denomina nulidad de A.

Para la dimensión de un sistema homogéneo (Ax = 0) en una matriz A m x n y su

rango r entonces la dimensión seria n-r (nulidad - rango) = n.

Un sistema homogéneo Ax = 0 es un sub-espacio y un sistema no homogéneo Ax

= 0 es un sub-espacio y un sistema no homogéneo Ax = B donde B " 0 este no es

sub-espacio ya que el vector cero no es solucion.

Si Xp es una solución particular del sistema homogéneo entonces todo el sistema

se expresa como X = Xp + Xn donde Xh sería la solución del sistema homogéneo

Ax = 0.

Para ver el número de soluciones de las ecuaciones lineales se tomara en cuenta

tres reglas:

quiere decir si el rango de la solución de la matriz A es igual al del rango de la

matriz aumentada en B es igual a n entonces tiene una única solución.

el rango (A) = rango [A | B]<n tiene esta soluciones infinitas.

Para las ecuaciones lineales con matrices cuadradas: Si A es una matriz n x n

cumple las siguientes condiciones:

A es invertible.

ientes.

Coordenadas y cambio de base:

Siendo B={ v1, v2, ..., vn} una base de un espacio vectorial y x un vector en V que

representándose como combinación lineal ( x = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn ) siendo

los escalares c. Se denomina como coordenadas x con respecto B en el vector Rn

denotado así xB = ( c1, c2, ..., cn ).

Cambio de base.

Partiendo de una base B a una base B' se tiene que hacer una multiplicación por

una matriz p-1 y está la obtenemos sacando la inversa de la base B esto sería P-1

y multiplicando P-1 por B obtenemos B' y viceversa.

Producto de un escalar por un vector

El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma

dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del

vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el

sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector

original.

Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las

componentes del vector.

Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:

V = (x, y)

k V = k (x, y) = (kx, ky)

Ejemplo:

V = (2,1)

k = 2

k V = 2 (2, 1) = (4, 2)

Ejemplo:

V= (2, 2)

k = -1

k V = -1 (2, 2) = (-2, -2)

Si los vectores son de más de dos coordenadas se realiza lo mismo por cada una

de ellas.

Un vector canónico:

Es aquel que se ajusta a una norma generalmente admitida como la mejor de las

posibles) porque es única y exclusiva para cada espacio vectorial, siendo escogida

de entre todas las bases posibles como se escoge un representante canónico en

una clase de equivalencia por ser el más sencillo y simplificado de todos ellos.

Un vector canonico, facilita una interpretación intuitiva del sistema de coordenadas

característico de un sistema cartesiano, de tal suerte, que para posicionar un

punto en la recta, el plano o el espacio, las coordenadas nos informan de la

distancia real en unidades, así facilita la lectura de posiciones y representación

métrica en el entorno del espacio vectorial y con ello, sus aplicaciones directas a la

geometría y a la física, entre otras importantes ciencias puras y aplicadas.

Coseno director:

En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector = (x, y, z), a

los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base.

Ejemplo

Determinar los cosenos directores del vector (1, 2, −3).