10. estimación de parámetros

MÉTODOS ESTATÍSTICOSMÉTODOS ESTATÍSTICOS

E NUMÉRICOSE NUMÉRICOS

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

UNIDADE 10UNIDADE 10

ÍNDICEÍNDICE

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

CONTIDOSCONTIDOS

Tipos de estimación.Estimación puntual.Características dos estimadores puntuais.Estimadores puntuais: media mostral e proporción mostral.Intervalo de confianza.Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal

da que se coñece a varianza.Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal

da que non se coñece a varianza.Intervalo de confianza para a proporción.Intervalo de confianza para a diferenza de medias.Intervalo de confianza para a varianza dunha poboación

normal.Erro máximo admisible.Tamaño da mostra para a estimación da media e da

proporción.


IntroduciónIntrodución

Observa estes tres problemas, correspondentes a situacións parecidas pero moi distintas:

XProblema 1: A media de idade das alumnas e alumnos que se presentan á

selectividade é de 18.1 anos; e unha desviación típica de 0.5 anos. Eliximos ao azar unha mostra de 80 alumnos/as, cal é a probabilidade de que a media de idade da mostra estea entre 17.9 e 18.3?

Sabemos:A media μ da poboación, que é

18.1

Queremos saber:A media dunha mostra. p(17.9< <18.3)?

Coñecemos a poboación e pretendemos deducir o comportamento das mostras. Isto viuse no tema anterior baseándonos no teorema central do límite.

X

X



X

Problema 2: A idade media dunha mostra de 80 alumnos/as que se presentan a

selectividade é de 18.1 anos. Cal é a probabilidade de que a media de todos os alumnos que se presentan á selectividade estea entre 17.9 e 18.3 anos?

Sabemos:A media dunha mostra:

=18.1

Queremos saber:A media μ da poboación.

p(17.9<μ<18.3)?

Coñecemos unha mostra, e pretendemos deducir aspectos da poboación. Pretendemos inferir ou estimar o valor da media poboacional a partir do valor da media mostral. Este é o tema da presente unidade.

XX



Problema 3:Está admitido como certo que a idade media dos alumnos/as que se

presentan á selectividade é de 18.1. Para comprobalo tomouse unha mostra de 80 alumnos/as que se presentan á selectividade e calculouse a súa media, obtendo 18.3. É razoable admitir como válida a hipótese inicial de que μ=18.1?

Sabemos:A media dunha mostra: =18.3

Queremos saber:É admisible a afirmación de que

a media da poboación é μ=18.1?

Temos unha afirmación ou hipótese, pero sen garantías de certeza. Para contrastalo, tomamos unha mostra, e a partir do resultado desta, decidimos se a hipótese é ou non é admisible.Este problema corresponde á chamada teoría da decisión ou

contraste de hipótese que veremos na seguinte unidade

X



Nota :Ao traballar con mostras, hai que diferenciar entre:Os parámetros observados na mostra, chamados parámetros estatísticos ou simplemente estatísticos.Os parámetros reais correspondentes á poboación, chamados parámetros poboacionais ou simplemente parámetros.



Estimación de ParámetrosEstimación de Parámetros

Parámetros poboacionais e Estatísticos MostraisParámetros poboacionais e Estatísticos Mostrais

DatosDatos(Poboación de Interese)(Poboación de Interese)

MostrasMostras

-4 -2 0 2 40

20

40

60

80

100

120

140

160Histograma de la Poblacion

Clases

Fre

cuencia

-4 -2 0 2 40

2

4

6

8

10

12

14

16

Histograma de la Muestra

Clases

Fre

cuen

cia

ParámetrosParámetros::

Media (Media ())

Varianza(Varianza(22))

Desv. Est. (Desv. Est. ())

Etc.Etc.

EstatísticosEstatísticos::

Termo medio( )Termo medio( )

Varianza mostral(Varianza mostral(SS22))

Desv. Est. mostral(Desv. Est. mostral(SS))

Etc.Etc.

InferenciasInferencias

MostraxeXX


1. Tipos de estimación1. Tipos de estimación

Tipos de estimación:

Puntual: Trátase de estimar un parámetro da

poboación a partir dun estatístico obtido dunha mostra dela, dando un único valor como aproximación do parámetro poboacional.

Por intervalos de confianza:A partir dunha mostra aleatoria de tamaño n

podemos estimar o valor dun parámetro da poboación dando un intervalo dentro do cal confiamos que estea o parámetro, intervalo de confianza, e calculando a probabilidade de que tal cousa ocorra; a dita probabilidade chamámoslle nivel de confianza.


2. Estimación puntual2. Estimación puntual

Estimación puntual:

Ao estimar un parámetro poboacional por estimación puntual poden considerarse, en principio, varios estatísticos.

Exemplo:Para estimar a media poboacional μ podemos utilizar a media mostral x, pero tamén outros estatísticos, como mediana, moda...

Debemos, polo tanto, facer un estudo para saber que estatístico proporciona unha estimación máis fiable do parámetro poboacional.



Para controlar a fiabilidade da estimación proporcionada por un estatístico, definimos o concepto de estimador:

Chamamos estimador S dun parámetro poboacional λ a unha variable aleatoria que a cada unha das mostras dun certo tamaño n da poboación asócialle o valor dun estatístico dado con valores aproximados ao parámetro poboacional λ que desexamos estimar.



Exemplo:Nun edificio viven 6 nenos de idades:

Nenos Celia Raquel María Alex Marta Xoán

Idades 5 7 8 6 1 8



Podemos polo tanto coñecer a idade media da poboación de nenos do edificio que sería:

μ =(5+7+8+6+1+8)/6=5.83

Pero un veciño do edificio non coñece as idades de todos os nenos así que decide estimar cal é a idade media dos nenos do edificio preguntándolle a idade a tres dos nenos e calculando a media de idade de dita mostra.

O parámetro media poboacional intenta estimarse mediante un estatístico dunha mostra de tres elementos que é a media mostral.

Pero, o valor obtido deste xeito, realmente se aproxima á media poboacional?



Para controlar a fiabilidade da estimación, recorremos ao estudo do seguinte estimador:Experimento aleatorio = obtención dunha mostra de tamaño 3.Definimos unha variable aleatoria que a cada mostra de tres nenos asígnalle a idade media da mostra. =idade media mostral dunha mostra de tamaño 3

Mostras

Celia Raquel e María

Celia Raquel e Alex

Celia Raquel e Marta

Celia Raquel e Xoán

Celia María e Alex

Celia María e Marta

Celia María e Xoán

Celia Alex e Marta

Celia Alex e Xoán

Celia Marta e Xoán

6.67 6 4.33 6.67 6.33 4.33 7 4.33 6.33 4.67

Mostras

Raquel María e Alex

Raquel María e Marta

Raquel María e Xoán

Raquel Alex e Marta

Raquel Alex e Xoán

Raquel Marta e Xoán

María Alex e Marta

María Alex e Xoán

María Marta e Xoán

Alex Marta e Xoán

7 5.33 7.67 4.67 7 5.33 5 7.33 5.67 5

X

x

x



Trátase dunha variable aleatoria discreta coa seguinte función masa de probabilidade

xi p( =xi)

4.334.6755.335.6766.336.6777.33

3/202/202/202/201/201/202/202/203/201/20

X


3. Características dos estimadores puntuais3. Características dos estimadores puntuais

Nun estimador considéranse desexables as seguintes características:

Ausencia de nesgoEficiencia Consistencia

para considerar fiable a estimación correspondente.



f(x)=8

f(x)=4

f(x)=0

Serie 1

Serie 2

λ

λ

λ

Ausencia de nesgoObserva as seguintes figuras onde se representa o valor real do parámetro poboacional a estimar λ e os valores que toman certos estimadores correspondentes a certos tamaños de mostra e a certos estatísticos que poderiamos empregar.



No primeiro caso os valores do estimador están arredor de λ mentres no segundo caso a maior parte son maiores λ e no terceiro son maioritariamente menores ca λ.

A nós interésanos que os valores do estimador se repartan ao redor de λ, coma no primeiro caso. Isto dáse cando a súa esperanza está próxima ao valor de λ e cando isto sucede dise que o estimador é non esguellado.

Dise que un estimador S dun parámetro λ é non esguellado se a súa esperanza μS coincide con λ.

Se μS< λ , dise que ten nesgo negativo (caso 3)

Se μS> λ , dise que ten nesgo positivo (caso 2)



Exemplo: Lembrades o exemplo de estimador que puxemos ?Fixádevos no valor da idade media da poboación de

nenos do edificio e nos valores que toma o estimador que son as idades medias das mostras de tres elementos que podemos tomar nesta poboación. Pensades que é ou non esguellado?

f(x)=0

Serie 1

Serie 2

4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4 7.6 7.8λ

X



Se no noso exemplo calculamos a esperanza do estimador X obtemos:

edificiodonenosdosmediaidade5.83

201

7.67201

7.33203

7202

6.67202

6.33

201

6201

5.67202

5.33202

5202

4.67203

4.33

pxμi

iiX



Eficiencia dun estimadorPero observa agora os valores que toman estes dous estimadores non esguellados do mesmo parámetro poboacional λ.Cal cres ti que deberiamos empregar se queremos un resultado fiable?.

f(x)=8

f(x)=4

Serie 1

Serie 2

λ

λ



Loxicamente nos quedariamos co segundo, pois os valores que toma o estatístico están máis concentrados arredor de λ.

Isto ocorre cando a desviación típica do estimador é menor; e dise que dito estimador é máis eficiente.

De entre dous estimadores, dicimos que é máis eficiente o que ten menor varianza ou desviación típica.



Exemplo:Os 4 fillos dunha familia estudan 1,2,3,4 horas diarias respectivamente. Se desexásemos estimar o nº medio de horas de estudo diario dos nenos desta familia mediante unha mostra de tamaño 3, que estimador dos dous seguintes é máis eficiente?

=media mostral dunha mostra de tamaño3 Me=mediana dunha mostra de tamaño 3.

X



As posibles mostra de tamaño 3 daríannos os seguintes resultados:

Calculemos as esperanzas destas variables aleatorias (estimadores) para ver se teñen ou non nesgo

O nº medio de horas de estudo da poboación formada polos 4 nenos era:

Como ambos estimadores son non esguellados.

Mostras Me

(1,2,3) 2 2

(1,2,4) 2.33 2

(1,3,4) 2.67 3

(2,3,4) 3 3

x

2.53)/432(2μ

2.53)/42.672.33(2μ

Me

X

2.54)/432(1μ

MeXμμμ



Cal é máis eficiente?

Pois aquel que teña menor varianza.Ao calculalas podemos ver que a media mostral ten unha

varianza máis baixa polo que é un estimador máis eficiente que a mediana.

0.252.521

321

2σ

0.132.541

341

2.6741

2.3341

2xpxσ

2222Me

22222

ii

2i

2

X



Consistencia dun estimadorIntuitivamente canto maior é a mostra elixida, máis próxima debería estar a estimación realizada dun parámetro ao valor real do parámetro.

Dicimos que un estimador é consistente se a probabilidade de que estean moi próximos a estimación e o parámetro poboacional aumenta e tende a 1 ao incrementarse o tamaño da mostra.



Conclusión: Un estimador é bo se é non esguellado, o máis eficiente posible e consistente.


4. Estimadores puntuais: media mostral e 4. Estimadores puntuais: media mostral e proporción mostralproporción mostral

A elección do estimador máis axeitado en cada caso excede o nivel deste curso.

Abondará con saber:A media poboacional μ aproxímase pola media mostral . A

mediana tamén é un estimador non esguellado para a media poboacional pero menos eficiente que a media mostral.A varianza poboacional σ2 aproxímase pola cuasivarianza

mostral ŝ2 que se define como:

Parece que o estimador máis adecuado debería ser a varianza mostral, pero pode demostrarse que non é así.A proporción poboacional aproxímase por a proporción

mostral.A diferenza de medias de dúas poboaciones μ1-μ2 aproxímase

pola diferenza de medias mostráis21 xx

22 s1n

ns

ˆ

x



Exemplo 1: Das 25 aulas dun centro educativo escolléronse 5

ao chou, e contouse o número de alumnos da clase, obténdose os seguintes resultados: 33, 27, 19, 34, 30. Estima o número total de alumnos do centro.



Solución:Estimaríamos o nº medio de alumnos por aula no centro escolar calculando o nº medio de alumnos nas 5 aulas que se tomaron como mostra.Como a media mostral da (33+27+19+34+30)/5= 28,6 consideramos que o nº medio de alumnos por aula no centro escolar é 28.6 e, polo tanto, estimariamos que o número total de alumnos no centro escolar é de 25·28,6=715 alumnos



Exemplo 2:Entre os estudantes dunha cidade escolléronse 150 ao azar e preguntóuselles se estaban de acordo co actual sistema de acceso á universidade. 40 responderon que si. Estímese a proporción de alumnos de dita cidade que están de acordo co sistema de acceso á universidade.



Solución:A proporción mostral é un bo estimador da proporción poboacional, así que calculamos a proporción de alumnos da mostra que responderon afirmativamente e considerámola como proporción poboacional.

40 de 150 é un 26,67%Estimamos que un 26,67% da poboación está de acordo co sistema de acceso á universidade.


5. Intervalo de confianza5. Intervalo de confianza

A estimación puntual serve de pouco mentres descoñezamos cal é o grao de aproximación entre o estatístico mostral e o parámetro poboacional. A estimación puntual non nos indica o erro cometido en dita estimación.O razoable na práctica é incluír, xunto á estimación puntual do parámetro, un certo intervalo numérico que mida a marxe de erro que, de acordo coas observacións mostrais, poda ter dita estimación.A idea de intervalo de confianza é propór un rango de valores entre os que posiblemente se encontre o verdadeiro valor do parámetro.



Por este motivo recórrese á estimación por intervalos.

A partir dunha mostra de tamaño n podemos estimar o valor dun parámetro da poboación do seguinte modo:

Dando un intervalo dentro do cal confiamos que estea o parámetro, chamado intervalo de confianza.

Calculando a probabilidade de que tal cousa ocorra. A dita probabilidade chámaselle nivel de confianza que se nomea como p=1-α sendo α o nivel de significación.



Supoñamos que para estimar unha media poboacional μ tomamos unha mostra de tamaño n e a partir dela construímos un intervalo de confianza ao 90% para μ. É dicir, o nivel de confianza é 0,9 e o nivel de significación 0,1.

No intervalo calculado pode ou non estar realmente μ.

Nin sequera podemos dicir que μ está no intervalo calculado cunha probabilidade do 90%.

Só podemos falar de que o intervalo contén a μ cunha confianza do 90%. Que significa entón nivel de confianza do 90%?



Se construímos moitos intervalos de confianza para μ cun nivel de confianza do 90%

μ

O 90% de ditos intervalos de confianza conterán a media poboacional.



Nota:Como polo xeral só vamos a dispór dunha mostra, temos que contar (por exemplo cun 90% de confianza) que a mostra que temos pertence ao grupo das mostras boas (as que nos dan unha estimación do intervalo que contén o verdadeiro valor do parámetro).



Para o cálculo de intervalos de confianza é importante coñecer que é un intervalo característico e como calculalo

Intervalos característicos :Se unha variable aleatoria X ten unha distribución de esperanza ou media μ, chámase intervalo característico correspondente a unha probabilidade p a un intervalo centrado na media (μ-k, μ+k) tal que a probabilidade de que X pertenza a dito intervalo é p

p(μ-k < X < μ+k)=p



Intervalos característicos en distribucións N(0,1)Exemplo: Calcula o intervalo característico dunha variable aleatoria Z que segue unha distribución normal N(0,1) correspondente á probabilidade p=0.9.

Trátase de atopar un intervalo centrado na media μ=0 e polo tanto da forma (-k, k) que conteña unha probabilidade de 0.9.

Fóra do intervalo haberá unha probabilidade de 1-p=1-0.9=0.1. Como o intervalo é simétrico , a área ou probabilidade de cada “cola” é de 0.1/2=0.05


5. Intervalo de confianza.5. Intervalo de confianza.

f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^-(x^2/2)

Relleno 2

Relleno 3

Relleno 4

x(t)=-1.65 , y(t)=t

x(t)=1.65 , y(t)=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

-k k

p(-k<z<k)=p=1-α=0,9

p(z>k)=(1-p)/2=α/2=0.05p(z<-k)=(1-p)/2=α/2=0.05

p(z≤k)=p+(1-p)/2=1-α+α/2=0.95



Vemos , entón, que p(Z≤k)=0.95

E recorremos á táboa da distribución N(0,1) para atopar o valor de k correspondente á probabilidade 0.95

K é un valor entre 1.64 e 1.65; polo que tomamos o punto medio 1.645



O intervalo característico para unha variable aleatoria Z que segue unha distribución normal N(0,1) correspondente a unha probabilidade p= 0.9 sería:

(-1.645, 1.645)

Diremos que k=1.645 é o valor crítico correspondente a p=0.9.Habitualmente desígnase a probabilidade p mediante 1-α. O valor crítico correspondente denomínase zα/2 téndose as desigualdades:

p(Z> zα/2 )=α/2 p(-zα/2 <Z< zα/2 )=1-α



Intervalos característicos en distribucións N(μ,σ)Sexa X unha variable aleatoria que segue unha distribución N(μ,σ). Desexamos encontrar un intervalo centrado na media μ, (μ-k, μ+k) tal que p(μ-k<X<μ+k)=p=1-α. É dicir, un intervalo no que estea o (1-α).100% dos individuos da poboación.

Se X é N(μ,σ) entón Z=(X-μ)/σ é N(0,1).Calculariamos o intervalo característico para Z correspondente a p=1-α que sería (-zα/2 , zα/2 ) .Polo tanto:

p(-zα/2 <Z< zα/2 )=p (-zα/2 < (X-μ)/σ < zα/2 )=p=1-α



Multiplicando toda a desigualdade pola desviación típica σ e sumando a toda a desigualdade a esperanza ou media μ temos:

p(μ- zα/2 ·σ < X < μ+ zα/2 ·σ )=p=1-α

O intervalo característico será : (μ- zα/2 ·σ , μ+ zα/2 ·σ )

Exemplo:Calcula o intervalo característico para unha distribución N(3,2) correspondente a unha probabilidade p=1-α=0.9.

Calculariamos o valor crítico para a N(0,1) correspondente a unha probabilidade 0.9 . zα/2 =1.645O intervalo característico sería (3-1.645·2, 3+1.645·2) = (-0.29 , 6.29)



O método pivotal para o cálculo de intervalos de confianzaFixado un nivel de confianza p=1-α (0 < p < 1), o procedemento xeral para a construción dun intervalo de confianza ao nivel p=1-α para un parámetro de interese λ desenvólvese de acordo co seguinte mecanismo:

1 Elección do estatístico pivotal:Elíxese un estatístico que dependa só do parámetro que se desexa estimar e cuxa distribución sexa coñecida T.

2 Formulación do enunciado probabilístico: Preséntase un enunciado probabilístico tendo en conta a distribución de probabilidade do estatístico elixido na etapa anterior e o valor p=1-α fixado como nivel de confianza, é dicir, determínanse constantes a e b tales que:

P (a < T < b) = p=1-αou dito doutro xeito, calcúlase un intervalo característico de T para unha probabilidade p.



3 Transformación do enunciado probabilístico:

Se é posible despexar da expresión anterior, transfórmase o enunciado probabilístico noutros equivalentes, mediante operacións aritméticas, ata chegar a unha expresión na que o parámetro de interese figure só no centro da desigualdade. Dependendo das operacións aritméticas a realizar podemos obter:

P (T-1(a)< λ < T-1(b))= p=1-α P (T-1(b)< λ < T-1(a))= p=1-α

Calculando o valor do estimador T nun caso concreto e sustituíndo este dato no intervalo probabilístico construído anteriormente obtense o intervalo de confianza para λ con un nivel de confianza p=1-α.


6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza

Método pivotal aplicado ao cálculo dun intervalo de confianza para a media dunha poboación normal con varianza coñecida

Caso xeral.X variable aleatoria que segue unha N(μ,σ), μ descoñecida.Para estimar μ tomamos unha mostra de tamaño n, n≥30 e calculamos a media mostral Como calcular un intervalo de confianza para μ ó p·100%= (1-α)·100%?



α.-1p adeprobabilid esta para z crítico valor o calculamos isto Para

α.-1p adeprobabilid unha para N(0,1) normal da ticocaracterís intervalo o Calculamos

α1p

nσ

μc

nσ

μX

nσ

μcp

1).normalN(0, unha a pasar para sTipificamo

α1p)cXp(c

α.-1p

adeprobabilid con óndistribuci nesta ticocaracterís intervalo un calcular Intentemos

. 30n é mostras das tamaño o se ou normal é X partida

poboación a se n

σμ,N óndistribuci unha segue n tamaño de mostra

dunha mostral mediaX que límite do central teorema polo Sabemos

2α

21

21

:ticoprobabilís enunciado do nFormulació 2

:pivotal oestatístic do Elección 1



n

σzx,

n

σzx

:será μ para 100%α-1100%p ao confianza de intervalo o

que temos e mostra da obtido concreto valor polo X osSubstituím

α1pn

σzXμ

n

σzXp

:a chegamos , 1 por rmultiplica e

X restarμ, restar:dedesigualda na operacións seguintes as facendo E

α1pμn

σzXμ

n

σzp α1pcXcp

tanto polo e

μn

σzc e μ

n

σzc

z

nσ

μc e z

nσ

μc

entón Temos

2α

2α

2α

2α

2α

2α21

2α2

2α1

2α

2

2α

1

:ticoprobabilís enunciado do ación Transform3



Conclusión:Deséxase estimar a media, μ, dunha poboación con desviación típica, σ, coñecida.Para isto recórrese a unha mostra de tamaño n na que se obtén unha media mostral,Se a poboación de partida é normal ou se o tamaño da mostra é n≥30, entón o intervalo de confianza de μ cun nivel de confianza de p·100%= (1-α)·100% é:

sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α

.x

n

σzx,

n

σzx

2α

2α



Vexamos o feito nun exemplo concreto:

Os estudantes de bacharelato de Galicia dormen un número de horas diarias que se distribúe segundo unha lei normal de media μ descoñecida e de desviación típica 3. A partir dunha mostra de tamaño 30 obtívose unha media mostral igual a 7 horas.

Obtén un intervalo de confianza ao 90% para a media de horas de sono, μ.



Partimos da seguinte situación:Poboación: Alumnos de bacharelato de Galicia.Variable aleatoria:X=nº de horas diarias de sono dun alumno de bacharelato de Galicia, que segue unha distribución normal de media μ descoñecida e desviación típica 3; N(μ,3).

Desexamos estimar a media poboacional μ para o que tomamos unha mostra de tamaño 30 e calculamos o estatístico media mostral, que sabemos é un estimador non esguellado da media poboacional, obtendo =7.

Pero non desexamos facer unha estimación puntual senón dar un intervalo de confianza ao 90% para a media poboacional μ.

x



Empregaremos o método pivotal

Polo Teorema Central do Límite:Como X segue unha distribución normal N(μ,3), a variable aleatoria que a cada unha desas mostras asígnalle a súa media mostral

mi-------›segue unha distribución normal de media μ e desviación típica 3/√30=0,55. N(μ,0´55).

Primeiro trataremos de atopar un intervalo carácterístico (c1,c2) desta distribución normal N(μ,0,55) tal que

p(c1< <c2)=0.9.

X

ix

X



Para poder atopar dito intervalo temos que tipificar para poder traballar ca N(0,1) que é a única tabulada. Se segue unha distribución N(μ,0.55), a variable aleatoria Z=( -μ)/0.55 segue unha distribución N(0,1):

0.90.55

μc0.55

μX0.55

μcp 21

XX



f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^-(x^2/2)

Relleno 2

Relleno 3

Relleno 4

x(t)=-1.65 , y(t)=t

x(t)=1.65 , y(t)=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

-k k

p(-k<z<k)=p=1-α=0,9

p(z>k)=(1-p)/2=α/2=0.05p(z<-k)=(1-p)/2=α/2=0.05

p(z≤k)=p+(1-p)/2=1-α+α/2=0.95

Lembremos como se calcula un intervalo característico da N(0,1) para unha probabilidade p=1-α=0.9.Trátase de atopar un intervalo de forma (-k,k) tal que p(-k<z<k)=p==1-α=0.9



Empregamos as táboas da N(0,1) para calcular o valor de k tamén nomeado como zα/2 tal que p(Z≤k)=p(Z< zα/2 )=0.95.

Atopamos que é un valor intermedio entre 1.64 e 1.65 polo que tomamos 1.645.

K= zα/2=1.645 chámase valor crítico correspondente á probabilidade p=1-α=0.9.

Polo tanto o intervalo característico sería :

(-1.645,1.645)



consigo? o Como

μ". estimar para intervalo un interésame" min a pero

0.90.55)1.645μX0.551.645p(μ

0.9)cXp(c

:comoE

μ0.551.645c1.6450.55

μc

μ0.551.645c1.6450.55

μc

0.90.55

μc0.55

μX0.55

μcp

orixinal problema ao Volvendo

21

22

11

21



90%. do confianza de nivel cun

:que concluír Poderiamos

0.97.90475)μp(6.09525

0.90.55)1.6457μ0.551.645-p(7

:obtendo

ossubstituím7 x mostral media da resultado cun mostra unha temos Como

0.90.55)1.645Xμ0.551.645-Xp(

0.9)X0.551.645μX0.55p(1.645

:1- por dedesigualda a ndoMultiplica

0.9)X-0.551.645-μX-0.55p(-1.645

:dedesigualda á X Restando

0.90.55)1.645μ-X0.55p(-1.645

:dedesigualda á μ Restando

7.90475)(6.09525, intervalo no está Galicia de obacharelat de

estudantes dos sono de horas de medio nº O



Outra maneira de enfocalo:X variable aleatoria que segue unha N(μ,σ), μ descoñecida.Para estimar μ tomamos unha mostra de tamaño n, n≥30 e calculamos a media mostral Como calcular un intervalo de confianza para μ ao p·100%=(1-α)·100%?.

100%.α)(1

100%p ó μ para confianza de intervalo o econsidéras intervalo Dito

n

σzx,

n

σzx

:sería intervalo Dito

α.1p adeprobabilid unha a entecorrespond

óndistribuci esta para ticocaracterís intervalo un entón, ,Calculamos

)n

σ,xN( normal óndistribuci unha segue X Entón

μ. de puntual estimación unha como x en Pensemos

2α

2α



Exemplo 2:Co fin de investigar o cociente de intelixencia medio dunha poboación estudiantil , pasouse unha proba a 200 estudantes. A media mostral foi de 64 puntos. Por outra banda, sábese por estudos anteriores que o cociente intelectual na poboación distribúese normalmente cunha desviación típica poboacional de 9.3 puntos.Acha un intervalo de confianza para a media poboacional do cociente deintelixencia ao nivel de confianza do 92%.



0.92)cXp(c

0.92 adeprobabilid

con óndistribuci esta para ticocaracterís intervalo un Calculemos

0.66) N(64,)200

9.3 N(64, óndistribuci unha segue

200 tamaño de mostra dunha mediaX

iaconsecuenc como E

9.3) N(64, óndistribuci unha segue X

μ de puntual estimación como x Tomamos

μ,9.3N normal óndistribuci unha segue

estudante dun lintelectua cocienteX

SOLUCIÓN

21



65.2 62.8, é buscado confianza de intervalo O

65.20.661.7564c

62.80.661.7564c

1.750.66

64c e 1.75

0.6664c

:tanto Polo

z obtendo táboa na Buscamos

0.96)zp(Z

:tanto polo 0.04; cola"" cada ene,0.08,α

hai fóra 0.92, adeprobabilid unha hai

ticocaracterís intervalo do dentro Se

0.92α1p para z crítico valor o Buscamos

N(0,1) cunha straballamo E

0.920.66

64c0.66

64X0.66

64cp

sTipificamo

2

1

21

2α

2α

2α

21

75.1



Tamén o podes resolver simplemente empregando a fórmula, unha vez sabes de onde se obtén.

Exemplo 3:Un nadador obtén os seguintes tempos, en minutos, en 10 probas cronometradas polo seu adestrador:

Obter un intervalo de confianza para a marca media desta proba cun 95% de confianza, supoñendo que se coñece por outras probas que ditas marcas deste nadador seguen unhadistribución normal con desviación típica de0.3 minutos.

41.48 42.34 41.95 41.86 41.60 42.04 41.81 42.18 41.72 42.26



Solución:Neste caso pídese un intervalo de confianza para a marca media desta proba para dito nadador (μ) sabendo que as súas marcas seguen unha normal con desviación típica σ=0.3 minutos.A mostra coa que contamos é de tamaño n=10. O intervalo de confianza será:

sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α=0.95

n

σzx,

n

σzx

2α

2α



Calculamos zα/2 , o valor crítico para unha distribución N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α = 0.95

Fóra do intervalo característico queda α=0.05 e en cada cola α/2=0.025.

Polo tanto p(Z≤ zα/2)=0.975

E zα/2=1.96



42.11 41.738,10

0.31.9641.924 ,

10

0.31.9641.924

n

σzx ,

n

σzx

:quedaría 95% ao confianza de intervalo o e

41.92410

419.2410

42.2641.7242.1841.8142.0441.6041.8641.9542.3441.48x

x Calculamos

2α

2α



Na seguinte páxina de internet tes unha aplicación onde se calculan este tipo de intervalos de confianza. http://www.catedu.es/matematicas_blecua/bacmat/temario/bac2/mas2_estima1.htm


7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza

Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que “non” se coñece a varianza.

Hai que ter en conta:Na maioría das ocasións nas que se realiza unha investigación estatística a varianza poboacional σ é un parámetro tan descoñecido como a media poboacional µ

A cuasivarianza mostralé un bo estimador de σ2 .Estimaremos a desviación típica poboacional mediante ŝ=√ŝ2.

1n

fxxs

1nn

s ii

2

i22



Distinguiremos dous casos:Se a mostra é pequena n < 30Se a mostra é grande n ≥ 30



Se a mostra é pequena n < 30:

Empregando o método do pivote

1 Elección do estatístico pivotal:

Fariamos unha estimación puntual da varianza poboacional mediante a cuasivarianza mostral.Pero a distribución correspondente a non é unha N(μ,ŝ/√n) polo que ao tipificala non obtemos unha N(0,1).

Gosset estudou esta variable aleatoria como estimador para calcular intervalos de confianza para a media poboacional µ dunha poboación normal con σ2 descoñecida :

E segue unha distribución chamada t de student con n-1 graos de liberdade.

ns

μXt 1n ˆ

X



A distribución t de Student con n-1 graos de liberdade ten unha función de densidade cunha forma “parecida” a unha N(0,1) sendo centrada no 0 e tendo simetría par.Esta distribución está

tabulada.Calcular un intervalo

característico desta distribución faise de xeito similar a como se fai na N(0,1).



2 Formulación do enunciado probabilístico: Calculariamos o intervalo característico dunha t de student con n-1 graos de liberdade correspondente a unha probabilidade p=1-α. Buscariamos na táboa o valor c tal que:

α1pc

ns

μXcpctcp

:cumpre que liberdade de graos 1-n con

student de t da c)c,( ticocaracterís intervalo un Temos2α

α12

p1pctp

1n

1n

ˆ



3 Transformación do enunciado probabilístico:

n

scX,n

scX

:será 100%α1100%p ao μ para confianza de intervalo O

α1pn

scXμn

scXp

1) por rmultiplica ,X restar ,n

s por ar(multiplic

dedesigualda na operacións Facendo

ˆˆ

ˆˆ

ˆ



Se a mostra é grande n ≥ 30Entón a t de student con n-1 graos de liberdade, tn-

1 , aseméllase cada vez máis a unha N(0,1) . Polo que se traballa directamente coa N(0,1) para obter o intervalo característico con probabilidade p=1-α. A partir de aquí o problema resólvese igual chegando ao intervalo:

n

szx,

n

szx

2α

2α

ˆˆ



Conclusión:Deséxase estimar a media, μ, dunha poboación normal con desviación típica, σ, descoñecida.Para isto recórrese a unha mostra de tamaño n na que se obtén unha media mostral,Primeiro estímase puntualmente a desviación típica empregando ŝ=√ŝ2 sendo ŝ2 a cuasivarianza mostral.

Se o tamaño da mostra é n<30, entón o intervalo de confianza de μ cun nivel de confianza de p·100%= (1-α)·100% é:

sendo c o valor crítico nunha t de student con n-1 graos de liberdade correspondente a unha probabilidade p=1-α

.x

n

scx,

n

scx

ˆˆ



Se o tamaño da mostra é n≥30, entón o intervalo de confianza de μ cun nivel de confianza de p·100% = (1-α)·100% é:


n

szx,

n

szx

2α

2α

ˆˆ



Exemplo1: Nunha multinacional de servicios modifícase a aplicación informática de xestión. Os tempos (en horas) que tardaron 15 traballadores elixidos ao azar en adaptarse ao novo sistema foron os seguintes:3.3, 2.9, 4.3, 2.6, 3.2, 4.1, 4.9, 2.8, 5.5, 5.3, 3.6, 3, 3.5, 2.9, 4.7Determina un intervalo de confianza ao 95% para o tempo medio de adaptación de todos os empregados da empresa.



Solución:Neste caso pídese un intervalo de confianza para o tempo medio de adaptación de todos os empregados(μ) sendo a desviación típica σ descoñecida, que estimaremos puntualmente por ŝ.A mostra coa que contamos é de tamaño n=15<30; polo tanto, o intervalo de confianza será:

sendo c o valor crítico para unha distribución t de student con n-1=14 graos de liberdade correspondente a unha probabilidade p=1-α=0.95

15

scx,

15

scx

n

scx,

n

scx

ˆˆˆˆ



horas 0.960.92s

0.9214

12.9295s

1n

fxxs

1nn

s

:s Calculamos

horas3.77 15

56.615

4.7...2.93.3x

:x Calculamos

2

ii

2

i22

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

xi

3.3 0.22092.9 0.75694.3 0.28092.6 1.36893.2 0.32494.1 0.10894.9 1.27692.8 0.94095.5 2.99295.3 2.34093.6 0.02893 0.59293.5 0.07292.9 0.75694.7 0.8649

12.9295

2i )x(x



Calculamos c, o valor crítico para unha distribución t de student con n-1=14 graos de liberdade correspondente a unha probabilidade p=1-α = 0.95

Buscamos os graos de liberdade en vertical (14) e a probabilidade p en horizontal 0.95.

C=1.761



O intervalo de confianza será:

O tempo medio de adaptaciónestá entre 3.33 horas e 4.21 horascun nivel de confianza dun 95%

4.21 3.33,15

0.961.7613.77 ,

15

0.961.7613.77

15

scx,

15

scx

n

scx,

n

scx

ˆˆˆˆ



Exemplo 2:Para analizar o peso duns botes de conserva, tómase unha mostra de tamaño 32. Os pesos en quilogramos obtidos son:

Calcula o intervalo de confianza ao 95% para o peso medio dos botes.

0.97 0.99 1.01 0.98 0.99 1.00 0.98 0.98

1.00 1.02 0.97 0.97 0.99 0.99 0.99 0.96

0.98 1.00 0.99 1.01 1.00 1.00 0.98 0.99

0.99 0.98 0.97 0.97 1.01 0.96 1.03 0.92





Solución:Neste caso pídese un intervalo de confianza para o peso medio en quilogramos duns botes de conserva(μ) sendo a desviación típica σ descoñecida, que estimaremos puntualmente por ŝ.A mostra coa que contamos é de tamaño n=32>30; polo tanto, o intervalo de confianza será:


n

szx,

n

szx

2α

2α

ˆˆ



Kg 0.2060.00042s

0.0004231

0.013128s

1n

fxxs

1nn

s

:s Calculamos

Kg0.987 32

31.57N

fxx

:x Calculamos

2

ii

2

i22

iii

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

xi fi xi ·fi

0.92 1 0.92 0.004489 0.004489

0.96 2 1.92 0.000729 0.001458

0.97 5 4.85 0.000289 0.001445

0.98 6 5.88 0.000049 0.000294

0.99 8 7.92 0.000009 0.000072

1 5 5 0.000169 0.000845

1.01 3 3.03 0.000529 0.001587

1.02 1 1.02 0.001089 0.001089

1.03 1 1.03 0.001849 0.001849

32

31.57 0.013128

if·2i )x(x 2

i )x(x






E zα/2=1.96



O intervalo de confianza será:

O peso medio dos botes de conserva está entre0.916 Kg e 1.058 Kg cun nivel de confianza do 95%

80.916,1.0532

0.2061.96,0.987

32

0.2061.960.987

n

szx,

n

szx

2α

2α

ˆˆ


8. Intervalo de confianza para a proporción8. Intervalo de confianza para a proporción

Intervalo de confianza para a proporción.Desexamos atopar un intervalo de confianza cun nivel de confianza do p’·100%=(1-α)·100% para a proporción p poboacional de certa característica C.



O método pivotal 1 Elección do estatístico pivotal:

Para iso recórrese a unha mostra de tamaño n, na que se obtén unha proporción mostral pr.Se x é o número de éxitos nas n probas, entón o estimador é:

Pr=X/nX=nº de éxitos, en principio, corresponde a unha distribución binomial B(n,p) p=probabilidade de éxito , μ=np e σ=√npq.

Pero se np>5 e nq>5 dita binomial aproxímase por unha normal N(np,√npq) .

E neste caso Pr=x/n segue unha distribución normal N(np/n, √npq/n)=N(p,√(pq/n))=N(p,√(p(1-p)/n)



2 Formulación do enunciado probabilístico:Trataremos de atopar un intervalo característico do estimador que conteña unha probabilidade p’=1-α e p(c1<Pr<c2)=p’=1-α, Tipificamos a normal, para traballar cunha N(0,1)

α1p'

np-1p

zpPrn

p-1pzpp)cPrp(c

np-1p

zpc e n

p-1pzpc

z

np-1p

pc e z

np-1p

pc

2α

α1)zp(Z

α1p'

np-1p

pc

np-1p

pPr

np-1p

pcp

α/2α/221

α/22α/21

α/22

α/21

α/2

21

:tanto Polo

:Entón

α1p' para crítico valor o N(0,1) da táboa na Buscamos



3 Transformación do enunciado probabilístico:Facendo as operacións seguintes na desigualdade conseguimos que p quede no medio:

npr-1pr

zpr,n

pr-1prz-pr

:100%α1100%p' dun confianza de nivel ao confianza de intervalo como obtemos

coñecido é non quep, que mesmo o mostra, da obtido concreto valor polo Pr oSustituind

α1p'n

p-1pzPrp

np-1p

z-Prp

α1p'Prn

p-1pzpPr

np-1p

zp

:1 por rMultiplica

α1p'Prn

p-1pz-pPr

np-1p

zp

:Pr Restar

α1p'n

p-1pzp-Pr

np-1p

zp

:p Restar

α/2α/2

α/2α/2

α/2α/2

α/2α/2

α/2α/2



Conclusión:Deséxase estimar a proporción p , de individuos cunha certa característica que hai nunha poboación. Para iso recórrese a unha mostra de tamaño n, na que se obtén unha proporción mostral pr.O intervalo de confianza de p cun nivel de confianza p’·100%=(1-α)·100% é:

sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p’=1-α

npr-1pr

zpr,n

pr-1prz-pr α/2α/2



Exemplo:

Para estudar a proporción de estudantes que practicaban football, tómase unha mostra de tamaño 300. O resultado obtido é que o practican 210. Calcula o intervalo de confianza para a proporción p cun nivel de confianza do 98%.



Queremos estimar a proporción de estudantes que practican football, polo que tomamos unha mostra de tamaño n=300, obtendo unha proporción mostral pr=210/300=0.7 (70%).Sabemos que o intervalo de confianza para unha proporción p cun nivel de confianza do 98% é:

sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade 0.98

npr-1pr

zpr,n

pr-1prz-pr α/2α/2



Calculamos zα/2 , o valor crítico para unha distribución N(0,1) correspondente a unha probabilidade p’=1-α = 0.98

Fóra do intervalo característico queda α=0.02 e en cada cola α/2=0.01


zα/2 está entre 2.32 e 2.33, tomaremos 2.325



O intervalo de confianza para a proporción de estudantes que xogan ao fútbol cun nivel de confianza dun 98% será:

O intervalo está entre un 64% e un 76%

0.76 0.64,

3000.710.7

2.3250.7 ,300

0.710.72.3250.7

npr-1pr

zpr ,n

pr-1prz-pr α/2α/2


9. Intervalo de confianza para a diferenza de 9. Intervalo de confianza para a diferenza de medias medias

Intervalo de confianza para a diferenza de medias.Desexamos atopar un intervalo de confianza cun nivel de confianza do p·100% = (1-α)·100% para a diferenza de medias μ1-μ2 de dúas poboacións sendo as desviacións típicas de ditas poboacións coñecidas σ1 e σ2. O método pivotal 1 Elección do estatístico pivotal:

Para iso recórrese a dúas mostras de tamaños n1 e n2, nas que se obteñen dúas medias mostrais e .Empregaremos como estimador :

A distribución desta variable viuse que correspondía a unha normal N(μ1-μ2, √(σ1

2/ n1 + σ22/ n2 )) se as poboacións iniciais

eran normais ou se o tamaño das mostras é maior de 30

21 XX

1x 2x


9. Intervalo de confianza para a diferenza de 9. Intervalo de confianza para a diferenza de mediasmedias

2 Formulación do enunciado probabilístico:Trataremos de atopar un intervalo característico do estimador que conteña unha probabilidade p=1-α

α1pnσ

nσ

zμμXXnσ

nσ

zμμp)cXXp(c

nσ

nσ

zμμc e nσ

nσ

zμμc

z

nσ

nσ

μμc e z

nσ

nσ

μμc

2α

α1)zp(Z

α1p'

nσ

nσ

μμc

nσ

nσ

μμ)XX(

nσ

nσ

μμcp

N(0,1) coa traballar para sTipificamo

α1pcXXcp

2

22

1

21

α/221212

22

1

21

α/2212211

2

22

1

21

α/22122

22

1

21

α/2211

α/2

2

22

1

21

212α/2

2

22

1

21

211

α/2

2

22

1

21

212

2

22

1

21

2121

2

22

1

21

211

2211

:tanto Polo

:Entón

α;1p para crítico valor o N(0,1) da táboa na Buscamos



3 Transformación do enunciado probabilístico

2

22

1

21

α/2212

22

1

21

α/221

21

2

22

1

21

α/221212

22

1

21

α/221

212

22

1

21

α/221212

22

1

21

α/2

212

22

1

21

α/221212

22

1

21

α/2

21

2

22

1

21

α/221212

22

1

21

α/2

21

21

nσ

nσ

z)xx( ,nσ

nσ

z)xx(

:100%α1100%p dun confianza de nivel ao confianza de intervalo como obtemos

mostra, da obtido concreto valor polo XX doSubstituín

α1pnσ

nσ

z)XX(μμnσ

nσ

z)XX(p

α1p)XX(nσ

nσ

zμ(μ)XX(nσ

nσ

zp

:1 por rMultiplica

α1p)XX(nσ

nσ

z)μ(μ)XX(nσ

nσ

zp

: XX Restar

α1pnσ

nσ

z)μ(μ)XX(nσ

nσ

zp

:μμ Restar

medio no quedeμμ que sconseguimo dedesigualda na operacións Facendo



Conclusión:Deséxase estimar a diferenza de medias μ1-μ2 de dúas poboacións con desviacións típicas, σ1 e σ2, , coñecidas .Para isto recórrese a dúas mostras de tamaños n1 e n2 nas que se obteñen dúas medias mostrais.

Entón, o intervalo de confianza de μ1-μ2 cun nivel de confianza de p·100%= (1-α)·100% é:


Se as desviacións típicas, σ1 e σ2, , non fosen coñecidas, pero o tamaño das dúas mostras fose maior de 30 tomariamos no lugar das varianzas poboacionais, as cuasivarianzas mostrais, ŝ1 e ŝ2 .

2

22

1

21

α/2212

22

1

21

α/221 nσ

nσ

z)xx( ,nσ

nσ

z)xx(



Exemplo:O tempo en minutos que tardan en reparar certo tipo de avaría nun taller A segue unha distribución normal con desviación típica de 25 minutos; mentres nun taller B a desviación típica é de 30 minutos. Nunha mostra de 10 reparacións dese tipo de avaría no taller A o tempo medio foi de 80 minutos, mentres que nunha mostra de 15 reparacións en B a media foi de 75 minutos.

Calcula o intervalo de confianza para a diferenza de tempos medios, cun nivel de significación α do 1%.



Solución:Neste caso pídese un intervalo de confianza para a diferenza de tempos medios de reparación dun tipo de avaría entre dous talleres A e B (μ1-μ2 ) sabendo que o tempo de reparación deste tipo de avaría segue nos dous talleres unha distribución normal con desviacións típicas σ1=25 minutos e σ2=30 minutos respectivamente.As mostra coas que contamos son de tamaños n1=10 e n2=15; obténdose nelas tempos medios mostrais de 80 minutos e 75 minutos respectivamente.Polo tanto, o intervalo de confianza será:

sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α=1-0.1=0.99

2

22

1

21

α/2212

22

1

21

α/221 nσ

nσ

z)xx( ,nσ

nσ

z)xx(


9. Intervalo de confianza para a diferenza 9. Intervalo de confianza para a diferenza de mediasde medias


Fóra do intervalo característico queda α=0.01 e en cada cola α/2=0.005


zα/2 está entre 2.57 e 2.58, tomaremos 2.575



33.5 23.5,

15

30

10

252.57575)(80,

15

30

10

252.57575)(80

nσ

nσ

z)xx( ,nσ

nσ

z)xx(

:quedaría medias de diferenza a para confianza de intervalo O

2222

2

22

1

21

α/2212

22

1

21

α/221


10. Intervalo de confianza para a varianza10. Intervalo de confianza para a varianza

Intervalo de confianza para a varianza dunha distribución normal .Desexamos atopar un intervalo de confianza cun nivel de confianza do p·100%=(1-α)·100% para a varianza σ2 dunha poboación normal. O método pivotal 1 Elección do estatístico pivotal:

Para iso recórrese a unha mostra de tamaño n, na que se obtén a cuasivarianza mostral ŝ .Empregaremos como estimador

Polo Teorema de Fisher sabemos que dita variable aleatoria segue unha distribución chi-cadrado con n-1 graos de liberdade No seguinte enlace podes observar a forma que ten a función de densidade de dita distribución.

2

2

σS1n ˆ



2 Formulación do enunciado probabilístico:Trataremos de atopar un intervalo do estimador que conteña unha probabilidade p=1-α e que deixe a cada lado (dúas colas) unha probabilidade (1-p)/2=α/2

mente.respectiva

2α

12

p1p e

2α

2p1

de

adesprobabilid esquerda súa á deixan que 2

c e 1

c

valores os liberdade de graos 1-n con cadrado-chi da táboa na Buscamos

α-1pcσ

S1ncp 22

2

1

ˆ



3 Transformación do enunciado probabilísticoFacendo as operacións seguintes na desigualdade conseguimos que σ2 quede no medio:

1

2

2

2

2

1

22

2

2

2

22

1

2

22

2212

22

21

22

2

1

cS1)-(n

,c

S1)-(n

:100%α1100%p dun confianza de nivel ao confianza de intervalo como obtemos

mostra, da obtido concreto valor polo S doSubstituín

α1pc

S1)-(nσ

cS1)-(n

p ; α1pc

S1)-(nσ

cS1)-(n

p

:volta a dan desdesigualda as fraccións as inverter Ao

α1pS1)-(n

cσ1

S1)-(n

cp : S por Dividir

α1p1-n

cσS

1-nc

p :1-n por Dividir

α-1pcσ

S1ncp

ˆˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆ

ˆ



Conclusión:Deséxase estimar a varianza σ2 dunha poboación normal.Para isto recórrese a unha mostra de tamaño n na que se obtén a cuasivarianza mostral ŝ2.

Entón, o intervalo de confianza de σ2 cun nivel de confianza de p·100%= (1-α)·100% é:

sendo c1 e c2 os valores que deixan á esquerda probabilidades

respectivamente nunha distribución chi-

cadrado con n-1 graos de liberdade.

1

2

2

2

cS1)-(n

,c

S1)-(n ˆˆ

2α

α12p1

p e 2α

2p1



Exemplo:Un fabricante de baterías de coche asegura que duran catro anos cunha desviación típica de 1 ano. Tense unha mostra de cinco baterías que duraron 3, 5, 5.8, 6.4, e 8 anos respectivamente. Determínese un intervalo de confianza ao 99% para a varianza poboacional σ2 e indíquese se é valida a afirmación do fabricante.



Solución:A variable “duración dunha batería de coche de dita marca” segue unha distribución normal N(4,1) segundo o fabricante.Tomamos unha mostra de 5 baterías obtendo unha media mostral e unha cuasivarianza mostral de

anos 1.843.39s

3.394

13.5524

2.360.760.160.642.64

45.6485.646.45.645.85.6455.64-3

s

1n

fxxs

1nn

s

anos 5.645

28.25

86.45.853N

fxx

22222

222222

ii

2

i22

iii

ˆ

ˆ

ˆ



O intervalo de confianza para a varianza poboacional a un nivel do 99% (p=1-α=0.99) sería:

Sendo c1 e c2 dous valores que para unha distribución chi-cadrada con n-1 =4 graos de liberdade deixan á súa esquerda unha probabilidade de 0.005 e 0.995 respectivamente.

1

2

2

2

cS1)-(n

,c

S1)-(n ˆˆ



Calculamos na táboa da chi-cadrada de Pearson ditos valores.

Obtendo c1=0.207 e c2=14.9

O intervalo de confianza para a varianza poboacional ao 99% obtido sería:

65.5 0.91,

0.2073.394

,14.93.394

cS1)-(n

,c

S1)-(n

1

2

2

2

ˆˆ



Polo tanto, o intervalo de confianza para a desviación típica poboacional obteríase calculando as raíces cadradas dos extremos deste; obtendo que a desviación típica da duración das baterías estaría entre 0.95 e 8.09 anos cun nivel de confianza do 99%:

(0.95, 8.09)Tendo en conta que 1 está no intervalo, a afirmación de que a desviación típica da duración das baterias é 1 ano pode darse por válida.


X

ns

μXt 1n ˆ

Caso estimador Distribución na mostraxe Intervalo de confianza

Intervalo de confianza para a media μ dunha poboación normal con varianza σ2 coñecida

N(μ,σ/√n)

Intervalo de confianza para a media

dunha

Si n<30 t de student con n-1 graos

de liberdade

poboación normal da que “non” se

coñece a varianza.

Si n≥30 Se aproxima a unha

N(0,1)

Intervalo de confianza para a proporción

Pr=X/n N(p,√(p(1-p)/n))

Intervalo de confianza para a diferenza de medias

N(μ1-μ2, √(σ12/ n1 + σ2

2/ n2 ))

Intervalo de confianza para a varianza

Chi-cuadrada con n-1 graos de liberdade

n

szx,

n

szx

n

scx,

n

scx

n

σzx,

n

σzx

2α

2α

2α

2α

ˆˆ

ˆˆ

1c

2S1)-(n,2

c2S1)-(n

2

22

1

21

α/2212

22

1

21

α/221 nσ

nσ

z)xx( ,nσ

nσ

z)xx(

npr-1pr

α/2zpr,

npr-1pr

α/2z-pr

ˆˆ

2

2

21

σS1n

XX

ˆ

ns

μXt

X

1n ˆ


11. Erro máximo admisible11. Erro máximo admisible

Erro máximo admisible:O erro máximo admisible nunha estimación, empregando un intervalo de confianza con un nivel de confianza p=1-α, é o radio de dito intervalo de confianza.O erro depende do tamaño da mostra n e do nivel de confianza p=1-α.Canto maior é a mostra, menor é o erro

cometido.Canto maior é o nivel de confianza, maior

é zα/2 ou similar e, polo tanto, tamén o erro.


11. Erro máximo admisible11. Erro máximo admisible

Caso Erro máximo admisible


Intervalo de confianza para a media dunha

Si n<30

poboación normal da que “non” se coñece a varianza.

Si n≥30


Intervalo de confianza para a diferenza de medias

n

σz

2α

n

sc

ˆ

n

sz

2α

ˆ

n

pr-1przα/2

2

22

1

21

α/2 nσ

nσ

z


12. Tamaño da mostra para a estimación da 12. Tamaño da mostra para a estimación da media e da proporciónmedia e da proporción

Tamaño da mostra :

Nalgúns casos, podemos fixar o erro máximo admisible e o nivel de confianza p=1-α para o noso intervalo de confianza, e calcular a partir deles o tamaño mínimo de mostra que necesitamos para que se cumpran ditas condicións despexando n na fórmula do erro máximo admisible.



Caso Erro máximo admisible

Tamaño da mostra



n

σzE

2α

n

pr-1przE α/2

2

2α

2α

E

σzn

E

σzn

2

2

2α

2α

E

pr1przn

E

pr1przn



Exemplo 1:Tomouse unha mostra aleatoria de 100 individuos aos que se lles preguntou pola cantidade de cartos que tiñan na súa carteira, obténdose unha media mostral de 110€. Sábese que a desviación típica da poboación é de 20 €.

a) Obtén o intervalo de confianza ao 90 % para a cantidade media de cartos que leva na carteira a poboación.

b) Cal é o erro máximo cometido na estimación anterior?

c) Se desexamos que o erro cometido, co mesmo nivel de confianza, sexa a décima parte do erro calculado no apartado anterior, cal debe de ser o tamaño da mostra?.





Solución apartado a):Neste caso pídese un intervalo de confianza para a cantidade media de cartos que leva na carteira un individuo dunha poboación (μ) sabendo que dita cantidade ten unha desviación típica σ=20€.A mostra coa que contamos é de tamaño n=100. O intervalo de confianza será:


n

σzx,

n

σzx

2α

2α





Polo tanto, p(Z≤ zα/2)=0.95

E zα/2=1.645



persoas. 10000 de mínimo como ser debe mostra A

100000.329

201.645E

σzn

0.32910

3.29 de sexa máximo erro o que Desexamos

3) apartado ao Solución

3.29n

σzE

2) apartado ao Solución

.29106.71,1133.29110 3.29,-110100

201.645110 ,

100

201.645110

n

σzx ,

n

σzx

:quedaría 90% ao confianza de intervalo o

110€x Como

22

2α

2α

2α

2α



Exemplo 2:Deséxase facer unha enquisa nos fogares da Galicia interior co fin de determinar o consumo de sal iodado nunha campaña para a erradicación do bocio. Existe o convencemento, baseado nos resultados de certas investigacións de mercado, de que a porcentaxe de fogares que consomen tal tipo de sal non chega ao 30%. Cun nivel de confianza do 99% e un erro na estimación de 0.05, cal debe ser o tamaño da mostra?





fogares. 560 menos polo de mostra unha tomar que teriamos tanto, Polo

0.99α1p a entecorrespond crítico valor o z sendo

559.13760.05

0.310.32.58E

pr1przn

:é iodado sal consome que poboación da proporción a para

30% do previa estimación a conta en tendo , 99% do confianza de

nivel un e 0.05, de máximo erro un para mostra da mínimo tamaño O

:Solución

2α

2

2

2

2

2α

Technology

10. estimación de parámetros