实验五 用 Mathematica 软件计算一元函数的积分

实验目的:

1. 掌握用Mathematica软件作求不定积分和定积分语句和方法。

2. 熟悉软件在建模中应用

实验准备：

数学概念

1. 不定积分

2. 定积分

实验过程与要求:

教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。

实验的内容:

一、利用 Mathematica 软件包计算不定积分

在Mathematica系统中用Integrate函数求函数的不定积分，基本格式为：

Integrate [f[x],x]其中f[x]是以x为自变量的函数或表达式.

实验 求 dxxxx )9arctan2sin4( 3∫ −+− .

解 In[1]:= Integrate[x^3-4Sin[x]+2ArcTan[x]-9,x]

注意结果中省略了常数C.

实验 求 dxx

xx∫ +

+cos1

sin.

解 In[2]:= Integrate[(x+Sin[x])/(1+Cos[x]),x]

课后实验

用笔算和机算两种方法求下列各积分：

（1） ( )∫ + dxxx 232 （2） ∫ + dxxx 12 2

（3） ∫ −dx

x

x21

arcsin （4） ∫ +

dxx

x21

arctan

（5） ∫ +dxx

x

sin43

cos （6） ∫ +− dx

ee xx

1

（7） ∫ xdxx 22 cossin （8） ∫+dx

e

ex

x 12

二、求定积分和广义积分

在Mathematica系统中定积分的计算也用Integrate函数，基本格式为：

Integrate [f[x],{x,a,b}]其中表{x,a,b}中，x为积分变量，a,b分别代表积分下限和上限，当 b为

∞时，即为广义积分.

实验 求 xdxx cos10

2∫ .

解 In[3]:= Integrate[(x^2)Cos[x],{x,0,1}]

实验 求 dxe x∫+∞ −0

2.

解 In[4]:= Integrate[Exp[-2x],{x,0,+Infinity}]

Out[4]=1

2

如果要得积分值的近似值，可将 N函数作用于上，对于某些已经被证明其

原函数不能用初等函数来表示的积分也可直接用Nintegrate求其数值解.

实验 求 xdxx cos10

2∫ 的近似值.

解 In[5]:= NIntegrate[(x^2)Cos[x],{x,0,1}]

Out[5]=0.239134

实验 求 dxx

x∫10

sin的数值解.

解 In[6]:= NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,1}]

Out[6]=0.946083

实验

三、应用实验

∫∫

∫∫

∫∫

∞+ −−+

++

+−

0

2

1

2

1

1

0 2

2

22

sin.61

.5

ln.41

.3

7sin.2)51

32.1

xdxedxx

x

xdxxdxx

x

xdxdxx

ex

x

e

xx（

求下列各积分：用笔算和机算两种方法

本实验研究转售机器的最佳时间问题

人们使用机器从事生产是为获得更大的利润。通常是把购买的机器使用一段

时间后再转售出去买更好的机器。那么一台机器使用多少时间再转售出去才能获

得最大的利润是使用机器者最想知道的。现有一种机器由于折旧等因素其转售价

格 R(t)服从如下函数关系 96

4

3)(

t

eA

tR−

= （元），这里 t 是时间，单位是周，A 是

机器的最初价格。此外，还知道在任何时间 t,机器开动就能产生 48

4

t

eA

P−

= 的利

润，问该机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？最大利润是多少？

机器卖了多少钱？

1)问题分析

设机器总共使用了 x 周，总收入为 S(x)。因为总收入 S(x)为使用和卖出机器获

得的利润之和。由题意当机器使用了 x 周卖出后，获得的转售利润为96

4

3 x

eA −

，

使用机器创造的利润为 ∫−xt

dteA

0

48

4 ，因此有总收入

∞++= ∫−−

x＜ ＜dteA

ea

xSx

tx

0,44

3)(

0

4896

于是问题变为求函数 S(x)在区间 (0,+∞)最大值问题。对函数 S(x)在求导

044

3

96

1)( 4896 =+−=′

−− xx

eA

eA

xS

求出函数 S(x)在区间(0,+∞)的驻点，然后进行讨论即可。如果 S(x)在 x1取得最

大值，则有总最大利润为 S(x1)，最大利润为 S(x1)-A,机器卖的钱数为96

1

4

3 x

eA −

。

2）实验步骤

In[1]:= s[x_]:=3a/4*Exp[-x/96]+Integrate[a/4*Exp[-t/48],{t,0,x}]

In[2]:= D[s[x],x]

Out[2]= 4896

4128

xx

ea

ea −−

+−

In[3]:= Exp[x/48-x/96]==128/4

Out[3]= E x/96 == 32

In[4]:= x1=96*Log[32]

Out[4]= 96 Log[32]

In[5]:= D[s[x],{x,2}]/.x->x1

Out[5]= -a/393216

In[6]:= x1//N

Out[6]= 332.711

In[7]:= s[x1]//N

Out[7]= 12.0117 a

In[8]:= p=s[x1]-a//N

Out[8]= 11.9883 a

In[9]:= 3a/4*Exp[-x1/96]

Out[9]= 128

3a

由计算结果可知，驻点 x1=96ln32。函数 S″(x1)= -a/393216<0,(因为 a>0),因此 S (x)在 x1取得最大值。在使用时间为 x1=96ln32≈333 周获得最大总利润约

为 12.0117 a，最大利润越为 11.9883 a，机器卖了128

3a元钱。