Física II - notas de aula

Jonathan T. Quartuccio | / – Física II - Notas de aula 1

Jonathan T. Quartuccio | – Física II - Notas de aula 2

Física II Notas de Aula

Jonathan Tejeda Quartuccio

Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 3

Para Stephanie

Agora e pra sempre...


CONTEÚDO

Aula 01 – Gravitação Universal

Aula 02 – Equilíbrio e Elasticidade

Aula 03 – Fluídos

Aula 04 – Osciladores I

Aula 05 – Osciladores II

Aula 06 – Ondas I

Aula 07 – Ondas II

Aula 08 – Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica

Aula 09 – Lei Geral dos Gases

Aula 10 – Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica


AULA 01 – GRAVITAÇÃO UNIVERSAL Corpos em queda próximos a superfície da Terra sentem uma atração dada por:

Onde é a aceleração da gravidade. Esse valor é ligeiramente constante quando próximo da Terra. Mas vamos supor que tenhamos corpos distantes, e que estejam se atraindo (como a Terra e a Lua, por exemplo). Nesse caso, não será mais constante e a força entre eles é dada pela Lei da Gravitação Universal de Isaac Newton:

Onde e são as massas dos corpos, é a distância entre eles e é a constante da gravitação, cujo valor é . Se estivermos na superfície da Terra, teremos?

Nesse caso é a massa da Terra e é seu raio. Vamos supor que exista um objeto muito longe da Terra (tão longe que ). O trabalho para trazer esse objeto para nós é dado por:

Esse valor, nós chamamos de energia potencial gravitacional. Note que . Sabemos que , ou seja, a energia mecânica é a soma da cinética com a potencial. Vamos analisar a energia mecânica com respeito à Terra:


Vamos supor agora que estamos nos afastando da Terra com certa velocidade, e estamos alcançando a distância do “infinito”. Quando chegarmos ao “infinito” nossa velocidade terá de ser zero, pois a energia potencial é zero (se nossa velocidade for diferente de zero, vamos continuar aumentando cada vez mais esse espaço infinito). Então:

Como a energia se conserva:

E assim nós definimos a velocidade de escape de um objeto sujeito a um campo gravitacional:

Se o objeto escapa da atração gravitacional, se o objeto é atraido. Temos agora um satélite em torno da Terra. A massa do satélite é e estamos supondo que . O satélite gira em torno da Terra num movimento circular, então existe uma força resultando apontada para o centro da trajetória. Essa força resultado (a centrípeta) e causada pela força da gravidade. Então:

Nesse caso, é a distância da Terra ao satélite. Isolando a velocidade encontramos:

Que é a velocidade orbital. O período será:


Leis de Kepler

As leis de Kepler são as seguintes: 1) As órbitas descritas pelos planetas são elipses, com o Sol ocupando um de seus focos. 2) Os planetas percorrem áreas iguais em tempos iguais. 3) Existe uma relação entre o quadrado dos períodos dos planetas e o cubo de seus raios

médios (distancias). Essa relação é constante e é dada por:

O valor é chamado de constante de Kepler. Um corpo orbitando outro sente uma força resultante apontada para o centro da trajetória. Essa força, chamada de centrípeta, pode ser escrita como:

Nesse caso, é chamada de aceleração centrípeta. A aceleração centrípeta é calculada como:

Então, a força centrípeta será:

Como estamos trabalhando não com um movimento linear, mas sim circular, podemos escrever e lembrar que , então:

Dessa maneira, a força será dada por:

Vamos multiplicar o numerador e denominador por :

Pela terceira lei de Kepler , então:

E assim, como há dois corpos envolvidos:

Um corpo com velocidade apresenta um momento linear dado por . Vamos voltar para o caso do satélite em torno da Terra. Por mais que o movimento do satélite seja através de um círculo, o mesmo possui uma velocidade tangencial (e nesse caso um momento linear). Seja a distância até a Terra, o momento angular será dado por:


Em qualquer instante, o momento angular permanecerá o mesmo. Então:

Ou seja, nesse caso a gravidade não realiza torque algum. Vamos nos ficar na energia mecânica relacionado com as elipses.

Perigeu (P) é o ponto mais próximo do Sol ( ) enquanto que o apogeu (A) é o ponto mais distante.

Sendo , temos:

E o período será:

Pela terceira Lei de Kepler:

A aceleração da gravidade

Como dissemos anteriormente, a aceleração da gravidade não é constante, ela varia com a altura. Para um corpo na superfície da Terra, a aceleração da gravidade vale:


Agora, o corpo está a uma distância da Terra, de modo que a distância total será . Então, a aceleração da gravidade será:

Como o denominador está aumentando, o valor de tem de diminuir. Portanto, quanto mais distante menor o valor da aceleração da gravidade. De uma maneira geral, numa altura (distância) temos:

A aceleração da gravidade varia com a altitude e também com a aceleração angular de maneira que:

A superposição

Sabemos que corpos com massa atraem outros corpos com massa, com uma força que é inversamente proporcional ao quadrado das distâncias. Temos agora um conjunto de corpos interagindo. Então:

Que pode ser escrito como: Para uma distribuição contínua de massas:

Gravitação no Interior de uma casca Esférica

Um objeto no centro de uma casca uniforme de matéria não sentirá a atração gravitacional. A força exercida sobre o objeto será devida á massa existente somente na parte interna dessa casca, que está a uma distância do centro (a força resultante será nula). Então, a massa interna será:

Onde é a massa específica da esfera. Vamos provar que a força da gravidade diminui à medida que nos aproximamos do centro da Terra. Vamos supor que exista um túnel que nos leve para o centro:


A força da gravidade é dada por:

Vamos escrever em termos da densidade da Terra.

Mas

Logo:

Então:

Ou seja, , então se o raio diminui a força da gravidade também diminui.

A Teoria da Relatividade

Em 1905 Albert Einstein escreveu um artigo mostrando que é desnecessária à existência de algo que os físicos de sua época acreditavam permear o universo: éter. Contudo, era preciso abandonar a ideia de tempo absoluto. O que Einstein escreveu em seu artigo é que as leis da física devem ser as mesmas para qualquer observador, independente de sua velocidade. Para Einstein, todos os observadores devem medir a mesma velocidade da luz, independente se estão se movendo no mesmo sentido ou no sentido contrario a fonte de luz. Para que todos os


observadores possam medir a mesma velocidade da luz, era preciso abandonar o conceito de tempo absoluto. Para analisarmos a questão do tempo, vamos imaginar novamente o trem (que foi visto na parte anterior). Suponha que uma pessoa dentro do trem acenda uma lanterna, enquanto uma pessoa na plataforma observa. Como o trem está em movimento, as duas pessoas medem distâncias diferentes na qual a luz percorreu. Sabemos que a velocidade é a variação de espaço sobre tempo, portanto se a medição da distância for diferente entre os observadores o mesmo acontecerá com o tempo. Dessa forma, cada observador tem sua medida de tempo. Essa publicação de Einstein deu origem ao que chamamos de relatividade restrita. O tempo não passou ser visto como um elemento a parte do espaço, pelo contrario, tempo e espaço estão interligados. Um desfecho da relatividade restrita é que a energia de um corpo é diretamente proporcional a sua massa multiplicada pela velocidade da luz ao quadrado. Isso originou a equação mais conhecida de todos os tempos: E= mc². Se a massa de um corpo aumenta, sua energia também irá aumentar por isso nada poderá percorrer uma velocidade maior que a da luz. Cada vez que um corpo aumenta sua velocidade, ele aumenta sua massa e por essa razão será preciso mais energia para movê-lo. Se o corpo ultrapassar a velocidade da luz, sua massa será estendida ao infinito e o corpo precisará de energia infinita para se mover, mas a energia em todo o universo é finita. E o que isso tem de errado com a física? Até o tempo de Einstein, o universo era tido de acordo com o modelo newtoniano. Mas o que Newton dizia sobre o universo? Embora Newton houvesse descoberto a gravitação e enunciado suas leis em seu famoso livro, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ele desconhecia o fator que causava gravidade. Por outro lado, ele mostrou que, se de repente, o Sol sumisse todos os planetas abandonariam suas órbitas instantaneamente e fugiriam em direção ao espaço. Contudo, essa observação não estava de acordo com a relatividade de Einstein. A relatividade mostra que nada, nem mesmo a gravidade, pode ser mais rápida que a luz. Portanto, se o Sol desaparecer iremos primeiro ficar sem o seu brilho, para depois sentirmos falta de sua influência gravitacional. Einstein, portanto, dedicou-se a encontrar uma teoria que descrevesse a força gravitacional. Por alguns anos, Albert Einstein se dedicou a uma nova teoria, e a construiu. Ele tinha o tempo como parte do universo. Espaço e tempo estavam interligados, num universo de quatro dimensões. E tudo no universo seguia as mesmas leis da natureza. Para explicar a gravidade de Newton, Einstein mostrou que os corpos celestes estão sobre uma espécie de tecido cósmico. Devido ao peso dos corpos, esse tecido cósmico se curva para dentro. Basta imaginar uma folha de borracha. Coloque sobre essa folha de borracha uma esfera de ferro, a folha irá curvar-se devido ao peso da esfera. Se você lançar uma esfera menor de um lado a outro da folha, a mesma irá dar voltas em torno da esfera maior. A esfera maior seria o Sol e a esfera menor os planetas, enquanto a folha de borracha seria o tecido do espaço. Essa ideia ficou conhecida como relatividade geral.

Quanto maior o peso de um corpo, maior a curvatura do espaço a sua volta e consequentemente maior atração gravitacional. Karl Schwarzchild propôs, em 1916, a existência de regiões do espaço de densidade infinita. Schwarzchild mostrou que se a matéria


for concentrada num espaço extremamente pequeno, ela criará uma região onde a gravidade é tão grande que nem mesmo a luz conseguiria escapar. Essa matéria iria criar o chamado buraco negro. Einstein não estava certo se isso poderia ocorrer. Mas a sua preocupação maior no momento era outra. Ele já estava fascinado com o eletromagnetismo de Maxwell, e seu desejo, agora, era juntar a relatividade geral com o eletromagnetismo em uma única teoria, uma teoria que ele escreveria tudo no universo, uma teoria de tudo. Porem havia algumas complicações. Uma delas é que a relatividade não possuía uma explicação para o surgimento do universo. Outra complicação é que a força gravitacional parecia ser bem mais fraca que a força eletromagnética. Quando uma teoria encontra complicações, ela precisa ser mudada. Em seus últimos anos de vida, o criador da relatividade buscou encontrar sua teoria de tudo.


AULA 02 – EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE Para um objeto estar em equilíbrio estático devemos ter:

Tomemos um objeto qualquer onde definimos o centro de massa CM.

Nesse caso, as forças produzem um torque. Ou seja, não há equilíbrio estático. Temos uma rampa (que pode ser uma escada apoiada em uma parede, por exemplo), como na figura a seguir:

No ponto P, temos a escada encostada na parede. E no ponto Q temos a escada encostada no chão. O atrito em P é nulo, assim:

No ponto Q, teremos:

Temos que M é a massa da escada e é o seu comprimento.


O ponto c é o centro de massa da escada e a mesma forma um ângulo com o chão. É fácil notar que (já vimos isso muitas vezes no dia-dia) se o ângulo for muito pequeno a escada vai deslizar. Tentaremos compreender qual o valor do ângulo a fim de que a escada não deslize. As forças que agem sobre a escada são dadas na figura:

No centro de massa temos a força da gravidade agindo sobre a escada. Caso a escada deslize, temos uma força de atrito no sentido oposto. No ponto Q temos uma normal e em P, como não há atrito, temos, também, uma normal. Assim:

O que significa que a normal de P deve ser igual ao atrito. Então:

Como as forças em y devem ser zero:

Temos que:

Não importa o ponto que escolhemos, podemos escolher um ponto na parede, na escada ou em qualquer outro lugar. Por simplicidade, escolhemos o ponto Q, então:

Não queremos que nossa escada deslize. Então, devemos ter:

Assim:


Esses dois valores obtidos nos dão a condição para que nossa escada fique estável. Esses valores nos dizem que quanto maior o menor é o ângulo. Então, se o ângulo é muito pequeno, a escada começa a deslizar. Vamos treinar nossa intuição. Suponha que temos um determinado ângulo, que é o ângulo crítico (ou seja, a escada está na eminência do deslizamento). Agora, vamos supor que alguém comece a subir pela escada, partindo do ponto Q e indo até o ponto P. O que ocorrerá? A escada vai deslizar assim que o sujeito começar a andar por ela? Ou então a escada ficará mais estável? Vamos colocar uma pessoa de massa m na escada. Vamos supor que ela esteja a uma distância d do ponto Q.

Existe uma força agindo sobre a pessoa. Vamos refazer todos nossos cálculos. Então:

Mas agora nós temos um terceiro elemento, que é o vetor posição, dado por d. Assim:

Perceba que a força de atrito está aumentando, pois estamos somando

, que não tínhamos

anteriormente. Se o atrito aumenta, e nossa escada estava no limite de deslizar, então você pode pensar que a mesma começará a deslizar. O atrito máximo também aumentou. Portanto devemos fazer uma comparação. A melhor maneira de fazer essa comparação é adotar d igual à zero. A pessoa começa a subir a escada a partir do ponto Q. Quando d é igual à zero, a força de atrito final é igual à força de atrito inicial. Porém, o atrito máximo altera, pois ele apresenta o termo m (estamos somando ). O valor do atrito máximo é independente da distância. Se o atrito máximo aumenta, mas o atrito permanece o mesmo, então a escada fica mais


estável. Portanto, no ponto Q a escada não irá deslizar, pelo contrário, ela ficará mais firme. Mas a medida que a pessoa começa a subir, nossa força de atrito vai mudando, pois o valor de d vai aumentando. Porém, o atrito máximo permanece sempre o mesmo. Então, chega um momento em que

. Quando isso ocorre, a escada desliza. Portanto, de uma

maneira geral, a escada não deslizará quando:

Esse é o caso quando:

Vamos discutir aqui uma importante aplicação desse conceito de atrito. Iremos ver como é possível sustentar algo pesado por um bom tempo sem fazer muita força. Vamos enrolar uma corda em torno de uma haste, por exemplo, e usaremos o atrito entre elas para sustentar nosso objeto. Vamos passar uma corda por uma haste e em uma ponta da corda colocaremos um peso de massa M e na outra um peso de massa m. As tensões na corda são dadas como mostrado na figura:

Se não houver tração na barra, então T1 será igual ou próximo de T2. Mas se recorrermos ao atrito, então poderemos ter uma situação de equilíbrio estático, de modo que nenhuma bloco irá se mover. Assim, poderemos ter T1 >>> T2. Vamos analisar melhor esse caso. Temos que R é o raio de nossa haste:

Estamos supondo que o puxão em T2 é bem maior que em T1. Então, a corda irá deslizar no seguinte sentido:


Imagine agora que a corda seja dividida em vários pedacinhos. Como a corda está deslizando, cada pedacinho (logicamente) está deslizando junto. Sendo assim, existe um atrito na direção contrária, um atrito em cada pedacinho da corda.

Como existe um atrito, podemos imaginar que essa força auxilia T1 a segurar o peso em T2. Para calcular esse atrito, devemos tomar uma integral de todos os valores dos atritos na corda. Existe um ângulo formado entre os extremos dos pedacinhos da corda. Quando resolvemos nossa integral e nossas derivações encontramos:

Suponhamos que temos uma corda, na qual serão dadas três voltas em torno da haste. Então, temos que . Vamos supor que . Assim, temos que:

Ou seja, a força do lado de T1 é 40 vezes menor que T2, ou seja, podemos aplicar uma força 40 vezes menor que o peso aplica de modo que sustentemos o mesmo. Se dermos seis voltas, nosso valor final será 2.000. Isso significa que se de um lado temos um peso igual a 10.000 kg, do outro lado podemos colocar um peso de 5 kg que manteremos o equilíbrio (na eminência de deslizamento). Agora, digamos que eu queira levantar os 10.000 kg puxando a corda com uma força um pouco maior que 50 N. Seria possível fazer isso? De forma alguma eu conseguirei puxar o peso de 10.000 kg para cima. Se eu tento fazer isso, eu inverto completamente a situação e coloco o atrito a favor dos 10.000 kg. Em outras palavras, T1 se torna T2, o que nos fornecerá:

Desse modo, se eu quero levantar os 10.000 kg dando seis voltas com a corda em torno da haste, eu terei de fazer uma força 2.000 vezes maior que 10.000 kg. Assim, eu precisarei de 20 milhões de quilogramas.


Podemos enrolar a corda em torno de uma haste até chegar um ponto em que o próprio peso da corda segurará o peso do outro lado, sem a necessidade de segurarmos. Temos um objeto qualquer, e vamos fixa-lo (pode ser numa parede) num ponto P. O centro de massa é dado por CM. Então:

Temos que é a força peso agindo sobre o centro de massa e é o vetor posição do ponto P. Dessa maneira, temos que o objeto sofrerá um giro em torno de P. Então:

Onde é a aceleração angular. Sabemos que para ter uma situação de equilíbrio estático, devemos ter:

A natureza resolve esse problema, colocando sempre o centro de massa numa mesma linha vertical que P. Dessa maneira, não importa qual ponto escolhemos. Pode ser um ponto dentro do objeto, ou pode ser um ponto fora do objeto, como P e CM estão na mesma linha, o torque é nulo.

Temos que para um objeto estar em equilíbrio, além do torque, a soma das forças devem ser zero. Perceba que:


Assim, a soma das forças é zero. Pense em um pêndulo, por exemplo:

O pêndulo está em equilíbrio estático. O centro de massa do objeto sempre estará abaixo do ponto de suspensão. Vamos pensar agora num equilibrista em cima de uma corda.

O centro de massa do equilibrista encontra-se próximo de seu peito. Então, existe uma distância do centro de massa até a corda, que vamos adotar sendo de um metro. A massa do equilibrista é cerca de 70 kg. O equilibrista segura duas barras verticais em suas mãos, com um peso de 5 kg na ponta de cada uma.


A massa das barras é desprezível e vamos imaginar que cada barra mede 10 metros de comprimento (contando a partir da corda). Temos que 70 kg estão em cima da corda e 10 kg estão 10 metros abaixo da corda. O centro de massa total do sistema ficará um pouco abaixo da corda. Por essa razão o equilibrista mantém seu equilíbrio.

Elasticidade Temos uma mola:

A mola sofre uma deformação de comprimento , de maneira que é proporcional à força:

Se dobrarmos a força iremos dobrar o comprimento. Se tivermos duas molas é série, a deformação será maior, de forma que:

Agora, vamos tomar duas molas em paralelo:

Agora surgem duas forças de resistência oposta (se fossem três molas, seriam três forças e assim sucessivamente). Nesse caso quanto mais molas tivermos, menor será a deformação. Assim:


Tomando um cilindro, ou pedaço de corda:

Claramente, aumentando a força aumentamos o comprimento do cilindro. Então . Vamos tomar agora dois cilindros em paralelo.

Da mesma maneira que a mola surgem duas forças opostas. Podemos imaginar esses dois cilindros como um único cilindro maior, de área .

Nesse caso:

Então:


Onde é o módulo de Young. é a tensão (stress) e é a deformação (strain). Vamos ver um exemplo:

Para o aço, Nesse caso:

Para o nylon,

Se torna-se muito grande, podemos romper nosso material. Antes de o nosso material arrebentar a força deixa de ser proporcional à deformação. Quando deixamos de aplicar a força, o material não volta ao tamanho original (deformação permanente).

0 0.04 0.08 0.12 0.16Strain

0

300

600

900

1200

Str

ess

(M

Pa)

6Al-4V Titanium Alloy


No limite elástico ocorre a deformação permanente. De uma maneira geral:

Se uma força é aplicada horizontalmente sobre um objeto, temos a chamada tensão de cisalhamento:

Nesse caso:

Onde é chamado módulo de cisalhamento. Enquanto que o módulo de Young está relacionado com o valor da alteração do comprimento do fio, a tensão de cisalhamento relaciona a deformação. Se em um objeto existem forças aplicadas uniformemente em todas as direções, temos a compressão uniforme ou pressão hidrostática.


AULA 03 – FLUÍDOS Temos um fluído, que pode ser um gás ou um líquido. Esse fluído está dentro de um recipiente e nós iremos aplicar uma força sobre um embolo de área A. Assim, definimos a pressão como:

O princípio de Pascal diz que uma força aplicada em um líquido se transmite por todos os pontos do líquido e nas paredes do recipiente.

Ao aplicar uma força no embolo, o mesmo irá deslocar uma distância . Do outro lado, o outro embolo também irá deslocar uma distância , só que para cima. Assim, devemos ter pelo princípio de Pascal:

A relação nos diz que, se colocarmos um objeto de 10 kg de um lado, podemos erguer um objeto de 1000 kg do outro lado. Esse é o funcionamento da prensa hidráulica. O trabalho realizado nesse processo é:

Assim, o trabalho PE convertido em energia potencial gravitacional.


A densidade do líquido dentro da caixa . Como o fluído está em equilíbrio:

No caso limite de :

À medida que aumentamos o valor de (ou seja, à medida que vamos “escapando” do fluido) a pressão diminui. Quando aplicamos uma força num fluido, podemos fazer com que o volume fique menor. Quando isso ocorre, o fluido sofre uma compressibilidade. Se o volume não diminui, o fluido é incompressível. Vamos integra nossa pressão:

E essa é a lei de Pascal, que pode ser escrita como: . Num fluido, podemos imaginar que exista uma coluna desse fluido sobre um corpo. Essa coluna possui uma área . A altura da coluna é a diferença . Em temos uma pressão e em temos uma pressão , de maneira que . O peso dessa coluna é dado por:


No nível do mar, a pressão é igual a . Toda essa pressão atmosférica está agindo sobre nós, porém ela é distribuída em todas as direções. Torricelli mediu a pressão atmosférica utilizando mercúrio (760 mmHg).

Hidrostática Temos um cilindro flutuando num líquido.


O cilindro possui um comprimento L, uma densidade e uma área A. O líquido possui uma densidade . Nosso cilindro está em equilíbrio, logo:

O valor chamado de buoyant force (empuxo). Então:

E note que esse valor é igual ao peso do fluído. Assim, podemos compreender o princípio de Arquimedes:

“O empuxo de um objeto é igual ao peso do líquido deslocado” Estudando o peso de uma coroa submersa, Arquimedes mostrou que:

Quando submersa:

Assim:

Como , temos:

Tomemos um iceberg:


Nosso iceberg possui uma massa m e V é o volume total. Temos que , que

é menor que a água ( ). Como o iceberg está em equilíbrio a força peso

tem de ser igual ao empuxo:

Isso quer dizer que 92% do iceberg está submerso. Voltando ao caso do cilindro, queremos saber a condição para que ele flutue. Para que isso ocorra devemos ter:

Como :

E isso independe do tamanho do objeto. Depende apenas da densidade. Temos um objeto flutuando onde CM é o centro de massa:

Mesmo o centro de massa estando deslocado do centro geométrico, podemos supor que o empuxo irá agir no centro do objeto. Logo ocorrerá um torque no sentido mostrado. Não importa onde o empuxo seja aplicado (na verdade, o empuxo é aplicado em todos os pontos) sempre ocorrerá um torque. Quando não haverá torque. Temos um cilindro num fluído:


Nesse caso, a força peso está agindo no centro de massa do cilindro, enquanto que o empuxo está agindo no centro de massa do líquido (em relação ao cilindro). Se eu inclinar meu cilindro ocorrerá um torque.

Agora, vamos supor que o centro de massa do cilindro esteja fora do líquido.

Isso fará com que o cilindro vira. Por essa razão, o centro de massa de navios devem estar abaixo da água. Temos um balão cheio de gás. A massa total é dada por . O volume do

balão é dado por V. A densidade do gás dentro do balão é e a densidade do ar (fora do

balão) é .


Para o balão subir devemos ter:

Logo:

Algo não muito intuitivo acontece agora. Temos uma maçã presa á uma corda e um balão dentro de uma caixa:

Claramente, se eu cortar as cordas a maçã irá cair e o balão irá subir. Agora, vamos imaginar que essa caixa esteja no espaço e não existem as cordas, portanto, a maçã e o balão estarão flutuando. Vamos supor que um astronauta esteja junto nessa caixa.


Vou colocar uma turbina na minha caixa e criarei uma aceleração no sentido contrário ao movimento (criarei uma “falsa” gravidade).

Ou seja, a maçã e o astronauta irão “cair” enquanto que o balão irá subir (análogo ao movimento na superfície da Terra). Agora, ao invés de acelerar para cima vou aceleração para o lado. O que será que irá ocorrer?


Enquanto que a maçã e o astronauta vão no sentido de , o balão vai no sentido da aceleração. Pense por um instante nisso!

Equação de Bernoulli Agora vamos fazer uma relação com a energia cinética e a energia potencial. Temos um fluído incompressível passando pelo seguinte trajeto:

Nesse caso é a velocidade do líquido (fluído). Note que é maior que pois a área é menor que . Se o líquido não estiver se movendo, teremos e . Então:

Temos que nada mais é do que energia por volume e é a energia potencial gravitacional por volume. Se o líquido estiver se movendo teremos:


O que nos fornece:

Pois m/V = . Então, a equação de Bernoulli é dada por:

Vamos manter o valor da altura constante:

A mesma quantidade de fluído que passa por um ponto é igual a quantidade que passa por qualquer outro ponto. De forma geral . Como é maior que então tem que ser menor que . A vazão (quantidade de fluído que passa por um ponto) é dada por:

A razão de vazão é:

O volume pode ser dado pela vazão multiplicada pelo tempo:

Temos um sifão. Existe, inicialmente, ar dentro do tubo. Podemos colocar a boca em e sugar a água. Note que as pressões são iguais. Portanto:

Como as pressões são iguais elas não aparecem na equação. Sendo :


Temos um funil com uma bolinha de isopor dentro (faça essa experiência). Se eu soprar o funil de maneira a fazer a bolinha subir, eu não conseguirei:

Na região em azul a área por onde meu sopro passa é menor (área entre o funil e a bolinha). Como a área nesse ponto é pequena a velocidade é grande. Velocidades grandes implicam pressões menores, portanto, nesse ponto a pressão é pequena e minha bolinha não sobe. Se eu inverter o funil para baixo e soprar, a bolinha não irá cair (devido à baixa pressão sobre ela).


Uma asa de avião possui a seguinte forma:

O formato da asa do avião faz com que a pressão em cima da asa seja menor que a pressão em baixo. Logo a força é menor que . Da mesma maneira a velocidade é maior que a velocidade .

Viscosidade e Turbulência Viscosidade é equivalente ao atrito. Se não houver viscosidade não haverá dissipação de energia. A trajetória de um pequeno elemento do fluído é chamado de corrente.

Se as linhas de corrente se fecham, temos um fluxo rotacional chamado vórtice.



AULA 04 – OSCILADORES I

Nessa aula trataremos de oscilações e movimentos periódicos. De uma maneira geral, nosso cotidiano está repleto de movimentos periódicos. Um prato girando numa mesa, um relógio, uma roda, enquanto tomamos um suco, etc., tudo está envolvido com movimentos periódicos. Temos uma mola:

Quando esticamos a mola, surge uma força contrária que a puxa para sua posição de equilíbrio (comprimento inicial). Há uma relação dessa força com a deformação x da mola.

Se aumentarmos a mola 3 vezes mais, a força aumentará 3 vezes mais. Com isso, temos a Lei de Hooke:

Onde K é a constante da mola. O sinal negativo mostra que a deformação é oposta à força da mola. Dizemos que essa força é uma força restauradora. Como é possível medir a constante da mola? Podemos usar a gravidade.

Não há aceleração, pois o sistema está em equilíbrio. Com isso podemos utilizar diferentes pesos a fim de alterar o valor de F, e consequentemente da deformação x. Fazendo isso e obtendo os resultados em um gráfico:


Assim, temos que:

Podemos ir colocando vários pesos sobre a mola e ao final, retirando os pesos, a mola voltará ao seu tamanho original. Ou seja, ela se comporta de acordo com a lei de Hooke. Porém, podemos pegar uma mola e estica-la até o ponto em que já não se comporte de acordo com a lei de Hooke. Se isso acontece a mola não voltará ao seu tamanho original. Ocasionaremos uma deformação permanente em nossa mola. Ou seja, existe um limite para a deformação. Se nós aplicamos uma força muito grande na mola, chegará um momento em que a força aplicada será constante e a deformação começará a aumentar. Ao soltar a mola, ela tomará um comprimento maior do que tinha anteriormente.

Há outras maneiras de medir o valor de K. Vamos tomar um bloco em uma superfície sem atrito.

Digamos que esse sistema comece a oscilar (entre x e x = 0). O período de oscilação é dado por:


O período não depende da minha deformação (não depende do intervalo de x e x = 0). Estamos analisando um caso ideal, ou seja: a mola tem massa desprezível e a lei de Hooke está presente. Vamos escrever a segunda lei de Newton para nosso sistema:

Dividindo tudo por m:

E assim obtemos uma equação diferencial. Um objeto que oscila descreve um movimento dado como:

Se observarmos o gráfico de um objeto oscilante, teríamos algo parecido com um senóide ou cossenóide.

Assim:

Vamos substituir essa equação na equação diferencial. Eu tenho que:


Assim:

Portanto:

O que nos dá:

Exemplo:

Assim:

“A” não é zero, pois como há uma velocidade existe uma amplitude. Portanto, tem de ser zero. Com isso, temos as possíveis respostas:

Para a velocidade:

Se

, o .

Assim:

Se escolhêssemos o

, teríamos:

O que não mudaria nada. Ou seja, A e são apenas condições iniciais do movimento. A oscilação é independente da amplitude. Tomemos um objeto de massa m1 que vai oscilar de um ponto á outro. Faremos isso experimentalmente.

Nós iremos contar 10 períodos de oscilação e depois mudaremos a amplitude.

Tomando uma massa diferente:

Vamos medir 10 períodos:


Fazendo uma previsão:

Fazendo A = 35 cm.

Tomemos um pêndulo.

Decompondo a tensão T em y e x. Em x:

Em y:

Resolver essas equações diferenciais acopladas é uma tarefa impossível. O que iremos fazer é uma aproximação. Em física, quando algo oscila nós usamos os chamados “aproximação por pequenos ângulos”. Ou seja, Assim:

Essa é a nossa primeira consequência. A segunda consequência: perceba que o espaço de x = 0 para x é bem maior do que x = 0 para y (ver figura anterior). Com isso, podemos dizer que:

Ou seja, a aceleração em y é quase zero. Portanto, na equação II:

Substituindo em I:


Esse resultado representa uma oscilação harmônica simples. Com isso:

Ou seja, o período é proporcional ao comprimento da corda. Se eu diminuo a corda pela metade o mesmo deve ocorrer com o período. Vamos analisar o período de uma mola e de um pêndulo. Mola:

Pêndulo:

Perceba que para o pêndulo, o período não depende da massa.


AULA 05 – OSCILADORES II Temos um objeto de massa m em um campo gravitacional.

Como esse é um problema unidimensional, podemos escrever, para a força da gravidade, simplesmente:

O sinal negativo é importante, pois ele mostra que a força é no sentido contrário à trajetória. Eu posso escolher um nível e adotar esse nível como minha altura inicial (ou seja, y = 0). Nesse ponto eu tenho energia potencial gravitacional igual a zero. Qualquer outro ponto acima me dá .

Eu posso fazer um gráfico da energia potencial gravitacional em função de y.

Se eu movo um objeto de A para B, eu estou realizando um trabalho positivo. Se eu faço um trabalho positivo, a gravidade faz um trabalho negativo. Se o objeto vai de A para B’, eu realizo um trabalho negativo e nesse caso a gravidade faz um trabalho positivo. Eu poderia ter escolhido meu ponto de energia potencial gravitacional igual à zero em qualquer outro lugar. Eu poderia ter escolhido em B, por exemplo.


Perceba que isso não muda nada. Se eu for de A para B, meu trabalho continuará sendo positivo. Quando você está próximo da Terra você é livre para escolher seu ponto zero (onde a altura é zero). Agora, vamos para uma situação em que não estamos mais próximos da Terra.

Como esse é um problema unidimensional, podemos escrever:

Em um gráfico:

Se eu mover um objeto de A para B, minha energia potencial está aumentando e meu trabalho é positivo. Perceba que, a força da gravidade é sempre oposta ao sentido positivo da energia potencial.


Agora usaremos uma mola, de comprimento l.

Como eu estou puxando a mola no ponto B, eu crio uma força contrária à força elástica. Eu posso calcular o trabalho para aumentar o tamanho da mola de A para B.

Esse valor é o que chamamos de energia potencial da mola. Aqui nós também podemos escolher onde colocaremos a energia potencial igual à zero. Fazendo um gráfico.

Em A e B temos as forças indo no sentido contrário ao aumento da energia potencial. Portanto, temos uma força restauradora. As forças sempre vão no sentido contrário à energia potencial. A força conduz o objeto a diminuir sua energia potencial. Agora surge uma pergunta: se nós conhecemos a energia potencial, nós podemos encontrar a força? E a resposta é sim.


Utilizaremos nossa mola:

Mas a força da mola é negativa, então:

Com isso, temos:

Se tivermos uma situação tridimensional, tanto a força quanto a energia potencial estão em função de nossas três coordenadas. Assim:

Essas derivadas são chamadas de derivadas parciais, e são representadas por . Voltemos à situação próximo a Terra.

Agora não estamos mais próximos da Terra:

Assim, sempre que temos uma energia potencial em função do espaço nós podemos encontrar as três componentes da força. Vamos supor que eu tenha uma superfície curva.

Há pontos em que

. São eles: a, b, c, d, e.


Isso significa que:

Nesses pontos o objeto está parado. Porém há uma diferença entre os pontos “a” e “b”, por exemplo. Digamos que eu coloque uma bola de gude em a. Se eu fizer uma força, por menor que seja, a bola de gude vai cair para algum lado, ela vai diminuir sua energia potencial. Se a bola de gude estiver em b, e nós aplicarmos uma força à ela, a mesma voltará à b, pois sua energia potencial é menor. Em b, nós temos o que chamamos de equilíbrio estável e em a nós temos o equilíbrio instável. Retornemos à mola. Podemos utilizar a energia potencial da mola e mostrar que um objeto que oscila na mola segue um movimento harmônico simples.

Temos um objeto oscilando entre um x máximo positivo e um x máximo negativo.

E esse resultado nós sabemos que representa um movimento harmônico simples. Temos assim:

Iremos analisar uma oscilação através de uma pista circular perfeita.


Utilizando a aproximação por pequenos ângulos, podemos tomar um valor que nos dará um bom resultado. Então:

Então:


E essa equação é uma oscilação harmônica simples. Assim:

E como podemos ver isso é bem parecido com um pêndulo. A força da gravidade é a que faz trabalho. Por mais que exista uma tensão, como é o caso do pêndulo, ou uma força normal (que é o caso de um corpo num movimento circular), será que apenas a gravidade faz trabalho? Quando eu quase me matei com o pêndulo (em física I), eu estava crente na conservação de energia que acabei ignorando a tensão. É possível a tensão fazer trabalho? Se for esse o caso eu poderia ter morrido. E a normal? É possível que ela faça trabalho? A resposta é não! Essas forças são sempre perpendiculares à direção do movimento. Uma vez que o trabalho é o produto escalar entre a força e a direção do movimento, nem a tensão nem a força normal faz qualquer trabalho. Na prática, um objeto que oscila sempre dissipa energia.

Temos uma força oposta ao movimento dada por , onde é uma constante de amortecimento. No caso geral:

Sendo:

Tratamos de pêndulos simples, agora veremos um caso mais geral. Enquanto que no pêndulo simples toda a massa está concentrada na massa m do peso do pêndulo, no pêndulo físico (ou composto) a massa está distribuída, as vezes podendo apresentar uma distribuição não uniforme de massa.


O ponto P é onde iremos fixar nosso pêndulo. O valor de b representa a distância do ponto de suspensão ao CM (centro de massa). Um ângulo é formado com a vertical. A força peso, atuando sobre o centro de massa, realiza um torque em P dado por: Partindo da definição de torque temos que , onde é o momento de inércia. Nesse caso, o torque é de restauração, pois faz com que o pêndulo busque o equilíbrio zero ( ). Assim, . Então, o torque no sistema fica:

Escrevendo temos:

Usamos agora a aproximação por pequenos ângulos. Isso quer dizer que iremos fazer nosso ângulo tender a um valor muito pequeno. Fazendo uma aproximação pequena, teremos:

E assim obtêm-se a equação do movimento harmônico simples. A frequência angular é dada por:

Então, o período de oscilação será:

Para calcular o valor de , utilizamos o teorema dos eixos paralelos. Logo:

Como

, temos:


Esse é o caso para uma barra, pois o momento de inércia que encontramos foi o da barra. A medida que o ponto onde fixamos o pêndulo se aproxima do centro de massa, o valor do período tende ao infinito. Vamos chamar de D a distância ao centro de massa, e sendo o momento de inércia dado por:

O período será:

Teremos:

No limite de temos:

Nesse contexto chamamos k de raio de giração. Um terceiro caso de pêndulo é o chamado pêndulo de torção. Ele é formado por um corpo rígido suspenso por um fio que oscila em torno de um eixo comum.


Quando uma pequena torção é dada ao corpo suspenso surge um torque oposto dado por:

O valor k é uma constante própria do fio. Temos então:

Note que .

O período será:


AULA 06 – ONDAS I Uma onda é uma transmissão de energia através de um meio. Essa transmissão de energia é feita sem a transmissão de matéria. Uma onda pode ser representada por:

Uma onda pode ser tida como uma forma geral de uma oscilação, a equação é bem parecida. Temos então:

Essa é a nossa equação de onda. Nessa equação temos que é a amplitude máxima de onda. A posição é dada por enquanto que é o número de onda. Vamos observar nossa onda num determinado instante. Vamos supor que esse instante seja . Nossa equação será:

Nesse instante a posição da onda será dada por:

O valor é o comprimento de onda (distância de uma crista à crista seguinte). Então:

Temos no momento em que uma onda se forma (esse é o ângulo total percorrido pela onda). Logo:

E assim nós temos o número de onda. A frequência é dada por:

O período será:

No caso geral, sabemos que , logo:


Vimos que uma onda, ao completar um clico, percorre uma distância angular igual a . Portanto, vamos escrever a equação de onda para uma forma geral:

Agora, chamamos de fase. Seja um pulso dado pela seguinte função:

Escrevemos essa função como . Agora, nosso pulso irá se deslocar para a direita:

Essa função será escrita como . Se , então . Se fixarmos a onda num determinado instante, teremos:

Isso é lógico, pois a onda não está se movendo (não muda de posição e nem varia de ângulo). Vamos derivar essa parte da onda:

Então:


E assim obtemos a velocidade horizontal da onda. Vamos substituir alguns valores em nossa equação. Conhecemos e , então:

Então, podemos calcular a velocidade onda como:

Se o pulso se move para a esquerda, temos que o sinal será negativo. Vamos ver um exemplo. Temos a seguinte onda:

A amplitude da onda é , para isso basta observar a equação de onda. Vamos calcular o período da onda.

Para calcular o comprimento de onda é simples pois conhecemos o valor de k, então:

Calculamos a frequência:

A velocidade da onda é:

Até agora determinamos a velocidade horizontal de uma onda. Vamos determinar agora a velocidade transversal. Para tal basta derivar a função de onda:

Para a amplitude máxima, teremos:

Podemos determinar a aceleração. Assim, vamos fazer a segunda derivada:

Na amplitude máxima teremos:


Vamos supor um pulso se propagando numa corda de densidade .

Podemos imaginar esse pulso como uma parte de um círculo. A velocidade do pulso (a velocidade na onda na corda) será:

De uma maneira geral, definimos a velocidade como:

As ondas transportam energia. A potência é proporcional à amplitude.

Assim, temos:

A potência será:


Sabemos que .

Se então:

A potência média será:

Equação de Onda Temos uma onda passando por uma corda. Vamos pegar um elemento dessa corda. Existem

forças opostas agindo na corda ( e ). Essas forças são iguais à tração na corda. Pela segunda lei de Newton, temos:

Em nossa equação temos:

Que representa a massa, enquanto que:

É a aceleração.

Onde é uma força agindo na direção . é a inclinação. Temos:


Se tomarmos a inclinação da corda para pequenos ângulos, de forma que , então:

Logo:

Ou

Assim:

Sendo temos:

Usando

, encontramos:

Superposição de Ondas Vamos supor duas ondas e numa mesma corda. A onda resultante é dada por:


Quando não existe diferença de fase entre as ondas, temos uma interferência construtiva.

Se existe diferença de fase (

), então temos uma interferência destrutiva.

Sejam duas ondas de mesma amplitude:

O valor de representa a diferença de fases. Lembrando que:

Temos:


Se então a amplitude (construtiva). Se então a amplitude (destruiva). Vamos supor agora duas ondas iguais se propagando em sentidos opostos numa corda:

A onda resultante será:

Com isso, temos a formação de uma onda estacionária. Chamamos de nós os pontos de amplitude nula ( ) e antinós os pontos de amplitude máxima ( , , , ). Para formar uma onda estacionária devemos ter:

Assim:

Uma onda estacionária pode ser excitada em uma corda de comprimento por uma onda cujo comprimento de onda satisfaz:

Onde é o número de harmônicos (ventres) da onda. O ventre é o espaço formado entre os antinós da onda estacionária. Lembremos que:


Então, a frequência será:


AULA 07 – ONDAS II Vimos que a velocidade de onda é determinado por:

Vamos estudar ondas sonoras agora. No vaso do som, temos:

Onde é a massa específica e é o módulo de elasticidade volumétrico. O valor de é calculado como:

Onde é a variação de pressão.

(CNTP) Bulk Modulus

(B) [Pa] Density ()

[kg/m3]

Water 2.2×109 1000

Methanol 8.23×108 424

Air (Adiabatic) 1.42×105 ~ 1,21

Air (Constant Temp.) 1.01×105 ~ 1,21

A função de deslocamento de uma onda sonora será:

Os valores de , , , , e são definidas da mesma maneira que fizemos até agora. Quando a onda se propaga, a pressão do ar em qualquer posição varia senoidalmente. Assim:

Se , temos uma expansão do ar. Se , temos a compressão do ar.


Assim como as ondas transversais, as ondas sonoras também sofrem interferência. A interferência depende da diferença de fase entre as ondas. Se as ondas forem emitidas em fase e se propagarem na mesma direção, teremos:

é a diferença entre as distâncias percorridas pelas ondas sonoras até chegarem à um ponto comum. Se , pra , então temos uma interferência construtiva. Para interferências construtivas, temos:

Se , para , temos uma interferência destrutiva. Em interferências destrutivas, temos:

Seja a potência (transferência de energia) e a área da superfície que recebe o som. A intensidade será:

A relação entre a amplitude e a intensidade é:

Se o receptor está à uma distância da fonte, a intensidade será:


A audição humana compreende uma faixa sonora entre 20 Hz e 20.000 Hz. Abaixo de 20 Hz, temos o infrassom. Acima de 20.000 Hz temos o ultrassom. No ar, a velocidade do som é em torno de 340 m/s. Nossos ouvidos podem detectar sons com uma amplitude de (limiar de audibilidade)

até (limiar da dor). Quando tratamos de audição humana, é conveniente usar a escala decibel ( ). Essa escala é definida como:

Onde . O valor de aumenta em 10dB toda vez que a intensidade sonora aumenta de uma ordem de grandeza (um fator de 10).

Tratamos com ondas se propagando em cordas, e podemos imaginar isso como um instrumento (um violão por exemplo). Agora, para o caso do som, vamos estudar ondas se propagando em tubos. Temos um tudo com as duas extremidades abertas:

O comprimento de onda para um tubo aberto é:


Onde é o número de harmônicos. Note que contamos o número de harmônicos como o número de ventres existentes. Mas nesse caso, temos dois ventres incompletos (eles na verdade correspondem à metade de um ventre). Sendo assim, essas duas metades dos ventres formam um ventre. Sendo assim, na figura acima temos o harmônico fundamental ( ). Na figura a seguir, temos o segundo harmônico ( ), pois o número de ventres (completos) é 2:

No caso seguinte, temos o terceiro harmônico:

A frequência será:

Agora, vamos tomar um tubo que tenha uma de suas extremidades fechadas. A onda dentro dele será:

Note que no modo fundamental, não temos um ventre completo. Temos metade de um ventre, assim, para um tubo fechado o comprimento de onda será:

Para valores de Se os valores de forem pares, não teremos uma onda completa formada. Nesse caso, a frequência será:

Para teremos:


A jogada aqui é, como fizemos até agora, contar o número de ventres. Note que para o harmônico fundamental ( ) temos metade de um ventre. Então, nós contamos esse ventre como uma metade e refletimos, assim temos meio ventre mais meio ventre, o que nos dá um ventre completo. Para o terceiro harmônico fazemos a mesma coisa. Temos um ventre completo, em seguida temos meio ventre. Então contamos o número de ventres, refletindo a conta quando encontramos meio ventre:

Para :

O comprimento de um instrumento musical está ligado à faixa de frequência que o instrumento foi projetado para cobrir. Comprimentos menores produzem frequências menores. Uma mesma nota tocada por instrumentos diferentes chega aos nossos ouvidos com um som diferente. Dizemos que cada instrumento tem seu timbre. Um dó maior de um piano é diferente de um dó maior de uma guitarra. Abaixo temos as frequências de uma mesma nota tocada por instrumentos diferentes:


Quando duas ondas de frequências ligeiramente diferentes, e , são detectadas simultaneamente, temos um batimento. Temos duas ondas:

A frequência do batimento é igual à diferença na frequência dos dois sons.

Nossa onda resultante será:

Efeito Doppler

A frequência emitida por alguma fonte pode sofrer uma alteração relativa caso a fonte e/ou o observador (detector) se movimente. De uma maneira geral, escrevemos:

Nessa equação é a frequência original; é a velocidade do som; é a velocidade do observador e é a velocidade da fonte.

Os sinais são escolhidos para que tenda a ser maior para movimentos de aproximação e menor para movimentos de afastamento. A regra para os sinais são:

Se o detector se aproxima da fonte:

Se o detector se afasta da fonte:

Se o detector estiver parado:

Se a fonte se aproxima do detector:

Se a fonte se afasta do detector:

Se a fonte estiver parada:


Velocidade de Mach

Certos objetos podem apresentar velocidades maiores que a do som. Esses objetos possuem velocidades supersônicas. O número de Mach é dado por:

Onde é a velocidade do objeto e é a velocidade do som. Temos os seguintes valores para M:

Se temos a velocidade subsônica.

Se temos a velocidade sônica.

Se o objeto alcança a velocidade transônica (Sonic-Boom).

Se temos a velocidade supersônica.

Se temos a velocidade hipersônica.

Quando a velocidade do objeto supera a velocidade do som, a variação brusca de pressão do ar faz com que as moléculas de vapor d’água se condensem, formando uma nuvem (cone de Mach). Nesse momento dois estrondos como trovão se ouve, o chamado Sonic-Boom.


AULA 08 – TEMPERATURA, CALOR E A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA Todos os corpos e substâncias são formados por átomos, que por sua vez são formados por partículas. A agitação dessas partículas ocasiona uma variação no que chamamos de temperatura do corpo. A temperatura de um corpo é o nível de agitação de suas partículas.

Sejam três corpos A, B e C. Se A e B tiverem a mesma temperatura que o corpo C (estiverem em equilíbrio térmico com C), então A e B terão a mesma temperatura entre si.


Assim, definimos a chamada lei zero da termodinâmica. Para medirmos a temperatura de um corpo ou substância usamos as escalas de temperatura. Essas escalas são: Celsius (°C), Fahrenheit (°F) e Kelvin (K). Essa ultima é utilizada no sistema internacional.

Na escala Kelvin, o ponto de fusão é 273 K e o ponto de ebulição é 373 K. Na escala Celsius, o ponto de fusão é 0 °C e o ponto de ebulição é 100 °C. Para a escala Fahrenheit o ponto de fusão é 32 °F e o ponto de ebulição é 212 °F. Chamamos de ponto triplo da água, a temperatura na qual podemos ter, coexistindo, água nos três estados. Para fazermos a conversão de temperatura, fazemos:

Assim, temos a relação de Celsius e Kelvin. Para relacionar Fahrenheit com Celsius, fazemos:

Dilatação

Quando a temperatura de um corpo aumenta ou diminui o mesmo se expande ou contrai. Temos uma barra de comprimento que após ser aquecida (sofrer uma variação de temperatura ) aumentou seu comprimento para .

Assim, definimos a variação de comprimento da barra como:


Onde é a variação de temperatura e é o comprimento inicial da barra. O valor é chamado de coeficiente de dilatação linear e depende do material.

Numa situação real, o corpo varia seu volume e não somente seu comprimento. Assim, temos uma dilatação volumétrica:

Nesse caso é o coeficiente de dilatação volumétrica e seu valor é . A temperatura de um corpo varia devido as trocas de calor com o ambiente ou com outros corpos. O calor nada mais é do que a energia térmica em trânsito. Se há diferença de temperatura, então há transferência de calor. O calor pode ser medido em caloria (cal), joule (J) ou em Btu.

Quando uma substância aquece, ela diminui sua densidade. Definimos densidade como:

Porém, com a água ocorre algo diferente. Quando a água está sendo aquecida no intervalo de 0°C à 4°C ela aumenta sua densidade. Chamamos esse comportamento de anômalo. Por essa razão a vida consegue continuar existindo num lago congelado. O gelo da superfície é menos denso do que a água. Enquanto que na superfície podemos ter uma temperatura de -10°C, por exemplo, abaixo do gelo a água está em estado líquido.


Abaixo temos o gráfico mostrando esse comportamento da água.

Capacidade Térmica

A capacidade térmica é a relação entre a quantidade de calor fornecida ou cedida de um corpo e a variação de temperatura do mesmo.

Onde é o calor (energia). A unidade da capacidade térmica é .

Calor Específico

O calor específico define a variação térmica de determinada substância ao receber determinada quantidade de calor.

Assim:

Logo:

Calor de Transformação

Quando uma substância perde ou recebe calor, pode ocorrer uma mudança de fase. Num sólido, a agitação térmica das partículas é pequena (rigidez do corpo). Num líquido, temos uma agitação maior e no estado gasoso essa agitação é ainda maior.


A quantidade de calor (energia) fornecida para que uma substância mude completamente de fase é chamada calor de transformação ( ).

Assim:

Trabalho

Temos um recipiente com um embolo. Vamos supor que há gás dentro do recipiente. Se aquecermos nosso gás ele ira se expandir e irá empurra o embolo para cima:

Sabemos que o trabalho é definido como:

No caso de nosso recipiente, temos:

Sabemos que , logo:

Assim:


A primeira lei

A energia interna de um sistema é proporcional à temperatura ( ). A primeira lei da termodinâmica diz que a variação da energia interna é a diferença entre a quantidade de calor envolvida no sistema e o trabalho:

Em alguns processos envolvendo a variação de energia interna, podemos transformações onde não ocorrem trocas de calor ( ). Nesse caso, temos um processo adiabático:

Se temos uma expansão adiabática (temperatura diminui). Se temos uma compressão adiabática (temperatura aumenta). Se durante um processo o volume permanece constante, então o trabalho realizado é nulo ( ).:

Se temos uma absorção de calor (aumento de temperatura). Se temos uma liberação de calor (diminuição de temperatura). Chamamos de processos cíclicos aqueles onde o ponto final e inicial da transformação coincide. O estado final é igual ao inicial (curvas fechadas).


Nesse caso, a variação de energia interna é nula:

E também temos a expansão livre, na qual nenhum trabalho é realizado.

De uma forma resumida:

Transferência de calor

A mudança de temperatura, como vimos, ocorre com as trocas de calor. O calor pode ser transferido entre corpos de três maneiras: Condução Na condução, a energia é transferida de um átomo para outro (ex: colher no fogo).

A taxa de condução é calculada como:

Aqui, é o tempo e é a condutibilidade térmica do material. A área do material é dada por e é a diferença de temperatura. A resistência térmica à condução de calor é dada por:


Vamos supor que o calor passe através de uma placa composta.

Aqui, é a temperatura na interface das placas. Temos então:

Convecção Em fluídos a variação de temperatura ocasiona uma variação de densidade. Essa variação de densidade cria um movimento no fluído (correntes de convecção).


Radiação O calor que é transferido pelas ondas eletromagnéticas é chamado de radiação. A taxa de radiação térmica (potência) é dada pela lei de Stefan-Boltzmann:

Onde é a constante de Stefan-Boltzmann e vale . A emissividade é dada por e seu valor está entre 0 e 1 (1 para corpo negro). A temperatura é sempre em Kelvin. A taxa de radiação líquida da troca de energia de um corpo de temperatura num ambiente de temperatura é:


AULA 09 – TEORIA CINÉTICA DOS GASES Um mol é o número de átomos em uma amostra de 12g de carbono 12. O valor de 1 mol é unidades. Chamamos esse valor de número de Avogadro ( ):

O número de mols é calculado como:

Onde é o número de moléculas na amostra. Seja a massa de nossa amostra. é a massa molar e é a massa molecular. Então:

Gás Ideal

Num gás ideal, o movimento das partículas é desordenado. As colisões entre essas partículas são elásticas, ou seja, não perdem energia. Podemos considerar seu volume desprezível e existem forças de interação somente entre as colisões. Em baixas concentrações os gases obedecem à relação:

E chamamos essa equação de lei geral dos gases, onde é o número de mols e é a constante universal dos gases que vale . Vamos reescrever nossa lei em termos de uma constante , chamada de constante de Boltzmann.

Sendo , temos:

Então:

Onde nesse caso é o número de moléculas. Agora temos duas equações que descrevem a lei geral dos gases. Na primeira, temos a relação com o número de mols enquanto que na segunda temos uma relação com o número de moléculas. Para um mol de qualquer gás ideal:

Em condições normais de temperatura e pressão (CNTP):


Transformações Fundamentais

Isotérmico

Nessa transformação a temperatura constante:

Numa expansão isotérmica, o trabalho é dado por:

Se não houver variação de volume ( ) então o trabalho é zero ( ). Caso ,

temos uma expansão ( ). Se , temos uma compressão ( ).

Isobárico Nessa transformação, a pressão é constante.


Isovolumétrico Nessa transformação, o volume é constante.

Velocidade Quadrática Média

Vamos supor várias moléculas num recipiente.

Ao colidir com a frente do recipiente, as moléculas sofrem uma mudança de momento linear. Quando uma partícula colide com a parede do recipiente ela inverte o sentido do movimento, então:

Vamos supor que nosso recipiente seja uma caixa de lados L.


Vamos supor que seja o tempo que uma partícula colida com uma parede, percorra o espaço L, colida com a parede oposta e retorne. A distância percorrida seria 2L.

A taxa média com a qual o momento é transferido para as paredes é:

Podemos escrever a pressão, sabendo que , como:

Onde é o número de moléculas na caixa. Como :

Mas é a massa molar do gás e é o volume:

Para qualquer molécula: .

Então, os valores médios das partículas são iguais:

O que nos fornece:


Se tirarmos a raiz de teremos a chamada velocidade média quadrática ( ).

Combinando as equações:

E

Encontramos:

Energia Cinética de Translação e Livre Caminho Médio

Em física I vimos que a energia cinética de um corpo de massa e velocidade é dada por:

Mas agora, estamos tratando de partículas de maneira que:

Assim, definimos a energia cinética média como:

Sabendo que , então:

E sendo :

Uma única molécula pode percorrer um caminho livremente sem sofrer colisões com outras moléculas. A medida que o número de moléculas vai aumentando, as colisões vão aumentando e os caminhos livres vão diminuindo.

O movimento aleatório é denotado por , e é a distância média percorrida por uma molécula entre duas colisões.


Quanto maior o valor de , maior será o número de colisões.

Onde é o diâmetro da partícula. Em um gás, por mais que tenhamos a as moléculas podem, e apresentam, velocidades diferentes. Em 1852, Maxwell calculou a distribuição de velocidades das moléculas de um gás:

Onde é a probabilidade, é a massa molar, é a constante dos gases, é a velocidade escalar da molécula e é a temperatura. O produto é a fração de moléculas cujas velocidades estão no intervalo entorno de .

A soma de todas as possibilidades tem de ser igual a um (100%). Então, tomando todo esse intervalo:

Se tomarmos um intervalo entre e :

A velocidade média pode ser calculada como:

Substituindo pelo valor encontrado por Maxwell e integrando:


De maneira similar, podemos calcular a média das velocidades quadráticas:

Quando for máximo, encontramos a velocidade mais provável. Como nesse ponto a inclinação da curva tangente ao gráfico é zero, então:

Calor Específico Molar

Seja um gás com volume constante. O calor específico molar é:

Na equação, é o calor cedido ou absorvido e é o número de mols. O valor de depende se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico. Para um gás monoatômico:

Abaixo temos uma tabela com a energia interna para os diferentes tipos de moléculas de um gás.


O calor específico de um gás sobre pressão constante é:

Ou de uma maneira mais geral:

Para mols de um gás ideal:

Se houver variação de temperatura:

Um gás monoatômico, formado por átomos isolados e não moléculas, possui uma energia interna:


Podemos determinar a partir do teorema de equipartição de energia. Esse teorema diz:

“A cada grau de liberdade de uma molécula (cada forma independente de armazenar

energia) está associada uma energia de

por molécula”

Se é o número de graus de liberdade:

Se , temos três graus de liberdade de translação. Se , temos três graus de translação e dois de rotação. Quando um gás ideal sofre uma lenta variação de volume adiabática (ou seja, ), a pressão e o volume estão relacionados pela equação:

Onde . Se a expansão for livre:


AULA 10 – ENTROPIA E A SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA Uma xícara de café quente perde calor para o ambiente. As chances de a xícara receber calor e esquentar ainda mais o café são muito, muito, muito pequenas. Um ovo cai no chão e se quebra. As chances de todos os pedaços se juntarem e formar o ovo inteiro novamente são tão pequenas quanto à xícara esquentar espontaneamente. Processos unidirecionais são ditos irreversíveis, ou seja, não podem ser desfeitos naturalmente. Os casos da xícara esfriando e do ovo se quebrando são processos unidirecionais. Mesmo que um processo irreversível ocorresse espontaneamente, como o ovo voltar a ser inteiro, ele não violaria a lei de conservação de energia. Lembre-se que essa lei diz que num sistema fechado a energia total sempre se conserva (a quantidade de calor perdida é igual a quantidade calor recebida). Não são as variações de energia de um sistema fechado que determinam o sentido dos processos irreversíveis. O sentido é determinado pela variação de entropia ( ). O postulado da entropia diz que: “Se um processo irreversível ocorre em um sistema fechado, a entropia S do sistema sempre

aumenta.”

Vamos supor que um sistema possua um estado inicial e final . A variação de entropia será dada por:

Onde é a energia absorvida ou cedida e é dado em kelvin.

Segunda Lei da Termodinâmica

O enunciado de Kelvin diz:

“É impossível realizar um processo cujo único efeito seja remover calor de um reservatório térmico e produzir uma quantidade equivalente de trabalho.”

Ou seja, num processo . Numa expansão isotérmica, temos . Isso não contradiz o enunciado de Kelvin, pois o estado final do sistema em questão não é o mesmo que o inicial, pois a pressão varia. Ou seja, a completa transformação de calor em trabalho não é o único efeito. Outro enunciado, o de Clausius diz:

“É impossível realizar um processo cujo único efeito seja transferir calor de um corpo mais frio para um corpo mais quente.”

Temos uma máquina térmica, onde uma quantidade de calor é fornecida para o sistema. Uma parte desse calor é transformada em trabalho e outra parte é “perdida”.


Temos um processo cíclico, com :

Mas , e . Então:

O rendimento (eficiência) é calculado como:

Ou seja, o rendimento é o trabalho executado pelo calor absorvido. Podemos calcular o rendimento da seguinte maneira:

Ou

Em uma máquina térmica ideal, todos os processos são reversíveis e as transferências de energia são realizadas sem as perdas causadas por atrito e turbulências. A máquina de Carnot é uma máquina ideal. O ciclo de Carnot é dado pelo esquema:


As trocas de calor são feitas isotermicamente. As mudanças de temperatura são adiabáticas. Nenhuma máquina térmica pode ter um rendimento superior à de Carnot. Um ciclo teórico de máximo rendimento é:

O inverso da máquina térmica é o refrigerador.

Nesse caso, uma fonte fria alimenta uma máquina juntamente com um trabalho. Para um refrigerador temos:

Mas temos que , e . Então:


O desempenho do refrigerador é:

De uma maneira geral o rendimento é:

Ou seja, é o calor absorvido pelo trabalho fornecido. O rendimento tem de estar entre zero e infinito. Vimos que a entropia está relacionada com a variação de energia absorvida ou cedida pelo sistema:

Se o processo isotérmico for reversível, teremos:

Quando um gás ideal passa por um processo reversível (um caso especial):

Mas e :

Como o gás é ideal, então e dividindo tudo por :

E fazendo a integral de até :

Seja o seguinte processo cíclico:


Qualquer processo cíclico pode ser substituído por inúmeros subciclos de Carnot:

A entropia de um sistema termicamente isolado nunca pode decrescer: não se altera quando o processo é reversível mas aumenta quando o processo é irreversível!

Visão estatística da Entropia

A entropia de um sistema pode ser definida em termos das possíveis distribuições de suas moléculas. As distribuições possíveis são chamadas de microestado. O número de microestados de uma configuração é a multiplicidade da configuração.


Temos uma caixa com dois lados ( e ) e moléculas que podem ser distribuídas em ambos os lados.

Assim, definimos a multiplicidade como:

Todos os microestados são igualmente prováveis. Se for muito grande, as moléculas estarão quase na configuração . A entropia se relaciona com através da equação:

Onde é a constante de Boltzmann.

Science

Física II - notas de aula