НЕФТЯНОЕ ХОЗЯЙСТВО 11’2016 35

Необходимость постоянного повышения техни-ко-экономической эффективности операцийгидроразрыва пласта (ГРП), а также актуаль-

ность достижения высокого уровня технологическойнезависимости в условиях риска ограничения доступ-ности отдельных технологий ставят перед крупнымидобывающими компаниями задачу постоянного по-вышения внутренних технических компетенций вобласти ГРП. Одним из направлений повышения техни-ческих компетенций и обеспечения технологической не-зависимости является разработка собственных инже-нерных инструментов и программных комплексов длямоделирования ГРП. Использование таких инструмен-

тов позволяет специалистам нефтегазовых компанийосуществлять объективный контроль процессов про-ектирования, выполнения и анализа операций ГРП, атакже решать широкий круг задач по определению опти-мальных проектных параметров ГРП с целью выборасистемы и стратегии разработки месторождений с мас-совым применением данной технологии.

Базовые элементы симулятора ГРПЛюбой современный программный комплекс про-

мышленного класса для моделирования ГРП (далеесимулятор ГРП) представляет собой программнуюреализацию основных физических подмоделей, тре-бующих описания и решения в рамках единой системыматематических уравнений и замыкающих соотноше-ний (рис. 1). Неотъемлемой частью промышленныхсимуляторов ГРП являются программная реализацияобщепринятых методик анализа тестовых закачек, атакже наличие актуальной базы данных различныхсвойств жидкостей разрыва и проппантов, учет кото-рых необходим для корректного моделирования ГРП.Методики анализа тестовых закачек базируются на от-дельной группе математических моделей и инженер-ных практик [1], их программная реализация являетсяотдельной большой задачей процесса разработки си-мулятора ГРП. В рамках разработки корпоративного

УДК 622.276.66.001.24 © Коллектив авторов, 2016

РАЗРАБОТКА И ЭКСПЛУАТАЦИЯ НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ

А.В. Аксаков, к.ф.-м.н.,О.С. Борщук, И.С. Желтова (ООО «РН-УфаНИПИнефть»), А.В. Дедурин, З. Калуджер, А.В. Пестриков, К.В. Торопов (ПАО «НК «Роснефть»)

Ключевые слова: гидроразрыв пласта (ГРП), дизайн ГРП,симулятор ГРП, мини-ГРП, математическоемоделирование, геомеханика, гидродинамика,деформация горной породы, течение жидкостив трещине, перенос проппанта, утечки жидкости в пласт,численные методы

Адрес для связи: a_pestrikov@rosneft.ru

Корпоративный симулятор гидроразрыва пласта: от математической модели к программной реализации

Corporate fracturing simulator: from a mathematical model to the software development

A.V. Aksakov, O.S. Borschuk, I.S. Zheltovа (RN-UfaNIPIneft LLC, RF, Ufa), A.V. Dedurin, Z. Kaludzher, A.V. Pestrikov, K.V. Toropov (Rosneft Oil Company PJSC, RF, Moscow)

E-mail: a_pestrikov@rosneft.ru

Key words: hydraulic fracturing, HF, fracturing design, fracturing simulation,

minifrac, mathematical modeling, geomechanics, hydrodynamics,

rock deformation, fracture fluid flow, proppant transport, fluid leakage

into the formation, numerical methods

Article is devoted to mathematical modeling of the fracturing me-chanics and software development for fracturing simulation and de-cision making support in design and conduct of fracturing treatments.We discuss the basic software elements for modeling hydraulic frac-turing, the existing mathematical models of hydraulic fracturingprocess (KGD, PKN, Radial, Cell-based-Pseudo3D, Lumped-Pseudo3D,Planar3D), history of development, characteristics and limitations. It isnoted the practical importance for the fracturing planning tasks andrisk minimization to correctly describe the fracture height growth, thispushed the development of Pseudo3D (P3D) and Planar3D (PL3D)models.We show the general mathematical formulation of hydraulic fractur-ing process, based on coupled solution of the formation elasticityequations, fluid hydrodynamics and proppant transport. In details dis-cussed the mathematical formulation for Planar3D model and com-mon assumptions that are made. Software interface examples areshown for common methods of fracturing injection tests analysis andhydraulic fracturing design simulation on the example of corporatefracturing simulator. Typical functional requirements for hydraulic frac-turing simulators are given. It is noted that the combination in a onefracturing simulator Planar3D and Cell-based-P3D models provides aflexible software solution to specific geological conditions and re-quirements for the calculation speeds. It has been shown that for cer-tain geological conditions fracturing simulations using Planar3D andPseudo3D models may vary in term of evaluating hydraulic fracturegeometry. The attention made that the task of speed increasing forPlanar3D-models is the actual point of application for scientific andengineering community efforts.

36 11’2016 НЕФТЯНОЕ ХОЗЯЙСТВО

РАЗР

АБ

ОТК

А И

ЭК

СП

ЛУА

ТАЦ

ИЯ

НЕФ

ТЯН

ЫХ

МЕС

ТОРО

ЖД

ЕНИ

Й симулятора ГРП «РН-ГРИД» дан-ная задача решена одной из пер-вых. Модуль анализа тестовых за-качек в составе «РН-ГРИД» вклю-чает следующий стандартный длялюбого промышленного симулято-ра ГРП набор методик: анализ кри-вой падения давления (КПД) дозакрытия трещины методомНолти; анализ тестов со ступенча-тым увеличением/снижением за-качки; анализ КПД после закрытиятрещины методами Хорнера иНолти (рис. 2).

Далее более детально рассмот-рим математические подходы кмоделированию непосредственнопроцесса ГРП, которые были ис-пользованы при разработке корпо-ративного симулятора ГРП.

Основные классы математических моделей ГРПДля описания процесса развития

трещины ГРП можно выделить че-тыре основных класса моделей(рис. 3). Во всех двумерных моде-лях используется решение, полу-ченное И. Снеддоном для плоско-деформированного состояния ли-нейно-упругой теории трещины[3]. Основополагающими работа-ми по построению первых анали-тических 2D моделей ГРП следуетсчитать работы [4, 5]. В них былапредложена первая замкнутая мо-дель развития трещины гидрораз-рыва в предположении ее посто-янной высоты hf и горизонтальнойплоской деформации при ростетрещины в длину xf. Предложеннаямодель впоследствии получила на-звание Христиановича-Гертсма-деРис. 2. Пример программной реализации методик анализа тестовых закачек в корпора-

тивном симуляторе ГРП «РН-ГРИД» (SRТ – тест со ступенчатым увеличением расхода, ISIP –давление в момент остановки насосов)

Рис. 3. Четыре основных класса моделей для описания процесса развития трещины ГРП [2]

Рис. 1. Основные математические подмодели симулятора ГРП

НЕФТЯНОЕ ХОЗЯЙСТВО 11’2016 37

РАЗР

АБ

ОТК

А И

ЭК

СП

ЛУА

ТАЦ

ИЯ

НЕФ

ТЯН

ЫХ

МЕС

ТОРО

ЖД

ЕНИ

ЙКлерка (KGD). В рамках принятых допущений модельKGD хорошо описывает развитие трещины гидрораз-рыва на ранней стадии закачки, пока выполняетсяусловие hf >>xf, т.е. в момент начала роста трещины отинтервала перфорации, высота которого равна высотетрещины гидроразрыва.

Модель развития радиальной трещины (coin-sha-ped, или Radial) [3] подходит для описания трещин,образующихся на малых глубинах, где вертикальноенапряжение меньше горизонтальных напряжений, итрещина возникает в горизонтальной плоскости.Кроме того, радиальная модель достаточно хорошоописывает начальный этап развития вертикальнойтрещины, радиально растущей из точечного интерва-ла перфорации в однородном поле горизонтальныхнапряжений. В случае вертикальной трещины ради-альный характер роста трещины эквивалентен равен-ству высоты и длины трещины.

Первой моделью для описания трещин, геометриякоторых не удовлетворяет условию hf >>xf, можно счи-тать модель, предложенную в работе [6] и дополнен-ную в работе [7]. Эта модель называется моделью Пер-кинса – Керна – Нордгрена (PKN). Она описываеттечение жидкости с утечками в пласт в раскрывающем-ся канале эллиптического сечения переменной площа-ди. На стенках трещины выполняется условие плоскогонапряженного состояния. Уравнение течения являетсяодномерным, усредненным по сечению. Необходи-мость выполнения условия плоского напряженного со-стояния на поверхности трещины ограничиваетобласть применения модели: hf >>xf – эквивалентнопринятию постоянства высоты трещины, являющейсявходным параметром. Утечки жидкости в пласт в моде-ли PKN описываются в рамках модели фильтрациижидкости через фильтрационную корку низкой прони-цаемости на поверхности стенок трещины, образован-ную высокомолекулярными компонентами жидкостиразрыва, так называемой модели Картера [8].

В целом 2D модели (за исключением радиальной)основаны на допущении полного отсутствия роста вер-тикальной трещины в высоту. Это возможно при суще-ственном различии горизонтальных напряжений илиналичии сдвиговых разрушений на границе с выше- инижележащими пластами, но является крайне редкимслучаем на практике.

Для описания развития вертикальной трещины в не-однородных пластах с изменением по глубине напря-женного состояния, механических и фильтрационныхсвойств было необходимо развитие новых подходов.Практическая важность корректного описания ростатрещины в высоту для решения задач планирования ивыполнения ГРП способствовала развитию моделейкласса Pseudo3D (P3D) и Planar3D (PL3D).

К классу моделей P3D [9] относят параметрические(Lumped-P3D, или LP-P3D) [10, 11] и кусочно-задан-ные (Сell-based-P3D, или CB-P3D) [12] модели. В мо-делях LP-P3D геометрия трещины в базовой поста-новке описывается двумя сочлененными полуэллип-соидами, в моделях CB-P3D – набором связанныхячеек, каждая их которых имеет собственную высоту.

По схеме решения модели P3D основаны на расшире-нии двумерного решения уравнения упругости допсевдотрехмерного путем разбиения расчетной обла-сти на несколько элементов. В пределах одного эле-мента решение находят так же, как для модели 2D,далее решения сшиваются.

Следующим по сложности классом моделей ГРП яв-ляется планарная трехмерная модель (Planar3D, илиPL3D). В предположении роста трещины в пределахвертикальной плоскости модель PL3D [2, 12, 13]включает решение связанной трехмерной задачиупругости и гидродинамики в двумерной постановке:связь двумерного поля давления жидкости внутритрещины и минимальных горизонтальных напряже-ний на стенке трещины. Данный аспект является ос-новным отличием модели PL3D от моделей 2D и P3D,при разработке которых изначально допускалось на-личие градиента давления только в горизонтальномнаправлении роста трещины.

Полностью трехмерные модели (Full3D) являютсяфизически наиболее полными из-за отсутствия каких-либо ограничений по геометрии трещины [14]. Однакорасчет модели Full3D требует существенных вычисли-тельных ресурсов, которые не доступны в инженернойпрактике. Модели Full3D применяются для решенияпреимущественно научных задач, например, для моде-лирования процесса зарождения трещины сложнойпространственной формы в неоднородном трехмер-ном поле напряжений.

В настоящее время все промышленные симуляторыГРП в качестве основных рабочих моделей используютрешения на основе моделей классов Pseudo3D илиPlanar3D.

Допущения модели ГРП в постановке модели Planar3DМатематическое описание процесса ГРП включает:1) уравнения теории упругости, связывающие де-

формацию пород пласта с действующими на них внеш-ними напряжениями и давлением, оказываемым жид-костью гидроразрыва или смесью с проппантом настенки трещины;

2) критерии роста трещины гидроразрыва, следую-щие, как правило, из предположений теории линейно-упругой механики разрушения;

3) уравнения гидродинамики, описывающие распро-странение по трещине жидкости гидроразрыва и пере-носимого ею проппанта;

4) уравнения фильтрации жидкости гидроразрываиз трещины в пласт.

Из практических соображений физической доста-точности описания рассматриваемого процесса примоделировании ГРП в модели Planar3D принимаютсяследующие общепринятые допущения:

1) материал породы считается линейно-упругим;2) перераспределением порового давления во время

проведения ГРП можно пренебречь;3) трещина ГРП развивается в вертикальной плоско-

сти в направлении максимального горизонтальногонапряжения пласта;

38 11’2016 НЕФТЯНОЕ ХОЗЯЙСТВО

РАЗР

АБ

ОТК

А И

ЭК

СП

ЛУА

ТАЦ

ИЯ

НЕФ

ТЯН

ЫХ

МЕС

ТОРО

ЖД

ЕНИ

Й 4) двумерный поток несжимаемой жидкости в тре-щине, его течение подчиняются уравнению теченияПуазеля; жидкости, закачанные в различные моментывремени, не смешиваются;

5) фильтрация жидкости разрыва из объема трещи-ны в пласт описывается одномерным однофазнымтечением, толщину зоны проникновения жидкости впласт по сравнению с длиной трещины можно считатьнебольшой;

6) процесс переноса проппанта описывается безучета эффектов, слабо влияющих на конечное реше-ние (взаимодействие частиц проппанта между собой,слипание частиц, изменение шероховатости стеноктрещины).

Математическая модель ГРП в постановке модели Planar3DРешение основных уравнений модели Planar3D за-

писывается на двумерной сетке, покрывающей поверх-ность трещины, задача решается численными метода-ми. Сетка снабжена механизмом, учитывающим росттрещины с течением времени.

Линейно-упругая модель породы с учетом принятыхдопущений выглядит следующим образом:

(1)

где ij = ij + pij = kkij + 2Gij – тензор полных напря-жений; ij – тензор напряжений скелета породы; – плот-ность горной породы; g – ускорение свободного падения; – коэффициент пороэластичности; p – поровое давление;

– тензор деформаций; =vE/(1+v)

(1–2v), G=E/2(1+v) – коэффициенты Ламе; v – коэф-фициент Пуассона; E – модуль Юнга; ui – компонентавектора смещения; kk – след тензора деформаций.

Модель гидродинамики жидкости. Двумерные урав-нения гидродинамики несжимаемой жидкости в тре-щине строятся на основе закона сохранения объема сучетом модели утечек по Картеру [8]

(2)

где w – поле раскрытия трещины; t – время; q –поток жидкости; Q – функция плотности источниковжидкости; Сl – коэффициент утечек; t0(x, z) – моментдостижения фронтом жидкости точки с координатми(x, z); vsp – удельный объем мгновенных утечек на еди-ницу площади.

Для неньютоновской степенной жидкости и теченияПуазейля между двумя плоскопараллельными пласти-

нами с расстоянием между стенками w уравнение дляпотока задается в следующем виде:

(3)

где 0n1 – показатель поведения степенной жидко-сти, зависящий от времени; K – коэффициент густотыпотока жидкости, зависящий от концентрации проппан-та и времени; – плотность жидкости; g – ускорениесвободного падения.

Модель переноса проппанта строится на основе за-кона сохранения объема проппанта каждой фракции

(4)

где wpf – толщина проппанта фракции f; �qpf = wpf vpf –

поток проппанта фракции f ; � vpf – скорость проппанта,учитывающая застревание, торможение проппанта от-носительно жидкости и его гравитационное оседание(эти процессы описываются корреляционными зависи-мостями); Qpf – источник проппанта.

Замыкание уравнений происходит через поля давле-ния и раскрытия нестационарных уравнений гидроди-намики, которые представляют собой граничные усло-вия для уравнений упругости в плоскости трещины.

Решением данной системы дифференциальных урав-нений, представляющих собой краевую задачу с по-движной границей, являются поля давления, раскрытиятрещины, концентрации проппанта, геометрия фронтатрещины гидроразрыва.

Программная реализация симулятора ГРПКлючевой задачей при разработке симулятора ГРП

является обеспечение скорости расчетов, приемлемойдля оперативного моделирования дизайнов ГРП и при-нятия инженерных решений. С учетом того, что реше-ние данного класса математических моделей пред-ставляет определенную новизну для отечественнойшколы моделирования, актуальной является задачаувеличения скорости расчета моделей Planar3D.

Принимая во внимание необходимость разработкипрограммного решения, позволяющего как моделиро-вать сложный профиль развития трещины ГРП, так ивыполнять более упрощенное, но менее ресурсоемкоемоделирование, при разработке корпоративного си-мулятора ГРП «РН-ГРИД» принята концепция совме-щения в одном программном комплексе моделей Pla-nar3D (основная) и Сell-based-P3D (опция).

С точки зрения практического применения, кромеразработки эффективных методов численного реше-ния математической модели ГРП, симулятор ГРП дол-жен иметь широкие интерфейсные возможности.

xg ,ij

ii

u

xux

12ij

j

i

i

j

wt

q QC t t x z

t t x zv t t x z( )

2 ( , )

( , )2 ( , ) ,l

sp0

0

0

qn

n K

wp g p g

2

1 2

1

2| | ,

nn

nn

n

1/1 2

1

w

tq Q

( )( ) ,pf

pf pf

НЕФТЯНОЕ ХОЗЯЙСТВО 11’2016 39

РАЗР

АБ

ОТК

А И

ЭК

СП

ЛУА

ТАЦ

ИЯ

НЕФ

ТЯН

ЫХ

МЕС

ТОРО

ЖД

ЕНИ

Й

К основным интерфейсным элементам относятся: – развитые механизмы распознавания форматов

для импорта/экспорта объемных цифровых массивов(данные геофизических исследований скважин(ГИС), конструкция скважины, регистрируемые пара-метры при мини-ГРП и ГРП);

– инструменты создания геомеханической моделипласта, в том числе с привязкой к результатам ГИС;

– формирование плана закачки для расчета как пла-новых, так и фактических дизайнов ГРП по импорти-рованным данным, включая взаимодействие с базамиданных жидкостей и проппантов;

– общепринятый набор графиков и карт для отобра-жения результатов расчета;

– проектная организация системы входных данных ирезультатов расчета, возможность расчета нескольких

вариантов отдельного дизайна ГРП, не-скольких дизайнов ГРП для одной сква-жины, например, для многостадийныхГРП в горизонтальных скважинах.

С учетом многолетнего успешногоопыта ПАО «НК «Роснефть» в областиразработки, поддержки и применениясобственного корпоративного про-граммного обеспечения для проекти-рования, мониторинга и разработкиместорождений задача программнойреализации интерфейсной части с на-чала проекта разработки симулятораГРП выполняется на уровне решенийпромышленного класса (рис. 4).

Особенности практического применения моделей Planar3D и Cell-based-Pseudo3D

Главное отличие планарной трехмер-ной модели PL3D от псевдотрехмерной

модели P3D состоит в том, что уравнения записы-ваются и решаются на двумерной сетке. На отдельном,но распространенном на практике примере реализа-ции геологических условий рассмотрим, когда резуль-таты моделирования существенно различаются.

Форма трещины всех моделей P3D может изменять-ся только в пределах фиксированной геометрии, форматрещины PL3D ограничена только условием планарно-сти. Моделирование развития трещины для случая,когда распределение профиля горизонтальных напря-жений эквивалентно трехслойной модели напряжений(условно глины – песчаник – глины), дает схожие ре-зультаты (рис. 5). Моделирование развития трещины вслучае прорыва в нижележащий (вышележащий) про-слой с меньшим напряжением дает существенное раз-личие в геометрии трещины после прорыва.

Рис. 4. Примеры интерфейсной части корпоративного симулятора ГРП «РН-ГРИД»

Рис. 5. Примеры моделирования развития трещины без прорыва (а, в) и с прорывом (б, г) в нижележащий прослой (б, г) для разных моделей

40 11’2016 НЕФТЯНОЕ ХОЗЯЙСТВО

РАЗР

АБ

ОТК

А И

ЭК

СП

ЛУА

ТАЦ

ИЯ

НЕФ

ТЯН

ЫХ

МЕС

ТОРО

ЖД

ЕНИ

Й Для сложного профиля напряжений модель PL3D даетс физической точки зрения более адекватную оценку до-стигаемых параметров трещины по сравнению с моделя-ми P3D.

Выводы1. Симулятор ГРП является инструментом накопления

всех научных знаний и практических сведений о процессеГРП. Выбор специалистом математической модели ГРПчасто определяет его дальнейшее представление о ГРП ивлиянии данного процесса на разработку нефтегазовыхместорождений.

2. Текущие задачи в части объектов и способов приме-нения ГРП, уровень современного промышленного ма-тематического моделирования способствуют развитиюсимуляторов ГРП на основе модели Planar3D. Задачаувеличения скорости расчета Planar3D моделей такжеявляется крайне актуальной.

3. Совмещение в одном симуляторе ГРП моделей Planar3D и Сell-based-P3D позволяет получить гибкоепрограммное решение для конкретных геологическихусловий и требований к оперативности расчетов.

4. Обеспечение технологической независимости оте-чественной нефтяной и газовой промышленности вчасти инженерных инструментов для моделированияГРП является решаемой задачей для российского на-учно-инженерного сообщества.

5. Переход от этапа разработки к промышленному внед-рению корпоративного симулятора ГРП «РН-ГРИД» за-планирован на 2017 г.

Коллектив авторов благодарит специалистов в обла-сти ГРП из ОАО «Самотлорнефтегаз», АО «Самаранеф-тегаз», ООО  «РН-Юганскнефтегаз», ООО «ЦЭПиТР»,ООО «РН-УфаНИПИнефть» и ООО «НК «Роснефть-НТЦ»за помощь и ценные замечания, полученные при тестиро-вании «РН-ГРИД».

Список литературы

1. Nolte K.G. Fracture Evaluation Using Pressure Diagnostics. Reservoir sti-mulation. 3rd ed. – Chichester: Wiley, 2000. – 856 р.

2. Computer simulation of hydraulic fractures/ J. Adachi, E. Siebrits, A. Peir-ce, J. Desroches// International Journal of Rock Mechanics & Mining Sci-ences. – 2007. – P. 739–757.

3. Sneddon I.N. The Distribution of Stress in the Neighbourhood of a Crackin an Elastic Solid//Proceedings of the Royal Society of London A: Mathe-matical, Physical and Engineering Sciences. – 1946. – Т. 187. – № 1009. –С. 229–260.

4. Khristianovich S.A., Zheltov Y.P. Formation of vertical fractures by meansof highly viscous liquid//Proc. Fourth World Pet. Congress. – Rome. –1955. – V. 2. – P. 579–586.

5. Geertsma J., de Klerk F.A. Rapid Method of Predicting Width and Extentof Hydraulic Induced Fractures//J. Pet Technol. – 1969. – Т. 12. –P. 1571–1581.

6. Perkins T.K., Kern L.R. Widths of hydraulic fractures// J. Pet. Tech. – 1961. –P. 937–949.

7. Nordgren R.P. Propagation of a Vertical Hydraulic Fracture//SPE 3009-PA. – 1972.

8. Carter R.D. Derivation of the General Equation for Estimating the Ex-tent of the Fractured Area. Приложение к C.R. Fast G.C. Howard// Dril-ling and Production Practice. – New York: American Petroleum Institute,1957. – P. 261–269.

9. Mack M.G., Warpinski N.R. Mechanics of hydraulic fracturing//Reservoirstimulation. 3rd ed. – Chichester: Wiley, 2000. – 856 р.

10. Cleary M.P. Analysis Of Mechanisms And Procedures For Producing Fa-vourable Shapes Of Hydraulic Fractures//SPE 9260-MS. – 1980.

11. Meyer B.R. Design Formulae for 2-D and 3-D Vertical Hydraulic Fractu-res: Model Comparison and Parametric Studies//SPE 15240-MS. – 1986.

12. Smith M.B., Klein H.A. Practical Applications of Coupling Fully Numerical2-D Transport Calculation With a PC-Based Fracture Geometry Simulator//SPE 30505. – 1995.

13. Barree R.D. A Practical Numerical Simulator for Three-Dimensional Frac-ture Propagation in Heterogeneous Media//SPE 12273-MS. – 1983.

14. Clifton R.J., Abou-Sayed A.S. On The Computation Of The Three-Di-mensional Geometry Of Hydraulic Fractures//SPE 7943-MS. – 1979.

References1. Nolte K.G., Fracture evaluation using pressure diagnostics. Reservoir stimu-lation, 3rd ed., Chichester: Wiley, 2000, 856 р.

2. Adachi J., Siebrits E., Peirce A., Desroches J., Computer simulation of hy-draulic fractures, International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences,2007, pp. 739-757.

3. Sneddon I.N., The distribution of stress in the neighbourhood of a crack inan elastic solid, Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical,Physical and Engineering Sciences, 1946, V. 187, no. 1009, pp. 229-260.

4. Khristianovich S.A., Zheltov Y.P., Formation of vertical fractures by means ofhighly viscous liquid, Proceedings of Fourth World Pet. Congress, Rome, 1955,V. 2, pp. 579-586.

5. Geertsma J., de Klerk F.A., Rapid method of predicting width and extent ofhydraulic induced fractures, J. Pet Tech., 1969, V. 12, pp. 1571-1581.

6. Perkins T.K., Kern L.R., Widths of hydraulic fractures, J. Pet. Tech., 1961,pp. 937-949.

7. Nordgren R.P., Propagation of a vertical hydraulic fracture, SPE 3009-PA,1972.

8. Carter R.D., Derivation of the general equation for estimating the extent ofthe fractured area, Drilling and Production Practice, New York: American Pe-troleum Institute, 1957, pp. 261-269.

9. Mack M.G., Warpinski N.R., Mechanics of hydraulic fracturing, Reservoirstimulation, 3rd ed., Chichester: Wiley, 2000, 856 р.

10. Cleary M.P., Analysis of mechanisms and procedures for producingfavourable shapes of hydraulic fractures, SPE 9260-MS, 1980.

11. Meyer B.R., Design formulae for 2-D and 3-D vertical hydraulic fractures:model comparison and parametric studies, SPE 15240-MS, 1986.

12. Smith M.B., Klein H.A., Practical applications of coupling fully numerical 2-D transport calculation with a PC-based fracture geometry simulator,SPE 30505, 1995.

13. Barree R.D., A practical numerical simulator for three-dimensional fracturepropagation in heterogeneous media, SPE 12273-MS, 1983.

14. Clifton R.J., Abou-Sayed A.S., On the computation of the three-dimen-sional geometry of hydraulic fractures, SPE 7943-MS, 1979.