PARTE A. CEBALLOS Y ARTIGASElegido el modelo de la guía de estudio: ejemplo 17

En un plano urbano, se grafica con flechas la circulación de las calles en sentido único, mientras que a,b,c,d,e,f representan puntos importantes de referencia en la ciudad.

Gráfico:

Designamos los puntos de arriba, desde izquierda a derecha como a,b,c mientras que los de abajo son d,e,f

Por ejemplo. ¿Cuántos caminos hay para llegar del punto a al punto e de la ciudad por camino directo y pasando por un punto intermedio? Si analizamos el gráfico llegamos a la conclusión de que se puede llegar por dos caminos, pasando por un punto intermedio.

Camino 1: De a hacia b. Desde b hasta e.

Camino 2: De a hacia d. De d hasta e.

No hay camino directo de a hacia e.

Ahora necesitamos saber la lista de caminos directos posibles completa desde un punto hacia otro. Para ello realizamos la matriz de adyacencia:

A=[010 100100 0 10010 0 11010 0 101110 00001 0 0 0

]Esta es la matriz para saber la cantidad de caminos directos desde un punto hacia otro del plano urbano.

De aquí podemos observar por ejemplo con la entrada a42 que hay un camino directo desde el punto “d” al punto “b” o que no hay caminos directos posibles desde el punto “f” al “a”, demostrado por la entrada a61

¿Cómo se hace para saber la cantidad de caminos pasando por UN punto intermedio? Se debe calcular el cuadrado de esta matriz, es decir A2

Lo calculamos con Wiris:

La matriz resultante A2 nos brinda la información sobre la cantidad de caminos posibles, desde un punto hacia otro pasando por UN punto intermedio.

Por ejemplo: la entrada a32 de la matriz resultante nos indica que hay un camino posible, pasando por un punto intermedio, para llegar desde el punto “c” al “b”.

Analizamos la información brindada por A2 para expresar la información de la siguiente manera:

A2[111111] = [

456573]

Entonces de aquí sacamos la información que se necesite. Como que el punto “e” es el que más caminos (pasando por un punto intermedio) tiene para llegar hacia él; como también se puede ver que el punto “f” es el que menos caminos dispone para llegar hacia él (pasando por un punto intermedio).

A partir de aquí, cada potencia a la que se continúe elevando la primera matriz de adyacencia, nos permitirá averiguar la cantidad de caminos posibles pasando por dos puntos intermedios (A3), cuatro puntos intermedios (A4) etc….

Ahora hago un paréntesis para confrontar resultados utilizando OnlineMSchool

Vemos que el resultado para A2 es el mismo que arroja Wiris (Llamada matriz C por OnlineMSchool). No hace falta mostrar todo el desarrollo hecho por el software porque sabemos cómo se multiplican matrices y es algo que no aporta a lo que se necesita demostrar en este momento.

Por último, hay una forma de unir estas informaciones. Sumando la matriz de adyacencia con sus potencias sucesivas como necesitemos, según lo que nos pida el problema, cada elemento de la

nueva matriz formada, representará el número de caminos distintos entre dos puntos ya sea directo o a lo sumo, por 1 punto intermedio o n puntos intermedios, según se necesite saber.

En particular:

S = A + A2. Lo calculamos con Wiris:

Confrontamos con Online M School

El resultado es el mismo.

De esta matriz resultante S se obtiene información por ejemplo por la entrada s32 de que 2 caminos unen en forma directa y pasando por un punto intermedio, a los puntos “c” con “b”.

Entonces para explicitar mejor estos datos lo representamos de la siguiente manera:

S[111111] = [

6797

104

]

De aquí sacaremos los datos que necesitemos, ya que nos informa el total de caminos que incluyen uno o dos tramos, y salen de cada uno de los puntos. Por ejemplo, que desde el punto “a” salen 6 caminos posibles; desde “b” salen 7 caminos, desde “e” salen diez caminos posibles, etc.

Respondiendo a la parte del enunciado: Analice y responda si las matrices intervinientes deben ser necesariamente ¿cuadradas? ¿Simétricas? ¿Invertibles? Fundamente.De aquí mi conclusión es: que se trabaja con potencias y con sumas. Como sabemos, para que las sumas sean posibles, se tiene que trabajar con matrices cuadradas, y de igual tamaño entre ellas.No se pueden sumar matrices de distinto tamaño, deben ser cuadradas; y la multiplicación no siempre será posible si las matrices no son iguales, podremos encontrarnos con algún problema en ello.No hay restricciones en cuanto a si son simétricas o invertibles, eso dependerá de cada matriz que se trabaje. Pueden serla como no serla.

PARTE B

La actividad consiste en recrear el Ejemplo 28 del material de estudio. Para recrearlo:

1) Reemplace la matriz T de la Guía de estudio por otra de la lista siguiente, y observe la acción que, sobre la letra N realiza el pre multiplicar la matriz D por T.

Nombres identificatorios:

T= nueva matriz de transformación

D= matriz de coordenadas.

TD=H=nueva matriz del transformado por T.

D=[0 0.5 60 0 0

5.5 0.5 01.58 6.42 8

5.5 68 8]

Elegimos la matriz número 2 de la lista

T=  

A k le doy el valor ½

TD = H = Nueva Matriz

Con Wiris:

Obtenemos: H=[0 0.25 30 0 0

2.75 0.25 01.58 6.42 8

2.75 38 8]

Gráfico con coordenadas originales

Gráfico con las nuevas coordenadas

¿Qué matriz calcularía y cómo la usaría con la matriz del transformado H, para obtener la matriz de coordenadas original? Esto es, ¿cómo procedería, operando con matrices, para obtener las coordenadas de la letra original?

Para este planteo, multiplicaríamos la inversa de la Matriz T, por la matriz H. Algo de la siguiente forma:

Expresado en Wiris:

Entonces como observamos, llegamos como resultado a las coordenadas originales de D

D=[0 0.5 60 0 0

5.5 0.5 01.58 6.42 8

5.5 68 8]

2) Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llámela S,  y repita el proceso pero ahora tomando como matriz de coordenadas a H.

 

Nuevos nombres identificatorios:

 

S= nueva matriz de transformación

H= nueva matriz de coordenadas.

SH=J=nueva matriz del transformado por S.

H=[0 0.25 30 0 0

2.75 0.25 01.58 6.42 8

2.75 38 8]

S=[k 00 1]k∈R ,k>1

Elegimos la matriz número 1 del listado.

K es valor 2

SH = J = Nueva matriz del transformado por S.

Wiris:

Obtenemos J = [0 0.5 60 0 0

5.5 0. 5 01.58 6.42 8

5.5 68 8]

Gráfico con las nuevas coordenadas