ASIGNATURA:

Matemática aplicada a la

Medicina

2014

Lógica y Conjuntos Análisis combinatorio y probabilidades Sistema de números reales Relaciones y funciones. Logaritmos y exponenciales. Limites y derivadas. Integrales

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CONTENIDO

Enunciado abierto Son expresiones que contienen variables y

que no tienen propiedad de ser verdaderos o falsos.

Ejemplo: + 5 = 130 ; Ella tiene 17 años.3

Lógica Proposicional

Enunciado:Se considera así a toda frase u oración que se emite. Algunos enunciados indican expresiones imperativas, exclamativas, interrogativas; otros en cambio pueden ser verdaderos o falsos. Ejemplo:

¿Esta feliz en la facultad?, ¡Que bueno volverte a ver!La vida universitaria es agitada. , + 3 = 28

Es toda expresión o enunciado que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa; pero no ambos a la vez.

Ejemplo:

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Proposición:

Notación.Generalmente a las proposiciones se les denota por letras minúsculas tales como: p, q, r, ..Así : p: Luis estudia ; q : Luis trabajaFunción proposicional p(x), esta se convierte en una proposición cuando la variable toma un valor determinado.p(x)= 3X + 2 = 11, si X es 3 es verdadero en otros valores de X, la proposición es falsa.

Luis Pasteur  descubrió la vacuna contra la rabia.. - 5= 120 Si estudio matemática, entonces apruebo el examen.Daniel Alcides Carrión es considerado el precursor de la medicina peruana.

1. Todo cardiólogo, es medico………..…………………( )2. El frio es mejor que el calor…………………………..( )3. No es cierto que cero es impar………………………( )4. La UPSM de Chiclayo tiene facultad de Medicina..( )5. 3.5 + 2.3 = 21…………..……………………………………..(

)6. p(x)= x²+2x – 2 6………………………………………..( )

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Ejercicios:En cada uno de los ejercicios indicar si es una proposición lógica.

Conectivos lógicos

p : Luis estudiaq : Luis trabaja : Luis estudia “y” trabajaqp

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Son expresiones que enlazan dos o más proposiciones Entre estas , se tiene: “o”; “y” ; “entonces”, “implica”; “ si y solo si”, etc.Los conectivos lógicos que usaremos son:

 

7

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Su tabla de verdad es:

La conjunción sólo es verdadera, cuando las dos proposiciones son verdaderas

8

•La Disyunción:

Relaciona dos o más proposiciones con la palabra “0”; que se denota por “ “

Su tabla de verdad es:

p q p q

V

V V

V F V

F V V

F F F

La disyunción sólo es falsa, cuando ambas proposiciones son falsas.

9

La disyunción exclusiva o diferencia simétrica

La disyunción exclusiva, sólo admite que es verdadera, si una de las proposiciones es verdadera y la otra es falsa. Se denota por: poro

p q p q

V

V F

V F V

F V V

F F F

Se lee:“p o q pero no ambos”

:qΛp

“ o es p o es q” p: Javier Pérez de Cuellar nació en Tumbes.

q: Javier Pérez de Cuellar nació en Lima.

“ o Javier Pérez de Cuellar nació en Tumbes o en Lima”.

:qΛp∆

10

La negación:

La negación de una proposición “p”, es otra proposición , denotado por “ ~p”, que se lee: “no p” , o “no es cierto que”, cuya verdad o falsedad queda determinada por la siguiente tabla:

p ~p

V F

F V

Ejemplo:

P: Eduardo es estudioso~p: Eduardo no es estudioso, o también: No es cierto que Eduardo es estudioso

11

El condicional:

En el condicional: p q

“p” se llama antecedente

“q” se llama consecuente

Denotado por el símbolo: se lee: “Entonces” o “implica”, etc.Por lo tanto, este conectivo une dos o más proposiciones con la palabra “entonces”Ejemplo: p: Eduardo estudia q: Eduardo aprueba el examen p q : Si Eduardo estudia, entonces aprueba el examen.

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p q p ⇒ q

V

V V

V F F

F V V

F F V

Su tabla de verdad es:

Nota: En el condicional: p

Sólo, es falso, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en todo los demás casos es verdadero.

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Al condicional se le asocia tres expresiones lógicas importantes:

Sea el condicional: p ⇒ q

La proposición Recíproca es: q ⇒ p

La proposición inversa es: ~p ⇒ ~ q

La Contrarrecíproca es: ~q ⇒ ~p

Construyendo la tabla de verdad, se tiene:

qp pq qp pq

Directo

Rcíproco

p q

V V V V V V

V F F V V F

F V V F F V

F F V V V V

Inversa Contrarecíproco

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El Bicondicional o Doble implicación

Denotado por: Se lee: “Sí y sólo sí”. Relaciona dos o más proposiciones mediante la palabra “sí y sólo si”. Su tabla de verdad es:

qp p q

V V V

V F F

F V F

F F V

p: Londres está en Inglaterraq: París está en Francia.

Londres está en Inglaterrasi, y solamente si,París está en Francia.

qp

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Cálculo de valores de verdad de fórmulas lógicas

Utilizando los conectivos lógicos estudiados, se pueden combinar cualquier número finito de fórmulas lógicas para obtener el valor de verdad de otras expresiones más complejas.

Tener en cuenta que el número de combinaciones de valores de verdad de una proposición, está supeditado al número de variables o proposiciones simples que intervienen. Para esto basta aplicar la fórmula: 2n , donde “n” indica el número de variables que hay en la proposición compuesta.

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p

q

V V F V V F F

V F F V F V V

F V V F F V F

F F V F F F V

Ejemplo: Construir la tabla de verdad de las siguientes expresiones lógicas:

qrprqpb

qpqpa

)()(~.)

~)(~.)

Solución: qpqpa ~(~.)

qpqp ~)(~

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qrprqpb )()(~.)

qrprqp )()(~ p q r

V V V F F V V V V V

V V F F F V V V V V

V F V F F V V V F F

V F F F F F V V F F

F V V V V V V V V V

F V F V V V F F F V

F F V V V V F V F F

F F F V F F V F F F

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Proposiciones equivalentes:

Se dice que dos proposiciones son equivalentes, si tienen iguales valores de verdad.

Ejemplo:

,~ qpyqp Construyendo su tabla de verdad:

qp p q ~ p ∨ q

V V V V

V F F F

F V V V

F F V V

Son equivalentes

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Tautologías, contradicciones y contingencias:

• Una expresión proposicional se llama Tautología, si

los valores de su tabla de verdad todos son verdaderos

• Una expresión proposicional se llama Contradicción, si

los valores de su tabla de verdad, todos son falsos.

• Una expresión proposicional se llama Contingencia,

si en los valores de su tabla de verdad hay valores

verdaderos y falsos

Determinar si el siguiente esquema es tautológico, contingente o contradictorio.

p p)]~ q(~ q) (p [~ p

q

V V F V V F F F V V

V F F V V V F F V V

F V F V V F F V V F

F F V F V V V V V F

pp)]~q(~q)(p[~

20

 

r~ ] s) ~ Δ (s q) p~ [(

21

Solución:= V

V V

V V

VV

r~ ] s) ~ Δ (s q) p~ [(

22

Equivalencias Notables

)()()

)()()

)()()

:.4

)

)

)

:.3

)

)

:.2

)(~~

:)(:.1

rqprqpc

rqprqpb

rqprqpa

AsociativaLey

pqqpc

pqqpb

pqqpa

aConmutativLey

pppb

pppa

iaIdempotencdeLey

pp

negaciónDobleinvolucióndeLey

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Equivalencias notables:

Fppc

ppb

Vqpa

oComplementdeLeyes

qpqpb

qpqpa

MorganDdeLey

rpqprqpd

rpqprqpc

rpqprqpb

rpqprqpa

vasDistributiLeyes

~)

)(~~)

~)

:.7

~~)(~)

~)(~)

:´.6

)()()()

)()()()

)()()()

)()()()

:.5

24

Principales leyes lógicas

qpqppdqpqppc

pqppbpqppa

AbsorsióndeLey

FFpdpFpc

pVpbVVpa

IdentidaddeLeyes

qpqpqpb

pqqpqpa

nalBicondiciodelLey

pqqpc

qpqpb

qpqpa

onaldelCondiciLeyes

)(~))(~)

)())()

:.11

))

))

:.10

)~(~)()()

)()()()

:.9

~~)()

~)(~)

~)

:.8

25

Principales leyes lógicas

iónContradiccCíaTautoT

CCpdpCpc

TTpbpTpa

NeutrosElementos

rppppprppppb

rqprqpa

nExportaciódeLey

pqqpb

pqqpa

iónTransposicdeLey

nnn

;log

))

))

:.14

)()....()....()

)()()

:.13

)~(~)()

)~(~)()

:.12

321321

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CUANTIFICADORES

Función Proposicional:

Es todo enunciado abierto, que tiene la propiedad de convertirse en una proposición al ser sustituido la variable “x” por una constante específica. Se les denota asi:

P(x) ; q(x) ; etc.

Ejemplo:

Sea : = 0 ; donde si reemplazamos x por 2 , la expresión es verdadera; si reemplazamos x por – 4, la expresión es falsa. Esto escribimos así:

P(2): 4 – 12 + 8=0 es verdadera.

P(- 4): 16+24 + 8 12 es falsa.

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TIPOS DE CUANTIFICADORES

1.- Cuantificador Universal:

Es toda función proposicional precedida por el prefijo “Para Todo”, que está denotado por:

Así por ejemplo:

Se lee: “Para todo x perteneciente a los reales, x2 es mayor o igual a cero”

2.- Cuantificador Existencial

Es toda función proposicional precedida por el prefijo “Existe algún x”, que está denotado por :

0: 2 xRx

082::

"lg"::2

xRxEjemplo

xúnaExisteleesex

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Negación de los Cuantificadores:

Dada una función proposicional , tal como : P(x), entonces

si esta función proposicional está cuantificada y se niega,entonces, se cumple la siguiente igualdad:

)(~:)(:~ xpAxxpAx Dada una función proposicional, tal como : P(x), entonces, si esta función proposicional está cuantificada en forma existencial y se niega, entonces, se cumple la igualdad:

)(~:)(:~ xpAxxpAx

Ejercicios de aplicación1.El valor de verdad de las siguientes

proposiciones, es: a) (5 – 3 = 8 ) ( 1 – 7 = 6 )……… … F…… ……F………= …V…. b) (3³.4²÷ 2³.3² ≥ 5) Λ ( 4.5.2 – 3.2.5= 8) ……V………. Λ ……F…= …F…2. Si p(x): x² - 36 = 0 ; q(x): x – 5 = 0 ; r(x): x² > 25 Hallar el valor de verdad de: a) [p(- 7) Λ ~ q(4)] r(4) F F = V b)[(p(5) Λ q(7)) (r(6) v q(2))] [~ p(6) v Q(5)]

V V = V

3. Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición: a) (p ~ q) (q p)

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Ejercicios de aplicación

p q (p ~ q) (q p)

V V F F V

V F V V V

F V V F F

F F F F V

4. Determinar si la siguiente proposición es tautología , contingencia o contradicción.

a) [~p Λ (q Λ ~r)] [(~p Λ q) v ~ (p v r)]

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Ejercicio de aplicación

p q r [~p Λ (q Λ ~r)] [(~p Λ q) v ~ (p v r)]

V V V F V F

V V F F F V

V F V F V F

V F F F V F

F V V F F V

F V F V V V

F F V F V F

F F F F F V

5. Si la proposición: ~ (pΛq) Λ (q p) es verdadera; entonces los valores de verdad de p y q; es:

~ (pΛq) Λ(q p) V(p)= F V V V(q)= F V6. Si la proposición:(~p Λ q) (~s v r) es

falsa. Hallar el valor de verdad de cada uno de las proposiciones:

a) ~[(p q) r ]

b) ~ [(~p Λ q) Λ (~ r v r ) Λ s32

Ejercicios de aplicación

7. Cuales de las siguientes proposiciones lógicas son equivalentes:

a) ~(q ~p) (q v p)

b) ~(p q) [(p v q) Λ ~ q]

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Ejercicios de aplicación

p q ~(q ~p)

(q v p)

V V V V V

V F F F V

F V F F V

F F F V F

8. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a) X² - X = 0 X.(X – 1) = 0 X = 0 v X = 1………….(V)

b) /x + y = 7

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Ejercicios de aplicación

Solución:

)

p

9. Simplificar la siguiente proposición:

1. Si P(x) : x3 = 27 ; q(x): x2 = 9 ; r(x) : x 10. Hallar el valor de verdad de:

I) [ p(1) q(12)] [r(-3) r (3)] II)[ p(0)q(-1)] [ r( - 5) ( r(- 6) r(0))] III) [ (p(3) p(2)) (r(2) q(3))] [q(3) p(-3)] a) VVV b) VVF c) VFV d) FVF e)

FFF

2. Si la proposición compuesta : , es falsa, entonces los valores de verdad de : p , q , r y s ; es:

a) FVVF b) FVFV c) VVVV d) FFFF e) VVFF36

Preguntas de exámenes Pasados