Download pdf - Rekenen op de Beste Keuze: Een experimenteel onderzoek naar hoofdreken- en cijferstrategieën bij het oplossen van aftrekopgaven tot 1000

Rekenen op de Beste Keuze;

Een experimenteel onderzoek onder 336 basisschoolleerlingen

naar hoofdrekenen cijferstrategieën bij het oplossen van

aftrekopgaven tot 1000

Semiha Aydın

Universiteit Leiden

Bachelorthesis Studierichting Psychologie

Faculteit der Sociale Wetenschappen

Supervisor: Dr. M. Hickendorff

Bachelorthesis Semiha Aydın: REKENEN OP DE BESTE KEUZE 2

Rekenen op de Beste Keuze;

Een experimenteel onderzoek onder 336 basisschoolleerlingen

naar hoofdrekenen cijferstrategieën bij het oplossen van

aftrekopgaven tot 1000


1 Samenvattingen

1.1 Abstract

Adaptation of the choices to item characteristics and to the particular capabilities of the student is

highly valued in the Netherlands since recent changes have occurred in mathematics education and

achievement of children in this area. The aim of the current study was to analyze the development of

children’s adaptivity when solving subtraction problems up to 1000 with use of mental and written

strategies by using the Adaptive Strategy Choice Model (Lemaire and Siegler, 1995) and the choice/ no-

choice method (Siegler & Lemaire, 1997). The results are presented in a descriptive part in which a turn

is made to describe performance characteristics of different specific strategies (column-wise

substraction, traditional arithmetic, jump strategies, decomposition, indirect addition and

compensation) and an experimental part in which the degree of efficiency and children’s adaptive use

of mental and written strategies are tested. Our results showed significant grade related differences in

strategy choice. A within subjects comparison showed that some students chose strategies adaptively

with regard to speed of execution and accuracy while some students chose adaptively with regard to

speed only and non-adaptively with regard to accuracy or neither one of them.

1.2 Samenvatting

Sinds de hervormingen in het rekenonderwijs is strategiekeuze een belangrijk thema in het reken-

wiskunde onderwijs. Met oog op deze context is in het huidig onderzoek, gebruik makend van het

Adaptive Strategy Choice Model (Lemaire & Siegler, 1995) en de keuze/geen keuze design (Siegler &

Lemaire, 1997), de ontwikkeling van adaptiviteit bij het oplossen van aftrekopgaven met hoofdreken en

cijferstrategieën in het getaldomein tot 1000 op een systematische manier onderzocht. De resultaten

worden gepresenteerd in een descriptief deel waarin een aanzet wordt gedaan tot het beschrijven van

prestatiekenmerken van verschillende specifieke strategieën (kolomsgewijs aftrekken, cijferen, rijgen,

splitsen, aanvullen en compenseren) en een experimenteel deel waarin de mate van efficiënt en

adaptief gebruik van de hoofdrekenen cijferstrategieën worden getoetst. De resultaten tonen dat er

zowel binnen als tussen leerjaren verschillen zijn in strategiekeuze en prestatie. Terwijl leerlingen uit

sommige leerjaren hun keuzes adaptief aanpasten aan hun kunnen, bleken er leerjaar gerelateerde

verschillen te zijn waarbij alleen leerlingen uit groep zes statistisch significant adaptief bleken te kiezen

ten aanzien van beide prestatiekenmerken.


Inhoud 1 Samenvattingen ................................................................................................................ 3 1.1 Abstract .................................................................................................................... 3 1.2 Samenvatting ........................................................................................................... 3 2 Inleiding ............................................................................................................................. 5 2.1 Adaptiviteit van strategiekeuze ................................................................................ 7 2.2 Rekenstrategieën ..................................................................................................... 9 2.3 Experimenteel onderzoeksdesign naar strategiekeuze.......................................... 11 2.4 Het Huidig onderzoek ............................................................................................. 12 3 Methoden ....................................................................................................................... 14 3.1 Deelnemers ............................................................................................................ 14 3.2 Materialen .............................................................................................................. 14 3.3 Condities ................................................................................................................. 15 3.4 Procedure ............................................................................................................... 17 3.5 Scoring .................................................................................................................... 17 3.6 Statistische analysen .............................................................................................. 18 4 Resultaten ....................................................................................................................... 18 4.1 Repertoire en distributie in de keuze conditie ....................................................... 19 4.2 Efficiëntie in de keuze conditie .............................................................................. 20 4.3 Efficiëntie in de geen keuze condities .................................................................... 21 4.3.1 Efficiëntie tussen de twee geen keuze condities ........................................... 21 4.3.2 Invloed van de twee Soorten Opgaven op Efficiëntie ................................... 23 4.4 Strategiekeuze in de keuze conditie: Adaptiviteit .................................................. 25 4.4.1 Opgavekenmerken ........................................................................................ 25 4.4.2 Adaptiviteit: Een Binnen deelnemers vergelijking ......................................... 25 4.4.3 Adaptiviteit: Met of Zonder Uitwerkingen .................................................... 26 5 Discussie........................................................................................................................... 27 5.1 Conclusie ................................................................................................................ 27 5.2 Limitaties ................................................................................................................ 28 5.3 Implicaties .............................................................................................................. 30 6 Literatuurlijst ................................................................................................................... 32 7 Bijlage 1: De experimentele en voorbeeldopgaven ......................................................... 35 8 Bijlage 2: Strategie Repertoire en Chi2 waarden .............................................................. 36 9 Bijlage 3: Gemiddelde Oplossingstijd per Item ................................................................ 37


2 Inleiding

Terwijl Nederlandse scholieren decennia lang een goede positie innamen in internationale

peilingen op het gebied van rekenen, kalft deze sterke positie nu langzamerhand af. In haar rapport

over de relatie tussen rekendidactiek en rekenvaardigheid concludeert de Koninklijk Nederlandse

Akademie van Wetenschappen dat het rekenonderwijs ‘beter kan en moet’ (KNAW, 2009, p 41.).

Steevaste uitspraken over hoe het rekenonderwijs beter moet zijn er nog niet; mede doordat er

nog niet genoeg onderzoek naar het onderwerp gedaan is. Behalve dat leerlingen uit andere landen

het steeds beter doen, blijkt het rekengedrag van Nederlandse scholieren veranderd te zijn (KNAW,

2009). In de literatuur is er redelijk consensus over welke strategieën door leerlingen gebruikt

worden (Torbeyns, Verschaffel & Ghesquière, 2006) en welke systematische fouten gemaakt

worden (Fuson et al., 1997), maar er is nog weinig bekend over hoe er gekozen wordt voor een

bepaalde strategie om een rekenopgave op te lossen. Naar optel- en aftrekopgaven in het

getaldomein tot 100 (Beishuizen, Van Putten &Van Mulken, 1997; Torbeyns et al., 2006),

vermenigvuldigingen (Lemaire & Siegler, 1995; Siegler & Lemaire, 1997) en deelsommen

(Hickendorff, Van Putten, Verhelst & Heiser, 2010) is er eerder onderzoek beschikbaar. Er is echter

nog relatief weinig onderzoek gedaan naar het rekenen met aftrekopgaven in het getaldomein tot

1000 (Colaers, 2012). Dit terwijl strategiekeuze een belangrijk thema is sinds de hervormingen in

het rekenonderwijs (Verschaffel, Luwel, Torbeyns & Van Dooren, 2007) en aftrekopgaven een basis

vormen voor veel andere rekenbewerkingen. Met het oog op deze maatschappelijke en

wetenschappelijke context is in dit onderzoek beoogd om op een systematische manier

strategiekeuze bij het oplossen van aftrekopgaven in het getaldomein tot 1000 te analyseren.

Vanuit het perspectief van reken-wiskundeonderwijs zijn oplossingsstrategieën belangrijk.

Waar in het traditioneel reken-wiskundeonderwijs de nadruk lag op het komen tot een goed

antwoord aan de hand van een algoritmisch procedure die altijd tot het juiste antwoord leidt

(Ruthven, 1998), is sinds de hervormingen ook de manier waarop de leerlingen tot een oplossing

komen van groot belang. Sinds de hervormingen in het reken- wiskundeonderwijs aan het einde

van de vorige eeuw (Freudenthal, 1973) wordt flexibel en efficiënt strategiegebruik belangrijk

geacht. Volgens de aanhangers van de vernieuwingsbeweging (ook wel realistisch rekenen

genoemd) zouden leerlingen in staat moeten zijn om actief hun eigen manieren van rekenen te

verwerven en inzicht en flexibiliteit te verkrijgen in het aanpakken van problemen via een

diversiteit aan strategieën (Blöte, Van der Burg & Klein, 2001). In het reken- wiskundeonderwijs zou

gestreefd moeten worden naar dat leerlingen leren om de voor hen kortste en eenvoudigste

oplossingsmethode te kiezen; oftewel dat rekenstrategieën op een adaptieve en efficiënte manier

gebruikt worden (Verschaffel, Luwel, Torbeyns & Van Dooren, 2009). Parallel met de veranderingen


in het doel van het reken/wiskundeonderwijs in het basisonderwijs, is een verschuiving in de

inhoud en opbouw van de rekenmethoden en lessen zichtbaar geworden. Reflectie op

strategiekeuze in klassendiscussies is nu een fundamenteel aspect van het reken-

wiskundeonderwijs (Anghileri, Beishuizen & Van Putten, 2002). Daar de beheersing van

cijferalgoritmen vroeger als een algemeen einddoel gold, worden deze cijferalgoritmen in het

hedendaags onderwijs later, voortbouwend op alternatieve rekenstrategieën gebaseerd op

schattend rekenen en hoofdrekenen aangeleerd (Torbeyns & Verschaffel, 2011).

De meerwaarde van het onderwijzen van rekenstrategieën die berusten op getalkennis en

inzicht wordt volgens aanhangers van het nieuwe rekenen onthuld in studies als die van Hiebert en

Wearne (1996). Volgens hen kunnen kinderen die onderwezen zijn met methoden die de

ontwikkeling van conceptuele kennis en constructie van informele rekenstrategieën promoten,

efficiënt kiezen tussen strategieën om optel- en aftrekopgaven op te lossen. Kinderen die les

hebben gehad met methoden waarin de beheersing van cijferalgoritmen een centrale plaats in het

curriculum inneemt, bleken vaker systematische fouten te maken en te vertrouwen op foute

procedures in vergelijking met kinderen die les hebben gehad met hervorminggebaseerde

rekenmethoden (Hiebert & Wearne, 1996).

In de praktijk blijkt echter dat de hervormingen samen zijn gegaan met zowel een sterke

daling in prestatie (op het gebied van bewerkingen) als een relatieve stijging (op gebieden als

getalrelaties) (Janssen, Van der Schoot & Hemker, 2005). Deze trend van daling lijkt simultaan te

zijn gegaan met een verschuiving in strategiegebruik van geschreven naar hoofdrekenstrategieën

zonder uitwerking. Dit terwijl geschreven strategieën in vergelijking met strategieën zonder

uitwerking van tussenstappen vaker naar het juiste antwoord leiden (Van Putten & Hickendorff,

2006). In een onderzoek waarin van 1044 Nederlandse scholieren de uitwerkingen tijdens het

oplossen van deelsommen uit toetsboekjes van de periodieke peilingen in 2004 en 574

toetsboekjes uit 1997 zijn geanalyseerd, bleken opgaven die beantwoord zijn met een uitwerking

vaker dan opgaven zonder uitwerking correct beantwoord te zijn (Van Putten & Hickendorff, 2006).

Deze superioriteit van bewerkingen met uitwerking was te zien onder leerlingen met een hoog en

laag rekenniveau en ongeacht de strategie die gebruikt werd. De onderzoekers suggereren dat de

daling in prestatie kan komen door eerder een vervanging van het traditionele cijferalgoritmen

door het frequent beantwoorden van opgaven zonder uitwerking dan realistische strategieën die in

de plaats van het cijferalgoritme zijn gekomen.

In vervolg op deze bevindingen is in een experimenteel onderzoek waarin deelopgaven

opgelost werden door Nederlandse leerlingen uit het zesde leerjaar van het basisonderwijs (groep

acht) door of te gaan hoofdrekenen of een geschreven strategie te gebruiken (Hickendorff et al.

2010) naar voren gekomen dat leerlingen die zelf kozen om een opgave te beantwoorden door uit


het hoofd te rekenen, vaker tot de juiste oplossing komen wanneer ze daarna geforceerd werden

om de opgaven op te lossen met uitwerkingen. Leerlingen bleken te verschillen in de mate waarin

ze hun strategiekeuze aanpasten aan de gegeven opgaven.

In een groot onderzoek van Beishuizen et al. (1997) zijn prestatiekenmerken van de twee

rekenstrategieën indirect optellen en splitsen onder Nederlandse leerlingen uit het derde leerjaar

(groep 5) van het basisonderwijs geanalyseerd. Kinderen die alleen les hebben gehad in het eigen

maken van indirecte optelstrategieën, bleken de aftrekopgaven niet alleen op te lossen door

indirect op te tellen. Bijna de helft van deze leerlingen gebruikten consistent alleen de

splitsstrategie, terwijl de andere helft alleen indirect optelde. Ondanks het belang dat aan efficiënt

strategiegebruik werd gehecht, bleek een kleine minderheid van de leerlingen probleemkenmerken

in rekening te nemen en verschillende strategieën te gebruiken.

Ook uit een descriptieve studie onder Duitse leerlingen komen vergelijkbare resultaten naar

voren (Selter, 2001). Leerlingen die onderwezen zijn op basis van een hervormingsgebaseerd

curriculum bleken na het leren van cijferalgoritmen zelden de in eerdere leerjaren verworven

hoofdrekenstrategieën toe te passen, ook bij het oplossen van opgaven die daarmee efficiënt

opgelost zouden kunnen worden. Bovendien werd van het cijferalgoritme ook weinig efficiënt en

allerminst flexibel gebruik gemaakt (Selter, 2001), wat suggereert dat de daling toe te schrijven is

aan vooral de mate van succes bij het toepassen van rekenstrategieën en niet aan het gebruik van

een specifieke strategie.

2.1 Adaptiviteit van strategiekeuze

Uit de hierboven beschreven literatuur komt naar voren dat leerlingen op het pad naar de

juiste oplossing van rekenopgaven de fout in gaan door de manier waarop ze opgaven aanpakken.

Een relevante vraag met betrekking op het rekengedrag van leerlingen is waarom de ene leerling

meer accuraat en flexibel is dan de ander (Heirdsfield & Cooper, 2004). Volgens Lemaire en

Siegler’s (1995) ‘adaptive strategy choice model’ (ASCM) worden verschillen op

strategiecompetentie tussen individuen verklaard door vier dimensies waarop individuen

verschillen. Deze vier dimensies zijn a) strategierepertoire, b) distributie van strategiegebruik, c)

efficiëntie van strategie-uitvoering en d) strategiekeuze of adaptiviteit, wat respectievelijk inhoudt

dat a) een leerling verschillende strategieën ter beschikking heeft, b) de frequentie waarmee een

leerling deze verschillende strategieën gebruikt, c) de accuratesse en de snelheid waarmee de

strategieën worden toegepast en als laatst d) of er gekozen wordt voor ‘’de kortste, de

eenvoudigste, de ‘beste’ oplossingsmethoden’’ (Reynders en Snijders, 1959, p.30-31). Volgens

Lemaire en Siegler (1995) leiden veranderingen in een van deze dimensies tot verbeteringen in


snelheid en accuratesse op taakprestatie. Zoals te verwachten is, zijn de vier dimensies in de

praktijk sterk afhankelijk van elkaar met vaak een relatie in beide richtingen en een onderscheid

tussen de dimensies die niet altijd even rechtlijnig te maken is. Zo kan een leerling adaptief kiezen*

(vierde dimensie) tussen alle strategieën uit zijn/haar repertoire (eerste dimensie) op basis van de

verwachting dat die strategie snel of accuraat (derde dimensie) tot een oplossing kan leiden, wat

op zijn beurt afhankelijk is van de frequentie van het gebruik van de strategie (tweede dimensie).

Aan de vierde dimensie wordt sinds de hervormingen extra waarde gehecht. Adaptiviteit

wordt sinds de hervormingen veelal gebruikt om het tegenovergestelde van expertise behorend bij

het traditioneel rekenen te beschrijven (Verschaffel et al., 2009; Hatano & Oura, 2003). Uit een

analyse van bestaande literatuur blijkt dat de termen flexibel en adaptief vaak als alternatieven

worden gebruikt, maar dat meestal alleen een van de twee termen wordt gehanteerd (Verschaffel

et al., 2009). Veelal wordt het begrip flexibiliteit gebruikt voor het switchen tussen verschillende

strategieën, terwijl met adaptiviteit het kiezen van de meest toepasselijke strategie wordt

beschreven. Hatano (1982 zoals gelezen in Hatano & Oura 2003) definieert adaptiviteit als "het

flexibel en creatief kunnen toepassen van geleerde procedures op een betekenisvolle manier’’ en

stelt dit tegenover routine expertise waarin opgaven ‘’snel en accuraat’’ worden opgelost ‘’zonder

het te begrijpen’’. Ondanks dat adaptiviteit op verschillen manieren gedefinieerd kan worden,

wordt het geoperationaliseerd aan de hand van de prestatiekenmerken snelheid en accuraatheid

(Lemaire & Siegler, 1995; Torbeyns et al., 2006; Hickendorff et al., 2010). Het kan beschreven

worden als de mate waarin gekozen wordt voor een strategie die leidt tot een accurate

beantwoording en minimale oplossingstijd bij een gegeven probleem (Lemaire & Siegler, 1997).

Hierin wordt adaptiviteit gedefinieerd op basis van snelheid en accuraatheid bij bepaalde

structurele kenmerken van een opgave (opgavekenmerken).

Het nadeel van zo een visie op adaptiviteit is dat de strategie die op basis van de structurele

kenmerken van een opgave op de snelste manier zou moeten leiden naar het juiste antwoord, voor

het individu in het geding niet adaptief hoeft te zijn. Of een bepaalde strategie gekozen wordt om

een gegeven opgave op te lossen is afhankelijk van hoe snel en accuraat die strategie is voor de

specifieke opgave en leerling, in vergelijking met andere ‘concurrerende’ strategieën uit het

repertoire van dat kind (Shrager & Siegler, 1998). Het gaat er hier dus om of de leerling gebruik

maakt van die strategie uit zijn/haar repertoire waarmee hij/zij het beste kan presteren.

*Het begrip strategiekeuze suggereert een expliciet gemaakte keuze voor een bepaalde strategie terwijl het proces

van strategiekeuze zonder een bewuste overweging van alternatieve strategieën kan plaatsvinden (Verschaffel et al., 2009). In

deze zin wordt in het huidig onderzoek de visie van Siegler en Jenkins gedeeld dat een strategie zonder tussenkomst van enig

bewustzijn kan worden geselecteerd en uitgevoerd en niet noodzakelijkerwijs rationeel gekozen dient te worden (Siegler &


Jenkins, 1989 zoals gelezen in Verschaffel et al., 2009). Er wordt dus op basis van eerdere ervaringen en opgedane expertise

keuzes gemaakt die niet perse bewust overwogen zijn.

Eerder onderzoek heeft aangetoond dat naast opgavekenmerken ook individukenmerken

als rekenniveau een significant effect hebben op strategiekeuze en adaptiviteit (Fagginger Auer,

2009; Torbeyns et al., 2006). Vanuit het perspectief van de cognitieve psychologie is strategiekeuze

een cognitieve activiteit die onderhevig is aan ontwikkeling gerelateerde veranderingen. Uit een

onderzoek naar simpele optelopgaven onder leerlingen uit de vierde, vijfde en zesde leerjaar van

het basisonderwijs bleken er op het

gebied van strategiekeuze en prestatie significante verschillen tussen de groepen deelnemers te

zijn (Imbo & Vandierendonck, 2007). Om een meer compleet beeld van adaptiviteit te krijgen zou

daarom naast opgave- en prestatiekenmerken ook individukenmerken gerelateerd aan

strategiekeuze moeten worden inbegrepen worden onderzoek.

2.2 Rekenstrategieën

Zoals hierboven vermeld is, is in de literatuur men het er grotendeels over uit op welke

manieren aftrekopgaven opgelost worden. Rekenstrategieën worden veelal verdeeld in twee

groepen op basis van de bewerkingen met de cijfers: hoofdrekenen en cijferen (Thompson,

1999).

Hoofdrekenen omvat strategieën waarin de honderdtallen als honderdtal worden

behandeld en de tientallen als tiental, dit wordt ook wel horizontaal of informeel rekenen genoemd

(in de som 350-211 staat de 3 voor 300 en 5 voor 50 etc.). Een kenmerk van deze strategie is dat

verschillende oplossingswijzen mogelijk zijn. Hoofdrekenen wordt vaak gedefinieerd als in het

onderwijs bekende uit het hoofd rekenen (Reys, 1984; Varol & Farran, 2007). Volgens deze definitie

zou hoofdrekenen alle strategieën kunnen omvatten als er maar geen tussenstappen worden

opgeschreven. Zo zou cijferen uit het hoofd, ook wel luchtcijferen genoemd, gerekend moeten

worden tot het hoofdrekenen. Het gebruik van een hoofdrekenstrategie hoeft het maken van

schriftelijke notities van de (belangrijkste) stappen in het oplossingsproces dus niet uit te sluiten

(Verschaffel, Greer & De Corte, 2007 zoals gelezen in Colaers, 2012). Door hoofdrekenen te

definiëren als het rekenen mét het hoofd (en niet als rekenen in het hoofd) is het mogelijk om een

meer toepasselijke scheiding te maken tussen strategieën op basis van de bewerkingen met de

getallen. Dit past ook goed bij de scheiding tussen algoritmische strategieën van het traditioneel

rekenen en de informele strategieën van het realistisch rekenen.

Twee elementaire vormen van hoofdrekenen die naar voren komen uit studies naar

aftrekken zijn het rijgen en het splitsen. Soms wordt er nog een derde categorie met gevarieerde

strategieën onderscheiden (Blöte, Klein & Beishuizen, 2000). Splitsen refereert naar het splitsen


van de honderdtallen, tientallen en eenheden van beide getallen uit de som (bijvoorbeeld 779-

264=_ 700+ 200= 500_ 70- 60= 10_ 9- 4= 5_ 500+ 10+ 5= 515) (Torbeyns et al., 2006). Bij het rijgen,

in de literatuur ook wel sequentie strategieën genoemd (Heirdsfield & Cooper, 2004), wordt de

eerste term heel gelaten en worden daarvan de honderdtallen, tientallen en eenheden van de

tweede term afgetrokken (bijvoorbeeld 843-356=_ 843-300= 543_ 543-50= 493_ 493-6= 487). De

gevarieerde strategieën worden gekenmerkt door het flexibel en adaptief aanpassen van getallen

om de berekening te vereenvoudigen. Voorbeelden zijn de afrondstrategie (Blöte et al., 2000)

(bijvoorbeeld 702-137=_ 702-2= 700_ 700-135= 565) en de compensatiestrategie (702-137=_ 700-

137= 563_ 563+2= 565) (Torbeyns et al., 2006). Wanneer het verschil in de opgave wordt

overbrugd door sprongen van de kleinste term naar het grootste spreken we van indirect optellen,

ook wel de complementaire strategie genoemd (bijvoorbeeld 702-137=_ 137 700 702= 63+ 500+ 2=

565).

Het tweede cluster strategieën valt onder het cijferen en wordt gekenmerkt door dat er

gerekend wordt met cijfers en niet met getallen (bijvoorbeeld in 354-176 wordt de 3 niet gezien als

het getal 300 maar als het cijfer 3) en doordat er gerekend wordt van boven naar beneden en van

rechts naar links (354- 176=_4-6, 5-7 en 3-1). Er wordt vaak gerekend met pen en papier, al is het in

theorie mogelijk dat er gecijferd wordt uit het hoofd (Torbeyns et al., 2006). Hét kenmerk van

cijferen is de vaste, goed gedefinieerde, algoritmische stappenplan voor het oplossen van een

opgave (Beishuizen, 1997). In Nederland worden leerlingen voor het leren cijferen als overgang het

kolomsgewijs rekenen geleerd, welke een tussenvorm is van het hoofdrekenen en cijferen. Het

wordt gekenmerkt door de vaste algoritmische manier van onder elkaar noteren zoals in het

cijferen (Milowski, 2005) en de splitsende rekenwijze bij het berekenen van de deeluitkomsten

waarbij er niet met cijfers maar met getallen wordt gerekend (zie Figuur 1).

845 845 - 342 = 845

382 - 800 - 300 382 -

500 40 - 80 463

-40 5 - 2 = 463

3

463

Figuur 1. Voorbeelden van Rekenstrategieën

Met van links naar rechts voorbeelden van het kolomsgewijs rekenen waarin van boven naar

beneden en van links naar rechts wordt gerekend; splitsen waarin van links naar rechts wordt

gerekend en cijferen waarin van boven naar beneden en van rechts naar links wordt gerekend.


Alhoewel alle bovenstaande strategieën in principe bij het oplossen van alle aftrekopgaven

te gebruiken zijn, verschillen ze in mate van efficiëntie. De compensatiestrategie is efficiënt in

gebruik wanneer de eenheden gemakkelijk zijn af te ronden tot een rond getal en indirect optellen

is vooral efficiënt wanneer het verschil tussen de twee termen klein is (Blöte et al., 2000). Splitsen

kan bijvoorbeeld moeilijk worden wanneer het tiental van het eerste getal kleiner is dan het tiental

van het tweede getal (=werken met tekorten bijvoorbeeld 35– 28=_ 30– 20= 10 _ 5– 8= –3_ 10+ [–

3] = 7), er moet dan met negatieve getallen gewerkt worden wat erg moeilijk is voor kinderen

(Torbeyns et al., 2006). Verder moet er in de laatste stap van de berekening opgeteld worden,

terwijl daarvoor afgetrokken wordt, met langere oplostijden als gevolg. Voor leerlingen die het

cijferen niet goed onder de knie hebben, is het probleem van het werken met tekorten ook een

valkuil bij het lenen van de buren.

Belangrijk is om in acht te nemen dat bovenstaande indeling in strategieën een

theoretische classificatie is en dat in de werkelijkheid leerlingen vaak complexe combinaties van

strategieën kunnen gebruiken (Thompson, 1999).

2.3 Experimenteel onderzoeksdesign naar strategiekeuze

Een onderzoeksdesign om rekenstrategieën en adaptiviteit te onderzoeken is het

keuze/geen keuze design van Siegler en Lemaire (‘choice/no-choice design’, 1997). De voorloper

van dit design, de keuze methode, is een descriptieve onderzoeksmethode waarin deelnemers

gevraagd worden om opgaven op te lossen met een strategie naar keuze. Een grote tekortkoming

van die opzet is de beschrijvende natuur waardoor geen causale conclusies te trekken zijn (Siegler

& Lemaire, 1997). Verschillen in snelheid en accuraatheid van verschillende strategieën kunnen

leiden tot een vertekend beeld van de resultaten door verschillen in de opgaven waarbij een

strategie gebruikt wordt en de individuen die de strategieën gebruiken (Siegler & Lemaire, 1997).

Het gevolg is dat de snelheid en accuraatheid van een strategie die onevenredig vaak wordt

gebruikt bij het oplossen van moeilijke opgaven onderschat wordt, terwijl prestatiekenmerken van

een strategie waarvoor gekozen wordt bij het oplossen van relatief makkelijke opgaven wordt

overschat.

In het keuze/ geen keuze design kunnen deze problemen verholpen worden door de

deelnemers na een conditie waarin zij zelf een strategie kunnen kiezen (de keuze conditie) te

laten deelnemen aan een experimentele conditie waarin de opgaven opgelost worden met een

strategie dat is opgelegd door de onderzoeker (de geen keuze condities). Doordat in de

subcondities van de geen keuze conditie alle oefeningen worden opgelost via één bepaalde

strategie en er dus geen selectief gebruik gemaakt kan worden van een voorkeursstrategie bij


elke oefening, is het mogelijk om voor elke strategie een zuivere schatting van de

prestatiekenmerken te verkrijgen (Siegler & Lemaire, 1997). Een vergelijking van deze schattingen

uit de geen keuze conditie met prestatie in de keuze conditie biedt de mogelijkheid om te

analyseren in welke mate de verschillen in prestatie gerelateerd zijn aan de keuzes tussen

strategieën. Een voordeel van het keuze/geen keuze design is dat adaptiviteit niet alleen op het

niveau van de opgavekenmerken, maar ook op een individueel niveau kan worden, geëvalueerd.

Hierbij wordt geanalyseerd of er in de keuze conditie daadwerkelijk gebruik gemaakt wordt van

die strategie die leidt tot een accuraat antwoord of korte oplossingstijd, zoals kan worden afgeleid

uit de efficiëntie data verkregen in de geen keuze condities (Siegler & Lemaire, 1997).

Een tekortkoming van het keuze/ geen keuze design is de veelheid aan subcondities die in

de geen keuze conditie inbegrepen moeten worden wanneer deelnemers meerdere strategieën in

de keuze conditie kunnen gebruiken (Siegler & Lemaire, 1997). Elke strategie waaruit gekozen kan

worden in de keuze conditie, dient een geen keuze conditie ingevoerd te worden. Daarmee

ontstaan er evenveel subcondities als het aantal strategieën uit de keuze conditie. Het is dan ook

gebruikelijk dat de onderzoeker bepaalt uit welke strategieën gekozen mag worden in de keuze

conditie. Echter, dit zorgt voor een beperkte generaliseerbaarheid van de resultaten. Ondanks het

feit dat er vaak gekozen kan worden uit de meest gebruikte strategieën is het niet uit te sluiten dat

in werkelijkheid andere strategieën gebruikt wordt en dat de deelnemers niet de voor hun

adaptieve strategie kunnen kiezen (Luwel, Onghena, Torbeyns, Schillemans & Verschaffel, 2009).

2.4 Het Huidig onderzoek

Het doel van het huidig onderzoek is het systematisch onderzoeken van adaptiviteit van

strategiekeuze bij het oplossen van aftrekopgaven tot 1000 met behulp van de vier dimensies van

het ASCM (Lemaire & Siegler, 1995) en het keuze/geen keuze design (Siegler & Lemaire, 1997). De

focus ligt vooral op de vierde dimensie van adaptiviteit: in welke mate maken leerlingen uit de

bovenbouw van de basisschool adaptieve keuzes tussen hoofdrekenstrategieën en cijferen bij het

oplossen van aftrekopgaven in het getaldomein tot 1000? In dit onderzoek wordt gefocused op hoe

meercijferige aftrekopgaven worden opgelost en dit wordt gerelateerd aan adaptiviteit, niet alleen

door probleemkenmerken erbij te betrekken, maar ook prestatiekenmerken als snelheid en

accuratesse en individukenmerken als leerjaar. Er wordt gebruik gemaakt van een keuze/ geen

keuze design met een volledig vrije keuze conditie en twee geen keuze condities met hoofdrekenen

en cijferen als verplichte strategie. Door in de keuze conditie tijdens de instructie geen begrippen

als hoofdrekenen of cijferen te gebruiken worden de leerlingen in het huidig experiment niet


gestuurd bij het kiezen van een rekenstrategie en wordt het probleem van beperkte ecologisch

validiteit vermeden.

Adaptiviteit op het niveau van het individu wordt in dit onderzoek geoperationaliseerd op

basis van een vergelijking tussen snelheid en accuratesse tijdens het oplossen van de opgaven in de

keuze en geen keuze condities. Bekeken wordt of leerlingen in de keuze conditie kiezen voor die

rekenstrategie die in de geen keuze conditie het vaakst heeft geleid tot correcte antwoorden of

korte oplossingstijden. De verwachting is dat leerlingen uit hogere leerjaren adaptieve keuzes

maken. Met andere woorden hoe hoger het leerjaar is, des te adaptiever de strategiekeuze. Op het

gebied van opgavekenmerken is de verwachting dat bij het oplossen van opgaven die op basis van

de structurele kenmerken van de opgave het beste op te lossen zijn met behulp van een

hoofdrekenstrategie, door leerlingen uit een hoger leerjaar daadwerkelijk vaker worden opgelost

door te hoofdrekenen, zo ook de verwachting voor de relatie tussen opgaven die zich goed lenen

voor het gebruik van cijferstrategieën en cijferen.

Vergelijkend onderzoek naar het invloed van leerjaar op het oplossen van meercijferige

aftrekopgaven in dit getaldomein is er nog niet, maar gezien het feit dat adaptiviteit een cognitief

proces is dat zich door de jaren heen ontwikkelt, is de verwachting dat adaptiviteit op het gebied

van rekenprestatie veranderingen vertoont door de jaren heen. Toen Siegler en Lemaire (1997)

voor het eerst aan de hand van hun keuze/ geen keuze design adaptiviteit in strategiekeuze onder

volwassenen onderzochten, bleek dat de sterkste voorspeller van strategiekeuze verschillen in

snelheid en accuraatheid tussen de strategieën was en dat volwassenen in staat zijn om op een

adaptieve manier strategieën te kiezen. Uit later onderzoek onder jongeren komen soms echter

elkaar tegensprekende resultaten naar voren; de empirie levert niet altijd steun voor het adaptief

kunnen kiezen van kinderen (Beishuizen et al., 1997; Selter, 2001, Fagginger Auer, 2009; Torbeyns,

Verschaffel & Ghesquière, 2005 ). Zoals onder andere bleek uit het onderzoek van Hickendorff et

al. (2010) is de verwachting dat de leerlingen in beperkte mate adaptieve keuzes maken, maar dat

leerlingen uit een hoger leerjaar in vergelijking met jonge leerlingen prestatie- en

opgavekenmerken significant vaker meenemen in hun keuze.

Zoals in de inleiding is besproken hebben Hickendorff et al. (2010) in hun onderzoek naar

deelopgaven ondersteuning gevonden voor de assumptie dat behalve opgave- en

individukenmerken, de manier waarop een opgave opgelost wordt (met of zonder het noteren van

tussenstappen) ook een determinant van prestatie kan zijn (Hickendorff et al., 2010; Van Putten &

Hickendorff, 2006; Ruthven, 1998). Naar de relatie tussen het oplossen van aftrekopgaven met en

zonder het gebruik van een kladpapier en prestatie is echter tot nu toe geen onderzoek bekend. In

het huidig onderzoek wordt om een aanzet te kunnen doen naar dit verband bekeken of leerlingen

die gebruik maken van pen en papier ook beter presteren dan kinderen die dat niet doen, ongeacht


de strategie die ze gebruiken. Omdat aftrekopgaven in vergelijking met deelopgaven minder

complex van aard zijn, is de verwachting dat het oplossen van opgaven door tussenstappen te

noteren geen sterke invloed zal hebben op prestatie.

3 Methoden

3.1 Deelnemers

336 leerlingen (waarvan 48% jongens en 52% meisjes) uit 10 basisscholen in Leiden, Den

Haag, Rotterdam en nabijgelegen deelgemeenten hebben deelgenomen aan het onderzoek.

Leerlingen uit de verschillende scholen werden onderwezen met verschillende rekenmethoden, die

allemaal gebaseerd zijn op het gedachtegoed van het realistisch rekenen. De leerlingen hadden een

leeftijd tussen de 8 en 12 jaar (M= 10 jaar, SD= 0.93). In vergelijking met de nationale populatie is er

in dit steekproef een relatieve overrepresentatie van leerlingen met een hoog rekenniveau

(verdeling van letterscore op het leerling volgsysteem reken- wiskunde: 37.8 % van de leerlingen

had een A score; 29.5 % een B; 19.0 % een C; 9.5 % een D; 3.3% een E en 0.9 procent van de

leerlingen een onbekende rekenniveau). Er was een geringe onderrepresentatie van leerlingen uit

groep 8 in de steekproef met 91 leerlingen uit groep 8, 131 leerlingen in groep 7 en 114 leerlingen

uit groep 6. De data zijn verzameld door 8 studenten van de Universiteit Leiden.

3.2 Materialen

In elk van de drie condities is een set van zes aftrekopgaven in het getaldomein tot 1000

opgelost. Om onder de deelnemers het vermoeden te voorkomen dat dezelfde opgaven opgelost

worden zijn de 18 opgaven dusdanig geconstrueerd dat de items in de drie sets wat verschillende

maar vergelijkbare opgaven omvatten (zie Bijlage 1). Om de evenwaardigheid van

moeilijkheidsgraad tussen de sets van opgaven te waarborgen, zijn de opgaven zodanig

samengesteld dat het gemiddelde van het aftrektal, de aftrekker en de uitkomst uit parallelle sets

dicht bij elkaar komen. Het aftrektal in elk van de 18 opgaven had als honderdtal het getal 5, 6, 7 of

8. In de aftrekker bestond het honderdtal uit de cijfers 1, 2, 3 of 4. De opgaven zijn zonder een

context gepresenteerd om variabelen als taalbegrip en algemene kennis constant te houden. Elk

set van opgaven bestond uit drie opgaven waarbij een keuze op basis van opgavekenmerken zou

moeten leiden naar het gebruik van een cijferstrategie (CR- opgaven) en drie opgaven waarbij

hoofdrekenen een structureel passende rekenstrategie zou zijn (HR- opgaven).


Bij het opstellen van de HR- opgaven zijn naast de bovengenoemde voorwaarden de volgende

criteria aangehouden: (a) dat de aftrekker gemakkelijk was af te ronden tot de meest nabije

honderdtal; de aftrekker eindigde op de getallen 97, 98 of 99, (b) dat de andere term, het

aftrektal, altijd 26 eenheden groter of kleiner was dan het honderdtal en (c) dat er sprake moest

zijn van een brug over de eenheden en het tiental (bijvoorbeeld: 851-273= 578). Dat de aftrekker

gemakkelijk af te ronden was naar het meest nabije honderdtal maakte de compensatiestrategie

in het specifiek een gepaste strategie voor het oplossen van de HR- opgaven.

De CR- opgaven hadden in tegendeel tot de HR- opgaven, geen opgavekenmerken die

stimuleren tot het gebruik van een hoofdrekenstrategie. De CR- opgaven zijn samengesteld op basis

van de criteria dat (a) het aftrektal en de aftrekker niet eindigden op de getallen 5, 8 of 9; (b) het

aftrektal en de aftrekker van de opgaven 26 eenheden groter of kleiner dan het honderdtal waren

en weer (c) dat er sprake moest zijn van een brug over het tiental en een brug over het honderdtal.

De opgaven en instructies behorend bij de opgave zijn op een pagina per opgave

gepresenteerd, op deze wijze konden de deelnemers na het oplossen van een opgave de volgende

opgave niet zien. Om te kunnen controleren voor mogelijke volgorde-effecten van condities, zijn

de volgorden van deelname aan de twee geen keuze condities gecontrabalanceerd over de

leerlingen; de helft van de leerlingen hebben opgaven gemaakt uit een toetsboekje met na de

keuze conditie eerst de geen keuze HR conditie en de andere helft met eerst de geen keuze CR

conditie. Elk set van opgave is in alle condities gepresenteerd en de volgorde van items binnen de

sets zijn op 2 verschillende volgorden aangeboden. Dit heeft geresulteerd in 24 verschillende

tekstboekjes voor de leerlingen (6 combinaties van sets in 2 volgorden van geen keuze condities

en 2 verschillende volgorden van items).

Verder zijn voor andere dan in deze scriptie genoemde doeleinden twee vragenlijsten

afgenomen; een onder de leerkrachten en een onder de leerlingen. Door de leerkrachten werd een

vragenlijst ingevuld over het gegeven rekenonderwijs, maar ook achtergrondkenmerken van de

school en de gebruikte methode om de associatie tussen de rekeninstructie van de leerkracht aan

de leerlingen en strategiekeuze in kaart te brengen. Onder de leerlingen is een vragenlijst naar

motivatie met 14 vragen afgenomen.

3.3 Condities

Voor het begin van de keuze conditie is de kinderen duidelijk gemaakt dat ze de opgaven

mochten oplossen op een manier naar keuze. In de twee geen keuze condities werden de

leerlingen verplicht om de set opgaven op te lossen door óf te gaan hoofdrekenen óf te cijferen,

respectievelijk in de geen keuze HR en de geen keuze CR conditie. De leerlingen hebben voor


aanvang van elke experimentele conditie een voorbeeldopgave opgelost waarbij is uitgelegd met

welke grove rekenstrategie dat gedaan moet worden, door middel van een geslachtneutrale figuur

en een spreekwolk met daar in de geschreven instructie ‘’Ik reken’’, ‘’Ik zet de getallen onder

elkaar’’ en ‘’Ik zet de getallen niet onder elkaar, maar reken met mijn hoofd’ respectievelijk in de

keuze conditie, geen keuze CR conditie en in de geen keuze HR conditie (zie Figuur 2). In elke

conditie kregen de leerlingen het figuur dat de gewenste rekenstrategie representeerde boven de

opgave aangeboden.

Figuur 2. Geschreven instructies in de geen keuze cijfer en geen keuze hoofdreken conditie


3.4 Procedure

De ouders van leerlingen uit de deelnemende scholen zijn geïnformeerd over de procedure en

verzocht een informed consent te ondertekenen indien zij instemmen met het deelnemen van hun kind

aan het onderzoek. Onder de leerlingen van wie de ouders een informed consent hebben ondertekend, is

klassikaal de motivatievragenlijst afgenomen. Om een gebalanceerde steekproef van elk niveau te

verkrijgen zijn de leerlingen aan de hand van de laatst behaalde letterscore op het Leerlingvolgsysteem

reken- wiskunde geselecteerd en individueel getest in een rustig lokaal tijdens de schooluren. Het

stratificeren is gedaan door de helft van de proefleiders om de beurt een leerling met niveau A, daarna B,

C, en D te onderzoeken, en door de andere helft proefleiders door te testen in omgekeerde volgorde;

eerst D dan C en B en als laatst A. De leerlingen werd verteld dat ze 18 aftrek opgaven gaan oplossen en

dat daarmee achterhaald zal worden hoe kinderen rekenen.

Blindelings heeft elk deelnemer een van de 24 versies opgaven boekjes gekregen die allemaal

dezelfde set opgaven op verschillende volgorde bevatten. Elk deelnemer begon met de keuze conditie

met daarop volgend eerst de geen keuze CR en daarna de geen keuze HR conditie of andersom. Om

verschillende taakopvattingen onder de deelnemers te voorkomen is na de instructie voorafgaand aan

alle drie de condities een oefenopgave gemaakt. In de opgavenboekjes was genoeg ruimte beschikbaar

voor een notitie van de gemaakte tussenstappen. Wanneer door een leerling het antwoord met een

onduidelijke of geen uitwerking werd genoteerd, heeft de proefleider verbaal gevraagd hoe deze tot het

antwoord is gekomen en dit is genoteerd op een daarvoor gemaakt notitieformulier. Direct na afronding

van een conditie is begonnen met de volgende conditie en per opgave is de snelheid van beantwoorden

gemeten met een timer (accuraatheid in 0.1 seconde). Dit is gemeten als het aantal seconden vanaf het

moment dat de opgave te zien was voor de leerling tot het moment waarop de leerling het antwoord in

het antwoordvak noteerde. Na afloop hebben kinderen als dank een kleinigheid gekregen.

Om de privacy van deelnemers te waarborgen zijn de achternamen van de leerlingen nergens

genoteerd en zijn de deelnemers gecodeerd met participantnummers in de database.

3.5 Scoring

Om de informatie over de strategieën die leerlingen gebruiken bij het oplossen van de

aftrekopgaven te verkrijgen, zijn notities van de leerlingen in de toetsboekjes en notities van de

proefleiders over hoe de opgave is opgelost geanalyseerd om vervolgens per opgave te coderen met welk

strategie het is opgelost. Deze uitwerkingen zijn vervolgens gecodeerd volgens een systeem van

strategiebeschrijvingen waarin onderscheid wordt gemaakt tussen cijferstrategieën: algoritmisch cijferen

en kolomsgewijs aftrekken, en hoofdrekenstrategieën: splitsen, rijgen, compenseren, indirect optellen en

combinatie strategieën. Er is verder gebruik gemaakt van een restcategorie van overige rekenstrategieën


die niet onder een van de andere zeven strategieën vielen. Om het nut van het noteren van

tussenstappen te analyseren is per opgave verder geanalyseerd of de gemaakte tussenstappen zijn

opgeschreven of niet. De gebruikte rekenstrategieën zijn door de 8 proefleiders gecategoriseerd.

3.6 Statistische analysen

Het experiment heeft geleid tot de variabelen oplossingstijd: tijd van oplossen van opgaven,

accuraatheid van het antwoord, welke strategie is gebruikt en of er tussenstappen zijn opgeschreven of

niet. De data is geanalyseerd met behulp van het statistische computer programma PASW (voorheen

SPSS; PASW inc. & IBM Company, 2010).

Voor analyse van de eerste twee dimensies van de ASCM, strategie repertoire en distributie, is

frequentie van gebruik van elk strategie in de keuze conditie berekend en getoetst aan de hand van een

MANOVA en Chi2 toets. Efficiëntie in keuze conditie is berekend door percentage correcte antwoorden en

gemiddelde oplossingstijden per strategie te berekenen en te toetsen met een

ANOVA.

Efficiëntie en adaptiviteit in de geen keuze conditie is gebruik makend van de mogelijkheid die de

keuze/ geen keuze design biedt om zuivere schattingen van prestatie te verkrijgen geëvalueerd door de

specifieke variabelen te categoriseren als hoofdrekenen of cijferen zoals hierboven onder Scoring is

besproken. Vervolgens is aan de hand van een herhaalde metingen ANOVA getoetst of er verschillen zijn

tussen de twee strategieën in accuratesse en oplossingstijd. Adaptiviteit van strategie keuze is

geanalyseerd door voor elk leerling de verschillen op het gebied van accuraatheid en snelheid tussen de

geen keuze HR en CR conditie te berekenen en te correleren met frequentie van het gebruik van deze

strategieën in de keuze conditie. Adaptiviteit met oog op opgavekenmerken is getoetst door de

frequentie van elk strategie op de HR- en CR- opgaven te toetsen met een gepaarde t-test. Een aanzet tot

evaluatie van de invloed van manier van oplossen van opgaven op accuratesse is alleen op basis van

beschrijvende statistieken gedaan.

4 Resultaten

In de keuze conditie hebben alle 336 leerlingen de zes opgaven opgelost. Terwijl niet alle leerlingen in

de keuze conditie zowel een HR als een CR strategie hebben gebruikt, heeft een grote meerderheid van

de leerlingen deelgenomen aan de geen keuze HR en CR conditie. 2 leerlingen uit groep 6 hebben na de

keuze conditie aangegeven niet deel te willen nemen aan de geen keuze CR conditie en alle leerlingen uit

de groepen 7 en 8 hebben deelgenomen aan beide geen keuze condities. Strategieën die niet te herleiden

waren tot een van de 7 specifieke strategieën zijn gecodeerd als overig (4.2% van het totaal) en worden in


het vervolg niet weergegeven in de resultaten. De resultaten worden gepresenteerd in een descriptief

deel waarin statistieken van de specifieke strategieën worden beschreven voor de dimensies strategie

repertoire, distributie en efficiëntie aan de hand van data verkregen uit de keuze conditie; en een

experimenteel deel waarin strategie efficiëntie en adaptiviteit worden getoetst voor de HR en CR.

4.1 Repertoire en distributie in de keuze conditie

Verschillen in preferentie voor de specifieke strategieën waren te zien onder leerlingen uit

verschillende leerjaren in de keuze conditie, toch zijn alle strategieën gebruikt door leerlingen uit alle drie

de leerjaren. Het repertoire van groep 6 leerlingen bleek voornamelijk te bestaan uit de splitsstrategie,

57 procent van hen gebruikt deze strategie minstens eenmaal (vs. 26.7% in groep 7 en 9.9% in groep 8),

2(2, N = 336) = 54.49, p < 0.0001. Ook combinatie strategieën worden significant vaker gebruikt door

leerlingen uit groep 6 (28.1%) in vergelijking met leerlingen uit groep 7 (12.2%) en groep 8 (7.7%), 2(2, N =

336) = 18.06 p < 0.0001. Het repertoire van leerlingen uit groep 7 en 8 bestaat voornamelijk uit de

cijferstrategie; 65.6 procent van de leerlingen uit groep 7 en 71.4 procent van de leerlingen uit groep 8

gebruikt deze strategie minstens eenmaal (vs. 18.4% in groep 6), N = 336) = 74.87, p < 0.0001. Leerlingen

uit groep 7 gebruiken verder significant vaker het compenseren (27.5%) dan leerlingen uit groep 6

(16.7%) en 8 (14.3%), 2(2, N = 336) = 7.16, p < 0.05. Het kolomsgewijs rekenen is voor leerlingen uit alle

drie de leerjaren de strategie die het minst vaak voorkomt in de repertoire van kinderen (3.5% in groep 6,

0.8 in groep 7 en 2.2% in groep 8) (zie Bijlage 2).

De splitsstrategie is voor leerlingen uit groep 6 ook de frequentst gebruikte strategie; 36 procent van

hen lost minimaal 5 van de 6 opgaven op met deze strategie (vs. 12.2% groep 6 en 2(2, 5.5% groep 8), p <

0.001 (zie Tabel 1). Voor leerlingen uit groep 7 en 8 is cijferen het frequentst gebruikte strategie 64.8

procent van de leerlingen uit groep 8 en 47.3 procent van de leerlingen uit groep 7 maken consistent

gebruik van de cijferstrategie (vs. 12.3% in groep 6), p < 0.001. De distributie van de compenseerstrategie

vertoont in vergelijking met de frequentie van gebruik van de andere strategieën verschillen: terwijl de

andere strategieën vaker consistent worden gebruikt bij het oplossen van de opgaven, wordt de

compenseerstrategie vaker tussen de 1 en 4 maal gebruikt. In de sectie Adaptiviteit opgavekenmerken

wordt hierover meer beschreven..


Tabel 1. Strategie Distributie in de Keuze Conditie

Groep

Koloms-

Cijferen* Rijgen* Splitsen* Aanvullen

Compen- Combi-

gewijs seren* natie*

0 maal 96.5 81.6 80.7 43.0 93.0 83.3 71.9

6 1-4 maal 0.9 6.1 8.8 21.1 4.4 16.7 14.9

5-6 maal 2.6 12.3 10.5 36.0 2.6 0.0 13.2

0 maal 99.2 34.4 86.3 73.3 87.8 72.5 87.8

7 1-4 maal 0.8 18.3 12.2 14.5 7.6 27.5 9.9

5-6 maal 0.0 47.3 1.5 12.2 4.6 0.0 2.3

0 maal 97.8 28.6 92.3 90.1 86.8 85.7 92.3

8 1-4 maal 1.1 6.6 3.3 4.4 7.7 13.2 4.4

5-6 maal 1.1 64.8 4.4 5.5 5.5 1.1 3.3

Verdeling van de frequentie van gebruik van de rekenstrategieën Kolomsgewijsaftrekken, 2(4, N = 336) = 3.67, p = 0.453, Cijferen 2(4, N =

336) = 86.27, p < 0.001, Rijgen 2(4, N = 336) = 15.18, p < 0.01, Splitsen 2(4, N = 336) = 57.75, p < 0.001, Aanvullen 2(4, N = 336) = 2.59, p =

0.629, Compenseren 2(4, N = 336) = 10.57, p < 0.05 en Combinatiestrategieën 2(4, N = 336) =21.76, p < 0.001, in percentage leerlingen over

de groepen 6, 7 en 8; met de categorieën 0 maal indien het desbetreffende strategie nul maal is gebruikt bij het oplossen van de 6 opgaven

uit de keuze conditie, 1-4 maal indien het tussen de 1 en 4 maal is gebruikt en 5-6 maal indien de strategie 5 of 6 maal is gebruikt.

Frequentie van gebruik van strategieën met een * verschilt significant tussen de groepen.

4.2 Efficiëntie in de keuze conditie

Uit de beschrijvende statistieken van de prestatiekenmerken accuraatheid en oplossingstijd komen

verschillen tussen de leerjaren en strategieën naar voren.

Leerlingen uit alle drie de leerjaren behalen het grootst aantal correcte antwoorden door aan te

vullen (81% in groep 6; 85% in groep 7; 80% in groep 8) (zie Tabel 2). Het kolomsgewijs rekenen is voor

leerlingen uit groep 6 de strategie waarbij ze het minst aantal correcte antwoorden leveren (0%), omdat

leerlingen uit groep 7 en 8 deze strategie zelden gebruikt hebben is hierover voor hen geen uitspraken

te doen. Opvallend is verder dat, na het kolomsgewijs rekenen dat zelden wordt gebruikt, het minst

vaak correcte antwoorden gegeven wordt wanneer het splitsen wordt gebruikt (25% in groep 6; 28% in

groep 7; 14% in groep 8) en dat er juist vaak correcte antwoorden gegeven wordt door leerlingen die

cijferen (68% in groep 6; 78% in groep 7; 79% in groep 8).

Leerlingen uit groep 6 rekenen het snelst bij het gebruik van het cijferen (gemiddeld 28.6 s) en

leerlingen uit groep 7 en 8 wanneer ze compenseren (14.5 s in groep 7; 14.7 s in groep 8). Voor leerlingen

uit groep 6 is rijgen de strategie die leidt tot de langste oplossingstijd, voor leerlingen uit groep 7

aanvullen en voor leerlingen uit groep 8 de combinatie strategie.


Voor verschillen tussen de leerjaren en accuratesse van beantwoorden van opgaven kan gezegd

worden dat er een gunstige ontwikkeling plaatsvindt tussen groep 6 en 7; leerlingen uit groep 7

leveren vaker dan leerlingen uit groep 6 correcte antwoorden voor alle strategieën. Tussen groep 7 en

8 echter, is er geen sprake van verbetering in prestatie; er lijkt zelfs een kleine ongunstige ontwikkeling

tussen groep 7 en 8 zich voor te doen, waarbij leerlingen uit groep 8 minder vaak correcte antwoorden

geven. Dit verschil tussen leerlingen uit groep 7 en 8 lijkt niet zo sterk op te gaan voor oplossingstijd;

leerlingen uit groep 8 zijn vaak of ongeveer even snel als leerlingen uit groep 7 (splitsen en

compenseren bijvoorbeeld) of veel sneller (aanvullen bijvoorbeeld).

Tabel 2. Strategie Efficiëntie in de Keuze Conditie

Kolomsgewijs Cijferen Rijgen Splitsen Aanvullen Compenseren Combinatie

Groep G T G T G T G T G T G T G T

6 0 38.5 68 28.6 48 60.1 25 40.7 81 35.1 70 31.0 52 49.0

7 11 39.5 78 28.8 76 29.8 28 24.7 85 38.3 70 14.5 59 33.9

8 142 24.9 79 23.2 75 23.3 14 25.9 80 16.4 62 14.7 52 37.0

Percentage correcte antwoorden (G) en gemiddelde oplossingstijd (T) in seconden per strategie en leerjaar in de keuze conditie. * zeer

klein aantal cases (ook herleidbaar uit Tabel 1); 1= 1 case en 2= 7 cases.

4.3 Efficiëntie in de geen keuze condities

Om een vergelijking tussen prestatiekenmerken gezuiverd van selectie effecten te kunnen maken is

een herhaalde metingen Anova uitgevoerd met leerjaar als tussen subjecten factor en oplossingstijd en

accuraatheid in de twee geen keuze condities als binnen subjecten factor. Daarna zijn, om de invloed

van opgavekenmerken op prestatie te achterhalen, 4 herhaalde metingen Anova’s uitgevoerd op

oplossingstijd en accuraatheid met leerjaar als tussen subjecten factor en beide soorten opgaven als

binnen subjecten factor.

4.3.1 Efficiëntie tussen de twee geen keuze condities

Uit de eerste analyse bleek dat oplossingstijd tussen de twee condities niet significant verschilt

binnen de drie leerjaren (29.0 s in de HR conditie vs. 29.1 in de CR conditie), F(1, 329) = 0.75, p = 0.39,

wat betekent dat leerlingen opgaven uit de twee geen keuze condities even snel beantwoorden (zie

Tabel 3). De groepen bleken wel significant te verschillen in snelheid van beantwoorden van opgaven,

F(2, 329) = 45.55, p < 0.001, partial = 0.21. Een post hoc t-toets met Bonferroni correctie liet zien dat

gemiddelde oplossingstijd van groep 6 (38.6 s) significant verschilt van groep 7 (25.7 s) en 8 (24.3 s), p <


0.001 (vs. geen verschil tussen groep 7 en 8, p = 1.00). Gemiddelde oplossingtijd in de twee geen keuze

condities bleek geen interactie te vertonen met leerjaar, F(2, 329) = 1.90, p = 0.15.

Binnen de drie leerjaren bleek accuratesse van beantwoorden van opgaven in de geen keuze HR met

52 procent van de 6 opgaven goed en in de geen keuze CR conditie met 71 procent van de 6 opgaven

goed wel te verschillen tussen de twee condities, F(1, 333) = 60.12, p < 0.001, partial = 0.15. De groepen

bleken ook te verschillen in accuratesse, F(2, 333) = 30.09, p < 0.001, partial = 0.15. Ook hier bleken de

significante verschillen zich voor te doen tussen enerzijds groep 6 (46%) en anderzijds groep 7 (69%) en 8

(71%), p < 0.01 (vs. groep 7 en 8, p = 1.00).

Verder bleek er een significante interactie te zijn tussen leerjaar en aantal correct beantwoorde

opgaven in de twee geen keuze condities, F(2, 333) = 13.19, p < 0.001, partial = 0.07. Terwijl leerlingen uit

groep 6 in beide geen keuze condities gemiddeld evenveel opgaven correct beantwoorden (45% in HR en

46% in CR conditie) geven leerlingen uit groep 7 (57% in HR vs. 80% in CR) en 8 (57% in HR en 85% in CR)

in de CR conditie significant vaker correcte antwoorden dan in de HR conditie (zie Figuur 3).

Tabel 3. Strategie Efficiëntie in de Geen Keuze Condities

HR CR Totaal

T G T G T G

Groep 6 37.7 45 39.6 46 38.6 46

Groep 7 26.6 57 24.8 80 25.7 69

Groep 8 25.7 57 23.0 85 24.3 71

Totaal 29.0 53 29.1 71 45.2 62

Percentage correcte antwoorden (G) en gemiddelde oplossingstijd (T) in sec-

onden per strategie en leerjaar in de twee geen keuze condities condities

hoofdrekenen(HR) en cijferen (CR).


Figuur 3. Interactie tussen leerjaar en aantal goed in de geen keuze HR en CR conditie

4.3.2 Invloed van de twee Soorten Opgaven op Efficiëntie

Uit de tweede analyse bleek dat binnen de geen keuze HR conditie oplossingstijd tussen de twee

soorten opgaven significant verschilt binnen de drie leerjaren (28.8 s met de HR- opgaven vs. 31.6 s met

de CR- opgaven), F(1, 332) = 6.61, p < 0.05, partial = 0. 02. Ook uit de analyses van de geen keuze CR

conditie bleek dat oplossingstijd tussen de twee soorten opgaven significant verschilt binnen de drie

leerjaren (30.1 s met de HR- opgaven vs.28.1 s met de CR- opgaven), F(1, 330) = 9.19, p < 0.01, partial =

0. 03. Dit betekent dat leerlingen in de HR conditie de HR- opgaven sneller oplossen dan CR- opgaven en

in de CR conditie de CR- opgaven sneller oplossen dan HR- opgaven.

De groepen bleken significant te verschillen in snelheid van beantwoorden van opgaven in de geen

keuze HR conditie, F(2, 332) = 15.116, p < 0.0001, partial = 0.08. Een post hoc t-toets met Bonferroni

correctie liet zien dat gemiddelde oplossingstijd van groep 6 (37.9 s) significant verschilt van groep 7

(26.6 s) en 8 (25.7 s), p < 0.0001 (vs. geen verschil tussen groep 7 en 8, p = 1.00). Ook in de geen keuze CR

conditie bleken de groepen significant te verschillen in snelheid van beantwoorden van opgaven, F(2,

330) = 60.02, p < 0.001, partial = 0.27. Een post hoc t-toets met Bonferroni correctie liet zien dat

gemiddelde oplossingstijd van groep 6 (39.6 s) significant verschilt van groep 7 (24.6 s) en 8 (23.0 s), p <

0.0001 (vs. geen verschil tussen groep 7 en 8, p = 1.00). Dit komt overeen met de hierboven beschreven

efficiëntie analyses zonder onderscheid in soort opgave.

Gemiddelde oplossingtijd tussen de twee soorten opgavenbleek geen significante interactie te

vertonen met leerjaar in de geen keuze HR conditie, F(2, 332) = 2.23, p = 0.11. In de CR conditie bleek

gemiddelde oplossingtijd tussen de twee soorten opgavenbleek een significant interactie te vertonen met

leerjaar, F(2, 330) = 3.12, p < 0.05, waarbij leerlingen uit groep 6 de CR- opgaven sneller oplossen dan HR-

opgaven, terwijl dit voor leerlingen uit groep 7 en 8 gelijk is (zie Tabel 4). Dit betekent dat leerlingen uit


groep 7 en 8 beide soorten opgaven in beide condities even snel oplossen, maar dat leerlingen uit groep 6

alleen in de geen keuze CR conditie de ene soort opgave (CR) sneller oplossen dan de andere (HR).

Tabel 4. Strategie Efficiëntie in de Geen Keuze Condities: verschillen Tussen HR en CR- opgaven

Tijd Accuratesse

GK HR GK CR GK HR GK CR

HR CR HR CR HR CR HR CR

Groep 6 37.2 38.6 41.7 37.5 45.3 44.7 47.1 45.1

23.9 29.3 29.9 24.1 57.8 55.5 79.6 80.9 Groep 7

25.2 26.1 23.4 22.5 57.5 56.4 86.2 86.4 Groep 8

Totaal 28.8 31.6 30.1 28.1 53.5 52.1 69.8 70.4

Gemiddelde oplossingstijd in seconden en gemiddelde accuratesse in percentages per leerjaar voor de twee geen

keuze condities (GK HR en GK CR) en soort opgaven (HR en CR).

Accuratesse van beantwoorden bleek in beide condities alleen tussen de groepen te verschillen, F(2,

333) = 3.94, p < 0.05, partial = 0.02 in de HR conditie en, F(2, 333) = 50.20, p < 0.0001, partial = 0.23, in de

CR conditie. Een post hoc t-toets met Bonferroni correctie liet zien dat accuratesse van beantwoorden

van opgaven van groep 6 (%) significant verschilt van groep 7 (%), p < 0.05, maar niet tussen groep 6 en

8, p = 0.06 en 7 en 8, p = 1.00 in de HR conditie. In de CR conditie bleek accuratesse van beantwoorden

van opgaven van leerlingen uit groep 6 (%) significant te verschillen van leerlingen uit groep 7 en 8, p <

0.0001, maar niet tussen groep 7 en 8, p = 0.71 (zie Tabel 4 en sectie Efficiëntie tussen de twee geen

keuze condities).

Binnen beide condities bleek accuratesse van beantwoorden tussen de twee soorten opgaven

niet te verschillen binnen de drie leerjaren, F(2, 333) = 0.57, p = 0.57 in de HR conditie en, F(1, 333) =

0.22, p = 0.64 in de CR conditie.

Er bleek ook geen interactie te zijn tussen het aantal correct beantwoorde opgaven en

oplossingstijd met de twee soorten opgaven en leerjaar in beide geen keuze condities, F(2, 333) =

0.07, p = 0.93 in de HR conditie en, F(2, 333) = 0.57, p = 0.57, in de CR conditie.


4.4 Strategiekeuze in de keuze conditie: Adaptiviteit

Adaptiviteit van strategie keuze is aan de hand van drie onderzoeksvragen geëvalueerd. Door eerst

per leerjaar de frequentie van hoofdrekenen en cijferen op HR- en CR- opgaven te bepalen is beoordeeld

of leerlingen strategieën kiezen op basis van opgavekenmerken. Dit is getoetst met behulp van een paired

sample t-test. Daarna is adaptiviteit op het niveau van het individu getoetst door voor elk deelnemer de

frequentie van gebruik van HR strategieën in de keuze conditie te correleren met verschil in prestatie

tussen de geen keuze condities. Als laatst is een aanzet gedaan om te achterhalen of de manier van

strategiegebruik invloed heeft op prestatie door accuratesse met en zonder het gebruik van een

geschreven strategie en prestatie te vergelijken.

4.4.1 Opgavekenmerken

Uit de resultaten van de eerste analyse blijkt dat leerlingen rekening houden met opgavekenmerken

bij het gebruik van sommige strategieën. Vooral het gebruik van de compenseer strategie lijkt sterk

afhankelijk te zijn van de soort opgave. Leerlingen uit alle drie de leerjaren maken significant vaker

gebruik van de compenseerstrategie op HR- opgaven dan op CR- opgaven; groep 6 (10.5% vs. 0.3%), p <

0.0001, groep 7 (19.1% vs. 0.5%), p < 0.0001, groep 8 (9.5% vs. 1.1%), p < 0.01 (zie Tabel 5). Verder wordt

er vaker gecijferd op CR- opgaven met een significant verschil tussen frequentie van gebruik op de twee

soorten opgaven voor leerlingen uit groep 7 (52.4% vs. 59%), p < 0.01 en leerlingen uit groep 8 (65.9% vs.

69.5%), p < 0.05. Leerlingen uit groep 6 cijferen even vaak op beide soorten opgaven t(113) = -0.53, p =

0.60, maar rijgen vaker op CR- dan op HR- opgaven (11.7% vs. 15.5%), p < 0.05. Een significant verschil in

het gebruik van een strategie per soort opgave zit tenslotte bij het splitsen voor groep 7 met vaker

splitsen op CR- opgaven (13.2% vs. 18.8%), p < 0.01. Voor de andere strategieën geldt dat er geen

significant verschil is tussen frequentie van gebruik op HR- en CR- opgaven, p > 0.05.

4.4.2 Adaptiviteit: Een Binnen deelnemers vergelijking

Het tweede deel van de analyses lieten blijken dat de deelnemers bij het kiezen van een HR of CR

strategie rekening houden met zowel strategie-accuraatheid, r = 0.26, p < 0.0001, als strategiesnelheid, r

= -0.27, p < 0.0001. Onderscheid tussen de drie leerjaren liet zien dat leerlingen uit groep 6 met

betrekking tot accuraatheid adaptieve keuzes maken, r = 0.32, p < 0.01, eveneens met betrekking tot

oplossingstijd, r = -0.22, p <0.05. Leerlingen uit groep 7 hielden geen rekening met strategie

accuraatheid, r = 0.10, p = 0.25, maar wel met oplossingstijd, r = -0.44, p < 0.0001. Tenslotte bleken

leerlingen uit groep 8 in de keuze conditie in vergelijking met de prestatiekenmerken die naar voren

komen uit de geen keuze conditie qua accuraatheid, r = 0.08, p = 0.44, en qua oplossingstijd, r = -0.18, p

= 0.09, geen adaptieve keuzes te maken.


Tabel 5. Adaptiviteit Opgavekenmerken: Frequenties en t-waarden

Kolomsgewijs Cijferen Rijgen Splitsen Aanvullen Compenseren Combinatie

HR CR HR CR HR CR HR CR HR CR HR CR HR CR

Groep 6 2.6 2.9 12.9 13.5 11.7 15.5 40.1 43.6 4.4 4.7 10.5 0.3 17.2 18.4

Groep 7 0.0 0.3 52.4 59.0 3.8 6.6 13.2 18.8 6.9 6.4 18.1 0.5 4.1 7.4

Groep 8 1.1 1.5 65.9 69.5 5.0 5.9 6.2 7.0 7.7 8.8 9.5 1.1 4.4 5.5

Groep 6 -0.58 -0.53 -2.31* -1.83 -0.26 4.16* 0.48

Groep 7 -1.00 -2.85* -1.78 -3.37* 0.53 6.21* -1.63

Groep 8 -1.00 -2.29* -1.16 -1.00 -0.65 3.33* -0.73

Percentage gebruik van elk strategie op de HR en CR- opgaven in de keuze conditie boven in de tabel. t waarden verkregen uit de paired

samples t-toets met paren van frequentie van gebruik van elk strategie op HR opgaven – frequentie van elk strategie op CR opgaven,

met vrijheidsgraden df = 113 voor groep 6 df = 130 voor groep 7 en df = 90 voor groep 8; onder in de tabel. * significant verschil tussen

gebruik van de strategie op de twee soorten opgaven, met een positief waarde wanneer de strategie vaker gebruikt wordt op HR

opgaven en een negatief waarde als het vaker wordt gebruikt op CR opgaven in de keuze conditie.

Uit een Fisher r-naar-z transformatie, berekend met behulp van een online tool aangeboden door

Vassar (Lowry, 2001-2013), bleek dat er alleen een significant verschil is tussen de hierboven

beschreven groepscorrelatie coëfficiënt van oplossingstijd tussen groep 7 (r = -0.44) en 8 (r = -0.18), p <

0.05. Tussen de andere correlatiecoëfficiënten bleken er geen significante verschillen te zijn

(accuraatheid: groep 6 en 7, p = 0.08; groep 6 en 8, p = 0.08 en groep 7 en 8, p = 0.88; oplossingstijd:

groep 6 en 7, p = 0.06 en groep 6 en 8, p = 0.75).

4.4.3 Adaptiviteit: Met of Zonder Uitwerkingen

In de keuze conditie lijken leerlingen uit groep 7 vaker correcte antwoorden te geven wanneer zij

een geschreven strategie gebruiken (73% vs. 56%) (zie Tabel 6). Zij gebruiken ook vaker geschreven

strategieën (66% vs. 34%). Voor leerlingen uit groep 6 en 8 lijken er geen verschillen te zijn in percentage

correcte antwoorden met of zonder uitwerkingen. Leerlingen uit alle drie de leerjaren gebruiken zelden

een niet geschreven strategie in de geen keuze conditie, daarom is over de relatie tussen manier van

uitrekenen en aantal goed geen uitspraak te doen in de geen keuze CR conditie*. Voor de geen keuze HR

*Opvallend is wel dat leerlingen uit groep 6 in de geen keuze CR conditie veel vaker dan leerlingen uit groep 7 en 8 niet geschreven

strategieën lijken te gebruiken (zie Tabel 5), dit terwijl zij het minst getraind zijn in het cijferen. Dit zou wellicht kunnen duiden op het

gebruik van een andere strategie dan het cijferen of dat zij eigenlijk niet weten wat ze moeten doen en antwoorden gokken of schatten.


conditie geldt dat leerlingen uit groep 8 minder vaak foute antwoorden geven wanneer zij niet

geschreven strategieën gebruiken. Voor leerlingen uit groep 6 en 7 is er geen verschil in accuratesse en

het gebruik van een geschreven of hoofdreken strategie in de geen keuze hoofdreken conditie.

Tabel 6. Percentage correct van opgaven Met en Zonder Uitwerkingen

Keuze Geen Keuze CR Geen Keuze HR

Met Zonder Met Zonder Met Zonder

Groep 6 44 (.59) 40 (.41) 50 (.93) 19 (.07) 47 (.55) 42 (.45)

Groep 7 73 (.66) 56 (.34) 80 (.99) 83 (.01) 57 (.44) 57 (.66)

Groep 8 71 (.78) 70 (.22) 86 (.98) 0 (.02) 55 (.50) 61 (.50)

Percentage goed per conditie en groep van opgaven die met een uit het hoofd reken strategie en

geschreven strategie zijn beantwoord, met tussen haakjes proportie leerlingen die gebruik hebben

gemaakt van een geschreven en niet geschreven strategie in die conditie

5 Discussie

5.1 Conclusie

Aan de hand van de vier dimensies van het ASCM en de keuze/ geen keuze design is in dit

onderzoek het gebruik van hoofdreken en cijfer strategieën en adaptiviteit bij het oplossen van

aftrekopgaven in het getaldomein tot 1000 onderzocht.

Met betrekking tot repertoire van de leerlingen en distributie van de specifieke strategieën kan

op basis van de resultaten geconcludeerd worden dat de strategieën die het vaakst voorkomen in de

repertoire van leerlingen uit een bepaalde leerjaar ook het frequentst gebruikt worden door leerlingen

uit dat leerjaar. De meerderheid van de leerlingen maken consistent gebruik van één bepaalde strategie

(zoals in Hickendorff et al., 2010; Colaers, 2012; Fagginger Auer, 2009), voor leerlingen uit groep 6 is dit

het splitsen en voor leerlingen uit groep 7 en 8 is dit het cijferen. Consistent gebruik van een bepaalde

strategie lijkt toe te nemen naarmate leerlingen ouder worden, zo gebruiken leerlingen uit groep 6

minder vaak strategieën nièt dan leerlingen uit groep 7 en 8. Dit kan duiden op dat kinderen een

specifieke strategie eigen maken en deze consistent gebruiken. Dit zou ook de relatief hoge frequentie

van combinatie strategieën in groep 6 kunnen verklaren; leerlingen in groep 6 zouden nog aan het

‘experimenteren’ kunnen zijn met welk strategie het beste uitpakt.

Dat leerlingen vooral één strategie consistent gebruiken geldt niet voor de compenseer

strategie. Met het huidige opzet bleken leerlingen uit alle drie de leerjaren in dit opzicht adaptieve

keuzes op basis van opgavekenmerken te maken.

Het onderscheid in de specifieke strategieën liet verder blijken dat leerlingen uit groep 7 en 8

zoals verwacht vaker cijferen op CR- opgaven dan op HR- opgaven. Dat leerlingen uit groep 6 dit niet

doen, kan komen doordat ze het cijferen nog zelden gebruiken en dat leerlingen die al kunnen cijferen

het nog niet goed genoeg beheersen om onderscheid te kunnen maken tussen de soort opgaven. Verder


wordt er niet zoals verwacht vaker gebruik gemaakt van rijgen, splitsen en aanvullen (die door ons als HR

strategieën zijn gedefinieerd) op HR- opgaven. Voor rijgen en splitsen geldt zelfs dat ze tegenovergesteld

aan de verwachting significant vaker worden gebruikt op CR opgaven dan op HR opgaven. Met betrekking

tot het kolomsgewijs rekenen is het niet mogelijk om eenduidige conclusies te trekken in dit onderzoek,

omdat het door de leerlingen in de huidige steekproef zelden is gebruikt.

Wat betreft efficiëntie van de specifieke strategieën kan geconcludeerd worden dat splitsen

voor leerlingen uit alle drie de leerjaren het minst aantal accurate antwoorden levert. Gebruik van de

strategie aanvullen levert voor alle drie de groepen juist het vaakst correcte antwoorden, gevolgd door

cijferen. De strategie met de kortste gemiddelde oplossingstijd in de keuze conditie is compenseren en

de langzaamste strategie bleek met uitzondering voor groep 6 de combinatie strategieën te zijn.

Leerlingen uit groep 6 hebben de langste oplossingstijd bij het gebruik van rijgen. Deze metingen zijn

echter niet experimenteel van aard waardoor er niet gesproken kan worden van causale relaties tussen

de gebruikte strategieën en efficiëntie.

Om zuivere schattingen van prestatie te verkrijgen, is het gebruik van een hoofdreken en

cijferstrategie de deelnemers opgelegd in de twee geen keuze condities. Op deze manier zijn schattingen

van snelheid en accuraatheid die niet beïnvloed zijn door het selectief gebruik van een bepaalde strategie

op verschillende opgaven en door verschillend individuen verkregen (Siegler & Lemaire, 1997). Leerlingen

uit groep 6 bleken langere oplossingstijden dan leerlingen uit groep 7 en 8 te hebben, maar het verschil

bleek miniem. Zij bleken ook minder vaak correcte antwoorden te geven dan leerlingen uit groepen 7 en

8. Wanneer naar de invloed van leerjaar op aantal goed beantwoorde items per conditie werd gekeken,

bleken leerlingen uit groep 6 het in beide condities even goed te doen qua accuratesse. Leerlingen uit

groep 7 en 8 bleken echter meer correcte antwoorden te geven wanneer zij cijferen dan wanneer zij

hoofdrekenen. Over het algemeen zou dus geconcludeerd kunnen worden dat leerlingen vaker correcte

antwoorden geven bij het gebruik van cijfer strategieën in vergelijking met het gebruik van hoofdreken

strategieën, alleen voor leerlingen uit groep 6 is er geen verschil in accuratesse in de geen keuze conditie.

Deze resultaten ondersteunen een positieve ontwikkeling van efficiëntie door de jaren heen; leerlingen

uit groep 6 gebruiken beide strategieën even vaak en presteren ook even goed met beide, terwijl

leerlingen uit groep 7 en 8 vaker cijferen en ook daadwerkelijk beter presteren met het cijferen.

Deze conclusie is echter niet in lijn met de resultaten wanneer de keuze en geen keuze condities

samen worden geëvalueerd. Uit de statistieken van adaptiviteit die binnen individuen is gemeten bleek

juist dat leerlingen uit groep 6 hun keuze significant vaker baseren op hun kunnen terwijl dit voor

leerlingen uit groep 7 alleen qua oplossingstijd bleek te gelden. Voor leerlingen uit het laatste leerjaar van

het basisonderwijs bleek er voor beide prestatiekenmerken geen significante relatie te zijn tussen

prestatie in de geen keuze condities en frequentie van gebruik van hoofdreken en cijfer strategieën in de

keuze conditie. Dit zou echter het gevolg kunnen zijn van het gebrek aan variantie in de efficiëntie scores

van leerlingen uit groep 7 en 8.

5.2 Limitaties

Een limitatie met betrekking tot het ontwerp van het onderzoek is dat met het invoeren van een

vrije keuze conditie, het aantal verschillende strategieën in de keuze conditie erg groot is geworden. Om

uitspraken te kunnen doen over de invloed van strategiekeuze op prestatie zou er gebruik moeten

worden gemaakt van een volledig vrije keuze/ geen keuze design met evenveel geen keuze condities als

het aantal mogelijke verschillende strategieën in de keuze conditie. In het huidig onderzoek is door de

praktische overweging dat het niet mogelijk is om leerlingen deel te laten nemen aan zoveel condities,


besloten om gebruik te maken van een experimenteel design met een brede, bijna alles omvattende

indeling van strategieën in hoofdrekenen en cijferen en twee geen keuze condities waarin deze

strategieën de leerlingen opgelegd werden. Het gevolg van de limitatie met betrekking tot het aantal

invoerbare geen keuze condities is dat de data ten aanzien van de specifieke strategieën descriptief van

aard is. Hierdoor kunnen er uit de resultaten van het huidig onderzoek geen uitspraken worden gedaan

over causale relaties tussen het gebruik van deze specifieke strategieën en prestatie.

Een limitatie met betrekking tot de gebruikte materialen is dat er gekozen is voor het gebruik van

voorbeeldopgaven zonder een brug over de eenheid en tiental om recency effecten te voorkomen tijdens

het oplossen van de experimentele opgaven (zie Bijlage 1). Observaties tijdens het afnemen van het

onderzoek deden echter het vermoeden dat leerlingen bij de switch van voorbeeldopgaven naar het

experiment vertraagden bij het beantwoorden van de eerste experimentele opgaven. Hoewel uit

beschrijvende statistieken bleek dat de eerste opgaven van elk conditie het langzaamst werden opgelost

in vergelijking met de andere opgaven, bleken er geen significante verschillen te zijn in oplossingstijd

tussen de eerste items van alle drie condities (zie Bijlage 3). Al zou er daadwerkelijk sprake zijn van

vertraging door taakswitch kosten, zelfs dan zou door de verschillende volgorden van opgaven in de

rekenboekjes, door de grote steekproef en doordat iedereen de zelfde voorbeeldopgaven heeft opgelost,

kunnen worden aangenomen dat de verschillen elkaar uitmiddelen over de deelnemers.

Een praktische overweging die tijdens het verzamelen van de data is gemaakt is het deel laten

nemen van leerlingen uit groep zes aan het onderzoek. Door de timing van de dataverzameling beel van

hen bleek nog nauwelijks onderwezen te zijn in het cijferen, met als gevolg dat er een beslissing moest

worden genomen over of zij niet deel gaan nemen aan de geen keuze CR conditie of dat zij voor aanvang

van deze conditie de cijfer strategieën aangeleerd krijgen. Zoals het bij alle dilemma’s het geval is heeft

de keuze voor de tweede mogelijkheid voor- en nadelen voor de betrouwbaarheid van de resultaten van

het onderzoek gehad. Terwijl aan leerlingen uit de groepen zeven en acht maximaal een maal voor is

gedaan hoe er gecijferd kan worden, is dit aan de leerlingen uit groep zes tot een maximum van drie keer

voor gedaan, inclusief hoe er gecijferd moet worden met tekorten.

Een andere limitatie is dat het design van dit onderzoek gebaseerd is op twee assumpties die

slecht te toetsen zijn. Het eerste is de assumptie dat het verbaal melden van de gebruikte strategieën

door kinderen valide is (Robinson, 2001). Om strategiegebruik te kunnen analyseren is uitgaand van deze

assumptie leerlingen na elk opgave gevraagd welke strategie zij gebruikt hebben. Dit sluit echter niet uit

dat leerlingen uit het huidige steekproef andere strategieën dan wat ze werkelijk gebruikt hebben

rapporteren.

De andere assumptie is dat de vergelijking tussen prestatie over de condities valide is. Omdat de

leerlingen nooit dezelfde opgaven in verschillende condities hebben gebruikt, is het niet mogelijk om te

toetsen of de opgaven voor de leerlingen gelijk zijn geweest qua moeilijkheidsgraad. Ondanks dat er voor

is gezorgd dat de parallelle opgaven in de drie condities gelijke gemiddelden hebben, is het niet uit te

sluiten dat bepaalde opgaven toch moeilijker zijn geweest dan de anderen. Doordat de opgaven waarvan

aangenomen is dat ze gelijkwaardig zijn aan elkaar, uitgemiddeld zijn over de condities kunnen we er

toch van uit gaan dat indien er verschillen zijn in moeilijkheidsgraad van de opgaven deze de resultaten

niet vertekenen.

Een gerelateerde tekortkoming van het onderzoek is dat er geen analyse is uitgevoerd om een

mogelijk verschil in prestatie tussen de verschillende volgordes van opgaven in kaart te brengen. Deze

tekortkoming is te matigen door het feit dat er in literatuur tot nu toe aanwezige onderzoeken geen

verschil is gevonden (Colaers, 2012; Fagginger Auer, 2009; Siegler & Lemaire 1997; Hickendorff et al.,

2010; Torbeyns et al., 2005).


Tenslotte is een methodologisch limitatie dat de verkregen data vaak niet voldeed aan de

voorwaarden die gesteld wordt voor het gebruiken van een bepaalde toets. Om bijvoorbeeld een Anova

te kunnen gebruiken moeten varianties van de groepen gelijk zijn aan elkaar, wat niet het geval was in

de huidige steekproef. Verder kwamen in de variabelen oplossingstijd en accuratesse enkele sterk van

het gemiddelde afwijkende waarden voor. Mede door het groot aantal deelnemers en omdat de meeste

toetsen die gebruikt zijn robuust zijn voor outliers, zijn deze cases toch meegenomen in de analyses.

5.3 Implicaties

De resultaten van het huidige onderzoek ondersteunen de verwachting dat er een relatie is

tussen prestatie en het gebruik van specifieke strategieën, maar omdat het onderzoek in dit opzicht niet

experimenteel van aard is, zou in vervolgonderzoek gebruik makend van het keuze/ geen keuze design

de aandacht gericht kunnen worden op de specifieke strategieën en hun relatie met adaptiviteit,

prestatie en individukenmerken.

Het huidig onderzoek levert onder andere steun voor het adaptief kiezen van leerlingen op basis

van opgavekenmerken. Toch blijkt dat maar weinig leerlingen gebruik gemaakt hebben van de

compenseerstrategie. Een analyse van frequentie van rekenniveau onder leerlingen die compenseren bij

het oplossen van HR- opgaven liet zien dat bijna de helft van hen (47.8%) een rekenniveau A heeft (en

40.3% een rekenniveau B en C) (zie sectie Deelnemers voor totaal aantal leerlingen per rekenniveau in de

steekproef), dit zou kunnen betekenen dat leerlingen die hun keuze baseren op opgavekenmerken te

onderscheiden zijn aan de hand van rekenniveau. In onderzoek naar aftrekopgaven tot 100 is eerder al

gevonden dat strategieprestatie en adaptiviteit mede afhankelijk is van rekenniveau (Torbeyns et al.,

2006), in dit onderzoek is rekenniveau echter niet meegenomen als factor in de analyses. Om een

compleet totaal beeld van de determinanten van strategiekeuze en adaptiviteit te kunnen krijgen zou in

vervolgonderzoek ook rekenniveau kunnen worden meegenomen in de analyses.

Luwel et al. (2009) geven aan dat efficiëntiemetingen vertekend kunnen zijn door factoren die

individuele metingen kunnen beïnvloeden zoals iemand die storend naar binnen komt tijdens het

experiment. Data die mogelijk door deze redenen een vertekend beeld kunnen weergeven zijn wel

gecodeerd in het huidig onderzoek, maar niet uit de analyses gehaald. Het is raadzaam om in

vervolgonderzoek de focus te richten op data met en zonder deze factoren en te achterhalen of dit

strategiekeuze en prestatie ook beïnvloed.

Een implicatie van de limitatie betreffende de voorbeeldopgaven is het gebruik van

voorbeeldopgaven die vergelijkbaar zijn met de experimentele opgaven in vervolgonderzoek om

verschillen binnen de condities te voorkomen.

De HR- opgaven in dit onderzoek waren opgaven die specifiek stimuleerden tot het gebruik van

de compensatiestrategie. Uit analyses van strategie repertoire en distributie bleek echter dat leerlingen

zelden gebruik maken van deze strategie. Dit zou wellicht de verschillen in voorkeur van gebruik van de

CR en HR strategieën en verschillen in strategie-efficiëntie bij het gebruik van CR en HR strategieën

kunnen verklaren. Door in vervolgonderzoek oefeningen toe te voegen die zich verlenen tot het gebruik

van andere hoofdreken strategieën, zou het mogelijk kunnen worden om deze verklaring te toetsen en

te achterhalen of de verschillen zich dan nog voordoen.

In het huidig onderzoek is ondanks de relatief hoge frequentie van combinatie en overige

strategieën, de aandacht niet gericht op strategieën die buiten het hoofd- en cijferend rekenen vallen en

uit welke combinaties van strategieën combinatie strategieën bestaan. Het verder uitsplitsen van deze

strategieën in toekomstig onderzoek zou mogelijk interessante bevindingen kunnen opleveren.


Vooral ook omdat de keuze voor categorisatie van combinatie strategieën in de analyses naar efficiëntie

en adaptivieit als een hoofdreken strategie erg bediscussieerbaar is. Dit omdat combinatie strategieën

ook combinaties van cijferen en andere strategieën kan omvatten. Alhoewel deze keuze enigszins

aanvatbaar is, omdat leerlingen uit de huidige steekproef vooral combinaties van rijgen en splitsen of

aanvullen en compenseren hebben gebruikt, zou vervolg onderzoek ook dit punt kunnen verhelderen.

Tijdens het coderen van de data was de observatie van meerdere proefleiders dat er vaak

systematische fouten afhankelijk van de gebruikte strategie voorkomen. Leerlingen met een fout

antwoord bij het gebruik van de splitsstrategie hielden bijvoorbeeld meestal geen rekening met de

bruggen over het honderdtal en tiental (werkten zonder tekorten). In toekomstig onderzoek zou men zich

kunnen richten op het analyseren van deze fouten. Als blijkt dat het significant vaker fout beantwoorden

van de opgaven die opgelost zijn met een bepaalde strategie samenhangt met specifieke fouten, kunnen

leraren hierop geattendeerd worden en kunnen zij hier de lessen aan aanpassen.

Leerlingen uit groep acht bleken in de keuze conditie niet significant vaker te kiezen voor die

strategie waarmee ze in de geen keuze conditie het beste presteren. Zij hadden echter al hoge efficiëntie

scores wat de vergelijking beïnvloed kan hebben. Voor hen zou een aangepast onderzoek verricht

kunnen worden met bijvoorbeeld moeilijkere opgaven om adaptiviteit te onderzoeken.

Omdat het kolomsgewijs rekenen zelden gebruikt bleek te worden kan met de aanwezige data

geen conclusies getrokken worden over deze strategie. Aangezien het kolomsgewijs aftrekken qua

kenmerken ergens tussen het cijferen en het splitsen in staat, zou deze strategie zowel als een

hoofdreken strategie, als (zoals in het huidig onderzoek) een cijfer strategie kunnen worden

gecategoriseerd. Het splitsen bleek met het huidige opzet vaker op cijfer opgaven gebruikt te worden.

Dit zou kunnen betekenen dat beide strategieën niet thuis horen tussen de HR strategieën. Door in een

vervolgonderzoek het kolomsgewijs aftrekken en splitsen leerlingen op te leggen in een geen keuze

conditie en door gebruik te maken van HR- opgaven die niet specifiek het compenseren uit zouden

moeten lokken, kunnen hier sterkere uitspraken over worden gedaan. Dit is van belang omdat het

kolomsgewijs rekenen sinds de hervormingen een belangrijke plaats inneemt in het curriculum in het

Nederlandse reken- wiskunde onderwijs.

Uit het huidig onderzoek blijkt het gebruik van de gevarieerde strategieën relatief zelden voor

te komen. Leerlingen die er wel gebruik van maken bleken het vaakst correcte antwoorden te geven.

Juist omdat deze strategieën in het teken staan van flexibel aanpassen van getallen om de

berekeningen te vereenvoudigen en goed passen in de visie van het realistisch rekenen, zou in het

reken onderwijs meer aandacht besteed moeten worden aan het gebruik van deze strategieën.

Leerlingen zouden ook gewezen moeten worden op dat het noteren van tussenstappen kan

helpen om de oplossing te schematiseren en daarmee beter te presteren (Hickendorff et al., 2010;

Fagginger Auer, 2009; Ruthven 1998). Leraren kunnen zorgen voor een sfeer waarin het rekenen met

uitwerkingen gewaardeerd wordt als uit experimenteel onderzoek naar aftrekopgaven ook blijkt dat het

schrijven tussenstappen helpt.

Uit de resultaten van de efficiëntie data in de geen keuze condities bleek dat snelheid van

oplossen van opgaven vooral beïnvloed wordt door de soort opgave en niet zo zeer door de strategie en

dat accuratesse van beantwoorden van opgaven hoger is bij het gebruik van cijferen. Leerlingen zouden

expliciet hierover geïnstrueerd kunnen worden in klassendiscussies.

Al met al kan geconcludeerd worden dat verder onderzoek nodig is naar aftrekopgaven en

strategiekeuze, vooral omdat het kunnen oplossen van aftrekopgaven een vaardigheid is die cruciaal is

voor de meeste stappen die een leerling moet maken bij het leren rekenen.


6 Literatuurlijst

Anghileri, J., Beishuizen, M., & Van Putten, K. (2002). From informal strategies to structured

procedures: mind the gap! Educational Studies in Mathematics, 49, 149–170.

Beishuizen, M. (1993). Mental strategies and materials or models for addition and subtraction up to 100

in Dutch second grades. Journal for Research in Mathematics Education, 24, 294–323.

Beishuizen, M., Van Putten, C. M., & Van Mulken, F. (1997). Mental arithmetic and strategy use with

indirect number problems up to one hundred. Learning and Instruction, 7, 87-106.

Blöte, A.W., Klein, A.S., & Beishuizen, M. (2000). Mental computation and conceptual understanding.

Learning and Instruction, 10, 221-247.

Blöte, A. W., Van der Burg, E., & Klein, A. S. (2001). Students’ flexibility in solving two-digit addition and

subtraction problems: Instruction effects. Journal of Educational Psychology, 93, 627–638.

Colaers, D. (2012). 712-695=? Ontwikkeling van de efficiëntie en flexibiliteit van cijferen

Hoofdrekenen in het getaldomein tot 1000: op zoek naar geslachtsverschillen.

Ongepubliceerde masterscriptie, Katholieke Universiteit Leuven, Faculteit Psychologie en

Pedagogische Wetenschappen, Onderzoekscentrum voor Instructiepsychologie en -

Technologie.

Fagginger Auer, M. F. (2009). The adaptivity between mental and written calculation in students at the

end of primary school: a choice/no-choice design. Ongepubliceerde scriptie, Universiteit Leiden,

Departement Psychologie, Afdeling Methoden en Technieken.

Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht, the Netherlands: Reidel.

Fuson, K. C., Wearne, D., Hiebert, J., Murray, H., Human, P., Olivier, A., Carpenter, T., & Fennema, E.

(1997). Children’s conceptual structures for multidigit numbers and methods of multidigit

addition and subtraction. Journal for Research in Mathematics Education, 28, 130–162.

Hatano, G., & Oura, Y. (2003). Reconceptualizing school learning using insight from expertise

research. Educational Researcher, 32(8), 26–29.

Heirdsfield, A. M., & Cooper, T. J. (2004). Factors affecting the process of proficient mental addition and

subtraction: Case studies of flexible and inflexible computers. Journal of Mathematical Behavior,

23, 443–463.

Hickendorff, M., van Putten, C.M., Verhelst, N.D., & Heiser, W.J. (2010). Individual Differences in

Strategy Use on Division Problems: Mental versus Written Computation. Journal of

Educational Psychology, 102, 438-452.


Hiebert, J., & Wearne, D. (1996). Instruction, understanding, and skill in multidigit addition and

subtraction. Cognition and Instruction, 14, 251–283.

Imbo, I., & Vandierendonck, A. (2007). The development of strategy use in elementary- school children:

Working memory and individual differences. Journal of Experimental Child Psychology, 96, 284-

309.

Janssen, J., Van der Schoot, F., & Hemker, B. (2005). Balans van het reken-wiskunde onderwijs aan het

einde van de basisschool 4. Arnhem, The Netherlands: CITO.

Koninklijke Nederlandse Academie van Wetenschappen (2009). Rekenonderwijs op de basisschool

analyse en sleutels tot verbetering. KNAW: Amsterdam.

Lemaire, P., & Siegler, R. S. (1995). Four aspects of strategic change: Contributions to children’s

learning of multiplication. Journal of Experimental Psychology: General, 124, 83–97.

Lowry, R. (1998-2012). Significance of the Difference Between Two Correlation Coefficients.

Geraadpleegd op 2 december 2012 via http://www.vassarstats.net/rdiff.html

Luwel, K., Onghena, P., Torbeyns, J. Schillemans, V., & Verschaffel, L. (2009). Strenghts and Weaknesses

of the Choice/ No- Choice Method in Research on strategy use. European Psychologist, 14, 351-

362.

Reijnders, J.M., & J. Snijders (1959). Functioneel rekenen. Handleiding. Amsterdam: Versluys.

Reys, R. E. (1984). Mental computation and estimation: Past, present, and future. The Elementary

School Journal, 84, 546–557.

Robinson, K., M. (2001). The Validity of Verbal Reports in Children's Subtraction Journal of

Educational Psychology, 93, 211-222.

Ruthven, K. (1998). The Use of Mental, Written and Calculator Strategies of Numerical Computation by

Upper Primary Pupils within a 'Calculator-aware' Number Curriculum. British Educational Research

Journal, 24, 21- 42.

Selter, C. (2001). Addition and substraction of three-digit numbers: German elementary children’s

success, methods and strategies. Educational Studies in Mathematics, 47, 145-173.

Shrager, J., & Siegler, R.S. (1998). SCADS: A model of children's strategy choices and strategy

discoveries. Psychological Science, 9, 405-410.

Siegler, R.S., & Lemaire, P. (1997). Older and younger adults’ strategy choices in multiplication:

Testing predictions of ASCM Using the Choice/ No Choice Method. Journal of Experimental

Psychology, 126, 71-92.


PASW Statistics, SPSS inc., & IBM Company. (2010). IBM SPSS Statistics for Windows, Version 19.0.

Armonk, NY: IBM Corp.

Thompson, I. (1999). Mental Calculation Strategies for Addition and Subtraction. Mathematics in

School, 28, 1-4.

Torbeyns, J., Ghesquière, P. & Verschaffel, L. (2009). Efficiency and flexibility of indirect addition in the

domain of multi-digit subtraction. Learning and Instruction 19, 1-12.

Torbeyns, J. & Verschaffel, L. (2011). Cijferen of hoofdrekenen? Strategiekeuzen van Vlaamse leerlingen bij

het optellen en aftrekken tot 1000. Paper gepresenteerd als bijdrage aan het

symposium “Rekenen met meercijferige getallen: analyse van strategiekeuzen en strategiegebruik”,

Onderwijs Research Dagen 2011, Passie voor leren, 8 tot en met 10 juni 2011, Maastricht,

Nederland. Geraadpleegd op 8 november 2012 via

http://www.ord2011.nl/data/conference/1/papers/

53920110516_ORD2011_Paper_TorbeynsVerschaffel_V_Def.docx

Torbeyns, J., Verschaffel, L., Ghesquière, P. (2005). Simple Addition Strategies in a First-Grade Class With

Multiple Strategy Instruction. Cognitition and instruction, 23, 1–21.

Torbeyns, J., Verschaffel, L., Ghesquière, P. (2006).The Development of Children’s Adaptive Expertise in

the Number Domain 20 to 100. Cognition and instruction, 24, 439–465.

VanPutten, C.M., & Hickendorff, M. (2006). Strategieën van leerlingen bij het beantwoorden van

deelopgaven in de periodieke peilingen aan het eind van de basisschool van 2004 en 1997. Reken

– wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 25(2), 16-25.

Varol, F. & Farran, D. (2007). Elementary School Students Mental Computation Proficiencies. Early

Childhood Education Journal, 35 (1), 89-94.

Verschaffel, L., Luwel, K., Torbeyns, J., & Van Dooren, W. (2007). Developing adaptive expertise: A

feasible en valuable goal for (elementary) mathematics education. Ciencias Psicológicas, 1, 27-

35.

Verschaffel, L., Luwel, K., Torbeyns, J., & Van Dooren, W. (2009). Conceptualizing, investigating, and

enhancing adaptive expertise in elementary mathematics education. European Journal of

Psychology of Education, 24 , 335-359.

Mikowski, R. (2005). Kolomsgewijs rekenen: terug naar de twaalfde eeuw. Geraadpleegd op 16

november 2012 via http://www.rekencentrale.nl/recent/terug_naar_de_twaalde_eeuw.pdf


7 Bijlage 1: De experimentele en voorbeeldopgaven

HR- opgaven CR-opgaven

Set 1

857 – 498= A4 862 – 473= A1

A2 846 – 399= A5 744 – 167=

A3 531 – 297= A6 633 – 354=

Set 2

762 – 497= B4 731 – 174= B1

B2 627 – 298= B5 853 – 467=

B3 835 – 399= B6 641 – 353=

Set 3

674 – 298= C4 656 – 367= C1

C2 743 – 499= C5 731 – 173=

C3 835 – 397= C6 842 – 454=

Voorbeeldopgaven

1. 388 - 212 =

2. 386 - 133 =

3. 83 - 42 =


8 Bijlage 2: Strategie Repertoire en Chi2 waarden

Groep

Koloms-

Cijferen* Rijgen Splitsen* Aanvullen

Compen- Combi-

gewijs seren* natie*

6

0 maal 96.5 81.6 80.7 43.0 93.0 83.3 71.9

1-6 maal 3.5 18.4 19.3 57.1 7.0 16.7 28.1

7

0 maal 99.2 34.4 86.3 73.3 87.8 72.5 87.8

1-6 maal 0.8 65.6 13.7 26.7 7.2 27.5 12.2

8

0 maal 97.8 28.6 92.3 90.1 86.8 85.7 92.3

1-6 maal 2.2 71.4 7.7 9.9 13.2 14.3 7.7

Het wel of niet gebruiken van strategieën van leerlingen per leerjaar. Verdeling van de frequentie van gebruik van de

rekenstrategieën Kolomsgewijs aftrekken, 2(2, N = 336) = 2.26, p = 0.323, Cijferen 2(2, N = 336) = 74.87, p < 0.0001, Rijgen 2(2, N =

336) = 5,68, p = 0.06, Splitsen 2(2, N = 336) = 54.49, p < 0.0001, Aanvullen 2(2, N = 336) = 2.52, p = 0.284, Compenseren 2(2, N =

336) = 7.16, p < 0.05 en Combinatiestrategieën 2(2, N = 336) =18.06 p < 0.0001.


9 Bijlage 3: Gemiddelde Oplossingstijd per Item

Alhoewel de eerste items uit elke conditie langzamer zijn opgelost dan de daaropvolgende items

(hogere gemiddelde oplossingstijd in seconden), bleek er uit een Anova op oplossingstijd en

itemnummer geen statistisch significante verschillen in oplossingstijd te zijn tussen de eerste

items uit de drie condities en de daarop volgende item op een significantieniveau van α = 0.05.

Opgave

Gemiddelde

oplossingstijd (s)

1 35.75

2 30.94

3 32.87

4 28.89

5 27.64

6 30.82

7 42.12

8 35.81

9 33.54

10 37.00

11 33.05

12 38.69

13 40.30

14 31.31

15 29.53

16 29.26

17 29.49

18 27.88

Totaal 33.04

Opgaven in de volgorde waarin ze

gepresenteerd zijn aan de leerlingen.



september 2012 – januari 2013

S. Aydın
