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INTEGRAÇÃO FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS:
DISCUSSÃO DO USO DO SOFTWARE GEOGEBRA E DOS PRESSUPOSTOS
DA SEQUÊNCIA FEDATHI
Francisco Regis Vieira Alves
IFCE – campus Fortaleza
Guttenberg Sergistótanes Santos Ferreira
IFCE – campus Juazeiro do Norte
Resumo
Neste escrito apresenta-se uma atividade vinculada a uma técnica para a integração de
funções racionais que são decompostas por meio de frações parciais. Imprime-se nesta
atividade a possibilidade de exploração da tecnologia (com o uso do software
GeoGebra). Ademais, alguns elementos são indicados no sentido de demarcar
diferenças qualitativas em duas formas de abordar atividades da mesma natureza. A
forma standard dos livros, que privilegiam o uso de argumentos algébrico-
manipulativos; e, por outra via, a identificação e o entendimento de propriedades
qualitativas vinculadas ao comportamento gráfico-geométrico, que envolve o
entendimento das condições de existência da integral definida, o comportamento
assintótico e a identificação de padrões gráficos atinentes a esta técnica. Por fim, faz-se
uma discussão sobre o uso da Sequência Fedathi – SF para privilegiar a aprendizagem e
fortalecer o ensino.
Palavras-chave: Integração. Funções Racionais. GeoGebra. Sequência Fedathi.
Abstract
At this writing, in particular, presents an activity linked to a technique for integration
rational functions that are decomposed by partial fractions. Prints up, in this activity, the
possibility of exploitation of technology (using the software GeoGebra). Finally, some
elements are given in order to demarcate qualitative differences in two ways to address
activities of the same nature. The standard form of the books, which favor the use of
algebraic-manipulative arguments. And, in addition, the identification and
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understanding of qualitative properties linked to geometric behavior of the graph, which
involves the understanding the conditions of the existence of the definite integral, the
asymptotic behavior and identification of the graphics patters pertaining to this
technique.
Key-words: Integration. Techniques. Partial Fractions. GeoGebra.
Sobre o ensino das técnicas de integração no locus acadêmico
Diante da complexidade e do caráter abstrato de muitos conceitos matemáticos
peculiares ao ambiente acadêmico, a única opção que se apresenta ao estudante, é o
expediente da memorização. O caso da noção da Integral e a descrição dos critérios de
integração é, possivelmente, uma das circunstâncias em que registramos tal atitude.
Com efeito, a abordagem dos autores imprime maior ênfase na técnica em
detrimento da própria descrição/entendimento dos aspectos qualitativos (e matemáticos)
intrínsecos ao processo de integração. Desta forma, os autores de livros perdem a
oportunidade de explorar critérios qualitativos (LIMA, 2010, p. 321-322) ao enfatizar
exercícios que requerem argumentos e manipulações oriundas do contexto escolar. Ao
professor expert, resta o questionamento: seu aluno será mais sábio na medida em que
consegue resolver algumas dezenas de problemas de integração? Como avaliar uma
aprendizagem que restringe a atividade de investigação somente à determinação de uma
função primitiva? Ou ainda, apenas com a manipulação algébrica (sem a discussão
geométrica) o estudante pode garantir que houve a máxima aprendizagem?
No próximo segmento, daremos indicações para uma exploração didático-
conceitual.
Discussão de exemplos com o uso da tecnologia
A técnica de integração nominada nos livros de Cálculo por “Integração de
Funções Racionais por Frações Parciais” preserva seu caráter standard em disciplinas
regulares nos cursos de graduação, comumente trabalhada sob duas perspectivas: Caso
Linear e Caso Quadrático. Na fig.1 exibimos exemplos propostos por Stewart (2006).
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Figura 1. Exemplos de situações exploradas de Funções Racionais
Fonte: Stewart (2006, p. 493-495)
Vamos comentar o exemplo 4. De fato, temos a seguinte função racional
4 2
3 2 2
2 4 1 4( 1)
1 ( 1) ( 1)
x x x xx
x x x x x
. Daqui em diante, imprimimos
outra forma de resolução. Escrevemos a fração
2 2 2 2
4 4 ( 1) ( 1)
( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1)
x A B C x A x B xC
x x x x x x x x
. Daí,
avaliamos o limite 2 2 21 1 1
4 ( 1) ( 1) 4lim lim[ ] lim 1
( 1) 1 ( 1) ( 1)x x x
x A x B x xC C C
x x x x
. Para
o próximo coeficiente B: 24( 1) ( 1)
( 1) 1 1
x A Cx B x
x x x
, multiplicando
pelo fator 2( 1)x . Segue, pois, que:
2
1 1 1
4 4lim lim[ ( 1) ( 1)] lim 2
( 1) 1 1 ( 1)x x x
x A C xx B x B B
x x x x
.
Para concluir, tomaremos 4
( 1)( 1)( 1) ( 1) 1
x B CA x
x x x x
, ao
multiplicar pelo fator ( 1)x , entretanto, não podemos aplicar o limite
1 1
4lim lim[ ( 1)]
( 1)( 1) ( 1) 1x x
x B CA x
x x x x
. Diante de tal indeterminação, derivamos:
22
2 2
4 1 4 2 3( 1) 2 ( 1) 0
( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x xA x x A
x x x x
. Segue que
2
2 21 1
4 2 31 lim lim[ ] 0 1
( 1) ( 1)x x
x xA A A
x x
.
Passaremos agora a descrição das propriedades gráfico-geométricas da função
4 2
3 2
2 4 1( )
1
x x xf x
x x x
. De imediato, divisamos um comportamento tendencial assintótico
4
nas vizinhanças dos pontos ( 1,0) e (1,0) . Ademais, com o recurso computacional,
depreendemos a região do plano, na qual, temos definido o gráfico de sua função
primitiva (ou família de primitivas). Ademais, ainda em Stewart (2006, p. 496)
encontramos a primitiva 2( ) 2 2 ( 1) ln ( 1) ( 1)F x x x x x x K . Na fig. 2, seu
domínio pode ser identificado no gráfico (em vermelho), antes de considerações
analíticas (com 15 15K ).
Figura 2. O software GeoGebra permite a identificação de propriedades gráfico-geométricas da função no
integrando e de sua primitiva correspondente (para 15 15K )
Fonte: formatação própria
Vale observar ainda que nas retas assíntotas verticais, a imagem da função
integranda é ilimitada, o que impede de aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo
– TFC. E ainda, o caráter qualitativo indicado por Lima (2010, p. 321-322) não é
evidenciado. De fato, podemos observar que nos intervalos ( , 1) , ( 1,1) e (1, ) ,
já contávamos com a diferenciabilidade de função integranda, e sua primitiva possui a
mesma propriedade.
Outro elemento que se sobressai nessa resolução refere-se às ligações
conceituais indicadas. Com efeito, na determinação dos coeficientes B e C empregamos
o limite e a continuidade das funções. Por fim, no coeficiente A aplicamos o processo
de derivação.
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Outra noção que, que de per si, é considerada complexa, diz respeito à noção de
existência em Matemática. Com base na fig. 2, depreendemos que 2
3( )f x dx
não
existe. Ainda na fig. 2, indicamos que no ponto 4.6x podemos determinar a relação
'(4.6) (4.6)F f que, do ponto de vista geométrico, corresponde ao valor numérico da
declividade de uma reta tangente ao gráfico da função primitiva ( )F x . Reparemos que
para qualquer intervalo [ , ] (2, )a b contamos com a continuidade da função ( )f x e
estamos com as condições de uso do TFC. Na fig. 3 discutiremos o exemplo 2, proposto
acima.
Figura 3. Identificação dos coeficientes do exemplo 2 com o arrimo do software GeoGebra
Fonte: formatação própria
Para concluir, no exemplo 2 (fig. 1, lado esquerdo) se tem 2( 2 1)
(2 1)( 2)
x x dx
x x x
.
Nesse caso não registramos multiplicidade maior que 1, pertinentes às raízes do
denominador. Daí, os coeficientes na decomposição
2( 2 1)
(2 1)( 2) 2 1 2
x x A B C
x x x x x x
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são determinados por 0 0
lim[ ( )] lim[ ]2 1 2x x
Bx Cxx f x A A
x x
,
1 2lim[(2 1) ( )]x
x f x B
e 2
lim[( 2) ( )]x
x f x C
.
Vale observar que as funções indicadas por ( )x f x , (2 1) ( )x f x e
( 2) ( )x f x são todas contínuas nos pontos 0,1 2 e 2x respectivamente. Divisamos
tal propriedade nos gráficos exibidos na figura 3, pois, não existem saltos ou rupturas.
No próximo segmento, faremos uma discussão teórico-conceitual, sobre o uso de
metodológico qualitativo para ensino de Matemática.
A Sequência Fedathi como proposta mediadora de aprendizagem
O ensino de Matemática, na maior parte dos casos, privilegia os aspectos
quantitativos em detrimento dos qualitativos. Esta ação docente, que normalmente
ocorre de forma inconsciente, implica em desmotivação para aprendizagem e falhas
conceituais que impedirão o estudante de evoluir rapidamente a uma Matemática mais
avançada.
Neste cenário várias metodologias de ensino e pesquisa em Matemática vêm
sendo discutidas, com maior ênfase, desde meados dos anos 1980. Como exemplo disto
pode-se citar Engenharia Didática de Artigue, Teoria das Situações Didáticas e Teoria
do Contrato Didático de Brousseau, Teoria da Transposição Didática de Chevallard
(MACHADO & GARCIA, 2007) e Sequência Fedathi (BORGES NETO, SANTANA
& ROCHA, 2004), dentre outras.
A Sequência Fedathi – SF surge como proposta metodológica, tratando questões
que lidam diretamente com a Didática da Matemática. Neste escopo, há bastante
semelhança entre a Engenharia Didática e a SF, entretanto devemos nos ater à
“Sequência Fedathi como a estruturação metodológica de uma sessão de estudo, e a
Engenharia Didática como um recurso metodológico para preparação de um curso com
várias sessões de curta, média e longa duração” (BORGES NETO, SANTANA &
ROCHA, 2004, p. 2).
A SF compreende basicamente 4 fases operacionais que subdividem a sessão de
estudo, são elas: Tomada de Posição, Maturação, Solução e Prova. Estas fases são
responsáveis pela aprendizagem do objeto matemático estudado e pelo sucesso do tripé
educacional estudante – professor – saber. Segundo Alves e Pereira (2016):
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Fase 1 – Tomada de posição: nesta fase o professor deve apresentar o problema ao
estudante, correlacionando a situação de estudo com o saber que deve ser aprendido,
possibilitando ao estudante a compreensão do fator gerador do ente matemático em
discussão;
Fase 2 – Maturação: aqui o professor inicia seus trabalhos com o estudante, mas
permitindo que ele mesmo faça suas conjecturas, enquanto compreende e identifica
as variáveis envolvidas;
Fase 3 – Solução: nesta fase o estudante apresenta sua solução para o problema
proposto e realiza a discussão com o restante do grupo (quando houver), lembrando
que o essencial para o sucesso desta fase é a construção do raciocínio e não somente
as respostas corretas;
Fase 4 – Prova: finalmente o professor pode formalizar a solução do problema,
mostrando sua prova ou demonstração (quando for o caso) e generalizando a
situação estudada para outras situações de ensino/aprendizagem.
O sucesso da SF surge a partir do momento que o estudante consegue não
somente resolver a situação que lhe foi proposta, mas também discutir suas conjecturas
e fortalecer seus conceitos matemáticos. Essa ideia pode ser vista como experimentação
matemática ou prática laboratorial de Matemática, sobretudo quando ao estudante está
possibilitado o uso de objetos de aprendizagem, ainda que virtuais, tais como o software
GeoGebra. Essa ideia é corroborada por Borges Neto, Santana & Rocha (2004, p. 7)
quando a afirmam que “a Sequência Fedathi visa criar condições e possibilidades para
que o professor possa trabalhar o ensino de matemática com base em posturas que
favoreçam a investigação em sala-de-aula”.
Na próxima seção, faremos uma discussão sobre o uso da Sequência Fedathi
com os problemas já discutidos em seções anteriores, sem, no entanto, termos a
intenção de impor uma situação de estudo, mas, tão somente, apontar caminhos que
favoreçam uma situação de aprendizagem.
Uso da Sequência Fedathi em Integração de Frações Parciais
A discussão de ambos os exemplos propostos na fig. 1, nos pressupostos da SF,
necessita que o docente haja como mediador, norteando a aprendizagem e favorecendo
a experimentação. Faremos aqui apenas uma breve discussão do exemplo 4, permitindo
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ao leitor mais interessado que se proponha a resolver o exemplo 2. Comumente, espera-
se sucesso dos estudantes, mas este deve ser considerado a médio ou longo prazo, visto
que a SF é proposta para uma sessão de estudo e que nem sempre há garantia de êxito.
Inicialmente, na fase da Tomada de Posição, o professor, além de apresentar o
problema, já tece considerações sobre a integração de funções que se apresentam em
forma quociente. Inclusive relembrando que existem técnicas de integração para
funções em produto, o mesmo não ocorrendo, diretamente, para funções em quociente.
Com isto, o estudante é levado à prática da manipulação das frações com vistas a obter
numeradores constantes, ou seja, neste momento, há o esclarecimento do fator gerador
quando 4 2
3 2 2
2 4 1 4( 1)
1 ( 1) ( 1)
x x x xx
x x x x x
, e logo em seguida, ao
assumir que 2 2 2 2
4 4 ( 1) ( 1)
( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1)
x A B C x A x B xC
x x x x x x x x
.
Na fase da Maturação, o estudante começa a testar suas conjecturas,
normalmente procurando determinar as incógnitas por meio de identidades entre
polinômios; mas a sugestão desta resolução sugere o uso da Teoria dos Limites e suas
propriedades, bem como de Regras de Derivação, favorecendo a discussão entre os
estudantes e possibilitando ao professor observar quão sólida foi a aprendizagem em
outros momentos. Nesta fase também pode ser sugerida com seja iniciada a construção
gráfica com auxílio do software GeoGebra, pois neste contexto o estudante, além de
testar conjecturas, tem contato com a noção erro matemático (ALVES & PEREIRA,
2016) e percebe o comportamento assintótico da função 4 2
3 2
2 4 1( )
1
x x xf x
x x x
e seu
conjunto imagem ilimitado.
Na fase da Solução o estudante consegue propor como solução do problema a
função primitiva 2( ) 2 2 ( 1) ln ( 1) ( 1)F x x x x x x K e ainda, com auxílio do
professor, a montagem e discussão da fig. 2. Neste momento, ainda que de forma
inconsciente em alguns aspectos, pode o estudante propor uma relação dicotômica tese-
hipótese, utilizando-se inclusive dos aspectos gráficos para fortalecer sua solução.
Por fim, na fase de Prova, o professor realiza a discussão formal para solucionar
o problema, evidenciando aspectos de uso do TFC, da continuidade e diferenciabilidade
de funções e, por fim, a correta interpretação dos aspectos gráficos. Ainda com a
postura de mediador, deve o professor estimular o estudante a evoluir de uma solução
9
particular para os casos mais gerais, propondo inclusive problemas gradativamente mais
complexos nesta mesma seção de estudo. Dessa forma,
[...] a Sequência Fedathi é um o processo de mediação, enquanto ação
docente, que têm por objetivo favorecer a imersão do discente à prática do
pesquisador que desenvolve o conteúdo que se pretende ensinar, sendo assim,
o papel do professor consiste em criar condições e possibilidades para que o
aluno seja colocado na posição de pesquisador, e tal fator somente ocorre
quando o professor, ao preparar sua sequência de ensino, se coloca na
posição do aluno respeitando-o como um sujeito construtor de
conhecimentos, bem como, reconhecendo a si mesmo, como um agente ativo
na construção do saber que pretende ensinar. (BORGES NETO, SANTANA
& ROCHA, 2004, p. 10).
Considerações finais e recomendações para sua aula
Os ritos acadêmicos que priorizam o caráter sistematizado das ideias
matemáticas, por vezes reduzem o espaço de ação do estudante ao domínio de técnicas
algébrico-manipulativas. Há décadas, alguns estudos indicam elementos preocupantes
inerentes ao ensino de integral (ORTON, 1983).
Figura 4. Ligações conceituais comparativas entre os métodos
Fonte: Orton (1983, p. 10)
Concordamos com esse autor ao advertir que “regras desprovidas de razões não
podem ser justificadas” (ORTON, 1983, p. 10). Por outro lado, com o amparo dos
10
elementos colhidos da visualização, os estudantes podem adquirir um entendimento que
envolva as propriedades qualitativas e, a posteriori, produzam ilações fundamentadas
em conjecturas elaboradas/alicerçadas a partir de um insight (ALVES, 2012; 2014)
oriundo de um cenário de aprendizagem adequado. Na fig. 4 fornecemos elementos
indicadores que permitem comparar a abordagem dos livros com nossas indicações.
Por fim, vale destacar que dentre os objetivos deste escrito, se encontra a
complementação didática no ensino de Matemática, amparada pelo recurso tecnológico
através do software GeoGebra e pela Sequência Fedathi. Observamos ainda que o
ineditismo dos problemas e das suas soluções não foi buscado por nós, e sim a
ressignificação de elementos do ensino e da aprendizagem, com vistas a propiciar ao
estudante a experiência de pesquisador matemático, inclusive na interação com outros
estudantes e o próprio professor.
Referências
ALVES, F. R. V. Técnica Computacional para o ensino de Matemática. In: Em Teia:
Revista de Educação Matemática e Tecnológica Iberoamericana. v. 5, nº 2, 2014,
p.1-12. Disponível em: <http://www.gente.eti.br/revistas/index.php/emteia/index>.
Acessado em: 29 dez. 2014
ALVES, F. R. V. Insight: descrição e possibilidades de seu uso no ensino do Cálculo.
In: Vydia Educação. v. 32, nº 2, 2012, p. 149-161. Disponível em:
<http://sites.unifra.br/Portals/35/2012/10.pdf>. Acessado em: 29 dez. 2014.
ALVES, F. R. V. PEREIRA, A. C. C. Ensino de Geometria Analítica: alguns
pressupostos da Sequência Fedathi no contexto da formação de professor de
Matemática. In: Revista Eletrônica Debates em Educação Científica e Tecnológica.
V. 6, n. 2, p. 27-46, 2016.
BORGES NETO, H; SANTANA, J. R; ROCHA, E. M. A Sequência Fedathi: uma
proposta de mediação pedagógica no ensino de Matemática. In: VIII Encontro
Nacional de Educação Matemática. (Anais). 2004. Disponível em:
<http://www.sbembrasil.org.br/files/viii/pdf/07/MC15472834830.pdf>. Acessado em 01
jun. 2016.
LIMA, E. L. Curso de Análise. v. 1, Rio de Janeiro: Projeto Euclides, 2010.
MACHADO, C. R; GARCIA, V. C. Teorias de Pesquisa em Educação Matemática:
a influência dos franceses. UFRGS: 2007. Disponível em:
<http://143.54.226.61/~vclotilde/disciplinas/pesquisa/CLAUDIA_FRANCESES.D
OC.pdf>. Acessado em: 29 out. 2014.
ORTON, A. Students’ understanding of integration. In: Educational Studies in
Mathematics. nº 14, 1983. p. 1-18.
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STEWART, J. Cálculo. v. 1, 5ª edição. São Paulo: Cengage Learning, 2006.
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