Presentazione parte cecio

ProblemaPFC 2D

Molinari -Ruggiu

Discretizzazionee Linearizza-zione

RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi

Il problema Phase Field Crystal bidimensionale

Cesare Molinari 782407Andrea Alessandro Ruggiu 782766

Politecnico di Milano

16/01/2014

Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 1 / 20

ProblemaPFC 2D

Molinari -Ruggiu


RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi

Sommario

1 Discretizzazione e Linearizzazione

2 Risultati Numerici

3 Ulteriori Approcci

4 Sviluppi Futuri


ProblemaPFC 2D

Molinari -Ruggiu


RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi

Formulazione Debole: Metodo di Splitting

Obiettivo: utilizzare Elementi Finiti P1 in spazioMetodo: Splitting di Equazione in Sistema equivalente

∂ρ∂t = ∆σ

σ = ϕ (ρ) + 2Dk2ω + D∆ω

ω = ∆ρ

Formulazione Debole: dato ρ0 ∈ L2 (Ω) vogliamo trovareρ, σ, ω ∈ L2 (0,T ;H1

p (Ω))t.c. ∀u, v , z ∈ H1

p (Ω)(∂ρ∂t , u

)0

+ (∇σ,∇u)0 = 0,

(σ, v)0 −(2Dk2ω, v

)0 + (D∇ω,∇v)0 − (ϕ (ρ) , v)0 = 0,

(ω, z)0 + (∇ρ,∇z)0 = 0,

con ρ (t = 0) = ρ0Molinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 3 / 20

ProblemaPFC 2D

Molinari -Ruggiu


RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi



∂ρ∂t = ∆σ

σ = ϕ (ρ) + 2Dk2ω + D∆ω

ω = ∆ρ


p (Ω))t.c. ∀u, v , z ∈ H1

p (Ω)(∂ρ∂t , u

)0

+ (∇σ,∇u)0 = 0,

(σ, v)0 −(2Dk2ω, v

)0 + (D∇ω,∇v)0 − (ϕ (ρ) , v)0 = 0,

(ω, z)0 + (∇ρ,∇z)0 = 0,


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi



∂ρ∂t = ∆σ

σ = ϕ (ρ) + 2Dk2ω + D∆ω

ω = ∆ρ


p (Ω))t.c. ∀u, v , z ∈ H1

p (Ω)(∂ρ∂t , u

)0

+ (∇σ,∇u)0 = 0,

(σ, v)0 −(2Dk2ω, v

)0 + (D∇ω,∇v)0 − (ϕ (ρ) , v)0 = 0,

(ω, z)0 + (∇ρ,∇z)0 = 0,


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi



∂ρ∂t = ∆σ

σ = ϕ (ρ) + 2Dk2ω + D∆ω

ω = ∆ρ


p (Ω))t.c. ∀u, v , z ∈ H1

p (Ω)(∂ρ∂t , u

)0

+ (∇σ,∇u)0 = 0,

(σ, v)0 −(2Dk2ω, v

)0 + (D∇ω,∇v)0 − (ϕ (ρ) , v)0 = 0,

(ω, z)0 + (∇ρ,∇z)0 = 0,


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi



∂ρ∂t = ∆σ

σ = ϕ (ρ) + 2Dk2ω + D∆ω

ω = ∆ρ


p (Ω))t.c. ∀u, v , z ∈ H1

p (Ω)(∂ρ∂t , u

)0

+ (∇σ,∇u)0 = 0,

(σ, v)0 −(2Dk2ω, v

)0 + (D∇ω,∇v)0 − (ϕ (ρ) , v)0 = 0,

(ω, z)0 + (∇ρ,∇z)0 = 0,


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi



∂ρ∂t = ∆σ

σ = ϕ (ρ) + 2Dk2ω + D∆ω

ω = ∆ρ


p (Ω))t.c. ∀u, v , z ∈ H1

p (Ω)(∂ρ∂t , u

)0

+ (∇σ,∇u)0 = 0,

(σ, v)0 −(2Dk2ω, v

)0 + (D∇ω,∇v)0 − (ϕ (ρ) , v)0 = 0,

(ω, z)0 + (∇ρ,∇z)0 = 0,


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi

Spazi di Semidiscretizzazione Elementi Finiti

Considerando una Triangolazione Th =⋃Nh

j=1 Kj di Nh elementisu Ω, definiamo

Vh =vh ∈ C 0 (Ω) : vh |Kj

∈ P1, ∀Kj ∈ Th

e

Vh =vh ∈ Vh : vh(x , y) periodica di periodo Ω


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi

Spazi di Semidiscretizzazione Elementi Finiti

Considerando una Triangolazione Th =⋃Nh

j=1 Kj di Nh elementisu Ω, definiamo

Vh =vh ∈ C 0 (Ω) : vh |Kj

∈ P1, ∀Kj ∈ Th

e

Vh =vh ∈ Vh : vh(x , y) periodica di periodo Ω


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi

Semidiscretizzazione in Spazio

Dato ρh0 ∈ Vh, ∀t > 0 fissato trovareρh (t) , σh (t) , ωh (t) ∈ Vh t.c. ∀uh, vh, zh ∈ Vh(∂ρh∂t , uh

)0

+ (∇σh,∇uh)0 = 0

(σh, vh)0 −(2Dk2ωh, vh

)0 + (D∇ωh,∇vh)0 − (ϕ (ρh) , vh)0 = 0

(ωh, zh)0 + (∇ρh,∇zh)0 = 0

con ρh (t = 0) = ρh0


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi



)0

+ (∇σh,∇uh)0 = 0


)0 + (D∇ωh,∇vh)0 − (ϕ (ρh) , vh)0 = 0

(ωh, zh)0 + (∇ρh,∇zh)0 = 0



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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi



)0

+ (∇σh,∇uh)0 = 0


)0 + (D∇ωh,∇vh)0 − (ϕ (ρh) , vh)0 = 0

(ωh, zh)0 + (∇ρh,∇zh)0 = 0



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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi

Discretizzazione Completa con Eulero all’Indietro inTempo

Dato ρh0 ∈ Vh, ∀n = 0, 1, . . . fissato trovareρn+1h , σn+1

h , ωn+1h ∈ Vh t.c. ∀uh, vh, zh ∈ Vh

(ρn+1h −ρnh

∆tn, uh

)0

+ (∇σh,∇uh)0 = 0


)0 + (D∇ωh,∇vh)0 +

−(ϕ(ρn+1h

), vh)0 = 0

(ωh, zh)0 +(∇ρn+1

h ,∇zh)0 = 0

con ρ0h = ρh0


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi




(ρn+1h −ρnh

∆tn, uh

)0

+ (∇σh,∇uh)0 = 0


)0 + (D∇ωh,∇vh)0 +

−(ϕ(ρn+1h

), vh)0 = 0

(ωh, zh)0 +(∇ρn+1

h ,∇zh)0 = 0

con ρ0h = ρh0


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi




(ρn+1h −ρnh

∆tn, uh

)0

+ (∇σh,∇uh)0 = 0


)0 + (D∇ωh,∇vh)0 +

−(ϕ(ρn+1h

), vh)0 = 0

(ωh, zh)0 +(∇ρn+1

h ,∇zh)0 = 0

con ρ0h = ρh0


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi

Linearizzazione: Algoritmo Iterativo di Newton

Inizializzazione: ρn,0h = ρn−1h

Problema linearizzato: per n = 0, 1, . . . fissata, ∀k = 0, 1, . . .trovare ρn,k+1

h , σn,k+1h , ωn,k+1

h ∈ Vh t.c. ∀uh, vh, zh ∈ Vh

(ρn,k+1h −ρn,0h

∆tn, uh

)0

+ (∇σh,∇uh)0 = 0


)0 + (D∇ωh,∇vh)0 −

(ϕ(ρn,kh

), vh

)0

−(ϕ′(ρn,kh

)ρn,k+1h , vh

)0

+(ϕ′(ρn,kh

)ρn,kh , vh

)0

= 0

(ωh, zh)0 +(∇ρn,k+1

h ,∇zh)

0= 0

con ρ0h = ρh0


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi






(ρn,k+1h −ρn,0h

∆tn, uh

)0

+ (∇σh,∇uh)0 = 0


)0 + (D∇ωh,∇vh)0 −

(ϕ(ρn,kh

), vh

)0

−(ϕ′(ρn,kh

)ρn,k+1h , vh

)0

+(ϕ′(ρn,kh

)ρn,kh , vh

)0

= 0

(ωh, zh)0 +(∇ρn,k+1

h ,∇zh)

0= 0

con ρ0h = ρh0


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi






(ρn,k+1h −ρn,0h

∆tn, uh

)0

+ (∇σh,∇uh)0 = 0


)0 + (D∇ωh,∇vh)0 −

(ϕ(ρn,kh

), vh

)0

−(ϕ′(ρn,kh

)ρn,k+1h , vh

)0

+(ϕ′(ρn,kh

)ρn,kh , vh

)0

= 0

(ωh, zh)0 +(∇ρn,k+1

h ,∇zh)

0= 0

con ρ0h = ρh0


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi






(ρn,k+1h −ρn,0h

∆tn, uh

)0

+ (∇σh,∇uh)0 = 0


)0 + (D∇ωh,∇vh)0 −

(ϕ(ρn,kh

), vh

)0

−(ϕ′(ρn,kh

)ρn,k+1h , vh

)0

+(ϕ′(ρn,kh

)ρn,kh , vh

)0

= 0

(ωh, zh)0 +(∇ρn,k+1

h ,∇zh)

0= 0

con ρ0h = ρh0


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi

Test di Arresto

I kn < toll (nelle Simulazioni, toll = 10−3)

dove I kn è l’Incremento, definito da

I kn =

√‖dk

n ρh‖2H1(Ω) + ‖dk

n σh‖2H1(Ω) + ‖dk

nωh‖2H1(Ω)

|Ω|.

con

dkn (·) = (·)n,k+1 − (·)n,k


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi

Test di Arresto

I kn < toll (nelle Simulazioni, toll = 10−3)

dove I kn è l’Incremento, definito da

I kn =

√‖dk

n ρh‖2H1(Ω) + ‖dk

n σh‖2H1(Ω) + ‖dk

nωh‖2H1(Ω)

|Ω|.

con

dkn (·) = (·)n,k+1 − (·)n,k


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi

Diagramma di Fase

Obiettivo: riproduzione del Diagramma di Fase (ricavatoempiricamente in [EKHG])


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UlterioriApprocci

SviluppiFuturi

Validazione Numerica del Diagramma di Fase

Metodo:

fissato il valore di ρ = 0.07, Simulazioni per differenti ε;fissato il valore di ε = 0.15, Simulazioni per differenti ρ

con Domino Ω = [0, 370]2 e Dato Iniziale:

ρ0 =

ρ+ C

(cos (qX ) cos

(qY√

3

)− 1

2 cos(

2qY√3

))se (X ,Y ) ∈ [220, 250]× [−70,−20] ,

ρ altrimenti

dove C = 0.446, q = 0.66 e (X ,Y ) è un sistema di coordinateruotato di −π

3Griglia e Timestep: griglia non strutturata con 170 nodi perlato; passo temporale ∆t = 4


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UlterioriApprocci

SviluppiFuturi


Metodo:



ρ0 =

ρ+ C

(cos (qX ) cos

(qY√

3

)− 1

2 cos(

2qY√3

))se (X ,Y ) ∈ [220, 250]× [−70,−20] ,

ρ altrimenti




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UlterioriApprocci

SviluppiFuturi


Metodo:



ρ0 =

ρ+ C

(cos (qX ) cos

(qY√

3

)− 1

2 cos(

2qY√3

))se (X ,Y ) ∈ [220, 250]× [−70,−20] ,

ρ altrimenti




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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi


Metodo:



ρ0 =

ρ+ C

(cos (qX ) cos

(qY√

3

)− 1

2 cos(

2qY√3

))se (X ,Y ) ∈ [220, 250]× [−70,−20] ,

ρ altrimenti




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UlterioriApprocci

SviluppiFuturi


Metodo:



ρ0 =

ρ+ C

(cos (qX ) cos

(qY√

3

)− 1

2 cos(

2qY√3

))se (X ,Y ) ∈ [220, 250]× [−70,−20] ,

ρ altrimenti




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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

SviluppiFuturi

Diagramma di Fase per ε = 0.15 fissato al variare diρ

ρ = 0.3: Regime a Stato Stazionario Costante (Fase Liquida)

C:/Andrea/Tabella030.jpg

VIDEO


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UlterioriApprocci

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ρ = 0.15: Regime a Stato Stazionario Esagonale (Fase SolidaCristallina)


VIDEOMolinari - Ruggiu (Politecnico di Milano) Problema PFC 2D 16/01/2014 12 / 20

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UlterioriApprocci

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ρ = 0.03: Regime a Stato Stazionario a Striscie


VIDEO


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UlterioriApprocci

SviluppiFuturi

Crescita di Cristalli differentemente orientati

Valori delle Costanti: ρ = 0.285 e ε = 0.25 (RegimeEsagonale)Dato iniziale:

ρ0 =

ρ+ C(cos (qx) cos

(qy√

3

)− 1

2 cos(

2qy√3

))se (x , y) ∈ [140, 170]× [220, 260]

ρ+ C(cos (qX1) cos

(qY1√

3

)− 1

2 cos(

2qY1√3

))se (X1,Y1) ∈ [160, 180]× [−30, 20]

ρ+ C(cos (qX2) cos

(qY2√

3

)− 1

2 cos(

2qY2√3

))se (X2,Y2) ∈ [70, 100]× [280, 310]

ρ altrimenti


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RisultatiNumerici

UlterioriApprocci

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Valori delle Costanti: ρ = 0.285 e ε = 0.25 (RegimeEsagonale)Dato iniziale:

ρ0 =

ρ+ C(cos (qx) cos

(qy√

3

)− 1

2 cos(

2qy√3

))se (x , y) ∈ [140, 170]× [220, 260]

ρ+ C(cos (qX1) cos

(qY1√

3

)− 1

2 cos(

2qY1√3

))se (X1,Y1) ∈ [160, 180]× [−30, 20]

ρ+ C(cos (qX2) cos

(qY2√

3

)− 1

2 cos(

2qY2√3

))se (X2,Y2) ∈ [70, 100]× [280, 310]

ρ altrimenti


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VIDEOIn Regime Stazionario, evidenza di Lacune (ovvero zone diconfine in cui avviene brusco il cambio di struttura cristallina)


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VIDEOIn Regime Stazionario, evidenza di Lacune (ovvero zone diconfine in cui avviene brusco il cambio di struttura cristallina)


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Test di Convergenza in Tempo

Settings:Dominio: Ω = [0, 370]2

Dato Iniziale: come in Esperimento di ValidazioneDiagramma di FaseValori Costanti: D = k = 1, ε = 0.14 e ρ = 0.07Griglia: non strutturata di 170 nodi per lato

Errore Relativo in H1 di ciascuna Soluzione ρh,∆t rispetto aquella con il passo di tempo più fine ρ∗h al Tempo FinaleT = 128 per diversi Passi di Tempo ∆t:

err (∆t) =1√|Ω|‖ρh,∆t − ρ∗h‖H1(Ω)


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Settings:Dominio: Ω = [0, 370]2

Dato Iniziale: come in Esperimento di ValidazioneDiagramma di FaseValori Costanti: D = k = 1, ε = 0.14 e ρ = 0.07Griglia: non strutturata di 170 nodi per lato

Errore Relativo in H1 di ciascuna Soluzione ρh,∆t rispetto aquella con il passo di tempo più fine ρ∗h al Tempo FinaleT = 128 per diversi Passi di Tempo ∆t:

err (∆t) =1√|Ω|‖ρh,∆t − ρ∗h‖H1(Ω)


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C:/Andrea/Tabel.jpg

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Decrescita Lineare dell’Errore Relativo: è prova di Convergenzain Tempo Lineare


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C:/Andrea/Tabel.jpg

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Decrescita Lineare dell’Errore Relativo: è prova di Convergenzain Tempo Lineare


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Approcci della Decomposizione dell’Energia

Problema: il Funzionale Energia Libera non è Convesso;Possibile approccio (proposto in [WWL] e seguito poi in[EW]): Decomposizione di Funzionale Energia Libera comedifferenza di due Funzionali Convessi

Infatti, perEc [ρ] =

∫Ω

[12 |∆ρ|

2 + 1−ε2 ρ2 + 1

4ρ4]dx ;

Ee [ρ] =∫

Ω |∇ρ|2 dx ,

si ha cheE = Ec − Ee

Risultato Teorico: Stabilità della Discretizzazione in TempoSemi-Implicita che deriva da

ρn+1 − ρn

∆t= ∆

(δEc

(ρn+1)δρ

)−∆

(δEe (ρn)

δρ

).


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∫Ω

[12 |∆ρ|

2 + 1−ε2 ρ2 + 1

4ρ4]dx ;

Ee [ρ] =∫

Ω |∇ρ|2 dx ,



ρn+1 − ρn

∆t= ∆

(δEc

(ρn+1)δρ

)−∆

(δEe (ρn)

δρ

).


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∫Ω

[12 |∆ρ|

2 + 1−ε2 ρ2 + 1

4ρ4]dx ;

Ee [ρ] =∫

Ω |∇ρ|2 dx ,



ρn+1 − ρn

∆t= ∆

(δEc

(ρn+1)δρ

)−∆

(δEe (ρn)

δρ

).


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∫Ω

[12 |∆ρ|

2 + 1−ε2 ρ2 + 1

4ρ4]dx ;

Ee [ρ] =∫

Ω |∇ρ|2 dx ,



ρn+1 − ρn

∆t= ∆

(δEc

(ρn+1)δρ

)−∆

(δEe (ρn)

δρ

).


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∫Ω

[12 |∆ρ|

2 + 1−ε2 ρ2 + 1

4ρ4]dx ;

Ee [ρ] =∫

Ω |∇ρ|2 dx ,



ρn+1 − ρn

∆t= ∆

(δEc

(ρn+1)δρ

)−∆

(δEe (ρn)

δρ

).


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Accenno all’approccio in [EW]: aggiungere e togliere untermine a entrambe le Componenti dell’Energia senzamodificarne la Convessità e in modo tale da ricondurre laNon-Linearità tutta nella Componente calcolata in esplicitoall’istante temporale precedente


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Sviluppi Futuri

Visto che i Lavori riguardo alla Decomposizionedell’Energia sono tutti in Differenze Finite, si potrebbeimplementare questa idea in Schemi a Elementi Finiti;Splitting a due equazioni tramite Spazi a Elementi FinitiNURBS (globalmente C1), che permettono il calcolodell’Energia Libera;Simulazioni Numeriche dell’Equazione PFC in TreDimensioni;


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