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UUNNIIDDAADD 55:: TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA
El termino Trigonometría procede del griego y significa medida de triángulos. Por lo tanto se considera la
trigonometría como la rama de la matemática que estudia los elementos de los triángulos. Sin embargo la trigonometría posee otras importantes aplicaciones que no se refieren únicamente a los triángulos.
5.1 CONCEPTOS BASICOS
5.1.1 Rayo
Sea L una recta. Sean A y B dos puntos en L tal como se aprecia en la figura:
Sea 00 , yxA . El conjunto :, 0xxLyxAB recibe el nombre de rayo y el punto A recibe el
nombre de origen o punto inicial del rayo.
5.1.2 Circulo
Se denomina círculo con centro en O y radio 0r , al conjunto de puntos en el plano cuya distancia a O es r ,
tal como se aprecia en la figura:
5.1.3 Angulo plano
Se denomina ángulo plano a la unión de dos rayos con un mismo origen. Los rayos que forman un ángulo se llaman
lados del ángulo y el origen de los rayos recibe el nombre de vértice del ángulo.
Según la figura los rayos OA y OB determinan un ángulo simbolizado AOB
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Página 83
5.1.4 Angulo central
Al ángulo AOB se denomina ángulo central de un círculo si su vértice es el centro del círculo, tal como se
aprecia en la figura:
5.1.5 Arco subtendido
Consideremos un circulo C con centro en O y radio r , sea AOB un ángulo central de C , tal que A y B
están sobre C . Se llama arco subtendido por el ángulo AOB al conjunto de puntos de C que están entre A y
B , tal como se aprecia en la figura:
Es recomendable designar a uno de los lados de un ángulo como el lado inicial del ángulo y al otro como lado final. Los ángulos que tienen su vértice en el origen del plano cartesiano y el rayo positivo del eje X como lado inicial, se dice que están en posición normal, como por ejemplo:
subtendidoarco
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Página 84
5.1.6 Rotación positiva y rotación negativa
Un ángulo puede construirse por dos rayos con un origen común, uno de ellos fijo (lado inicial) y el otro rayo móvil (lado final) que rota alrededor de su origen. Si la rotación se ha realizado en el sentido contrario a las manecillas del reloj, se dice que el ángulo tiene sentido positivo, en caso contrario, se dice que el ángulo tiene sentido negativo, tal como se aprecia en la figura:
Ángulo ABC con sentido positivo. Ángulo ABC con sentido negativo.
5.2 MEDIDA DE ÁNGULOS
Para medir ángulos existen dos sistemas de medición, cuyas unidades son el grado y el radian.
5.2.1 Medida de ángulos en grados
Se dice que la medida del ángulo central AOB de un círculo (con sentido positivo) es un grado ( 1 ) si subtiende
un ángulo cuya medida es 3601
de la circunferencia. Para indicar que el ángulo AOB mide un ángulo se usa la
notación 1 AOBm .
5.2.2 Medida de ángulos en radianes
Se dice que la medida del ángulo central AOB del círculo de radio 1 con centro en el origen, en radianes es
igual a la longitud del arco AB .
Consideremos el ángulo central AOB del círculo
de radio 1 con centro en el origen y cuya medida es 45 AOBm , tal como se muestra la figura.
Tenemos que:
ABarcodellongitudAOBm 45 81
1281
4
radianes
Ejemplo No. 76
AO
B
1
1
1
1
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Si un ángulo ha sido construido por rotación positiva, entonces se le asigna una medida positiva y si ha sido construido por rotación negativa, entonces se le asigna una medida negativa.
5.2.3 Conversión de grados a radianes y viceversa
La medida R en radianes de un ángulo que mide G grados es: 180
GR
La medida G en grados de un ángulo que mide R radianes es:
RG
180
1. Exprese en radianes los siguientes ángulos medidos en grados:
a. 220 c. 325
b. 36 d. 210
2. Exprese en grados los siguientes ángulos medidos en radianes:
a. 25 c.
103
b. 32 d. 5
5.3 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SENO Y COSENO
Sea yxP , un punto sobre el círculo trigonométrico y sea la medida del ángulo formado por la parte positiva
del eje X y el rayo OP , tal como se muestra en la figura:
Actividad No. 23
150180
65
65
radianes
radianes 180
135135
43
Ejemplo No. 77
1
1
1
1
yxP ,
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Página 86
Se definen las funciones trigonométricas seno y coseno de la siguiente manera:
:seno RR
y
Es decir: senoy
:coseno RR
x
Es decir: cosenox
Asumiremos la siguiente simbología senosen y cosenocos , según lo anterior:
cosx
seny
5.3.1 Propiedades de las funciones seno y coseno
5.3.1.1 Imagen
Como el punto yxP , pertenece al círculo trigonométrico, se tiene que las coordenadas x y y de P
satisfacen las siguientes desigualdades:
11
11
x
y
Es decir:
1cos1
11
sen
Por lo tanto la imagen o rango de las funciones seno y coseno es 1 ,1I
5.3.1.2 Signo de las funciones seno y coseno
sen cos
20
2
23 2
23
5.3.1.3 Valores de las funciones seno y coseno para ángulos cuadrantales
sen cos
0 0 0
2 1 0
0 1
23 1 0
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Página 87
5.3.1.4 Periodicidad de las funciones seno y coseno
1. Sea yxP , un punto en el círculo trigonométrico. Sea a medida del ángulo, cuyo lado inicial es el lado
positivo del eje X y cuyo lado final es el rayo OP . Si se hace rotar el rayo OP una vuelta completa o n
vueltas completas, entonces el rayo OP en su posición final corta al círculo trigonométrico en el mismo punto
yxP , , por lo cual los valores de las funciones seno y coseno se repiten. Por lo tanto:
sensen 2
coscos 2
En general:
sennsen 2
cosncos 2
Por tal motivo se dice que las funciones seno y coseno son funciones periódicas y su periodo es 2 .
2. Sea yxP , un punto del círculo trigonométrico y sea 2
0 la medida del ángulo formado por la parte
positiva del eje X y el rayo OP , entonces:
sensen sensen sensen
coscos coscos coscos
3. Sea yxP , un punto del círculo trigonométrico y sea la medida del ángulo formado por la parte positiva
del eje X y el rayo OP , entonces las coordenadas de P satisfacen la igualdad 122 yx . Como
cosx y seny , entonces:
122 sencos
5.3.2 Las funciones seno y coseno como razones trigonométricas
1. Un ángulo , cuya medida es 2
0 , recibe el nombre de ángulo agudo. 2. Un ángulo , cuya medida es
2, recibe el nombre de ángulo obtuso.
3. La suma de las mediadas de los ángulos interiores de un triángulo es .
4. Un triángulo en el cual uno de sus ángulos internos es un ángulo recto recibe el nombre de triangulo rectángulo y se representa:
A
B C
2 ABCm
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5. Sea L una recta y sean A y B puntos sobre L , se denomina segmento de extremos A y B al conjunto de
todos los puntos de L que están entre A y B incluyéndolos. Tal segmento se denota AB y se representa:
6. Sea el triángulo ABC tal que 2
ABCm , entonces: AB y BC reciben el nombre de catetos del triángulo ABC .
AC recibe el nombre de hipotenusa del triángulo ABC .
7. Si el triángulo ABC es un triángulo rectángulo y es la medida de uno de sus ángulos interiores agudos,
tal como se muestra en la figura, entonces:
c
a
hipotenusa
opuestocateto
hipotenusaladelongitud
ánguloalopuestocatetodellongitudsen
c
b
hipotenusa
adyacentecateto
hipotenusaladelongitud
ánguloaladyacentecatetodellongitudcos
Considere el triángulo rectángulo de la figura
Determine sen y cos
Solución:
Según el teorema de Pitágoras 52591634 2222 bac . Luego:
c
a
hipotenusa
opuestocatetosen
5
4 y
c
b
hipotenusa
adyacentecatetocos
5
3
A
B C
a
b
c
Ejemplo No. 78
A
B C
4a
3b
c
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5.3.3 Valores de las funciones seno y coseno para ángulos cuya medida es 30 , 45 y 60
De particular importancia son los valores de las funciones seno y coseno para ángulos cuya medida sean 30 ,
45 y 60 , dado que estas funciones para un ángulo agudo pueden expresarse como razones entre las medidas
de los lados de un triángulo rectángulo, tal como se aprecia en la figura:
Por lo tanto:
sen cos
630
21
2
3
445
2
1 2
1
360
2
3 21
5.3.4 Representación gráfica de las funciones trigonométricas seno y coseno
5.3.4.1 Representación gráfica de la función seno
Para construir la gráfica de la función seno, tengamos en cuenta que 1 ,1: Rseno y la siguiente tabla de
valores:
x 0 6
3
2
32
65
67
34
23
35
611 2
senxy 0 21
2
3 1 2
3 21 0 2
1 2
3 1 2
3 21 0
La gráfica de la función seno en el intervalo 2 ,0 es:
Dado que la función seno es una función periódica de periodo 2 , la gráfica de la función seno en el intervalo
2 ,0 se repite cada 2 , obteniéndose:
1
12
1
2
3
45
45
30
60
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5.3.4.2 Representación gráfica de la función coseno
Para construir la gráfica de la función coseno, tengamos en cuenta que 1 ,1: Rcoseno y la siguiente tabla
de valores:
x 0 6
3
2
32
65
67
34
23
35
611 2
cosxy 1 2
3 21 0 2
1 2
3 1 2
3 21 0 2
1 2
3 1
La gráfica de la función coseno en el intervalo 2 ,0 es:
Dado que la función coseno es una función periódica de periodo 2 , la gráfica de la función coseno en el intervalo
2 ,0 se repite cada 2 , obteniéndose:
1. Dados los siguientes ángulos, represéntelos en un círculo trigonométrico y determine sen y cos .
Actividad No. 24
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a. 23 c.
35
b. 3 d. 6
11
3. Considere el triangulo ABC tal que 2
ABCm , con 4AB , 6AC y BACm . Determine
sen y cos .
4. Considere las siguientes figura:
Determine:
a. d.
b. 45sen y 45cos e. sen y cos
c. 60sen y 60cos
5. Represente gráficamente la función 3 senf
5.4 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE
Recordemos que:
0ksen para todo Zk
02
kcos para todo Zk
Sean ZkkRA ,:2
y ZkkRB ,:
1. Se define la función trigonométrica tangente de la siguiente manera:
:tangente RAR
cos
sen
Es decir:
cos
sentangente
Asumiremos la siguiente simbología tangentetan . Por lo tanto:
cos
sentan
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2. Se define la función trigonométrica cotangente de la siguiente manera:
:cotangente RBR
sen
cos
Es decir:
sen
coscotangente
Asumiremos la siguiente simbología cotangentecot . Por lo tanto:
sen
coscot
3. Se define la función trigonométrica secante de la siguiente manera:
:secante RAR
cos
1
Es decir:
cos
secante1
Asumiremos la siguiente simbología secantesec . Por lo tanto:
cossec
1
4. Se define la función trigonométrica cosecante de la siguiente manera:
:cosecante RBR
sen
1
Es decir:
sen
cosecante1
Asumiremos la siguiente simbología cosecantecsc . Por lo tanto:
sencsc
1
Determine:
a. 3tan c. sec
b. 4cot d.
32csc
Solución:
Ejemplo No. 79
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5.4.1 Periodicidad de las funciones tangente y cotangente
Sean R y Zk , entonces:
tanktan , con 0cos
cotkcot , con 0sen
Es decir las funciones trigonométricas tangente y cotangente son periódicas con periodo
5.4.2 Periodicidad de las funciones secante y cosecante
Sean R y Zk , entonces:
secksec 2 , con 0cos
csckcsc 2 , con 0sen
Es decir las funciones trigonométricas secante y cosecante son periódicas con periodo 2
5.4.3 Signo de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante
tan cot sec csc
20
2
23 2
23
5.4.4 Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante como razones trigonométricas
Consideremos el triángulo ABC tal que 2 ABCm y sea la medida de uno de sus ángulos interiores
agudos, tal como se muestra en la figura:
a.
321
2
3
3
3
3
cos
sentan
b.
1
2
2
2
2
4
4
4
sen
coscot
c.
11
11
cossec
d. 3
211
2
3323
2
sen
csc
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De esta manera:
ánguloaladyacentecatetodellongitud
ánguloalopuestocatetodellongitud
cos
sentan
hipotenusaladelongitud
ánguloaladyacentecatetodellongitud
hipotenusaladelongitud
ánguloalopuestocatetodellongitud
b
a
adyacentecateto
opuestocateto
ánguloalopuestocatetodellongitud
ánguloaladyacentecatetodellongitud
sen
coscot
hipotenusaladelongitud
ánguloalopuestocatetodellongitud
hipotenusaladelongitud
ánguloaladyacentecatetodellongitud
a
b
opuestocateto
adyacentecateto
11
ánguloaladyacentecatetodellongitud
hipotenusaladelongitud
cossec
hipotenusaladelongitud
ánguloaladyacentecatetodellongitud
b
c
adyacentecateto
hipotenusa
11
ánguloalopuestocatetodellongitud
hipotenusaladelongitud
sencsc
hipotenusaladelongitud
ánguloalopuestocatetodellongitud
a
c
opuestocateto
hipotenusa
Si 75cos y
20 , determine sen , tan , cot , sec y csc .
Solución:
A
B C
a
b
c
Ejemplo No. 80
a
5
7
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1. Determine:
a. 6tan c.
32sec
b. 3πcot d.
4csc
2. Si 32sen y
20 , determine:
a. cos d. sec
b. tan e. csc
c. cot
3. Determine el valor de A , si 332
4
2 cossensenA
4. Determine el valor de A , si 35
2233 cossencosA
5.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida
para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones.
Sean R y R , entonces: sensencoscoscos
Sean R y R , entonces: sensencoscoscos
Sean R y R , entonces: cossencossensen
Sea R , entonces:
sencos
sencos
coscos
coscos
sencos
sencos
23
23
2
2
Actividad No. 25
Sea a la medida del cateto opuesto al ángulo , por lo tanto según el teorema de Pitágoras:
222 75 a 49252 a 25492 a 242 a 242 a 62a
De esta manera:
7
62sen
5
62tan
62
5cot
57sec
62
7csc
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Página 96
Sea R , entonces:
cossen
cossen
sensen
sensen
cosen
cossen
23
23
2
2
Sean R y R , entonces:
tantan
tantantan
tantan
tantantan
1
1
Sea R , entonces:
2
22
1
22
2
22
tan
tantan
sencoscos
cossensen
Sea R , entonces:
cos
costan
coscos
cossen
1
1
2
1
2
1
2
2
2
Determine:
a. 15tan b. 120cos
Solución:
a.
3
13
3
13
3
1
3
1
11
1
30451
3045304515
tantan
tantantantan
13
13
b. 606060606060120 sensencoscoscoscos 43
41
2
2
32
21
21
Ejemplo No. 81
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Pruebe las siguientes identidades:
a.
sen
cot
coscotsen2
d. 122 tansencos
b.
221
1
1
1sec
sensen
e.
cos
sencotcsc
1
c. 2
2
21cos
cos
f. 22csccottan
Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de
cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.
1. 3sen
es igual a:
A. 21 C. 3
B. 3 D. 2
3
2. 135
es igual a:
A. 43 C. 3
B. 34 D. 4
3. 29
es igual a:
A. 300 C. 700
B. 150 D. 810
4. Si 43tan , entonces:
A. 45sen C. 5
4sen
B. 53sen D. 3
5sen
5. Según el triángulo de la figura:
A. 7
4tan C. 7
3tan
B. 43tan D. 3
4tan
Actividad No. 26
Autoevaluación No. 4
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Página 98
6. 45sen es igual a:
A. 45tan C. 45cos
B. 1 D. 0
7. Si es un ángulo agudo tal que 53sen , entonces:
A. 45cos C. 5
1cos
B. 41cos D. 5
4cos
8. Si es un ángulo agudo tal que 53sen , entonces:
A. 1tan C. 34tan
B. 43tan D. 1tan
9. Un topógrafo está a 115 pies de la base del monumento a Washinton. El topógrafo mide el ángulo de
elevación a lo alto del monumento y obtiene 3.78 . ¿La altura del monumento a Washinton es?
A. pies 555 C. pies 566
B. pies 655 D. pies 005
10. Sea 4,3 un punto en el lado terminal de , entonces:
A. 34tan C. 3
4tan
B. 43tan D. 4
3tan
11. Si 45tan y 0cos , entonces:
A. 4
14sec C. 41
4sec
B. 2
14sec D. 41
2sec
12. Sea un ángulo en el segundo cuadrante, tal que 31sen , entonces:
A. 3
22cos C. 31cos
B. 22cos D. 21cos
13. Sea un ángulo en el segundo cuadrante, tal que 31sen , entonces:
A. 3
22cos C. 31cos
B. 22cos D. 21cos
14. Un reglamento de seguridad expresa que el máximo ángulo de elevación para una escalera de rescate
es 72 . La escalera más larga de un departamento de bomberos es 110 pies. ¿La altura máxima
segura de un rescate es?
A. pies 6.104 C. pies 6.100
B. pies 6.10 D. pies 4.10