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Transferência de
Calor Apontamentos
José Carlos P. Lopes da Costa
Versão 2014/2015
INDICE
Versão 2014/2015 2 J. Carlos Lopes da Costa
Índice Introdução à Transferência de Calor 5
Fenómenos de Transporte 6
Mecanismos de Transporte 7
Quantidade de Calor Transferido 8
Resumo dos Mecanismos de Transferência de Calor 12
Resistência Térmica 13
Condução 17
Equação de Fourier e Equação Geral da Condução 17
Condutibilidade Térmica 18
Equação Geral da Condução 20
Casos Particulares da Equação Geral da Condução 23
Condução Monodimensional Estacionária 25
Condução Cilíndrica 27
Condução Esférica (Radial) 29
Raio crítico de isolamento 30
Resistência de contacto 16
Condução em Regime Transiente 32
Convecção 44
Modelos Físico-Matemáticos 45
Números AdimensionaisRelevantes na Convecção 48
Correlações Experimentais 53
Convecção Natural 60
Solução Numérica das Equações da Convecção Natural 64
Coorrelações para Conv. Natural 65
Cavidades Rectangulares (Fendas) 68
Permutadores de Calor 70
Introdução 70
Principais tipos de permutadores 70
Permutadores de Correntes paralelas vs. Contracorrente 74
Determinação da Transferência de Calor 75
Diferença Média Logarítmica de Temperaturas 77
Factores de Deposição 77
Radiação Térmica 87
Introdução 87
Variação espectral e direccional 88
INDICE
Versão 2014/2015 3 J. Carlos Lopes da Costa
Definições fundamentais 89
Propriedades Radiativas das Superfícies Reais 91
Trocas de Energia por Radiação entre Superfícies de um Volume Fechado 97
Volume Fechado com duas Superfícies 106
Analogia Reo-eléctrica para Radiação Térmica 107
Volume Fechado com Várias Superfícies 109
INDICE
Versão 2014/2015 5 J. Carlos Lopes da Costa
Introdução à
Transferência de Calor O que é a Transferência de Calor?
Trocas de energia (calor) que se estabelecem entre duas ou mais substâncias a diferentes temperaturas.
NECESSÁRIA COMPREEÇÃO PARA:
• Desenvolvimento de Máquinas Térmicas e outras de
Produção de Energia: Turbinas, Caldeiras, Condensadores, Permutadores de calor, Bombas de calor - Maquinas frigorificas, Motores de combustão interna, Sistemas solares, etc.
• Estudo de Soluções para poupança de Energia: Isolamentos para redes de transporte de calor, Optimização térmica de edifícios, etc.
• Estudo de Processos e Problemas Industriais
diversos: Isolamento térmico de componentes em máquinas, etc.
• Compreensão de diversos tipos de Fenómenos:
Metabolismo dos seres vivos, Meteorologia e Clima, Culinária, Trocas de Energia entre planetas, estrelas, etc.
Capítulo
1
T1 T2
q Nota:
T1 > T2
dt
dQq = em J/s ou W
Nota Importante:
Iremos adoptar a notação usada no Incropera:
Q - Energia Térmica, J
q - Taxa de transf. de calor, W (ou J/s)
q& - Taxa de transf. de calor por unid. de volume, W/m3
q′- Taxa de transf. de calor por unid. de comprimento, W/m
q ′′ - Fluxo térmico, W/m2
INDICE
Versão 2014/2015 6 J. Carlos Lopes da Costa
Fenómenos de Transporte
• Transferência de Quantidade de Movimento
• Transferência de Calor
• Transferência de Massa
• ...
Transferência de Quantidade de
Movimento
Fluido
Vr
Q. mov.
Transferência de Calor T1
T2
q ′′ Meio
condutor
x
T
Transferência de Massa ρΑ1 (elevado)
ρΑ2 (Baixo)
Am&
x
ρA
x
V
∂∂
−= µτ
Notas:
Enquanto houver desequilíbrio de velocidades (V), τ (tensão) mantém-se! A q. de m. é transportada das partículas com velocidade mais alta para aquelas com velocidade mais baixa.
x
Tkq
∂∂
−=′′
Enquanto houver diferença de temperatura o fluxo de calor mantém-se! O calor flui das temperaturas mais altas para as mais baixas.
xDm A
A ∂∂
−=ρ
&
A substância A avança das zonas de maior densidade (ρ) para as zonas de menor densidade.
INDICE
Versão 2014/2015 7 J. Carlos Lopes da Costa
Mecanismos de Transporte
Modos Mecanismos Meios
Difusão (Condução)
Para o calor
Agitação entre Moléculas
• Sólidos • Fluidos em repouso (Exemplo: Ar nos poros da esferovite ou da cortiça)
Convecção Fluido em movimento Fluidos
Convecção natural
Convecção forçada
Radiação
APENAS NA TRANSFERÊNCIA
DE CALOR
Transporte sem matéria
Meios transparentes
q ′′
Sem Mudança de Fase
Com Mudança de Fase
INDICE
Versão 2014/2015 8 J. Carlos Lopes da Costa
Quantidade de Calor
Transferido
Condução
( )21 TTe
AkqCD −=
Condutibilidade térmica do material da parede - k
UNIDADES
CDq - [W] (isto é J/s])
A - [m2]
e – [m]
T∆ – [ºC] ou [K]
T1
T(°C)
e x
CDq
A
T2 Parede Plana
É do senso comum que o fluxo de calor entre duas faces de uma parede de material uniforme,
CDq , é
proporcional à superfície da parede A, á diferença de temperaturas nas faces da parede (T1-T2), e inversamente proporcional à espessura e.
k - [W/(m.ºC)] ou [W/(m.K)]
A condutibilidade
térmica é uma
propriedade física das
substâncias e dos
materiais. Traduz a maior ou menor capacidade que um material tem em deixar passar calor. Materiais bons condutores têm k altos (metais); materiais maus condutores têm k baixos (cortiça).
Nota:
Em muita bibliografia aparece a letra λλλλ (minúscula) no lugar de k a representar condutibilidade térmica.
INDICE
Versão 2014/2015 9 J. Carlos Lopes da Costa
Convecção
Coefic. de Convecção de um escoamento – h
( )∞−= TTAhq pCV UNIDADES
CVq - [W] (isto é J/s])
A - [m2]
∆T – [ºC] ou [K]
Outros exemplos de geometrias de CONVECÇÃO
T(y)
Tp
y
T(y)
Tp
T∞
CVq
Vejamos um qualquer
escoamento de um
fluido sobre uma
superfície. Neste caso, a temperatura á superfície (Tp) é diferente da temperatura do fluido (T∞). Tal como se desenvolve uma camada limite de velocidades, que junto á superfície são inferiores, também se desenvolve um gradiente de temperaturas, desde Tp até T∞, que constitui a Camada Limite
Térmica.
É previsível que CVq seja
proporcional à superfície da parede A e á diferença de temperaturas nas faces da parede (T1-T2).
h - [W/(m2.ºC)] ou [W/(m2.K)]
O coeficiente de
convecção h é função
do escoamento em
causa. É função do fluido, da geometria do escoamento, e de outros factores, como veremos. Poderemos ter uma infinidade de escoamentos diferentes do exemplo apresentado em que haja trocas de calor (Exemplo: água que aquece ou arrefece dentro de tubos num radiador).
Nota:
Em muita bibliografia aparece a letra α no lugar de h a representar coeficiente de convecção.
∞∞ vT ;
pTTp
Tmédia do fluido
INDICE
Versão 2014/2015 10 J. Carlos Lopes da Costa
Radiação
� Radiação Electromagnética →Não necessita de meio.
Desenvolve-se no vácuo ou em meios transparentes.
� Uma superfície emite radiação independentemente do que o rodeia.
� Dois corpos trocam sempre radiação nos dois
sentidos independentemente das temperaturas (desde que uma das temperaturas não seja 0K).
A radiação solar chega até nós através do vácuo no espaço. Uma boa parte chega à superfície terrestre, porque a atmosfera é transparente para uma parte dessa radiação. Se houver um obstáculo não transparente, os efeitos da radiação são eliminados ou atenuados.
Qualquer corpo que “veja” outro recebe uma parte da sua radiação. Este emite a sua radiação independentemente daquele(s) que a recebem, quer estejam mais quentes ou mais frios.
O corpo mais quente emite mais radiação que o corpo mais frio. No final o balanço é positivo para o mais frio e negativo para o mais quente, pelo que acaba por haver
transferência de
calor do corpo mais
quente para o corpo
mais frio.
INDICE
Versão 2014/2015 11 J. Carlos Lopes da Costa
hRAD=ε.σ.(T1+T2).(T12+T2
2)
[hRAD] - W/m2K
Radiação – Calor Emitido
CORPO EmitidaRadq .
..EmRadq é proporcional a A e a T4
Nota: T em K (Kelvin)
Valor Absoluto (em K)
Superfície do Corpo
T
� Corpo Negro (Radiador Ideal)
4. .. TAq EmitidaRad σ=
� Corpo Real
4. ... TAq EmitidaRad σε=
Radiação – Calor trocado
Caso Particular: Quando uma superfície 1 se encontra envolvida por uma superfície muito maior (sup. 2), - Exemplo: Objecto 1 rodeado pelas paredes de uma sala 2 - pode-se demonstrar (como veremos) que o calor trocado entre as duas por radiação é:
σσσσ – Constante de
Steffan-Boltzmann
σσσσ=5.67*10-8 W/(m2K4)
Constante física.
εεεε– Emissividade do
Corpo Indica a eficiência do corpo real relativamente ao corpo negro. (0<ε<1)
Um corpo negro é um corpo que absorve toda a radiação que nele incide. Pode-se demonstrar que um corpo negro também emite toda a radiação que é possível um corpo emitir a uma dada temperatura. Um corpo real emite apenas uma fracção dessa radiação.
T1>T2
A2>>A1
Superfície 1: A1, ε e
Superfície 2: T2
Quando se calculam situações que envolvem vários meios de transferência de calor, pode ser mais prático utilizar uma expressão para a radiação que envolva ∆T no lugar de ∆(T4) (ver Resistências Térmicas). Daí surge a necessidade da grandeza Coeficiente de
Radiação - hRAD.
( )42
4121 ... TTAqRAD −=− σε
( )2121 .. TTAhq RADRAD −=−
INDICE
Versão 2014/2015 12 J. Carlos Lopes da Costa
Resumo dos Mecanismos de
Transferência de Calor
Mecanismo Equações Propriedades
Associadas
Condução
Equação de Fourier
⇒∂
∂−=′′
x
Tkqx
e
TTAkq 21 −
⋅−=
k (W/m.K)
Convecção
Lei de Newton do Arrefecimento
( )21 TTAhq −⋅⋅=
hCV (W/m2.K)
Radiação
Aplicação da Lei de Steffan-
Boltzmann
4... TAq σε=
Caso particular: 2 superfícies, A2 >>A1:
( )42
4111 TTAq −= σε
( )211 TTAhRAD −=
ε
σ (W/m2.K4)
hRAD (W/m2K)
INDICE
Versão 2014/2015 13 J. Carlos Lopes da Costa
Resistência Térmica
Esta abordagem facilita a análise de sistemas onde existem trocas de calor entre vários meios:
� Permite a análise de sistemas mais complexos.
� Permite a obtenção de resistências térmicas equivalentes a conjuntos de resistências.
& &V ou m
p∆
.HidrR
pm
∆=&
SISTEMA HIDRÁULICO
.ElectR
VI =
SISTEMA ELÉCTRICO
Ex: Quartos de uma casa ou edifício
T1
T1 T1
T1
T1
T1
T1
T2 T3
T4
T5
T5
T 1 T 2
q
Rtérmica
SISTEMA TÉRMICO
térmicaR
Tq
∆=
Meio onde se dá a transferência de calor (convecção, condução ou radiação)
V
I
R
INDICE
Versão 2014/2015 14 J. Carlos Lopes da Costa
Quantificação das Resistência
Térmicas
• Condução
⇒∆= Te
kAq
kA
e
q
TRCond =
∆=
W
K
⇒∆=′′ Te
kq
k
e
q
TRCond =
′′∆
=′′
⋅W
mK 2
• Convecção
⇒∆⋅⋅= TAhqAhq
TRConv ⋅
=∆
=1
W
K
⇒∆⋅=′′ Thqhq
TRConv
1=
′′∆
=′′
⋅W
mK 2
• Radiação
Uma vez que qnão é proporcional a ∆T mas sim a ∆(T 4), a definição de RRad não é tão evidente.
Pode-se, como aproximação, considerar hRD e adoptar a
mesma definição de RRade RadR ′′ que foi utilizada para a convecção.
RRad =1
hRD A
W
K ;
RD
1
hRRad =′′
⋅W
mK 2
Para uma situação
concreta (A está definida).
Quando se pretende
determinar o fluxo
de calor por
unidade de área (A indefinida).
Para uma situação
concreta (A está definida).
Quando se pretende
determinar o fluxo
de calor por
unidade de área (A indefinida).
INDICE
Versão 2014/2015 15 J. Carlos Lopes da Costa
Combinação de Resistência
Térmicas
Semelhantes ás aplicadas aos circuito eléctricos:
Resistências em Série:
21 RRReq += ou
∑=
=n
i
ieq RR1
Resistências em Paralelo:
21 /1/1/1 RRReq += ou
1
321
...111
−
+++=
RRRReq
Generalizando:
1
1
1−
=
= ∑
n
i i
eqR
R
T1 T2
q
R1 T3 T1 T3
q
R2 Req
Exemplo:
Parede de um edifício
Exemplo:
Janela de um edifício
&Q
T1 T2
T1 T2 T1 T2
21 qqq +=
1q
2q
R1
R2
Req
T1 T2
Vidro
Caixilharia
...321
:ImportanteNota
RRRReq′′+′′+′′=′′
1
321
...111
:ImportanteNota−
′′+
′′+
′′=′′
RRRReq
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 16 J. Carlos Lopes da Costa
Resistência de contacto
Em sistemas com vários materiais pode haver queda de
temperatura na interface entre materiais:
Deve-se então considerar a existência de uma resistência suplementar e localizada a que se chama resistência de
contacto.
Rcontacto↑ se:
• rugosidade ↑ • pressão de contacto ↓
Tabela de valores experimentais:
Rc×104 (m2K/W) - Para condições de vácuo
Pressão de contacto 100 kN/m2 10000 kN/m2
Aço 6 … 25 0,7 … 4
Cobre 1 … 10 0,1 … 0,5
Alumínio 1,5 … 5 0,2 … 0,4
Deve-se á rugosidade das superfícies - na maioria dos casos os interstícios têm ar (que é mau condutor).
Podem-se obter mais dados sobre resistência de
contacto em bibliografia sobre Transferência de Calor
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 17 J. Carlos Lopes da Costa
Condução Equação de Fourier e Equação
Geral da Condução
O que è a Condução?
O transporte molecular de calor (difusão) através de um meio sólido ou em repouso.
A condução é proporcional ao gradiente de
temperaturas nesse meio.
x
Tkqx ∂
∂−=′′
r
Equação de Fourier
O fluxo de calor é uma grandeza vectorial, isto é, podemos encarar q ′′ como um vector q
r′′ que aponta das
temperaturas mais altas para as mais baixas.
Capítulo
2
x
T1
T2
T
0>′′qr
x
T1
T2
T
0<′′qr
Nota:
A
qq =′′ em W/m2
k – Constante física do meio onde se desenvolve a condução do calor.
( )
x
Tkq
x
T
x
Tx
x
Tk
Te
kq
x ∂∂
−=′′
∂∂
→∆∆
⇒→∆
∆∆
−=
∆−=′′
r
r
0
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 18 J. Carlos Lopes da Costa
Num caso geral em que a temperatura varie em 3 dimensões, dentro de um dado meio:
∂
∂
∂
∂
∂
∂⋅−=∇⋅−=′′
z
T
y
T
x
TkTkq ,,
r
O fluxo de calor desenvolve-se em linhas perpendiculares ás superfícies isotérmicas.
90º
Isotérmicas Isotérmicas Isotérmicas
qr
′′ qr
′′
qr
′′
Condutibilidade Térmica
A equação de Fourier pressupõe a existência de uma grandeza física - k - que é uma propriedade do meio onde se desenvolve o fluxo de calor por condução. Esta propriedade designa-se por condutibilidade térmica.
xT
qk
∂∂
′′−=
(num meio monodimensional)
Unidades S.I. para a condutibilidade térmica:
=
→
mK
W
K/m
W/m 2
k
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 19 J. Carlos Lopes da Costa
Interpretação da Condutibilidade
Térmica
A condução ou difusão de energia térmica (isto é, passagem de calor através de um meio sem movimentação de massa) deve-se á:
• Agitação entre átomos que é transmitida através das ligações atómicas.
• Migração de eletrões livres através das ligações atómicas.
Consequências:
� k sólidos>k líquidos>k gases – uma vez que as ligações atómicas são mais fortes nos sólidos que nos líquidos, e as destes, por sua vez, mais fortes que as dos gases.
� k metais >k maus condutores eléctricos – uma vez que os metais dispõem de grande quantidade de electrões livres, que navegam facilmente através das ligações atómicas.
0.01 0.1 1 10 100
1000
λ
Gases
Líquidos
Mat. Isolantes
Sólidos não Metálicos
Ligas Metal.
Metais Puros
Gelo Plásticos Óxidos
Zinco Prata
Óleos Mercúrio Água
CO2 H2
A condutibilidade térmica varia com a temperatura, sobretudo nos líquidos e gases.
Nota:
Quando se fala na condutibilidade de
fluidos (líquidos e gases), admite-se que estes se encontram em repouso sem qualquer movimentação de massa.
Para efeitos de cálculos, determina-se geralmente valores médios de k para as temperaturas em causa.
k [W/(mK)]
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 20 J. Carlos Lopes da Costa
Equação Geral da Condução
Tomemos um determinado volume elementar (com um volume dV= dx.dy.dz) num dado meio onde a temperatura é variável.
Fazendo um balaço á energia térmica neste pequeno volume elementar:
gdzzdyydxxzyx Qdqqqqqqdt
dQ &+++−++= +++ )(
Passemos a analisar cada um destes termos individualmente.
VARIAÇÃO da
Energia Interna
(CALOR) por
unidade de
Tempo
= Calor que
ENTRA por unidade
de tempo
- Calor que
SAI por
unidade de
tempo
+ Calor que é
GERADO no
seu interior por unidade de
tempo
Nota:
gQ& - Calor que “brota” do
material (gerado) por unidade de tempo.
T(x,y,z,t)
dV
x
y
z
dx
dy dz
gQd &
x x+dx
xdq dxxdq +
dyydq +
ydq
zdq
dzzdq +
x
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 21 J. Carlos Lopes da Costa
• Variação da energia interna por unidade
de tempo
Pode-se exprimir da seguinte forma:
t
TcV
t
Tcm
t
Q pp
∆
∆⋅⋅⋅=
∆
∆⋅⋅=
∆∆ ρ
Como falamos de um intervalo de tempo e de um volume elementares, os Δ tornam-se infinitamente pequenos (Δ passa a d ou ∂).
t
Tcdzdydx
t
TcdV
dt
dQpp ∂
∂⋅⋅⋅⋅⋅=
∂∂
⋅⋅⋅= ρρ
• Fluxos que ENTRAM – Fluxos que SAEM
Analisemos o fluxo de calor ao longo da direcção x: (a análise será semelhante para as restantes direcções y e z)
=⋅⋅
⋅
∂
′′∂+′′−⋅⋅′′=− + dzdydx
x
qqdzdyqqq x
xxdxxx
=⋅⋅
⋅
∂
′′∂−′′−′′= dzdydx
x
qqq x
xx
=⋅∂
′′∂−=⋅⋅
⋅
∂
′′∂−= dV
x
qdzdydx
x
q xx
dVx
TkdT
x
x
Tk
⋅∂
∂⋅=⋅
∂
∂∂
⋅∂=
2
2
Considerado todas as direcções:
= k ∂2T
∂x 2 +∂2T
∂y 2 +∂2T
∂z2
dV = k ∇2T dV
Nota:
Δ… – Variação de... Exemplo: ΔQ = Qfinal – Qinicial
O volume do cubo elementar é: dV = dx . dy . dz
Segundo a equação de Forier:
x
Tkqx ∂
∂⋅−=′′
Laplaciano de uma função de x, ye z:
2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 22 J. Carlos Lopes da Costa
• Calor GERADO
Assumindo que conhecemos gq& (em W/m3),a quantidade de calor gerado por unidade de volume (ou potência calorífica por unidade de volume):
dVqQd gg && =
Por fim, juntando todos estes termos na equação de Balanço Energético:
dVqdVTkdVt
Tc gp
&+∇=∂∂
2ρ ou
Equação Geral da Condução
k
qT
t
T
k
c gp&
+∇=∂∂ 2 ρ
Difusibilidade Térmica
Nesta equação evidencia-se o termo k
cp ρ. O inverso deste
termo k
ρ c p
é muitas vezes designado por difusibilidade
térmica do meio ou do material – α :
pc
k
ρα =
Estabelece uma relação entre a facilidade com que o calor
evolui nesse meio (k) e a forma como ele é retido ou
acumulado nesse meio ( ρ c p).
Nota:
Não esqueça:
2
2
2
2
2
22
z
T
y
T
x
TT
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
A Equação Geral da
Condução pode então ser escrita da seguinte forma:
k
qT
t
T g&
+∇=∂
∂ 21
α
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 23 J. Carlos Lopes da Costa
Casos Particulares da
Equação Geral da Condução
Regime Permanente
Quando um fluxo de calor se encontra numa situação estabilizada, nada varia com o tempo. Então:
⇒=∂∂
0t
T02 =+∇
k
qT
g&
Regime Permanente sem Fontes de
Calor
Na maior parte das situações, o calor não é gerado no seio do material que conduz o calor. Assim:
⇒
=
=∂∂
0
0
gqt
T
&02 =∇ T Equação de Laplace
Regime Instacionário sem Fontes de
Calor
⇒= 0gq&t
T
k
cT
p
∂∂
=∇ 2 ρ
Ao contrário das situações anteriores esta situação não permite uma solução analítica.
Notas:
Um fluxo de calor em regime permanente estabelece-se quando a fonte de calor não arrefece e quando a fonte fria não aquece. Existem muitas situações práticas em que isto se verifica; por exemplo, quando a fonte de calor é uma chama, e o calor se escapa para a atmosfera.
Quando estamos numa situação monodimensional:
02
2
=→dx
Td
Exemplo: quando o calor flui através de uma parede plana, da face mais quente para a face mais fria, não há razão para pensar em variações de temperatura em direcções paralelas á parede. Assim a única direcção onde interessa considerar variações é a direcção x perpendicular á parede.
Quando estamos numa situação monodimensional, em que o fluxo de calor se dá segundo a direcção x:
t
T
k
c
dx
Td p
∂∂
=
2
2 ρ
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 24 J. Carlos Lopes da Costa
Condições Limite
A equação geral da condução é, na sua forma geral, uma equação diferencial de 2ª ordem, de derivadas parciais.
A obtenção do perfil de temperaturas no meio em causa é feita por integração, da qual resulta o aparecimento de constantes de integração. Estas são obtidas por aplicação das condições limite.
- Há 2 tipos de condições limite:
• Condição inicial (tempo)
• Condições fronteira (espaço)
- Há 3 espécies de condições fronteiras:
� 1ª Espécie
Condições de temperatura: Sabe-se a T na fronteira.
� 2ª Espécie
Condições de fluxo: Sabe-se o fluxo na fronteira.
k
q
x
T
x
Tkq x
xx
x −
′′=
∂∂
⇔∂∂
−=′′ =
===
0
000
Inclui o caso de uma superfície isolada:
000
0 =∂∂
⇔=′′=
=x
xx
Tq
� 3ª Espécie
Condições de convecção: Conhece-se h e T∞.
( )0
00=
=∞= ∂∂
−=−=′′x
xxx
TkTThq Relação para Tx=0
Nota:
Condição inicial
(tempo) - diz respeito ao conhecimento da distribuição de temperatura para t = 0 (para cada caso só é necessária 1). Condições fronteira
(espaço) - reportam-se ao que se passa nas fronteiras físicas do domínio (são necessárias 2 condições para cada coordenada espacial - fronteira inicial e final).
x Tx=0
x
0=xq&
x
T∞ h
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 25 J. Carlos Lopes da Costa
Condução Monodimensional
Estacionária
A equação geral da condução em coordenadas cartesianas é:
k
qT
t
T g&
+∇=∂∂ 21
α
Em regime estacionário 0=∂
∂
t
T . Para uma só dimensão (x):
02
2
=+k
q
dx
Td g&
Condução plana
Considere uma placa plana, com uma espessura L.
A integração da equação anterior dá (sendo qg&
independente de x):
212
2)( cxcx
k
qxT
g ++−=&
Sendo as constantes c1 e c2 calculadas a partir das condições fronteira (x=0e x=L).
• Sendo 0≠qg& a distribuição de T é parabólica.
• Se 0=qg& (ausência de fontes):
distribuição linear (note-se que k é constante).
T(x) = c1x +c2 ⇒
x
x=0 x=L
Nota:
O fluxo de calor pode ser obtido por derivação de T, ou através da definição de
resistência de
condução plana (já conhecida):
R
Tq
kA
eR planacond
∆=→=
Note-se que a resistência só faz sentido se não houver fontes.
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 26 J. Carlos Lopes da Costa
Parede plana com Geração de Calor
Exemplo: Barramento de cobre atravessado por uma corrente eléctrica, “gera” uma quantidade de calor (Efeito
de Joule) proporcional a I 2.
Distribuição da Temperatura: 212
2)( cxcx
k
qxT
g ++−=&
Parede Plana sem Geração de Calor
Ex.: Parede exterior de uma habitação
CVeCDCVi
ei
eq RRR
TT
R
Tq
++
−=
∆= x
h2
T
q ′′
x=L x=0
T2
T1
h1
Ti
Te
x
T1 h 2, T∞
T
x=L x=-L x=0
T2 h 1, T∞
h 1= h 2⇒T1=T2
Fronteira com Condições Simétricas
T1
T
x=L x=-L x=0
T2
h 1, T∞
h 1 ≠h 2⇒T1 ≠ T2
Fronteira com Condições Não Simétricas
Tmax
Qd &
Tmax
Qd &
x
h, T∞
T
Tmax=Tx=0
Fronteira isolada: 00 =′′=xq
Tmax
ra Isolamento
x=0 x=L
q ′′ q ′′ q ′′ q ′′
q ′′
x
21.)( cxcxT +=
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 27 J. Carlos Lopes da Costa
Condução Cilíndrica
De modo semelhante ao que foi feito em coordenadas cartesianas, pode traduzir-se a equação geral da condução em coordenadas cilíndricas (fazendo o balanço de um volume elementar em coordenadas cilíndricas).
Obter-se-ia, no caso geral:
t
T
k
q
z
TT
rr
Tr
rr
g
∂∂
=+∂∂
+∂∂
+
∂∂
∂∂
αθ111
2
2
2
2
2
&
� No caso monodimensional estacionário - condução radial - s/
fontes
; A solução é do tipo:
21 ln)( crcrT +=
• Pode deduzir-se a resistência de condução radial cilíndrica:
(dR – resistência de uma fatia elementar dr)
∫∫∫ ===e
i
e
i
e
i
r
r
r
r
r
rr
dr
kLkrL
dr
Ak
drR
ππ 2
1
2
W
K
Nota: para determinar q’ [W/m] – Fluxo de calor por unidade de comprimento de tubo:
( )k
rrR ie
π2
lnCilíndrica Parede
=′
W
Km
∂∂r
r∂T
∂r
= 0
dR =dr
k Ar
RParede Cilíndrica
=ln re ri( )2πkL
z + ∂z
r
z
θθθθ
r + ∂r
r
θ
θ + ∂θ
z
∂r
∂z r∂θ
Para um cilindro oco (tubo) as constantes c1 e c2 determinam-se pelas condições fronteira nas 2 superfícies (interior e exterior).
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 28 J. Carlos Lopes da Costa
Comparação entre Condução
Cilíndrica e Condução Plana
Para a determinação do fluxo de calor através de uma parede cilíndrica poderíamos eventualmente aplicar o valor determinado para a resistência de uma parede plana
R =e
A k no lugar de
( )Lk
R i
e
r
r
..2
ln
π= .
No entanto, para um tubo cilíndrico a área é variável. Assim, a expressão R =
e
A k só poderá ser
usada como aproximação e sob certas condições. Por
exemplo, quando a espessura do tubo é muito reduzida
(Ai≈Ae), utilizando-se uma Amédia, como 2
eim
AAA
+= .
Exemplo: um tubo de aço (k=15W/mK, L=1m)
Erro cometido, para diferentes espessuras (ri= 15)
e (mm) 2 4 6 8 10 15 20
re ( mm) 17 19 21 23 25 30 35
Am (m2) 0,100 0,107 0,113 0,119 0,126 0,141 0,157
e
Amk (
mK
W) 0,00133 0,00250 0,00354 0,00447 0,00531 0,00707 0,00849
ln re /ri( )2πkL
(mK
W) 0,00133 0,00251 0,00357 0,00454 0,00542 0,00735 0,00899
Erro (%) 0 0,4 0,8 1,5 2 4 6
e
q
re
ri
q q
q
Nota:
Ai– Área Interior Ae – Área Exterior
LrA ii ...2 π= LrA ee ...2 π=
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 29 J. Carlos Lopes da Costa
r
θθθθ
r
θ
∂r
∂θ
φ
∂φ
φφφφ
Condução Esférica (Radial)
A equação geral da condução em coordenadas esféricas é:
t
T
k
qT
r
T
rr
Tr
rr
g
∂
∂=+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
αφφ
φφθφ1
sinsin
1
sin
1122
2
222
2
&
• Condução radial permanente e sem fontes:
1
r2
∂∂r
r2 ∂T
∂r
= 0
• Resistência de condução radial (esfera oca):
∫∫∫ ===e
i
e
i
e
i
r
r
r
r
r
rr
dr
krk
dr
Ak
drR
22 4
1
4 ππ
−=
ei rrkR
11
4
1Esférica Parede π
W
K
r
dr
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 30 J. Carlos Lopes da Costa
Raio crítico de isolamento
Caso Típico: Isolamento térmico de um tubo metálico, onde circula um fluido.
• O fluxo do interior para o exterior é:
eeisol
e
t
i
ii
ei
AhLk
r
r
Lk
r
r
Ah
TTq
1
2
ln
2
ln1
+
+
+
−=
ππ
• Ao aumentar re:
Ae↑⇒R conve↓
re/r↑⇒R condisol↑
• Há um valor de Req mínimo:
dq
dre
= 0⇒ q(re) = qmax para re=rcrítico.
Trabalhando-se a equação anterior obtemos que:
iscrítico
e
kr
h=
Raio crítico de isolamento
Efeitos diferentes
em Req
Rconvi Rcondtubo Rcondisol Rconve
Isolamento
Metal
ri
r
re
re e=0 re=r
0
qmáxq
rcrítico rOK
Nota:
Se o isolamento não for suficientemente eficiente (kisol baixo), a colocação de material isolante sobre o tubo pode aumentar a perda de calor (área exterior aumenta).
Só valerá a pena colocar isolamento para raios re superiores a rOK.
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 31 J. Carlos Lopes da Costa
• Nota Importante:
Se kis/he = rcr<r
tal significa que já o máximo para ( )erfq = se
encontrará para re=r, isto é e=0.
Nesta situação vale a pena aplicar qualquer espessura de isolamento, uma vez que q diminui sempre.
• Conclusão:
Deverá se ter em conta o raio crítico de isolamento quando este for pouco eficiente (kisol pouco baixos), ou quando o raio exterior do tubo a isolar for relativamente baixo.
Esfera Oca Uma análise equivalente feita para esferas ocas conduz á seguinte definição de raio crítico de
isolamento:
2 iscrítico
e
kr
h=
re e=0 re=r
0
q
máxq
rcrítico não existe na prática!
Nota:
Repare na figura que se o raio exterior do tubo sem isolamento (r) fosse muito pequeno, aí entraríamos numa região em que teríamos um raio
crítico de isolamento.
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 32 J. Carlos Lopes da Costa
Condução em Regime
Transiente
Neste ponto vamos analisar a equação geral da condução, mas para situações que evoluem no tempo. Para tornar essa análise mais simples vamos considerar uma situação de condução mono dimensional (em x) sem geração de calor.
t
T
αx
T
∂
∂=
∂
∂ 12
2
Resolúvel através de:
� Métodos Analíticos (solução exacta)
� Métodos Numéricos (não abordados aqui)
� Se atemperaturafor Uniforme – Sistema Global ∂T
∂x≈ 0
Solução Exacta Placa Plana
θ (x, t)
θ (x, t = 0)= Cn
n =1
∞
∑ cos ζn
x
L
e
− ζ n2 αt
L2
h, T∞∞∞∞
x 0
h, T∞∞∞∞
x=-L x=L
Em que:
• θ ( x , t ) = T ( x , t ) − T∞
• nC e ζn são
funções de hL
k.
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 33 J. Carlos Lopes da Costa
A dedução matemática da equação anterior é relativamente complicada, no entanto a sua dedução põe em relevo duas grandezas adimensionais:
� Nº. de Fourier - 2CL
tFo
α=
� Nº. de Biot - k
LhBi C=
LC é um comprimento característico da geometria em
estudo. Tipicamente LC = VAsuperfície
.
Assim: T(x,t) −T∞
Tinicial −T∞
=θ(x,t)
θinicial
= f (x,Fo,Bi)
O mesmo tipo de análise pode ser feito para outro tipo de
geometrias:
Tempo adimensional
para a condução.
Capacidade de se transmitir calor por convecção face à capacidade de se transmitir calor por condução.
0 h, T∞
r=r0 r
Cilindro infinito – comprimento muito grande (→∞). A
uma temperatura inicial uniforme, arrefece (ou aquece) por acção de um fluido (h, T∞).
Esfera –A uma temperatura inicial uniforme, arrefece (ou
aquece) por acção de um fluido (h, T∞).
h, T∞
r=r0
r
0
θ (x, t)
θ (x, t = 0)= Cn
n=1
∞
∑ e− ζn
2 αt
ro
J0 ζnrro
( ) θ (x, t)
θ (x, t = 0)= Cn
n=1
∞
∑ e− ζn
2 αt
ro
1
ζnrro
sin ζnrro
( )Em que :
Cn e ζn são funções de Bi ;
J0 - Função de Bessel do primeiro tipo.
Nota IMPORTANTE:
• Placa Plana:Espessura2
1== LLC
• Cilindros: LC =ro
2
• Esferas: LC =ro
3
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 34 J. Carlos Lopes da Costa
Analisando os resultados de θ(x, t)
θ(x, t = 0), verifica-se:
� Se Bi < 0,1⇒ T (x, t ) ≈ T (t ) 0≈∂
∂
x
T
A convecção no exterior do sólido é mais intensa que a condução que se dá no seu interior.
Para cada instante de tempo, no interior do sólido, a temperatura é praticamente uniforme.
Todo o sólido comporta-se um sistema único com uma só temperatura para cada instante de tempo – Sistema de
Capacitância Global – ver secção seguinte.
� Se Bi > 0,1⇒ T (x, t ) diversos para cada x e t
Existem para cada instante gradientes de temperatura
importantes no interior do sólido.
x
T
T inicial
T
t=0
t=∞∞∞∞
Arrefecimento
x
T
T inicial
T
t=∞∞∞∞
t=0
Aquecimento
x
T
T inicial
T∞∞∞∞
t=0
t=∞∞∞∞
Arrefecimento
x
T
T inicial
T∞∞∞∞ t=∞∞∞∞
t=0
Aquecimento
Exemplos em que
isto pode ocorrer: • Material sólido muito bom
condutor • Sólido muito fino (agulha,
chapa fina) • Coeficiente de convecção h
muito elevado.
Soluções de
Cálculo:
• Solução
Aproximada a partir da Solução exacta.
• Recurso às Cartas de
Heisler para as geometrias mais elementares (placa e cilindro infinitos, e esfera).
• Recurso a Métodos
Numéricos. Não abordado na disciplina.
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 35 J. Carlos Lopes da Costa
( )
⇒
−
=⇒
=⇒−=−
⇒−=−=⇒−=
−−=⇒−=
∫∫
∞∞ −=
tpcV
hA
dt
d
dt
dT
et
tcV
hA
dtcV
hAdθθ
dtcV
hAdhA
dt
dcV
TtThAdt
dTcVq
dt
dQ
ip
i
t
p
θ
θp
p
psai
i
TtTθ(t)
ρ
θ
θθ
ρθθ
ρρθ
θθ
θρ
ρ
)(lnln
1
1
)(
0
:Integrando
)(:Adoptando
Sistema de Capacitância Global
O que traduz 0,1Bi < ?
RCD =L
kA ; RCV =
1
hA
RCD
RCV
=LkA
1hA
=hL
k= Bi
Se Bi<0,1, a diferença de temperaturas entre o núcleo (T0) e a superfície (TP) é pouco significativa, em comparação com a diferença global (T0-T∞). Quanto menor for Bi, mais nos aproximamos da seguinte situação:
Dedução de T(t)
Balanço energético:
∆Energia Interna = Energia que sai
RCV
Tcorpo T∞
Corpo Sólido
O corpo sólido forma um só sistema global de temperatura
uniforme T(t).
Exemplo: Placa plana
RCV RCD T∞
TP
T0
x
L 0
Se Bi<0,1, é porque a resistência de condução é inferior a 10% da resistência de convecção.
θ ( t)
θ i
= e−Bi ⋅Fo
Nota : θ(t)
θi
=T (t)− T∞
Ti − T∞
dQ
dt… se consideramos arrefecimento
qsai qentra
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 36 J. Carlos Lopes da Costa
Análise de um Sistema Global (cont.)
θ (t)
θ i
= e−Bi ⋅Fo
Calor transferido durante um período 0 →t:
( ) [ ]JouleJ)( −−= ip TtTcmQ
Analogia reo-eléctrica
Vρ c p
dT
dt= −hA T(t) − T∞( )
C – Capacidade Térmica/Eléctrica do Corpo
R – Resistência Térmica/Eléctrica
T≡V – Potencial Térmico/Eléctrico (Temperatura)
CdV
dt=
1
RV (t) −V0( )⇒
∆V (t)
∆Vi
= e− 1
RCt = e
− 1τ t
Nota: 1
RCτ = - constante de tempo; R↑ ou C↑ – resposta
mais lenta. Maior inércia.
RCV=1/(hA)
C=ρVcp
T∞=V0
T=V
No início (t=0)…
Ti
T∞
T
t
θ
0
θι
Ti
T∞
T
t
θ
0
θι
Aquecimento Arrefecimento
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015
Solução Aproximada
Para a generalidade dos casos, nomeadamente quando
€
Bi > 0.1, a solução passa pelo cálculo de soluções aproximadas. As equações das soluções exactas têm uma extensão infinita. No entanto, passada uma fase muito inicial do aquecimento/arrefecimento, temperatura pode ser obtida considerando apenas o primeiro termo das equações:
( ) ( Fo
Lx eC
21 cos* 1 1
ζζθ −≈( ) ( )
orrFo
JeC 10*
1
21* ζθ ζ−≈
( ) (orr
FoeC
1
*1 sin
1*
21 ζ
ζθ ζ−≈
As funções C1 e ζ1e as funções de Bessel ncontram
37 J. Carlos Lopes da Costa
Solução Aproximada
Para a generalidade dos casos, nomeadamente quando , a solução passa pelo cálculo de soluções
As equações das soluções exactas têm uma extensão ita. No entanto, passada uma fase muito inicial do
aquecimento/arrefecimento, para valores de
€
Fo > 0.2, a temperatura pode ser obtida considerando apenas o primeiro termo das equações:
)Fo - Placa Plana
- Cilindros
( )orr
1ζ - Esferas
e as funções de Bessel ncontram-se tabeladas.
J. Carlos Lopes da Costa
Nota IMPORTANTE:
• θ*=θ (x, t)
θ (x, t = 0)
• Placa Plana:
Fo =αt
L2 ; Bi =
h L
k
L − 12
Espessura
• Cilindros e Esferas:
Nestas equações e
tabelas os números de
Biot e Fourier são
calculados usando
LC = ro :
Fo* =αt
ro
2 ; Bi* =h ro
k
Na tabela: Bia = Bi Placas planas
Bia = Bi * Cilindros e Esferas
Tabelas - Fonte: Incropera, Frank P. e David P. DeWitt, Fundamentals of heat and mass transfer (4th.Edition)
x
T
θθθθi(T inicial)
T∞∞∞∞
t=0
t =∞∞∞∞
Exemplo: Arrefecimento
t
θθθθ0
θθθθ
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 38 J. Carlos Lopes da Costa
x
T
θθθθi(T inicial)
T∞∞∞∞
t=0
t =∞∞∞∞ Exemplo: Arrefecimento
t
θθθθ0
θθθθ
A energia transferida nestes processos de aquecimento/arrefecimento pode ser obtida com base nestas equações:
( ) *
1
1sin1 o
oQ
Qθ
ζζ
−= - Placa Plana
( )111
*21 ζ
ζθ
JQ
Q o
o
−= - Cilindros
( ) ( )[ ]11131
*
cossin3
1 ζζζζθ
−−= o
oQ
Q - Esferas
em que: ( )∞−TTVcQ inicialpo = ρ , θo
* − θ * no núcleo, para x = 0 ou r = 0
, J1 - Funções de Bessel.
Quando os meios de cálculo eram limitados, estes cálculos poderiam ser feitos por estimativas através do...
Recurso ás cartas de Heisler Notas Prévias
Nota 1:
Geralmente pretende-se determinar uma temperatura T para um instante t, que equivale a uma temperatura θθθθ para um instante Fo. Nestas cartas lida-se com:
� θ i = Tinicial − T∞
� θ0 = Tnúcleo −T∞
� θ = Tqualquer − T∞
Nota 2:
As cartas de Heisler usam os mesmos números Bi* e Fo*,
referidos atrás LC = ro( ) nas equações aproximadas.
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 39 J. Carlos Lopes da Costa
Leitura das cartas de Heisler
� Quando se pretende conhecer a temperatura T para um ponto x no instante t: Calcula-se Bi*, Fo*, e θi. Em seguida…
� Quando se pretende conhecer o instante tem que no
ponto x a temperatura é T: Calcula-se Bi*, θ, e θi. Em seguida…
Fo*→ t
1
*Bi
iθθ0
*
1
Bi
0θθ
or
r
L
xou
iθθ
θθθθ 0
00
e se-determina e Conhecendo →
Determinado!
Fo*
*
1
Bi
iθθ 0
*
1
Bi
0θθ
or
r
L
xou
∞
∞
−
−==
TT
TT
iii θθ
θθ
θθ 0
0
Determinada!
� As cartas de Heisler permitem resolver outros tipos de problemas e a sua aplicação não se cinge a situações em que Bi<0,1.
� Também existem cartas de Heisler para determinar o calor trocado para cada instante de tempo durante um aquecimento ou arrefecimento.
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015 40 J. Carlos Lopes da Costa
Apêndice: Cartas de Heisler Estas cartas podem ser consultadas em: Incropera, Frank P. e David P. DeWitt, Fundamentos da transferência de calor e de massa (4ª Edição), LTC Editora.
Placa Plana
*
*
*
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015
Cilindro
41 J. Carlos Lopes da Costa
*
*
J. Carlos Lopes da Costa
*
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015
Esfera
42 J. Carlos Lopes da Costa
*
*
J. Carlos Lopes da Costa
*
CONDUÇÃO
Versão 2014/2015
Cartas para determinar a energia trocada
*
*
*
43 J. Carlos Lopes da Costa
Cartas para determinar a energia trocada
* *
* *
* *
J. Carlos Lopes da Costa
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 44 J. Carlos Lopes da Costa
Convecção O que é a Convecção?
É o transporte de calor através de um meio fluido, feito principalmente devido à movimentação de massa – fluido
mais quente transporta consigo calor.
Se esse movimento for provocado (forçado) por um sistema exterior ao fluido (ventiladores, bombas, movimento de veículos), diz-se convecção forçada.
Se esse movimento for induzido pelo próprio fluido, devido à diferença de densidades (provocada pela diferença de temperaturas) do fluido na presença de um campo gravítico (ou outro tipo de aceleração), então diz-se convecção natural.
No estudo da convecção, vamo-nos debruçar sobre a entrada ou a saída de calor de um dado sítio, devido à presença de um fluído ou melhor, devido à presença de um escoamento. Iremos estudar a passagem de calor de/para um fluido para/de uma superfície.
Capítulo
3
T(y) Tp
y
T(y)
Tp
T∞
q
T∞
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 45 J. Carlos Lopes da Costa
Modelos Físico-Matemáticos
A convecção pressupõe um meio fluido ou um escoamento onde existem gradientes de temperatura –
fluxo de calor.
Equação da Energia para um dado
Escoamento
Analisando o que se passa no ponto (x,y,z)…
rodeia o que o com Troca
em actuantes Forças em Pot
Total Energia
dM
dMdM
qt
+
=∆
∆
Esta equação pode ser expressa para uma situação genérica por …
Massa dM
dx dy
dz (x,y,z)
x y
z
0
Campo de Temperaturas
Equação da Conservação da Quantidade de Movimento (Navier-Stokes) (insuficiente)
Condiciona
Campo de Velocidades
Equação da Energia
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 46 J. Carlos Lopes da Costa
( )
( )TkTk
VfepVVpV
uvV
ut
turb
diss
∇⋅∇+∇+
++∇+⋅∇−=
+∇⋅+
+
∂∂
2
22
22
rr&
rrr
r
r
ρρρρ
Decomposição desta expressão:
���� Variação da Energia Total em dM por unidade de
tempo (potência):
Cinética Energia - 2
calor); (incluido Interna Energia-
a devido Energia de Transporte
2
Tempo o com Variação
2
2.
2
Vu
v
VuV
Vu
t
r
r44 344 21
rr
44 344 21
r
+∇+
+
∂∂
ρρ
���� Potência das forças que actuam em dM:
( )876 rr4444444 84444444 76
321&
44 344 21
rrExteriores Forças das Pot.isSuperficia Forças das Pot.
Viscoso Atrito de Forças a RelativoPressão de Forças a Relativo
VfepVVp diss ρρ ++∇+⋅∇−
���� Fluxo de calor (potência calorífica) que entra e sai de dM:
Para conhecermos o que se passa num escoamento em termos de fluxo de calor, será necessário integrar esta
equação – equação da energia.
Nota:
Operadores Cartesianos Derivativos • Gradiente:
_ _ __ , ,
x y z
∂ ∂ ∂∇ ≡ ∂ ∂ ∂ Aplica-se a uma grandeza escalar _.
• Divergente:
zyx
zyx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂≡∇
____.
Aplica-se a uma grandeza vectorial _ur
.
( )zyx _,_,__ =
( )43421321
Turbulenta Condução-Pseudopor Calor de Fluxo)(Molecular Conduçãopor Calor de Fluxo
2 TkTk turb∇⋅∇+∇
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 47 J. Carlos Lopes da Costa
Integração da Equação da Energia
• Resolução Analítica: só viável em muito poucos casos em que é possível muitas simplificações. Exemplo: Em Regime Estacionário, e Escoamento Laminar a simplificação resulta em…
Tkx
VuV
disse
i
iij
2
2
v
2∇+
∂
∂=
+∇⋅
876rr
&ρ
τρ
Numa situação monodimensional, pode-se integrar analiticamente.
• Recurso a Métodos Numéricos Computacionais: Aplicável à maior parte das situações. No entanto padece dos problemas e da complexidade das modelações numéricas em Mecânica de Fluidos.
• Obtenção de Correlações Experimentais em Laboratório: Existem em publicações da especialidade correlações semi-empíricas obtidas experimentalmente, para as geometrias e situações mais comuns em engenharia. – Iremos sobretudo abordar esta via.
Em qualquer dos casos:
Para quantificar os fluxos de calor por
convecção, é necessário conhecer:
conhecer.
• Características do Escoamento
• Condições Fronteira
� Geometria � Regime (Laminar ou Turbulento)
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 48 J. Carlos Lopes da Costa
Números Adimensionais Relevantes na Convecção
Quando se analisa um dado sistema físico, é vantajoso o recurso a variáveis adimensionais:
• Diminuem o número de variáveis independentes. • A escala dos fenómenos é irrelevante (podem-se
aplicar os mesmos conceitos a situações dimensionalmente diferentes).
Escoamentos em regime estacionários:
���� Número de Reynolds – Re
..
.v.v.Re refrefrefref
MovimdeQdaDissipação
MovimentodeQuantidadeLL≡==
νµρ
���� Número de Grashof – Gr
ViscosoAtritodeForças
ImpulsãodeForças...Gr
densidade de diferença àDevido
2
3refref
444 8444 76
≡∆
=ν
β LTg
⇒⇒⇒⇒ Eq. da Cons. Energia
⇒⇒⇒⇒ Eq. da Cons. Q. de Mov. Adimensionalização
5 parâmetros adimensionais
Re, Gr, Ec, Pr, Prturbulento
Nota Importante: Convecção Natural � Convecção Forçada
1Re
Gr2
<< - Convecção Forçada – Forças ascensionais muito menores que as forças de inércia.
1Re
Gr2
>> - Convecção Natural – Os gradientes de temperatura impõem as movimentações do fluido.
2
Gr1
Re≈ - Convecção Mista – Natural+Forçada.
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 49 J. Carlos Lopes da Costa
���� Número de Eckert – Ec
( ) FluidodoTérmicaEnergia
FluidodoCinéticaEnergia
TcEc
TérmicaEnergiaemtranformarpodeseQue
p
44444 844444 76
≡∆
=ref
2ref
.
v
���� Número de Prantl – Pr
4444 34444 21
4444 84444 76
calordomoleculardifusãoparaAptidão
massademoviementoporcalordoeotransportparaAptidão
pp
k
c
k
c
TérmicadadeDifusibili
CinemáticadadeDifusibili...Pr ≡===
ανρνµ
���� Número de Nuselt – Nu
FluidodoidadeCondutibil
CausaemConvecção
fluido
Ref ≡=k
LhNu
Nota: Número de Prandtl “Turbulento”
Em escoamentos em regime turbulento, a agitação turbilhonar de pequena escala pode ser encarada como um fenómeno difusivo, complementar à difusibilidade molecular. Daí, podem-se criar novas propriedades difusivas: a Viscosidade
Turbulenta- turbµ ou turbν - e a Condutibilidade Turbulenta- turbk . Daí que
certos modelos de convecção considerem um Número de Prandtl Turbulento.
turbturb
turb
.Pr pc
k
µ=
Não iremos abordar
Nota: Fluido a Alta Velocidade �Dissipação Significativa
Se a velocidade do fluido for muito elevada, a energia dissipada pelo atrito nas superfícies (que se transforma em calor) começa a ser significativa. Esse calor começa a alterar o campo de temperaturas. Este factor começa a ser notório para valores do número de Eckert muito
elevados. Exemplo 1: Ar a 45m/s (162 km/h) faz subir a temperatura junto ás superfícies cerca de 1ºC, apenas devido à dissipação de energia por atrito.
Não iremos abordar
Notas:
• Há convecção significativa se Nu>1. • Basicamente podemos interpretar Nu
como sendo o coeficiente de
convecção (h) adimensional, de uma dada situação.
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 50 J. Carlos Lopes da Costa
T∞, v∞
x
v(y)
v∞ y
Camada Limite
Dinâmica
v(y)
v∞
T∞, v∞
x
y
Camada Limite
Térmica
T∞
T(y)
Tp
T∞
T(y)
Tp
Camada Limite
Dinâmica q
Conceito de camada limite térmica Exemplo: Escoamento sobre uma Placa Plana
Camada limite dinâmica:
Zona de um escoamento, junto a uma parede, onde os
gradientes de
velocidade são
importantes, devido à viscosidade do fluido.
Camada limite Térmica:
Zona do escoamento junto a uma superfície, mais quente (ou mais fria), onde os gradientes de temperatura são
importantes.
Nota: Na figura Tp>T∞ ; Se Tp<T∞ o raciocínio será semelhante. O fluxo de calor será de cima para baixo.
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 51 J. Carlos Lopes da Costa
Definição do Nº de Nusselt
Junto à parede (y=0):
=′′′′=′′A
qqxqxq CVCD )()(
Para uma dada situação, o número de Nusselt pode ser determinado pela resolução da equação da Energia, ou (mais geralmente) por via experimental.
(Geometria,Re,Pr,condições de fronteira)Nu f=
Existem vários trabalhos científicos que determinaram coorelações empíricas para a determinação do nº de Nusselt para um grande número de situações práticas.
( )
( )
( ) ⇒∂∂−
−=−
⇒∂∂−
=∂∂
−∂
=∂⇒−
−=
=∂⇒=
→∂∂
−=−
←−=′′
←∂∂
−=′′
=
∞∞
∞
∞∞
∞
=
∞
∞
=
=
0
0
0
)()(
)()(
Convecção)()()(
Condução)(
:aisadimensionepara valoresAdoptemos
)0 em parado está fluido (o
Yref
p
fluidop
ref
p
pp
refref
y
fluidop
p
y
fluido
YL
TTkTxTxh
YL
TT
y
T
TT
T
TT
TT
L
dyY
L
yY
T yy
TkTxTxh
TxTxhxq
y
Tkxq y
θ
θ
θθ
(x)
fluidok
refh(x)L
Y
θNu==
∂∂
−
T∞, v∞
x
y
Camada Limite
Térmica
T∞
T(y)
Tp
T∞
T(y)
Tp 0
q
Nota:
O número de Nusselt traduz assim o fluxo de
calor adimensional numa situação em que existe convecção junto a uma superfície.
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 52 J. Carlos Lopes da Costa
Coeficiente de Convecção – Valores
Locais e Valores Médios
A camada limite aumenta de espessura com x; logo:
∞
=
====
−
∂∂
=
∂∂
<
∂∂
TT
y
Tk
xh
y
T
y
T
p
y
fluido
xxyxxy
0
00
)(:Como
12
Então h(x) decresce com x.
Nota: h(x) é o coeficiente de convecção local (para um dado x).
Se pretendermos calcular o fluxo de calor total numa placa plana:
Coef. de Convecção Médio -
Nº de Nusselt Médio -
Na maior parte das situações práticas o valor que mais nos interessa é o valor médio do calor trocado. Por isso, na generalidade dos casos iremos sobretudo nos preocupar com o cálculo do coeficiente de convecção médio.
x
y
Camada Limite
Térmica
T∞
T(y)
Tp
T∞
T(y)
Tp
0 x2 x1
)( 1xq′′ )( 2xq ′′
supsup
sup
1( ).
Ah h h x d A
A= = ∫
supsup
sup
1Nu Nu Nu . ref
xAfluido
hLd A
A k= = =∫
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 53 J. Carlos Lopes da Costa
Camada Limite Laminar e Camada
Limite Turbulenta
Se o comprimento da placa for suficientemente grande, a partir de xcrítico, a camada limite dinâmica torna-se turbulenta. Se a Camada Limite cresce, em princípio a resistência à passagem de calor também cresce. No entanto, a agitação na camada limite turbulenta aumenta muito, o que quase uniformiza a temperatura acima da sub-camada limite laminar. Daí que os gradientes de
temperatura vão quase só existir nesta sub-camada mais fina. Isto é:
O cálculo do coeficiente de
convecção médio (para toda a placa) deve ter em consideração estas duas zonas:
Admitindo a zona de xcrítico muito pequena.
aumenta)( aumenta aumenta xhqy
T
oy
⇒′′⇒∂∂
=
x
y T∞
Tp 0
C. L. Laminar C. L. Turbulenta Transição Sub-Camada Laminar
Transição
Zona T
urbulenta
v∞ v∞ T∞
Tp
T(y)
T(y)
xcrítico
x
y
0
C. L. Laminar C. L. Turbulenta Trans.
xcrítico
h
h(x)
h(x)
lam turb0
1( ) ( )
critico
critico
x L
x
h h x dx h x dxL
= + ∫ ∫
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 49 J. Carlos Lopes da Costa
Camada Limite Laminar e Camada
Limite Turbulenta (cont.)
O desenvolvimento de camadas limite dinâmica e térmica ocorre em outros tipos de escoamentos: Escoamentos Externos
Corpos completamente imersos no fluido.
� Placa Plana:
� Cilindro Perpendicular a um escoamento:
Escoamentos Internos:
� Tubos e Condutas:
Regime Turbulento Regime Laminar
Regime Turbulento Regime Laminar
Regime Turbulento Regime Laminar
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 50 J. Carlos Lopes da Costa
Especificidades na Análise de
Escoamentos Internos
É usual definir-se Tm – Temperatura média do Fluido
Para um dado x: ( )mp TTxhxq −=′′ )()(
Sendo Te e Ts as respectivas temperaturas médias, na entrada e saída.
Como os mp TTT −=∆ variam ao longo do tubo (de x), demonstra-se que o mais indicado para todo o tubo será usar um T∆ médio designado por Diferença de
Temperaturas Média Logarítmica:
ln.. TAhq ∆=Em todo o tubo Interior
∆
∆
∆−∆=∆
saída
entrada
saídaentradaln
ln
:Sendo
T
T
TTT
Tmax1 T
r Tp
Tmax2 T
r Tp
Tm Tm
Te
Ts
Tmin1 T
r Tp
Tmin2 T
r Tp
Tm Tm
Te
Ts
Admitindo Tp uniforme: Te>Tmax1>Tmax2>Ts
Admitindo Tp uniforme: Te<Tmin1>Tmin2>Ts
Caso II: Parede quente aquece o fluido
Caso I: Parede fria arrefece o fluido
x
x
Nota:
Para mais detalhes acerca
de lnT∆ , consultar o capítulo relativo a Permutadores de Calor.
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 51 J. Carlos Lopes da Costa
Correlações Experimentais
para a Convecção
Notas Prévias
• Para os cálculos dos fluxos de calor em problemas de convecção forçada geralmente basta-nos conhecer:
(Geometria,Re,Pr,Condições de Fronteira)Nu f= • Iremos apenas analisar escoamentos:
� Em regime permanente � Escoamentos incompressíveis (isobáricos no
caso de gases) � Dissipação desprezável ( 0Ec ≈ )
• Normalmente iremos determinar Nu através de funções do tipo: Nu .Re Prb c
a= a, b e c são constantes para :
� Cada geometria � Cada Regime (Re laminar ou turbulento) � Tipo de condição fronteira
( )etc ;const ;const ≅′′≅ qTp � Fluido que banha a superfície
• Existirão expressões para valores locais e para valores médios:
1 2Nu ( ); Nu ( )x f f= =K K • Em diferentes publicações poderemos encontrar
diferentes expressões de Nu para um mesmo caso. Tratam-se de resultados experimentais semi-empíricos, que podem diferir conforme o trabalho cientifico. Não esquecer que este tipos de cálculos fazem estimativas e não determinam valores exactos.
• As propriedades dos fluidos (k, µ, ν, etc) são supostos valores constantes e uniformes nos cálculos. No entanto, variam com T!
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 52 J. Carlos Lopes da Costa
As correlações são muitas vezes definidas com base em propriedades à temperatura T∞ ou Tp (na parede), A sua contabilização pode ser feita de dois modos: � Com base numa das temperaturas
nas fronteiras - T∞∞∞∞ ou Tp (na parede).
� Com base numa temperatura
média de referência (maior parte dos casos).
� Por vezes, as correlações já trazem um factor que contabiliza a variação das propriedades com a temperatura. Apresentam a seguinte forma:
No entanto pT ou mT não são conhecidos à partida. Nestes casos é preferível partir para valores estimados, que serão rectificados iterativamente, até o resultado do cálculo convergir.
• As grandezas adimensionais que caracterizam um (Re,
Nu, Gr) escoamento são determinadas com base num comprimento característico Lref do escoamento. Esse valor é indicado como índice destas grandezas:
v. .Re ; Nux D
fluido
x h D
kν= =
Como é óbvio, que num mesmo cálculo acerca de um dado escoamento, é conveniente manter sempre o valor de Lref para as diversas grandezas Re, Nu ou Gr.
Exemplos:
Escoamento sobre uma placa plana: Lref = L (comprim.) …ou Lref = x (posição) Escoamento dentro de um tubo: Lref = D (diâmetro hidráulico) Escoamento à volta de um cilidro: Lref = D (diâmetro)
( ou )
( ou )
( )
( )
.Re Pr ;líquidos
.Re Pr ;gases
m
m
p
p
T T
T T
b c
b c
T
T
Nu a
kNu a
k
µ
µ∞
∞
=
→
=
internossescoamentonos,2
externossescoamentonos,2
mp
ref
p
ref
TTT
TTT
+=
+=
→
∞
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 53 J. Carlos Lopes da Costa
Correlações Experimentais Placa plana com escoamento paralelo � Regime Laminar ReL<5×105
50Pr6,0PrRe664,0Nu
PrRe332,0Nu~~3/11/2
3/11/2
<<
=
=
L
xx
6,0PrPrRe906,0Nu
PrRe453,0Nu~3/11/2
3/11/2
>
=
=
L
xx
Outras correlações: Exemplo: Líquidos viscosos, metais líquidos – Pr baixos.
Nux
= 0,565 Re.Pr( )1 2= 0,565.Pe1 2 ← Pr
%< 0,05
1 2 1 3valores de elevadosNu 0,339.Re Pr Pr x = ←
� Regime Turbulento ReL>5×105
( )
←−=
=→
←=
<<<
>
<<<
) e 0 (entre placa a todaPara
10~
Re;60~
Pr~
6,0 8
3/14/5
3/14/5
8
3/14/5
Pr871Re037,0Nu
PrRe0308,0NuPrRe0296,0Nu10
~Re;60
~Pr
~6,0
LL
xx
crítico
xx
xx
y
0 x
h
h(x)
L
x uniforme q ′′
Fluxo de calor uniforme em toda a placa y
0 x
h
h(x)
L
x T uniforme
Temperatura uniforme em toda a placa
y
0 x
h
h(x)
L
x uniforme q ′′
Fluxo de calor uniforme em toda a placa y
0 x
h
h(x)
L
x T uniforme
Temperatura uniforme em toda a placa
Notas:
• Em regime laminarOs valores de Nu são 36% superiores para Tp uniforme. Em regime turbulento não há praticamente diferenças. • Pode-se demonstrar que Nu 2.Nu para x x L= =
• Para alguns autores Re.Pr Pe= - Nº. de Peclet
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015
Escoamento no Interior de Tubos
Para a região de escoamento desenvolvidocamadas limite ao longo do tubo
x constanteNuNu ==
� Regime Laminar
Em regime laminar, Nu é independente de
Secção T
Equilátero
∞
a
2a
a
a
xe Zona de Entrada
Camada Limite Térmica
05,0 :que Em e Dx ≅
x
O Nu varia com o crescimento da camada limite térmica e/ou dinâmica.(Ver caixa abaixo, á direita).
54 J. Carlos Lopes da Costa
Escoamento no Interior de Tubos e Condutas
Para a região de escoamento desenvolvido, uma vez que existirá limite ao longo do tubo, e considerando kfluido
xemconstante
Regime Laminar ReDh<2300
é independente de Re ou Pr:
Tp Uniforme
NuDh =
pq ′′ Uniforme
NuDh =
3,66 4,36
2,98 3,63
3,39 4,11
7,54 8,23
2,47 3,11
Escoamento Desenvolvido
Dh
Zona mais relevante para a maior parte dos casos! Até porque geralmente L>>x
L
PrRehD
varia com o crescimento da camada limite térmica e/ou dinâmica.
Zona de Entrada:
Nusselt local, nos diferentes tipos de zon
J. Carlos Lopes da Costa
e Condutas
, uma vez que existirá estabilização das fluido constante, então:
Escoamento Desenvolvido
para a maior
L>>xe!
Zona de Entrada:
Nusselt local, nos diferentes tipos de zona de entrada:
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 55 J. Carlos Lopes da Costa
Escoamento no Interior de Tubos e Condutas
(cont.)
� Regime Turbulento ReDh>10 4
Hipóteses consideradas:
• Escoamento desenvolvido • Tubos lisos interiormente (ou de baixa rugosidade)
Em regime turbulento não existirão diferenças de h ou Nu entre
situações de Tp uniforme ou pq ′′ uniforme.
� Correlação 1 (Equação de Dittus-Boelter):
<<←=
=
=
fluido do ntoarrefecime o para
fluido do oaqueciment o para
3,0
4,0
100Pr7,0PrRe023,0Nu 8,0
n
n
n
Dh
� Correlação 2 (Sieder e Tate): A utilizar quando houver grande variação de propriedades.
<<←
=
parede de ra temperatuà fluido do eViscosidad
referência de ra temperatuà fluido do eViscosidad
16700Pr7,0PrRe027,0Nu14,0
3/18,0
P
P
Dh
µ
µ
µµ
Nota: 60 seNu Nu >≅D
L, uma vez que o que se passa na zona de
entrada é irrelevante. Lembrete:
4.Secção
PerímetroHD =
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 56 J. Carlos Lopes da Costa
Escoamento Perpendicular a um Cilindro
� Regime Laminar ReD≤ 105
� Regime Turbulento ReD>105
Valores Locais:
Coeficiente de transferência de calor adimensionalNu para diferentes posições θθθθ.
Note-se as diferenças entre a evolução para regimes laminares e regimes turbulentos.
Ângulo de Separação
θθθθsep
θθθθ
T∞∞∞∞ Ts
Ângulo de Separação
θθθθsep
θθθθ
T∞∞∞∞ Ts
Tp
80ºsepθ ≈
500
600
700
800
0 40 80 120 1600 180 θθθθ
Nuθθθθ
100
200
300
400
0
ReD=2,2×105
ReD=105
ReD=0,71×10 5
ReD=1,4×105
140ºsepθ ≈
22
876médiaT
sp
ref
TTT
T
++
=
∞
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 57 J. Carlos Lopes da Costa
• Valores Médios
(Tpou pq ′′ uniformes): � Correlação proposta por Hilpert
(1933), amplamente utilizada:
1/ 3Nu = .Re PrmD DC
Cilindros Não Circulares (Jakob – 1949)
ReD C m
Qua
drad
o
5×103 – 105 0,246 0,588
5×103 – 105 0,102 0,675
Hex
ágon
o
5×103 – 1,95×104 0,160 0,638 1,95×104 – 105 0,0385 0,782
5×103 – 105 0,153 0,638
Placa Vertical
4×103 – 1,5×104 0,228 0,731
Outras correlações (Cilindros Circulares): � Zhukauskas (1972):
…em que todas as propriedades são obtidas para T∞, excepto Prp, que é obtido à temperatura da parede.
� Churchill e Bernstein (1977) :
Cilindro Circular ReD C m
0,4 – 4 0,989 0,330
4 - 40 0,911 0,385
40 – 4 000 0,683 0,466
4 000 – 40 000 0,193 0,618
40 000 – 400 000 0,027 0,805
ReD C m
1 – 40 0,75 0,4
40 – 1 000 0,51 0,5
1 000 – 200 000 0,26 0,6
200 000 – 106 0,076 0,7
v D
v D
v D
v D
v D
36,010Pr;37,010Pr
500Pr7,0
10Re1
Pr
PrPrReNu
64/1
=→>=→≤
<<
<<←
=
nn
C D
p
nm
DD
<<
>←
+
+
+=7
5/48/5
4/13/2
3/12/1
10Re100
2,0PrRe
282000
Re1
Pr
4,01
PrRe62,03,0Nu
D
DDDD
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 58 J. Carlos Lopes da Costa
Escoamento em Torno de uma Esfera
� Equação mais geral – Whitaker (1972):
( )
++=
<<
×<<
<<
←
2,3/0,1
4106,7Re5,3
380Pr71,04/1
4,03/22/1 PrRe06,0Re4,02Nu
p
D
p
DDD
µµµµ
Todas as propriedades à temperatura de T∞, excepto µp (à temperatura da parede).
� Fluido gasoso – McAdams (1954):
4107Re176,0Re37,0Nu ×<<←= DDD
<<
×<<
<<
2,3/0,1
4106,7Re5,3
380Pr71,0
p
D
µµ
� Fluido líquido – Kramers (1946):
( ) 2000Re13,05,0 PrRe68,097,0Nu <<←+= DDD
Existem muitas outras correlações, para diversas situações práticas, na bibliografia relativa a este ramo da engenharia.
A título de exemplo, no “Fundamentos de transferência de calor e de massa” – Incropera e DeWitt, podemos encontrar correlações para:
Jactos colidentes Leito de
partículas sólidas
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015
Escoamento num Feixe de Tubos
= Re13,1Nu 1CD
Nota:
=
=
=SD
D
2vv
vvv
Re
max
max
maxv, max ν
No caso de termos menos que 10 linhas de tubos:
Alinhados
59 J. Carlos Lopes da Costa
Escoamento num Feixe de Tubos
≥
<<
≥
←
7,0Pr
40000Re2000
10 linhas) de (nº
PrRe 3/1v, max D
N L
m
D
( ) ( )
( )( ) (<−←
−
−>−−
SDSDS
S
DSDSDS
S
TD
D
T
TDT
T
2 com Alternados2
2 com Alternados
Alinhados
No caso de termos menos que 10 linhas de tubos:
Alternados
10 10Nu Nu
L L
D DN N< ≥
J. Carlos Lopes da Costa
)
)− D
210 10Nu Nu
L L
D DN N
C< ≥
=
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 60 J. Carlos Lopes da Costa
Convecção Natural
� A convecção natural pressupõe a presença da gravidade – g ou outra aceleração (*) - que induza o deslocamento das massas mais pesadas na sua direcção (para baixo, no caso da gravidade).
� Geralmente, as velocidades em jogo são menores.
vConv. Natural < vConv. Forç. ⇒⇒⇒⇒ hC.Nat. < hC. Forç.
� Interesse do estudo da Convecção Natural: • Dissipação de Calor (radiadores, equipamentos,
electrónicos). • Equipamentos de captação solar. • Aquecimento de edifícios. • Ciências do ambiente (meteorologia, correntes de ar
atmosférico, correntes marítimas).
Capítulo
4
Nota:
(*) Forças centrifugas, aceleração de Coriolis, por exemplo.
• Convecção
Forçada
•Convecção
Natural
Movimento do Fluido
Imposto exteriormente (bomba, ventilador, vento exterior ao volume de controle)
Devido a forças mássicas associadas a gradientes de temperatura (fluido mais frio, é geralmente mais pesado)
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 61 J. Carlos Lopes da Costa
� Exemplos de escoamentos em Convecção Natural:
�
� Nota importante: a existência de gradientes de densidade (ou ρ) não implica correntes de convecção importantes.
Exemplo:
Camada Limite Dinâmica
• • x, vx
y
Fio Aquecido
Tp> T∞∞∞∞
Tp> T∞
vx(y)
T∞
ρ∞
y, vy
Convecção Natural
Placa Vertical Aquecida
Camada Natural
Formação de um Penacho
x
vx
ρjunto à parede<ρ∞
Tp
T∞ ρ∞
Há forte Convecção Natural
Duas Placas Horizontais Separadas por Fluido
Convecção Natural muito baixa. Há sobretudo Condução.
x Placa Fria ρρρρ2 T2
Placa Quente ρρρρ1 T1 T, ρ
x
Placa Fria ρρρρ2 T2
Placa Quente ρρρρ1
T, ρ
T1
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 62 J. Carlos Lopes da Costa
Equações necessárias ao estudo da
Convecção Natural
Pressupostos da seguinte análise:
• Regime permanente e laminar • Escoamento bidimensional • Força gravítica actua na direcção negativa do
eixo dos x.
� Equação da conservação da quantidade de movimento:
( )}
( )( ) ( ) ⇒+−+=×87648476r48476 rr
Atrito de ForçasPressão de ForçasExterioresForças
Mov. de Quat. deFluxo do Variação
divgradvgradv τρρ pf
4444444 84444444 76 y
yxyx
pg
yx
y
p
xe
y
dedirecçãoNa
2x
2yx
yy
v1vv
vv
0
0vv
∂∂
+∂∂
−−=∂
∂+
∂∂
≈∂∂
≈∂
∂
∂
∂
νρ
( )maxUma vez que: p
p gh g x x gx
ρ ρ ρ∞ ∞ ∞∂
= = − ⇒ = −∂
( )2x
2
ImpulsãodeForça
yx vvv
vv
y
g
yxyx ∂
∂+−=
∂
∂+
∂
∂⇒ ∞ νρρ
ρ43421
Formulação Diferencial
Equações do Movimento
Equação da Energia
Equações da Quantidade de Movimento
Equação da Continuidade
x
y
T∞∞∞∞
Tp ρρρρ∞∞∞∞
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 63 J. Carlos Lopes da Costa
Coeficiente de Dilatação
Térmica - ββββ
Nota Importante:
β líquidos – Tabelados
βgases perfeitos ≈T
1(T em K)
Por fim:
� Equação da conservação da quantidade de movimento:
( )2
2
vv vv v yx x
x y g T Tx y y
β ν∞
∂∂ ∂⇒ + = − +
∂ ∂ ∂
� Equação da Energia:
2
2v vx y
T T T
x y yα
∂ ∂ ∂⇒ + =
∂ ∂ ∂
� Equação da continuidade
0vv
=∂
∂+
∂∂
yx
yx
1 1. . T
T T T
ρ ρ ρβ ρ ρ β
ρ ρ∞
∞
∂ − = − ≈ − ⇒ −∆ = ∆ ∂ −
Considerando: • Dissipação desprezável (velocidades
baixas) • Condução segundo x<< convecção
••••Equação da Quantidade de Movimento
••••Equação da Energia
••••Equação da Continuidade
Efeitos da Impulsão (diferença de densidades)
Influencia do campo de velocidades no campo de temperaturas
Solução para o campo de velocidades e temperaturas exige a resolução simultânea das três equações.
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 64 J. Carlos Lopes da Costa
Solução Numérica das Equações da
Convecção Natural
Placa plana quente e vertical, Tp uniforme.
Para a mesma situação com pq ′′ uniforme, os resultados são semelhantes aos anteriores (5%
de erro).→ Para o cálculo dos coeficientes de convecção (Nu) podemos então utilizar as
mesmas correlações para Tp uniforme e pq ′′ uniforme.
Turbulência na C.L. em Convecção
Natural
Como na convecção forçada, se o fluxo de calor se tornar muito intenso, poderemos gerar um escoamento em regime turbulento. Tal é função de Gre Pr (em conv. natural o Re não se aplica)
• Para uma placa vertical:
Transição: 9Ra Gr .Pr 10x x= ≈
• Tal como na conv. Forçada:
↑ Turbulência ⇒↑h (Taxa de transferência de calor)
1
∞
∞∗
−
−=
TT
TTT
p
41
4
Gr
x
y
41
4
Gr
x
y
5,02 x
x
Gr
xv
ν
Campo de Temperaturas Campo de Velocidades
2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 1
0,4
0,6
0,8
0,2
1
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
Pr = 0,01
0,72
10 100
0,72
10
Pr = 0,01
←Distância à parede y adimensional →
Temperatura T adimensional
Velocidade vx adimensional
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 65 J. Carlos Lopes da Costa
Coorrelações para Convecção Natural Placa vertical (aquecida ou arrefecida):
� Regime Laminar ( )9Ra =Gr Pr 10L L < :
4 9___
10 Ra 101/4Nu 0,59.Ra
LL L ← < <= – McAdams (1954)
Nu___
L = 0,68 +0,670.Ra
L
1/4
1+ 0,492 Pr( )9/16
4/9← Ra
L< 10
9– Churchill e Chu (1975)
� Regime Turbulento ( )9Ra =Gr Pr 10L L > ___
1/3Nu 0,10.RaL L= –Warner e Arpaci (1968)
25Nu 0,021.RaL L= – Eckert e Jackson (1951)
� Para toda a gama de RaL=GrLPr:
Nu___
L = 0,825 +0,387.Ra
L
1/6
1+ 0,492 Pr( )9/16
8/27
10−1<RaL<1012
1 24444444 34444444
2
– Churchill e Chu (1975)
Tp> T∞
T∞
ρ∞
y, vy
Tp L
Tp< T∞
T∞ ρ∞
x vx
Tp L
y, vy
x vx
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 66 J. Carlos Lopes da Costa
Cilindro Vertical
� Se 4
1
35
LGrL
D ≥ → Análise semelhante ao da placa vertical –
Lref=L
� Se 4
1
35
LGrL
D ≤ :
Placas Inclinadas
Placas inclinadas podem ser abordadas da mesma forma que as placas verticais (em ambas as faces), desde que:
• 0º<θθθθ<60º
• Se utilizeg.cosθ θ θ θ no lugar deg, quando se calcula o número de Grashoff -Gr.
1 2 3 4 5
1
2
3
1/ 4
4 2
L
L
DGrξ =
Pr = 0,01
0,1
0,72 1
10
100
____
____cilindro
placa vert.
Nu
Nu
4
L
D
L
θθθθ
L
θθθθ
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 67 J. Carlos Lopes da Costa
Placa Horizontal
( )___
Nu Gr .Prm
LrefC= Área
PerímetrorefL =
Tipo de escoamento
Orientação da Placa Intervalo
Ra Gr PrL L= C m
Laminar
104 a 10
7 0,54 4
1
Turbulento
107a10
11 0,15 3
1
Laminar
105 a 10
10 0,27 4
1
Cilindro horizontal
( )___
Nu Gr .Prn
D DC= - Morgan (1975)
Churchill e Chu (1975)
Esfera
( )
1/ 4____
4 / 99 /16
0,589.RaNu 2
1+ 0,469/Pr
DD = +
- Churchill (1983)
Cilindro Circular Horizontal RaD=GrD.Pr C n
10-10 – 10-2 0,675 0,058
10-2 – 102 1,02 0,148
102 – 104 0,850 0,188
104 – 107 0,480 0,250
107 – 1012 0,125 0,333
q ou
q
q ou
q
q ou
q
( )
2
1/ 612
8 / 279 /16
0,387.RaNu 0,60 Ra 10
1 0,559 / Pr
DD D
= + ← < +
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 68 J. Carlos Lopes da Costa
Espaços Confinados (Fendas) Existem casos práticos de Convecção Natural em que esta se dá entre duas superfícies.
Fluxo de calor (q) depende da resistência térmica da cavidade. � Se H for muito pequeno (para um dado ∆T=T1-T2) ⇒Condução(o ar pouco se movimenta)
� Se H aumentar, o ar movimenta-se melhor ⇒Convecção
Natural O Hcrítico também depende de ∆T
Valores normalmente adaptados para exemplos indicados acima: • Hcaixa de ar = 4 - 5 cm
• Hcolector solar =2,5 cm ( 1____
>∆T )
Caixa de Ar de uma
Parede Dupla
Colector Solar
2T∞
q
Tijolos Ar
1T∞
H
T1 T2
Ar
q
T2
T1
H
Vidro
Água
Radiação
H <Hcrítico→ TAH
kq ar ∆=
H>Hcrítico→ TAH
kTAhq
efectivo ∆=∆=
Para que as duas situações sejam comparáveis criamos kefectivo:
kefec.=h.H
∆Tconstante
H H crítico
q
mínimoqConvecção Natural Condução
CONVECÇÃO
Versão 2014/2015 69 J. Carlos Lopes da Costa
Espaços confinados rectangulares
Correlações Experimentais(extraídas do “Incropera”):
Para τ = 0°°°°⇒ Se Ra 1708 Nu 1H H≤ ⇒ = ; Temos condução pura.
5 90,074 3 10 Ra 7 101/3Nu 0,069.Ra Pr
HH H ← × < < ×=
Para τ = 180°°°°⇒Fluido fica estático: Nu 1H = ; Temos condução pura.
Para τ = 90°°°°⇒ Se 3Ra 10 Nu 1
H H≤ ⇒ = ; Temos condução pura.
Para 0°°°°<τ<90°°°°⇒
NuH = NuH (τ =0º)NuH (τ =90º)
NuH (τ =0º)
τ /τ*
sinτ *( )τ
4τ* ←L / H ≤ 12
0 < τ < τ *
NuH = NuH (τ =90º) sinτ( )1/4← τ* < τ < 90º
Ângulos críticos (τ∗τ∗τ∗τ∗) para cavidades rectangulares
inclinadas:
Para 90°°°°<τ<180°°°°⇒NuH = 1+ NuH (τ =90º) −1
sinτ
L/H 1 3 6 12 >12
τ∗τ∗τ∗τ∗ 25º 53º 60º 67º 70º
→
g
Fluido
W
H
T1
τ L
T2> T1
H<<L
H<<W Lref = H
q
Nuk
Hh
T
Th
q
q
Hk
cond
conv ==∆∆
=′′
′′
3 10
5
0,28 1/ 4 10 Ra 10
Pr 102 / 10
PrNu 0, 22 .Ra
0, 2 Pr
H
H HL H
L
H
− < <
<< <
= ← +
( )30,29 1/ 4
3 510 Ra Pr/ 0,2 Pr
PrNu 0,18 .Ra 10 Pr 10
0,2 Pr 1 / 2
H
H H
L
H L H
−−
←
< + = < < + < <
4 70,3
1/ 4 0,012 410 Ra 10
Nu 0, 42.Ra Pr 1 Pr 2 1010 / 40
H
H H
L
H L H
−
←
< < = < < ×
< <
6 9
1/ 310 Ra 10
Nu 0,046.Ra 1 Pr 201 / 40
H
H HL H
←
< <= < <
< <
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 70 J. Carlos Lopes da Costa
Permutadores de Calor Introdução
Dispositivo que efectua transferência de energia térmica de um fluido para outro.
• Geralmente os fluidos estão separados por uma parede (recuperadores).
• Princípios de transferência de calor: condução, convecção e por vezes radiação (para temperaturas elevadas).
• Mecanismos para aumentar as trocas de calor: alhetas, chicanas, passes múltiplos, etc.
Principais tipos de permutadores
• Placas
• Tubo e carcaça
• Correntes cruzadas
• Outros ...
Capítulo
5
Permutador de Calor
Fluido B
TB Saída↓
Fluido A
TA Saída↑ Fluido B
TB Entrada↓↓
Fluido A
TA Entrada↑↑
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 71 J. Carlos Lopes da Costa
Isolamento
Isolamento
Correntes Paralelas
Isolamento
Isolamento
Em Contra-Corrente
q
q
Permutador de Placas
Princípo básico: Placa Plana
Construção prática dos Permutador de Placas: ● Em Sandwich, alternando fluido quente e frio. ● Ondulações (ou alhetas) nas placas para maximizar a troca de calor.
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015
Permutador de Carcaça e TubosTubo duplo ou Bitubular
Carcaça e tubos
Isolamento
Fluido A Fluido B
Fluido A
72 J. Carlos Lopes da Costa
Permutador de Carcaça e Tubos Tubo duplo ou Bitubular
A
A
Correntes Paralelas
Contra-corrente
Fluido B
J. Carlos Lopes da Costa
Corte A-A
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 73 J. Carlos Lopes da Costa
Correntes cruzadas
Distância do trajecto do fluido frio
Distância do trajecto do fluido
quente
Tqe
Tfs Tqs
Tfe
Saída do fluido quente, Tqo
Saída do fluido frio, Tfo
Entrada do fluido quente, Tqi
Entrada do fluido frio, Tfi
Ambos Fluxos Não “Misturados” Um Fluxo Não “Misturado”
Fluxo “Misturado” Fluxo não “Misturado”
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 74 J. Carlos Lopes da Costa
Outros …
Permutadores de Correntes
paralelas vs. Contracorrente (Placa Plana ou Bitubular)
O perfil de temperaturas é diferente para cada um dos casos. Um permutador em contra corrente pode conseguir que a temperatura do fluido frio à saída seja superior à do fluido quente à saída.
CORRENTCONTRA CORRENTE
entrada saída x
T
∆T2 ∆T1
Fluido Quente
Fluido Frio
Fluido Quente
∆T1
∆T2 Fluido Frio
saída
entrada
entrada
T entrada
saída
x
CORRENTES PARALELAS
Permutador de Calor Rotativo
(neste caso, em “contra-corrente)
Torres de Arrefecimento
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 75 J. Carlos Lopes da Costa
Determinação da
Transferência de Calor
Podemos definir a seguinte expressão para determinar a transferência de calor num permutador de calor:
____
TAUq ∆=
Coeficiente Global de Transferência
de Calor
No interior de um permutador existem várias resistências térmicas a separar o fluido quente do fluido frio:
∑=
=n
i
itotal RR1
CVfCDCVq RRRR ++=permutadortotal
Atendendo a que ____
ref. sup. TAUq ∆= :
∑=
′′=
′′=
n
i
iRR
U
1
permutadortotal
11
Diferencia de
temperaturas média
efectiva para todo o
permutador
Superfície de
transferência
Coeficiente global de
transferência de calor
Fluido Quente
Resist. de
Condução
RCVq RCDf RCD
Resist.
Convecção no Fluido
Quente
Fluido Frio
Resist. Convecção
no Fluido
Frio
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 76 J. Carlos Lopes da Costa
Permutador de paredes planas:
11 1
q parede f
Ue
h k h
=+ +
Permutador com paredes cilíndricas (tubos):
1
ln1
e
ee
ie
i i e
Ur
rrr
r h k h
= + +
ou 1
ln1
i
ei
i i
i e e
Ur
rr r
h k r h
= + +
Nota: iiiee TAUTAUq ∆=∆=____
É necessário definirmos qual a superfície de transferência: Ae ou Ai e utilizar Ue ou Ui em consonância.
Valores típicos de U:
De: Para: U (W/m2.K) De: Para: U (W/m2.K)
Água:
Álcool 284 – 850 Óleo Óleo 170 - 312
Salmoura 567 – 1135 Fluido Orgânico
Fluído Orgânico
57 – 314
Ar comprimido 57 – 170
Vapor:
Soluções Aquosas
567 – 3400
Álcool condensado 255 – 680 Óleo combustível pesado
57 – 170
Amónia condensada
850 – 1420 Óleo combustível leve
170 – 340
Freon 12 condensado
454 – 850 Gases 28 – 284
Óleo condensado 227 - 567 Água 993 - 3400
Água 850 - 1700
Gasolina 340 - 510
Óleo lubrificante 113 - 340
Solventes Orgânicos
284 - 850
k
he
Ai Ae
re
ri hi
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 77 J. Carlos Lopes da Costa
Factores de Deposição (Fouling Factor)
Os fluidos que circulam num permutador podem:
� Provocar corrosão � Depositar sujidade em suspensão …nas suas paredes
Teremos que considerar a soma de resistências à passagem de calor devidas ao aparecimento destas substâncias nas paredes – Factores de Deposição.
Encontramos em várias publicações sobre permutadores, o valor de resistências
típicas relativas a sujidade e/ou incrustações associadas ao tipo de fluido no permutador:
limposujo
11
UUR f −=′′
[ ]K/Wm2
Estas resistências muitas vezes designam-se por “Fouling Factor”. Valores típicos dos Factores de Deposição: Fluido R’’f (m
2K/W) Água salgada abaixo de 50°C 0.00009 Água salgada acima de 50°C 0.00020 Água tratada de caldeira acima de 50°C 0.00020 Óleo combustível 0.00090 Óleo refrigerante 0.00070 Vapores alcoólicos 0.00009 Vapor 0.00009 Ar industrial 0.00040 Líquido refrigerante 0.00020
\
R”CVq R”CDf R”CD
Nota:
∑=
′′=
n
i
iR
U
1
1
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 78 J. Carlos Lopes da Costa
Diferença Média Logarítmica
de Temperaturas
Na expressão ____
TAUq ∆⋅⋅= , como determinaremos o
valor T∆ ?
È previsível que a temperatura do fluído quente (Tq) e do fluído frio (Tf) varie ao longo dos seus percursos no permutador.
No exemplo mostrado na figura – Permutador de placa plana com
correntes paralelas – à medida que os fluidos trocam calor o ∆T diminui o que faz com que a troca de calor diminua e, por isso diminuam também as variações de temperatura.
Para calcular o T∆ vamos assumir as seguintes aproximações:
• U constante em todo o permutador.
• A troca de calor dá-se apenas entre os dois fluidos – Sistema Adiabático.
• Tf e Tq uniformes para cada secção x.
• cp’s dos fluidos constantes.
Assim, numa secção infinitesimal dx temos:
( )fq TTdAUdq −⋅⋅= (Troca de calor)
e
T
Tqe
Tq
Tf
dq
Tfe dx
dTf
dTq
Tqs
Tfs
∆T2
x
Tqs
Tfs Tfe
Tqe
∆T1
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 79 J. Carlos Lopes da Costa
qqpqffpf dTcmdTcmdq && −==
qcpm
dqdT
&−= ;
ff
fcpm
dqdT
&=
Como : )( fqfq TTddTdT −=−
( ) ( ) dAcmcm
UTTdTT
AaToda
constantes
qpqfpf
fq
T
Tfq
∫∫
+−=−
−
∆
∆
444 3444 21&&
1112
1 ⇒
+−=
∆∆
qpqfpf cmcmUA
T
T
&&
11ln
1
2 (*)
como: sqeq
qpqTT
qcm
−=& e
efsf
qpfTT
qcm
−=&
(*)
( ) ( )q
TTTTUA
T
T efsfsqeq −+−−=
∆
∆
1
2ln
saída entrada
Aumento da energia térmica do fluído frio
Diminuição de energia térmica do fluído quente
⇒ ( ) dqcmcm
TTd
qpqfpf
fq
+−=−
&&
11 ⇒ ( ) ( )[ ]fq
qpqfpf
fq TTUAdcmcm
TTd −
+−=−
&&
11
⇒( )
( ) dAcmcm
UTT
TTd
qpqfpffq
fq
+−=
−
−
&&
11 ; integrando:
Nota:
Índices:
q – Fluido quente
f – Fluido frio
e – Entrada
s – Saída
Nota:
Permutadores de correntes paralelas:
efeq TTT −=∆ 1
sfsq TTT −=∆ 2
(Ver figura da página anterior)
T
Tqe
Tq
Tf
dq
Tfe dx
dTf
dTq
Tqs
Tfs
∆Ts
x
Tqs
Tfs Tfe
Tqe
∆Te
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 80 J. Carlos Lopes da Costa
⇒
∆∆
∆−∆=
1
2
12
lnT
T
TTUAq
⇒
lmTDMLT
TT
TTT ∆≡=
∆∆
∆−∆=∆
1
2
12_____
ln
Chama-se a este valor Diferença Média Logarítmica de
Temperaturas – DMLT
Na bibliografia anglo-saxónica é designada LMTD – Log
Mean Temperature Difference.
Pode–se demonstrar que a DMLT é válido para todos os outros permutadores de uma passagem, i. e., também se aplica a permutadores em contra corrente
T
∆T2
∆T1
x
T
∆T2
∆T1
Correntes
paralelas Contra corrente
x s e
e
e
s s
Nota:
Para permutadores em contra corrente, o
lmT∆ deverá ser
calculado com base nos
seguintes T∆ :
sfeq TTT −=∆ 1
efsq TTT −=∆ 2
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 81 J. Carlos Lopes da Costa
Factores de Correcção da DMLT para
Permutadores de Calor Complexos
A utilização da expressão lmTAUq ∆⋅⋅= é válida para permutadores simples de uma só passagem: permutador de placa plana (correntes paralelas ou contracorrentes) e de tubo duplo (correntes paralelas ou contracorrente).
Mas para permutadores mais complexos (multitubulares - com ou sem diversos passes na carcaça - ou correntes
cruzadas) o cálculo de um T∆ é quase impossível. O procedimento usual é utilizar um factor de correcção F experimental:
lmTAUFq ∆⋅⋅⋅=
Existem diagramas para a determinação de F para as diferentes geometrias de permutadores:
Pemutador de carcaça e tubos: Uma passagem na carcaça, e um número par de passagens nos tubos.
Nota
Importante:
Nestes casos o lmT∆deverá ser calculado como para permutadores em contra corrente.
sfeq TTT −=∆ 1
efsq TTT −=∆ 2
P=(ts-te)/(Te-te)
es
se
tt
TTZ
−
−=
Te
Ts
te
ts
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 82 J. Carlos Lopes da Costa
Pemutador de carcaça e tubos: Duas passagem na carcaça, e um número par de passagens nos tubos.
Permutador de Correntes cruzadas: Um fluido “misturado”.
Permutador de Correntes cruzadas: Ambos os fluidos não “misturados”.
P=(ts-te)/(Te-te)
es
se
tt
TTZ
−−
=
Te
Ts
ts
te
P=(ts-te)/(Te-te)
es
se
tt
TTZ
−−
=
Te
Ts
te ts
P=(ts-te)/(Te-te)
es
se
tt
TTZ
−−
=
Te
Ts
te ts
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 83 J. Carlos Lopes da Costa
Método NTU
Eficiência de um permutador de calor
Em muitas situações, apenas conhecemos: � as temperaturas de entrada dos fluidos (quente e
frio) ou � as temperaturas de entrada e saída de um deles!
Ao aplicarmos um cálculo recorrendo ao conceito DMLT, teremos que arbitrar as restantes temperaturas e caudais. Entramos por isso num processo iterativo.
Exploremos então outro método:
Conceito: Eficiência de um permutador
max)(CalordeTrocaMax.
RealCalordeTroca
q
q
ideal
real=≡ε
� ( ) ( )efsf
C
ffpsqeq
C
qqpreal TTmcTTmcq
fq
−=−=876&
876& (**)
� ( ) ( )efeq
C
mínimop TTmcq −=48476
&
min
max ⇒ ( )efeqmínimo TTCq −=max
( )feqemínimoreal TTCq −⋅= ε
ε – Pode ser cálculado analiticamente ou determinado por expresões empíricas para comfigurações mais complexas.
Nota:
A Máxima Troca de
Calor possivel seria o fluido com a menor capacidade témica (
•
mCp ) baixar da maior temperatura no permutador (Teq) até á menor temperatura do permotador (Tef). Simplificação:
qqpq mcC &∗=
ffpf mcC &∗=
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 84 J. Carlos Lopes da Costa
Exemplo da Determinação
da Expressão de εεεε
Permutador de Correntes Paralelas
( )( )
( )( )
feqe
fefsf
feqe
qsqeq
TTC
TTC
TTC
TTC
−
−=
−
−=
minmin
ε
Se Cq < Cf ⇒ Cmin = Cq ⇒ feqe
qsqe
TT
TT
−
−=ε
Se Cq > Cf ⇒ Cmin = Cf ⇒ feqe
fsfe
TT
TT
−
−=ε
Voltando à equação (*) – pág.79:
+−
=−
−⇒
+−=
−
−fq CC
UA
feqe
fsqs
fqfeqe
fsqse
TT
TT
CCUA
TT
TT11
11ln
Da equação (**) – pág. anterior:
( ) ( )efsffsqeqq TTCTTC −=− ⇒ ( )qsqe
f
q
fefs TTC
CTT −+=
Se Cmin = Cq:
f
q
f
q
q
C
C
C
C
C
UA
+
+
−−
=
1
1exp1
ε
Se Cmin = Cf:
q
f
q
f
f
C
C
C
C
C
UA
+
+
−−
=
1
1exp1
ε
⇒
( )( )1 exp 1
1
NTU C
Cε
− − +=
+
T
Tqe
q
Tfe
Tqs
Tfs
∆T2
x
Tqs
Tfs Tfe
Tqe
∆T1
( ) ( )q
TTTTUA
T
T efsfsqeq −+−−=
∆∆
1
2ln
Nota:
NTU – Número de Unidades de Transferência (de calor.
Adoptando:
minC
UANTU =
min
C
CC =
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015 85 J. Carlos Lopes da Costa
Tipo de Permutador Relações Eficiência εεεε vs. NTU
Ver Gráfico
Correntes
paralelas: um único passe
( )[ ]C
CNTU
+
+−−=
1
1exp1ε ;
( )[ ]C
CNTU
++−
=1
11ln ε Gráfico A
Contracorrente: um único passe
( )[ ]( )[ ]CNTUC
CNTU
−−−−−−
=1exp1
1exp1ε ;
−−
−=
1
1ln
1
1
CCNTU
εε
=−
= 1se1
CNTUε
ε Gráfico B
Tubos e carcaça (um passe na carcaça; 2, 4, 6 etc... passes nos
tubos)
( )
( )( )
1
21
2
21
2
21
2
1 11exp1
1exp112
−
+
+−−
+−+
++= C
CNTU
CNTU
Cε ;
( ) ( )( ) 5.02
15.02
1
1/2;
1
1ln1
C
CE
E
ECNTU
+
+−=
+−
+−=− ε
Gráfico C
Tubos e carcaça (n passes na
carcaça; 2n, 4n, 6n etc... passes nos
tubos)
1
1
1
1
1
1
11
1
1−
−
−
−
−
−
−= C
CCnn
n εε
εε
ε
Tirar ε1 da expressão anterior. Tirar NTU da linha acima, considerando n
CF
CF
F/1
1 1
1;
1
−−
=−−
=ε
εε
Gráfico D para n = 2
Correntes
cruzadas (ambos os fluxos não misturados)
( ) ( )0.22 0.7811 exp exp 1NTU C NTU
Cε = − − −
Gráfico E
Correntes
cruzadas (ambos os fluxos
misturados) ( )
( )( )( )( )[ ]
1
1exp1exp1
−
−
−−+
−−=
CNTU
CNTU
NTU
NTUNTUε
Correntes
cruzadas (fluxo Cmín não
misturado)
( )[ ][ ]{ }NTUCC
−−−−= exp1exp11
ε ;
( )
−+−= CC
NTU ε1ln1
1ln
Gráfico F
(curvas tracejadas)
Correntes
cruzadas (fluxo Cmax não
misturado)
( )( )[ ][ ]
−−
−−= CNTUC
exp11
exp1ε ;
( )[ ]11lnln1
+−−= εCC
NTU
Gráfico F
(curvas sólidas)
Todos os
Permutadores 0
max
min ≅=C
CC
( )NTU−−= exp1ε
PERMUTADORES DE CALOR
Versão 2014/2015
Gráfico A
Gráfico C
Gráfico E
86 J. Carlos Lopes da Costa
Gráfico B
Gráfico D
Gráfico F
J. Carlos Lopes da Costa
Gráfico B
Gráfico D
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 87 J. Carlos Lopes da Costa
Radiação Térmica
Introdução
Neste momento está a ser emitida radiação térmica de toda a matéria que nos rodeia:
� No interior: mobília, paredes, pessoas,...
� No exterior: chão, edifícios, atmosfera, sol,...
A radiação deve-se à emissão de energia por parte da matéria, embora o seu transporte não requeira a existência de matéria. Todas as formas de matéria emitem radiação.
A radiação pode ser vista como a propagação de fotões ou ondas electromagnéticas, sendo:
υλ
C=
λλλλ - Comprimento de onda C - Velocidade da luz no meio de propagação υ - Frequência
Espectro de radiação electromagnética
Capítulo
6 Na maior parte dos sólidos e líquidos a radiação emitida é originária de moléculas que estão dentro de uma distância de 1 mm da superfície exposta. Pode ser considerada um fenómeno superficial Nos gases e meios semitransparentes é um fenómeno volumétrico.
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 1 10 103 104 102
Micro-ondas Infravermelho
Micro-ondas
Visível
U.V.
Raios γ
Raios x
λ [µm] ( ν [Hz] )
.7 .4
Como geralmente a velocidade da luz num meio – C - é considerada contante, a cada comprimnto
de onda
λλλλ corresponde uma
frequência υ . Daí que seja quase sempre indiferente falar de conprimento de onda ou frequência de uma dada emissão.
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 88 J. Carlos Lopes da Costa
Variação espectral e
direccional
Dependência Espectral: A radiação térmica emitida por uma superfície inclui diversos comprimentos de onda. A radiação varia com λ (em magnitude) –
Dependência Direccional: Certas superfícies emitem preferencialmente em certas direcções, criando uma distribuição direccional.
Para quantificar adequadamente a transferência de calor por radiação é necessário tratar os dois efeitos (espectral
e direccional).
No entanto, uma grande parte das superfícies reais é praticamente Difusa, i. e., o seu comportamento face á radiação não depende da sua direcção.
Nesta disciplina apenas iremos abordar situações com superfícies difusas.
DIRECCIONAL ESPECTRAL
HEMISFÉRICA TOTAL
emissão espectral
(índice λ para todas as grandezas espectrais)
emissão total ≡ área sob a curva
λ
Índice’ para as grandezas direccionais [θ,β])
grandeza direccional
β
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 89 J. Carlos Lopes da Costa
Definições fundamentais
Corpo negro e suas leis
O Corpo Negro é um conceito ideal, que serve de padrão, em relação ao qual as propriedades radiativas das superfícies reais são comparadas.
Por definição, as suas propriedades são:
� Absorve toda a radiação que nele incide (qualquer λ e direcção - é difuso).
� A radiação que o Corpo Negro emite depende de λ e T, mas não da direcção (é difuso).
� Para uma dada T e λ, nenhum corpo pode
emitir mais energia que o Corpo
Negro.
Corpo Cinzento:
Semelhante a um corpo negro mas com inferior capacidade de emissão e absorção de radiação (mais próximo de um corpo real)
Situação real que mais se aproxima de um corpo negro: Orifício
Temperaturas Iguais
Corpo Negro Corpo Cinzento
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 90 J. Carlos Lopes da Costa
Lei de Planck
Distribuição espectral do poder emissivo do Corpo
Negro:
• Radiação varia continuamente com λ.
• Para qualquer λ, a radiação emitida aumenta com a temperatura.
• Existe um λ para o qual Ebλ é máximo, que se desloca para λ inferiores quando a temperatura T aumenta.
• Os corpos podem praticamente não emitir em todo o espectro; para T< 500°C não é emitida radiação visível (só Infra-Vermelhos)
• Lei de Wien: Valor de λ para Ebλ máxima.
Ebλ é máximo quando λmax.T= 2897,6 µm.K.
Para uma dada
temperatura T
λ
Ebλ
−==
1
..2'.
.5
1
2T
Cbb
e
CIE
λλλ
λ
ππ
C1 e C2 constantes.
λ
Ebλ Linha de Ebλλλλ máx.
T Ambiente
Radiação Visível
T
T =5800K (Sup. Sol)
Nota:
E- Poder emissivo. Traduz-se em potência calorífica
emitida por unidade
de área (W/m2). Noutro contexto poderia expressar-se por q ′′ . Ebλλλλ - Poder emissivo de um corpo negro (b – black) para um determinado comp. de onda (λ).
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 91 J. Carlos Lopes da Costa
Lei de Stephan-Boltzmann
Poder emissivo total do Corpo Negro (integrarção da lei de Planck)
∫∞
==0
4TdEE bb σλλ
σ - constante de Stephan-Boltzmann
σ= 5,67 × 10-8 W/(m.K4)
Propriedades Radiativas das
Superfícies Reais
Emissividade
Nenhuma superfície real pode emitir mais radiação que um Corpo Negro, à mesma temperatura T.
A Emissividade - εεεε - traduz a fração de energia emitida por um corpo real (ou de um corpo cinzento) relativamente a um
corpo negro (0<εεεε<1).
40
0
0
T
dE
dE
dE
E
E b
b
b
b σ
λε
λ
λεε
λλ
λ
λλ ∫
∫
∫∞
∞
∞
===
Variação espectral
Eλ
Corpo Real (T)
Corpo Negro (T)
λ
Corpo Cinzento (T)
Nota:
Emisividade
hemisférica e total (para todas as direcções – hemisférica – e para todas os λ – total)
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 92 J. Carlos Lopes da Costa
Nota: Vimos a definição de emissividade
hemisférica e total para uma superfície cinzenta e difusa. No entanto, a emissividade pode variar com vários factores:
• Direcção
• Comprimento de Onda
• Temperatura
• Natureza do sólido
• Estado superficial
.2 .15 .1 .05 0
.4 .2 0 1 .8 .6
Metais não polidos
Metais oxidados Óxidos, cerâmica
Carbono, grafites Minerais, vidro
Vegetação,água, pele Tintas e acabam. especiais
θ εθ
n
90° 0 45°
1
εθ
Não condutor
Condutor
εn
Metais muito polidos
Metais
Metais polidos
ελ,n εn
1
.8
.6
.4
.2
0 0.6 1 2
1
.8
.6
.4
.2
0
.1 0.2 0.4 20 40 100 4 6 10 300 700 1100 1500 1900 2300 2700
T (K) λ (µm)
tungsténio
aço
óxido de alumínio
aço oxidado
óxido de
alumínio
1400 K
aço oxidado
1200 K
aço 800 K
tungsténio 1400 K
Fonte: Incropera, F.P. e D.P. DeWitt: Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa; 4ª Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998.
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 93 J. Carlos Lopes da Costa
Coeficientes de Absorção, Reflexão
e Transmissão
Comportamento de um meio semi-transparente à irradiação:
Gtrans
Gref
Meio semi-transparente
G
Gabs
G = G ref + G abs + G trans
G = ρ G + α G + τ G ⇒ α + ρ + τ =1
Tal como a emissividade, todos estes coeficientes (ρ, α e τ ) são função de:
• Comprimento de Onda da Radição - λ
• Direcção da radiação incidente
• Estado superficial
• …
Iremos mais uma vez lidar com valores hemisfericos e totais.
↑ coef.
reflexão
↑ coef. transmissão
↑ coef. absorção
Nota:
G– Irradiação. É a energia radiante (por unidade de tempo), ou radiação, que incide numa dada
superfície por
unidade de àrea (W/m2). Noutro contexto poderia expressar-se por q ′′ .
As características de absorção e reflexão das superfícies são responsáveis pelas cores dos objectos que nos rodeiam – reflexão selectiva da
porção visível da
irradiação: um objecto é vermelho porque reflete apenas esses λ, dentro da gama dos λvisiveis.
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 94 J. Carlos Lopes da Costa
� Coeficiente de Absorção – αααα
O valor hemisférico total é:
∫
∫∞
∞
==
0
0
λ
λαα
λ
λλ
dG
dG
G
Gabs
� Coeficiente de Reflexão – ρρρρ
∫
∫∞
∞
==
0
0
λ
λρρ
λ
λλ
dG
dG
G
Grefl
Podemos considerar dois tipos ideais de reflexão:
Superfícies rugosas (aprox. válida para a maioria
dos casos)
Difusa: Especular:
intensidade rad.reflect. uniforme
rad. refl.
Superfícies rugosas (aprox. válida para a maioria
dos casos)
Superfícies polidas (espelhos)
rad. inc.
rad. inc.
θ1 = θ2
Para superfícies opacas (ττττ = 0): ρ = 1 - α
Note-se que a reflexão não altera o(s) comprimentos de onda da irradiação.
� Coeficiente de Transmissão – ττττ
Materiais translúcidos (plásticos, vidros, películas de
água) têm τ ≠ 0.
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 95 J. Carlos Lopes da Costa
∫
∫∞
∞
==
0
0
λ
λττ
λ
λλ
dG
dG
G
Gtrans
ρατ −−= 1
Um material pode ser transparente em certos comprimentos de onda e opacos noutros.
Exemplo: Vidro
T Baixa => λλλλ Longo
T Elevada => λλλλ Curto
Vidro opaco à
radiação com λλλλ longo
Vidro Transparente à
radiação com λλλλ curto
T Baixa => λ λ λ λ Longo
2
1
1 3
τn
λ (µm) .4 .7
Visível Efeito de estufa Infra-Vermelhos
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 96 J. Carlos Lopes da Costa
Lei de Kirchhoff - Relação Emissão/Absorção
Verifica-se sempre que:
Lei de Kirchhoff → α’λ=ε’λ
Corpo difuso �αλ=ελ
Corpo cinzento �α’=ε’
Corpo cinzento e difuso �αααα = εεεε Muitas das superfícies comuns são (aproximadamente) cinzentas e difusas.
Mas nem sempre é assim…
Na prática, muitas superfícies têm o objectivo de funcionar com α≠ε. Exemplos:
� Placa de captação da radiação solar selectiva:
� A tinta branca tem comportamento oposto:
baixo αααα para λ<, e alta εεεε para λ>.
0.1
0.8
λ
αλ= ελ
3 µm
placa
Rad. I.V. (λ > 3 µm)
ε = 0.1
E
G
Rad. solar (λ > 3 µm)
α = 0.8 Comprtamento da
superfície
Uma dada Direcção´
Um dado Comp. de
Onda λλλλ
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 97 J. Carlos Lopes da Costa
Trocas de Energia por
Radiação entre Superfícies de
um Volume Fechado
Até agora ocupámo-nos de processos radiativos em superfícies isoladas. É altura de considerar o que se passa quando há várias superfícies (duas ou +).
As trocas por radiação entre superfícies, dependem bastante da geometria e das suas orientações, além das suas propriedades e temperaturas.
Hipóteses Simplificativas
� As superfícies estão separadas por um meio não
participante, ou seja, um meio que não interfere (absorvendo ou redirecionando) na energia trocada entre elas.
� Cada superfície é isotérmica.
� A energia é reflectida difusamente (reflexão difusa), e a emissão e irradiação são uniformes.
� As superfícies são opacas, cinzentas e difusas.
� Regime permanente.
O vácuo e muitos gases (ar para volumes pouco extensos) são meios não participantes..
Vol. fechado
Superf. j, Aj
Tj
εj, ρj
Superf. k, Ak
Tk
εk, ρk, αk = εk
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 98 J. Carlos Lopes da Costa
q ′′
q ′′
G J
qGJ ′′=−
G
Gα
Gρ E
J Radiosidade
Emit. + Reflect.
k
Radiosidade Radiosidade
G - irradiação – fluxo de energia que chega à superfície.
J - radiosidade – fluxo de energia que sai da superfície.
321321reflectidoemitido
4kkkkk GTJ ρσε +=
A energia incidente em k, kq ′′ , é devida à radiosidade das superfícies j, parte da qual chega a k.
kjF − é a fracção da radiação saída de j que chega a k,
chamada Factor de forma entre as 2 superfícies.
Assim:
∑=
−=n
j
kjjjkk FAJGA1
para n superfícies. do volume fechado
Assim:
∑=
−+=n
j
kj
k
j
jkkkk FA
AJTJ
1
4 ρσε
Como calcular kjF − ?
j2 ... j1
k
kG kJ
kjjj FAJ −
jj AJ
j
k
Note-se que o somatório pode incluir a própria superfície k se esta enviar radiação para si própria (superfície côncava)
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 99 J. Carlos Lopes da Costa
Cálculo do Factor de
Forma
O factor de forma é puramente geométrico (só depende da geometria e posição relativa das superfícies)
• Superfícies elementares:
}
{
''cos.cos
'
'coscos
20
0'
'
0
dARdAi
d
R
AddAi
dq
dqdF
e
refli
emi
dA
dAdAdAdA π
ββπ
ωβ
β=
′′
==
+
−−
48476
• 1 superfície elementar e 1 finita:
''cos.cos
'2' dA
RdF
A
AdA ∫=− πββ
• 2 superfícies finitas:
dAdAR
FA A
AA ''cos.cos
'2' ∫ ∫=− π
ββ
nA
β
NA’
β’ dA’
R
dA
dA’
dA
dω
A’
dA β, R e β’ variáveis
A’
A R, β’ e β variáveis
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 100 J. Carlos Lopes da Costa
Factores de forma – geometrias
elementares
Fonte: Incropera, F.P. e D.P. DeWitt: Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa; 4ª Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998.
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 101 J. Carlos Lopes da Costa
Fonte: Incropera, F.P. e D.P. DeWitt: Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa; 4ª Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998.
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 102 J. Carlos Lopes da Costa
Fonte: Incropera, F.P. e D.P. DeWitt: Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa; 4ª Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998.
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 103 J. Carlos Lopes da Costa
Relação de Reciprocidade
Considere-se 2 corpos negros, em equilíbrio térmico (mesma T).
Energia que 1 envia para 2: 2114
21 −− = FATq σ
Energia que 2 envia para 1: 1224
12 −− = FATq σ
Em equilíbrio 1221 −− = qq (se não T alterava-se):
→ 122211 −− = FAFA
Relação de Reciprocidade ou 212
112 −− = F
A
AF
Balanços Energéticos
3121)32(1 −−+− += FFF
Para um volume fechado constituído por n superfícies:
∑=
− =n
j
jF1
1 1
Método das Diagonais de Hottel
È aplicável a 2 superfícies em que uma dimensão é infinita.
2
____________
211
−−
+=−
BDACBCAD
FA
As relações vistas atrás, justamente com o conhecimento de factores de forma para geometrias simples, permitem determinar jiF − na maior parte dos casos.
Como os factores de forma são meramente geométricos, esta relação mantém-se mesmo noutras condições (corpos não negros, temperaturas diferentes).
1
3
2
C
A B
D 2
1
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 104 J. Carlos Lopes da Costa
Nos outros há que fazer a integração... (tabelas, apontamentos,...)
Voltado á Equação da Radiosidade:
∑=
−
−
+=n
j
F
kj
k
j
jkkkk
jk
FA
AJTJ
1
4
43421
ρσε
Pode ser simplificada com a relação de reciprocidade
∑=
−+=n
j
jkjkkkk FJTJ1
4 ρσε
Como: kk ερ −= 1 :
∑=
−−+=n
j
jkjkkkk FJTJ1
4 )1( εσε
j1
k
j2
kJ
j3
Nota 1:
Relação de Reciprocidade:
212
112 −− = F
A
AF
Nota 2:
Superfícies opacas �
10 =+⇒= kkk ρατ
kk αρ −=⇒ 1
Superfícies cinzentas e difusas �
kkkk ερεα −=⇒= 1
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 105 J. Carlos Lopes da Costa
Para um volume fechado com n superfícies, o problema pode ser resolvido com um sistema de 2n equações. Há a considerar dois tipos de problemas (em cada superfície):
- Sabe-se Tk; pretende-se kq
- Sabe-se kq ; pretende-se Tk
• Exemplo de Cálculo:
A superfície 1 perde um fluxo constante 1q (nas trocas com o volume fechado) e as restantes estão a T2, T3 e T4. Pretende-se calcular T1 e a potência calorífica recebida por 2, 3 e 4.
� Cálculo das radiosidades:
1
14143132121
1
)4(A
qFJFJFJJ
G
+++= −−− 4444 34444 21
[ ]4444 34444 21
2
42432312124
222
G
FJFJFJTJ −−− +++= ρσε
[ ]444444 3444444 21
3
43433323213134
333
G
FJFJFJFJTJ −−−− ++++= ρσε ( )0:Nota 33 ≠−F
[ ]34324214144
444 −−− +++= FJFJFJTJ ρσε
� Depois de resolvido o sistema, ficam encontradas as radiosidades iJ .
T1 é calculada pela equação radiosidade de 1.
432 e, qqq são calculados pelas equações de balanço de 2,3 e 4.
Para cada uma superfície há 1 equação de radiosidade e 1 de balanço.
A B
C D
3
2 4
1 1q
Equação de Balanço
na superfície 1.
Equação da
Radiosidade na
superfície 2.
Equação da
Radiosidade na
superfície 3.
Equação da
Radiosidade na
superfície 4.
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 106 J. Carlos Lopes da Costa
Volume Fechado com duas
Superfícies
Caso particular e mais simples das trocas entre n superfícies.
Havendo só 2 superfícies:
2121 −=+=− qqq
A resolução das equações de radiosidades e balanços, sabendo T1e T2, conduz a:
( )
−++−
−=
−
−
111
11
22
1
211
42
411
21
εε
σ
A
A
F
TTAq
Exemplos:
- Planos paralelos e infinitos:
( )1
11
21
42
41
21
−+
−=−
εε
σ TTAq
- Objecto pequeno rodeado por superfície muito maior:
( )42
411121 TTAq −=− εσ
2
21−q
1
1q
2q
Muitos casos, na prática, se podem reduzir a 2 superfícies.
1
2
A1 = A2; F1-2 = 1
1;0 212
1 =≈ −FA
A
2
1
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 107 J. Carlos Lopes da Costa
Analogia Reo-eléctrica para
Radiação Térmica
Tal como foi definido anteriormente, a resistência térmica é tal que:
R
Tq
∆=
T1 q
T2
∆T
R
Se aplicarmos esta definição ao caso de trocas por radiação entre 2 superfícies de 1 volume fechado:
Com, ( )
−++−
−=
−
−
111
11
22
1
211
42
411
21
εε
σ
A
A
F
TTAq
Vem: ( )( )212
21
11
22
1
211
21
21
111
11
TTTTA
A
A
F
q
TTRrad ++
−++−
=−
= −
− σεε
(desenvolvendo o termo ( )42
41 TT − ).
Embora por vezes usada, esta definição de resistência de radiação tem um inconveniente:
Rrad = f (T1, T2)
…o que não acontece com as resistências de condução
e convecção (kA
e e hA
1 , respectivamente).
É possível uma definição diferente de resistência de radiação.
� A equação de balanço para uma superfície k:
A primeira tentativa de definição de resistência térmica de radiação é, logicamente, baseada em tal definição: Circuitos com
temperaturas nos nós
(superfícies).
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 108 J. Carlos Lopes da Costa
( )4
1 kk
k
kk
k TJA
q σεε
−−
=
pode escrever-se como
kk
k
kkk
A
TJq
εεσ
−−
=1
4
kk
k
AR
εε−
=1
- Resistência radiativa da superfície k.
Se kq for positivo a superfície recebe radiação.
� Para determinar a radiosidade, kJ , que constitui um dos nós:
({
){
k
n
J
jkj
n
J
jk JF
k
JF
kkk JGAq
∑
−
∑
=
=−
=−
00
( ) ∑∑=
−
=−
−=−=
n
j
jkk
kjn
j
kjjkkk
FA
JJJJFAJ
111
jkk FAR
−
=1
- Resistência espacial ou geométrica.
Igualando as expressões de balanço:
∑=
−
−=
−− n
j
jkk
kj
kk
k
kk
FA
JJ
A
TJ
1
4
11
εεσ
= R
R’s espaciais R superficial
potencial
kk
k
A εε−1
4k
Tσ kJ
kq
A radiosidade depende das trocas de radiação com outras superfícies.
= R
potencial
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 109 J. Carlos Lopes da Costa
Volume Fechado com Várias
Superfícies
� Vantagem desta metodologia: o facto das resistências não dependerem das
Temperaturas.
� Desvantagem desta metodologia: contém nos nós radiosidades em vez de temperaturas, o que torna impossível a sua utilização em esquemas em que estejam presentes outros
modos de transporte – condução e
convecção – (em que há Temperaturas nos nós).
kq −2
4k
Tσ kJ
1J
nJ
2J
knq −
kq −1
kq
Nó que corresponde á superfície k
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 110 J. Carlos Lopes da Costa
2
1
3 3
Exemplo de Aplicação – Analogia
Reo-Eléctrica
Forno em que 1 é a superfície aquecedora e se encontra à temperatura T1e 3 (paredes laterais) é uma superfície muito bem isolada. Calcular o fluxo recebido pela superfície 2,
)( 12 qq = .
322311
323121211
322311211
111
1111
−−
−−−
−−− ++
=⇒
++=
FAFA
FFAAFA
R
FAFAFA
Req
eq
( )
11
1
322311
323121211
22
2
42
41
2
111
εεε
εσ
AFAFA
FFAAFA
A
TTq
−+
++
+−
−=
−−
−−−
1q
41Tσ
311
1
−FA
433 TJ σ= (Sup. Re-radiante)
322
1
−FA
11
11
εε
A
−
22
21
εε
A
−
42Tσ
2q
2J
1J
211
1
−FA
Isolamento
03 =q
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 111 J. Carlos Lopes da Costa
Superfícies Re-Radiantes
São superfícies muito bem isoladas, podendo ser consideradas adiabáticas, do lado exterior de um volume fechado em que se troca radiação:
0ou0 ≈=q
Recorrendo à equação geral de balanço:
[ ] 01
4 =−−
= kk
k
kkk TJ
Aq σ
εε
vê-se que sendo o balanço nulo, terá de ser:
4kk TJ σ=
Ou seja, embora não sendo, a sua radiosidade é igual à de um corpo negro.
Num volume fechado, a temperatura de equilíbrio de uma superfície re-radiante é determinada pela sua interacção com as outras superfícies, e é independente da sua emissividade.
Exemplos de superfícies re-radiantes:
As paralelas laterais de um forno (se devidamente isoladas).
Em muitas aplicações práticas, algumas superfícies podem ser consideradas bem isoladas, e portanto, re-
radiantes.
Resistência
RADIAÇÃO
Versão 2014/2015 112 J. Carlos Lopes da Costa
Escudos de radiação São construídos com materiais de baixa emissividade ≡
alto coeficiente de reflexão, e usados para diminuir o balanço radiativo entre 2 superfícies.
O material mais usado é a folha de alumínio.
• Exemplos:
Sem escudo: Com escudo:
O uso de escudos em sensores de temperatura para medição de temperatura em gases, permite obter maior precisão na medida (minimizando o efeito da radiação para paredes).
2
T = 260°C ε = 0,8
1 T = 815ºC
ε = 0,6
2mkW
21 5,39=′′−q
2
T = 260°C ε = 0,8
1 T = 815ºC
ε = 0,6
2mkW
21 7=′′−q
ε = 0,2
termopar
Ar Tar Tar > Tp Tp
Tt
Escudo
Nota:
Superfícies Opacas, Cinzentas e Difusas: τ = 0 =>α + ρ = 1 e ε = α Se ε baixo =>ρ elevado
Versão 2014/2015 113 J. Carlos Lopes da Costa