قسم االتصاالت –المعهد العالي للعلوم التطبيقية والتكنولوجيا

هندسة كثافة المرور الهاتفي

TeleTraffic Engineering حلقة بحث لمقرر االتصاالت النقالة

تقديم: محمد الشريف

إشراف: د.أيمن السواح

28/03/2013

تمهيد:

وبرزت حاجة المشغلين إلى تخفيض الضغط على شبكة االتصال شهد العالم منذ نهاية القرن العشرين توسعاً متنامياً ومستمراً في أنظمة االتصال النقالة

في مجال افة المروركثتطبيق نظرية هندسة على عاتقها teletraffic engineering الهاتفي كثافة المرورهندسة . تأخذكعامل هام لتحسين جودة الخدمة

والنماذج العملية التي بين أيديهم لتخطيط queuing theoryونظرية األرتال اإلحصاءب معرفتهم حيث يوظف العاملون في هذا المجالاالتصاالت.

شبكات االتصال كشبكات االتصال الخليوية.

تجاربه على مشكلة كثرة Agner Krarup Erlangركي إيرلنج م حين أجرى المهندس الدانم9191إلى عام نظرية كثافة المرورترجع أصول و

التليفون على تنفيذ الطلبات الواردة بنفس السرعة التي تصل بها، وقد تالمكالمات التليفونية وتعرض طالبو هذه المكالمات إلى التأخير لعدم قدرة عامال

م تكرر البحث في تلك المشكلة ولكن بالنسبة ألكثر من عاملة 9191الحين. وفي عام المشكلة بحساب التأخير بالنسبة لعاملة واحدة في ذلك جعالج إيرلن

نطاق واسع واحدة، ونشأت بذلك نظرية صفوف االنتظار وامتد استخدامها لحل العديد من المشكالت اإلدارية المشابهة. وتستخدم اآلن هذه النظرية على

ية لخدمة االدارة في اتخاذ أنسب القرارات حول هذه النوعية من المشكالت.في جميع المنشآت اإلنتاجية والخدمية كوسيلة رياض

مشكالت صفوف االنتظار في حالتين:وبوجه عام تنشأ

إذا كان معدل وصول العمالء طالبي الخدمة سريعاَ بدرجة تفوق معدل أداء الخدمة من جانب من يعمل بوحدة تأدية الخدمة. .9

من معدل وصول العمالء، بمعنى وجود وحدات لتأدية الخدمة عاطلة بدون عمل.إذا كان معدل أداء الخدمة أسرع .2

ة بحيث هدف النظرية هو عالج المشكلة بشقيها للوصول إلى الموقف األمثل الذي يحقق خفضاَ في وقت االنتظار لكل من العمالء ووحدات تأدية الخدم

.تصبح مدة االنتظار لكالهما معاَ أقل ما يمكن

االزدحام مقداراً قابالً للقياس من خالل واحدات فيزيائية ونماذج رياضية واشتقاق مفهوم teletraffic theoryالهاتفي المروركثافة نظرية جعلوت

يةسومكان تحقق الهاتفي هي تصميم أنظمة بتكاليف مخفضة قدر اإل المرورو سعة النظام. وبالتالي فإن مهمة نظرية GoSالخدمة سويةبين ماالعالقات

الهاتفي المرورزدحام المستقبلية وإمكانيات النظام. ليس هذا فحسب فإن من مهام هندسة اإل متطلبات عتماد علىالنظام وذلك باإل على مفروضةخدمة

مع حاالت الطوارئ العاجلة الواجب اتباعها للتعامل التدابيرتحديد و ةالخدمة المطلوب سويةاألساليب للتحكم بنظام االتصال بحيث يحافظ على تحديد

:الناتجة عن االزدحام الكثيف في النظام أو عند حدوث أخطاء فنية. وهذا يتطلب

ثافة االزدحام أساليب للتنبؤ بك

االستيعابية أساليب لحساب إمكانيات النظام

معايير كمية لتحديد مستوى الخدمةومواصفات

بعدد المكالمات على الشبكة وهذا العدد يختلف حسب لحظات بدء وانتهاء المكالمات. وعلى التي تتمثل observationيبنى النموذج على المشاهدات

ينتج عنها نموذج متوقع لتغيرات االزدحام الهاتفي على مدار اليوم، إال أنه من المستحيل توقع الرغم من ذلك فإن هناك عادات مشتركة لدى المستخدمين

الهاتفي كثافة المروريبدو من الطبيعي أن نفصل و .ك نلجأ إلى استخدام أساليب إحصائية لتوصيف حالة الشبكةلحظة طلب االتصال أو مدة مكالمة. ولذل

إلى سيرورتين عشوائيتين:

طلب االتصال لحظاتسيرورةarrival times

سيرورة مدة المكالمةholding times

وبالتالي تتبع لحظات طلب االتصال ن مدة المكالمة مستقلة عن زمن طلب االتصال. نفترض دائما أن هاتين السيرورتين مستقلتان عن بعضهما بمعنى أ

أهم المصطلحات المستخدمة في مجال كثافة (1) يبين الشكلتوزع احتمالي مستقل عن التوزع االحتمالي الذي تتبعه األزمنة التي تستغرقها المكالمات.

المرور الهاتفي:

(9الشكل )

دور الفعل بين المشتركين:طريقة توليد كثافة المرور ور

non-available غير متاح أو available، إما أن يكون المشترك متاح على الشبكة databaseتخزن المعلومات حول المشتركين ضمن قاعدة معطيات

. عندما يشغل المشترك هاتفه activeمتصالً أو أن يكون Idleوذلك فيما إذا كان هاتفه مشغال أم ال. وفي حال كان المشترك متاحاً فهو إما أن يكون خامالً

وهي قناة راديوية تستخدمها المحطة القاعدية للتحكم أما بقية القنوات فهي قنوات المرور Control Channelفإنه يرتبط بشكل تلقائي مع قناة تحكم

Traffic Channelsتستخدم كذلك في طور إنشاء االتصال ليتم إحالة المشترك . تستخدم قناة التحكم للتعرف على المشترك وتسجيل دخوله إلى الشبكة و

من قناة التحكم إلى أحد قنوات المرور.

إلى Aفإنه قد ينتج عن ذلك إما مكالمة ناجحة أو محاولة اتصال فاشلة، في الحالة األخيرة قد يلجأ المشترك B يريد االتصال بالمشترك Aإذا كان المشترك

أن نجاح محاولة إنشاء المكالمة يتعلق بعدة (2)ذا سوف يولد سلسلة من محاوالت االتصال التي قد تكون فاشلة. يبين الشكل معاودة محاولة االتصال وه

، ويمكن أن تتعرض محاولة االتصال إلى خطأ فني بشبكة Peباحتمال Aاحتماالت أخرى فيمكن أن تفشل المحاولة بسبب وجود خطأ في جهة المتصل

فإنها تكون أمام ثالث حاالت: األولى أن B، وفي حال وصلت محاولة االتصال إلى وجهتها Psاتج عن احتقان شبكة االتصال باحتمال االتصال أو خطأ ن

واحتمال حدوث Cمشغول باتصال آخر مع مشترك آخر B، والثانية أن يكون المشترك Pnالرد على المكالمة واحتمال هذه الحالة هو Bيرفض المشترك

وفي هذه الحالة فقط تكون محاولة االتصال ناجحة واحتمالها Aعلى محاولة االتصال القادمة من المشترك B، والثالثة أن يرد المشترك Pbالة هو هذه الح

.Paهو

:Dو Iمثالين عن االحتماالت اإلحصائية لمنطقتين (9)يبين الجدول

ومن الشكل السابق نستنتج العالقات:

.Dفي المنطقة %20و Iفي المنطقة %60هو P{B-answer}رقام الموجودة في الجدول السابق نجد أن احتمال نجاح محاولة االتصال باستخدام األ

(2الشكل )

(9الجدول )

تعاريف ومفاهيم في كثافة المرور الهاتفي:كالمتوسط المرورإلحصائية لكثافة معامالت االمحجوزة في لحظة زمنية معينة. ويمكن حساب ال المواردعدد هي Traffic intensity المروركثافة

mean والتشتتvariance خالل مدة محددة من الزمنT خالل زمن المرور. فمثال يمكن حساب متوسط كثافةT :من العالقة

:(3)كما هو موضح في الشكل tعدد الموارد المحجوزة في اللحظة هي كثافة المرور اللحظية أي n(t)حيث

تم اعتماد هذا اإلسم كواحدة لقياس كثافة .Eبشكل عددي ويرمز لها بـ في أنظمة االتصال المرورر عن كثافة يللتعب Erlangلنغ يرواحدة اإل ستخدمت

في االتصاالت. هذه المرورالذي يعتبر مؤسس نظرية A. K. Erlang (1878-1929 )م نسبًة إلى العالم الرياضياتي الدنماركي ايرلنغ 1946عام المرور

ويعبر عنه عادة بااليرلنغ الساعي المروربحجم Tخالل زمن ةاإلجمالي المرور كثافة سمىت. وdimensionlessدة ليست ذات أبعاد فيزيائية الواح

Erlang-hour(Eh) يدلهم . إن الهدف من واحدة االيرلنغ هو مساعدة مصممي شبكات االتصال الهاتفي على فهم نموذج االزدحام في شبكاتهم الهاتفية الذي

على مدى كفاية الموارد على تغطية هذا االزدحام.

نظام االتصال وال ضمن قنوات المحملةأي هي كثافة المرور تحددها سعة النظام(: هي كثافة المرور التي Carried Traffic) AC المحملةكثافة المرور

. ويمكن للقناة الواحدة أن تحمل إيرلنغ واحد على األكثر.أن تتجاوز عدد القنوات التي يملكها النظامالمتاحة يمكن لكثافة المرور

المقدمة من قبل المشتركين اللحظية كثافة المرور و يعبر عنمفهوم وههذا التستخدم النماذج الرياضية :A (offered traffic)كثافة المرور المقدمة

كثافة المرور ، وبالتالي النهائياً في حال كان عدد القنوات في لحظة معينة سريالتي ت عدد المكالماتأي أنها بغض النظر عن السعة المرورية للنظام.

بل المشتركين في واحدة عدد المكالمات المقدمة من ق معدلوهو λ من خالل المعاملين:ن قياسه ولكن يمكن فقط تقديره هو مقدار نظري اليمكالمقدمة

.متوسط مدة المكالمة sالزمن والمعامل

وتوضح هذه العالقة أن واحدة كثافة المرور عديمة البعد. ومن الجدير بالذكر أن كثافة المرور المقدمة هو = sλ A.: هيإن كثافة المرور المقدمة وبالتالي ف

كثافة المرور فإن s=3 minutesومتوسط مدة المكالمة call/minute=λ 5على سبيل المثال إذا كانت كثافة المكالمات مقدار مستقل عن النظام الفعلي.

.Erlang-hours 120هو ساعات 8. وحجم المرور المقدم خالل 15Erlangالمقدمة تعادل

Ac=A/n وكثافة المرور المقدمة إلى القناة Au=A/Uوكثافة المرور المقدمة من قبل المستخدم Aيميز في بعض المراجع بين كثافة المرور المقدمة الكلية

عدد القنوات التي تمثل سعة النظام. nظام و عدد المستخدمين في الن Uحيث

: هي الفرق بين كثافة المرور المقدمة وكثافة المرور المحملة وهي تمثل عدد المكالمات AL (Lost or rejected traffic) الضائعةكثافة المرور

يادة السعة المرورية للنظام.المرفوضة بسبب انشغال كافة قنوات النظام، ويمكن تقليص كثافة المرور المرفوضة من خالل ز

ثافة المرور إن كثافة المرور المقدمة هو معامل نظري يستخدم فقط في النماذج الرياضية وونماذج المحاكاة والمعامل الذي يمكن قياسه في الواقع هو ك

المحملة التي تتعلق بخصائص نظام االتصال المستخدم.

ال يتم الحديث عن مدة الخدمة ألنه الوجود لمفهوم المكالمة في هذه data transmission systemsطيات ومن الجدير بالذكر أنه في أنظمة تبادل المع

والتي تمثل سرعة التراسل وتقدر φمقدرة بالبايت أو البت، وسعة النظام sاألنظمة وإنما يكون التركيز حول بارامترات أخرى كحجم المعطيات المرسلة

وتقدر النتيجة بالثانية. فإذا كان متوسط عدد التراسالت في /φ s. بالتالي فإن مدة الخدمة لمثل هذه األنظمة هو النسبة bits/secبواحدة البت في الثانية

φ s/.λ =ϱفإن كثافة المرور المحملة هي: λالثانية هو

(3الشكل )

TCBH (time consistent busy hour)الوسطي إن كثافة المرور العظمى ال تحدث في نفس التوقيت في كل يوم لذلك نستخدم مفهوم ساعة الذروة

أعلى من وهي الساعة من النهار التي تكون فيها كثافة المرور عظمى مأخوذة كمعدل خالل فترة طويلة. في بعض األيام قد تكون كثافة المرور العظمى

ة الذروة هي األعلى.كثافة المرور في ساعة الذروة ولكن كمعدل على مدار عدة أيام تكون كثافة المرور في ساع

اعتبار أن كثافة المرور خالل يوم ما تساوي إلى ثمانية أضعاف كثافة المرور في ساعة الذروة لهذا اليوم. عملياً من القواعد التقريبية المفيدة والمستخدمة

ويعرف خارج ساعة الذروة.األسعار تخفيض ب لينقيام بعض المشغ بمعنى أن ثلث سعة النظام الهاتفي فقط تستخدم خارج ساعة الذروة وهذا هو السبب في

بأنه احتمال أن يكون المشترك قادراً على االتصال في ساعة الذروة. GoSمفهوم سوية الخدمة

:واالحتقان مفهوم رفض المكالمة

من المشتركين %8-5ل بحيث تستوعب ال تصمم أنظمة االتصال بحيث يمكن لجميع المشتركين االتصال في نفس الوقت. وبشكل عام تصمم أنظمة االتصا

تشارك بها إلجراء المكالمات في نفس الوقت ضمن ساعة الذروة. ينبغي أن يشعر المشترك أنه غير مقيد في استخدام موارد نظام االتصال حتى ولو كان ي

إنه من الممكن أال يتمكن أحد المشتركين من إنشاء إن معدات وموارد نظام االتصال تكون محدودة ألسباب اقتصادية، ولذلك ف مع العديد من المشتركين.

:حسب طريقة تعاملها مع المكالمات المرفوضة وهي الهاتفية إعادة المحاولة حتى يتم قبوله وبالتالي نميز نوعين من األنظمةالمكالمة وإنما عليه االنتظار أو

ايرلنغ. الفقدأو أنظمة Erlang-Bاولة االتصال وتسمى مثل أنظمة النموذج وعندها يقوم المشترك بإعادة محكلياً المرفوض تتجاهل االتصالأنظمة .9

تأخير ايرلنغ.الأنظمة أو Erlang-Cريثما يخرج النظام من حالة االحتقان تسمى بأنظمة النموذج أنظمة تضع االتصال المرفوض على الئحة االنتظار .2

بثالث طرق: االحتقان. يعبر عن احتقانشاء أي مكالمة إضافية نقول أن النظام في حالة عند انشغال نظام االتصال بشكل تام بحيث اليكون قادر على إن

Call congestion (B) شبكة االتصال. احتقانعدد محاوالت إنشاء االتصال التي يتم رفضها بسبب وهو

Time congestion (E) تقاناح: وهو المدة الزمنية التي يكون فيها النظام في حالة االحتقانزمن.

Traffic congestion (C) وهو الجزء من كثافة المرور المقدمة الغير محملة على الشبكة.االحتقانكثافة :

:Erlang-B Model بيايرلنغ نموذج

:(4)واالسترتيجية و كثافة المرور المبينة في الشكل Structureعلى النموذج الموصف بثالث عناصر هي البنية بيايرلنغ تقوم أنظمة

I. البنيةStructure أن النظام مؤلف من ايرلنغ اعتبر: حيثرn حصص ترددية( قناة متماثلةtrunks حصص زمنية ،slotsمخدمات ، وservers )

.التي تعمل مع بعضها على التوازي

II. االسترتيجيةStrategy: لديه على األقل قناة واحدة فارغة، حيث أن كل مكالمة تحتاج إلى كان يقبل النظام تخديم الزبون القادم )طلب المكالمة( إذا

وعندها تكون جميع محاوالت Congestedمحتقن نقول أن النظام وجميع قنوات النظام ممتلئة يكون النظام مشغوال إذا كانتقناة واحدة فقط.

وكانت إحدى إذا قام المشترك بإعادة المحاولة م قبولها الحقامحاوالت االتصال المرفوضة يمكن أن يت. blocked مرفوضة )محجوبة(االتصال

. هناك Erlang's Loss Model. هذه االسترتيجية مازالت مطبقة منذ سنين في أنظمة االتصال وتسمى بنموذج ضياع ايرلنغ قنوات النظام فارغة

ثالث طرق للبحث عن القناة الفارغة:

التصيد العشوائيRandom hunting : ختيار قناة بشكل عشوائي من بين القنوات الفارغة. بحيث يكون لكل قنوات النظام نفس يتم ا

كثافة المرور. معدل

تصيد الخطي الordered hunting 1,2: ترقم القنوات,…..n ويتم البحث عن القناة الفارغة وفق هذا الترقيم حيث يتم البدأ بالقناة ذات

.nالرقم واحد وصوال إلى القناة رقم

لتصيد الحلقي اcyclic hunting شبيه بالتصيد الخطي لكن ال يتم البدأ من القناة ذات الرقم واحد وإنما تكون بداية البحث اعتبارا من رقم :

ويكون لكل قنوات النظام نفس معدل كثافة المرور.القناة الفارغة التي تم ايجادها في عملية البحث السابقة.

(4الشكل )

III. كثافة المرور traffic : ايرلنج الفرضيات التالية:اعتبر

وبمعدل تصل طلبات االتصال إلى النظام وفقا لسيرورة بواسونλ طلب في واحدة الزمن.

مدة المكالمة holding times تتبع توزع أسي بمعدل µ متوسط مدة المكالمة هو(µ 1/).

كون كثافة المرور المقدمة في هذه الحالة هي معدل عدد وت Pure Chance Traffic type One, PCT-Iيسمى هذا النوع من كثافة المرور بـ

أي: طلبات االتصال خالل مدة المكالمة الوسطي

تعريف االيرلنغ كما يلي: A=λ/µيمكننا من خالل العالقة

λ

يم، أي هو كثافة المرور في نظام اتصال يكون الزمن الوسطي وبالتالي فإن االيرلنغ هو كثافة المرور في نظام يكون فيه معدل الوصول يساوي معدل التخد

، ويعبر االيرلنغ عن استخدام مستمر لقناة صوتية واحدة، الفاصل بين طلبي اتصال يساوي المدة الوسطية للمكالمة

فإذا كانت كثافة المرور أكبر من ايرلنغ واحد:

λ

احتقان حدوث احتمال وبالتالي هناكن معدل التخديم أي أن الزمن الفاصل بين طلبي اتصال متتاليين أقل من مدة المكالمة وبالتالي معدل الوصول أكبر م

.في النظام

لين بين اتصا أما إذا كانت كثافة المرور أقل من ايرلنغ واحد فتحدث الحالة المعاكسة أي يكون معدل الوصول أقل من معدل التخديم أي أن الزمن الفاصل

في مثل هكذا أنظمة.متتاليين أكبر من مدة المكالمة وبالتالي هناك هدر في الموارد

إن واحدة االيرلنغ عديمة البعد وبالتالي دقائق 5مكالمة في الساعة و المدة الوسطية للمكالمة 30وعلى سبيل المثال إذا كان لدينا نظام اتصال تجري فيه

يجب توحيد واحدة الزمن:

λ

λ

مخطط انتقال الحالة في نظام (5)( يبين الشكل i= 0,1,……n) iبأنها عدد القنوات المشغولة i، ونعرف حالة النظام nهو نفترض أن عدد قنوات االتصال

: PCT-Iاتصال ذو النموذج

[i+1]فإنها ستقفز إلى الحالة [i]فإذا كانت السيرورة في الحالة لواضح أن السيرورة بسيطة حيث أن االنتقاالت تتم فقط إلى الحالتين المجاورتين ومن ا

ن كل قناة منها سوف قناة مشغولة فإ iإذا كان لدينا حيث أنه مرة في واحدة الزمن. .µiبمعدل [i-1]مرة في واحدة الزمن وستقفز إلى الحالة λبمعدل

ثانية 100طية للمكالمة يفمثال إذا كانت المدة الوس مكالمة في واحدة الزمن. .µ(iأي أن معدل إنهاء المكالمة هو ) /µ1 تصبح فارغة بعد زمن وسطي

عشرة قنوات فارغة في الثانية. أي لدينا 1000/100أي لدينا ألف قناة مشغولة فيكون معدل إنهاء المكالمة هو [i=1000]وكان النظام في الحالة

:[0]من أجل الحالة تكون معادلة التوازن يساوي معدل مغادرته لها، وبالتالي [i]حتى يكون النظام متوازنا يجب أن يكون معدل وصول النظام إلى الحالة

هو عدد p(1)µ.في واحدة الزمن، و [0]لحالة نظام من اعدد مرات مغادرة الهو p(0)λ.، وبالتالي [i]لحالة كون النظام في اهو احتمال p(i)حيث

في واحدة الزمن. [0]لحالة مرات وصول النظام إلى ا

(5الشكل )

هي : [i]نجد أن معادلة التوازن من أجل الحالة ةوبنفس الطريق

اء االتصال في واحدة الزمن يساوي معدل إنهاء تسمى هذه المعادلة بمعادلة توازن العقدة، هناك نمط آخر لمعادلة التوازن يعتمد على كون معدل طلبات إنش

:[i]إلى الحالة [i-1]في واحدة الزمن يساوي عدد االنتقاالت من الحالة [i-1]إلى الحالة [i]المكالمة في واحدة الزمن، أي أن عدد االنتقاالت من الحالة

قصد بالقطعة السهمين المتعاكسين بين عقدتين متجاورتين.حيث ي cut balance equationتسمى هذه المعادلة بمعادلة توازن القطعة

يعطى بداللة كثافة وتوزع بواسون ل يخضع هعلى أنفي حال كان عدد قنوات النظام النهائياً يبرهن هو متحول عشوائي و iإن عدد القنوات المشغولة

بالعالقة: A=λ/µالمرور المقدمة

. إذا التوزع البواسوني يحكم أزمنة وصول طلبات االتصال ويحكم عدد القنوات m=𝝈2=Aر المقدمة بمتوسط يساوي التشتت ويساوي كثافة المرو

المشغولة ولذلك نقول أن توزع بواسون محقق في الزمان والمكان.

truncatedتوزع بواسون المقتطع تتبع مايسمى ب قناة وهي الحالة الواقعية فإن عدد القنوات المشغولة nأما في حال كان عدد قنوات النظام محدوداً بـ

Poisson distribution :والذي يعطى بالعالقة

وبالتالي:

[ ]

:Erlang 's B-formula بي ايرلنغ صيغة

:i=nبجعل p(i)يمكن حسابه من عالقة عشوائيةقناة مشغولة في لحظة زمنية nزمن االحتقان: إن احتمال أن تكون كافة قنوات النظام التي عددها (9

احتمال النظام أو بعبارة أخرى احتقانال ومن الواضح أنها صيغة لحساب احتم Erlang 's B-formulaبـ ةالشهير باءيرلنغ بصيغة إتسمى هذه العالقة

.GoS أو سوية الخدمة رفض المكالمة

عدد النسبة بين معدل: احتمال أن تفشل محاولة اتصال عشوائية تساوي إلى Call congestionالمكالمات المرفوضة خالل فترة االحتقان (2

ويساوي إلى احتمال انشغال كافة قنوات النظام إلى معدل عدد محاوالت االتصال المقبولة في واحدة الزمن في واحدة الزمن المكالمات المرفوضة

أي:

:يكون لدينا i=0,1,…nثم جمعنا المعادالت الناتجة من أجل [i-1]و [i]لقطعة بين الحالتين : إذا استخدمنا معادلة توازن االمحملةكثافة المرور (3

.Aوأقل من كثافة المرور المقدمة nستكون أقل من عدد القنوات األعظمي المحملةكثافة المرور

ر المحملة:وهي الفرق بين كثافة المرور المقدمة وكثافة المروكثافة المرور الضائعة: (4

كثافة االحتقان: وهي النسبة بين كثافة المرور الضائعة إلى كثافة المرور المقدمة: (5

(6)يبين الشكل .PASTAتسمى هذه األنظمة باألنظمة من النمط اليتعلق بحالة النظام λألن معدل وصول طلبات االتصال En=Bn=Cnوبالتالي لدينا

.nوذلك من أجل حاالت مختلفة لسعة النظام A المرور المقدمة كتابع لكثافة P(n) احتمال رفض إنشاء االتصال

في الحقيقة نهتم عملياً باحتمال ونالحظ من الشكل أن احتمال رفض المكالمة يتناسب طرداً مع كثافة المرور المقدمة إلى النظام و عكساً مع سعة النظام.

المخطط الذي يربط (7)االتصال مرفوضاً إذا زاد احتمال رفض المكالمة عن هذا الحد. يبين الشكل حيث نعتبر أن نظام %10رفض المكالمة األقل من

احتمال رفض المكالمة بسعة النظام وكثافة المرور في النظام والذي يسمى مخطط ايرلنغ:

(6الشكل )

(7الشكل )

المقدمة يجب أال تتعدى كثافة المرورمخطط ايرلنغ باستخدام GoS=0.005قنوات فللحصول على احتمال رفض مكالمة n=5نظام بسعة اإذا كان لدينف

U=A/Au=12فيكون باستطاعة النظام أن يستوعب Au=0.1فإذا كانت كثافة المرور المقدمة من قبل المستخدم الواحد هي .A=1.2Erlang للنظام

متصل في نفس الوقت.

، في الحقيقة utilizationالقناة بازدحامتسمى هذه الكثافة iافة المرور في القناة كل قناة من قنوات النظام أي لنحسب كث فيلنحسب اآلن كثافة المرور

( وهناك كما ذكرنا سابقا ثالث طرق وهي: huntingتحملها كل قناة على طريقة المتبعة في البحث عن القناة الفارغة )التصيد تتعتمد كثافة المرور التي

لحلقي.التصيد العشوائي والتصيد الخطي والتصيد ا

من كل قناة هو: االزدحامكثافة المرور وبالتالي يكون كل القنوات نفس تحملفي حالة التصيد العشوائي والتصيد الحلقي

ور وكثافة المر i-1تساوي الفرق بين كثافة المرور الضائعة من القناة الـ iأما في حالة البحث بالتصيد الخطي تكون كثافة المرور المحملة في القناة

أي: iالضائعة من القناة

:imeovement functionتابع التحسن

:n+1إلى nكثافة المرور التي يمكن حملها من قبل النظام في حال زدنا عدد قنوات النظام بمقدار واحد أي من مقدار الزيادة في يدل هذا التابع على

بحيث يكون تابع الكثافة االحتمالية لها هو: λ+i.µالتوزع األسي تتبع i مدة البقاء في الحالة إن : [i]مدة البقاء في الحالة

: تسمى بالصيغة العوديةلصيغة ايرلنغ الثانية صيغة أخرى تستخدم في الحسابات اليدوية

:باءمثال عملي حول استخدام صيغة ايرلنغ

λ C secondقناة وبمعدل وصول طلب اتصال n=6ي يملك الذ Erlang's Loss Modelلنعتبر نظام االتصال الذي يحقق نموذج ضياع ايرلنغ

نحسب باستخدام صيغة ايرلنغ باء .A = λ/µ = 2 Erlangوبالتالي تكون كثافة المرور المقدمة للنظام µ=1 Call/secondوبمعدل إنهاء المكالمة

:(2)كما هو موضح في الجدول الموافق لكل منها p(i)مقـيَّس قناة من النظام ثم نحسب االحتمال ال iوهي احتماالت انشغال q(i)االحتماالت

وتكون لدينا خواص االحتقان التالية:

(2الجدول )

. ويمكن الحصول على النتيجة PASTAوهذا يعود إلى كون النظام يتمتع بخواص النمط E=C=Bنالحظ أن و %1.21إذن احتمال رفض المكالمة هو

نفسها باستخدام صيغة ايرلنج العودية:

:Extended Erlang B-formulaصيغة ايرلنغ الثانية الموسعة

بما في ذلك القيم xفي التطبيقات العملية يستخدم تعميم لصيغة ايرلنغ الثانية يأخذ بعين االعتبار أن قنوات النظام غير معدودة بمعنى أنها عدد حقيقي

السالبة، وهو ما يطلق عليه اسم صيغة ايرلنغ الموسعة:

تابع غاما هو: حيث

ويبقى الشكل العودي محققا في صيغة ايرلنغ الموسعة حيث:

وعدد القنوات في النظام الذي يمكن في الحالة العامة أن يكون عدد حقيقي سالب. ويمكن البرهان Aإذاً صيغة ايرلنغ تابعة فقط لكثافة المرور المقدمة

هو: Aبة لـ رياضياً على أن مشتق صيغة ايرلنغ الثانية بالنس

فيعطى بالعالقة التالية: nأما المشتق بالنسبة لعدد القنوات

يمكن تقريب صيغة ايرلنغ الثانية من خالل الصيغة التقريبية التالية:

:Erlang-C model سينموذج ايرلنغ

، فعند وصول طلب اتصال إلى النظام تصال أثناء االحتقانطلبات االويختلف عنه فقط في طريقة تعامله مع بيشبيه بنموذج ايرلنغ سيإن نموذج إيرلنغ

يتم قبوله وهو في حالة احتقان فإنه يضع الطلب في رتل انتظار غير منتهي نظرياً ريثما يخرج النظام من وضع االحتقان، و بالتالي فإن طلبات اتصال

، نتفترض أن أزمنة الوصول تتبع توزع بواسون و تتبع بينموذج ايرنغ . وكما هو الحال فيFCFS(First come First Served) وفقاً لتسلسل وصولها

. Erlang's delay systemمدة المكالمة توزع أسي. تسمى مثل هذه األنظمة بـأنظمة تأخير ايرلنغ

، blockingال رفض طلب االتصال تختلف أنظمة تأخير ايرلنغ عن أنظمة ضياع ايرلنغ في محددات سوية الخدمة، ففي أنظمة التأخير يختفي مفهوم احتم

وتستخدم مفاهيم أخرى مثل: احتمال التأخير، متوسط طول الرتل و متوسط زمن االنتظار.

قناة nو عدد القنوات التي يملكها النظام (M)أسية تخديم وسيرورة (M)بسيرورة وصول بواسونية M/M/nلنعتبر لدينا نظام تأخير ايرلنغ ذو الرتل

وبالتالي يمكن لحالة النظام أن تكون نتظار النهائي. نعرف حالة النظام بأنها عدد الزبائن على الخط سواء كانوا قيد االتصال أو قيد االنتظاروعدد أماكن اال

التالي: (8) كما هو موضح بالشكل النهائية

عة للنظام:القطتوازن العالقة التدريجية لمعادلةنستنتج ،نموذج ايرلنغ بيوبنفس اإلجرائية التي أجريناها في

:ل على عالقة احتماالت الحالة المستقرة للنموذجنحصهي كثافة المرور المقدمة A=λ/µ وباألخذ بعين االعتبار أن

(8الشكل )

بتطبيق التقييس التالي: P(0)ونحصل على قيمة

أي:

كثافة المرور المقدمة كونتى يكون النظام متوازناً يجب أن ت، حA/nإن القوس الداخلي في العالقة السابقة يحوي بداخله متتالية هندسية أساسها هو النسبة

سيكون زمن االنتظار وعندهاوإال فإن الرتل سوف يتابع الزيادة إلى الالنهاية ،A<n لشبكة االتصال أقل من عدد القنوات المتاحة من قبل النظام أي

فشل الخدمة. وبالتالي الوسطي النهائياً

وبالتالي: A<nر نعتبإذن

: Erlang-C formula سيصيغة ايرلنغ

اوي إلى احتمال في رتل االنتظار يس -ماقادم في لحظة -مشترك ينتظرإن احتمال أن لبواسونية مستقلة عن حالة النظام، وبالتالي فإن سيرور الوصول ا

:ويكون لدينا، Wع القنوات المتاحة من قبل النظام. إن زمن االنتظار هو متحول عشوائي انشغال جمي

النسبة عدد القنوات المتاحة في نظام االتصال و nيعتمد على الذي و احتمال االنتظار() راحتمال التأخي وهكذا نرى أن صيغة ايرلنغ سي تعبر عن

A=λ/µ ،بعدة طرق وتكتبغ ألنظمة االنتظار رلنأو صيغة صغة ايوصيغة ايرلنغ الثانية أ، وتسمى هذه الصيغة بعدة أسماء أشهرها صيغة ايرلنغ سي:

ويكون احتمال أن يخدم المشترك فوراً دون إي انتظار هو:

ويمكن استنتاج ذلك كالتالي: Aالمقدمة كثافة المرور فهي تساوي Y أما كثافة المرور المحملة

، احتمال أن يكون لدينا زبائن في الرتل في لحظة زمنية معينة هو:Lإن طول الرتل هو أيضاً متحول عشوائي

سي: التحقيق الرقمي لصيغة ايرلنغ

ها. وقد صيغة ايرلنغ بي بضربه ب الذي تنتج صيغة ايرلنغ سي عن n/(n-A)فإن صيغة ايرلنغ سي شبيهة بصيغة ايرلنغ بي باستثناء المعامل كما رأينا

:يغة ايرلنغ سيالعودية لص العالقة نستنتج منهالصيغة ايرلنغ بي وبالتالي الدقيقة عالقة العودية سابقا ال وجدناأ

:التي رأيناها سابقا هي كثافة المرور المحمولة على قناة واحدة في نظام الفقد ايرلنغ yحيث

ونستنتج من ذلك أن:

احتمال التأخير يساوي الواحد أي أن جميع الزبائن يتعرضون فيكون عندها كانت كثافة المرور أكبر من عدد القنوات المتاحةأي إذا A>nفي حالة أما

للتأخير أي:

هي: غة ايرلنغ بيشهيرة بين صيغة ايرلنغ سي وصي عودية قةومن الجدير بالذكر أن هناك عال

:(كثافة المرور المقدمة ،النظام سعة احتمال التأخير،يمكن من خالله تحديد الثالثية )الذي ايرلنغ سي مخطط يبين الشكل التالي

للرتل ويحسب كمايلي:في أنظمة تأخير ايرلنغ هي الطول الوسطي للرتل أو ما يسمى أيضا الطول االفتراضي الهامة المعامالتمن

:ومن الوسطي لالنتظار هزويكون ال

:قناة n+1قناة إلى nالنظام من سعةزيادة المحمولة عند كثافة المرور فيعبر عنه بعدة عبارات منها انخفاض تحسنالما تابع أ

قناة واحدة إلى النظام: بإضافة لرتلل الوسطيطول الأو انخفاض

أو انخفاض الزمن الوسطي لالنتظار عند إضافة قناة واحدة إلى النظام:

المراجع:

Villy B. Iversen: TELETRAFFIC ENGINEERING and NETWORK PLANNING. Technical University of Denmark. May 2010

2007مدخل إلى نظرية األرتال، د.علي أبو عمشة، تموز