Upload
weslley-assis
View
89
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
Soluções de Equações não-lineares
(Zeros de funções reais)
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 2
• Estudar métodos numéricos para a resolução de equações não lineares (determinar a(s) raiz(es) de uma função f(x)f(x), ou seja, encontrar o(s) valor(es) de xx
tal que f(x) = 0f(x) = 0)
Fundamentar a necessidade de uso de métodos numéricos para a resolução de equações não lineares
Discutir o princípio básico que rege os métodos numéricos para a resolução de equações não lineares
Apresentar uma série de métodos destinados à resolução de equações não lineares
Cálculo Numérico – Objetivos
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 3
Necessidade de resolução de equações do tipo f(x) = 0 Principio da ConservaçãoPrincipio da Conservação
MomentoMomento EnergiaEnergia MassaMassa
Principio da ConservaçãoPrincipio da Conservação
MomentoMomento EnergiaEnergia MassaMassa
+FV
-FV
+FH-FH
Em cada nó :
∑ FH = 0∑ FV = 0
FEstruturas
(Lei de Kirchhoff)
R
E
i
v = g(i)+
-
E - Ri – g(i) = 0
Circuitos
ReatoresE1
E2 S
E S
Em um dado intervalo:∑massa = entradas - saídas
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
-número de raízes-métodos iterativos
-métodos intervalares-bissecções sucessivas-falsa posição
-métodos abertos-iteração de ponto fixo-Newton-Raphson-Secante
-critérios de parada
Resolução de equações não lineares
Pontos mais importantes:
4
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
Raízes das funções
f(x)=ax2+bx+c f(x)=log(2x)+sinh(3x)
x= ? tal como f(x)=0Raíz(es): x= ? tal como f(x)=0
explícito implícito
métodos numéricos
5
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 6
n Determinação das raízes em função de aa, bb e cc
ax2 + bx + c = 0
n Polinômios de grau mais elevado e funções com maior grau de complexidade Impossibilidade de determinação exata dos
zeros
x = -b ± √ b2 – 4ac 2a
n A partir de uma equação de 2º grau da forma
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
)e1(c
gm)t(v m
ct−−=-exemplo de queda livre:
m=0.5 kg, c=0.29, g=9.81 m/s2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12
analitica
numérica (dt=1 sec)
numérica (dt=0.5 sec)
tempo, s
velo
cida
de, m
/s
7
- se for c uma incognita? -------> 0v)e1(c
gm)c(f m
ct
=−−=−
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
Método gráfico
-exemplo de queda livre: 0v)e1(c
gm)c(f m
ct
=−−=−
-1
0
1
2
3
4
5
6
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
c
f(c)
c
8
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
Número de zeros
-f(x) é uma função contínua no intervalo [a,b], o número de zeros é:
Teoremas
-ímpar (pelo menos uma) se f(a)*f(b)<0-par (pode ser 0) se f(a)*f(b)>0-se mais do que um f ’(x) também tem pelo menos uma raíz
9
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
Métodos iterativos
-carácter iterativo: a partir de alguns valores iniciais (x1, x2,...xs-1) da raiz (z) construímos uma nova aproximação xs supostamente melhor:
10
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
Portanto, o processo iterativo pode ser dividido em duas fases:
Fase I - Localização ou isolamento das raízes: Consiste em obter um intervalo [a,b] que contém uma única raiz;
Fase II - Refinamento: Consiste em, escolhidas aproximações iniciais no intervalo [a,b], melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão prefixada.
ε
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 12
Princípio Básico dos Métodos Numéricos
VALORVALORINICIALINICIALVALORVALORINICIALINICIAL
APRIMORAMENTOAPRIMORAMENTODOS VALORESDOS VALORESAPRIMORAMENTOAPRIMORAMENTODOS VALORESDOS VALORESMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOS
MINIMIZAÇÃOMINIMIZAÇÃODOS ERROSDOS ERROS
MINIMIZAÇÃOMINIMIZAÇÃODOS ERROSDOS ERROS
VALOR ACEITÁVELVALOR ACEITÁVELDE RAIZDE RAIZ
VALOR ACEITÁVELVALOR ACEITÁVELDE RAIZDE RAIZ
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 13
n Etapas Usuais para a Determinação de Raízes a partir de Métodos Numéricos
FASE I
Isolamento das raízes
FASE I
Isolamento das raízes
Determinação de um intervalo (o menor possível) que contenha apenas uma raiz
Determinação de um intervalo (o menor possível) que contenha apenas uma raiz
FASE II
Refinamento das raízes
FASE II
Refinamento das raízes
Melhoramento do valor da raiz aproximada (refinamento até a precisão desejada).
Melhoramento do valor da raiz aproximada (refinamento até a precisão desejada).
MÉTODOSMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOS
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
Métodos de localização de zeros
1, Métodos intervalares: -mudança de sinais na vizinhança de zero-duas estimativas iniciais-método gráfico
14
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 15
Exemplo 01: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3
n f(x)f(x) é contínua para ∀x x ∈RR.n II11 = [ = [-5-5,, -3 -3]]n II22 = [ = [00,, 1 1]]n II33 = = [ [22,, 3 3]]
Cada um dos intervalos Cada um dos intervalos contém pcontém peloelo menosmenos um um zerozero ..Cada um dos intervalos Cada um dos intervalos contém pcontém peloelo menosmenos um um zerozero ..
++++++––––++++++––––––––f(x)
543210-1-3-5-10-100-∞x
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 16
n f(x)f(x) admite pelo menos um zerozero no intervalo [o intervalo [11,, 2 2] ] O O zerozero é únicoúnico? ?
Análise do sinal de Análise do sinal de f’(x)f’(x)
......++++––––f(x)
...3210x
n f’(x) =1/(2f’(x) =1/(2√√x )+ 5ex )+ 5e-x-x > 0 > 0,, ∀x > 0x > 0
f(x)f(x) admite um admite um únicoúnico zerozero em todo seu domínio de definição, localizado no intervalo [1, 2][1, 2] . .f(x)f(x) admite um admite um únicoúnico zerozero em todo seu domínio de definição, localizado no intervalo [1, 2][1, 2] . .
Exemplo 02: f(x) = f(x) = √√ x – 5e x – 5e-x-x
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 17
n OBSERVAÇÃO:Se f(a)f(b) > 0f(a)f(b) > 0, então se pode ter diversas situações no intervalo [a,[a, b]b].
b
f(x)
xaf(x) a ξξ
f(x)
xb
ξξ11 ξξ22xa b
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 18
FASE I: ISOLAMENTO DAS RAÍZES Realização de uma análise teórica e gráfica da
função de interesse Precisão das análises é relevante para o
sucesso da fase posterior
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 19
• Estudo Detalhado do Comportamento de uma Função a partir de seu Gráfico
Domínio da funçãoDomínio da função Pontos de descontinuidadePontos de descontinuidade Intervalos de crescimento e decrescimentoIntervalos de crescimento e decrescimento Pontos de máximo e mínimoPontos de máximo e mínimo ConcavidadeConcavidade Pontos de inflexãoPontos de inflexão Assíntotas da funçãoAssíntotas da função
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 20
Construção dos gráficos de g(x) g(x) e h(x) h(x) no mesmo sistema cartesianoConstrução dos gráficos de g(x) g(x) e h(x) h(x) no mesmo sistema cartesiano
Localização dos pontos x x nos quais g(x) g(x) e h(x) h(x) se interceptam(f(f(ξξ) = 0 ) = 0 ⇔⇔ g(g(ξξ) = h() = h(ξξ) ) )
Localização dos pontos x x nos quais g(x) g(x) e h(x) h(x) se interceptam(f(f(ξξ) = 0 ) = 0 ⇔⇔ g(g(ξξ) = h() = h(ξξ) ) )
Localização das abscissas dos pontos nos quais a curva intercepta o eixo oxoxLocalização das abscissas dos pontos nos quais a curva intercepta o eixo oxoxConstrução do gráfico de f(x)f(x)Construção do gráfico de f(x)f(x)
I
Obtenção da equação equivalente g(x) = g(x) = h(x) h(x) a partir da equação f(x) = 0f(x) = 0Obtenção da equação equivalente g(x) = g(x) = h(x) h(x) a partir da equação f(x) = 0f(x) = 0
II
Uso de programas para traçar gráficos de funçõesUso de programas para traçar gráficos de funções
III
ANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICA
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 21
Exemplo 03: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3 (Uso do método II ) ν ξξ11 ∈[-4, -3][-4, -3]
ν ξξ22 ∈[0, 1][0, 1]ν ξξ33 ∈[2, 3][2, 3]
n f’(x) = 3xf’(x) = 3x22 - 9 - 9n f’(x) = 0 <=> x = f’(x) = 0 <=> x = ±√±√3 3
33-72
-7,3923√√ 3-5130
11-113,3923- √√ 3
3-3-25-4f(x)x
ξ3
f(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 4
ξ2ξ1
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 22
n g(x) = xg(x) = x33
n h(x) = 9x -3 h(x) = 9x -3
Exemplo 03: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3
ξ3
g(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 4ξ2
ξ1
h(x)
y
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 23
MATLAB: ezplot('9*x-3',[-4,4])ezplot('9*x-3',[-4,4])
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
x
9*x-3
(Uso do método IIIIII )
ν ξξ11 ∈ ( (-4-4,, -3 -3))ν ξξ 22 ∈ ( (00,, 1 1))ν ξξ 33 ∈ ( (22,, 3 3))
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 24
FASE II: REFINAMENTO
Aplicação de métodos numéricos destinados ao refinamento de raízes Diferenciação dos métodos Modo de
refinamento Método IterativoIterativo Caracterizado por uma
série de instruções executáveis sequencialmente, algumas das quais repetidas em ciclos (iteraçõesiterações)
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 25
CRITÉRIOS DE PARADA Teste: xxkk suficientemente próximo da raiz
exata? Como verificar tal questionamento? Interpretações para raiz aproximada
xx é raiz aproximada com precisão εε se:
i.i. |x - |x - ξξ | < | < εε ou
ii.ii. |f( x )| < |f( x )| < εε Como proceder se não se
conhece ξξ ?
Como proceder se não se
conhece ξξ ?
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 26
Redução do intervalo que contém a raiz a cada iteração
Obtenção de um intervalo [a,b][a,b] tal que: ξξ ∈∈ [a,b][a,b]
e b – a < b – a < εε
||xx - - ξξ || < < εε , , ∀∀ xx ∈∈ [[aa,,bb]]
∀∀x x ∈∈ [a,b][a,b] pode ser tomado como xx∀∀x x ∈∈ [a,b][a,b] pode ser tomado como xx
ξξ b
f(x)
xa
b – a < b – a < εε
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
27
• Métodos Iterativos para a Obtenção de Zeros Reais de Funções
– BissecçãoBissecção– Falsa PosiçãoFalsa Posição– Falsa Posição ModificadoFalsa Posição Modificado– Ponto FixoPonto Fixo– Newton-RaphsonNewton-Raphson– SecanteSecante
Cálculo Numérico –
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 28
• Método da BissecçãoBissecção
Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo [a,b][a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar tal raiz subdividindo sucessivas vezes o intervalo que a contém pelo ponto médio de aa e bb.
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
29
• Definição do Intervalo Inicial
– Atribui-se [a,b][a,b] como intervalointervalo inicialinicial
• a0 = aa
• b0 = bb
– Condições de Aplicação
• f(a)*f(b) < 0f(a)*f(b) < 0
• Sinal da derivada constanteconstante
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
30
Determina-se qual o subintervalo – [a , x[a , x11]] ou
[x[x11 , b] , b] – que contém a raizraiz
Calcula-se o produto f(a)*f(xf(a)*f(x11))
Verifica-se se f(a)*f(xf(a)*f(x11) < 0) < 0
Se verdadeiroverdadeiro ξξ ∈∈ (a, x (a, x11))(Logo a = aa e b = xx11
)
Caso contrarioCaso contrario ξξ ∈∈ (x (x1 1 , b), b)(Logo a = xx11
e b = bb)
Definição de Novos Intervalos
Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de paradacondições de parada.
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 31
Análise Gráfica
x
a = a0ξ
f(x)
b = b0
xx 11 = (a + b)/2 = (a + b)/2
xx 11
x
a = a1ξ
f(x)
x1 = b1
xx 22 = (a + x = (a + x 11)/2)/2
xx 22
x
ξ
f(x)
x1=b2
xx 33 = (x = (x 22 + x + x 11 )/2)/2
x2=a2
xx 33Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições condições de paradade parada.
Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições condições de paradade parada.
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
32
Após nn iterações, a raiz estará contida no intervalo:
,
de modo que ξξ é tal que:
Generalização
=
−−
n00
nn2abab
++−<−ξ 1n
001n
2abx
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
33
Aproximação de zero, dependente do equipamento utilizado e da precisão necessária para a solução do problema
TolerânciaTolerância ( εε )
A tolerânciatolerância é uma estimativa para o erro erro absolutoabsoluto desta aproximação.
A tolerânciatolerância é uma estimativa para o erro erro absolutoabsoluto desta aproximação.
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
34
Considerando :
deve-se escolher nn tal que:
⇒
TolerânciaTolerância ( εε )
++−<−ξ1n00
1n2abx
ε<−
+1n00
2ab
1)2ln(
ablnn
00
−
ε−
≥
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
35
Condições de Parada Se os valores fossem exatosexatos
f(x) = 0f(x) = 0 (x(x k k – x– x k+1k+1 )/x)/x kk = 0 = 0
Uma vez que são aproximadosaproximados || f(x)f(x) || ≤≤ tolerância tolerância || (x(x k k – x– x k+1k+1 )/x)/x kk | | ≤≤ tolerância tolerância
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
36
Algoritmok := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a;xk+1 := (ak + bk)/2;while critério de parada não satisfeito and k ≤ L
if f(ak)f(xk+1) < 0 then /* raiz em [a/* raiz em [akk , x , xk+1k+1] */] */ak+1 := ak; bk+1 := xk+1;
else /* raiz em [x/* raiz em [xk+1k+1, b, bkk] */] */ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ;
endifk := k +1; xk+1 := (ak + bk)/2;
endwhileif k > L
parada falhouendif
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
37
Vantagens:Vantagens:
• Facilidade de implementação;
• Estabilidade e convergência para a solução procurada;
• Desempenho regular e previsível.
O número de interações é dependentedependente da tolerânciatolerância considerada
O número de interações é dependentedependente da tolerânciatolerância considerada
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
38
Desvantagens:Desvantagens:
• Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f(x)f(x) em um elevado número de iterações);
• Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível);
• Complexidade da extensão do método para problemas multivariáveis.
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 39
Exemplo 06: Resgatando o Exemplo 05Exemplo 05, f(x) = f(x) = xlogx - 1xlogx - 1
h(x)y
ξ
g(x)
x1 2 3 4 5 6
ξ2 3
Verif icou-se que ξξ ∈ [2, 3] [2, 3]
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 40
Cálculo da 1ª aproximação x1 = (a0 + b0)/2 = (2,00000 + 3,00000)/2 ⇒
x1 = 2,500002,50000 f(x1) = f(2,50000) = -0,00510-0,00510 f(a0) = f(2,00000) = -0,39794-0,39794
Teste de Parada |f(x1)| =|-0,00510| = 0,005100,00510 > 0,002
Exemplo 06: f(x) = xlogx - 1f(x) = xlogx - 1Considerando o método da bissecção com tol = 0,002tol = 0,002 e adotando [a[a00 ,b ,b00] = [2, 3]] = [2, 3] como intervalo inicial, tem-se:
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 41
Cálculo da 2ª aproximaçãoNovo Intervalo
f(a0).f(x1) = (-0,39794).(-0,00510) > 0
logo:a1 = x1 = 2,500002,50000 e b1 = b0 = 3,000003,00000
Exemplo 06: f(x) = xlogx - 1f(x) = xlogx - 1
x2 = (2,50000 + 3,00000)/2 =x2 = 2,750002,75000 f(2,50000) = -0,051000,05100 < 0 f(3,00000) = 0,431400,43140 > 0 f(2,75000) = 0,208200,20820 > 0 ξξ ∈∈ [2,5 ; 2,75][2,5 ; 2,75]
a2 = a1 = 2,500002,50000 e b2 = x2 = 2,750002,75000
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 42
Exemplo 06: x3 = (2,50000 + 2,75000)/2 = 2,625002,62500
f(2,50000) = -0,05100-0,05100 < 0 f(2,75000) = 0,208200,20820 > 0 f(2,62500) = 0,100200,10020 > 0
x4 = (2,50000 + 2,62500)/2 = 2,562502,56250 f(2,50000) = -0,05100-0,05100 < 0 f(2,62500) = 0,100200,10020 > 0 f(2,56250) = 0,047200,04720 > 0
ξξ ∈∈ [2,5 , 2,625][2,5 , 2,625]a3 = a2 = 2,500002,50000b3 = x3 = 2,625002,62500
ξξ ∈∈ [2,5 , 2,5625][2,5 , 2,5625]a3 = a2 = 2,500002,50000b3 = x4 = 2,562502,56250
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 43
k a k bk f(a k) f(b k) x k+1 f(x k+1)
0 2,50000 3,00000 -0,39794 0,43136 2,500002,50000 -0,00510-0,00510
1 2,50000 3,00000 -0,00515 0,43136 2,750002,75000 0,208200,20820
2 2,50000 2,75000 -0,00515 0,20816 2,625002,62500 0,100210,10021
3 2,50000 2,62500 -0,00515 0,10021 2,562502,56250 0,047200,04720
4 2,50000 2,56250 -0,00515 0,04720 2,531252,53125 0,020900,02090
5 2,50000 2,53125 -0,00515 0,02094 2,515632,51563 0,007900,00790
6 2,50000 2,51563 -0,00515 0,00787 2,507812,50781 0,001400,00140
Exemplo 06: f(x) = xlogx - 1f(x) = xlogx - 1
εε == 0,0020,002
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 44
Exemplo 07: Seja f(x) = xf(x) = x3 3 – x – 1– x – 1
Intervalo inicial atribuído: [1, 2][1, 2]
Considerando-se ε = 0,0020,002
f(a0) = -1-1
f(b0) = 55
f’(x) = 3x3x22 – 1 – 1
f(a0) * f(b0) = -5 < 0-5 < 0
Sinal da derivada constanteconstante (f’(a0) = 22 e f’(b0) = 1111)
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 45
Cálculo da 1ª aproximação x1 = (a0+b0)/2 = (1,000000+2,000000)/2 = x1 =
1,5000001,500000 f(x1) = 1,51,533 – 1,51,5 – 11 = 0,8750000,875000
Teste de Parada |f(x1)| =|0,875| = 0,8750000,875000 > 0,002
Escolha do Novo Intervalo f(a0).f(x1) = (-1).0,8750,875 = -0,875-0,875
logo: a1=a0=1,0000001,000000 e b1=x1= 1,500001,50000
Exemplo 07: f(x) = xf(x) = x3 3 – x – 1– x – 1
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 46
k ak bk f(ak) f(bk) x k+1 f(xk+1 )
0 1,0000000 2,0000000 -1,000000 5,000000 1,500000001,50000000 0,8750000,875000
1 1,0000000 1,5000000 -1,000000 0,875000 1,250000001,25000000 -0,296875-0,296875
2 1,2500000 1,5000000 -0,296875 0,875000 1,375000001,37500000 0,2246090,224609
3 1,2500000 1,3750000 -0,296875 0,224609 1,312500001,31250000 -0,051514-0,051514
4 1,3125000 1,3750000 -0,051514 0,224609 1,343750001,34375000 0,0826110,082611
5 1,3125000 1,3437500 -0,051514 0,082611 1,328125001,32812500 0,0145760,014576
6 1,3125000 1,3281250 -0,051514 0,014576 1,320312501,32031250 -0,018711-0,018711
7 1,3203125 1,3281250 -0,018700 0,014576 1,324218751,32421875 -0,002128-0,002128
Exemplo 07: f(x) = xf(x) = x3 3 – x – 1– x – 1
εε == 0,0020,002
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 47
• Método da BissecçãoBissecção
– Calcula a média aritméticaaritmética dos limites do intervalo que contém a raiz ([aa, bb] )
• Método da Falsa PosiçãoFalsa Posição
– Calcula a média ponderadaponderada dos limites do intervalo que contém a raiz ([aa, bb] )
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 48
• Método da Falsa PosiçãoFalsa Posição
– Calcula a média ponderadaponderada dos limites do intervalo que contém a raiz ([aa, bb] )
)a(f)b(f
)a(fb)b(fax
−−
=
)a(f)b(f)a(bf)b(af
x−−=
xa ξ
f(x)
b xx
f(b)
f(a)
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
49
Definição do Intervalo Inicial
– Atribui-se [a,b][a,b] como intervalo inicialintervalo inicial• a0 = aa
• b0 = bb
– Condições de Aplicação
• f(a)*f(b) < 0f(a)*f(b) < 0
• Sinal da derivada constanteconstante
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
50
Definição dos Subintervalos
– Subdivide-se o intervalo pelo pontoponto dede intersecçãointersecção da reta que liga f(a) a f(b) e o eixo das abscissas
– Verifica-se se, através do teste de parada, se xx11 é uma
aproximaçãoaproximação dada raizraiz da equação (ξ)
• Se verdadeiroverdadeiro xx11 é a raizraiz procurada
• CasoCaso contrário contrário define-se um novonovo intervalo
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
51
– Determina-se qual subintervalo - [a[a0 0 , x, x11]] ou [x[x
1 1 , b, b00]] - contém a raiz ξξ
• Calcula-se o produto f(a)*f(xf(a)*f(x11))
• Verifica-se se f(a)*f(xf(a)*f(x11) < 0) < 0
– Se verdadeiroverdadeiro ξ ∈ (a0, x1) Logo: a1 = aa00 e b1 = xx11
– CasoCaso contrario contrario ξ ∈ (x1, b0)Logo a1 = xx11 e b1 = bb00
Definição do Novo Intervalo
Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de paradacondições de parada.
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 52
Análise Gráfica
Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de condições de paradaparada.
Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de condições de paradaparada.
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
xa = a0ξ
f(x)
b = b0xx 11
xa = a1ξ
f(x)
x1 = b1xx 22
xξ
f(x)
x1 = b2x2 = a2xx 33
)()(
)()(
00
00001 afbf
afbbfax
−−
=
)()(
)()(
11
11112 afbf
afbbfax
−−
=
)()(
)()(
22
22223 afbf
afbbfax
−−
=
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
53
Condições de Parada
Se os valores fossem exatosexatosf(x) = 0f(x) = 0(x(x k k – x– x k+1k+1 )/x)/x kk = 0 = 0
Não o sendoNão o sendo|| f(x)f(x) || ≤≤ tolerância tolerância|| (x(x k k – x– x k+1k+1 )/x)/x kk | | ≤≤ tolerância tolerância
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
54
Algoritmok := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a; F0 := f(a0); G0 := f(b0);
xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk); ou xk+1 := (akGk- bkFk)/(Gk – Fk);
while critério de convergência não satisfeito and k ≤ L
if f(ak)f(xk+1) ≤ 0 then /* raiz em [a/* raiz em [akk , x , xk+1k+1] */] */
ak+1 := ak; bk+1 := xk+1;
else /* raiz em [x/* raiz em [xk+1k+1, b, bkk] */] */
ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ;
endif
k := k +1; xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk);
endwhile
if k > L convergência falhou
endif
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 55
Exemplo 08: Considerando f(x) = xlogx - 1f(x) = xlogx - 1h(x)
y
ξ
g(x)
x1 2 3 4 5 6
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Intervalo inicial atribuído: [2, 3][2, 3] Considerando-se ε = 0,0020,002 f(a0)
= - 0,3979- 0,3979f(b0) = 0,43140,4314
f’(x) = logxlogx ++ 1/xln101/xln10 f(a0) * f(b0) = -- 0,0171650,017165<< 00
Sinal da derivada constante (f’(a0) = 0,520,52 e f’(b0) = 0,6220,622)
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 56
Exemplo 08: Cálculo da 1ª aproximação: a0 = = 22 b0 = = 33
f(a0) = - 0,3979 - 0,3979 < 0 0f(b0) = 0,43140,4314 > 00
x1 = [2.0,4314 – 3.(- 0,3979)] = 2,47982,4798 [0,4314 – (- 0,3979)]Teste de Parada
|f(x1)| =|- 0,0219| = 0,02190,0219 > tolerânciatolerância
Escolha do Novo Intervalo f(a0).f(x1) = (- 0,3979).(- 0,0219) > 00 logo: a1 = x1 = 2,47982,4798 e b1 = b0 = 33
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 57
Exemplo 08: Cálculo da 2ª aproximação: a1 == 2,47982,4798 b1 == 33
f(a1) = - 0,0219- 0,0219 < 00f(b1) = 0,43140,4314 > 00
x2 = [2,4798.0,4314 – 3.(- 0,0219)] = 2,50492,5049 [0,4314 – (- 0,0219)] Teste de Parada
|f(x2)| =|- 0,0011| = 0,00110,0011 < tolerânciatolerância
Escolha do Novo Intervalo
f(a1).f(x2) = (- 0,0219).(- 0,0011) > 00 logo: a2 = x2 = 2,50492,5049 e b2 = b1 = 33
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
58
Exemplo 08: Cálculo da 3ª aproximação a2 = = 2,50492,5049 b2 = 33
f(a2) = - 0,0011- 0,0011 < 00f(b2) = 0,4314 0,4314 > 00
x3 = [2,5049.0,4314 – 3.(- 0,0011)] = 2,50612,5061 [0,4314 – (- 0,0011)]
Teste de Parada |f(x3)| = |- 7,0118.10-5 | = 7,0118.107,0118.10-5-5 < toltol
(valor aceitável de raiz)(valor aceitável de raiz)
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
59
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
k ak bk f(ak) f(bk) x k+1 f(xk+1 )
02,0000002,000000 3,0000003,000000 -0,3979000-0,3979000 0,4314000,431400 2,47980002,4798000 -0,021900-0,021900
12,479800 3,000000 -0,0219000 0,431400 2,50490002,5049000 -0,001100-0,001100
22,504900 3,000000 -0,0011000 0,431400 2,50610002,5061000 -0,000070-0,000070
Exemplo 08: f(x) = xlogx - 1f(x) = xlogx - 1
εε = 0,0020,002
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 60
Exemplo 09: Seja a função do Exemplo 07, f(x) = xf(x) = x3 3 – x – x – 1– 1
Intervalo inicial atribuído: [1, 2] [1, 2] tol = 0,0020,002f(a0) = -1-1
f(b0) = 55
f’(x) = 3x3x22 – 1 – 1 f(a0)*f(b0) = -5-5 < 00
Sinal da derivada constante (f’(a0) = 22 e f’(b0) = 1111)
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 61
Exemplo 09: Cálculo da 1ª aproximação a0 = = 11 b0 = = 22 f(a0) = - 1- 1 < 00 f(b0) = 55 > 00
x1 = [1.5 – 2.(- 1)] = 1,166671,16667 [5 – (- 1)] Teste de Parada
|f(x1)| =|- 0,5787037| = 0,57870370,5787037 > toltol
Escolha do Novo Intervalo f(a0).f(x1) = (- 1).(- 0,5787037) > 00 logo: a1 = x1 = 1,166671,16667 e b1 = b0 = 22
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 62
k ak bk f (ak) f(bk) x k+1 f(x k+1 )
01,0000001,000000 2,0000002,000000 -1,0000000-1,0000000 5,0000005,000000 1,16666671,1666667 -0,578704-0,578704
11,166667 2,000000 -0,5787037 5,000000 1,25311201,2531120 -0,285363-0,285363
21,253112 2,000000 -0,2853630 5,000000 1,29343741,2934374 -0,129542-0,129542
31,293437 2,000000 -0,1295421 5,000000 1,31128121,3112812 -0,056588-0,056588
41,311281 2,000000 -0,0565885 5,000000 1,31898851,3189885 -0,024304-0,024304
51,318988 2,000000 -0,0243037 5,000000 1,32228271,3222827 -0,010362-0,010362
61,322283 2,000000 -0,0103618 5,000000 1,32368431,3236843 -0,004404-0,004404
7 1,323684 2,000000 -0,0044039 5,000000 1,32427951,3242795 -0,001869-0,001869
Exemplo 09: f(x) = xf(x) = x3 3 – x – 1– x – 1
εε = 0,0020,002
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
63
Vantagens:Vantagens:
• Estabilidade e convergência para a solução procurada;
• Desempenho regular e previsível;
• Cálculos mais simples que o método de Newton.
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
64
Desvantagens:Desvantagens:
• Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f(x)f(x) em um elevado número de iterações);
• Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível).
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 65
• Método da Falsa Posição ModificadoFalsa Posição Modificado(FPMFPM )
Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo [a,b][a,b], o qual contém uma raiz única, é possível determinar tal raiz a partir de subdivisões sucessivas do intervalo que a contém, evitando, ao mesmo tempo, que as aproximações geradas pela fórmula de iteração se aproximem da raiz por um único lado.
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
66
Definição do Intervalo Inicial
– Atribui-se [a,b][a,b] como intervalo inicialintervalo inicial• a0 = aa
• b0 = bb
– Condições de Aplicação• f(a)*f(b) < 0f(a)*f(b) < 0• Sinal da derivada constanteconstante
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
67
Definição dos Subintervalos
– Subdivide-se o intervalo pelo ponto de intersecçãoponto de intersecção da reta que liga f(a)f(a) a f(b)f(b) e o eixo das abscissas
– Verifica-se se xx11 é uma aproximaçãoaproximação dada raizraiz da
equação (ξξ)
• Se verdadeiroverdadeiro xx11 é a raizraiz procuradaprocurada
• CasoCaso contráriocontrário define-se um novonovo intervalo
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
68
– Determina-se em qual dos subintervalos [a[a0 0 , x, x11]] ou
[x[x1 1 , b, b00]] - se encontra a raiz ξ
– 1º Teste
• Verifica-se se f(a)*f(xf(a)*f(x11)) < 0 0
– Se verdadeiroverdadeiro ξξ ∈ (aa0 0 ,, x x11) Logo: a1 = aa00 e b1 = xx11
– Caso contrarioCaso contrario ξ ∈ (xx1 1 ,, b b00)Logo a1 = xx11 e b1 = bb00
Definição do Novo Intervalo
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
69
Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de paradacondições de parada.
Definição do novo valor de xx– 2º Teste
– Verifica-se se f(xf(xi i )*f(x)*f(xi+1i+1)) > 00
• Caso seja verdadeiroverdadeiro
– Se f(a)*f(xf(a)*f(x11)) < 00
Se verdadeiro faz-se f(a)/2f(a)/2
Caso contrário faz-se f(b)/2f(b)/2
• Caso contrarioCaso contrario Permanecem os valores
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 70
Análise Gráfica
Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições condições de paradade parada.
Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições condições de paradade parada.
Cálculo Numérico – FPMFPM
x
a = a1ξ
f(x)
b1 = x1
xx 22 = (a|f(x = (a|f(x 11)| - x)| - x 11 | f(a)| )|f(a)| )
(|f(x(|f(x 11 )| - |f(a)|) )| - |f(a)|)
xx 22
f(a1)/2
x
a = a0
ξ
f(x)
b = b0xx 11
xx 11 = (a|f(b)| - x = (a|f(b)| - x 11 | f(a)| )|f(a)| )
(|f(b)| - |f(a)|) (|f(b)| - |f(a)|)
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
71
Condições de paradaSe os valores fossem exatosexatos
f(x) = 0f(x) = 0(x(x k k – x– x k+1k+1 )/x)/x kk = 0 = 0
Não o sendoNão o sendo|| f(x)f(x) || ≤≤ tolerância tolerância|| (x(x k k – x– x k+1k+1 )/x)/x kk | | ≤≤ tolerância tolerância
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
72
Algoritmok := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a; F0 := f(a0); G0 := f(b0);xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk);while critério de convergência não satisfeito and k ≤ L
if f(ak)f(xk+1) ≤ 0 then /* raiz em [a/* raiz em [akk , x , xk+1k+1] */] */ak+1 := ak; bk+1 := xk+1; Gk+1 = f(xk+1)
if f(xk)f(xk+1) > 0 then Fk+1 = Fk/2endif
else /* raiz em [x/* raiz em [xk+1k+1, b, bkk] */] */ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ; Fk+1 = f(xk+1)if f(xk)f(xk+1) > 0 then Gk+1 = Gk/2endif
endifk := k +1; xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk);
endwhileif k ≤ L
xk+1 é uma aproximação aceitável para a raizendif
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
73
Cálculo Numérico – FPMFPM
Exemplo 10: Considerando f(x) = xlogx – 1f(x) = xlogx – 1
h(x)y
ξ
g(x)
x1 2 3 4 5 6
Intervalo inicial atribuído: [2, 3][2, 3]
Considerando-se εε = 0,0020,002 f(a0)
= - 0,3979- 0,3979f(b0) = 0,43140,4314
f’(xx) = logx + 1/xln10logx + 1/xln10 f(a0) * f(b0) = - 0,017165< 0- 0,017165< 0
Sinal da derivada constante (f’(a0) = 0,520,52 e f’(b0) = 0,6220,622)
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 74
Exemplo 10: Cálculo da 1ª aproximação a0 = x0 = 22 b0 = 33
f(a0) = - 0,3979- 0,3979 < 00f(b0) = 0,43140,4314 > 00
x1 = [2.0,4314 – 3.(- 0,3979)] = 2,47982,4798 [0,4314 – (- 0,3979)]Teste de Parada
|f(x1)| =|- 0,0219| = 0,02190,0219 > tolerânciatolerância
Escolha do Novo Intervalo f(a0).f(x1) = (- 0,3979).(- 0,0219) > 00 logo: a1 = x1 = 2,47982,4798 e b1 = b0 = 33
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 75
Exemplo 10: Cálculo da 2ª aproximação a1 = 2,4798 2,4798 b1 = 33
f(x0).f(x1) = (- 0,3979).(- 0,0219) > 00
f(a0).f(x1) = (- 0,3979 ).(- 0,0219) > 00
f(a1) = - 0,0219- 0,0219 < 00
f(b1) = 0,43140,4314 > 00
x2 = [2,4798.(0,4314/2) – 3.(- 0,0219)] ⇒
[(0,4314/2) – (- 0,0219)]x2 = 2,52772,5277
( faz f(b)/2f(b)/2 )
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 76
Exemplo 10: Cálculo da 2ª aproximação a1 = 2,4798 2,4798 b1 = 33
Teste de Parada |f(xx22)| =|0,018| = 0,0180,018 > εε
Escolha do Novo Intervalo f(aa11).f(xx22) = (- 0,0219).(0,018) < 00
logo: a2 = a1 = 2,47982,4798 e b2 = x2 = 2,52772,5277
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 77
Exemplo 10: Cálculo da 3ª aproximação: a2 = 2,47982,4798 e b2 =
2,52772,5277
f(x1).f(x2) = (- 0,0219).(0,018) < 00
f(a1).f(x2) = (- 0,0219).(0,018) < 00
f(a2) = -- 0,02190,0219 < 00
f(b2) = 0,0180,018 > 00
x3 = [2,4798.(0,018) – 2,5277.(- 0,0219)] ⇒ [(0,018) – (- 0,0219)]
x3 = 2,50602,5060
Cálculo Numérico – FPMFPM
( Permanece f(a)f(a) e f(b)f(b) )
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 78
Exemplo 10: Cálculo da 3ª aproximação: a2 = 2,47982,4798 e b2 =
2,52772,5277Teste de Parada
|f(x3)| =|- 0,000153| = 0,0001530,000153 < εε
(valor aceitável de raizvalor aceitável de raiz )
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 79
k ak bk f (ak) f(bk) x k+1 f(x k+1 )
02,0000002,000000 3,0000003,000000 -0,3979000-0,3979000 0,4314000,431400 2,47980002,4798000 -0,021900-0,021900
12,479800 3,000000 -0,0219000 0,431400 2,52770002,5277000 0,0180000,018000
22,479800 2,527700 -0,0219000 0,018000 2,50600002,5060000 -0,000153-0,000153
Exemplo 10: f(x) = xlogx – 1f(x) = xlogx – 1
εε = 0,0020,002
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 80
Exemplo 11: Seja a função do Exemplo 7, f(x) = xf(x) = x3 3 – x – x – 1– 1
Cálculo Numérico – FPMFPM
Intervalo inicial atribuído: [1, 2][1, 2]
Considerando-se ε = 0,0020,002
f(a0) = -1-1
f(b0) = 55
f’(x) = 3x3x22 – 1 – 1
f(a0) * f(b0) = -5 < 0-5 < 0
Sinal da derivada constanteconstante (f’(a0) = 22 e f’(b0) = 1111)
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 81
Cálculo da 1ª aproximação a0 = x0 = 11 b0 = 22f(a0) = - 1- 1 < 00f(b0) = 55 > 00
x1 = [1.5 – 2.(- 1)] = 1,166671,16667 [5 – (- 1)] Teste de Parada
|f(x1)| =|- 0,5787| = 0,57870,5787 > εε
Exemplo 11:
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 82
Cálculo da 1ª aproximação a0 = x0 = 11 b0 = 22
Escolha do Novo Intervalo f(a0).f(x1) = (- 1).(- 0,5787) > 00
logo: a1 = x1 = 1,166671,16667 e b1 = b0 = 22
Exemplo 11:
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 83
Cálculo da 2ª aproximação: a1 = 1,166671,16667 e b1 = 22
f(x0).f(x1) = (- 1).(- 0,5787) > 00
f(a0).f(x1) = (- 1).(- 0,5787) > 00
f(a1) = - 0,5787- 0,5787 < 00
f(b1) = 5 5 > 00x2 = [1,16667.(5/2) – 2.(- 0,5787)] = 1,32331,3233
[(5/2) – (- 0,5787)]
(Faz f(b)/2 f(b)/2 )
Exemplo 11:
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 84
Cálculo da 2ª aproximação: a1 = 1,166671,16667 e b1 = 22
Teste de Parada |f(x2)| =|- 0,00604| = 0,00604 0,00604 > εε
Escolha do Novo Intervalo f(a1).f(x2) = (- 0,5787).(- 0,00604) > 00
logo: a2 = x2 = 1,32331,3233 e b2 = b1 = 22
Exemplo 11:
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 85
Exemplo 11: Cálculo da 3ª aproximação: a2 = 1,32331,3233 e b2 = 22
f(x1).f(x2) = (- 0,5787).(- 0,00604) > 00
f(a1).f(x2) = (- 0,5787).(- 0,00604) > 00
f(a2) = - 0,00604- 0,00604 < 00
f(b2) = 55 > 00
x3 = [1,3233.(5/2) – 2.(- 0,0064)] = 1,324931,32493
[(5/2) – (- 0,0064)]
(Faz f(b)/2f(b)/2 )
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 86
Exemplo 11: Cálculo da 3ª aproximação: a2 = 1,32331,3233 e b2 = 22
Teste de Parada |f(x3)| =|0,00078| = 0,000780,00078 < εε
(valor aceitável de raiz valor aceitável de raiz )
Cálculo Numérico – FPMFPM
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 87
Exemplo 11: f(x) = xf(x) = x 3 3 – x – 1– x – 1
Cálculo Numérico – FPMFPM
k ak bk f(ak) f(bk) x k+1 f(xk+1 )
01,0000001,000000 2,0000002,000000 -1,0000000-1,0000000 5,0000005,000000 1,16667001,1666700 -0,578700-0,578700
11,166670 2,000000 -0,5787000 5,000000 1,32330001,3233000 -0,006040-0,006040
21,323300 2,000000 -0,0060400 5,000000 1,32493001,3249300 0,0007800,000780
εε = 0,0020,002
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 88
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
• Método do Ponto FixoPonto Fixo (MPFMPF)
Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo [a,b][a,b] onde existe uma raiz única, f(x) = 0f(x) = 0, é possível transformar tal equação em uma equação equivalente x = g(x)x = g(x) e, a partir de uma aproximação inicial xx00
, gerar uma seqüência {x{xkk} }
de aproximações para ξξ pela relação xxk+1k+1 = g(x = g(xkk)), uma
vez que g(x)g(x) é tal que f(f(ξξ) = 0 ) = 0 se e somente se g(g(ξξ)) = = ξξ.
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 89
• Método do Ponto FixoPonto Fixo (MPFMPF)
Implicação de tal procedimento:
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Problema de determinação de um zero de f(x)f(x)Problema de determinação de um zero de f(x)f(x)
Problema de determinação de um ponto fixo de g(x)g(x)Problema de determinação de um ponto fixo de g(x)g(x)
Função de iteração
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 90
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
• Método do Ponto FixoPonto Fixo (MPFMPF)Forma geral das funções de iteração:
com A(A(ξξ) ) ≠≠ 0 0 em ξξ, ponto fixo de g(x)g(x).
• Interpretação Gráfica
– x = g(x)x = g(x) tem como raizraiz a abcissa do ponto de intersecção da reta r(x) = xr(x) = x e da curva g(x)g(x).
)x(f)x(Ax)x(g +=
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 91
Exemplo 12:Seja a equação xx22 + x – 6 + x – 6 = 0= 0 .
Funções de iteração possíveis:
gg11(x)(x) = 6 - = 6 - xx22
gg22(x)(x) = ±√6 - = ±√6 - xx
gg33(x)(x) = 6/= 6/x – 1x – 1
gg44(x)(x) = 6/(= 6/(x + 1)x + 1)
Dada uma equação do tipo f(x) = 0f(x) = 0, há para tal equação mais de umamais de uma funçãofunção de iteração g(x)g(x), tal que: f(x) = 0f(x) = 0 ⇔ x = x = g(x)g(x)
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 92
Análise Gráfica da ConvergênciaSituação 1
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
x k ↑ ξ quando k → ∞
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 93
Análise gráfica da ConvergênciaSituação 2
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
ξ2ξξ22xx00
gg22(x) = (6(x) = (6--x)x)½½
xx11
xx33
{x{xkk} } →→ ξξ quandoquando k k →→ ∞∞
ξ2ξξ22xx00
gg22(x) = (6(x) = (6--x)x)½½
xx11
xx33
{x{xkk} } →→ ξξ quandoquando k k →→ ∞∞
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 94
Análise Gráfica da ConvergênciaSituação 3
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
x k ↑ ξ quando k → ∞x k ↑ ξ quando k → ∞
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 95
Análise gráfica da Convergência
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Situação 4
ξ1ξξ11xx00ξ2ξξ22
gg44(x) = 6/(x + 1)(x) = 6/(x + 1)
xx11 xx33
{x{xkk} } →→ ξξ quandoquando k k →→ ∞∞
ξ1ξξ11xx00ξ2ξξ22
gg44(x) = 6/(x + 1)(x) = 6/(x + 1)
xx11 xx33
{x{xkk} } →→ ξξ quandoquando k k →→ ∞∞
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 96
Exemplo 13: Seja a seguinte equação xx22 + x + x – 6– 6 = 0= 0 ::
Não há necessidade de uso de método numérico para a determinação das raízes ξξ 11 = -3 = -3 e e ξξ 22 = 2 = 2
Util ização desta exemplo para demonstrar a convergência ou divergência numérica e gráfica do processo iterativo
Seja a raiz ξξ 22 = 2 = 2 e e gg 11 (x) = 6 - x (x) = 6 - x 22
Considere-se xx 00= 1,5= 1,5 e g(x) g(x) = gg 11 (x) (x)
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 97
x1 = g(x0) = 6 – 1,52 = 3,753,75
x2 = g(x1) = 6 – 3,752 = -8,0625-8,0625
x3 = g(x2) = 6 – (-8,0625)2 = -59,003906-59,003906
Conclui-se que { xx kk }} não convergirá para ξξ 22 == 2 2
xx 44 = g( = g(x3 ) = ) = 66 – – (( -59,003906-59,003906 )) 22 = = - 3475,4609- 3475,4609
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Exemplo 13:Seja a raiz ξξ 2 2 = 22 , , x0 = 1,51,5 e g1 (x) = 6 – x²6 – x²:
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 98
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Exemplo 13: Análise Gráfica:
{x{x kk } } ↑↑ ξξ
y
xξ2
x1
g(x)g(x)
xx 00
y = xy = x
x2
ξ1
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 99
Exemplo 14: Seja a raiz ξξ22 = 22, g
2
(x) = √√6 - x6 - x e x0 = 1,51,5
Conclui-se que {x{x kk }} tende a convergir tende a convergir para para ξξ 22 = = 2 2
x1 = g(x0) = √6 - 1,5 = 2,1213203432,121320343
x2 = g(x1) = √6 - 2,121320343 = 1,9694363801,969436380
x3 = g(x 2) = √6 -1,969436380 = 2,0076263642,007626364
x4 = g(x3) = √6 - 2,007626364 = 1,9980924991,998092499
x5 = g(x4) = √6 - 1,998092499 = 2,0004768182,000476818
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 100
Exemplo 14: Análise Gráfica
{x{xkk} } → ξξ 22 quando kk → infinf
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
g(x)g(x)
x
yy = xy = x
ξ2x1
xx 00
x2
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 101
gg11(x)(x) = = xx33 – 1 – 1
gg22(x)(x) = ±√1 + = ±√1 + xx
gg33(x)(x) = 1/= 1/x³ – 1x³ – 1
Dada uma equação do tipo f(x) = 0f(x) = 0, há para tal equação mais de uma função de iteração g(x)g(x), tal que: f(x)f(x) = 00 ⇔ xx = g(x)g(x)
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Exemplo 15: Seja a equação xx 33 – x – 1 – x – 1 = = 00, Tem-se as seguintes funções de iteração possíveis:
3
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 102
Exemplo 15: Seja ξ = 1,3249301,324930, g2 (x) = √√1 + x1 + x e x0 = 11
Conclui-se que {x{x kk }} tende a convergir tende a convergir para para ξξ == 1,3249301,324930
x1 = g(x0) = √1 + 1 = 1,2599211,259921
x2 = g(x1) = √1 + 1,259921 = 1,3122941,312294
x3 = g(x 2) = √1 + 1,312294 = 1,3223541,322354
x4 = g(x3) = √1 + 1,322354 = 1,3242691,324269
x5 = g(x4) = √1 + 1,324269 = 1,3246331,324633
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
3
3
3
3
3
3
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
103
Exemplo 15: Análise Gráfica
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
y
x
g(x)g(x) y = xy = x
ξ2
x1
xx 00
x2x3x4 x5
{x{xkk} } → ξξ 22 quando k k → inf inf
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
104
TEOREMA 2:
Sendo ξξ uma raiz de f(x) = 0f(x) = 0, isolada em um intervalo II centrado em ξξ e g(x)g(x) uma função de iteração para f(x) = 0f(x) = 0. Se
1.1. g(x)g(x) e g’(x)g’(x) são contínuas em I2. || g’(x)g’(x) || ≤≤ M < 1 M < 1, ∀∀ x x ∈∈ I I e3. xx 1 1 ∈∈ I I
então a seqüência {x{x kk }} gerada pelo processo iterativo xx k+1k+1 = g(x = g(x kk)) convergirá para ξξ .
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 105
• gg11(x)(x) geração de uma seqüência divergente de ξξ2 2 = 2= 2
• gg22(x)(x) geração de uma seqüência convergente p/ ξξ2 2 = 2= 2
• g1(x) = 6 - x6 - x22 e g’1 (x) = - 2x- 2x contínuas em II
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Exemplo 16: Resgatando os Exemplos Exemplos 1313 e 1414, verif icou-se que:
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 106
• |g’1 (x)| < 11 ⇔ |-|-2x2x| < 1 ⇔ -½ -½ < x < ½½
• Não existe um intervalo II centrado em ξξ22=2=2, tal que ||g’(x)g’(x)|| <
11, ∀∀ x x ∈∈ I I gg11 (x) (x) não satisfaz a condição 2 do Teorema 2
com relação a ξξ22=2=2 .
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Exemplo 16: Resgatando os Exemplos Exemplos 1313 e 1414, verif icou-se que:
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 107
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
gg 22 (x) (x) = √ 6 - x6 - x e g’2 (x) = - ( 1/21/2 √ 6 - x6 - x ) gg 22 (x) (x) é contínua em S = { xx ∈ R | x x ≤≤ 6 6}
g’g’ 22 (x) (x) é contínua em S’ = { xx ∈ R | x < 6x < 6} | g’g’ 22 (x) (x)| < 11 ⇔ | 1/1/ 22 √ 6 - x6 - x | < 11 ⇔ x < 5,75 5,75
É possível obter um intervalo II centrado em ξξ 22=2=2, tal que todastodas as condições do Teorema 2 sejam satisfeitas .
Exemplo 16:
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
108
Critérios de parada
Se os valores fossem exatosexatos f(xf(x kk ) = 0) = 0
|| xx k k – x– x k-1k-1 || = 0 = 0
Não o sendoNão o sendo || f(xf(x kk )) || ≤≤ tolerância tolerância
|| xx k k – x– x k-1k-1 | | ≤≤ tolerância tolerância
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
109
Algoritmok := 0; x0 := x;
while critério de interrupção não satisfeito and k k ≤≤ L L
k := k +1;
xk+1 := g(xk);
endwhile
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
110
Algoritmo Completo I
(1) Seja f(x) = 0f(x) = 0 e a equação equivalente x = g(x)x = g(x)
Dados: xx00 (aprox. inicial) e εε11 e εε22 (precisões)
Supor que as hipóteses do Teorema 2 foram satisfeitas
(2) Se: lf(x0)l < εε1 1 , então: x´= xx´= x00 . FIMFIM
(3) Senão: k = 0k = 0; NI = 1NI = 1;
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
111
Algoritmo Completo II
(4) xk+1 = g(xk);
(5) Se (lf(xk+1)l < εε11 ou l xk+1 – xk l < εε22 ou NI >L )
Então x´= xx´= xk+1k+1. FIMFIM
(6) xk = xk+1 ; NI = NI+1
Volta para (4)x’ x’ Raiz aproximadax’ x’ Raiz aproximada
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
112
Vantagens:Vantagens:
• Rapidez processo de convergência;
• Desempenho regular e previsível.
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
113
Desvantagens:Desvantagens:
• Um inconveniente é a necessidade da obtenção de uma função de iteração g(x)g(x);
• Difícil sua implementação.
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 114
• Método de Newton-RaphsonNewton-Raphson
Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo [a,b][a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar uma aproximação de tal raiz a partir da interseção da tangente à curva em um ponto xx00 com o eixo das
abscissas.
xx00 - atribuído em função da geometria do método e do
comportamento da curva da equação nas proximidades da raiz.
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
115
Considerações Iniciais
– Deste modo, escolhido xx00 , a seqüência {x{xkk}} será
determinada por
,
onde k = 0, 1, 2, ...k = 0, 1, 2, ...
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
)x(f
)x(fxx
k
kk 1k ′
−=+
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
116
Análise Gráfica
x
ξξ
f(x)
x1xx 00
x2
x3
1a iteração2a iteração3a iteração4a iteração
Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de paradacondições de parada .
Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de paradacondições de parada .
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 117
Estudo da Convergência
TEOREMA 3:
Sendo f(x)f(x), f ’(x)f ’(x) e f”(x)f”(x) contínuas em um intervalo I I que contém uma raiz x = x = ξξ de f(x) = f(x) = 0 0 e supondo f ’(f ’( ξξ ) ) ≠≠ 0 0, exist irá um intervalo Ī Ī ⊆⊆ I I contendo a raiz ξξ , tal que se xx 00 ∈∈ ĪĪ , a seqüência {x{x kk }} gerada pela fórmula recursiva
convergirá para a raiz.
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
)x(f
)x(fxx
k
kk 1k ′
−=+
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
118
• Testes de Parada
– A cada iteração, testa-se se a aproximação encontrada poderá ser considerada como a solução do problema.
• ||f(xf(xkk))|| ≤≤ tolerância tolerância
• ||((x((xk+1k+1 – x – x
kk)/x)/xk+1k+1 ) )|| ≤≤ tolerância tolerância
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
119
Algoritmok := 0; x0 := x;
while critério de interrupção não satisfeito and k k ≤≤ L L
k := k +1;
xk+1 := xk – f(xk)/f’(xk)
endwhile
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 120
Exemplo 17: No Exemplo 13, no qual xx 22 + x – 6 + x – 6 = 0 = 0 :
Seja a raiz ξ2 = 2 e x0 = 1,5 1,5 Assim:
x1 = g(x0) = 1,5 – (1,52 + 1,5 – 6)/(2.1,5 + 1)
x1 = 2,0625000002,062500000x2 = g(x1) = 2,0007621952,000762195
x3 = g(x2) = 2,0000001162,000000116
g(x) = x - f(x)/f ’(x) = x – (x 2 + x – 6)/(2x + 1)
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 121
Exemplo 17: Comentários:
A parada poderá ocorrer na 3 a i teração ( x = 2,000000116x = 2,000000116), caso a precisão do cálculo com 6 casas decimais for satisfatória para o contexto do trabalho
Observe-se que no Exemplo 10, no Método do Ponto Fixo com g(x) = g(x) = √√6 - x6 - x só veio a produzir x = 2,000476818x = 2,000476818 na 5a i teração
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 122
ξ1 ∈ I1 = ( -1-1, 00), ξξ 22 ∈ I2 = ( 11, 22) Seja x0 = 11 xk+1 = x k - f(x k)/f ’(x k)
e g(x) = x x – (x3 - x - 1)/(3x3x22 – 1 – 1))
Exemplo 18: Considere-se a função f(x) =f(x) = xx 33 - x - 1 - x - 1 , e tol = 0,002tol = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos:
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 123
Cálculo da 1ª aproximação
g(xx00) = 1 – [ (1)³ – 1 – 1 ] = 1,51,5
[ 3*(1)² – 1 ]
Teste de Parada
|f(xx00)| =| 0,875 | = 0,8750,875 > εε
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
Exemplo 18:
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 124
Cálculo da 2ª aproximação
g(xx11) = 1.5 – [ (1.5)³ – 1.5 – 1 ] = 1,34782611,3478261
[ 3*(1.5)² – 1 ]
Teste de Parada
|f(xx11)| =| 0,100682 | = 0,1006820,100682 > εε
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
Exemplo 18:
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 125
Cálculo da 3ª aproximação
g(xx22) = 1,3478261 - [ (1,3478261)³ - 1,3478261 - 1 ]
[ 3*(1,3478261)² - 1 ]
g(xx22) = 1,32520041,3252004
Teste de Parada
|f(xx22)| =| 0,0020584 | = 0,00205840,0020584 > εε
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
Exemplo 18:
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 126
A seqüência {x{xkk}} gerada pelo método de Newton será:
Exemplo 18:
I teração x F(x)
1 1,51,5 0,8750,875
2 1,34782611,3478261 0,10068220,1006822
3 1,32520041,3252004 0,00205840,0020584
4 1,32471821,3247182 9,24378.109,24378.10
5 1,32471781,3247178 1,86517.101,86517.10
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
-7-7
-13-13
εε = 0,0020,002
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
127
Vantagens:Vantagens:
• Rapidez processo de convergência;
• Desempenho elevado.
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
128
Desvantagens:Desvantagens:
• Necessidade da obtenção de f’(x)f’(x) , o que pode ser impossível em determinados casos;
• O cálculo do valor numérico de f’(x)f’(x) a cada iteração;
• Difícil implementação.
Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 129
• Método da SecanteSecante
Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo [a,b][a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar uma aproximação de tal raiz a partir da interseção da secante à curva em dois pontos xx00 e xx11 com o eixo das abscissas.
xx00 e xx11 - atribuídos em função da geometria do método e
do comportamento da curva da equação nas proximidades da raiz.
Cálculo Numérico – SecanteSecante
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
130
Considerações Iniciais
– Método de Newton-RaphsonNewton-Raphson
• Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de f’(x)f’(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração
– Forma de desvio do inconveniente
• Substituição da derivada f’(xf’(xkk)) pelo quociente das
diferenças
f’(xf’(xkk) ≈ [f(x) ≈ [f(x
kk) - f(x) - f(xk-1k-1)]/(x)]/(x
kk - x - xk-1k-1))
onde xxk-1k-1 e xxkk
são duas aproximações para a raiz
Cálculo Numérico – SecanteSecante
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
131
Interpretação Geométrica
A partir de duas aproximações xx k-1k-1 e xx kk
Obtém-se o ponto xx k+1k+1 como sendo a abscissa do ponto de intersecção do eixo oxox e da reta que passa pelos pontos ( xx k-1 k-1 , f(x, f(x k-1k-1 )) ) e ( xx k k , f(x, f(x kk )) ) (secante à curva da função)
Cálculo Numérico – SecanteSecante
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
• Com esse método, determinamos um ponto a partir da assimilação da curva com um segmento passando pelos pontos (XE, f(XE)) e (XD, f(YD)). O candidato para ser raiz é o ponto de interseção desse segmento com o eixo x.
Cálculo Numérico – SecanteSecante
Análise Gráfica
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
O segmento (XN,f(XN)); (XD,f(XD)) é usado para determinar o valor do passo seguinte.
Cálculo Numérico – SecanteSecante
Análise Gráfica
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
134
• Testes de Parada– A cada iteração, testa-se se a aproximação
encontrada poderá ser considerada como a solução do problema.
• ||f(xf(xkk))|| ≤≤ εε
• ||((x((xk+1k+1 – x – x
kk)/x)/xk+1k+1 ) )|| ≤≤ εε
Cálculo Numérico – SecanteSecante
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
135
Algoritmok := 0; x0 := X0; x1 := X1
while critério de interrupção não satisfeito and k k ≤≤ L L
k := k +1;
xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1))/(f(xk) - f(xk-1)) endwhile
Cálculo Numérico – SecanteSecante
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
136
Vantagens:Vantagens:
• Rapidez processo de convergência;
• Cálculos mais convenientes que do método de Newton;
• Desempenho elevado.
Cálculo Numérico – SecanteSecante
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
137
Desvantagens:Desvantagens:
• Se o cálculo f’(x)f’(x) não for difícil, então o método logo será substituído pelo de Newton-Raphson;
• Se o gráfico da função for paralela a um dos eixos e/ou tangencia o eixo das abscissas em um ou mais pontos, logo não se deve usar o método da Secante Secante ;
• Difícil implementação.
Cálculo Numérico – SecanteSecante
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
138
Análise Comparativa dos Métodos
• Garantias de ConvergênciaGarantias de Convergência
• Rapidez de ConvergênciaRapidez de Convergência
• Esforço ComputacionalEsforço Computacional
Critérios de Comparação
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
139
Análise Comparativa dos Métodos
• BissecçãoBissecção e Falsa PosiçãoFalsa Posição
– Convergência garantidaConvergência garantida, desde que a função seja contínuacontínua num intervalo [aa,bb] , tal que f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0
Garantias de Convergência dos Métodos
Ponto FixoPonto Fixo , Newton-RaphsonNewton-Raphson e SecanteSecanteCondições mais restr it ivasmais restr it ivas de
convergência
Se as condições de convergência forem satisfeitassatisfeitas, os dois últ imos métodos são mais rápidosmais rápidos do que os demais estudados
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
140
Análise Comparativa dos Métodos
• Número de IteraçõesNúmero de Iterações Medida usualmente adotada para a determinação da rapidez de convergênciarapidez de convergência de um método
• Não deve ser uma medida conclusivaconclusiva sobre o tempo de execução do programa
• Tempo gasto Tempo gasto na execução de uma iteração VariávelVariável de método para método
Rapidez de Convergência
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
141
Análise Comparativa dos Métodos
• Indicadores
– Número de operações operações efetuadas a cada iteração;
– ComplexidadeComplexidade das operações;
– Número de decisõesdecisões lógicas;
– Número de avaliaçõesavaliações de função a cada iteração; e
– Número total de iteraçõesiterações.
Esforço Computacional
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
142
Análise Comparativa dos Métodos
• Conclusões gerais sobre a eficiência computacional de um método.
– BissecçãoBissecção Cálculos mais simplessimples por iteração
– NewtonNewton Cálculos mais elaboradoselaborados
– Número de iterações da BissecçãoBissecção é, na grande maioria das vezes, muito maiormuito maior do que o número de iterações efetuadas por NewtonNewton
Esforço Computacional
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
143
Análise Comparativa dos Métodos
• Convergência asseguradaConvergência assegurada
• Ordem de convergência altaOrdem de convergência alta
• Cálculos por iteração simplesCálculos por iteração simples
Condições a Serem Satisfeitas pelo Método Ideal
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
144
Análise Comparativa dos Métodos
• Newton-RaphsonNewton-Raphson Caso seja fácil a verificação das condições de convergência e o cálculo de f´(x)f´(x)
• SecanteSecante Caso seja trabalhoso obter e/ou avaliar f´(x)f´(x) , uma vez que não é necessária a obtenção de f´(x)f´(x)
Escolha do Melhor Método
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
145
Análise Comparativa dos Métodos
• Se o objetivo for a reduçãoredução do intervalo que contém a raiz BissecçãoBissecção ou FalsaFalsa PosiçãoPosição ModificadoModificado (nãonão usar o Método da FalsaFalsa PosiçãoPosição)
• Se a escolha parte de um valor inicialvalor inicial para a raiz Newton-Raphson Newton-Raphson ou da SecanteSecante (pois trabalham com aproximações xxkk para a raiz exata)
Critério de Parada Detalhe importanteimportante na escolha do método
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
146
Análise Comparativa dos Métodos
• Situações nas quais se deve evitar o uso do Método de Newton-RaphsonNewton-Raphson e da SecanteSecante
– Tendência da curva ao paralelelismoparalelelismo a qualquer um dos eixos
– Tendência da função à tangênciatangência ao eixo das abscissas em um ou mais pontos.
Observações Importantes
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
147
Análise Comparativa dos Métodos
• Escolha do método Diretamente relacionada com a equação equação cuja solução é desejada
– Comportamento da função na região da raiz exata
– Dificuldades com o cálculo de f´(x)f´(x)
– Critério de parada, etc.
Conclusão
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
148
Análise Comparativa dos Métodos
Exemplo 01: f(x) = xf(x) = x 3 3 – x – 1– x – 1
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
ξξ ∈ [11, 2 2 ], ], ε1 = ε2 = 1010 -6-6
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
149
Análise Comparativa dos Métodos
Exemplo 01:
φ(x) = (x+1)φ(x) = (x+1)1/31/3
441,598683 x 101,598683 x 10 --44-- 1,186057 x 101,186057 x 10 --661,3247181,324718[ 1,2][ 1,2]FPMFPM
881,221868 x 101,221868 x 10 --661,417347 x 101,417347 x 10 --991,3247181,324718xx 00 = 0,2= 0,2xx 11 = 0,5= 0,5
Secant eSecant e
21216,275822 x 106,275822 x 10 --772,746469 x 102,746469 x 10 --12121,3247181,324718xx 00 = 0= 0New tonNew t on
991,882665 x 101,882665 x 10 --662,493994 x 102,493994 x 10 --661,3247181,324718xx 00 = 1= 1Pont o FixoPont o Fixo
34342,614434 x 102,614434 x 10 --66-- 1,087390 x 101,087390 x 10 --551,3247151,324715[ 1,2][ 1,2]Falsa PosiFalsa Posiççãoão
18182,879637 x 102,879637 x 10 --662,209495 x 102,209495 x 10 --661,3247181,324718[ 1,2][ 1,2]BissecBissecççãoão
# # de de it erait eraççõesõesErro em xErro em xf (x)f (x)xxDados Dados
iniciaisiniciais
441,598683 x 101,598683 x 10 --44-- 1,186057 x 101,186057 x 10 --661,3247181,324718[ 1,2][ 1,2]FPMFPM
881,221868 x 101,221868 x 10 --661,417347 x 101,417347 x 10 --991,3247181,324718xx 00 = 0,2= 0,2xx 11 = 0,5= 0,5
Secant eSecant e
21216,275822 x 106,275822 x 10 --772,746469 x 102,746469 x 10 --12121,3247181,324718xx 00 = 0= 0New tonNew t on
991,882665 x 101,882665 x 10 --662,493994 x 102,493994 x 10 --661,3247181,324718xx 00 = 1= 1Pont o FixoPont o Fixo
34342,614434 x 102,614434 x 10 --66-- 1,087390 x 101,087390 x 10 --551,3247151,324715[ 1,2][ 1,2]Falsa PosiFalsa Posiççãoão
18182,879637 x 102,879637 x 10 --662,209495 x 102,209495 x 10 --661,3247181,324718[ 1,2][ 1,2]BissecBissecççãoão
# # de de it erait eraççõesõesErro em xErro em xf (x)f (x)xxDados Dados
iniciaisiniciais
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
150
Análise Comparativa dos Métodos
Exemplo 02: xx 22 + x – 6 + x – 6 = 0= 0
g(x)g(x)
x
y
1 3 4 50-1-2-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
-6
-5
-3 2
ξξ ∈ [11, 3 3 ], ], ε1 = ε2 = 1010 -6-6
Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
151
Exemplo 02:
Análise Comparativa dos Métodos
φ(x) = (6 - x)φ(x) = (6 - x)1/21/2
18182,450482 x 102,450482 x 10 --77--2,397253 x 102,397253 x 10 --662,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]FPMFPM
559,798250 x 109,798250 x 10 --66--4,230246 x 104,230246 x 10 --882,0000002,000000xx 00 = 1,0= 1,0xx 11 = 1,2= 1,2
Secant eSecant e
445,820766 x 105,820766 x 10 --10105,820766 x 105,820766 x 10 --992,0000002,000000xx 00 = 1= 1New tonNew t on11115,696906 x 105,696906 x 10 --771,139381 x 101,139381 x 10 --662,0000002,000000xx 00 = 1= 1Pont o FixoPont o Fixo
42428,548295 x 108,548295 x 10 --88--2,479001 x 102,479001 x 10 --662,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]Falsa PosiFalsa Posiççãoão
20207,152561 x 107,152561 x 10 --772,384186 x 102,384186 x 10 --662,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]BissecBissecççãoão
# de # de it erait eraççõesõesErro em xErro em xf (x)f (x)xxDados Dados
iniciaisiniciais
18182,450482 x 102,450482 x 10 --77--2,397253 x 102,397253 x 10 --662,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]FPMFPM
559,798250 x 109,798250 x 10 --66--4,230246 x 104,230246 x 10 --882,0000002,000000xx 00 = 1,0= 1,0xx 11 = 1,2= 1,2
Secant eSecant e
445,820766 x 105,820766 x 10 --10105,820766 x 105,820766 x 10 --992,0000002,000000xx 00 = 1= 1New tonNew t on11115,696906 x 105,696906 x 10 --771,139381 x 101,139381 x 10 --662,0000002,000000xx 00 = 1= 1Pont o FixoPont o Fixo
42428,548295 x 108,548295 x 10 --88--2,479001 x 102,479001 x 10 --662,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]Falsa PosiFalsa Posiççãoão
20207,152561 x 107,152561 x 10 --772,384186 x 102,384186 x 10 --662,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]BissecBissecççãoão
# de # de it erait eraççõesõesErro em xErro em xf (x)f (x)xxDados Dados
iniciaisiniciais