CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN

“Para entender una ciencia es necesario conocer su historia”

Augusto Comte (17981857)

1.1 Reseña Histórica Con esta cita de Auguste Comte en mente, comenzamos este estudio introductorio de los sistemas de comunicación con un breve recuento histórico de esta disciplina que toca nuestras vidas diarias de una u otra forma. Cada subsección en esta sección se enfoca en algunos eventos importantes y relacionados en la evolución histórica de la comunicación. Telégrafo

El telégrafo fue perfeccionado por Samuel Morse, un pintor. Con las palabras “Qué ha forjado Dios”, transmitidas por el telégrafo eléctrico de Morse entre Washington y Baltimore (Estados Unidos), en 1844, se dio inicio a un medio completamente revolucionario de transmisión a larga distancia en tiempo real. El telégrafo, adaptado idealmente para tecleo manual, es el precursor de las comunicaciones digitales. Específicamente, el código Morse es un código de longitud variable que usa un alfabeto de cuatro símbolos: un punto, una raya, un espacio entre letras y un espacio entre palabras; una secuencia corta representa letras frecuentes, en tanto que secuencias largas representas letras poco frecuentes. Radio

En 1864, James Clerk Maxwell formuló la teoría electromagnética de la luz y predijo la existencia de ondas de radio; el conjunto subyacente de ecuaciones lleva su nombre. La existencia de ondas de radio fue confirmada experimentalmente por Heinrich Hertz en 1887. En 1894, Oliver Lodge demostró la comunicación inalámbrica en una distancia relativamente corta (150 yardas). Entonces, el 12 de diciembre de 1901, Guglielmo Marconi recibió una señal de radio en Signal Hill en Terranova; la señal de radio se había originado en Cornwall, Inglaterra, a 2700 kilómetros a través del Atlántico. De este modo quedó abierto el camino hacia una tremenda ampliación del alcance de las comunicaciones. En 1906, Reginald Fessenden, un académico autodidacta, hizo historia al producir la primera transmisión radial.

En 1928, Edwin H. Armstrong inventó el receptor de radio superheterodino; hasta el día de hoy, casi todos los radios receptores son de este tipo. En 1933, Armstrong demostró otro concepto revolucionario – a saber, un esquema de modulación que él denominó modulación de frecuencia (FM). El artículo de Armstrong presentando el caso para la radio FM se publicó en 1936. Teléfono

En 1875, el teléfono fue inventado por Alexander Graham Bell, un maestro de sordos. El teléfono convirtió en una realidad práctica la transmisión en tiempo real de la voz mediante codificación eléctrica y la réplica del sonido. La primera versión del teléfono fue cruda y débil, permitiendo que las personas hablaran a distancias cortas solamente. Cuando el servicio telefónico tenía sólo unos pocos años de edad, se desarrolló el interés en automatizarlo. Notablemente, en 1897, A. B. Strowger, un empresario de pompas fúnebres de Kansas City, Missouri, Estados Unidos, diseñó el conmutador paso a paso que lleva su nombre. De todos los conmutadores electromecánicos diseñados en esos años, el conmutador de Strowger fue el más popular y el de mayor uso.

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Electrónica

En 1904, John Ambrose Fleming inventó el diodo de tubo de vacío, el cual preparó el camino para la invención del triodo de tubo de vacío por Lee de Forest en 1906. El descubrimiento del triodo fue instrumental en el desarrollo de la telefonía intercontinental en 1913 e indicó el amanecer de las comunicaciones de voz inalámbricas. En efecto, hasta la invención y perfección del transistor, el triodo fue el dispositivo supremo para el diseño de los amplificadores electrónicos.

El transistor fue inventado en 1948 por Walter H. Brattain, John Bardeen y Willian Shockley en los Laboratorios Bell. El primer circuito de silicio integrado (IC) fue producido por Robert Noyce en 1958. Estas importantes innovaciones en los dispositivos de estado sólido y en circuitos integrados condujeron al desarrollo de circuitos integrados a escala muy grande (VLSI) y de microprocesadores de un solo chip, y con ello se cambió para siempre la naturaleza del procesamiento de señales y la industria de las telecomunicaciones. Televisión

El primer sistema de televisión todo electrónico fue demostrado por Philo T. Farnsworth en 1928 y después por Vladimir K. Zworykin en 1929. Para 1939, la British Broadcasting Corporation (BBC) ya estaba transmitiendo televisión en una base comercial. Comunicaciones Digitales

En 1928, Harry Nyquist publicó un trabajo clásico sobre la teoría de la transmisión de señales en telegrafía. En particular, Nyquist desarrolló criterios para la recepción correcta de señales telegráficas transmitidas por canales dispersivos en la ausencia de ruido. Mucho de los primeros trabajos de Nyquist se aplicó posteriormente a la transmisión de datos digitales por canales dispersivos.

En 1927, Alex Reeves inventó la modulación codificada de pulsos (PCM) para la codificación digital de señales de voz. La técnica fue desarrollada durante la segunda guerra mundial para permitir la encriptación de señales de voz; en efecto, los militares norteamericanos utilizaron un sistema completo de 24 canales en el campo de batalla al final de la guerra. Sin embargo, la OCM tendría que esperar hasta el descubrimiento del transistor y el desarrollo posterior de la integración de circuitos a gran escala para su explotación comercial.

La invención del transistor en 1948 aceleró la aplicación de la electrónica a la conmutación y a las comunicaciones digitales. La motivación fue mejorar la confiabilidad, aumentar la capacidad y reducir los costos. La primera llamada a través de un sistema con almacenamiento de programas fue realizada en marzo de 1958 en los Laboratorios Bell, y el primer servicio telefónico comercial con conmutación digital comenzó en Morris. Illinois, en junio de 1960. El primer sistema de portadora T-1 de transmisión fue instalado en 1962 por los laboratorios Bell.

En 1943, D. O. North diseñó el filtro adaptativo para la detección óptima de una señal conocida que contenía ruido blanco aditivo. En 1946 se obtuvo independientemente un resultado similar por J. H. Van Vleck y D. Middleton, quienes acuñaron el término filtro adaptativo.

En 1948, Claude Shannon colocó las fundaciones teóricas de las comunicaciones digitales en un trabajo titulado “A Mathematical Theory of Communication”. El trabajo de fue recibido con entusiasmo y aclamado de inmediato. Fue quizás esta recepción lo que llevó a Shannon a enmendar el título de su trabajo y titularlo “The Mathematical Theory of Communication”, cuando fue reimpreso en un libro que tenía de coautor a Warren Weaver. Es importante observar que antes de la publicación del trabajo clásico de Shannon en 1948, se creía que si se incrementaba la tasa de transmisión de información por un canal, se aumentaría la probabilidad de error. La comunidad de la teoría de la comunicación fue sorprendida cuando Shannon demostró que esto no era cierto, siempre y cuando la tasa de transmisión estuviese por debajo de la capacidad del canal. Redes de Computadoras

Durante el periodo de 1943 a 1946, se construyó la primera computadora digital, llamada la ENIAC, en Moore School de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Pennsylvania, bajo la dirección de J. Presper Eckert, Jr., y John W. Mauchly. Sin embargo, Las contribuciones de John von Neunmann estuvieron entre las primeras y más fundamentales a la teoría, diseño y aplicación de las computadoras digitales, las cuales se iniciaron con el primer

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esbozo de un informe escrito en 1945. Las computadoras y terminales comenzaron a comunicarse entre sí a largas distancias a principios de los años 1950. Los enlaces utilizados fueron inicialmente canales telefónicos de grado de voz operando a baja velocidad (300 a 1200 b/s). Diferentes factores han contribuido a un crecimiento dramático en las tasas de transmisión de datos; notables entre ellos son la idea de compensación adaptativa, iniciada por Robert Lucky en 1965, y las técnicas eficientes de modulación iniciadas por G. Ungerboeck en 1982. Otra idea de amplio uso en las comunicaciones por computadoras es la de requisición automática de repetición (ARQ). El método ARQ fue diseñado originalmente por H. C. van Dauren durante la segunda guerra mundial y publicado en 1946. Se usó para mejorar la telefonía por radio para la transmisión de telex a largas distancias.

De 1950 a 1970 se hicieron diferentes estudios sobre redes de computadoras. Sin embargo, el más significativo de ellos en términos del impacto sobre las comunicaciones por computadoras fue el Advanced Research Proyects Agency Network (ARPANET), puesto en servicio por primera vez en 1971. El desarrollo de ARPANET fue financiado por la Agencias de Proyectos Avanzados de Investigación del Departamento de Defensa de los Estados Unidos. El trabajo pionero sobre conmutación de paquetes fue realizado por ARPANET. En 1985, ARPANET cambio de nombre a Internet. El punto decisivo en la evolución de la Internet ocurrió en 1990 cuando Tim Berners-Lee propuso una interfaz de software de hipermedio a la Internet, que él llamó World Wide Web. En el lapso de aproximadamente sólo dos años, la Web pasó de ser no existente a tener popularidad mundial, culminando en su comercialización en 1994. El crecimiento explosivo de la Internet se puede explicar ofreciendo dos razones:

Antes de que explotara la existencia de la Web en, ya los ingredientes para su creación estaban en su lugar. En particular, gracias a la VLSI, las computadoras personales (PC) ya se habían vuelto ubicuas en hogares en todo el mundo y en forma creciente estaban siendo equipadas con modems para su interconexión con el mundo externo.

Por aproximadamente dos décadas, la Internet ha crecido en forma estable (aunque dentro de una comunidad de usuarios confinada), logrando un umbral crítico de correo electrónico y de transferencia de archivos.

Se han adoptado estándares para la descripción y transferencia de documentos, lenguaje de hipertextos (HTML) y protocolo de transferencia de hipertextos (HTTP).

Por tanto, todo lo que se requería para crear la Web ya estaba en su sitio excepto por dos ingredientes críticos: una interfaz de usuario sencilla y un brillante concepto de servicio. Comunicaciones Satelitales

En 1955, John R. Pierce propuso el uso de satélites para comunicaciones. Sin embargo, esta proposición fue precedida por un artículo anterior de Arthur C. Clark publicado en 1945, que también proponía la idea de usar un satélite en órbita terrestre como un punto de relevo para la comunicación entre dos estaciones terrenas. En 1957, la Unión Soviética lanzó el Sputnik I, el cual transmitió señales de telemetría por 21 días. Esto fue seguido poco después por el lanzamiento del Explorer I por los Estados Unidos en 1958, el cual transmitió señales de telemetría por aproximadamente cinco meses. Un paso experimental importante en la tecnología de comunicación satelital se tomó con el lanzamiento del Telstar I desde Cabo Cañaveral el 10 de julio de 1962. El satélite Telstar fue construido por los Laboratorios Bell, que habían adquirido un conocimiento considerable desde el trabajo pionero de Pierce. El satélite fue capaz de retransmitir programas de TV a través del Atlántico; esto fue posible sólo a través del uso de receptores maser y grandes antenas. Comunicaciones Ópticas

El uso de medios ópticos (por ejemplo, señales de humo y fuego) para la transmisión de información se conoce desde tiempos prehistóricos. Sin embargo, no se hizo ningún avance importante en las comunicaciones ópticas hasta 1966, cuando K. C. Kao y G. A. Hockham de los Laboratorios Standard Telephone, Reino Unido, propusieron el uso de una fibra de vidrio revestida como una guía de ondas dieléctrica. El laser (un acrónimo para el nombre en inglés Light Amplification by Stimulated Emisión of Radiation) ya había sido inventado y desarrollado en 1959 y 1960. Kao y Hockman señalaron que (1) la atenuación en una fibra óptica se debía a impurezas en el vidrio, y (2) la pérdida intrínseca, determinada por la dispersión de Rayleigh, era muy baja. Efectivamente, predijeron que era posible lograr una pérdida de 20 dB/km. Esta extraordinaria predicción,

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hecha en una época cuando la pérdida de potencia en una fibra de vidrio era de aproximadamente 1000 dB/km, se demostró mucho después. Actualmente, se logran pérdidas de transmisión tan bajas como 0.1 dB/km.

Los avances espectaculares en microelectrónica, computadoras digitales y sistemas de ondas luminosas de que hemos sido testigos hasta el presente, y que continuarán en el futuro, son todos responsables por los cambios dramáticos en el ámbito de las telecomunicaciones. Muchos de estos cambios ya han ocurrido, y más cambios ocurrirán con el tiempo.

1.2 Aplicaciones La reseña histórica de la Sección 1.1 toca muchas de las aplicaciones de los sistemas de comunicación, algunas de las cuales son ejemplificadas por el telégrafo que vino y se fue, en tanto que otras ejemplificadas por la Internet, son de origen reciente. En lo que sigue, nos dedicaremos a la radio, a redes de comunicación ilustradas por el teléfono y la Internet, las cuales dominan los medios por los que nos comunicamos en una de dos formas básicas o en ambas, como se resume aquí:

Radiodifusión, la cual involucra el uso de un único transmisor poderoso y numerosos receptores, cuya construcción es de relativamente bajo costo. En esta clase de sistemas de comunicación, las señales portadoras de información fluyen sólo en una dirección, desde el transmisor hacia cada uno de los receptores en el campo.

Comunicaciones punto a punto, en la cual el proceso de comunicación ocurre en un enlace entre un solo transmisor y un solo receptor. En esta segunda clase de sistemas de comunicación, usualmente se tiene un flujo bidireccional de señales portadoras de información, lo que, en efecto, requiere el uso de un transmisor y un receptor (es decir, un transceptor) en cada extremo del enlace.

El diagrama de bloques de la Fig. 1.1 ilustra la composición básica de un sistema de comunicación. El transmisor, en alguna ubicación en el espacio, convierte la señal del mensaje producida por una fuente de información en una forma adecuada para la transmisión por un canal. El canal, a su vez, transporta la señal del mensaje y la entrega al receptor en alguna otra ubicación en el espacio. Sin embargo, en el curso de la transmisión por el canal, la señal es distorsionada debido a imperfecciones del canal. Además, el ruido y señales interferentes (que se originan en otras fuentes) se le añaden a la salida del canal, con el resultado de que la señal recibida es una versión corrompida de la señal transmitida. El receptor tiene la tarea de operar sobre la señal recibida para producir un estimado de la señal de mensaje original para el usuario de la información. Aquí hablamos de un “estimado” debido a la inevitable desviación, no importa lo pequeña que ella sea, de la salida del receptor comparada con la entrada al transmisor, donde la desviación se atribuye a imperfecciones en el canal, al ruido y a la interferencia.

Sistema de Comunicación

Fuente de información

Transmisor Receptor

Canal

Usuario de la información

Señal recibida

Señal transmitida

Señal portadora de información

(mensaje

Estimado de la señal del

mensaje

FIGURA 1.1 Elementos de un sistema de comunicación.

RADIO

Hablando en un sentido genérico, la radio encarna los medios para la radio difusión y también para las comunicaciones punto a punto, dependiendo de cómo se use.

La radio AM y la FM son conocidas por todos nosotros. Ellas dos se construyen en una forma integrada dentro de una sola unidad y las encontramos en toda vivienda e instaladas en todo automóvil. A través de la radio

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oímos las noticias sobre eventos locales, nacionales e internacionales, comentarios, música y hasta predicciones del tiempo. Tradicionalmente, la radio AM y la radio FM han sido construidas usando electrónica analógica. Sin embargo, gracias a las siempre crecientes mejoras y efectividad de costo de la electrónica digital, la radio digital (en ambas formas, AM y FM) ya es de uso corriente.

La radio transmite voz mediante señales eléctricas. La televisión, la cual opera con principios teóricos similares del electromagnetismo y comunicaciones, también transmite imágenes visuales mediante señales eléctricas. Una señal de voz se define naturalmente como una función del tiempo unidimensional, lo cual se presta rápidamente, por tanto, a las operaciones de procesamiento de señales. En contraste, una imagen con movimiento es una función del tiempo bidimensional y, por tanto, requiere una atención más detallada. Específicamente, cada imagen en un instante particular se considera como un cuadro subdividido en varios cuadrados pequeños denominados elementos de imagen o pixeles; mientras mayor sea el número de pixeles, mejor será la resolución de esa imagen. Mediante el escaneo de los pixeles en una secuencia ordenada, la información contenida en la imagen es convertida en una señal eléctrica cuya magnitud es proporcional al nivel de brillo de los pixeles individuales. La señal eléctrica generada en la salida del escáner es la señal de video que se transmite. La generación de la señal de video es el resultado de un proceso de mapeo bien definido que el receptor conoce. Por tanto, dada la señal de video, el receptor puede reconstruir la imagen original. Igual que en la radio digital, la televisión también es beneficiaria de los adelantos espectaculares en la electrónica digital. Estos adelantos, en conjunto con la aplicación de técnicas avanzadas de procesamiento digital de señales y las demandas de los consumidores, han motivado el desarrollo de la televisión de alta definición (HDTV, por sus siglas en inglés), la cual proporciona una mejora significativa en la calidad de las imágenes reconstruidas en la salida del receptor.

Ahora estudiamos la escena de la comunicación punto a punto. La radio también ha tocado nuestra vida diaria en formas altamente significativas a través de dos caminos: las comunicaciones por satélites y las comunicaciones inalámbricas. Las comunicaciones satelitales, construidas en torno a un satélite en órbita geoestacionaria, se basa en la propagación por línea de vista para la operación de un enlace ascendente y uno descendente. El enlace ascendente conecta un terminal terrestre con un transponder (esto es, circuitos electrónicos) en el satélite, mientras que el enlace descendente conecta el transponder con otro terminal terrestre. Así, una señal portadora de información se transmite desde el terminal terreno hasta el satélite a través del enlace ascendente y después es retransmitida desde el satélite, a través del enlace descendente, al otro terminal en la tierra, como se ilustra en la Fig. 1.2. Al hacer esto, un sistema de comunicación satelital ofrece una capacidad única: cobertura global.

Estación transmisora

en tierra

Estación receptora en

tierra

Satélite(en órbita geoestacionaria)

Enlace ascendente

Enlace descendente

Tierra

FIGURA 1.2 Sistema de comunicación satelital.

En un sentido general, la comunicación inalámbrica opera en una forma similar a las comunicaciones satelitales en que también involucra un enlace descendente y uno ascendente. El enlace descendente es responsable de la transmisión por enlace directo desde una estación base hasta sus usuarios móviles. El enlace ascendente es responsable por la transmisión de enlace inverso desde los usuarios móviles hasta sus estaciones base. A diferencia de las comunicaciones satelitales, la operación de las comunicaciones inalámbricas es dominada por el fenómeno de multitrayectorias debidas a reflexiones de la señal transmitida por objetos (por ejemplo, edificios,

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árboles, etc.) que están en la trayectoria de propagación. Este fenómeno tiende a degradar el desempeño del receptor, lo cual hace que el diseño del receptor sea una tarea retadora. En cualquier caso, la comunicación inalámbrica ofrece una capacidad única propia: movilidad. Además, mediante el uso del concepto celular, el sistema de comunicación inalámbrica permite reutilizar el espectro radial en un área grande tantas veces como sea posible. Dentro de una celda, los recursos de comunicaciones disponibles pueden ser compartidos por los usuarios móviles que operan en el interior de esa celda. REDES DE COMUNICACIONES

La computadora se concibió originalmente como una máquina que trabajase por sí misma realizando cálculos numéricos. Sin embargo, dada la habilidad natural de una computadora para ejecutar funciones lógicas, se reconoció rápidamente que ella estaba idealmente adecuada al diseño de redes de comunicación. Como ilustra la Fig. 1.3, una red de comunicación consiste de la interconexión de varios enrutadores que están compuestos por procesadores inteligentes (esto es, microprocesadores). El objetivo principal de estos procesadores en enrutar voz o datos a través de la red, de ahí el nombre “enrutadores”. Cada enrutador está conectado a uno o más huéspedes; aquí huéspedes se refiere a los dispositivos que se comunican entre sí. El objetivo de una red es servir de medio para la entrega o intercambio de voz, video o datos entre huéspedes, lo que se posibilita a través del uso de conmutación digital. Hay dos formas principales de conmutación: conmutación de circuitos y conmutación de paquetes.

Huéspedes

Frontera de subred

Enrutadores

FIGURA 1.3 Red de comunicación.

En la conmutación de circuitos, se establecen trayectorias de comunicación concedidas para la transmisión de mensajes entre dos o más terminales, denominados estaciones. La trayectoria de comunicación o circuito consiste de una secuencia conectada de enlaces desde la fuente hasta el destino. Por ejemplo, los enlaces pueden consistir de periodos de tiempo (como en sistemas multiplexados por división de tiempo), para los cuales se tiene disponible un canal común para usuarios múltiples. El punto importante a observar es que una vez que comienza a funcionar, el circuito permanece sin interrupción por toda la duración de la transmisión. La conmutación de circuitos usualmente es controlada por un mecanismo de control de jerarquía centralizado con conocimiento de toda la organización de la red. Para establecer una conexión por conmutación de circuitos, se toma una trayectoria disponible en la red telefónica y luego se concede para el uso exclusivo de dos usuarios que desean comunicarse. En particular, una señal de pedido de llamada se propaga completamente hasta el destino, después de lo cual se reconoce antes de que pueda comenzar la comunicación. Entonces, la red es efectivamente transparente para los usuarios, lo que significa que durante todo el tiempo de conexión, los recursos dedicados al circuito son esencialmente “poseídos” por los dos usuarios. Este estado de cosas continúa hasta que se desconecta el circuito.

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La conmutación de circuitos se adapta bien a las redes telefónicas, donde la transmisión de voz constituye el mayor peso del tráfico telefónico. Decimos esto porque la voz da lugar a un tráfico de cadena, y las conversaciones de voz tienden a ser de larga duración (aproximadamente 2 minutos en el promedio) en comparación con el tiempo requerido para establecer el circuito (aproximadamente 0.1 a 0.5 segundos).

En la conmutación por paquetes,1 por otra parte, el compartir los recursos de la red se hace con base en la demanda. Por tanto, la conmutación por paquetes tiene una ventaja sobre la conmutación de circuitos en que cuando un enlace tiene tráfico para enviar, el enlace tiende a tener una mayor utilización. A diferencia de las señales de voz, los datos tienden a ocurrir en la forma de pulsos con una base ocasional.

El principio de red de la conmutación por paquetes es almacenar y enviar. Específicamente, en una red de conmutación de paquetes, cualquier mensaje cuya longitud sea mayor que un tamaño especificado es subdividido antes de su transmisión en segmentos que exceden el tamaño especificado. Los segmentos así formados se denominan paquetes. Luego de transportar los paquetes por diferentes partes de la red, el mensaje original es armado de nuevo en el destino sobre una base de paquete por paquete. La red puede entonces considerarse como una fuente de recursos de la red (esto es, ancho de banda del canal, memorias y procesadores de conmutación), en la cual los recursos se comparten dinámicamente por un comunidad de huéspedes competidores que desean comunicarse. Este compartimiento dinámico de los recursos de la red está en contraste directo con la red de conmutación de circuitos, donde los recursos se asignan a un par de huéspedes por todo el periodo en que están comunicados. REDES DE DATOS

Una red de comunicaciones en la cual los huéspedes todos están formados por computadoras y terminales comúnmente se conoce como una red de datos. El diseño de este tipo de red procede en una forma ordenada considerando la red en términos de una arquitectura de capas, lo que se considera como una jerarquía de capas anidadas. Una capa se refiere a un proceso o dispositivo en el interior de un sistema de computadoras que está diseñado para realizar una función específica. Naturalmente, los diseñadores de una capa tendrán conocimientos de los detalles internos y de su operación. Sin embargo, a nivel de sistema, un usuario considera la capa en cuestión simplemente como una “caja negra”, la cual se describe en términos de entradas, salidas y la relación funcional entre las salidas y entradas. En la arquitectura de capas, cada capa considera la siguiente capa inferior como una o más cajas negras con alguna especificación funcional dada que debe ser usada por la capa superior siguiente. De esta forma, el problema de comunicación altamente complejo en la redes de datos se resuelve como un conjunto manejable de funciones interrelacionadas bien definidas. Esta línea de razonamiento es la que ha conducido al desarrollo del modelo de referencia de interconexión de sistemas abiertos (OSI). El término “abierto” se refiere a la habilidad de dos sistemas cualesquiera para interconectarse, siempre y cuando se ajusten al modelo de referencia y sus estándares asociados.

En el modelo de referencia OSI, las comunicaciones y las funciones de conexión relacionadas están organizadas como una serie de capas con interfaces bien definidas. Cada capa se construye sobre su predecesora. En particular, cada capa realiza un subconjunto relacionado de funciones primitivas y depende de siguiente capa inferior para realizar funciones primitivas adicionales. Además, cada capa ofrece ciertos servicios a la capa superior siguiente y protege esa capa de los detalles de implementación de esos servicios. Entre cada par de capas hay una interfaz, la cual define los servicios ofrecidos por la capa inferior a la capa superior.

Como se ilustra en la Fig. 1.4, el modelo OSI está compuesto de siete capas. La figura también incluye una descripción de las funciones de las capas individuales del modelo. La capa k en el sistema A, digamos, se comunica con una capa R en algún otro sistema B de acuerdo con un conjunto de reglas y convenciones, lo cual colectivamente constituye el protocolo de la capa k, donde k = 1, 2, … , 7. (El término “protocolo” se tomo prestado del uso común que describe la conducta social convencional entre seres humanos.) Las entidades que conforman las capas correspondientes entres el sistema A y el B se logran haciendo que los dos procesos semejantes en los

1 La conmutación por paquetes fue inventada por P. Baran en 1964 para satisfacer una necesidad de defensa

nacional de los Estados Unidos. La necesidad original era construir una red distribuida con niveles diferentes de conexiones redundante, que fuese robusta en el sentido de que la red pudiese soportar la destrucción de muchos nodos debido a un ataque concertado, y que sin embargo los nodos sobrevivientes pudiesen mantener la intercomunicación para transportar información común y de control; véase Baran (1990).

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dos sistemas se comuniquen vía protocolo. La conexión física entre procesos semejantes existe solamente en la capa 1 – vale decir, la capa física. Las capas restantes, 2 hasta 7, están en comunicación virtual con sus semejantes lejanos. Cada una de estas últimas seis capas intercambia datos e información de control con las capas vecinas (abajo y arriba) a través de interfaces de capa a capa. En la Fig. 1.4, la comunicación física se muestre con líneas sólidas, y las comunicaciones virtuales con líneas punteadas.

FIGURA 1.4 Modelo OSI; el acrónimo DLC en el medio de la figura representa el control de enlace de datos.

INTERNET

El análisis de redes de datos que se acaba de presentar conduce a la Internet. En el paradigma Internet, la tecnología de redes subyacente se desacopla de las aplicaciones parecidas adoptando una definición abstracta de servicio de red. En términos más específicos, se puede decir lo siguiente:

Las aplicaciones se realizan independientemente de la tecnología empleada para construir la red.

Por la misma razón, la tecnología de redes es capaz de evolucionar sin afectar las aplicaciones.

La aplicación de Internet mostrada en la Fig. 1.5 tiene tres bloques funcionales: huéspedes, subredes y enrutadores. Los huéspedes constituyen nodos de la red, donde se originan los datos o donde se entregan. Los enrutadores constituyen nodos intermedios que se usan para cruzar las fronteras de subredes. Dentro de una subred, todos los huéspedes que perteneces a esa subred intercambian datos directamente; véase, por ejemplo, las subredes 1 y 3 en la Fig. 1.5. En términos básicos, la operación interna de una subred está organizado en dos formas diferentes (Tanenbaum, 1996):

1. Forma conectada, donde las conexiones se denominan circuitos virtuales, en analogía con los circuitos físicos establecidos en un sistema telefónico.

2. Forma sin conexión, en la cual los paquetes independientes se llama datagramas, en analogía con telegramas.

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Subconjunto 2

Subconjunto 1

Huéspedes

Subconjunto 3

EnrutadorEnrutador

Huéspedes

FIGURA 1.5 Una red interconectada de subredes.

Igual que otras redes de datos, la Internet tiene un conjunto de protocolos acomodados en capas. E particular, el intercambio de datos entre los huéspedes y los enrutadores se logra por intermedio del protocolo de Internet (IP), como se ilustra en la Fig. 1.6. El IP es un protocolo universal que reside en la capa de la red (por ejemplo, la capa 3 de modelo de referencia OSI). Es sencillo y define un plan de direccionamiento con una capacidad incorporada para transportar datos en la forma de paquetes de nodo a nodo. Al cruzar una frontera de una subred, los enrutadores toman las decisiones sobre cómo deben enrutarse los paquetes dirigidos a un destino específico. Esto se hace con base en tablas de enrutamiento que se desarrollan a través del uso de protocolos para intercambiar información pertinente con otros enrutadores. El resultado neto de utilizar el conjunto de protocolos acomodado en capas es la provisión del servicio del mejor esfuerzo. Esto es, la Internet ofrece entregar cada paquete de datos, pero no hay garantías sobre el tiempo de tránsito experimentado al entregar o aún si los paquetes serán entregados al recipiente correcto.

FIGURA 1.6 Ilustración de la arquitectura de redes de la Internet.

La Internet ha evolucionado en un sistema mundial, colocando las computadoras en el corazón de un medio de comunicaciones que está cambiando nuestras vidas diarias en el hogar y en el trabajo de manera profunda. Podemos enviar un mensaje por e-mail desde un huésped en Norte América hasta otro huésped en Australia en el otro extremo del globo, con el mensaje llegando a su destino en cuestión de segundos. Esto es todavía más extraordinario ya que los paquetes que constituyen el mensaje probablemente han tomado diferentes caminos a medida que fueron transportados a través de la red.

Otra aplicación que demuestra la formidable potencia de la Internet es el uso para surfear la Web. Por ejemplo, podemos usar una máquina de búsqueda para identificar las referencias que pertenecen a un tópico de interés

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particular. Una tarea que llevaba horas y algunas veces día buscando en libros y revistas en la biblioteca, ocupa ahora una cuestión de ¡segundos!

Para utilizar completamente la potencia de cálculo de la Internet desde un huésped ubicado en un sitio remoto, se necesita un modem de banda ancha (esto es, un modulador-demodulador) para proporcionar un enlace rápido de comunicación entre ese huésped y su subred. Cuando decimos “rápido”, se quiere decir velocidades de operación en el orden de los megabits por segundo y mayores. Un dispositivo que satisface este requerimiento es la llamada línea del suscritor digital (DSL, por sus siglas en inglés). Lo que hace que la DSL sea excepcional es el hecho de que puede operar por un canal lineal de banda ancha con una respuesta de frecuencia arbitraria. Un ejemplo de este tipo de canal es un canal telefónico ordinario construido utilizando pares trenzados para la transmisión de señales. Un par trenzado consiste de conductores sólidos de cobre, cada uno revestido por una cubierta de cloruro de polivinilo (PVC). Los pares trenzados usualmente vienen en la forma de cables, donde cada cale consiste de muchos pares trenzados muy próximos entre sí. Desde el punto de vista de transmisión de una señal, la DSL satisface el requisito retador descrito aquí siguiendo el bien conocido principio de ingeniería de dividir y conquistar. Específicamente, el canal de banda ancha dado es aproximado por un conjunto de canales de banda angosta, cada uno de los cuales puede entonces acomodarse en una forma relativamente directa.

Aquí cabe un último comentario. Típicamente, el acceso a la Internet se establece a través de huéspedes en la forma de terminales de computadora (esto es, servidores). El acceso se expande usando dispositivos manuales que actúan como huéspedes, los cuales se comunican con subredes de la Internet a través de enlaces inalámbricos. Por tanto, al añadir movilidad mediante el uso de comunicaciones inalámbricas a la potencia de cálculo de la Internet para comunicarse, tenemos un nuevo medio de comunicación con posibilidades prácticas enormes.

INTEGRACIÓN DE TELEFONÍA E INTERNET

Uno de los retos más importantes que enfrenta la industria de las telecomunicaciones es la transmisión de Voz por el Protocolo Internet (VoIP), lo cual posibilitaría la integración de los servicios telefónicos con las rápidamente creciente aplicaciones basadas en la Internet. El reto es aún más profundo debido a que el IP está diseñado para acomodar el intercambio de datos entre los huéspedes y los enrutadores, lo cual dificulta soportar la calidad de servicio para VoIP. La Calidad de Servicio (QoS) se mide en términos de dos parámetros:

Razón de pérdida de paquetes, definida como el número de paquetes perdidos al transportarlos por la red entre el número total de paquetes introducidos en la red.

Retardo de Conexión, definido como el tiempo que le toma a un paquete de una conexión particular de huésped a huésped para transitar a través de la red.

Pruebas subjetivas realizadas en VoIp muestran que para proporcionar servicio telefónico de grado de voz, la razón de pérdida de paquetes debe mantenerse por debajo de 1 por ciento y el retardo de conexión de una vía puede acumular hasta 160 ms sin una degradación significativa de la calidad. Se han desplegado redes VoIP bien diseñadas y administradas que satisfacen estos requisitos. Sin embargo, el tópico de control del eco inicial todavía es un reto. El eco inicial se refiere a eco experimentado al comienzo de una llamada en la primera palabra o par de palabras que pronuncia el usuario. El eco se produce debido de una mala adaptación de impedancias en algún punto de la red, donde la señal incidente es reflejada de regreso hacia la fuente.

Mirando al futuro, podemos hacer las observaciones siguientes sobre la telefonía por Internet:

1. El VoIP reemplazará los intercambios privados de ramas (PBX) y otros conmutadores de oficina; los PBX son unidades remotas de conmutación que tienen sus propios controles independientes.

2. El VoIP actualmente también está teniendo éxito con llamadas de larga distancia, pero esto se debe principalmente al exceso de capacidad que hay disponible en redes de largas distancias. Si se incrementa el uso de estas redes, los retardos aumentarán y un servicio en tiempo real como el de VoIP se degradará. En consecuencia, si los proveedores del servicio siguen aumentando la capacidad de modo que la carga siempre sea baja y el tiempo de respuesta sea rápido, asegurando así la calidad del servicio, entonces la telefonía VoIP puede volverse importante y de mayor utilización.

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ALMACENAMIENTO DE DATOS

Cuando se consideran aplicaciones importantes de los principios de las comunicaciones digitales, es natural pensar en términos de sistemas de radiodifusión y de comunicación punto a punto. Sin embargo, los mismos principios también se aplican al almacenamiento digital de señales de audio y video, y ejemplos son los reproductores de discos compactos /CD) y de discos versátiles digitales (DVD). Los DVD son refinamientos de los CD en que su capacidad de almacenamiento (en el orden de las decenas de gigabytes) tiene órdenes de magnitud más altos que la de los CD y pueden también manejar datos con una velocidad mucho mayor.

Se prefiere el dominio digital sobre el analógico para el almacenamiento de señales de audio y video por las siguientes razones apremiantes:

(i) La calidad de una señal de audio/video digitalizada, medida en términos de la respuesta de frecuencia, linealidad y ruido, es determinada por el proceso de conversión digital-a-analógico, cuya parametrización está bajo el control del diseñador.

(ii) Una vez digitalizada la señal de audio/video, podemos usar técnicas de codificación poderosas y bien desarrolladas de compresión de datos para reducir el ancho de banda y codificación de control de errores para proporcionar protección contra la posibilidad de cometer errores en el curso del almacenamiento.

(iii) Para las aplicaciones más prácticas, el almacenamiento de señales de audio y video no se degrada con el tiempo.

(iv) Mejoras continuadas en la fabricación de circuitos integrados usados para construir CD y DVD aseguran la siempre creciente relación de costo-efectividad de estos dispositivos de almacenamiento digital.

Con la ayuda de técnicas poderosas de codificación construidas en su diseño, los DVD pueden guardar horas de contenidos audio visuales de alta calidad, lo que, a su vez, los hace idealmente adecuados para aplicaciones interactivas de multimedia.

1.3 Recursos Primarios y Requerimientos Operacionales Los sistemas de comunicación descritos en la Sección 1.2 cubren muchos campos diversos. No obstante, en sus propias formas individuales, los sistemas están diseñados para la utilización eficiente de dos recursos de comunicación primarios:

Potencia transmitida, la cual se define como la potencia primara de la señal transmitida.

Ancho de banda del canal, el cual se define por el ancho de la banda de paso del canal.

Dependiendo de cuál de estos dos recursos se considera el factor limitante, podemos clasificar los canales de comunicación en la forma siguiente:

(i) Canales limitados en potencia, en los cuales la potencia transmitida es lo más importante. Ejemplos de estos canales son:

Canales inalámbricos, donde es deseable mantener baja la potencia transmitida para prolongar la vida de las baterías.

Canales satelitales, donde la potencia disponible en el transponder del satélite está limitada, lo que, a su vez, necesita mantener en un bajo nivel la potencia transmitida en el enlace descendente.

Enlaces en el espacio profundo, donde la potencia disponible en una sonda exploradora del espacio lejano está limitada en extremo, lo que requiere una vez más que la potencia promedio de las señales portadoras de información enviadas por la sonda hacia la estación terrena se mantenga tan baja como sea posible.

(ii) Canales limitados en banda, donde lo más importante es el ancho de banda. Ejemplos de esta segunda categoría de canales de comunicación incluyen los siguientes:

12

Canales telefónicos, donde, en un ambiente de multiusuarios, el requerimiento es minimizar la banda de frecuencias asignada a la transmisión de cada señal de voz y al mismo tiempo asegurarse de que se mantiene la calidad del servicio para cada usuario.

Canales de televisión, donde el ancho de banda disponible del canal está limitado por agencias reguladoras y se asegura la calidad de la recepción utilizando una potencia de transmisión lo suficientemente alta.

Otro punto importante que se debe tener en cuenta es la inevitable presencia del ruido en la entrada del receptor de un sistema de comunicación. En un sentido genérico, el ruido se refiere a señales indeseadas que tienden a perturbar la calidad de la señal recibida en un sistema de comunicación. Las fuentes del ruido pueden ser internas o externas al sistema. Un ejemplo del ruido interno es el siempre presente ruido del canal producido por la agitación térmica de electrones en terminal de entrada del amplificador del receptor. Ejemplos del ruido externo incluye el ruido atmosférico y la interferencia debida a señales transmitidas por otros usuarios.

Una forma cuantitativa de incluir el efecto positivo de la potencia transmitida en relación con el efecto degradador del ruido (esto es, evaluar la calidad de la señal recibida) es pensar en términos de la razón señal-a-ruido (RSR), que es un parámetro adimensional. En particular, la RSR en la entrada el receptor se define formalmente como la relación entre la potencia promedio de la señal recibida (esto, la salida del canal) y la potencia promedio del ruido medida en la entrada del receptor. La práctica de uso común es expresar la RSR en decibeles (dB), los cuales se definen como 10 veces el logaritmo (de base 10) de la razón de potencia. Por ejemplo, razones señal-a-ruido de 10, 100 y 1000 son 10, 20 y 30 dB, respectivamente.

A la luz de este análisis, es claro que en lo que se refiere a la evaluación del desempeño, hay solamente dos parámetros de diseño del sistema: la razón señal-a-ruido y el ancho de banda del canal. Expresado en términos más concretos:

El diseño de un sistema de comunicación se reduce a un intercambio entre la razón señal-a-ruido y el ancho de banda del canal.

Por tanto, el desempeño de un sistema se puede mejorar siguiendo una de dos estrategias alternas de diseño, dependiendo de las restricciones del sistema:

1. Se incrementa la razón señal-a-ruido para adaptarse a alguna limitación impuesta sobre el ancho de banda del canal.

2. Se incrementa el ancho de banda del canal para adaptare a una limitación impuesta sobre la razón señal-a-ruido.

De estos dos posibles enfoques de diseño, ordinariamente se encuentra que la estrategia 1 es más sencilla de implementar que la 2, ya que incrementar la razón señal-a-ruido puede lograrse con simplemente aumentar la potencia transmitida. Por otra parte, para aprovechar un mayor ancho de banda del canal, es necesario incrementar el ancho de banda de la señal transmitida, lo que, a su vez, requiere incrementar la complejidad tanto del transmisor como del receptor.

1.4 Teorías de Soporte de los Sistemas de Comunicación El estudio de los sistemas de comunicación es un reto no sólo en términos técnicos sino también en términos teóricos. En esta sección se resaltan cuatro teorías, cada una de las cuales es esencial para entender un aspecto específico de los sistemas de comunicación. TEORÍA DE LA MODULACIÓN

La modulación es una operación de procesamiento de señales que es básica para la transmisión de una señal portadora de información por un canal de comunicación, ya sea en el contexto de las comunicaciones digitales o analógicas. Esta operación se logra mediante el cambio de algún parámetro de una onda portadora de acuerdo con la señal portadora de información (el mensaje). La onda portadora puede tomar una de dos formas básicas, dependiendo de la aplicación de interés:

13

Onda portadora sinusoidal, cuya amplitud, fase o frecuencia es el parámetro escogido para su modificación por la señal portadora de información.

Secuencia periódica de pulsos, cuya amplitud, anchura o posición es el parámetro escogido para su modificación por la señal portadora de información.

Indiferentemente de cuál es el enfoque particular que se utiliza para realizar el proceso de modulación, los temas en la teoría de la modulación que deben examinarse son:

Descripción en el dominio del tiempo de la señal modulada.

Descripción en el dominio de la frecuencia de la señal modulada.

Detección de la señal portadora de información y evaluación del efecto del ruido sobre el receptor.

ANÁLISIS DE FOURIER

La transformada de Fourier es una operación matemática lineal que transforma la descripción en el dominio del tiempo de una señal en una descripción en el dominio de la frecuencia sin pérdida de información, lo que significa que la señal original puede recuperarse exactamente a partir de la descripción en el dominio de la frecuencia. Sin embargo, para que la señal sea transformable en el sentido de Fourier, se tienen que cumplir ciertas condiciones. Afortunadamente, la clase de señales encontradas en el estudio de los sistemas de comunicaciones cumplen con estas condiciones.

El análisis de Fourier proporciona las bases matemáticas para evaluar los tópicos siguientes:

Descripción en el dominio de la frecuencia de una señal modulada, incluyendo su ancho de banda de transmisión.

Transmisión de una señal a través de un sistema lineal ejemplificado por un canal de comunicación o un filtro (selectivo en frecuencias.

La correlación (es decir, la semejanza) entre un par de señales.

Estas evaluaciones adquieren una importancia todavía mayor en virtud de un algoritmo conocido como la transformada de Fourier rápida, la que proporciona un método eficiente para calcular la transformada de Fourier. TEORÍA DE DETECCIÓN

Dada una señal recibida, la cual está perturbada por ruido aditivo del canal, una de las tareas que el receptor debe realizar es cómo detectar la señal original portadora de la información en una forma confiable. El problema de detección de señales es complicado por dos problemas:

La presencia de ruido.

Factores tales como el desplazamiento de fase desconocido introducido en la onda portadora debido a la transmisión de la señal modulada sinusoidalmente por el canal.

El tratamiento de estos problemas en las comunicaciones analógicas es radicalmente diferente de su tratamiento en las comunicaciones digitales. En las comunicaciones analógicas, el enfoque común se concentra en la razón señal-a-ruido de salida y en cálculos relacionados. En las comunicaciones digitales, por otra parte, el problema de detección de señales se considera como uno de prueba de hipótesis. Por ejemplo, en el caso específico de la transmisión de datos binarios, dado que se transmitió el símbolo 1, ¿cuál es la probabilidad de que el símbolo se detecte correctamente y cómo es afectada esa probabilidad por un cambio en la razón señal-a-ruido recibida en la entrada del receptor?

Por tanto, al tratar con la teoría de la detección, estudiamos los tópicos siguientes en las comunicaciones analógicas:

La cifra de mérito para evaluar el desempeño en ruido de una estrategia de modulación específica.

El fenómeno de umbral que aparece cuando la razón señal-a-ruido transmitida cae por debajo de un valor crítico.

14

Comparación del desempeño de una estrategia de modulación contra otra.

Por otra parte, en las comunicaciones digitales se estudia lo siguiente:

La probabilidad promedio de error de símbolos en la salida del receptor.

El problema de trabajar con factores no controlables.

Comparación entre un esquema de modulación digital y otro.

TEORÍA DE PROBABILIDADES Y PROCESOS ALEATORIOS

De la breve discusión que se acaba de presentar sobre el papel de la teoría de la detección en el estudio de los sistemas de comunicaciones, es claro que se necesita desarrollar una buena comprensión de lo siguiente:

La teoría de la probabilidad para describir la conducta de eventos que ocurren aleatoriamente en términos matemáticos.

La caracterización estadística de las señales aleatorias y el ruido.

A diferencia de una señal determinista, una señal aleatoria es una sobre la cual existe cierta incertidumbre antes de que ocurra. Debido a la incertidumbre, una señal aleatoria puede considerarse como perteneciente a un conjunto o un grupo de señales, donde cada señal en el conjunto tiene una forma de onda que difiere de las otras en el conjunto. Adicionalmente, cada señal dentro del conjunto tiene una cierta probabilidad de ocurrencia. El conjunto de señales se conoce como un proceso aleatorio o proceso estocástico. Ejemplos de procesos aleatorios son:

El ruido eléctrico generado en el lado frontal del amplificador de un receptor de radio o televisión.

La señal de voz producida por un orador masculino o femenino.

La señal de video transmitida por la antena de una estación de radiodifusión de TV.

Al tratar con la teoría de las probabilidades, señales aleatorias y ruido, estudiamos los tópicos siguientes:

Los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad y modelos probabilistas.

La descripción estadística de un proceso aleatorio en términos los promedios de conjunto y en el tiempo.

El análisis matemático y el procesamiento de señales aleatorias.

CAPÍTULO 2

REPRESENTACIÓN DE FOURIER

DE SEÑALES Y SISTEMAS

En términos matemáticos, una señal ordinariamente se describe como una función del tiempo, que es cómo

normalmente vemos la señal cuando se muestra en un osciloscopio. Sin embargo, como se vio en el Capítulo 1,

desde la perspectiva de un sistema de comunicación, es importante que sepamos el contenido de frecuencia de la

señal en cuestión. La herramienta matemática que relaciona la descripción en el dominio de la frecuencia de la

señal con su descripción en el dominio del tiempo es la transformada de Fourier. Existen de hecho diferentes

versiones disponibles de la transformada de Fourier. En este capítulo restringimos el análisis a principalmente

dos versiones específicas:

La transformada de Fourier continua, o la transformada de Fourier (TF) para simplificar, la cual aplica con

funciones continuas en ambos dominios de tiempo y frecuencia.

La transformada de discreta, o TFD para simplificar, la cual funciona con datos discretos en ambos

dominios de tiempo y frecuencia.

Mucho del material que se presenta en este capítulo se enfoca en la transformada de Fourier, puesto que la

motivación primaria del capítulo es determinar el contenido de frecuencia de una señal de tiempo continuo o

evaluar lo que le sucede a este contenido de frecuencia cuando la señal se pasa por un sistema lineal e invariante en

el tiempo (LIT). En contraste, la transformada de Fourier discreta, analizada al final del capítulo, aparece por su

propia cuenta cuando el requerimiento es la evaluación del contenido de frecuencia de la señal en una

computadora digital o evaluar qué sucede cuando es procesada por dispositivo digital como en las

comunicaciones digitales.

2.1 La Transformada de Fourier1

DEFINICIÓN Denote por g(t) una señal determinista no periódica, expresada como alguna función del tiempo t. Por

definición, la transformada de Fourier de la señal g(t) la da la integral

( ) ( )exp 2G f g t j ft dt

(2.1)

donde 1j y la variable f denota frecuencia; a la función exponencial exp 2j ft se le refiere como el núcleo

de la fórmula que define la transformada de Fourier. Dada la transformada de Fourier G(f), la señal original g(t)

se recupera de forma exacta usando la fórmula para la transformada de Fourier inversa:

1 Joseph Fourier estudió el flujo de calor a principios del siglo 19. Entender el flujo de calor era un problema de importancia

práctica y científica en ese tiempo y requería de la solución de una ecuación diferencial parcial llamada la ecuación de calor. Fourier desarrolló una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales basada en la suposición de que la solución era una suma ponderada de sinusoides relacionadas armónicamente con coeficientes desconocidos, lo que ahora llamamos la serie de Fourier. El trabajo inicial de Fourier sobre la conducción de calor fue presentado a la Academia de Ciencias de París en 1807 y fue rechazado después de su revisión por Lagrange, Laplace y Legendre. Fourier insistió en el desarrollo de sus ideas a pesar de ser criticado por sus contemporáneos por su falta de rigor. Finalmente, en 1822, publicó un libro con mucho de su trabajo, Theorie analytique de la chaleur, que ahora es considerado como uno de los clásicos de la matemática.

16

( ) ( )exp 2g t G f j ft df

(2.2)

donde la exponencial exp 2j ft es el núcleo de la fórmula que define la transformada de Fourier inversa. Los

dos núcleos de las Ecs. (2.1) y (2.2) son por tanto conjugados complejos entre sí.

Observe también que en las Ecs. (2.1) y (2.2) hemos usado una letra minúscula para denotar la función del

tiempo y una mayúscula para denotar la función de frecuencia correspondiente. Las funciones g(t) y G(f)

constituyen un par de transformadas de Fourier. En el Apéndice 2 se derivan las definiciones de la transformada de

Fourier y su inversa, comenzando con la serie de Fourier de una forma de onda periódica.

La Ec. (2.1) se conoce como la ecuación de análisis. Dada la conducta en el dominio del tiempo de un sistema,

podemos analizar su conducta en el dominio de la frecuencia. La ventaja básica de transformar la conducta en el

dominio del tiempo al dominio de la frecuencia es que la resolución en sinusoides eternas presenta la conducta como

la superposición de efectos en estado estacionario. Para sistemas cuya conducta en el dominio del tiempo es descrita

por ecuaciones diferenciales lineales, las soluciones separadas de estado estacionario usualmente son más fáciles

de entender en términos tanto teóricos como experimentales.

Recíprocamente, a la Ec. (2.2) se le conoce como la ecuación de síntesis. Dada la superposición de efectos de

estado estacionario en el dominio de la frecuencia, podemos reconstruir la conducta original del sistema en el

dominio de la frecuencia sin pérdida de información. Las ecuaciones de análisis y síntesis, trabajando conjuntamente

como se muestra en la Fig. 2.1, enriquecen la presentación de señales y sistemas posibilitando ver la

representación en dos dominios interactivos: el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia.

Para que exista la transformada de Fourier de una señal g(t), es suficiente, pero no necesario, que g(t) satisfaga

tres condiciones conocidas colectivamente como las condiciones de Dirichlet:

1. La función g(t) es unívoca, con un número finito de máximos y mínimos en cualquier intervalo finito.

2. La función g(t) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo finito.

3. La función g(t) es absolutamente integrable, es decir,

( )g t dt

FIGURA 2.1 Gráfica de la interacción entre las ecuaciones de análisis y síntesis

representadas en la transformación de Fourier.

17

Podemos ignorar sin problemas la cuestión de la existencia de la transformada de Fourier de una función del tiempo g(t)

cuando es una descripción especificada precisamente de una señal físicamente realizable (por ejemplo, una señal de voz, una

señal de video). En otras palabas, la realizabilidad física es una condición suficiente para la existencia de una transformada

de Fourier. Para que una señal g(t) sea físicamente realizable, la energía de la señal definida por 2

( )g t dt

debe

satisfacer la condición

2( )g t dt

A una señal así se le refiere cono una señal de energía. Lo que estamos diciendo aquí es que todas las señales de energía son

transformables en el sentido de Fourier.

NOTACIONES

Las fórmulas para la transformada de Fourier y su inversa presentadas en las Ecs. (2.1) y (2.2) se escriben en términos de dos

variables: el tiempo t medido en segundos (s) ya la frecuencia f medida en herz (Hz). La frecuencia f está relacionada con la

frecuencia angular por

2 f

la cual se mide en radianes por segundo (rad/s). Podemos simplificar las expresiones para los exponentes en los integrandos

de las Ecs. (2.19 y (2.2) usando en vez de f. Sin embargo, se prefiere el uso de f sobre por dos razones. Primero, el uso de

la frecuencia resulta en simetría matemática de las Ecs. (2.1) y (2.2) respecto una de otra en una forma natural. Segundo, los

contenidos espectrales de las señales de comunicaciones (es decir, señales de voz y video) usualmente se expresan en hertz.

Una abreviación conveniente para las relaciones de transformación de las Ecs. (2.1) y (2.2) es escribir

( ) ( )G f g t F (2.3)

y

1( ) ( )g t G f F (2.4)

donde F[ ] y 1[ ]F juegan los papeles de operadores lineales. Otra notación abreviada conveniente para el par de

transformadas de Fourier, representadas por g(t) y G(f), es

( ) ( )g t G f (2.5)

Las notaciones abreviadas descritas en las Ecs. (2.3) a (2.5) se usan en el texto cuando sea apropiado.

ESPECTRO CONTINUO

Mediante el uso de la operación de la transformada de Fourier, una señal de pulso g(t) de energía finita se

expresa como una suma continua de funciones exponenciales con frecuencias en el intervalo a . La

amplitud de una componente de frecuencia f es proporcional a G(f), donde G(f) es la transformada de Fourier de

g(t). Específicamente, para cualquier frecuencia f, la función exponencial exp 2j ft es ponderada por el factor

( )G f df , que la contribución de G(f) en un intervalo infinitesimal df centrado en la frecuencia f. Así, podemos

expresar la función g(t) en términos de la suma continua de esas componentes infinitesimales, como muestra la

integral

( ) ( )exp 2g t G f j ft df

Expresando de nuevo lo mencionado previamente, la transformación de Fourier nos proporciona una

herramienta para resolver una señal dada g(t) en sus componentes exponenciales complejas que ocupan todo el

18

intervalo de frecuencias desde a . En particular, la transformada de Fourier de G(f) de la señal define la

representación en el dominio de la frecuencia de la señal en que especifica las amplitudes complejas de las

diferentes componentes de frecuencia. Equivalentemente podemos definir la señal en términos de su

representación en el dominio del tiempo especificando la función g(t) en cada instante del tiempo t. La señal es

definida en forma única por cualquiera de las representaciones.

En general, la transformada de Fourier G(f) es una función compleja de la frecuencia f, así que podemos

expresarla en la forma

( ) ( ) exp ( )G f G f j f (2.6)

donde ( )G f se llama el espectro de amplitud continuo de g(t) y ( )f es el espectro de fase continuo de g(t). Aquí, al

espectro se le refiere como un espectro continuo porque tanto la amplitud como la fase de G(f) están definidos en

forma única para todas las frecuencias.

Par el caso especial de funciones de valores reales g(t), tenemos

*G f G f

donde el asterisco denota la conjugación compleja. Por tanto, se deduce que si g(t) es una función del tiempo t de

valores reales, entonces

G f G f

y

f f

Por consiguiente, podemos hacer las afirmaciones siguientes sobre el espectro de una señal de valores reales:

1. El espectro de amplitud de la señal es una función par de la frecuencia; es decir, el espectro de amplitud

es simétrico con respecto al origen f = 0.

2. El espectro de fase de la señal es una función impar de la frecuencia; es decir, el espectro de fase es

antisimétrico con respecto al origen f = 0.

Estas dos afirmaciones se conjugan diciendo que el espectro de una señal de valores reales exhibe simetría

conjugada.

EJEMPLO 2.1 Pulso Rectangular

Considérese una función caja o pulso rectangular de duración T y amplitud A, como se muestra en la Fig. 2.2(a).

Para definir este pulso matemáticamente en una forma conveniente, usamos la notación

1 11,

2 2rect( )1 1

0, o 2 2

tt

t t

(2.7)

que representa una función rectangular de amplitud unitaria y duración unitaria centrada en t = 0. Entonces, en

términos de esta función “estándar”, podemos expresar el pulso rectangular de la Fig. 2.2(a) simplemente como

( ) rect

tg t A

T

La transformada de Fourier del pulso rectangular g(t) es

19

FIGURA 2.2 (a) Pulso rectangular. (b) Espectro de amplitud.

2

2( ) exp 2

sen

T

TG f A j ft dt

fTAT

fT

(2.8)

Para simplificar la notación en los resultados, el que precede y los siguientes, introducimos otra función estándar

– a saber, la función sinc – definida por

sensinc( ) (2.9)

donde es la variable independiente. La función sinc juega un papel importante en la teoría de la comunicación.

Como muestra la Fig. 2.3, tiene su valor máximo de 1 en = 0 y tiende a cero cuando tiende a infinito,

oscilando a través de valores positivos y negativos. Pasa por cero en 1, 2, , y así sucesivamente.

FIGURA 2.3 La función sinc.

20

Entonces, en términos de la función sinc, podemos reescribir la Ec. (2.8) como

rect sinct

A AT fTT

(2.10)

El espectro de amplitud ( )G f se grafica en la Fig. 2.2(b). El primer cruce en cero del espectro ocurre en

1f T . Conforme disminuye la duración T del pulso, este primer cruce se mueve hacia arriba en frecuencia.

Recíprocamente, conforme la duración T del pulso aumenta, el primer cruce se mueve hacia el origen.

Este ejemplo muestra que la relación entre las descripciones en los dominios de frecuencia y de tiempo de una

señal es una relación inversa. Es decir, un pulso angosto en el tiempo tiene una descripción significativa en

frecuencia en una amplia banda de frecuencias y viceversa. Diremos más sobre esta relación inversa entre el

tiempo y la frecuencia en la Sección 2.3.

Observe también que en este ejemplo, la transformada de Fourier G(f) es una función real y simétrica de la

frecuencia f. Esto es una consecuencia directa del hecho de que el pulso rectangular g(t) mostrado en la Fig.

2.2(a) es una función simétrica del tiempo t.

EJEMPLO 2.2 Pulso Exponencial

En la Fig. 2.4(a) se un muestra un pulso exponencial truncado que decreciente. Matemáticamente definimos este

pulso en una forma conveniente usando la función escalón unitario:

1, 0

1( ) , 0

20, 0

t

u t t

t

(2.11)

Entonces podemos expresar el pulso exponencial decreciente de la Fig. 2.4(a) como

( ) exp ( )g t at u t

Reconociendo que g(t) es cero para t < 0, la transformada de Fourier de este pulso es

0

0

( ) exp exp 2

1 exp 2

2

G f at j ft dt

t a j f dta j f

El par de transformadas de Fourier para el pulso exponencial decreciente de la Fig. 2.4(a) es entonces

1exp ( )

2at u t

a j f (2.12)

En la Fig. 2.4(b) se muestra un pulso exponencial creciente truncado, y el cual se define por

( ) expg t at u t

Observe que u(t) es igual a 1 para t < 0, 1/2 en t = 0 y cero para t > 0. Con g(t) igual a cero para t > 0, la

transformada de Fourier de este pulso es

0

( ) exp exp 2G f at j ft dt

21

FIGURA 2.4 (a) Pulso exponencial decreciente. (b) Pulso exponencial creciente.

Reemplazando t con t, podemos escribir

01

( ) exp 22

G f t a j f dta j f

El par de transformadas de Fourier para el pulso exponencial creciente de la Fig. 2.4(b) es entonces

1exp ( )

2at u t

a j f (2.13)

Los dos pulsos exponenciales creciente y decreciente de la Fig. 2.4 son ambos funciones asimétricas del tiempo t.

Sus transformadas de Fourier son por tanto de valores complejos, como muestran las Ecs. (2.12) y (2.13).

Adicionalmente, en estos pares de transformadas vemos que los pulsos exponenciales creciente y decreciente

tienen el mismo espectro de amplitud, pero el espectro de fase de uno es el negativo del espectro de fase del

otro.

Problema de Práctica 2.1 Evalúe la transformada de Fourier de la onda sinusoidal amortiguada

( ) exp sen 2 ( )cg t t f t u t , donde u(t) es la función escalón unitario.

Problema de Práctica 2.2 Determine la transformada de Fourier inversa de la función de frecuencia G(f)

definida por los espectros de amplitud y fase mostrados en la Fig. 2.5.

FIGURA 2.5 Función de frecuencia G(f) para el Problema 2.2.

22

2.2 Propiedades de la Transformada de Fourier

Es muy útil tener una idea de la relación entre una función del tiempo g(t) y su transformada de Fourier G(f), y

también de los efectos que diferentes operaciones sobre la función g(t) tienen sobre la transformada G(f). Esto

puede lograrse examinando ciertas propiedades de la transformada de Fourier. En esta sección se describen

catorce propiedades, las cuales se demostrarán, una por una. Esta propiedades se resumen en la Tabla A8.1 del

Apéndice 8.

PROPIEDAD 1 Linealidad (Superposición) Supóngase que 1 1( ) ( )g t G f y 2 2( ) ( )g t G f . Entonces, para todas

las constantes 1 2 y c c , tenemos que

1 1 2 2 1 1 2 2( ) (t) ( ) ( )c g t c g c G f c G f (2.14)

La demostración de esta propiedad se deduce simplemente a partir de la linealidad de las integrales de

definición de G(f) y g(t).

La Propiedad 1 nos permite determinar la transformada de Fourier G(f) de una función g(t) que sea una

combinación lineal de otras dos funciones 1 2( ) y ( )g t g t cuyas transformadas de Fourier 1 2( ) y ( )G f G f son

conocidas, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 2.3 Combinaciones de Pulsos Exponenciales

Considere un pulso exponencial doble definido por (véase la Fig. 2.6(a))

exp , 0

( ) 1, 0

exp , 0

exp

at t

g t t

at t

a t (2.15)

Este pulso puede considerarse como la suma de un exponencial decreciente truncado y un pulso exponencial

creciente truncado. Por tanto, usando la propiedad de linealidad y los pares de transformadas de Fourier de las

Ecs. (2.12) y (2.13), encontramos que la transformada de Fourier del pulso exponencial doble de la Fig. 2.6(a) es

22

1 1 2( )

2 2 2

aG f

a j f a j f a f

Tenemos entonces el siguiente par de transformadas de Fourier para el pulso exponencial doble de la Fig. 2.6(a):

22

2exp

2

aa t

a f (2.16)

Observe que debido a la simetría en el dominio del tiempo, como en la Fig. 2.6(a), el espectro es real y simétrico;

ésta es una propiedad general de estos pares de transformadas de Fourier.

Otra combinación interesante es la diferencia entre un pulso exponencial decreciente truncado y un pulso

exponencial creciente truncado, como se muestra en la Fig. 2.6(b). Aquí tenemos

exp , 0

( ) 1, 0

exp , 0

at t

g t t

at t

(2.17)

23

FIGURA 2.6 (a) Pulso exponencial doble (simétrico). (b) Otro pulso exponencial doble (simetría impar).

Podemos formular una notación compacta para esta señal compuesta usando la función signo que es igual a +1

para tiempo positivo y a 1 para tiempo negativo, como lo muestra la relación

1, 0

sgn( ) 0, 0

1, 0

t

t t

t

(2.18)

La función signo se muestra en la Fig. 2.7. En consecuencia, podemos reformular la señal compuesta g(t)

definida en la Ec. (2.17) simplemente como

( ) exp sgn( )g t a t t

Por tanto, aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier, hallamos fácilmente que a la luz

de las Ecs. (2.12) y (2.13), la transformada de Fourier de la señal g(t) es

22

1 1exp sgn( )

2 2

4

2

a t ta j f a j f

j f

a f

F

Tenemos entonces el par de transformadas de Fourier

22

4exp sgn( )

2

j fa t t

a f (2.19)

24

FIGURA 2.7 Función signo.

En contraste con el par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.16), la transformada de Fourier en la Ec. (2.19) es

impar y puramente imaginaria. Es una propiedad general de los pares de transformadas de Fourier que aplican

a una función del tiempo con simetría impar, que satisface la condición ( ) ( )g t g t , como en la Fig. 2.6(b); tal

función de tiempo tiene una función impar y puramente imaginaria como su transformada de Fourier.

PROPIEDAD 2 Dilación Sea g(t) G(f). Entonces, la propiedad de dilación o propiedad de semejanza establece que

1

fg at G

a a (2.20)

donde el factor de dilación, a saber, a, es un número real.

Para demostrar esta propiedad, observamos que

( ) ( )exp 2g at g at j ft dtF

Hacemos at . Hay dos caso que pueden aparecer, dependiente de si el factor de dilación a es positivo o

negativo. Si a > 0, obtenemos

1( )exp 2

1

fg at g j d

a a

fG

a a

F

Por otra parte, si a < 0, los límites de integración son intercambiados de modo que tenemos el factor de

multiplicación 1 a o, equivalentemente, 1 a . Esto completa la demostración de la Ec. (2.20).

Observe que los factores de dilación a y 1/a usados en las funciones de tiempo y de frecuencia en la Ec. (2.20)

son recíprocos. En particular, la función g(at) representa a g(t) comprimida en el tiempo por el factor a, en tanto

que la función G f a representa a G(f) expandida en frecuencia por el mismo factor a, suponiendo que

0 1a . Por tanto, la regla de dilación establece que la compresión de una función g(t) en el dominio del tiempo

es equivalente a la expansión de su transformada de Fourier G(f) en el dominio de la frecuencia por el mismo

factor, o viceversa.

25

Para el caso especial cuando a = 1, la regla de dilación de la Ec. (2.20) se reduce a la propiedad de reflexión, la

cual establece que si ( ) ( )g t G f , entonces

( ) ( )g t G f (2.21)

Refiriéndonos a la Fig. 2.4, vemos que el pulso exponencial creciente mostrado en la parte (b) de la figura es la

reflexión con respecto al eje vertical del pulso exponencial decreciente mostrado en la parte (a). En consecuencia,

aplicando la regla de reflexión a la Ec. (2.12) que pertenece al pulso exponencial decreciente, vemos rápidamente

que la transformada de Fourier del pulso exponencial creciente es 1 2a j f , que es exactamente lo que

tenemos en la Ec. (2.13).

PROPIEDAD 3 Regla de Conjugación Sea ( ) ( )g t G f . Entonces para una función del tiempo de valores complejos

g(t), tenemos que

*( ) *( )g t G f (2.22)

donde el asterisco denota la operación de conjugación compleja.

Para demostrar esta propiedad, sabemos por la transformada de Fourier inversa que

( ) ( )exp 2g t G f j ft df

Tomando conjugados complejos de ambos lados, se obtiene

*( ) *( )exp 2g t G f j ft df

Ahora, se reemplaza f con f y se obtiene

*( ) *( )exp 2

*( )exp 2

g t G f j ft df

G f j ft df

Esto es, g*(t) es la transformada de Fourier inversa de *( )G f , que es el resultado deseado.

Como un corolario a la regla de conjugación de la Ec. (2.22), podemos afirmar que si ( ) ( )g t G f , entonces

*( ) *( )g t G f (2.23)

Este resultado se deduce directamente de la Ec. (2.22) aplicando la regla de reflexión descrita en la Ec. (2.21).

PROPIEDAD 4 Dualidad Si ( ) ( )g t G f , entonces

( ) ( )G t g f (2.24)

Esta propiedad se deduce de la relación que define la transformada de Fourier inversa de la Ec. (2.21)

reemplazando primero t con t y después escribiéndola en la forma

( ) ( )exp 2g t G f j ft df

26

Finalmente, intercambiando t y f (es decir, reemplazando t con f en el lado izquierdo de la ecuación y f con t en el

lado derecho), obtenemos

( ) ( )exp 2g f G t j ft dt

que es la parte expandida de la Ec. (2.24) al pasar del dominio del tiempo al de la frecuencia.

EJEMPLO 2.4 Pulso Sinc

Considérese una señal g(t) en la forma de una función sinc, es decir,

( ) sinc 2g t A Wt

Para evaluar la transformada de Fourier de esta función, aplicamos las propiedades de dualidad y dilación al

par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.10). Entonces, reconociendo que la función rectangular es una

función par del tiempo, obtenemos el resultado

sinc 2 rect2 2

fAA Wt

W W

(2.25)

que se muestra en la Fig. 2.8. Vemos entonces que la transformada de Fourier de un pulso sinc es cero para

f W . Observe también que el pulso sinc mismo está limitado en el tiempo en el sentido de que tiende a cero

conforme el tiempo t tiende a infinito; esta característica asintótica es lo que convierte a la función sinc en una

señal de energía y por tanto transformable en el sentido de Fourier.

FIGURA 2.8 (a) Pulso sinc g(t). (b) Transformada de Fourier G(f).

PROPIEDAD 5 Corrimiento (Desplazamiento) en el Tiempo Si ( ) ( )g t G f , entonces

0 0 ( )exp 2g t t G f j ft (2.26)

donde t0 es una constante real de desplazamiento en el tiempo.

Para demostrar esta propiedad, tomamos la transformada de Fourier de 0g t t y entonces hacemos

0t t o, su equivalente, 0t t . Obtenemos entonces

27

0 0

0

exp 2 ( )exp 2

exp 2 ( )

g t t j ft g j d

j ft G f

F

La propiedad de desplazamiento en el tiempo establece que si una función g(t) es desplazada a lo largo del eje

del tiempo por una cantidad t0, el efecto es equivalente a multiplicar su transformada de Fourier G(f) por el

factor 0exp 2j ft . Esto significa que la amplitud de G(f) no es afectada por el desplazamiento, pero su fase sí

cambia por el factor 02 ft , el cual varía linealmente con la frecuencia f.

PROPIEDAD 6 Desplazamiento en Frecuencia Si ( ) ( )g t G f , entonces

exp 2 ( ) c cj f t g t G f f (2.27)

donde fc es una constante de frecuencia real.

Esta propiedad se deduce del hecho de que

exp 2 ( ) ( )exp 2

c c

c

j f t g t g t j t f f dt

G f f

F

Esto es, la multiplicación de una función g(t) por un factor exp 2 cj f t es equivalente a correr su transformada

de Fourier G(f) por la cantidad fc. Esta propiedad es un caso especial del teorema de modulación analizado más

adelante bajo la Propiedad 11; básicamente, un desplazamiento de la banda de frecuencias en una señal se

obtiene usando el proceso de modulación. Observe la dualidad entre las operaciones de desplazamiento en

tiempo y desplazamiento en frecuencia descritas en las Ecs. (2.26) y (2.27).

EJEMPLO 2.5 Pulso de Radio Frecuencia (RF)

Considérese la señal de pulso g(t) mostrada en la Fig. 2.9(a), la cual consiste de una onda sinusoidal de amplitud

unitaria y frecuencia fc, que se extiende en duración desde t = T/2 hasta t = T/2. Esta señal algunas veces recibe

el nombre de pulso RF, cuando la frecuencia fc cae en la banda de radio frecuencias. La señal g(t) de la Fig. 2.9(a)

puede expresarse matemáticamente como

( ) rect cos 2 c

tg t f t

T

(2.28)

Para hallar la transformada de Fourier de la señal RF, primero usamos la fórmula de Euler para escribir

1

cos 2 exp 2 exp 22

c c cf t j f t j f t

Por tanto, si aplicamos la propiedad de desplazamiento en frecuencia al par de transformadas de Fourier de la

Ec. (2.10), y después invocamos la propiedad de linealidad de la transformada, obtenemos el resultado deseado

rect cos 2 sinc sinc2

c c c

t Tf t T f f T f f

T

(2.29)

En el caso especial de 1cf T , es decir, la frecuencia fc es grande comparada con el recíproco de la duración del

pulso T, podemos usar el resultado aproximado

28

FIGURA 2.9 (a) Pulso de RF de amplitud unitaria y duración T. (b) Espectro de amplitud.

sinc , 02

( ) 0 0

sinc , 02

c

c

TT f f f

G f f

TT f f f

(2.30)

Bajo la condición 1cf T , el espectro de amplitud del pulso de RF se muestra en la Fig. 2.9(b). Este diagrama,

en relación con el de la Fig. 2.2(b), muestra claramente la propiedad de corrimiento en frecuencia de la

transformada de Fourier.

PROPIEDAD 7 Área Bajo g(t) Si ( ) ( )g t G f , entonces

( ) (0)g t dt G

(2.31)

Es decir, el área bajo una función g(t) es igual al valor de su transformada de Fourier G(f) en f = 0.

29

Este resultado se obtienen con simplemente hacer f = 0 en la Ec. (2.1) que define la transformada de Fourier de

la función g(t).

Problema de Práctica 2.3 Supóngase que g(t) es de valores reales con una transformada de Fourier de

valores complejos G(f). Explique cómo esta señal puede satisfacer la regla de la Ec. (2.31).

PROPIEDAD 8 Área Bajo G(f) Si ( ) ( )g t G f , entonces

(0) ( )g G f df

(2.32)

Es decir, el valor de una función g(t) en t = 0 es igual al área bajo su transformada de Fourier G(f).

El resultado se obtiene con simplemente hacer t = 0 en la Ec. (2.2) que define la transformada de Fourier

inversa de G(f).

Problema de Práctica 2.4 Continuando con el Problema 2.3, explique cómo la señal descrita allí puede

satisfacer la regla de la Ec. (2.32).

PROPIEDAD 9 Diferenciación en el Dominio del Tiempo Sea ( ) ( )g t G f y supóngase que la primera derivada

de g(t) con respecto al tiempo t es transformable en el sentido de Fourier. Entonces

( ) 2 ( )d

g t j f G fdt

(2.33)

Es decir, la diferenciación de una función del tiempo g(t) tiene el efecto de multiplicar su transformada de Fourier G(f) pos el

factor puramente imaginario 2j f .

Este resultado se obtiene en simplemente dos pasos. En el paso 1, tomamos la primera derivada de ambos

lados de la integral en la Ec. (2.2) que define la transformada de Fourier inversa de G(f). En el paso 2,

intercambiamos las operaciones de integración y diferenciación.

La Ec. (2.33) puede generalizarse para derivadas de orden superior de la función g(t):

( ) 2 ( )n

m

n

dg t j f G f

dt (2.34)

la cual incluye la Ec. (2.33) como un caso especial. La Ec. (2.34) supone que la transformada de Fourier de las

derivadas de orden mayor de g(t) existen.

EJEMPLO 6 Pulso Gaussiano Unitario

Típicamente, una señal de pulso g(t) y su transformada de Fourier G(f) tienen diferentes formas matemáticas.

Esta observación es ilustrada por los pares de transformadas de Fourier estudiados en los Ejemplos 2.1 a 2.5. En

este ejemplo, consideramos una excepción a esta observación. En particular, usamos la propiedad de

diferenciación de la transformada de Fourier para deducir la forma particular de una señal de pulso que tiene la

misma forma matemática que su propia transformada de Fourier.

Denote por g(t) la señal de pulso expresada como una función del tiempo t y por G(f) su transformada de

Fourier. Diferenciando la fórmula de la transformada de Fourier de la Ec. (2.1) con respecto a f, podemos escribir

30

2 ( ) ( )d

j tg t G fdf

o su equivalente

2 ( ) ( )d

tg t j G fdf

(2.35)

Supóngase que ahora se impone la siguiente condición sobre los lados izquierdos de las Ecs. (2.33) y (2.35:

( ) 2 ( )d

g t tg tdt

(2.36)

Entonces, en un forma correspondiente, se deduce que los lados derechos de estas dos ecuaciones deben,

después de cancelar el factor común de multiplicación j, satisfacer la condición

( ) 2 ( )d

G f f G fdf

(2.37)

La Ecs. (2.36) y (2.37) muestran que la señal de pulso g(t) y su transformada de Fourier G(f) tienen exactamente la

misma forma matemática. En otras palabras, siempre que la señal de pulso g(t) satisfaga la ecuación diferencial

(2.36), entonces G(f) = g(f), donde g(f) se obtiene a partir de g(t) sustituyendo f por t. Despejando g(t) en la Ec.

(2.36), obtenemos

2( ) expg t t (2.38)

El pulso definido por la Ec. (2.38) se denomina un pulso gaussiano, donde el nombre se deriva de la semejanza de

la función con la función de densidad de probabilidades gaussianas de la teoría de probabilidades (véase el

Capítulo 8). Su gráfica se muestra en la Fig. 2.10. Aplicando la Ec. (2.31), encontramos que el área bajo este pulso

gaussiano es igual a la unidad, como muestra la relación

2exp 1t dt

(2.39)

FIGURA 2.10 Pulso gaussiano.

Cuando la ordenada central y el área bajo la curva de un pulso son ambas iguales a uno, como en las Ecs. (2.38) y

(2.39), decimos que el pulso gaussiano es un pulso unitario. Concluimos entonces que el pulso gaussiano unitario

es su propia transformada de Fourier, es decir,

2 2exp expt f (2.40)

31

PROPIEDAD 10 Integración en el Dominio del Tiempo Sea ( ) ( )g t G f . Entonces, siempre que G(0) = 0, tenemos

1

( ) ( )2

t

g d G fj f

(2.41)

Esto es, la integración de una función del tiempo g(t) tiene el efecto de dividir su transformada de Fourier G(f) por el factor

2j f , siempre que G(0) sea cero.

Esta propiedad se verifica expresando g(t) como

( ) ( )td

g t g ddt

y después aplicando la propiedad de diferenciación en el tiempo de la transformada de Fourier para obtener

( ) 2 ( )t

G f j f g d

F

y de aquí se deduce de inmediato la Ec. (2.41).

Es un proceso directo generalizar la Ec. (2.41) a la integración múltiple; sin embargo, la notación se vuelve algo

engorrosa.

La Ec. (2.41) supone que G(0), es decir, el área bajo g(t), es cero. El caso más general perteneciente a G(0) 0 se

difiere para la Sección 2.4.

EJEMPLO 2.7 Pulso Triangular

Considere el pulso doblete g1(t) mostrado en la Fig. 2.11(a). Integrando este pulso con respecto al tiempo,

obtenemos el pulso triangular g2(t) mostrado en la Fig. 2.11(b). Notamos que el pulso doblete g1(t) consiste de dos

pulsos rectangulares: uno de amplitud A, definido para el intervalo T t 0, y el otro de amplitud A, definido

para el intervalo 0 t T. Aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo de la transformada de

Fourier a la Ec. (2.19), encontramos que las transformadas de estos dos pulsos rectangulares son iguales a

sinc expAT fT j fT y sinc expAT fT j fT , respectivamente. Por tanto, invocando la propiedad de

linealidad de la transformada de Fourier, encontramos que la transformada de Fourier 1( )G f del pulso doblete

1( )g t es

1( ) sinc exp exp

2 sinc sen

G f AT fT j fT j fT

jAT fT fT

(2.42)

Observamos también en la Ec. (2.42) que 1(0)G es cero. Por tanto, usando las Ecs. (2.41) y (2.42), encontramos

que la transformada de Fourier 2( )G f del pulso triangular 2( )g t de la Fig. 2.11(b) es

2 1

2 2

1( ) ( )

2

sen sinc

sinc

G f G fj f

fTAT fT

f

AT fT

(2.43)

32

Observe que el pulso dobles de la Fig. 2.11(a) es real y tiene simetría impar y su transformada de Fourier es por

tanto impar e imaginaria pura, en tanto que el pulso triangula de la Fig. 2.11(b) es real y simétrico y su

transformada de Fourier es entonces simétrica y puramente real.

FIGURA 2.11 (a) Pulso doblete g1(t). (b) Pulso triangular g2(t) obtenido al

integrar g1(t) con respecto al tiempo t.

EJEMPLO 2.8 Partes Real e Imaginaria de una Función del Tiempo

Hasta ahora en este capítulo, hemos analizado la representación de Fourier de diferentes señales, algunas eran

puramente reales, otras eran puramente imaginarias y todavía otras eran de valores complejos con partes reales

e imaginarias. Por tanto, es apropiada que en esta etapa en el análisis de Fourier de señales, usemos este ejemplo

para desarrollar varias fórmulas generales que perteneces a señales complejas y sus espectros.

Cuando expresamos una función g(t) de valores complejos en términos de sus partes real e imaginaria,

podemos escribir

( ) Re ( ) Im ( )g t g t j g t (2.44)

El conjugado complejo de g(t) es

*( ) Re ( ) Im ( )g t g t j g t (2.45)

Sumando las Ecs. (2.44) y (2.45), se obtiene

1

Re ( ) ( ) *( )2

g t g t g t (2.46)

y si las restamos, obtenemos

1

Im ( ) ( ) *( )2

g t g t g t (2.47)

33

Por tanto, al aplicar la regla de conjugación de la Ec. (2.22), obtenemos los dos pares de trasformadas de Fourier

siguientes:

1Re ( ) ( ) *( )

21

Im ( ) ( ) *( )2

g t G f G f

g t G f G f

(2.48)

De la segunda línea en la Ec. (2.48), es claro que en el caso de una función del tiempo de valores reales g(t),

tenemos que ( ) *( )G f G f ; es decir, la transformada de Fourier ( )G f exhibe simetría conjugada, lo que

confirma un resultado ya establecido anteriormente en la Sección 2.2.

PROPIEDAD 11 Teorema de Modulación Sean 1 1( ) ( )g t G f y 2 2( ) ( )g t G f . Entonces

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t G G f d

(2.49)

Para demostrar esta propiedad, primero denotamos la transformada de Fourier del producto 1 2( ) ( )g t g t por

12( )G f , de modo que podemos escribir

1 2 12( ) ( ) ( )g t g t G f

donde

12 1 2( ) ( ) ( )exp 2G f g t g t j ft dt

A continuación, por 2( )g t sustituimos la transformada de Fourier inversa

2 2( ) exp 2g t G f j f t df

en la integral que define a , para obtener

12 1 2( ) ( ) exp 2G f g t G f j f f t df dt

Ahora defina f f . Entonces, eliminando la variable f e intercambiando el orden de integración

obtenemos, después de reacomodar términos,

12 2 1( ) ( ) ( )exp 2G f G f g t j t dt d

suponiendo que f es fija. La integral interna es simplemente 1( )G ; por tanto, podemos escribir

12 1 2( ) ( ) ( )G f G G f d

que es el resultado deseado. Esta integral se conoce como la integral de convolución expresada en el dominio de la

frecuencia, y la función 12( )G f se conoce como la convolución de 1( )G f y 2( )G f . Concluimos que la multiplicación

de dos señales en el dominio del tiempo se transforma en la convolución de sus transformadas de Fourier individuales en el

dominio de la frecuencia. Esta propiedad también se conoce como el teorema de modulación. En los capítulos

subsiguientes se dirá mucho más sobre las implicaciones prácticas de esta propiedad.

En un análisis de la convolución, la siguiente notación abreviada se usa con frecuencia:

34

12 1 2( ) ( ) ( )G f G f G f

En consecuencia, podemos reformular la Ec. (2.49) en la forma simbólica siguiente:

1 2 2 2( ) ( ) ( ) G ( )g t g t G f f (2.50)

donde el asterisco denota la convolución. Observe que la convolución es conmutativa; es decir

1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )G f G f G f G f

la cual se obtiene directamente de la Ec. (2.50).

PROPIEDAD 12 Teorema de Convolución Sean 1 1( ) ( )g t G f y 2 2( ) ( )g t G f . Entonces

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g g t d G f G f

(2.51)

La Ec. (2.51) se deduce directamente combinando la Propiedad 4 (dualidad) y la Propiedad 11 (modulación).

Podemos entonces afirmar que la convolución de dos señales en el dominio del tiempo es transformada en la

multiplicación de sus transformadas de Fourier individuales en el dominio de la frecuencia. Esta propiedad se conoce

como el teorema de convolución. Su uso nos permite intercambiar una operación de convolución en el dominio del

tiempo por una multiplicación de dos transformadas de Fourier, una operación que ordinariamente es más fácil

de manipular. Tendremos más que decir sobre la convolución más adelante en este capítulo cuando se estudie el

tema de filtrado.

Usando la notación abreviada para la convolución, podemos reescribir la Ec. (2.51) en la forma más sencilla

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t G f G f (2.52)

Observe que las Propiedades 11 y 12, descritas por las Ecs. (2.49) y (2.51), respectivamente, son duales entre sí.

Problema de Práctica 2.5 Desarrolle los pasos detallados que muestran que los teoremas de modulación y

convolución son efectivamente duales entre sí.

PROPIEDAD 13 Teorema de Correlación Sean 1 1( ) ( )g t G f y 2 2( ) ( )g t G f . Entonces, suponiendo que 1( )g t

y 2( )g t son de valores complejos,

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t d G f G f

(2.53)

donde 2( )G f es el conjugado complejo de 2( )G f y es la variable de tiempo involucrada en la definición de la

transformada inversa del producto 1 2( ) ( )G f G f .

Para demostrar la Ec. (2.53), comenzamos por reformular la integral de convolución con los papeles de las

variables de tiempo t y intercambiados, en cuyo caso simplemente reescribimos la Ec. (2.51) como

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t dt G f G f

(2.54)

Como ya se señaló en el enunciado de la Propiedad 13, la transformada de Fourier inversa del término producto

1 2( ) ( )G f G f tiene a como su variable de tiempo; es decir, exp 2j f es su núcleo. Con la fórmula de la Ec.

35

(2.54) a mano, la Ec. (2.53) se deduce directamente combinando la regla de reflexión (caso especial de la

propiedad de dilación) y la regla de conjugación.

La integral en el lado izquierdo de la Ec. (2.53) define una medida de la semejanza que pueda existir entre un

par de señales de valores complejos. Esta medida se denomina correlación, sobre la cual se dirá más

posteriormente en este capítulo.

Problema de Práctica 2.6 Desarrolle los pasos detallados involucrados en la deducción de la Ec. (2.53),

comenzando desde la Ec. (2.51).

Problema de Práctica 2.7 Demuestre las propiedades siguientes del proceso de convolución:

(a) La propiedad conmutativa: 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )g t g t g t g t

(b) La propiedad asociativa: 1 2 3 1 2 3( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) ( )g t g t t g t g t g t

(c) La propiedad distributiva: 1 2 3 1 2 1 3( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t g t t g t g t g t g t

PROPIEDAD 14 Teorema de Energía de Rayleigh Sea ( ) ( )g t G f . Entonces

2 2

( ) ( )g t dt G f df

(2.55)

Para demostrar la Ec. (2.55), hacemos 1 2( ) ( ) ( )g t g t g t en la Ec. (2.53), en cuyo caso el teorema de correlación

se reduce a

2( ) *( ) ( ) *( ) ( )g t g t dt G f G f G f

En forma expandida, podemos escribir

2

( ) *( ) ( ) exp 2g t g t dt G f j f df

(2.56)

Finalmente, tomando = 0 en la Ec. (2.56) y reconociendo que 2

( ) ( ) ( )g t g t g t , obtenemos el resultado deseado.

La Ec. (2.55), conocida como el teorema de energía de Rayleigh, establece que la energía total de una señal Fourier

transformable es igual al área total bajo la curva del cuadrado del espectro de amplitud de esta señal. La

determinación de la energía con frecuencia es simplificada al invocar el teorema de energía de Rayleigh, como se

ilustra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 2.9 Pulso Sinc (continuación)

Considérese una vez más el pulso sinc 2A Wt . La energía de este pulso es igual a

2 2sinc 2E A W t dt

La integral en el lado derecho de esta ecuación es bastante difícil de evaluar. Sin embargo, del Ejemplo 2.4

tenemos que la transformada de Fourier del pulso sinc 2A Wt es igual a 2 rect "A W f W ; por tanto,

aplicando el teorema de energía de Rayleigh a este problema, obtenemos fácilmente el resultado deseado:

36

22

2

2

rect2 2

2

2

W

W

fAE df

W W

Adf

W

A

W

(2.57)

Este ejemplo ilustra claramente la utilidad del teorema de la energía de Rayleigh.

Problema de Práctica 2.8 Considere la función pulso sinc( )t y demuestre que 2sinc ( ) 1t dt

.

2.3 La Relación Inversa Entre el Tiempo y la Frecuencia

Las propiedades de la transformada de Fourier estudiadas en la Sección 2.2 muestran que las descripciones en el

dominio del tiempo y en el de la frecuencia de una señal están relacionadas inversamente entre sí. En particular,

podemos hacer dos afirmaciones importantes:

1. Si se cambia la descripción en el dominio del tiempo de una señal, la descripción en el dominio de la

frecuencia de la señal es cambiada en una forma inversa, y viceversa. Esta relación inversa evita

especificaciones arbitrarias de una señal en ambos dominios. En otras palabras, podemos especificar una

función arbitraria del tiempo o un espectro arbitrario, pero no podemos especificar ambas al mismo tiempo.

2. Si una señal está estrictamente limitada en frecuencia, la descripción en el dominio del tiempo de la señal se

extenderá indefinidamente, aunque su amplitud puede asumir un valor progresivamente menor. Decimos

que una señal está estrictamente limitada en frecuencia o estrictamente limitada en banda si su transformada de

Fourier es exactamente cero fuera de una banda finita de frecuencias. El pulso sinc es un ejemplo de una

señal estrictamente limitada en banda, como muestra la Fig. 2.8. Esta figura también muestra que el pulso

sinc está solamente limitado asintóticamente en el tiempo. En una forma inversa, si una señal está estrictamente

limitada en tiempo (es decir, la señal es exactamente cero fuera de un intervalo finito en el tiempo), entonces

el espectro de la señal es infinito en extensión, aunque el espectro de amplitud puede asumir un valor

progresivamente menor. Esta conducta es ejemplificada tanto para el pulso rectangular (descrito en la Fig.

2.2) como para el pulso triangular (descrita en la Fig. 2.11(b)). En consecuencia, podemos afirmar que una

señal no puede estar estrictamente limitada tanto en tiempo como en frecuencia.

ANCHO DE BANDA

El ancho de banda de una señal proporciona una medida de la extensión del contenido espectral significativo de la señal

para frecuencias positivas. Cuando la señal está estrictamente limitada en banda, el ancho de banda está bien

definido. Por ejemplo, el pulso sinc descrito en la Fig. 2.8(a) tiene un ancho de banda igual a W. La dificultad

surge porque el significado de la palabra “significativo” anexado al contenido espectral de la señal es

matemáticamente impreciso. Como consecuencia, no hay una definición de ancho de banda aceptada

universalmente.

No obstante, hay algunas definiciones de ancho de banda usadas comúnmente. En esta sección se considerarán

tres de esas definiciones; la formulación de cada definición depende de si la señal es de pasabajas o de

pasabanda. Se dice que una señal es de pasabajas si su contenido espectral significativo está centrado alrededor

del origen 0f . Se dice que una señal es de pasabanda si su contenido espectral significativo está centrado

alrededor de cf , donde cf es una frecuencia constante.

37

Cuando el espectro de una señal es simétrico con un lóbulo principal acotado por nulos (frecuencias en las cuales

el espectro es cero) bien definidos, podemos usar el lóbulo principal como la base para definir el ancho de banda

de la señal. La razón para hacerlo así es que el lóbulo espectral principal contiene la porción significativa de la

energía de la señal. Si la señal es de pasabajas, el ancho de banda se define como la mitad del ancho total del

lóbulo espectral principal, puesto que sólo la mitad de este lóbulo está dentro de la región de frecuencias

positivas. Por ejemplo, un pulso rectangular de duración T segundos tiene un lóbulo espectral principal de

ancho total igual a (2/T) hertz centrado en el origen, como muestra la Fig. 2.2(b). De acuerdo con esto, podemos

definir el ancho de banda de este pulso rectangular como (1/T) hertz. Por otro lado, si la señal es de pasabanda

con lóbulos espectrales centrados alrededor de cf , donde cf es grande, el ancho de banda se define como el

ancho del lóbulo principal para frecuencias positivas. Esta definición de ancho de banda se denomina el ancho de

banda de nulo a nulo. Por ejemplo, un pulso de RF de duración T segundos y frecuencia cf tiene lóbulos

espectrales principales de ancho (2/T) hertz centrado alrededor de cf , como se muestra en la Fig. 2.9(b). Por

tanto, podemos definir el ancho de banda de nulo a nulo de este pulso de RF como (2/T) hertz. Sobre la base de

las definiciones presentadas aquí, podemos afirmar que el desplazamiento del contenido espectral de una señal

de pasabajas por una frecuencia suficientemente grande tiene el efecto de duplicar el ancho de banda de la señal.

Esa traslación de frecuencias se alcanza mediante la utilización del proceso de modulación, el cual se analiza en

detalle en el Capítulo 3.

Otra definición popular del ancho de banda es el ancho de banda de 3 dB. Específicamente, si la señal es de

pasabajas, el ancho de banda de 3 dB se define como la separación entre la frecuencia cero, donde el espectro de

amplitud alcanza su valor pico, y la frecuencia positiva en la cual es espectro de amplitud cae a 1 2 de su valor

pico. Por ejemplo, los pulsos exponenciales decreciente y creciente definidos en la Fig. 2.4 tienen un ancho de

banda de 3 dB (a/2) hertz. Si, por otra parte, la señal es de pasabanda centrada en cf , el ancho de banda de 3

dB se define como la separación (a lo largo del eje de frecuencias positivas) entre las dos frecuencias en las cuales

el espectro de amplitud de la señal cae a 1 2 del valor pico en cf . El ancho de banda de 3 dB tiene un ventaja

en que puede leerse directamente de una gráfica del espectro de amplitud. Sin embargo, tiene una desventaja en

que puede ser engañador si el espectro de amplitud tiene colas que decrecen lentamente.

Todavía otra medida para el ancho de banda de una señal es el ancho de banda de raíz media cuadrática (rms, por

sus siglas en inglés), definida como la raíz cuadrada del segundo momento de una forma normalizada

apropiadamente del cuadrado del espectro de amplitud de la señal en torno a un punto seleccionado

adecuadamente. Se supone que la señal es de pasabajas, de modo que el segundo momento puede tomarse con

respecto al origen. Como la forma normalizada del cuadrado del espectro de amplitud, usamos la función no

negativa 2 2

( ) ( )G f G f df

, en la cual el denominador aplica la normalización correcta en el sentido de que

el valor integrado de esta razón sobre todo el eje de frecuencia es igual a la unidad. Podemos entonces definir

formalmente el ancho de banda rms de una señal de pasabajas g(t) con transformada de Fourier ( )G f como:

1 222

rms2

( )

( )

f G f dfW

G f df

(2.58)

Una característica atractiva del ancho de banda rms Wrms es que se presta más rápidamente para una evaluación

matemática que las otras dos definiciones de ancho de banda, aunque no es tan fácil de medir en el laboratorio.

38

PRODUCTO TIEMPO – ANCHO DE BANDA

Para cualquier familia de señales de pulso que difieren por un factor de escalamiento en el tiempo, el producto

de la duración de la señal y su ancho de banda es siempre una constante, como muestra la relación

(duración) (ancho de banda) constante

El producto se denomina el producto tiempo – ancho de banda o producto ancho de banda – duración. Lo constante del

producto tiempo – ancho de banda es otra manifestación de la relación inversa que existe entre las descripciones

de una señal en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia. En particular, si la duración de una señal de pulso

es disminuida comprimiendo la escala del tiempo por un factor a, digamos, la escala en frecuencias del espectro

de la señal y, por tanto, el ancho de banda de la señal, es expandida por el mismo factor a, en virtud de la

Propiedad 2 (dilación) y por ello el producto tiempo – ancho de banda de la señal se mantiene constante. Por

ejemplo, un pulso rectangular de duración T segundos tiene un ancho de banda (definido con base en la parte de

frecuencias positivas del lóbulo principal) igual a (1/T) hertz, haciendo al producto tiempo – ancho de banda

igual a la unidad. El punto importante que se debe observar aquí es que cualquiera sea la definición que usemos

para el ancho de banda de la señal, el producto tiempo – ancho de banda permanece constante para ciertas clases

de señales de pulso. La selección de una definición particular para el ancho de banda simplemente cambia el

valor de la constante.

Para ser más específicos, consideremos el ancho de banda rms definido en la Ec. (2.58). La definición

correspondiente para la duración rms de la señal g(t) es

1 222

rms2

( )

( )

t g t dtT

g t dt

(2.59)

donde se supone que la señal g(t) está centrada en torno al origen. Se puede demostrar que si se usan las

definiciones rms de las Ecs. (2.58) y (2.59), el producto tiempo – ancho de banda tiene la siguiente forma:

rms rms

1

4T W

(2.60)

donde la constante es (1/4). También es posible demostrar que el pulso gaussiano satisface esta condición con

el signo de igualdad. Para los detalles de estos cálculos, el lector se remite al Problema 2.51.

2.4 Función Delta de Dirac

Estrictamente hablando, la teoría de la transformada de Fourier, en la forma descrita en las Secciones 2.2 y 2.3, es

aplicable solamente a funciones del tiempo que satisfacen las condiciones de Dirichlet. Esas funciones incluyen

señales de energía – es decir, señales para las cuales se cumple la condición

( )g t dt

Sin embargo, sería altamente deseable extender la teoría en dos formas:

1. Combinar la teoría de la serie de Fourier y de la transformada de Fourier en una estructura unitaria, de

modo que la serie pueda tratarse como un caso especial de la transformada de Fourier.

2. Expandir la aplicabilidad de la transformada de Fourier para incluir señales de potencia – esto es,

señales para las cuales se cumple la condición

39

2

.

1lím ( )

2

T

T Tg t dt

T

Resulta que ambos de estos objetivos se cumplen a través del “uso apropiado” de la función delta de Dirac o

impulso unitario.

La función delta de Dirac, denotada por (t), se define como teniendo cero amplitud en todas partes excepto en

t = 0, donde es infinitamente grande en una forma tal que contiene área unitaria bajo su curva. Específicamente,

(t) satisface el par de relaciones

( ) 0, 0t t (2.61)

y

( ) 1t dt

(2.62)

Una consecuencia de este par de relaciones es que la función delta debe ser una función par del tiempo t.

Sin embargo, para que la función delta tenga significación tiene que aparecer como un factor en el integrando

de una integral con respecto al tiempo y entonces, estrictamente hablando, solamente cuando el otro factor en el

integrando es una función continua del tiempo. Sea g(t) esa función y consideremos el producto de g(t) y la

función delta corrida en el tiempo 0t t . A l luz de las dos ecuaciones de definición (2.61) y (2.62), podemos

expresar la integral del producto 0( )g t t t con respecto al tiempo como

0 0( )g t t t dt g t

(2.63)

La operación indicada en el lado izquierdo de esta ecuación selecciona el valor 0g t de la función g(t) en el

instante 0t t , donde < t < . En consecuencia, la Ec. (2.63) se conoce como la propiedad de selección de la

función delta. Esta propiedad se usa algunas veces como la ecuación de definición de una función delta; en

efecto, ella incorpora las Ecs. (2.61) y (2.62) en una sola relación.

Notando que la función (t) es una función par de t, podemos reescribir la Ec. (2.63) en una forma que resalta

su parecido con la integral de convolución, como muestra la ecuación

( ) ( ) ( )g t d g t

(2.64)

o, usando la notación para la convolución

( ) ( ) ( )g t t g t

En palabras, la convolución de cualquier función del tiempo g(t) con la función delta (t) no produce ningún

cambio en esa función. Esta afirmación se conoce como la propiedad de réplica de la función delta.

Por definición, la transformada de Fourier de la función delta es

( ) ( )exp 2t t j ft dt

F

Por tanto, usando la propiedad de selección de la función delta y tomando en cuenta que exp( 2 )j ft es igual a

la unidad en t = 0, obtenemos

( ) 1t F

Tenemos entonces el par de transformadas de Fourier para la función delta de Dirac:

40

( ) 1t (2.65)

Esta relación establece que el espectro de la función delta (t) se extiende uniformemente por todo el intervalo

de frecuencias, como muestra la Fig. 2.12.

Es importante señalar que el par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.65) existe solamente en un sentido de

límite. El punto es que ninguna función en el sentido ordinario tiene las dos propiedades de las Ecs. (2.61) y

(2.62) o la propiedad de selección equivalente de la Ec. (2.63). Sin embargo, podemos imaginarnos una secuencia

de funciones que tienen picos progresivamente más altos y más delgados en t = 0, con el área bajo la curva

permaneciendo igual a la unidad, en tanto que el valor de la función tiende a cero en todo punto excepto en

0t , donde tiende a infinito. Es decir, podemos considerar a la función delta como la forma límite de un pulso de

área unitaria conforme la duración del pulso tiende a cero. No tiene importancia la forma del pulso que se use.

En un sentido riguroso, la función delta de Dirac pertenece a una clase especial de funciones conocidas como

funciones generalizadas o distribuciones. Efectivamente, en algunas situaciones su uso requiere que tengamos

mucho cuidado. No obstante, un aspecto hermoso de la función delta de Dirac está precisamente en el hecho de

que un tratamiento bastante intuitivo de la función a lo largo de líneas descritas de aquí en adelante, con

frecuencia da la respuesta correcta.

FIGURA 2.12 (a) La función delta de Dirac (t). (b) Espectro de (t).

EJEMPLO 2.10 La Función Delta como una Forma Límite del Pulso Gaussiano

Consideremos un pulso gaussiano de área unitaria, definido por

2

2

1( ) exp

tg t

(2.66)

donde es un parámetro variable. La función gaussiana g(t) tiene dos propiedades útiles: (1) sus derivadas son

todas continuas, y (2) tiende a cero más rápidamente que cualquier potencia de t. La función (t) se obtiene

tomando el límite 0. El pulso gaussiano entonces se vuelve infinitesimalmente angosto en duración e

infinitamente grande en amplitud, sin embargo, su área permanece finita y fija en uno. La Fig. 2.13(a) ilustra la

secuencia de esos pulsos conforme el parámetro decrece.

El pulso gaussiano g(t), definido aquí, es el mismo que pulso gaussiano unitario 2exp t deducido en el

Ejemplo 2.6, excepto por el hecho de ahora está escalado en el tiempo por el factor y escalado en amplitud por

el factor 1/. Por tanto, aplicando las propiedades de linealidad y dilación de la transformada al par de

transformadas de la Ec. (2.40), encontramos que la transformada de Fourier del pulso gaussiano g(t) definido en

la Ec. (2.66) también es gaussiano, como lo muestra la relación

41

FIGURA 2.13 (a) Pulsos gaussianos de duración variable. (b) Espectros correspondientes.

2 2( ) expG f f

La Fig. 2.13(b) ilustra el efecto de variar el parámetro sobre el espectro del pulso gaussiano g(t). Por tanto,

haciendo = 0, encontramos, como se esperaba, que la transformada de Fourier de la función delta es igual a la

unidad.

42

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DELTA

1. Señal de cd

Aplicando la propiedad de dualidad al par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.65) y observando que la

función delta es una función par, obtenemos

1 ( )f (2.67)

La Ec. (2.67) dice que una señal de cd es transformada en el dominio de la frecuencia en una función (t)

localizada en la frecuencia cero, como muestra la Fig. 2.14. Por supuesto, este resultado es intuitivamente

satisfactorio.

Recurriendo a la definición de la transformada de Fourier, de la Ec. (2.67) deducimos fácilmente la útil relación

exp 2 ( )j ft dt f

Puesto que la función delta (f) es de valores reales, podemos simplificar esta relación y escribirla como

cos 2 ( )ft dt f

(2.68)

la cual da otra definición de la función delta, aunque en el dominio de la frecuencia.

2. Función Exponencial Compleja

Ahora, aplicando la propiedad de desplazamiento en frecuencia a la Ec. (2.67), obtenemos el par de

transformadas de Fourier

exp 2 c cj f t f f (2.69)

para una función exponencial compleja de frecuencia fc. La Ec. (2.69) afirma que la función exponencial compleja

exp 2 cj f t es transformada en el dominio de la frecuencia en una función delta cf f localizada en cf f .

FIGURA 2.14 (a) Señal de cd. (b) Espectro.

3. Funciones Sinusoidales

Consideremos ahora el problema de evaluar la transformada de Fourier de la función coseno cos 2 cf t .

Primero usamos la fórmula de Euler para escribir

12

cos 2 exp 2 exp 2c c cf t j f t j f t (2.70)

Por tanto, usando la Ec. (2.69), encontramos que la función coseno cos 2 cf t es representada por el par de

transformadas de Fourier

43

12

cos 2 c c cf t f f f f (2.71)

En otras palabras, el espectro de la función coseno cos 2 cf t consiste de un par de funciones delta localizadas

en cf f , cada una ponderada por el factor 1/2, como se muestra en la Fig. 2.15.

FIGURA 2.14 (a) Función coseno. (b) Espectro.

Análogamente, podemos demostrar que la función seno sen 2 cf t es representada por el par de

transformadas de Fourier

12

sen 2 c c cf t j f f f f (2.72)

que se ilustra en la Fig. 2.16.

FIGURA 2.16 (a) Función seno. (b) Espectro.

Problema de Práctica 2.9 Determine la transformada de Fourier de las señales sinusoidales elevadas al

cuadrado:

(i) 2( ) cos 2 cg t f t

(ii) 2( ) sen 2 cg t f t

4. Función Signo

La función signo sgn( )t es igual a +1 para tiempo positivo y a 1 para tiempo negativo, como se muestra por la

curva sólida en la Fig. 2.17(a). La función signo ya se definió anteriormente en la Ec. (2.18); aquí reproducimos

esta definición por conveniencia de la presentación:

44

1, 0

sgn( ) 0, 0

1, 0

t

t t

t

La función signo no satisface las condiciones de Dirichlet y, por tanto, estrictamente hablando, no tiene una

transformada de Fourier. Sin embargo, podemos definir una transformada de Fourier para la función signo

considerándola como la forma límite del pulso exponencial doble con simetría impar

exp , 0

( ) 0, 0

exp , 0

at t

g t t

at t

(2.73)

conforme el parámetro a tiende a cero. La señal g(t) mostrada como la curva segmentada en la Fig. 2.17(a), sí

satisface las condiciones de Dirichlet. Su transformada de Fourier se determinó en el Ejemplo 2.3; el resultado es

[véase la Ec. (2.19)]:

22

4( )

2

j fG f

a f

FIGURA 2.17 (a) Función signo (curva continua) y pulso exponencial doble (curva segmentada).

(b) Espectro de amplitud de la función signo (curva continua) y la del pulso exponencial doble

(curva segmentada).

45

El espectro de amplitud ( )G f se muestra como la curva segmentada en la Fig. 2.17(b). En el límite, conforme a

tiende a cero, tenemos que

220

4 1sgn( ) lím

2a

j ft

j fa f

F

Es decir,

1

sgn( ) tj f

(2.74)

La amplitud de la función signo se muestra como la curva continua en la Fig. 2.17(b). Aquí vemos que para a

pequeña, la aproximación es muy buena excepto cerca del origen en el eje de frecuencias. En el origen, el

espectro de la función de aproximación g(t) es cero para a > 0, en tanto que el espectro de la función signo tiende

a infinito.

5. Función Escalón Unitario

La función escalón unitario u(t) es igual a +1 para tiempo positivo y cero para tiempo negativo. Esta función ya se

definió anteriormente en la Ec. (2.11) y se reproduce aquí por conveniencia:

1, 0

1( ) , 0

20, 0

t

u t t

t

La forma de onda de la función escalón unitario se muestra en la Fig. 2.18(a). A partir de esta ecuación de

definición y la de la función signo, o a partir de las formas de onda de las Figs. 2.17(a) y 2.18(a), vemos que la

función escalón unitario y la función signo están relacionadas por

1

( ) sgn(t) 12

u t (2.75)

FIGURA 2.18 (a) Función escalón unitario. (b) Espectro de amplitud.

Por tanto, usando la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier y los pares de transformadas de las

Ecs. (2.67) y (2.75), encontramos que la función escalón unitaria es representada por el par de transformadas de

Fourier

1 1

( ) ( )2 2

u t fj f

(2.76)

Esto significa que el espectro de la función escalón unitario contiene una función delta ponderada por un factor

de 1/2 y localizada en la frecuencia cero, como muestra la Fig. 2.18(b).

46

6. Integración en Dominio del Tiempo (Otra visita)

La relación de la Ec. (2.41 describe el efecto de integrar sobre la transformada de Fourier de una señal g(t),

suponiendo que G(0) es cero. Ahora consideramos el caso más general, donde no se hace ninguna suposición.

Sea

( ) ( )t

y t g d

(2.77)

La señal integrada y(t) puede considerarse como la convolución de la señal original g(t) y la función escalón

unitario u(t), como lo muestra la relación

( ) ( ) ( )t

y t g u t d

donde la función escalón unitario desplazada en el tiempo u(t ) está definida por

1,

1( ) ,

20,

t

u t t

t

Observando que la convolución en el dominio del tiempo es transformada en una multiplicación en el dominio

de la frecuencia de acuerdo con la Propiedad 12, y usando el par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.76)

para la función escalón unitario u(t), encontramos que la transformada de Fourier de y(t) es

1 1

( ) ( ) ( )2 2

Y f G f fj f

(2.78)

donde G(f) es la transformada de Fourier de g(t). Según la propiedad de selección de una función delta

formulada en el dominio de la frecuencia, tenemos que

( ) ( ) (0) ( )G f f G f

Por tanto, podemos reescribir la Ec. (2.78) en la forma equivalente:

1 1(( ) ( ) (0) ( )

2 2Y f G f G f

j f

En general, el efecto de integrar la señal g(t) es por tanto descrita por el par de transformadas de Fourier

1 1

( ) ( ) (0) ( )2 2

t

g d G f G fj f

(2.79)

Éste es el resultado deseado, el cual incluye la Ec. (2.41) como un caso especial (es decir, cuando G(0) = 0).

Problema de Práctica 2.10 Considere la función

1 1( )

2 2g t t t

que consiste de la diferencia entre dos funciones delta en 1

2t . La integración de g(t) con respecto al tiempo t

produce la función rect( )t . Usando la Ec. (2.79), demuestre que

47

rect( ) sinc( )t f

que es una forma especial de la Ec. (2.10).

2.5 Transformadas de Fourier de Señales Periódicas

Es bien conocido que mediante el uso de series de Fourier, una señal periódica puede representarse como una

suma de exponenciales complejas. También, en un sentido de límite, las transformadas de Fourier pueden

definirse para exponenciales complejas, como se demuestra en las Ecs. (2.69), (2.71) y (2.72). Por tanto, parece

razonable representar una señal periódica en términos de una transformada de Fourier, siempre que se permita

incluir funciones delta en esta transformada.

Consideremos entonces una señal periódica 0( )Tg t , donde el subíndice T0 denota el periodo de la señal.

Sabemos que 0( )Tg t puede ser representada en términos de la serie de Fourier exponencial compleja como

0 0( ) exp 2T n

n

g t c j nf t

(2.80)

donde cn es el coeficiente de Fourier complejo, definido por

0

00

2

020

1( )exp 2

T

n TT

c g t j nf t dtT

(2.81)

y f0 es la frecuencia fundamental definida como el recíproco del periodo T0; es decir,

10

1f

T (2.82)

Sea g(t) un función de tipo pulso, la cual es igual a 0( )Tg t en un periodo y cero fuera de ese periodo; es decir,

0

0 0

0

( ), 2 2

( )

0, 02

T

T Tg t t

g tT

(2.83)

La señal periódica 0( )Tg t puede ahora expresarse en términos de la función g(t) como la sumatoria infinita

0 0( )T

m

g t g t mT

(2.84)

Con base en esta representación, podemos considerar a g(t) como una función generadora, en que genera la señal

periódica 0( )Tg t . Como es de tipo pulso con alguna energía finita, la función g(t) es Fourier transformable. En

consecuencia, a la luz de las Ecs. (2.82) y (2.83), podemos reescribir la fórmula para el coeficiente de Fourier

complejo cn como

0 0 0 0( )exp 2nc f g t j nf t dt f G nf

(2.85)

donde 0G nf es la transformada de Fourier de g(t), evaluada en la frecuencia 00f nf , Podemos entonces

reescribir la fórmula de la Ec. (2.80) para la reconstrucción de la señal periódica 0( )Tg t como

48

0 0 0 0( ) exp 2T

n

g t f G nf j nf t

(2.86)

Por tanto, eliminando 0( )Tg t entre las Ecs- (2.84) y (2.86), ahora podemos escribir

0 0 0 0exp 2

m n

g t mT f G nf j nf t

(2.87)

que define una forma de la fórmula de Poisson.

Finalmente, usando la Ec. (2.69), la cual define la transformada de Fourier de una función exponencial

compleja, en la Ec. (2.87), deducimos el par de transformadas de Fourier:

0 0 0 0

m n

g t mT f G nf f nf

(2.88)

para la señal periódica 0( )Tg t , cuya frecuencia fundamental es 0 01f T . La Ec. (2.88) simplemente afirma que la

transformada de Fourier de una señal periódica consiste de funciones delta localizadas en múltiplos enteros de

la frecuencia fundamental f0, incluyendo el origen, y que cada función delta es ponderada por un factor igual al

valor correspondiente de 0G nf . Efectivamente, esta relación simplemente proporciona un método para

mostrar el contenido de frecuencias de la señal periódica 0( )Tg t .

Es interesante observar que la función de tipo pulso g(t), la cual constituye un periodo de la señal periódica

0( )Tg t , tiene un espectro continuo definido por ( )G f . Por otra parte, la señal periódica

0( )Tg t misma tiene un

espectro discreto. En palabras, podemos entonces sintetizar la transformación contemplada en la Ec. (2.88) en la

forma siguiente:

La periodicidad en el dominio del tiempo tiene el efecto de cambiar el espectro de una señal de tipo

pulso en una forma discreta definida en múltiplos enteros de la frecuencia fundamental y

viceversa.

EJEMPLO 2.11 Función de Muestreo Ideal

Una función de muestreo ideal, o peine de Dirac, consiste de una secuencia infinita de funciones delta espaciadas de

manera uniforme, como se muestra en la Fig. 2.19(a). Esta forma de onda la denotamos por

0 0( )T

m

t t mT

(2.89)

Observamos que la función generadora g(t) para la función de muestreo ideal 0( )T t consiste simplemente de la

función delta (t). Por tanto, tenemos que ( ) 1G f y

0 1 para toda G nf n

Por consiguiente, el uso de la Ec. (2.88) produce el nuevo resultado

0 0 0

m n

t mT f f nf

(2.90)

49

FIGURA 2.19 (a) Peine de Dirac. (b) Espectro.

La Ec. (2.90) establece que la transformada de Fourier de un tren periódico de funciones delta, separadas por T0

segundos, consiste de otro conjunto de funciones delta ponderadas por el factor 0 01f T y regularmente

espaciadas con separación de f0 Hz a lo largo del eje de frecuencias como en la Fig. 2.19(b). En el caso especial de

0 1T , un tren periódico de funciones delta es, igual que un pulso gaussiano, su propia transformada de

Fourier.

Aplicando la transformada de Fourier inversa al lado derecho de la Ec. (2.90), obtenemos la relación

0 0 0exp 2

m n

t mT f j nf t

(2.91)

Por otra parte, al aplicar la transformada de Fourier al lado izquierdo de la Ec. (2.90), se obtiene la relación dual:

0 0 0exp 2

m n

T j mfT f nf

(2.92)

donde hemos usado la relación de la Ec. (2.82) escrita en la forma 0 01T f . Las Ecs. (2.91) y (2.92) son duales

entre sí, en que las funciones delta aparecen en el dominio del tiempo en la Ec. (2.91), en tanto que en la Ec. (2.92)

las funciones delta aparecen en el dominio de la frecuencia.

Problema de Práctica 2.11 Usando la fórmula de Euler 12

cos exp expx jx jx , reformule las Ecs.

(2.91) y (2.92) en términos de funciones cosenoidales.

2.6 Transmisión de Señales a Través de Sistemas Lineales: La Convolución Revisitada

Con la teoría de la transformada de Fourier presentada en las secciones anteriores a nuestra disposición, estamos

listos para comenzar el estudio de una clase especial de sistemas conocidos como lineales. Un sistema se refiere a

cualquier dispositivo o fenómeno físico que produce una señal de salida en respuesta a una señal de entrada. Se

acostumbra referirse a la señal de entrada como la excitación y a la señal de salida como la respuesta. En un

50

sistema lineal se cumple el principio de superposición; es decir, la respuesta de un sistema lineal a varias excitaciones

aplicadas simultáneamente es igual a la suma de las respuestas del sistema cuando cada excitación es aplicada

individualmente. Ejemplos importantes de sistemas lineales incluyen filtros y canales de comunicación que operan

en su región lineal. Un filtro se refiere a un dispositivo selector de frecuencias que se usa para limitar el espectro

de una señal a una banda de frecuencias. Un canal se refiere al medio físico que conecta el transmisor y el

receptor de un sistema de comunicaciones. Deseamos evaluar los efectos de transmitir señales por filtros y

canales de comunicación lineales. Esta evaluación puede realizarse en dos formas, dependiendo de la

descripción adoptada para el filtro o el canal. Es decir, podemos usar ideas en el dominio del tiempo o en el de la

frecuencia, como se describe a continuación.

RESPUESTA EN EL TIEMPO

En el dominio del tiempo, un sistema lineal es descrito en término de su respuesta al impulso, la cual se define

como la respuesta del sistema (con cero condiciones iniciales) a un impulso unitario o función delta (t) aplicado en la

entrada del sistema. Si el sistema es invariable en el tiempo, entonces esta propiedad implica que un impulso

unitario desplazado en el tiempo en la entrada del sistema produce una respuesta al impulso en la salida,

desplazada por exactamente la misma cantidad. En otras palabras, la forma de la respuesta al impulso de un

sistema lineal e invariable en el tiempo es la misma y no importa cuándo se aplica el impulso unitario al sistema.

Por tanto, suponiendo que el impulso unitario o función delta se aplica en el instante t = 0, podemos denotar la

respuesta al impulso de un sistema lineal e invariable en el tiempo por h(t). Supongamos que este sistema se

somete a una excitación arbitraria x(t), como en la Fig. 2.20(a). Para determinar la respuesta y(t) del sistema,

comenzamos por aproximar primero a x(t) por una función escalonada compuesta de pulsos rectangulares

angostos, cada uno de duración , como muestra la Fig. 2.20(b). Claramente, la aproximación mejora para

más pequeña. Conforme tiende a cero, cada pulso se aproxima, en el límite, a una función delta ponderada

por un factor igual a la altura del pulso multiplicada por . Considérese un pulso típico, mostrado sombreado

en la Fig. 2.20(b), que ocurre en t = . Este pulso tiene un área igual a ( )x . Por definición, la respuesta del

sistema a un impulso unitario o función delta (t), que ocurre en t = 0, es h(t). Por tanto, se deduce que la

respuesta del sistema a una función delta, ponderada por el factor ( )x y que ocurre en t = , debe ser

( ) ( )x h t . Para hallar la respuesta y(t) en algún instante t, aplicamos el principio de superposición.

Entonces, sumando las diferentes respuestas infinitesimales debida a los diferentes pulsos de entrada,

obtenemos en el límite, conforme tiende a cero,

( ) ( ) ( )y t x h t d

(2.93)

Esta relación se denomina la integral de convolución.

En la Ec. (2.93), están involucradas tres escalas de tiempo diferentes: el tiempo de excitación , el tiempo de

respuesta t y el tiempo de memoria del sistema (t ). Esta relación es la base del análisis en el dominio del tiempo de

los sistemas lineales e invariables en el tiempo. Establece que el valor presente de la respuesta de un sistema lineal

invariable en el tiempo es una integral ponderada sobre la historia pasada de la señal de entrada, ponderada de acuerdo con

la respuesta al impulso del sistema. Así, la respuesta al impulso actúa como una función de memoria para el sistema.

En la Ec. (2.93), se calcula la convolución de la excitación x(t) con la respuesta al impulso h(t) para producir la

respuesta y(t). Puesto que la convolución es conmutativa, se deduce que también podemos escribir

( ) ( ) ( )y t h x t d

(2.94)

que es la convolución de h(t) con x(t).

51

FIGURA 2.20 (a) Sistema lineal con entrada x(t) y salida y(t). (b) Aproximación

escalonada de la entrada x(t).

EJEMPLO 2.12 Filtro Transversal (Línea de Retardo)

Considérese un filtro lineal invariable en el tiempo con respuesta al impulso h(t). Hacemos dos suposiciones:

1. Causalidad, lo que significa que la respuesta al impulso h(t) es cero para t < 0.

2. Soporte finito, lo que significa que la respuesta al impulso del filtro es de alguna duración finita Tf, de modo

que podemos escribir ( ) 0h t para ft T .

Bajo estas dos suposiciones, podemos expresar la salida del filtro y(t) producida en respuesta a la entrada x(t)

como

0

( ) ( ) ( )fT

y t h x t d (2.95)

Supóngase que la entrada x(t), la respuesta al impulso h(t) y la salida y(t) se muestrean uniformemente con la tasa

1 t muestras por segundo, de modo que podemos escribir

t n t

y

k

donde k y n son enteros y es el periodo de muestreo. Suponiendo que es lo suficientemente pequeño para que

el producto ( ) ( )h x t permanezca esencialmente constante para ( 1)k k para todos los valores de k

y , podemos aproximar la Ec. (2.95) por una suma de convolución como lo muestra la relación

1

0

N

k

y n h k x n k

52

donde fN T . Defina el peso

, 0, 1, , 1kw h k k N (2.96)

Podemos entonces reescribir la fórmula para y n como

1

0

N

k

k

y n w x n k

(2.97)

La Ec. (2.97) se puede realizar usando l estructura mostrada en la Fig. 2.21, la cual consiste de un conjunto de

elementos de retardo (donde cada uno produce un retardo de segundos), un conjunto de multiplicadores

conectados a la tomas de las líneas de retardo, un conjunto correspondiente de pesos suministrados a los

multiplicadores y un sumador para combinar las salidas de los multiplicadores. Esta estructura se conoce un filtro

de líneas de retardo o filtro transversal. Observe que en la Fig. 2.21 la separación de las tomas o incremento básico

del retardo es igual al periodo de muestreo de la secuencia de entrada x n .

FIGURA 2.21 Filtro transversal.

CAUSALIDAD Y ESTABILIDAD

Se dice que un sistema es causal si no responde antes de que se aplique la excitación. Para que un sistema lineal e

invariable en el tiempo sea causal, es claro que la respuesta al impulso h(t) debe anularse para tiempo negativo,

como se expresó en el Ejemplo 2.12. Es decir, podemos formalmente afirmar que la condición necesaria y

suficiente para que un sistema lineal e invariable en el tiempo sea causal es

( ) 0, 0h t t (2.98)

Claramente, para que un sistema operando en tiempo real sea físicamente realizable, debe ser causal. Sin

embargo, hay muchas aplicaciones en las cuales la señal a procesar sólo está disponible en forma almacenada; en

estas situaciones, el sistema puede ser no causal y todavía ser físicamente realizable.

Se dice que el sistema es estable si la señal de salida es acotada para todas las señales de entrada acotadas. Nos

referimos a este requerimiento como el criterio de estabilidad de entrada acotad – salida acotada (BIBO, por sus siglas

en inglés), el cual es más que adecuado para el análisis de sistemas lineales invariables en el tiempo. Suponga

que la señal de entrada x(t) está acotada, es decir,

53

( ) para todo x t M t

donde M es un número real finito y positivo. Tomando el valor absoluto de ambos lados de la Ec. (2.94), tenemos

que

( ) ( ) ( )y t h x t d

(2.99)

Ahora usamos la propiedad de que el valor absoluto de una integral está acotado por la integral del valor

absoluto del integrando, es decir,

( ) ( ) ( ) ( )

( )

h x t d h x t d

M h d

Por tanto, al sustituir esta desigualdad en la Ec. (2.99), se obtiene el importante resultado

( ) ( )y t M h d

Se deduce entonces que para que un sistema lineal e invariable en el tiempo sea estable, la respuesta al impulso

h(t) debe ser absolutamente integrable. Es decir, la condición necesaria y suficiente para estabilidad BIBO de un

sistema lineal e invariable en el tiempo se describe por

( )h d

(2.100)

donde h(t) es la respuesta al impulso del sistema.

RESPUESTA DE FRECUENCIA

Consideremos ahora un sistema lineal invariable en el tiempo de respuesta al impulso h(t), el cual es excitado

por una entrada exponencial compleja de amplitud unitaria y frecuencia f; es decir,

( ) exp 2x t j ft (2.101)

Usando las Ecs. (2.101) y (2.94), la respuesta del sistema se obtiene como

( ) ( )exp 2 ( )

exp 2 ( )exp( 2 )

y y h j f t d

j ft h j f d

(2.102)

Defina la función de transferencia o respuesta de frecuencia del sistema como la transformada de Fourier de su

respuesta al impulso, es decir,

( ) ( )exp( 2 )H f h t j ft dt

(2.103)

Los términos función de transferencia y respuesta de frecuencia se usan de forma intercambiable. La integral en

la última línea de la Ec. (2.102) es la misma que la de la Ec. (2.103), excepto por el hecho de que se usa en vez de

t. Por tanto, podemos reescribir la Ec. (2.102) en la forma

( ) ( )exp( 2 )y t H f j ft (2.104)

54

La Ec. (2.104) dice que la respuesta de un sistema lineal invariable en el tiempo a una función exponencial

compleja de frecuencia f es la misma función exponencial compleja multiplicada por un coeficiente constante

( )H f .

La Ec. (2.103) es una definición de la función de transferencia ( )H f . Se puede deducir una definición alterna

de la función de transferencia dividiendo la Ec. (2.104) por la Ec. (2.101) para obtener

( ) exp 2

( )( )

( )x t j ft

y tH f

x t

(2.105)

Consideremos ahora una señal arbitraria x(t) aplicada al sistema. La señal x(t) puede expresarse en términos de

su transformada inversa como

( ) ( )exp 2x t X f j ft df

(2.106)

En forma equivalente, podemos expresar x(t) en la forma límite

0

( ) lím ( )exp( 2 )f

kf k f

x t X f j ft f

(2.107)

Esto es, la señal de entrada x(t) puede considerarse como una superposición de exponenciales complejas de

amplitud incremental. Como el sistema es lineal, la respuesta a esta superposición de entradas exponenciales

complejas es

0( ) lím ( ) ( )exp( 2 )

( ) ( )exp( 2 )

fkf k f

y t H f X f j ft f

H f X f j ft df

(2.108)

Por tanto, la transformada de Fourier de la señal de salida y(t) se obtiene fácilmente como

( ) ( ) ( )Y f H f X f (2.109)

De acuerdo con la Ec. (2.109), un sistema lineal invariable en el tiempo puede entonces describirse muy

sencillamente en el dominio de la frecuencia observando que la transformada de Fourier de la salida es igual al

producto de la respuesta de frecuencia del sistema y la transformada de Fourier de la entrada.

Por supuesto, este resultado de la Ec. (2.109) se pudo haber deducido directamente reconociendo dos hechos:

1. La respuesta y(t) de un sistema lineal invariable en el tiempo con respuesta al impulso h(t) a una entrada

arbitraria x(t) se obtiene de la convolución de x(t) con h(t), de acuerdo con la Ec. (2.93).

2. La convolución de un par de funciones del tiempo es transformada en la multiplicación de sus

transformadas de Fourier.

La definición alterna de la Ec. (2.109) se presenta principalmente para desarrollar una comprensión de por qué la

representación en serie de Fourier de una función de tiempo como una superposición de exponenciales

complejas es de tanta utilidad en el análisis del desempeño de sistemas lineales invariables en el tiempo.

La respuesta de frecuencia ( )H f es una propiedad característica de un sistema lineal invariable en el tiempo.

En general, es una cantidad compleja, de modo que podemos expresarla en la forma

( ) ( ) exp ( )H f H f j f (2.110)

55

donde ( )H f se denomina la respuesta de amplitud o respuesta de magnitud, y ( )f es la fase o respuesta de fase. En

el caso especial de un sistema lineal respuesta al impulso h(t) de valores reales, la respuesta de frecuencia ( )H f

exhibe simetría conjugada, lo que significa que

( ) ( )H f H f

y

( ) ( )f f

Es decir, la respuesta de amplitud ( )H f de un sistema lineal con respuesta al impulso de valores reales es una

función par de la frecuencia, en tanto que la fase ( )f es una función impar de la frecuencia.

En algunas aplicaciones es preferible trabajar con el logaritmo de ( )H f , expresada en forma polar, en vez de la

( )H f misma. Defina el logaritmo natural como

ln ( ) ( ) ( )H f f j f (2.111)

donde

( ) ln ( )f H f (2.112)

La función ( )f es una definición de la ganancia del sistema. Se mide en nepers, en tanto que la fase ( )f se

mide en radiantes. La Ec. (2.111) indica que la ganancia ( )f y la fase ( )f son, respectivamente, las partes real

e imaginaria del logaritmo natural de la respuesta de frecuencia ( )H f . La ganancia también puede expresarse

en decibelios (dB) usando la definición

10( ) 20log ( )f H f (2.113)

Las dos funciones de ganancia ( )f y ( )f están relacionadas por

( ) 8.69 ( )f f (2.114)

Es decir, 1 neper es igual a 8.69 dB.

Del análisis presentado en la Sección 2.3, observamos que el ancho de banda de un sistema es especificado por la

constancia de su respuesta de amplitud. El ancho de banda de un sistema de pasabajas se define entonces como

la frecuencia en la cual la respuesta de amplitud ( )H f es 1 2 veces su valor para frecuencia cero, como se

ilustra en la Fig. 2.22(a). De forma correspondiente, el ancho de banda de un sistema de pasabanda se define

como la banda de frecuencia en la cual la respuesta de amplitud ( )H f permanece dentro de 1 2 veces su

valor en la frecuencia de media banda, como se ilustra en la Fig. 2.22(b).

CRITERIO DE PALEY – WIENER

Una condición necesaria y suficiente para que una función ( )f sea la ganancia de un filtro causal es la

convergencia de la integral

2

( )

1

fdf

f

(2.115)

56

FIGURA 2.22 Ilustración de la definición de ancho de banda del sistema. (a) Sistema de pasabajas. (b)

Sistema de pasabanda.

Esta condición se conoce como el criterio de Paley – Wiener. Establece que, siempre que la ganancia ( )f satisfaga

la condición de la Ec. (2.115), entonces podemos asociar con esta ganancia una fase apropiada ( )f de modo que

el filtro resultante tenga una respuesta al impulso que sea cero para tiempo negativo. En otras palabras, el

criterio de Paley – Wiener es el equivalente en el dominio de la frecuencia del requerimiento de causalidad. Un

sistema con una característica de ganancia realizable puede tener atenuación infinita [es decir, ( )f ] para

un conjunto discreto de frecuencias, pero no puede tener atenuación infinita en una banda de frecuencias; de lo

contrario, se violaría el criterio de Paley – Wiener.

Problema de Práctica 2.12 Analice los dos problemas siguientes, citando ejemplos para sus respuestas:

(a) ¿Es posible que un sistema lineal invariable en el tiempo sea causa pero inestable?

(b) ¿Es posible que un sistema si se no causal pero estable?

Problema de Práctica 2.13 La respuesta al impulso de un sistema lineal se define por la función gaussiana

2

2( ) exp

2

th t

donde es un parámetro ajustable que define la duración del pulso. Determine la respuesta de frecuencia

del sistema.

57

Problema de Práctica 2.14 Una línea de retardo (filtro transversal) consiste de N pesos, donde N es impar.

Es simétrica con respecto a la toma central; es decir, los pesos satisfacen la condición

1 , 0 1n N nw w n N

(a) Halle la respuesta de amplitud del filtro.

(b) Demuestre que este filtro tiene una respuesta de fase lineal. ¿Cuál es la consecuencia de esta

propiedad?

(c) ¿Cuál es el retardo producido por el filtro?

2.7 Filtros de Pasabajas Ideales

Como se mencionó previamente, un filtro es un sistema selector de frecuencia que se usa para limitar el espectro

de una señal a una banda de frecuencias especificada. Su respuesta de frecuencia es caracterizada por una

pasabanda y una banda de rechazo. Las frecuencias dentro de la pasabanda son transmitidas con poca o ninguna

distorsión, en tanto que aquellas en la banda de rechazo son eliminadas. El filtro puede ser de tipo pasabajas, pasa

altas, pasabanda o rechazo de banda, dependiendo de si transmite frecuencias bajas, altas, intermedias o todas

menos las intermedias, respectivamente. Ya hemos encontrado ejemplos de sistemas de pasabajas y de

pasabanda en la Fig. 2.22.

Los filtros, en cualquier forma, representan un bloque funcional importante en la construcción de los sistemas

de comunicación. En este libro nos ocuparemos del uso de filtro de pasa altas, pasabajas y pasabanda.

En esta sección estudiamos la respuesta en el tiempo del filtro ideal de pasabajas, el cual transmite, sin ninguna

distorsión, todas las frecuencias dentro de la pasabanda y rechaza completamente todas las frecuencias en que

caen en la banda de rechazo, como se muestra en la Fig. 2.23. De acuerdo con esta figura, la respuesta de

frecuencia de un filtro ideal de pasabajas satisface dos condiciones necesarias:

1. La respuesta de amplitud del filtro es constante dentro de la pasabanda B f B. (La constante en la Fig. 2.23 se

fija igual a uno por conveniencia para la presentación.)

2. La respuesta de fase varía linealmente con respecto a la frecuencia de la pasabanda del filtro. (Fuera de la pasabanda,

la respuesta de fase puede tomar cualesquiera valores arbitrarios.)

En términos matemáticos, la función de transferencia de un filtro de pasabajas ideal se define entonces por

0exp 2 ,

( )0,

j ft B f BH f

f B

(2.116)

El parámetro B define el ancho de banda del filtro. El filtro de pasabajas ideal es, por supuesto, no causal, porque

viola el criterio de Paley – Wiener. Esta observación también puede confirmarse examinando la respuesta al

impulso h(t). Por tanto, al evaluar la transformada de Fourier inversa de la Ec. (2.116), obtenemos

0( ) exp 2B

Bh t j t t df

(2.117)

donde los límites de integración han sido reducidos a la banda de frecuencias en la cual ( )H f no se anula. La Ec.

(2.117) se integra fácilmente y se obtiene

0

0

0

sen 2( )

2 sinc 2

B t th t

t t

aB B t t

(2.118)

58

FIGURA 2.23 Respuesta de frecuencia de un filtro de pasabajas ideal. (a) Respuesta

de amplitud. (b) Respuesta de fase; fuera de la banda B f B, la respuesta de

fase toma una forma arbitraria (no mostrada en la figura).

La respuesta de amplitud tiene una amplitud pico de 2B centrada en el instante t0, como muestra la Fig. 2.24

para t0 = 1/B. La duración del lóbulo principal de la respuesta al impulso es 1/B, y el tiempo de crecimiento

desde el cero al comienzo del lóbulo principal hasta el valor pico es 1/2B. De la Fig. 2.24 vemos que, para

cualquier valor finito de t0, existe alguna respuesta del filtro antes del instante t = 0 en el cual se aplica el

impulso unitario a la entrada; esta observación confirma que el filtro de pasabajas ideal es no causal. Sin

embargo, observe que siempre podemos hacer que el retardo t0 sea lo suficientemente grande para que se

satisfaga la condición

0sinc 2 1, para 0B t t t

Al hacer esto, podemos construir un filtro causal que aproxime el filtro de pasabajas ideal, con las aproximación

mejorando con un retardo t0 creciente.

RESPUESTA A PULSOS DE FILTROS DE PASABAJAS IDEALES

Considérese un pulso rectangular x(t) de amplitud unitaria y duración T, el cual se aplica a un filtro de pasabajas

ideal de ancho de banda B. El problema es determinar la respuesta y(t) del filtro.

La respuesta al impulso h(t) del filtro la define la Ec. (2.118). Claramente, el retardo t0 no tiene efecto sobre la

forma de la respuesta del filtro y(t). Sin pérdida de generalidad, podemos entonces simplificar la exposición

haciendo t0 = 0, en cuyo caso la respuesta al impulso de la Ec. (2.118) se reduce a

( ) 2 sinc 2h t B Bt (2.119)

59

FIGURA 2.24 Respuesta al impulso de un filtro de pasabajas ideal.

Con la entrada x(t) = 1 para 2 2T t T , la respuesta resultante del filtro la da la integral de convolución

2

2

2

2

( ) ( ) ( )

2 sinc

sen 2 2

2

T

T

T

T

y t x h d

B B t d

B tB d

B t

(2.120)

Defina una nueva variable adimensional

2 ( )B t

Entonces, cambiando la variable de integración de a , podemos reescribir la Ec. (2.120) como

2 2

2 2

2 2 2 2

0 0

1 sen( )

1 sen sen

1 Si 2 2 Si 2 2

B t T

B t T

B t T B t T

y t d

d d

B t T B t T

(2.121)

En la Ec. (2.121), hemos introducido una nueva expresión denominada la integral seno, la cual se define por

0

sen( )

u xSi u dx

x (2.122)

Desafortunadamente, la integral seno Si(u) no puede ser evaluada en forma cerrada en términos de funciones

elementales. Sin embargo, puede ser integrada en una serie de potencias, lo cual, a su vez, conduce a la gráfica

de la Fig. 2.25. De esta figura podemos hacer tres observaciones:

1. La integral seno Si(u) es una función oscilatoria de u que tiene simetría impar respecto del origen u = 0.

2. Tiene sus máximos y mínimos en múltiplos de .

3. Tiende al valor límite (/2) para valores positivos grandes de u.

60

FIGURA 2.25 La integral seno Si(u).

En la Fig. 2.25 vemos que la integral seno Si(u) oscila con una frecuencia de 1/2. Como corresponde, la

respuesta del filtro y(t) también oscilará con una frecuencia igual a la frecuencia de corte (es decir, el ancho de

banda) B del filtro de pasabajas, como se indica en la Fig. 2.26. El valor máximo de Si(u) ocurre en máxu y es

igual a

1.8519 1.1792

FIGURA 2.26 Respuesta de un filtro de pasabajas ideal para un pulso cuadrado.

61

Es posible demostrar que la respuesta del filtro y(t) tiene máximos y mínimos en

máx

1

2 2

Tt

B

con

máx

1Si( ) Si( 2

1 Si( ) Si(2

y t BT

B T

donde, en la segunda línea, se usó la propiedad de simetría impar de la integral seno. Sea

2 12

Si BT

donde es el valor absoluto de la desviación en el valor de 2Si BT expresado como una fracción del valor

final +/2. Entonces, usando el hecho de que

2 2Si( ) (1.179) 2a b

podemos redefinir máxy t como

máx

11.179 1

21

1.092

y t

(2.123)

Para un producto tiempo-ancho de banda BT >> 1, la desviación fraccional tiene un valor muy bajo, en cuyo

caso podemos hacer dos observaciones importantes de la Ec. (2.123):

1. El porcentaje de sobre impulso en la respuesta del filtro es aproximadamente de 9 por ciento.

2. El sobre impulso es prácticamente independiente del ancho de banda del filtro B.

El fenómeno básico que soporta estas dos observaciones se denomina el fenómeno de Gibbs. La Fig. 2.26 muestra

la naturaleza oscilatoria de la respuesta del filtro y el 9 por ciento de sobre impulso que caracteriza la respuesta,

suponiendo que BT >> 1.

La Fig. 2.27 muestra la respuesta del filtro para cuatro productos: BT = 5, 10, 20 y 100, suponiendo que la

duración del pulso T es 1 segundo. La Tabla 2.1 muestra las correspondientes frecuencias de oscilaciones y los

porcentajes de sobre impulsos para estos productos tiempo-ancho de banda, que confirman las observaciones 1

y 2.

Tabla 2.1 Frecuencia de Oscilación y Porcentaje de Sobre

Impulso para Producto Variable de Tiempo-Ancho de Banda

BT Frecuencia de Oscilación Porcentaje de Sobre Impulso

5 5Hz 9.11

10 10 Hz 8.98

20 20 Hz 8.99

100 100 Hz 9.63

62

FIGURA 2.27 Respuesta un pulso del filtro de pasabajas ideal para una duración del pulso

de T 1 s y producto tiempo-ancho de banda (BT) variable. (a) BT = 5. (b) BT = 10.

63

FIGURA 2.27 (continuación) (c) BT = 20. (d) BT = 100.

La Fig. 2.28 muestra la respuesta del filtro para entradas de ondas cuadradas periódicas de frecuencias

fundamentales diferentes: f0 = 0.1, 0.25, 0.5 y 1 Hz, y con el ancho de banda del filtro de pasabajas fijado en 1B

Hz. De la Fig. 2.28 podemos hacer las observaciones siguientes:

Para f0 = 1 Hz, correspondiente a un producto tiempo-ancho de banda BT = 5, el filtro distorsiona en algo el

pulso cuadrado de entrada, pero su forma todavía es evidente en la salida del filtro. A diferencia de la

entrada, la salida del filtro tiene tiempos diferentes de cero para su crecimiento y decrecimiento que son

inversamente proporcional al ancho de banda del filtro. También, la salida del filtro exhibe oscilaciones en

ambos lados de los bordes delantero y trasero.

64

Conforme se incrementa la frecuencia fundamental f0 de la onda cuadrada de la entrada, el filtro de

pasabajas elimina más y más componentes de frecuencias superiores de la entrada. Así, cuando f0 = 0.25 Hz,

correspondiente a BT = 2, solamente las componentes de la frecuencia fundamental y el primer armónico

pasan a través del filtro; los tiempos de crecimiento y decrecimiento de la salida son ahora significativos

comparados con la duración T del pulso de entrada. Cuando f0 = 0.5 Hz, correspondiente a BT = 1, sólo la

componente de la frecuencia fundamental es preservada por el filtro, lo que resulta en una salida que es

esencialmente sinusoidal.

FIGURA 2.28 Respuesta del filtro de pasabajas ideal a una onda cuadrada de frecuencia f0

variable. (a) f0 = 0.1 Hz. (b) f0 = 0.35 Hz.

65

FIGURA 2.28 (continuación) (c) f0 = 0.5 Hz. (d) f0 = 1 Hz.

Cuando la frecuencia fundamental de la onda cuadrada de entrada es incrementada hasta el alto valor de

0 1f Hz, que corresponde a un producto tiempo-ancho de banda BT = 0.5, la componente de cd se vuelve

la salida dominante y la forma de la onda cuadrada de la entrada es completamente destruida por el filtro.

A partir de estos resultados, sacamos un conclusión importante: Cuando se usa un filtro de pasabajas ideal, debemos

utilizar un producto tiempo-ancho de banda BT ≥ 1 para asegurar que la forma de la onda de la entrada del filtro sea

reconocible a partir de la salida resultante. Un valor de BT mayor que la unidad tiende a reducir el tiempo de

crecimiento y también el de decrecimiento de la respuesta del filtro a pulsos.

66

APROXIMACIÓN DE FILTROS DE PASABAJAS IDEALES

Un filtro puede ser caracterizado mediante la especificación de su respuesta al impulso h(t) o, equivalentemente,

su función de transferencia ( )H f . Sin embargo, la aplicación de un filtro normalmente involucra la separación

de señales sobre la base de sus espectros (es decir, sus contenidos de frecuencia). Esto, a su vez, significa que el

diseño de filtros es usualmente realizado en el dominio de la frecuencia. Hay dos pasos básicos en el diseño de

un filtro:

1. La aproximación de una respuesta de frecuencia prescrita (esto es, respuesta de amplitud, respuesta de fase o

ambas) mediante una función de transferencia realizable.

2. La realización de la función de transferencia aproximada mediante un dispositivo físico.

Para que una función de transferencia aproximada ( )H f sea físicamente realizable, debe representar un sistema

estable. Aquí se define estabilidad con base en el criterio de entrada acotada – salida acotada descrito en la Ec.

(2.100), que involucra la respuesta al impulso h(t). Para especificar la condición correspondiente para la

estabilidad en términos de la función de transferencia, el método tradicional es reemplazar 2j f con s y denotar

la función de transferencia en términos de s. Se permite que la nueva variable s tenga una parte real y también

una parte imaginaria. En consecuencia, nos referimos a s como la frecuencia compleja. Denote por ( )H s la función

de transferencia del sistema, definida en la forma descrita de aquí en adelante. Ordinariamente, la función de

transferencia aproximada ( )H s es una función racional, la cual puede entonces expresarse en la forma

factorizada

2

1 2

1 2

( ) ( )

j f s

m

n

H s H f

s z s z s zK

s p s p s p

donde K es un factor de escala; 1 2, , , mz z z son los ceros de la función de transferencia y 1 2, , , np p p son

sus polos. Para una función de transferencia de pasabajas, el número de ceros, m, es menor que el número de

polos, n. Si el sistema es causal, entonces la condición de entrada acotada – salida acotada para la estabilidad del

sistema se satisface con la restricción de que todos los polos de la función de transferencia ( )H s estén en el

semiplano izquierdo del plano s; vale decir,

Re 0, para toda ip i

Observe que la condición para estabilidad involucra solamente los polos de la función de transferencia ( )H s ; los

ceros pueden efectivamente estar en cualquier parte del plano s. Dependiendo de las posiciones de los m ceros

en el plano s, se pueden distinguir dos tipos de sistemas:

Sistemas de fase mínima, caracterizados por una función de transferencia cuyos polos y ceros están todos

restringidos a estar en el lado izquierdo del plano s.

Sistema de fase no mínima, en los cuales se permite que sus funciones de transferencia tengan ceros también

en el eje imaginario y en lado derecho del plano s.

Los sistemas de fase mínima se distinguen por la propiedad de que la respuesta de fase de esta clase de sistemas

lineales invariable en el tiempo está relacionada en forma única con la respuesta de ganancia.

En el caso de filtros de pasabajas, donde el requisito principal es aproximar la respuesta de amplitud ideal en

la Fig. 2.23, podemos mencionar dos familias populares de filtros: los filtros Butterworth y los Chebyshev, que

tienen todos sus ceros en s = . En un filtro Butterworth, los polos de la función de transferencia ( )H s están en

un círculo centrado en el origen y de radio 2B, donde B es el ancho de banda de 3 dB del filtro. En un filtro

67

Chebyshev, por otra parte, los polos están en una elipse. En ambos casos, por supuesto, los polos están

confinados al lado izquierdo del plano.

Comenzando ahora con el tema de la realización física del filtro, vemos que hay dos opciones básicas para

hacer esta realización, una análoga y otra digital.

Filtros Analógicos, construidos usando (a) inductores y capacitores o (b) capacitores, resistores y

amplificadores operacionales. La ventaja de los filtros analógicos es la sencillez de su implementación.

Filtros Digitales, para los cuales las señales son muestreadas en el tiempo y sus amplitudes también son

cuantizadas. Estos filtros se construyen usando hardware digital; de aquí su nombre. Una característica

importante de un filtro digital es que es programable, ofreciendo por ello un alto grado de flexibilidad en el

diseño. En efecto, la complejidad es intercambiada por flexibilidad.

2.8 Correlación y Densidad Espectral: Señales de Energía

En esta sección continuamos con la caracterización de señales y sistemas considerando la clase de señales de

energía y por tanto enfocándonos en la noción de energía. (La caracterización de señales y sistemas se completa

en la Sección 2.9, donde consideramos la otra clase de señales, las señales de potencia.) En particular,

introducimos un nuevo parámetro denominado densidad espectral, que se define como el cuadrado del espectro

de amplitud de la señal de interés. Resulta que la densidad espectral es la transformada de Fourier de la función

de correlación, la cual se introdujo por primera vez bajo la Propiedad 13 en la Sección 2.2.

FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN

Consideremos una señal de energía x(t) que, para objetivos generales, se supone es de valores complejos.

Siguiendo con el material presentado bajo el teorema de correlación (Propiedad 13) en la Sección 2.2, definimos

formalmente la función de autocorrelación de la señal de energía x(t) para un atraso como

( ) ( ) *( )xR x t x t d

(2.124)

Según esta fórmula, la autocorrelación ( )xR proporciona una medida de la semejanza entre la señal x(t) y su

versión retardada x(t ). Como tal, puede medirse usando el arreglo mostrado en la Fig. 2.29. El retardo juega

el papel de una variable de escaneo o de búsqueda. Observe que ( )xR es de valores complejos si x(t) es compleja.

De la Ec. (2.124) vemos rápidamente que el valor de la función de autocorrelación ( )xR para = 0 es igual a l

energía de la señal x(t); es decir,

FIGURA 2.29 Esquema para medir la función de autocorrelación Rx() de una señal de energía

x(t) para un retraso .

68

2(0) ( )xR x t dt

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA

El teorema de la energía de Rayleigh, estudiado bajo la Propiedad 14 en la Sección 2.2, es importante puesto que

no sólo proporciona un método útil para evaluar la energía de un señal de tipo pulso, sino que también resalta el

espectro de amplitud al cuadrado como la distribución de la energía de la señal medida en el dominio de la

frecuencia. Debido a este teorema definimos formalmente la densidad espectral de energía o espectro de la densidad de

energía de una señal de energía x(t) como

2

( ) ( )x f X f (2.125)

donde ( )X f es el espectro de amplitud de x(t). Claramente, la densidad de energía espectral ( )x f es una

cantidad no negativa de valores reales para toda f, aunque la señal x(t) puede ella misma ser de valores

complejos.

RELACIONES DE WIENER – KHITCHINE PARA SEÑALES DE ENERGÍA

Remitiéndonos al teorema de correlación descrito en la Ec. (2.53), sea 1 2( ) ( ) ( )g t g t x t , donde x(t) es una señal

de energía y por tanto Fourier transformable. Bajo esta condición, el lado izquierdo resultante de la Ec. (2.53)

define la función de autocorrelación ( )xR de la señal x(t). Entonces, en el dominio de frecuencias tenemos

1 2( ) ( ) ( )G f G f X f , en cuyo caso el lado derecho de la Ec. (2.53) define la densidad de energía espectral ( )x t .

Sobre esta base, podemos por tanto afirmar que dada una señal de energía x(t), la función de autocorrelacion ( )xR y

la densidad espectral de energía ( )x t forman un par de transformadas de Fourier. Específicamente, tenemos el par de

relaciones

( ) ( )exp 2x xf R j f d

(2.126)

y

( ) ( )exp 2x xR f j f df

(2.127)

Observe, sin embargo, que la transformación de Fourier en la Ec. (2.126) se realiza con respecto al retardo

ajustable . El par de ecuaciones (2.126) y (2.127) constituyen las relaciones de Wiener – Khitchine para señales de

energía.

De las Ecs. (2.126) y (2.127) deducimos fácilmente las dos propiedades siguientes:

1. Haciendo f = 0 en la Ec. (2.126), tenemos

( ) (0)x xR d

que dice que el área total bajo la curva de la función de autocorrelación de valores complejos de una señal de energía

de valores complejos es igual a la energía espectral (0)x en frecuencia cero.

2. Tomando = 0 en la Ec. (2.127), tenemos

( ) (0)x xf df R

69

la cual expresa que el área total bajo la curva de la densidad espectral de energía de valores reales de una señal de

energía es igual a la energía total de la señal. Este segundo resultado es simplemente otra forma de enunciar el

teorema de la energía de Rayleigh.

EJEMPLO 2.13 Función de Autocorrelación del Pulso Sinc

Del Ejemplo 2.4, la transformada de Fourier del pulso sinc

( ) sinc 2x t A Wt

es dada por

( ) rect2 2

fAX f

W W

Puesto que la función rectangular rect f W no es afectada al elevarla al cuadrado, la densidad espectral de

energía de x(t) es entonces

2

( ) rect2 2

x

fAf

W W

Tomando ahora la transformada inversa de ( )x f , encontramos que la función de autocorrelación del pulso

sinc sinc 2A W es

2

( ) sinc 22

x

AR Wt

W (2.128)

que tiene una forma de onda semejante, graficada como una función del retardo , que el propio pulso sinc.

Este ejemplo nos enseña que algunas veces es más fácil usar un procedimiento indirecto, basado en la

densidad de energía espectral, para determinar la función de autocorrelación de una señal de energía en vez de

usar la fórmula para la función de autocorrelación.

EFECTO DEL FILTRADO SOBRE LA DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA

Supóngase ahora que la señal de energía x(t) se para a través de un sistema lineal invariable en el tiempo con

función de transferencia ( )H f , y se produce la señal de salida y(t) como se ilustra en la Fig. 2.20(a). Entonces, de

acuerdo con la Ec. (2.109), la transformada de Fourier de la salida y(t) está relacionada con la transformada de

Fourier de la entrada x(t) por

( ) ( ) ( )Y f H f X f

Elevando al cuadrado la amplitud de ambos lados de esta ecuación, obtenemos fácilmente que

2

( ) ( ) ( )y xf H f f (2.129)

donde, por definición, 2

( ) ( )x f X f y 2

( ) ( )y f Y f . La Ec. (2.129) expresa que cuando una señal de energía se

transmite a través de un filtro lineal invariable en el tiempo, la densidad espectral de energía de la salida resultante es igual

a la densidad espectral de energía de la entrada multiplicada por el cuadrado de la respuesta de amplitud del filtro. La

sencillez de esta expresión pone de manifiesto la importancia de la densidad espectral de energía como un

parámetro para caracterizar la distribución de la energía de una señal Fourier transformable en el dominio de la

frecuencia.

70

Además, con base en las ecuaciones de Wiener – Khintchine (2.126) y (2.127) y la relación de la Ec. (2.129),

podemos describir un método indirecto para evaluar el efecto del filtrado lineal invariante en el tiempo sobre la

función de autocorrelación de una señal de energía:

1. Determine las transformadas de Fourier de x(t) y h(t), y obtenga ( )y ( )X f H f , respectivamente.

2. Use la Ec. (2.129) para determinar la densidad espectral de energía ( )y f de la salida y(t).

3. Determine ( )yR aplicando la transforma de Fourier inversa a ( )y f obtenida bajo el punto 2.

EJEMPLO 2.14 Energía de la Versión del Pulso Rectangular Filtrado a Pasabajas

Un pulso rectangular de amplitud unitaria y duración unitaria se pasa a través de un filtro de pasabajas ideal de

ancho de banda B, como se ilustra en la Fig. 2.30(a). La parte (b) de la figura muestra la forma de onda del pulso

rectangular. La respuesta de amplitud del filtro la define (véase la Fig. 2.30(c))

1, ( )

0,

B f BH f

f B

El pulso rectangular constituyente del filtro tiene energía unitaria. Queremos evaluar el efecto de variar el ancho

de banda B sobre la energía de la salida del filtro.

FIGURA 2.30 (a) Filtrado ideal de pasabajas. (b) Entrada del filtro. (c)

Respuesta de amplitud del filtro.

Comenzamos con el par de transformadas de Fourier

rect( ) sinc( )t f

que representa la versión normalizada del par de transformadas de Fourier dadas en la Ec. (2.10). Por tanto, con

la entrada del filtro definida por

71

( ) rect( )x t t (2.130)

su transformada de Fourier es igual a

( ) sinc( )X f f

La densidad espectral de energía de la entrada del filtro es entonces igual a

2

2

( ) ( )

sinc ( )

x f X f

f

(2.131)

Esta densidad espectral de energía normalizada se grafica en la Fig. 2.31. La energía de la salida del filtro es

entonces

0

2

0

( )

( ) 2 ( )

2 sinc ( )

y y

B B

x xB

B

E f df

f df f df

f df

(2.132)

Puesto que el filtro tiene energía unitaria, también podemos considerar el resultado dado en la Ec. (2.132) como

la razón de la energía de la salida del filtro a la de la entrada del filtro para el caso general de un pulso rectangular de

amplitud y duración arbitrarias, procesado por un filtro de pasabajas ideal de ancho de banda B. Como

consecuencia, en general podemos escribir

2

0

Energía de la salida del filtro

Energía de la entrada del filtro

2 sinc ( )B

f df

(2.133)

FIGURA 2.31 Densidad espectral de energía de la entrada del filtro x(t); en la figura sólo se

muestran valores para frecuencias positivas.

72

De acuerdo con la Fig. 2.30(b), el pulso rectangular aplicado a la entrada del filtro tiene duración unitaria; por

tanto, la variable f en la Ec. (2.133) representa una frecuencia normalizada. La Ec. (2.133) se grafica en la Fig. 2.132.

Esta figura muestra que justo sobre 90 por ciento de la energía total de un pulso rectangular está dentro del

lóbulo espectral principal de este pulso.

FIGURA 2.32 Razón energía de salida – a – energía de entrada versus ancho de banda normalizado

INTERPRETACIÓN DE LA DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA

La Ec. (2.129) es importante porque no sólo relaciona la densidad espectral de energía de la salida de un sistema

lineal invariable en el tiempo con la densidad espectral de energía de la entrada, sino que también proporciona

una base para la interpretación física del concepto de la misma densidad espectral de energía. Para ser

específicos, considérese el arreglo mostrado en la Fig. 2.33(a), donde una señal de energía x(t) se pasa a través de

un filtro de banda angosta seguido por un medidor de energía. La Fig. 2.33(b) muestra la respuesta de amplitud

idealizada del filtro. Es decir, el filtro es un filtro de pasabanda cuya respuesta de amplitud es definida por

1,

( ) 2 20, otros valores de

c c

f ff f f

H f

f

(2.134)

Suponemos que el ancho de banda del filtro f es lo suficientemente pequeño para que la respuesta de amplitud de

la señal de entrada x(t) sea esencialmente plana en el intervalo de frecuencias cubierto por la pasabanda del

filtro. Entonces, podemos expresar el espectro de amplitud de la salida del filtro por la fórmula aproximada

( ) ( ) ( )

, 2 2

0, otros valores de

c c c

Y f H f X f

f fX f f f f

f

(2.135)

73

FIGURA 2.33 (a) Diagrama de bloque de un sistema para medir la densidad espectral de energía. (b)

Respuesta de amplitud idealizada del filtro. (c) Densidad espectral de energía de la salida del filtro.

De manera correspondiente, la densidad espectral de energía ( )y t de la salida del filtro y(t) está

aproximadamente relacionada con la densidad espectral de energía ( )x t de la entrada del filtro x(t) por

( ),

( ) 2 2 0, otros valores de

x c cy

f ff f f f

f

f

(2.136)

Esta relación se ilustra en la Fig. 2.33(c), la cual muestra que solamente las componentes de frecuencia de la señal

x(t) que están dentro de la pasabanda angosta del filtro de pasabanda ideal llegan a la salida. Por el teorema de

energía de Rayleigh, la energía de la salida del filtro y(t) es

0( ) 2 ( )y y yE f df f df

74

En vista de la Ec. (2.136), podemos aproximar Ey como

2y x cE f f (2.137)

El factor multiplicador de 2 toma en cuenta las contribuciones de las componentes de frecuencia tanto positiva

como negativas. Podemos reescribir la Ec. (2.137) en la forma

2

yx c

Ef

f

(2.138)

La Ec. (2.138) expresa que la densidad espectral de energía de la entrada del filtro en alguna frecuencia fc es igual

a la energía de la salida del filtro dividida por 2f, donde f es el ancho de banda del filtro con centro en fc. Por

tanto, podemos interpretar la densidad espectral de energía de una señal de energía para cualquier frecuencia f

como la energía por unidad de ancho de banda, que es contribuida por componentes de frecuencia de la señal alrededor de la

frecuencia f.

El arreglo mostrado en el diagrama de bloques de la Fig. 2.33(a) suministra entonces la base para medir la

densidad de energía espectral de una señal de energía. Específicamente, usando un filtro de pasabanda variable

para escanear la banda de frecuencia de interés y determinando la energía de la salida del filtro para cada

frecuencia de la banda central del filtro, se obtiene una gráfica de la densidad de energía espectral versus la

frecuencia. Observe, sin embargo, que para que se cumpla la fórmula de la Ec. (2.138) y por tanto para que

funcione el arreglo de la Fig. 2.33(a), el ancho de banda f debe permanecer fijo para fc variable.

CORRELACIÓN CRUZADA DE SEÑALES DE ENERGÍA

La función de autocorrelación proporciona una medida de la semejanza entre una señal y su propia versión

retardada. En una forma análoga, podemos usar la función de correlación cruzada como una medida de la

semejanza entre una señal y la versión retardada de una segunda señal. Sean x(t) y y(t) un par de señales de

energía de valores complejos. La función de correlación cruzada de este par de señales se define por

( ) ( ) *( )xyR x t y t dt

(2.139)

Vemos que si las dos señales x(t) y y(t) son algo semejantes, entonces la función de correlación cruzada ( )xyR

será finita en algún intervalo de , proporcionando así una medida cuantitativa de la semejanza, o coherencia,

entre ellas. Se dice que las señales de energía x(t) y y(t) son ortogonales en todo el intervalo de tiempo si (0)xyR es

cero – es decir, si

( ) *( ) 0x t y t dt

(2.140)

La Ec. (2.139) define un valor posible para la función de correlación cruzada para un valor específico de la

variable de retardo . Podemos definir una segunda función de correlación cruzada para las señales de energía

x(t) y y(t) como

( ) ( ) *( )yxR y t x t dt

(2.141)

A partir de las definiciones de las funciones de correlación cruzada ( ) y ( )xy yxR R que acabamos de dar,

obtenemos la relación fundamental

( ) ( )xy yxR R (2.142)

75

La Ec. (2.142) indica que, a diferencia de la convolución, la correlación no es en general conmutativa; esto es,

( ) ( )xy yxR R .

Para caracterizar la conducta de correlación de las señales de energía en el dominio de la frecuencia,

introducimos la noción de densidad espectral cruzada. Específicamente, dado un par de señales de energía de

valores complejos x(t) y y(t), definimos sus densidades espectrales cruzadas, denotadas por ( ) y ( )xy yxf f , con

las transformadas de Fourier respectivas de las funciones de correlación cruzada ( ) y ( )xy yxR R ; es decir,

( ) ( )exp 2xy xyf R j f d

(2.143)

y

( ) ( )exp 2yx yxf R j f d

(2.144)

De acuerdo con el teorema de correlación (esto es, la Propiedad 13 de la Sección 2.2), tenemos entonces que

( ) ( ) *( )xy f X f Y f (2.145)

y

( ) ( ) *( )yx f Y f X f (2.146)

A partir de este par de relaciones, vemos rápidamente dos propiedades de la densidad espectral cruzada:

1. A diferencia de la densidad espectral de energía, la densidad espectral cruzada es en general de valores

complejos.

2. ( ) ( )xy xyf f , de donde se deduce que, en general, ( ) ( )xy yxf f .

Problema de Práctica 2.15 Deduzca la relación de la Ec. (2.142) entre las dos funciones de correlación

cruzada ( ) y ( )xy yxR t R t .

Problema de Práctica 2.16 Considere el pulso exponencial decreciente

exp( ), 0

( ) 1, 0

0, 0

at t

g t t

t

Determine la densidad espectral de energía del pulso g(t).

Problema de Práctica 2.17 Repita el Problema 2.16 para el pulso exponencial doble

exp( ), 0

( ) 1, 0

exp( ), 0

at t

g t t

at t

2.9 Densidad Espectral de Potencia

En esta sección expandimos la importante noción de la densidad espectral para incluir la clase de señales de

potencia. La potencia promedio de una señal x(t) se define como

21

lím ( )2

T

T TP x t dt

T

(2.147)

Se dice que la señal x(t) es una señal de potencia si se cumple la condición

76

P

Ejemplos de señales de potencia incluyen las señales periódicas y el ruido. En esta sección consideramos señales

periódicas. El ruido se estudia en el Capítulo 8.

Para desarrollar una distribución de potencia en el dominio de la frecuencia, necesitamos conocer la

transformada de Fourier de la señal x(t). Sin embargo, esto puede presentar un problema, porque las señales de

potencia tienen energía infinita y por tanto puede no ser Fourier transformables. Para superar el problema,

consideremos una versión truncada de la señal x(t). En particular, definimos

( ) ( )rect2

( ),

0,

T

tx t x t

T

x t T t T

t T

(2.148)

Mientras la duración T sea finita, la señal truncada ( )Tx t tiene energía finita; por tanto, ( )Tx t es Fourier

transformable. Sea ( )TX f la transformada de Fourier de ( )Tx t ; es decir,

( ) ( )T Tx t X f

Usando la versión truncada ( )Tx t , podemos reescribir la Ec. (2.47) para la potencia promedio P en términos de

( )Tx t como

2

lím ( )TT

P x t dt

(2.149)

Puesto que ( )Tx t tiene energía finita, podemos usar el teorema de la energía de Rayleigh para expresar la

energía de ( )Tx t en términos de su transformada de Fourier ( )TX f como

2 2( ) ( )T Tx t dt X f df

donde ( )TX f es el espectro de amplitud de ( )Tx t . Por consiguiente, podemos reescribir la Ec. (2.149) en la

forma equivalente

21

lím ( )2

TT

P X f dfT

(2.150)

Conforme aumenta la duración T, también aumenta la energía de ( )Tx t . En consecuencia, la densidad espectral

de energía 2

( )TX f se incrementa con T. Efectivamente, conforme T tiende a infinito, también lo hará 2

( )TX f .

Sin embargo, para que la potencia promedio P sea finita, 2

( )TX f debe tender a infinito con el mismo ritmo que

T. Este requisito asegura la convergencia de la integral en el lado derecho de la Ec. (2.150) en el límite conforme T

tiende a infinito. La convergencia, a su vez, nos permite intercambiar el orden en el cual se realizan las operaciones de

límite e integración en la Ec. (2.150). Podemos entonces reescribir esta ecuación como

21

lím ( )2

TT

P X f dfT

(2.151)

Denote el integrando en la Ec. (2.151) por

77

21

( ) lím ( )2

x TT

S f X fT

(2.152)

La función dependiente de la frecuencia ( )xS f se denomina la densidad espectral de potencia o espectro de potencia

de la señal de potencia x(t), y l cantidad 2

( ) 2TX f T se denomina el periodograma de la señal.

En la Ec. (2.152) se observa fácilmente que la densidad espectral de potencia es una cantidad de valores reales

no negativa para todas las frecuencias. Adicionalmente, también vemos que

( )xP S f df

(2.153)

La Ec. (2.153) expresa: el área total bajo la curva de la densidad espectral de potencia de una señal de potencia es la

potencia promedio de esa señal. La densidad espectral de potencia de una señal de potencia juega entones un papel

semejante al de la densidad espectral de energía de una señal de energía.

Problema de Práctica 2.18 En un sentido implícito, la Ec. (2.153) incluye el teorema de la potencia de Parseval,

el cual establece que para una señal periódica x(t) tenemos

2 22

02

1( )

T

Tn

x t dt X nfT

donde T es el periodo de la señal, f0 es la frecuencia fundamental y 0X nf es la transformada de Fourier de

x(t) evaluada en la frecuencia 0nf . Demuestre el teorema.

EJEMPLO 2.15 Onda Modulada

Considérese la onda modulada

( ) ( )cos 2 cx t g t f t (2.154)

donde g(t) es una señal de potencia que está limitada en banda a B hertz. Nos referimos a x(t) como una “onda

modulada” en el sentido que la amplitud de la “portadora” sinusoidal de frecuencia fc es variada linealmente

con la señal g(t). El tema de modulación se cubre en detalle en el Capítulo 3. Deseamos determinar la densidad

espectral de potencia x(t) en términos de la de g(t), dado que la frecuencia fc es mayor que el ancho de banda B.

Sea ( )Tg t la versión truncada de g(t), definida en una forma similar a la descrita en la Ec. (2.148). Entonces,

podemos expresar la versión truncada de x(t) como

( ) ( )cos 2T T cx t g t f t (2.155)

Puesto que

1

cos 2 exp 2 exp 22

c c cf t f t f t (2.156)

se deduce por la propiedad de desplazamiento en frecuencia (es decir, la Propiedad 6) de la transformada de

Fourier que

1

( )2

T T c T cX f G f f G f f (2.157)

donde ( )TG f es la transformada de Fourier de ( )Tg t .

78

Dado que cf B , encontramos que y T c T cG f f G f f representan espectros que no se solapan; así que

su producto es cero. En consecuencia, usando la Ec. (2.157) para evaluar la amplitud de ( )TX f , obtenemos

2 22 1

( )4

T T c T cX f G f f G f f (2.158)

Finalmente, aplicando la definición de la Ec. (2.152) para la densidad espectral de potencia de la señal de

potencia g(t) a la Ec. (2.158), obtenemos el resultado deseado:

1

( )4

x g c g cS f S f f S f f (2.159)

Excepto por el factor de escala de 1/4, la densidad espectral de potencia de la onda modulada x(t) es igual a la suma de

la densidad de potencia espectral ( )gS f desplazada hacia la derecha por fc y la ( )gS f desplazada hacia la izquierda por la

misma cantidad fc.

PROBLEMAS ADICIONALES

2.19 (a) Halle la transformada de Fourier del pulso de medio coseno mostrado en la Fig. 2.40(a).

(b) Aplique la propiedad de desplazamiento en el tiempo al resultado obtenido en la parte (a) para

evaluar el espectro del pulso de medio seno en la Fig. 2.40(b).

(c) ¿Cuál es el espectro del pulso de medio seno que tiene una duración igual a aT?

(d) ¿Cuál es el espectro del pulso de medio seno negativo mostrado en la Fig. 2.40(c)?

(e) Halle el espectro del pulso seno único mostrado en la Fig. 2.40(d).

FIGURA 2.40 Problema 2.19

2.20 Cualquier función g(t) puede dividirse sin ambigüedad en una parte par y una parte impar, como muestra

la relación

( ) ( ) ( )e og t g t g t

La parte par es definida por

79

1

( ) ( ) ( )2

eg t g t g t

y la parte impar es definida por

1

( ) ( ) ( )2

eg t g t g t

(a) Evalúe las partes par e impar de un pulso rectangular definido por

1( ) rect

2

tg t A

T

(b) ¿Cuáles son las transformadas de Fourier de estas dos partes del pulso?

2.21 La siguiente expresión puede considerarse como una representación aproximada de un pulso con tiempo

de crecimiento finito:

2

2

1( ) exp

t T

t T

ug t du

donde se supone que T >> . Determine la transformada de Fourier de g(t). ¿Qué le sucede a esta

transformada cuando permitimos que se vuelva cero?

2.22 La transformada de Fourier de una señal g(t) se denota por ( )G f . Determine las siguientes propiedades

de la transformada de Fourier:

(a) Si una señal real g(t) es una función par del tiempo t, la transformada de Fourier ( )G f es puramente

real. Si una señal real g(t) es una función impar del tiempo t¸ la transformada de Fourier ( )G f es

puramente imaginaria.

(b) ( )( ) ( )2

nnn j

t g t G f

, donde ( )( )nG f es la n-ésima derivada de ( )G f con respecto a f.

(c) ( )( ) (0)2

nn jt g t dt G

(d) 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t dt G f G f df

2.23 La transformada de Fourier ( )G f de una señal g(t) está acotada por las tres desigualdades siguientes:

(a) ( ) ( )G f g t dt

(b) 2

2

( )2 ( )

d g tj fG f dt

dt

(c) Se supone que las derivadas primera y segunda de g(t) existen.

FIGURA 2.41 Problema 2.23

Construya estos tres límites (cotas) para el pulso triangular mostrado en l Fig. 2.1 y compare sus

resultados con el espectro de amplitud real del pulso.

2.24 Considérese la convolución de dos señales 1 2( ) y ( )g t g t . Demuestre que

80

(a) 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )d d

g t g t g t g tdt dt

(b) 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )t t

g g g d g t

2.25 Una señal x(t) de energía finita se aplica a un dispositivo de ley cuadrática cuya salida y(t) es

2( ) ( )y t x t

El espectro de x(t) está limitada al intervalo de frecuencia W f W . Por tanto, demuestre que el

espectro de y(t) está limitado a 2 2W f W . Sugerencia: Exprese y(t) como x(t) multiplicada por sí

misma.

2.26 Evalúe la transformada de Fourier de la función delta considerándola como la forma límite de (a) un

pulso rectangular de área unitaria y (b) un pulso sinc de área unitaria.

2.27 La transformada de Fourier ( )G f de una señal g(t) es definida por

1, 0

1( ) , 0

20, 0

f

G f f

f

Determine la señal g(t).

2.28 Considere una función g(t) parecida a un pulso que consiste de un pequeño número de segmentos de

línea recta. supóngase que esta función es diferenciada dos veces con respecto al tiempo t con el fin de

generar un secuencia de funciones delta ponderadas, como muestra la relación

2

2

( )i i

i

d g tk t t

dt

donde las ki están relacionadas con las pendientes de los segmentos de línea recta.

(a) Dados los valores de ki y ti, demuestre que la transformada de Fourier de g(t) es

2 2

1( ) exp 2

4i i

i

G f k j ftf

(b) Usando este procedimiento, demuestre que la transformada de Fourier del pulso trapezoidal

mostrado en la Fig. 2.42 es

2 2

( ) sen senb a b ab a

AG f f t t f t t

f t t

FIGURA 2.42 Problema 2.28

81

2.29 Un pulso rectangular de amplitud A y duración 2ta puede considerarse como el caso límite del pulso

trapezoidal mostrado en la Fig. 2.42 conforme tb se acerca a ta.

(a) Comenzando con el resultado dado en la parte (b) del Problema 2.28, demuestre que conforme tb se

aproxima a ta, este resultado se aproxima a la función sinc.

(b) Armonice el resultado deducido en la parte (a) con el par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.10).

2.30 Sean x(t) y y(t) las señales de entrada y salida de un filtro lineal invariable en el tiempo. Usando el

teorema de la energía de Rayleigh, demuestre que si el filtro es estable y la señal de entrada x(t) tiene

energía finita, entonces la señal de salida y(t) también tiene energía finita. Es decir, si

2( )x t dt

entonces

2( )y t dt

2.31 (a) Determine la respuesta de amplitud total de la conexión en cascada mostrada en la Fig. 2.43

consistente de N etapas idénticas con una constante de tiempo RC igual a 0.

(b) Demuestre que conforme N tiende a infinito, la respuesta de amplitud de la conexión en cascada se

aproxima a la función gaussiana 2 21exp

2f T

, donde para cada valor de N, se selecciona la

constante 0 de modo que se satisfaga la condición

220 24

T

N

FIGURA 2.42 Problema 2.31

2.32 Supóngase que, para una señal dada x(t), se requiere el valor integrado de la señal en un intervalo T, como

indica la relación

( ) ( )t

t Ty t x d

(a) Demuestre que y(t) se puede obtener transmitiendo la señal x(t) a través de un filtro que tiene la

función de transferencia

( ) sinc expH f T fT j fT

(b) Una aproximación adecuada a esta función de transferencia se obtiene usando un filtro de pasabajas

con un ancho de banda igual a 1/T, respuesta de amplitud en la pasabanda igual a T y retardo igual a

T/2. Suponiendo que este filtro de pasabajas es ideal, determine la salida del filtro en el instante t T

debida a una función escalón unitario aplicada al filtro en t = 0 y compare el resultado con la salida

correspondiente del integrador ideal. Observe que Si( ) 1.85 y Si( ) 2 .

82

2.33 Demuestre que los dos pulsos diferentes definidos en las partes (a) y (b) de la Fig. 2.44 tienen la misma

densidad espectral de energía

2 2 2

22 2 2

4 cos( )

4 1g

A T Tff

T f

FIGURA 2.44 Problema 2.33

2.34 Determine y dibuje las funciones de autocorrelación de los pulsos exponenciales siguientes:

(a) ( ) exp ( )g t at u t

(b) ( ) expg t a t

(c) ( ) exp ( ) exp ( )g t at u t at u t

donde u(t) es la función escalón unitario y u(t) es su versión invertida en el tiempo.

2.35 Determine y dibuje la función de autocorrelación de un pulso gaussiano definido por

2

20 0

1( ) exp

tg t

t t

2.36 La transformada de Fourier de una señal es definida por sinc( )f . Demuestre que la función de

autocorrelación de esta señal tiene forma triangular.

2.37 Especifique dos señales de tipo pulso diferentes que tengan exactamente la misma función de

autocorrelación.

2.38 Considere una señal sinusoidal g(t) definida por

0 1 1 1 2 2 2( ) cos 2 cos 2g t A A f t A f t

(a) Determine función de autocorrelación ( )gR de esta señal.

(b) ¿Cuál es el valor de (0)gR ?

(c) ¿Se ha perdido alguna información sobre g(t) al obtener la función de autocorrelación? Explique.

2.39 Determine la función de autocorrelación del pulso triple mostrado en la Fig. 2.45.

FIGURA 2.45 Problema 2.39

2.40 Sea ( )G f la transformada de Fourier de una señal de energía g(t) de valores reales y sea ( )gR su función

de autocorrelación. Demuestre que

83

42 2( )

4 ( )gdR

d f G f dfd

2.41 Determine la función de correlación cruzada 12( )R del pulso rectangular g1(t) y del pulso triple mostrado

en la Fig. 2.46 y dibújela. ¿Qué es 12( )R ? ¿Son estas dos señales ortogonales entre sí? ¿Por qué?

FIGURA 2.46 Problema 2.41

2.42 Considere dos señales de energía g1(t) y g2(t). Estas dos señales son retardadas por cantidades iguales a t1

y t2 segundos, respectivamente. Demuestre que los retardos son aditivos en la convolución del par de

señales retrasadas, en tanto que se restan en su correlación.

2.43 (a) Una señal de energía x(t), su transformada de Fourier ( )X f , la función de autocorrelación ( )xR y la

densidad espectral de energía ( )x f están todas relacionadas directa o indirectamente. Construya

un diagrama de flujo que muestre todas las relaciones directas posibles entre ellas.

(b) Si se da la descripción ( )X f en el dominio de la frecuencia, se puede calcular la función de

autocorrelación ( )xR a partir de ( )X f . Bosqueje dos formas en las cuales se puede realizar este

cálculo.

2.44 Halle la función de autocorrelación de una señal de potencia g(t) cuya densidad espectral de potencia se

muestra en la Fig. 2.47. ¿Cuál es el valor de esta función de autocorrelación en el origen?

FIGURA 2.47 Problema 2.44

2.45 Considérese la onda cuadrada g(t) mostrada en la Fig. 2.48. Halle la densidad espectral de potencia, la

potencia promedio y la función de autocorrelación de esta onda cuadrada. ¿Tiene la onda potencia de cd?

Explique su respuesta.

84

FIGURA 2.48 Problema 2.45

2.46 Considere dos señales periódicas 1 2( ) y ( )p pg t g t que tienen las siguientes representaciones en series de

Fourier:

1 1,0

2( ) expp n

n

j ntg t c

T

y

dos señales tienen un periodo común igual a T0.

Usando la siguiente definición de la correlación cruzada para un par de señales periódicas,

0

0

2

12 1 220

1( ) ( ) ( )

T

p pT

R g t g t dtT

demuestre que el par prescrito de señales periódicas satisface el par de transformadas de Fourier

12 1, 2,0

( ) n n

n

nR c c f

T

2.47 Una señal periódica gp(t) de periodo T0 es representada por la serie de Fourier

0( ) exp 2p n

n

g t c j nt T

donde los cn son los coeficientes de Fourier complejos. La función de autocorrelación de gp(t) se define como

0

0

2

20

1( ) ( ) ( )

p

T

g p pT

R g t g t dT

2 2,0

2( ) expp n

n

j ntg t c

T

85

(a) Considere la onda sinusoidal

( ) cos 2p cg t A f t

Determine la función de autocorrelación ( )pgR y grafique su forma de onda.

(b) Demuestre que 2(0) 2pgR A .

2.48 Repita las partes (a) y (b) del Problema 2.47 para la onda cuadrada

0 0

0

, ( ) 4 4

0, para el resto del periodo p

T TA t

g t

T

2.49 Determine la densidad espectral de potencia de (a) la onda sinusoidal del Problema 2.47 y (b) la onda

cuadrada del Problema 2.48.

PROBLEMAS AVANZADOS

2.51 (a) El ancho de banda dado por la raíz de la media del cuadrado (ancho de banda rms) de energía finita es

definido por

1 222

rms2

( )

( )

f G f dfW

G f df

donde 2

( )G f es la densidad espectral de energía de la señal. De manera correspondiente, la

duración rms de la señal se define por

1 222

rms2

( )

( )

t g t dtT

g t dt

Usando estas definiciones, demuestre que

rms rms

1

4T W

Supóngase que ( ) 0g t más rápido que 1 t conforme t .

(b) Considere un pulso gaussiano definido por

2( ) expg t t

Demuestre que, para esta señal, se puede alcanzar la igualdad

rms rms

1

4T W

Sugerencia: Use la desigualdad de Schwarz (véase el Apéndice 5):

86

22 2

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( )g t g t g t g t dt g t dt g t dt

en la cual hacemos

1( ) ( )g t tg t

y

2

( )( )

dg tg t

dt

2.52 La Transformada de Hilbert de una señal Fourier transformable g(t) se define por

( )1ˆ( )

gg t d

t

Correspondiente con esto, la transformada de Hilbert inversa se define por

ˆ( )1( )

gg t d

t

Usando estas dos fórmulas, deduzca el siguiente conjunto de pares de transformadas de Hilbert:

2.53 Evalúe la transformada de Fourier inversa g(t) de la función de frecuencia unilateral

exp( ), 0

1( ) , 0

20, 0

f f

G f f

f

Por tanto, demuestre que g(t) es compleja y que partes real e imaginaria constituyen un par de

transformadas de Hilbert.

2.54 Un transformador de Hilbert puede considerarse como un dispositivo cuya función de transferencia

exhibe las características siguientes:

(a) La respuesta de amplitud es unitaria para todas las frecuencias positivas y negativas.

(b) La respuesta de fase es +90° para frecuencias negativas y 90° para frecuencias positivas.

Comenzando con la definición de la transformada de Hilbert dada en el Problema 2.52, demuestre la

descripción en el dominio de la frecuencia cubierta en las partes (a) y (b).

CAPÍTULO 3

MODULACIÓN DE AMPLITUD

La modulación se define como el proceso mediante el cual se varía alguna característica de una onda portadora de acuerdo

con una señal portadora de información. Se necesita la portadora para facilitar el transporte de la señal modulada a

través de un canal de pasabanda desde el transmisor hasta el receptor. Una portadora de uso común es una onda

sinusoidal, cuya fuente es físicamente independiente de la fuente de la señal portadora de información. Cuando

la señal portadora de información es de tipo analógico, hablamos de modulación de onda continua, un término que

destaca la continuidad de la onda modulada como una función del tiempo.

En el contexto de las comunicaciones, una motivación primaria para la modulación es facilitar la transmisión

de la señal portadora de información por un canal de comunicaciones (por ejemplo, un canal de radio) con una

pasabanda establecida. En la modulación de onda continua, esto se hace posible mediante la variación de la

amplitud o el ángulo de la onda portadora sinusoidal. Sobre esta base, podemos clasificar la modulación de

onda continua en dos familias ampliamente definidas: la modulación de amplitud y la modulación de ángulo.

Estas dos familias de modulación se diferencian ofreciendo características espectrales completamente diferentes

y por tanto diferentes beneficios prácticos. La clasificación se hace con base en si, por un lado, se varía la

amplitud de la onda portadora sinusoidal o, por otro lado, se varía la fase o la frecuencia (y por tanto el ángulo)

de la onda portadora sinusoidal de acuerdo con la señal portadora de información. En este capítulo se estudia la

familia de la modulación de amplitud, y seguimos con el estudio de la modulación angular en el capítulo

siguiente.

En el Capítulo 1, identificamos la complejidad del sistema y los dos recursos primarios de la comunicación – a

saber, la potencia transmitida y el ancho de banda del canal – como los problemas centrales involucrados en el

diseño de un sistema de comunicación. Con estos problemas en mente, en este capítulo estudiaremos cuatro

estrategias de modulación lineal que constituyen la familia de la modulación de amplitud:

modulación de amplitud (AM)

modulación de banda lateral con portadora suprimida (DSB-SC)

banda lateral única (SSB)

banda lateral residual (VSB)

Estos cuatro tipos de modulación difieren entre sí en virtud de sus características espectrales. Su estudio nos

enseñará las siguientes lecciones.

Lección 1: El análisis de Fourier proporciona una herramienta matemática poderosa para desarrollar la matemática de

la caracterización espectral y también para dar una idea clara de esa caracterización de las estrategias de modulación

lineal.

Lección 2: La utilización de la potencia transmitida y del ancho de canal se mejora a través de modificaciones bien

definidas del contenido espectral de una onda modulada en amplitud a costas del incremento de la complejidad del

sistema.

88

Para resumir, podemos hacer la afirmación siguiente:

En el diseño de un sistema de comunicación no existe un almuerzo gratis: por cada ganancia que se obtiene,

hay que pagar un precio.

3.1 Modulación de Amplitud

TEORÍA

Considere una onda portadora sinusoidal c(t) definida por

( ) cos 2c cc t A f t (3.1)

donde Ac es la amplitud de la portadora y cf es la frecuencia de la portadora. La señal portadora de información o señal

del mensaje se denota por m(t); los términos “señal portadora de información” y “señal del mensaje” se usan de

forma intercambiable en todo el texto. Para simplificar la exposición sin afectar los resultados obtenidos y las

conclusiones alcanzadas, hemos supuesto que la fase de la onda portadora es cero en la Ec. (3.1). La modulación

de amplitud1 (AM) se define formalmente como proceso en el cual la amplitud de la portadora c(t) se varía linealmente, en

torno a un valor medio, con la señal del mensaje m (t). Una onda modulada en amplitud (AM) puede entonces

describirse como una función del tiempo en la forma siguiente:

( ) 1 ( ) cos 2c a cs t A k m t f t (3.2)

donde ak es una constante llamada la sensibilidad de amplitud del modulador responsable por la generación de la

señal modulada s(t). Típicamente, la amplitud de la portadora cA y la señal del mensaje m(t) se miden en

voltios, en cuyo caso, la sensibilidad de amplitud ak se mide en 1voltio . Observe que si la señal del mensaje

m(t) es apagada, la señal sinusoidal se deja intacta.

La Fig. 3.1(a) muestra una señal de mensaje m(t) y las Figs. 3.1(b) y 3.1(c) muestran la onda s(t) correspondiente

para dos valores de la sensibilidad de amplitud ak y una amplitud de portadora 1cA voltio.

En la modulación de amplitud, la información perteneciente a la señal del mensaje m(t) reside solamente en la

envolvente, la cual se define como la amplitud de la onda modulada s(t) – es decir, 1 ( )c aA k m t . En esta

expresión observamos que la envolvente de s(t) tiene esencialmente la misma forma que la señal del mensaje

m(t) siempre que se satisfagan las dos condiciones siguientes:

1. La amplitud de ( )ak m t es siempre menor que uno; es decir

( ) 1 para toda ak m t t (3.3)

Esta condición se ilustra en la Fig. 3.1(b); ella asegura que la función 1 ( )ak m t es siempre positiva, en cuyo

caso podemos expresar la envolvente de la onda AM s(t) de la Ec. (3.2) simplemente como 1 ( )c aA k m t .

Cuando la sensibilidad de amplitud del modulador es lo suficientemente grande para hacer que

( ) 1ak m t para cualquier t, la onda portadora se vuelve sobre modulada, lo que resulta en inversiones de

1 En todo el libro, el término “modulación de amplitud” o AM, para abreviar, se usa para referirnos a esa forma particular de

modulación en la cual están presentes la onda portadora y ambas bandas laterales.

89

fase siempre que el factor 1 ( )ak m t cruza en cero. La onda modulada exhibe entonces una distorsión de

envolvente, como en la Fig. 3.1(c). Por tanto, es obvio que evitando la sobre modulación, se mantiene una

relación de uno a uno para todos los valores del tiempo. El valor máximo absoluto de ( )ak m t multiplicado

por 100 se conoce como el porcentaje de modulación.

FIGURA 3.1 Ilustraciones del proceso de modulación de amplitud. (a) Señal

del mensaje m(t). (b) Onda AM para ( ) 1ak m t para todo t. (c) Onda AM

para ( ) 1ak m t para alguna t.

90

2. La frecuencia de la portadora cf es mucho mayor que la componente de frecuencia más alta W de la señal

del mensaje m(t) – esto es,

cf W (3.4)

A W la llamamos el ancho de banda del mensaje. Si no se satisface la condición de la Ec. (3.4), no se puede

visualizar (y por tanto detectar) satisfactoriamente una envolvente.

Siempre que se satisfagan las condiciones (3.3) y (3.4), la demodulación de la onda AM se puede lograr usando

un detector de envolvente., el cual se define como un dispositivo cuya salida sigue la envolvente de la onda AM actuando

como la señal de entrada. El proceso de la detección de envolvente se analiza más adelante en esta sección.

El siguiente tema para el análisis es la descripción en el dominio de la frecuencia de la AM. Sea ( ) ( )m t M f ,

donde la transformada de Fourier ( )M f se denomina el espectro del mensaje. De la Ec. (3.2), encontramos que la

transformada de Fourier o espectro de la onda AM s(t) es

( )2 2

c a cc c c c

A k AS f f f f f M f f M f f (3.5)

donde hemos usado las relaciones

1cos 2 exp 2 exp 2

2

exp 2

c c c

c c

f t j f t j f t

j f t f f

y

( )exp 2 c cm t f t M f f

Siguiendo la terminología introducida en el Capítulo 2, la ( )f en la Ec. (3.5) denota la función delta de Dirac en

el dominio de la frecuencia.

Supongamos que la señal del mensaje m(t) está limitada en banda al intervalo W f W, como en la Fig.

3.2(a). La forma del espectro mostrado en esta figura tiene el objetivo de ilustración solamente. De la Ec. (3.5)

encontramos que el espectro ( )S f de la onda AM es como se muestra en la Fig. 3.2(b) para el caso cuando

cf W . Este espectro consiste de dos funciones delta ponderadas por el factor 2a ck A . En el espectro de la Fig.

(3.2(b), hacemos tres observaciones importantes:

1. Como un resultado del proceso de modulación, el espectro de la señal del mensaje m(t) para frecuencias

negativas que se extiende desde W hasta 0 se vuelve completamente visible para frecuencias positivas

(esto es, medible), siempre que la frecuencia portadora satisfaga la condición cf W ; en esto está la

importancia de la idea de frecuencias “negativas”, lo que fue recalcado en el Capítulo 2.

2. Para frecuencias positivas, la porción del espectro de una onda AM que está por encima de la frecuencia

portadora cf se conoce como la banda lateral superior, en tanto que la porción simétrica por debajo de cf se

conoce como la banda lateral inferior. La condición cf W asegura que las bandas laterales no se solapen.

Adicionalmente, con la banda lateral superior, la banda lateral inferior y la portadora representadas

completamente en el espectro de la Fig. 3.2(b), a la onda modulada se le refiere como AM, en concordancia

con la nota en la página 88.

91

3.

FIGURA 3.2 (a) Espectro de la señal del mensaje m(t). (b) Espectro de la onda AM s(t).

3. Para frecuencias positivas, la componente de más alta frecuencia de la onda AM es igual a cf W , y la de

más baja frecuencia es igual a cf W . La diferencia entre estas dos frecuencias define el ancho de banda de

transmisión TB de la onda AM, que es exactamente el doble del ancho de banda W del mensaje; es decir,

2TB W (3.6)

EJEMPLO 3.1 Modulación de un Solo Tono

Considérese una onda moduladora m(t) que consiste de una componente de un solo tono (una sola frecuencia);

es decir

( ) cos 2m mm t A f t

donde mA es la amplitud de la onda moduladora sinusoidal y mf es su frecuencia (véase la Fig. 3.3(a)). La onda

portadora sinusoidal tiene amplitud cA y frecuencia cf (véase la Fig. 3.3(b)). La onda AM correspondiente es

entonces dada por

( ) 1 cos 2 cos 2c m cs t A f t f t (3.7)

donde

a mk A

La constante adimensional se denomina el factor de modulación, o el porcentaje de modulación cuando se expresa

numéricamente como un porcentaje. Para evitar la distorsión de envolvente debida a sobre modulación, el factor

de modulación debe mantenerse debajo de uno, como ya se explicó previamente.

92

FIGURA 3.3 Ilustración de las características en el dominio del tiempo (en la izquierda) y en el dominio de la

frecuencia (en la derecha) de la modulación de amplitud producida por un solo tono. (a) Onda moduladora. (b) Onda

portadora. (c) Onda AM.

La Fig. 3.3(c) muestra una gráfica de s(t) para menor que uno. Denote por máx mín y A A los valores máximo y

mínimo de la envolvente de la onda modulada, respectivamente. Entonces, de la Ec. (3.7) obtenemos

máx

mín

1

1c

c

A A

A A

Reacomodando esta ecuación, podemos expresar el factor de modulación como

máx mín

máx mín

A A

A A

Ahora se expresa el producto de los dos cosenos en la Ec. (3.7) como la suma de dos ondas sinusoidales, una con

frecuencia c mf f y la otra con frecuencia c mf f , obtenemos

1 1

( ) cos 2 cos 2 cos 22 2c c c c m c c ms t A f t A f f t A f f t

y, por tanto, la transformada de Fourier de s(t) es

1 1( )

2 41

4

c c c c c m c m

c c m c m

S f A f f f f A f f f f f f

A f f f f f f

93

Así, el espectro de una onda AM, para el caso especial de modulación sinusoidal, consiste de funciones delta en

, y c c m c mf f f f f , como se muestra en la Fig. 3.3(c).

En la práctica, la onda AM s(t) es una onda de voltaje o de corriente. En cualquier caso, la potencia promedio

entregada a un resistor de 1 ohmio por s(t) está formada por tres componentes:

2

2 2

2 2

1 Potencia de portadora

21

Potencia de banda lateral superior81

Potencia de banda laterla inferior8

c

c

c

A

A

A

Para un resistor de carga R diferente de 1 ohmio, que es el caso común en la práctica, las expresiones para las

potencias de la portadora y de las bandas laterales son simplemente escaladas por el factor 1/R o R, dependiendo

de si la onda modulada s(t) es un voltaje o una corriente, respectivamente. En cualquier caso, la razón de la

potencia total en las bandas laterales a la potencia total en la onda modulada es igual a 2 22 , que depende

solamente del factor de modulación . Si = 1 – es decir, se usa 100 porciento de modulación – la potencia total

en las dos frecuencias laterales de la onda AM resultante es sólo un tercio de la potencia total de la onda

modulada.

La Fig. 3.4 muestra el porcentaje de la potencia total en ambas bandas laterales y en la portadora graficadas

versus el porcentaje de modulación. Observe que cuando el porcentaje de modulación es menor que 20 por

ciento, la potencia en una banda lateral es menor que 1 por ciento de la potencia total en la onda AM.

FIGURA 3.4 Variaciones de la potencia de portadora y de la potencia total de las

bandas laterales con el porcentaje de modulación en la modulación de amplitud.

EXPERIMENTO DE COMPUTADORA: AM

Para el experimento AM, estudiaremos modulación sinusoidal basada en los parámetros siguientes:

Amplitud de la portadora, 1cA

Frecuencia de la portadora, 0.4 Hzcf

Modulación de frecuencia, 0.05 Hzmf

94

Queremos exhibir y analizar 10 ciclos completos de la onda modulada, correspondientes a una duración total de

200 segundos. Para realizar el experimento en una computadora digital, la onda modulada se muestrea con una

tasa de 10 Hzsf , obteniéndose un total de 200 2000 Hzsf puntos de datos. La banda de frecuencia

ocupada por la onda modulada es 5 f 5 Hz. Puesto que la separación entre la frecuencia portadora y

cualquiera de las bandas laterales es igual a la frecuencia de modulación 0.05 Hzmf , nos gustaría tener una

resolución de frecuencia de 0.005 Hzrf . Para alcanzar esta resolución, se recomienda que el número de

muestras de frecuencia satisfaga la condición:

102000

0.005s

r

fM

f

Así que escogemos M = 2000. Para aproximar la transformada de Fourier de la onda modulada, usamos un

algoritmo FFT de 2000 puntos; el algoritmo FFT se describió en el Capítulo 2.

El único parámetro variable en el experimento completo de AM es el factor de modulación , con respecto al

cual se investigan tres situaciones diferentes:

= 0.5, correspondiente a submodulación

= 1.0, correspondiente a 100 por ciento de modulación

= 2.0, correspondiente a sobremodulación

El resultado de las investigaciones se muestra en las Figs. 3.5 a 3.7, cuyos detalles se describen a continuación.

1. Factor de modulación =0.5

La Fig. 3.5(a) exhibe 10 ciclos de la onda AM, correspondientes a = 0.5. La envolvente de la onda

modulada se ve claramente que sigue fielmente la onda moduladora sinusoidal. Esto significa que podemos

usar un detector de envolvente para la demodulación.

La Fig. 3.5(b) muestra el espectro de magnitud (amplitud) de la onda modulada. En la Fig. 3.5(c), hemos

expandido la gráfica alrededor de la frecuencia portadora. Las dos figuras exhiben claramente las relaciones

exactas entre las dos bandas laterales y la portadora, de acuerdo con la teoría de la modulación de

amplitud, como se sintetiza aquí:

La frecuencia lateral inferior, la portadora y la frecuencia están ubicadas en 0.35 Hzc mf f ,

0.4 Hzcf y 0.45 Hzc mf f .

La amplitud de ambas frecuencias laterales es (/2) = 0.25 veces la amplitud de la portadora.

2. Factor de modulación = 10

La Fig. 3.6(a) muestra 10 ciclos de la onda modulada con los mismos parámetros que en la Fig. 3.5(a),

excepto por el hecho de que = 10. Esta nueva figura muestra que la onda modulada está ahora al borde de

la sobremodulación.

El espectro de magnitud de la onda modulada se muestra en la Fig. 3.6(b)y su versión expandida

(alrededor de la frecuencia portadora) se muestra en la Fig. 3.6(c). Aquí vemos de nuevo que la estructura

básica del espectro de magnitud de la onda modulada coincide perfectamente con la teoría de la

modulación de amplitud.

95

FIGURA 3.5 Modulación de amplitud con 50 por ciento de modulación: (a) Onda AM,

(b) espectro de amplitud de la onda AM, y (c) espectro expandido alrededor de la

frecuencia portadora.

3. Factor de modulación = 2.0

La Fig. 3.7(a) demuestra el efecto de la sobremodulación usando un factor = 2.0. Aquí vemos que no hay una

relación clara entre la envolvente de la onda sobremodlada y la onda moduladora sinusoidal. Como se esperaba,

el resultado implica que un detector de envolvente no funcionará para = 2.0. Sin embargo, el contenido

espectral de la onda sobremodulada mostrada en las Figs. 3.7(b) y 3.7(c) sigue exactamente lo que la teoría de la

modulación de amplitud predice.

Problema de Práctica 3.1 Para modulación de 100 por ciento, ¿es posible que la envolvente de la AM se

vuelva cero en algún instante t? Justifique su respuesta.

Problema de Práctica 3.2 Para un caso particular de AM que usa una onda moduladora sinusoidal, el

porcentaje de modulación es 20 por ciento. Calcule la potencia promedio en (a) la portadora y (b) cada

frecuencia lateral

96

FIGURA 3.6 Modulación de amplitud con 100 por ciento de modulación: (a) Onda AM, (b)

espectro de magnitud de la onda AM, y (c) espectro expandido alrededor de la frecuencia

portadora.

Problema de Práctica 3.3 En la AM, se dice que ocurre solapamiento espectral si la banda lateral inferior para

frecuencias positivas se solapa con su imagen para frecuencias negativas. ¿Qué condición debe satisfacer la

onda modulada si debemos evitar este solapamiento? Supóngase que la señal del mensaje m(t) es de un tipo

de pasabajas con ancho de banda W.

Problema de Práctica 3.4 Un demodulador de ley cuadrática para generar una onda AM depende del uso de

un dispositivo no lineal (por ejemplo, un diodo); la Fig. 3.8 muestra la forma más sencilla de este tipo de

modulador. Ignorando términos de orden superior, la característica de la combinación diodo-resistor de

carga en esta figura es representada por la ley cuadrática:

22 1 1 2 1( ) ( ) ( )v t a v t a v t

donde

1( ) cos 2 ( )c cv t A f t m t

97

FIGURA 3.7 Modulación de amplitud con 200 por ciento de modulación: (a) Onda

AM, (b) espectro de magnitud de la onda AM, y (c) espectro expandido alrededor de

la frecuencia portadora.

FIGURA 3.8 Circuito no lineal con un diodo.

98

es la señal de entrada, 2( )v t es la señal de salida que se desarrolla en el resistor de carga y 1 2 y a a son

constantes.

(a) Determine el contenido espectral de la señal de salida 2( )v t .

(b) Para extraer de 2( )v t la señal de AM deseada, necesitamos un filtro de pasabanda (no mostrado en la

Fig. 3.8). Determine las frecuencias de corte del filtro requerido, suponiendo que la señal del mensaje

está limitada a la banda W f W.

(c) Para evitar la distorsión espectral por la presencia de los productos de modulación en 2( )v t , se debe

satisfacer la condición W f 3W; deduzca esta condición.

DETECCIÓN DE ENVOLVENTE

El modulador de ley cuadrática utilizado en el Problema 3.4 es testigo de la sencillez de implementación

involucrada en la construcción de un transmisor AM. Esta sencillez de la AM es reforzada todavía más cuando

consideramos la demodulación de una onda AM, proceso inverso de la modulación. En particular, la

demodulación de una onda AM puede lograrse mediante un circuito sencillo y muy efectivo denominado el

detector de envolvente2, siempre que se satisfagan dos condiciones prácticas.

1. La señal AM es de banda angosta, lo que significa que la frecuencia portadora es grande comparada con el

ancho de banda del mensaje.

2. El porcentaje de modulación en la onda AM es menor que 100 por ciento.

Un detector de envolvente del tipo en serie se muestra en la Fig. 3.9(a), y consiste de un diodo y un filtro de

resistor-capacitor (RC). La operación de este detector de envolvente es la siguiente. En un semiciclo positivo de

la señal de entrada, el diodo está polarizado en directo y el capacitor C se carga rápidamente hasta el valor pico

de la señal de entrada. Cuando la señal de entrada cae por debajo de este valor, el diodo se polariza

inversamente y el capacitor C se descarga lentamente a través del resistor de carga lR . El proceso de descarga

continúa hasta el siguiente semiciclo positivo. Cuando la señal de entrada se hace mayor que el voltaje en el

capacitor, el diodo conduce de nuevo y el proceso se repite. Suponemos que el diodo es ideal, presenta una

resistencia fr al flujo de corriente en la región de polarización directa y resistencia infinita en la región de

polarización inversa. Suponemos además que la onda AM aplicada al detector de envolvente es suplida por una

fuente de voltaje de resistencia interna sR . La constante de tiempo de cara f sr R C debe ser corta en

comparación con el periodo de la portadora 1 cf es decir,

1

f sc

r R Cf

2 En el Prefacio, señaló que el enfoque tomado en este libro es desde una perspectiva de sistemas. Al describir en detalle el

detector de envolvente, claramente estamos haciendo una excepción a este enfoque. La razón de hacer esto es un

reconocimiento al hecho de que el detector de envolvente, en virtud de su simplicidad, se usa en casi todos los receptores

comerciales de AM. En efecto, la facilidad de construcción de transmisores y receptores AM es un factor económico tan

obligante que, a pesar del dominio siempre creciente de las comunicaciones digitales, la modulación de amplitud continuará

hallando usos prácticos en una forma u otra.

99

FIGURA 3.9 Detector de envolvente. (a) Diagrama de circuito. (b) Onda AM de

entrada. (c) Salida del detector de envolvente.

de modo que el capacitor C se cargue rápidamente y siga entonces al voltaje aplicado hasta el pico positivo

cuando el diodo está conduciendo. Por otra parte, la constante de tiempo de descarga lR C debe ser

suficientemente larga para asegurar que el capacitor se descargue a través del resistor de carga lR entre los

picos positivos de la onda portadora, pero tan larga que el voltaje del capacitor no se descargará para la máxima

tasa de carga de la onda moduladora – esto es,

1 1l

c

R Cf W

100

donde W es el ancho de banda del mensaje. El resultado es que el voltaje del capacitor o salida del detector es

casi el mismo que la envolvente de la onda AM, como se demuestra a continuación.

EXPERIMENTO DE COMPUTADORA: DETECCIÓN DE ENVOLVENTE PARA AM SINUSOIDAL

Considérese la onda AM sinusoidal en la Fig. 3.9(b), suponiendo modulación de 50 por ciento. La salida del

detector de envolvente se muestra en la Fig. 3.9(c). Esta última forma de onda es calculada suponiendo que el

diodo es ideal, con una resistencia constante fr cuando está polarizado en directo y una resistencia infinita

cuando está polarizado a la inversa. Los valores numéricos usados en el cálculo de la Fig. 3.9(c) son los

siguientes:

Resistencia de la fuente 75 sR

Resistencia directa =25 fr

Resistencia de carga =10 fR k

Capacitancia 0.01 FC

Ancho de banda del mensaje 1 HzW k

Frecuencia de portadora 20 Hzcf k

Observe que la salida del detector de envolvente incluye un rizo de alta frecuencia; este rizo puede removerse

usando un filtro de pasabajas (no mostrado en la Fig. 3.9(a)).

3.2 Virtudes, Limitaciones y Modificaciones de la Modulación de Amplitud

La modulación de amplitud es el método más antiguo de realizar modulación. Como ya se señaló en la Sección

3.1, su mayor virtud es la facilidad con la cual es generada y recobrada. El resultado neto es que un sistema de

modulación de amplitud cuyo costo de construcción es muy bajo.

Sin embargo, recuerde del Capítulo 1 que la potencia transmitida y el ancho de banda del canal son nuestros

dos recursos principales en las comunicaciones y deben usarse con eficiencia. En este contexto, encontramos que

la modulación de amplitud definida en la Ec. (3.2) sufre de dos limitaciones importantes.

1. La modulación de amplitud desperdicia potencia transmitida. La onda portadora c(t) es completamente

independiente de la señal portadora de información m(t). Por tanto, la transmisión de la onda portadora

representa un desperdicio de potencia, lo que significa que en la modulación de amplitud sólo una fracción

de la potencia total transmitida es realmente afectada por m(t).

2. La modulación de amplitud desperdicia ancho de banda del canal. Las bandas laterales superior e inferior de una

onda AM están relacionadas de forma única entre sí en virtud de su simetría en torno a la frecuencia

portadora; por tanto, dados los espectros de amplitud y fase de cualquiera de las bandas laterales, es

posible determinar de forma única la otra banda. Esto significa que en lo que respecta a la transmisión de

información, sólo es necesaria una banda lateral, y por tanto el canal de comunicación sólo necesita

proporciona el mismo ancho de banda que la señal del mensaje. A la luz de esta observación, la modulación

de amplitud desperdicia ancho de banda del canal ya que requiere un ancho de banda de transmisión igual

al doble del ancho de banda del mensaje.

101

Para superar estas dos limitaciones de la AM, debemos hacer ciertos cambios que resultan en una mayor

complejidad del proceso de modulación de amplitud. En efecto, intercambiamos complejidad del sistema por

mejoras en la utilización de los recursos de comunicaciones. Comenzando con la modulación de amplitud,

podemos distinguir tres modificaciones de la modulación de amplitud:

1. Modulación de banda lateral doble con portadora suprimida (DSB-SC, por sus siglas en inglés), en la cual la onda

transmitida consiste de solamente las bandas laterales superior e inferior. Aquí se ahorra potencia

transmitida a través de la supresión de la onda portadora, pero el requerimiento del ancho de banda del

canal es el mismo que antes (es decir, el doble del ancho de banda del mensaje).

2. Modulación de banda lateral única (SSB, por sus siglas en inglés), en la cual la onda modulada consiste de

solamente la banda lateral superior o la inferior. La función esencial de la modulación SSB es entonces

trasladar el espectro de la señal moduladora (con o sin inversión) hasta una nueva posición en el dominio

de frecuencias. La modulación de banda lateral única es particularmente adecuada para la transmisión de

señales de voz debido a la brecha de energía que existe en el espectro de las señales de voz entre cero y unos

pocos cientos de hertz. La SSB es la forma óptima de modulación continua en que requiere la potencia de

transmisión mínima y mínimo ancho de banda del canal; sus desventajas más importantes son su mayor

complejidad y su aplicabilidad limitada.

3. Modulación de banda lateral residual (VSB, por sus siglas en inglés), en la cual se pasa una banda lateral casi

completa y sólo se retiene un vestigio o residuo de la otra banda lateral. El ancho de banda del canal

requerido es por tanto ligeramente en exceso del ancho de banda del mensaje por una cantidad igual al

ancho de la banda lateral residual. Esta forma de modulación es adapta bien para la transmisión de señales

de banda ancha tales como señales de televisión que contienen componentes significativos de frecuencias

extremadamente bajas. En la radiodifusión de televisión comercial, se transmite una portadora de tamaño

considerable junto con la onda modulada, la cual posibilita la demodulación de la señal modulada entrante

mediante un detector de envolvente en el receptor y por ello simplifica el diseño del receptor.

En la Sección 3.3 analizamos la modulación DSB-SC, seguida por análisis de las formas de modulación SSB y

VSB en las secciones siguientes y en ese orden.

3.3 Modulación de Banda Lateral Doble con Portadora Suprimida

TEORÍA

Básicamente, la modulación de banda lateral doble con portadora suprimida (DSB-SC) consiste del producto de la

señal del mensaje m(t) y la onda portadora c(t), como se muestra en la ecuación

( ) ( ) ( )

cos 2 ( )c c

s t c t m t

A f t m t

(3.8)

En consecuencia, al dispositivo usado para generar la onda modulada DSB-SC se le conoce como un modulador

de producto. En la Ec. (3.8) también observamos que, a diferencia de la modulación de amplitud, la modulación

DSB-SC se reduce a cero siempre que la señal del mensaje m(t) es desconectada.

Sin embargo, más notable es el hecho de que la señal modulada s(t) sufre una inversión de fase siempre que la

señal de mensaje m(t) pasa por cero, como se indica en la Fig. 3.10(b) para la señal del mensaje m(t) mostrada en

la parte (a) de la figura. La envolvente de una señal modulada DSB-SC es por tanto diferente de la señal del

102

mensaje, lo que significa que una demodulación sencilla usando detección de envolvente no es una opción

viable para la modulación DSB-SC.

FIGURA 3.10 (a) Señal del mensaje m(t). (b) onda modulada DSB-SC s(t).

La transformada de Fourier de s(t) se obtiene de la Ec. (3.8) como

1

( )2 c c cS f A M f f M f f (3.9)

donde ( ) ( )m t M f . Para el caso cuando la señal del mensaje m(t) está limitada al intervalo W f W, como

en la Fig. 3.11(a), encontramos que el espectro ( )S f de la onda DSB-SC s(t) es como se muestra en la Fig. 3.11(b).

Excepto por un cambio en el factor de escala, el proceso de modulación simplemente traslada el espectro de la

señal del mensaje por cf hacia la derecha y por cf hacia la izquierda. Por supuesto, el ancho de banda de

transmisión requerido por la modulación DSB-SC es el mismo que para la modulación de amplitud; esto es, 2W.

Para sintetizar, en lo que se refiere a ocupación del ancho de banda, la DSB-SC no ofrece ventajas sobre la AM.

Su única mejoría está en el ahorro de potencia transmitida, lo que es suficientemente importante cuando la

potencia disponible para la transmisión está limitada.

103

FIGURA 3.11 (a) Espectro de la señal del mensaje m(t). (b) Espectro de la onda modulada DSB-SC s(t).

EJEMPLO 3.2 Espectro de la DSB-SC Sinusoidal

Considérese modulación DSB-SC usando una onda moduladora sinusoidal de amplitud mA , frecuencia mf y

operando sobre una portadora de amplitud cA . El espectro del mensaje es

1 1

( )2 2m m m mM f A f f A f f

Invocando la Ec. (3.9, el espectro trasladado 12 c cA M f f define las dos frecuencias laterales para frecuencias

positivas

1 1

; 4 4c m c m c m c mA A f f f A A f f f

El otro espectro trasladado de la Ec. (3.9) – a saber, 12 c cA M f f define las otras dos frecuencias laterales para

frecuencias negativas:

1 1

; 4 4c m c m c m c mA A f f f A A f f f

las cuales son imágenes de las primeras dos frecuencias laterales con respecto al origen, en orden inverso.

Problema de Práctica 3.5 Para la modulación DSB-SC sinusoidal considerada en el Ejemplo 3.2, ¿Cuál es la

potencia promedio en la frecuencia lateral inferior o superior, expresada como un porcentaje de la potencia

promedio en la onda modulada DSB-SC?

104

DETECCIÓN COHERENTE

Puesto que la envolvente de la onda modulada DSB-SC es diferente de la señal del mensaje m(t), tenemos que

hallar algún medio para recuperar m(t) a partir de s(t). Con este fin, reconocemos que 2cos 2 cf t contiene un

término constante, como muestra la identidad trigonométrica

2 1 1cos cos 2

2 2

En vista de esta relación escrita para 2 cf t , vemos de la Ec. (3.8) que la recuperación de la señal del mensaje

m(t) puede lograrse multiplicando primero a s(t) por una onda sinusoidal generada localmente y entonces filtrar

a pasabajas el producto. Se supone que la señal del oscilador local es exactamente coherente o sincronizada,

tanto en frecuencia como en fase, con la onda portadora c(t) usada en el modulador de producto para generar

s(t). Este método de demodulación se conoce como detección coherente o detección sincrónica.

Es instructivo derivar la detección coherente como un caso especial del proceso más general de demodulación

usando una señal de un oscilador local de la misma frecuencia pero con una diferencia de fase arbitraria ,

medida con respecto a la onda portadora c(t). Entonces, denotando la señal del oscilador local por

cos 2c cA f t y usando la Ec. (3.8) para la onda DSB-SC s(t), encontramos que la salida del modulador de

producto en la Fig. 3.12 es

( ) cos 2 ( )

cos 2 cos 2 ( )

1 1 cos 2 ( ) cos( ) ( )

2 2

c c

c c c c

c c c c c

v t A f t s t

A A f t f t m t

A A f t m t A A m t

(3.10)

FIGURA 3.12 Diagrama de bloques de un detector coherente, suponiendo que el oscilador local

tiene un desfase con respecto al oscilador de la portadora sinusoidal en el transmisor.

donde hemos usado la identidad trigonométrica

1 2 1 2 1 2

1 1cos cos cos cos

2 2

donde, para esta aplicación, tenemos que 1 2 cf t y 2 2 cf t .

El primer término en la Ec. (3.10) representa una nueva señal modulada DSB-SC con frecuencia portadora 2 cf ,

en tanto que el segundo término es proporcional a m(t). Esto se ilustra aún más mediante el espectro ( )V f

mostrado en la Fig. 3.13, donde se supone que la señal del mensaje m(t) está limitada al intervalo W f W .

105

Por tanto, es claro que el primer término en l Ec. (3.10) es eliminado por el filtro de pasabajas en la Fig. 3.12,

siempre que la frecuencia de corte de este filtro sea mayor que W pero menor que 2 cf W . Esto se cumple

escogiendo cf W . En la salida del filtro obtenemos entonces una señal dada por

1

( ) cos( ) ( )2o c cv t A A m t (3.11)

La señal demodulada ( )ov t es por tanto proporcional a m(t) cuando el error de fase es una constante. La

amplitud de esta señal demodulada es máxima cuando = 0, y es mínima (cero) cuando = /2. La señal

demodulada cero, la cual ocurre para = /2, representa el efecto de cuadratura nulo, que es una propiedad

inseparable de la de la detección coherente. Así que el error de fase en el oscilador local hace que la salida del

detector sea atenuada por un factor igual a cos . Siempre y cuando el error de fase sea constante, la salida del

detector proporciona una versión no distorsionada de la señal del mensaje m(t). Sin embargo, en la práctica

usualmente encontramos que el error de fase varía aleatoriamente con el tiempo, debido a variaciones

aleatorias en el canal de comunicación. El resultado es que en la salida del detector, el factor de multiplicación

cos también variará aleatoriamente con el tiempo, lo cual es obviamente indeseable. Por tanto, se deben tomar

previsiones en el sistema para mantener el oscilador en el receptor en sincronismo, tanto en frecuencia como en fase,

con la onda portadora usada para generar la señal modulada DSB-SC en el transmisor. La complejidad

resultante en el sistema es el precio que debe pagarse para la supresión de la onda portadora para ahorrar

potencia transmitida.

FIGURA 3.13 Ilustración del espectro de la salida del modulador del producto v(t) en el detector coherente de

la Fig. 3.12, el cual se produce en respuesta a una onda modulada DSB-SC como la entrada al detector.

Problema de Práctica 3.7 El detector coherente para la demodulación de DSB-SC deja de operar

satisfactoriamente si el modulador experimenta solapamiento. Explique la razón para esta falla.

EXPERIMENTO DE COMPUTADORA DSB-SC

Para el estudio experimental de la modulación DSB-SC, seguimos el mismo esquema descrito en la Sección 3.1,

excepto por los cambios causados por el uso de la DSB-SC en vez de la AM. Los resultados del experimento se

describen bajo dos puntos:

1. La Fig. 3.14(a) muestra 10 ciclos de la onda modulada DSB-SC producida por la onda moduladora

sinusoidal de frecuencia 0.05 Hz. Como se esperaba, la envolvente de la onda modulada no tiene un

relación clara con la onda moduladora sinusoidal. En consecuencia, debemos usar detección coherente para

la demodulación, lo que se analiza en el punto 2.

106

FIGURA 3.15 Detección coherente de onda modulada DSB-SC: (a) Forma de onda de la señal producida en la salida del

modulador de producto; (b) espectro de amplitud de la señal en la parte (a); (c) forma de onda en la salida del filtro de

pasabajas; y (d) espectro de amplitud de la señal en la parte (c).

La Fig. 3.14(b) muestra el espectro de magnitud de la onda modulada. En la Fig. 3.14(c) se muestra una

vista expandida del espectro alrededor de la frecuencia portadora de 0.4 Hz. Estas dos figuras muestran

claramente que la portadora es efectivamente suprimida y que las frecuencias lateras superior e inferior

están localizadas exactamente donde deberían estar – a saber, en 0.45 y 0.35 Hz, respectivamente.

2. Para realizar detección coherente, procedemos en dos etapas: (i) multiplicamos la onda modulada DSB-SC

por un réplica exacta de la portadora, y (ii) pasamos el producto por un filtro de pasabajas, como se

describe bajo detección coherente en esta sección. Con dos etapas operacionales involucradas en el proceso

de detección coherente, los resultados de esta parte del experimento se presenta en la forma siguiente.

107

(i) La Fig. 3.15(a) exhibe la forma de onda de la salida del modulador de producto en el detector

coherente. El espectro de magnitud se muestra en la Fig. 3.15(b), la cual muestra que la forma de onda

consiste de las componentes siguientes:

Una componente sinusoidal con frecuencia 0.05 Hz, que representa la onda moduladora

sinusoidal.

Una nueva onda modulada DSB-SC con portadora doble de 0.8 Hz; en realidad, las dos

frecuencias laterales de esta onda modulada están ubicadas en 0.75 y 0.85 Hz, exactamente donde

deben estar.

(ii) La Fig. 3.15(c) muestra la forma de onda de la salida completa del detector coherente, la cual resulta

después de pasar la salida del modulador de producto por el filtro de pasabajas. Excepto por los

efectos transitorios experimentados al comienzo en el proceso de detección, la forma de onda se

reconoce como la onda moduladora sinusoidal deseada de frecuencia 0.05 Hz. Este resultado también

es confirmado en el espectro de amplitud exhibido en la Fig. 3.15(d); el pedestal sobre el cual reposta la

componente de la frecuencia de línea en 0.05 Hz se debe a los efectos transitorios que se acaban de

describir.

3.4 Receptor de Costas

La detección coherente de una onda modulada DSB-SC requiere que la portadora generada localmente en el

receptor esté sincronizada en frecuencia y en fase con el oscilador responsable de generar la portadora en el

transmisor. Éste es un requisito bastante exigente, sobre todo puesto que la portadora es suprimida de la señal

DSB-SC transmitida. Un método de satisfacer este requisito es usar el receptor de Costas mostrado en la Fig. 3.16.

Este receptor consiste de dos detectores coherentes alimentados con la misma señal de entrada – a saber, la onda

DSB-SC entrante cos 2 ( )c cA f t m t , pero con dos señales del oscilador local que están en cuadratura de fase

entre sí. La frecuencia del oscilador local se ajusta para que sea la misma que la frecuencia portadora cf ; se

supone que es conocida a priori. Esta suposición es razonable ya que el diseñador del sistema tiene acceso a las

especificaciones detalladas tanto del transmisor como del receptor. El detector en la trayectoria superior se

conoce como el detector coherente con la fase de entrada o canal I, y el detector en la trayectoria inferior se denomina

el detector coherente con la fase en cuadratura o canal Q. Estos dos detectores están acoplados para formar un

sistema de realimentación negativa diseñado de tal forma que mantiene al oscilador local en sincronismo con la

onda portadora.

Para entender la operación de este receptor, supóngase que la señal del oscilador local es de la misma fase que

la de la onda portadora cos 2c cA f t usada para generar la onda DSB-SC entrante. Bajo estas condiciones,

encontramos que la salida del canal I contiene la señal demodulada m(t) deseada, en tanto que la salida del canal

Q es cero debido al efecto de cuadratura nula del canal Q. Supóngase ahora que la fase del oscilador local se

desvía de su valor exacto por una pequeño ángulo de radianes. Del análisis de la detección coherente en la

Sección 3.3 sabemos que la salida del canal I es proporcional a cos y cos 1 para pequeño; por tanto, la

salida del canal I permanece esencialmente sin cambios siempre y cuando sea pequeño. Pero ahora habrá

alguna señal, aunque pequeña, apareciendo en la salida del canal Q, la cual es proporcional a sen para

pequeño. Entonces, al combinar las salidas de los canales I y Q en un discriminador de fase (el cual consiste de un

multiplicador seguido por una unidad que promedia en el tiempo), se genera una señal de control de cd

108

proporcional a la desviación de fase generada. Con realimentación negativa actuando alrededor del receptor

de Costas, la señal de control tiende a corregir automáticamente el error de fase en el oscilador controlado por

voltaje.

FIGURA 3.16 Receptor de Costas para la demodulación de una onda modulada DSB-SC.

Es claro que el control de la fase en el receptor de Costas se detiene con la modulación, lo que quiere decir que

el enganche o adquisición de fase tendría que restablecerse con la reaparición de la modulación. Éste no es un

problema serio, porque el proceso de enganche ocurre tan rápidamente que la distorsión no es perceptible.

Problema de Práctica 3.8 Como se acaba de mencionar, los discriminadores de fase en el receptor de Costas

de la Fig. 3.16 consisten de un multiplicador seguido por una unidad de promediar en el tiempo.

Remitiéndonos a esta figura, haga lo siguiente:

(a) Suponiendo que el error de fase es pequeño comparado con un radián, demuestre que la salida g(t)

de la componente multiplicadora es aproximadamente 214

( )m t .

(b) Adicionalmente, si se pasa g(t) por la unidad de promediar en el tiempo definida por

1( )

2

T

Tg t dt

T

donde el intervalo del promedio 2T es suficientemente largo comparado con el recíproco del ancho de

banda de g(t), demuestre que la salida del discriminador de fase es proporcional al error de fase

multiplicado por la componente de cd de 2( )m t . La amplitud de esta señal (actuando como la señal de

109

control aplicada al oscilador controlado por voltaje en la Fig. 3.16) tendrá entonces el mismo signo

algebraico que el error de fase , que es como debe ser.

3.5 Multiplexado de Portadora en Cuadratura

El efecto del nulo de cuadratura del detector coherente también puede aprovecharse en la construcción del

llamado multiplexor de portadora en cuadratura o modulador de amplitud de cuadratura (QAM). Este esquema

permite que dos ondas moduladas DSB-SC (resultantes de la aplicación de dos señales de mensaje físicamente

independientes) ocupen el mismo ancho de banda del canal y al mismo tiempo admite la separación de las dos

señales del mensaje en la salida del receptor. Por tanto, el multiplexor por cuadratura de portadora es un sistema

de conservación de ancho de banda.

En la Fig. 3.17 se muestra un diagrama de bloques de este sistema. La parte del transmisor del sistema,

mostrada en la Fig. 3.17(a), involucra el uso de dos moduladores de producto separados que son alimentados

con dos ondas portadoras de la misma frecuencia pero que difieren en fase por 90 grados. La señal transmitida

s(t) está formada por la suma de estas dos salidas de los moduladores de productos, como muestra la relación

1 2( ) ( )cos 2 ( )sen 2c c c cs t A m t f t A m t f t (3.12)

donde 1 2( ) y ( )m t m t denotan las dos señales de mensaje diferentes aplicadas a los moduladores de producto. La

señal multiplexada s(t) ocupa un ancho de banda del canal de 2W centrado en la frecuencia portadora cf , donde

W es el ancho de banda del mensaje, supuesto común a ambos mensajes 1 2( ) y ( )m t m t . De acuerdo con (3.12),

podemos considerar a 1( )cA m t como la componente en fase de la señal de pasabanda multiplexada s(t) y a

2( )cA m t como su componente en cuadratura.

La parte receptor del sistema se muestra en la Fig. 3.17(b). Específicamente, la señal multiplexada s(t) se aplica

simultáneamente a dos detectores coherentes separados que son alimentados por dos portadoras locales de la

misma frecuencia, pero que difieren en fase por 90 grados. La salida del detector superior es 112( )c cA A m t , en

tanto que la salida del detector inferior es 122( )c cA A m t . Para que el sistema opere satisfactoriamente, es

importante mantener las relaciones correctas de fase y frecuencia entre el oscilador usado para generar las

portadoras en el transmisor y el correspondiente oscilador local usado en el receptor.

Para mantener esta sincronización, podemos usar un receptor de Costas descrito en la Sección 3.4. Otro

método usado comúnmente es enviar la señal piloto fuera de la pasabanda de la señal modulada. En este último

método, la señal piloto consiste típicamente de un tono sinusoidal de baja potencia cuya frecuencia y fase están

relacionadas con la onda portadora ( ) cos 2c cc t A f t . En el receptor, la señal piloto es extraída por medio de

un circuito sintonizado apropiado y después trasladada a la frecuencia correcta para su uso en el detector

coherente.

Problema de Práctica 3.9 Verifique que las salidas del receptor en la Fig. 3.17(b) son como se indica en esta

figura, suponiendo un sincronismo perfecto entre el receptor y el transmisor.

110

FIGURA 3.17 Sistema de multiplexado por portadora en cuadratura. (a) Transmisor, (b) receptor.

3.6 Modulación de Banda Lateral Única

Al suprimir la portadora, la modulación DSB-SC resuelve una limitación importante de la AM relacionada con el

desperdicio de potencia transmitida. Para solventar la otra limitación importante de la AM que pertenece al

ancho de banda del canal, necesitamos suprimir una de las dos bandas laterales en la onda modulada DSB-SC.

Esta modificación de la modulación DSB-SC es precisamente lo que se hace en la modulación de banda lateral única

(SSB, por sus siglas en inglés). En efecto, la modulación SSB depende solamente de la banda lateral inferior o de

la superior para transmitir la señal del mensaje por un canal de comunicaciones. Dependiendo de cuál banda

lateral se transmite realmente, hablamos de modulación de SSB inferior o SSB superior.

TEORÍA

Una deducción rigurosa de la modulación SSB que aplique a una señal de mensaje arbitraria es bastante exigente

y por tanto más allá del alcance de este libro. Para simplificar las cosas, tomaremos un camino diferente al usado

en la Sección 1.1 sobre la AM y en la Sección 3.3 sobre la DSB-SC. Específicamente, comenzamos el estudio de la

modulación SSB considerando primero el caso sencillo de una onda moduladora sinusoidal, y después

generalizamos los resultados para una señal moduladora arbitraria en un proceso de paso por paso.

Entonces, para continuar considérese un modulador DSB-SC que usa la onda moduladora sinusoidal

( ) cos 2m mm t A f t .

Con la portadora ( ) cos 2c cc t A f t , la onda modulada DSB-SC resultante se define por

111

DSB( ) ( ) ( )

cos 2 cos 2

1 1 cos 2 cos 2

2 2

c m m c

c m c m c m c m

S t c t m t

A A f t f t

A A f f t A A f f t

(3.13)

la cual es caracterizada por dos frecuencias laterales, una en c mf f y la otra en c mf f . Supongamos que nos

gustaría general una onda modulada SSB que retenga la frecuencia lateral superior c mf f . Entonces,

suprimiendo en segundo término en la Ec. (3.13), podemos expresar la onda modulada SSB como

USSB

1( ) cos 2

2 c m c mS t A A f f t (3.14)

El término coseno en la Ec. (3.14) incluye la suma de dos ángulos – a saber, 2 y 2c mf t f t . Por tanto,

expandiendo el término coseno en la Ec. (3.14) usando una conocida identidad trigonométrica, obtenemos

USSB

1 1( ) cos 2 cos 2 sen 2 sen 2

2 2c m c m c m c mS t A A f t f t A A f t f t (3.15)

Si, por otra parte, fuésemos a retener la frecuencia lateral inferior en c mf f en la onda modulada DSB-SC de la

Ec. (3.13), entonces tendríamos una onda modulada SSB inferior definida por

USSB

1 1( ) cos 2 cos 2 sen 2 sen 2

2 2c m c m c m c mS t A A f t f t A A f t f t (3.16)

Examinando las Ecs. (3.15) y (3.16), vemos que ellas difieren entre sí en solamente un respecto: el signo menos en

la Ec. (3.15) es reemplazado con el signo más en la Ec. (3.16). En consecuencia, podemos combinar estas dos

ecuaciones y así definir una onda modulada SSB en la forma siguiente:

SSB

1 1( ) cos 2 cos 2 sen 2 sen 2

2 2c m c m c m c mS t A A f t f t A A f t f t (3.17)

donde el signo más aplica a la SSB inferior y el signo menos aplica a la SSB superior.

Con la generalización de la Ec. (3.17) como el objetivo, ahora procedemos en dos etapas. En la etapa 1,

permitimos que la señal del mensaje sea periódica; y en la etapa 2, la tomamos como no periódica.

Consideremos entonces una señal de mensaje periódica definida por la serie de Fourier

( ) cos 2n n

n

m t a f t (3.18)

la cual consiste de una mezcla de ondas sinusoidales con frecuencias relacionadas armónicamente.

Reconociendo que la portadora c(t) es común a todas las componentes sinusoidales de m(t), podemos entonces

inferir de inmediato a partir de la Ec. (3.17) la expresión

SSB

1 1( ) cos 2 cos 2 sen 2 sen 2

2 2c c n n c c n n

n n

S t A f t a f t A f t a f t (3.19)

como la fórmula correspondiente para la onda modulada SSB.

A continuación, consideremos otra señal periódica definida por la serie de Fourier

ˆ ( ) sen 2n n

n

m t a f t (3.20)

112

que tiene una forma semejante a la de la Ec. (3.18) excepto por el hecho de que el término coseno cos 2 cf t es

reemplazado por el término sen 2 cf t . Entonces, a la luz de las definiciones en las Ecs. (3.19) y (3.20), podemos

reformular la onda modulada SSB de la Ec. (3.17) como

SSBˆ( ) ( )cos 2 ( )sen 2

2 2c c

c c

A AS t m t f t m t f t (3.21)

Comparando la Ec. (3.20) con la Ec. (3.18), observamos que la señal periódica ˆ ( )m t puede deducirse a partir de la

señal moduladora periódica m(t) con simplemente desplazar la fase de cada término coseno en la Ec. (3.18) por

90°.

En términos tanto técnicos como prácticos, la observación que acabamos de hacer es muy importante por dos

razones:

1. Sabemos, por el análisis de Fourier, que bajo condiciones apropiadas, la representación en serie de Fourier de una

señal periódica converge a la transformada de Fourier de una función no periódica; véase el Apéndice 2 para los

detalles.

2. La señal ˆ ( )m t es la transformada de Hilbert de la señal m(t). Básicamente, una transformada de Hilbert es un

sistema cuya función de transferencia se definida por

( ) sgn( )H f j f (3.22)

donde sgn( )f es la función signo; para la definición de la función signo véase la Sección 2.4. En palabras, el

transformador de Hilbert es un desplazador de fase de banda ancha cuya respuesta de frecuencia es

caracterizada en dos partes en la forma siguiente (véase el Problema 2.52):

La respuesta de magnitud es igual a la unidad para todas las frecuencias, tanto positivas como

negativas.

La respuesta de fase es +90° para frecuencias negativas y 90° para frecuencias positivas.

Equipados analíticamente en la forma descrita bajo los puntos 1 y 2, podemos finalmente generalizar la Ec. (3.21)

como la fórmula para una onda modulada como banda lateral única producida por una señal de mensaje, sea

esta periódica o no periódica. Específicamente, dada una señal de mensaje Fourier transformable m(t) con su

transformada de Hilbert denotada por ˆ ( )m t , la onda modulada SSB producida por m(t) se define por

ˆ( ) ( )cos 2 ( )sen 22 2

c cc c

A As t m t f t m t f t (3.23)

donde cos 2c cA f t es la portadora y sen 2c cA f t es su versión desfasada en 90°; los signos más y menos

aplican a la SSB inferior y a la SSB superior, respectivamente. En la Ec. (3.23), hemos omitido el uso de SSB como

un subíndice para s(t), y se sobreentiende que esta ecuación se refiere a modulación SSB en su forma más

genérica.

Problema de Práctica 3.10 Usando las Ecs. (3.22) y (3.23), demuestre que para frecuencias positivas, los

espectros de las dos clases de ondas moduladas SSB se definen en la forma siguiente:

(a) Para la SSB superior,

113

, para

2( )

0, para 0

cc c

c

AM f f f f

S f

f f

(3.24)

(b) Para la SSB inferior,

0, para

( ), para 0

2

c

cc c

f f

S f AM f f f f

(3.25)

Problema de Práctica 3.11 Demuestre que si la señal del mensaje m(t) es de pasabajas, entonces la

transformada de Hilbert ˆ ( )m t también es de pasabajas con exactamente el mismo ancho de banda que m(t).

MODULADORES PARA SSB

En vista de la teoría presentada en esta sección, podemos desarrollar tos métodos para generar ondas

moduladas SSB, como se describe a continuación.

FIGURA 3.18 (a) Espectro de una señal de mensaje m(t) con brecha de energía

centrada alrededor de la frecuencia cero. Espectros correspondientes de ondas

moduladas SSB usando (b) banda lateral superior y (c) banda lateral inferior. En

las partes (b) y (c), los espectros se muestran solamente para frecuencias positivas.

114

Las dos fórmulas espectrales definidas en las partes (a) y (b) del Problema 3.10 son intuitivamente satisfactorias.

En particular, ambas están en perfecto acuerdo con las dos gráficas mostradas en las partes (b) y (c) de la Fig.

3.18, respectivamente. La Fig. 3.18(b) describe el otro tipo de modulación SSB que ha retenido la banda lateral

inferior. Desde una perspectiva práctica, el único punto que distingue un tipo de modulación SSB del otro es el

del ancho de banda ocupado.

Método de Discriminación de Frecuencias

Un método directo para la generación de SSB, denominado el método de discriminación de frecuencias, se muestra

en la Fig. 3.19; este discriminador se obtiene directamente a partir de las Ecs. (3.24) y (3.25) presentadas en el

Problema 3.10. El modulador SSB de la Fig. 3.19 consiste de dos componentes: un modulador de producto

seguido por un filtro de pasabanda. El modulador de producto produce una onda modulada DSB-SC con una

banda lateral superior y una banda lateral inferior. El filtro de pasabanda está diseñado para transmitir una de

estas dos bandas laterales, dependiendo de si la modulación deseada es la SSB superior o la inferior. Para que el

diseño del filtro de pasabanda sea prácticamente factible, debe haber una cierta separación entre las dos bandas

laterales y ella debe ser lo suficientemente ancha para acomodar la banda de transición del filtro de pasabanda.

Esta separación es igual a 2 af , donde af es la componente de frecuencia más baja de la señal del mensaje, como

se ilustra en la Fig. 3.18. Este requerimiento restringe la aplicabilidad de la modulación SSB a señales de voz para

las cuales 100 Hzaf , pero la imposibilita para señales de video y datos de computadoras cuyo contenido

espectral se extiende hasta una frecuencia casi igual a cero.

FIGURA 3.19 Esquema de un discriminador de frecuencias para la generación de una onda modulada SSB.

Método de Discriminación de Fase

El segundo método para la generación de SSB, denominado el método de discriminación de fase, se muestra en la

Fig. 3.20; su implementación se obtiene a partir de la descripción en el dominio del tiempo de las ondas SSB

definidas en la Ec. (3.23). Este segundo demodulador SSB consiste de dos trayectorias paralelas, una llamada la

trayectoria en fase, y la otra llamada la trayectoria en cuadratura. Cada trayectoria involucra un modulador de

producto. Las ondas portadoras sinusoidales aplicadas a los dos moduladores de producto están en cuadratura de

fase, lo cual se obtiene usando simplemente un desplazador de fase de 90° como se muestra en la Fig. 3.20. Sin

embargo, el bloque funcional en la Fig. 3.20 que requiere atención especial es el desplazador de fase de banda ancha,

el cual se diseña para producir la transformada de Hilbert ˆ ( )m t . El papel de la trayectoria en cuadratura que

contiene el desplazador de banda ancha es simplemente el de interferir con la trayectoria en fase para eliminar

potencia en una de las dos bandas laterales, dependiendo de si el requerimiento es la SSB superior o la SSB

inferior.

115

FIGURA 3.20 Método del discriminador de fase para generar una onda modulada SSB.

Nota: El signo más en la unión de suma pertenece a la transmisión de la banda lateral inferior y

el signo menos pertenece a la transmisión de la banda lateral superior.

Los dos moduladores de las Figs. 3.19 y 3.20 son claramente bastante diferentes en sus estructuras. En términos

del reto del diseño, el filtro de pasabanda en el discriminador de frecuencias de la Fig. 3.19 se destaca como el

bloque funcional que requiere atención especial. Por otra parte, en el discriminador de fase de la Fig. 3.20, el que

requiere atención especial es el desplazador de fase de banda ancha.

DETECCIÓN COHERENTE DE SSB

La demodulación de DSB-SC es complicada por la supresión de la portadora en la señal transmitida. Para

compensar por la ausencia de la portadora en la señal recibida, el receptor recurre al uso de detección coherente, lo

que requiere sincronización de un oscilador local en el receptor con el oscilador responsable por la generación de

la portadora en el transmisor. El requisito de sincronización tiene que ser tanto en faso como en frecuencia.

Aunque la portadora es suprimida, la información en la fase y frecuencia de la portadora está insertada en las

bandas laterales de la onda modulada, lo cual es aprovechado en el receptor. Sin embargo, la demodulación de

la SSB es complicada todavía más por la supresión adicional de la banda lateral superior o la inferior. Sin

embargo, en realidad las dos bandas comparten una propiedad importante: una es la imagen de la otra con

respecto a la portadora. Aquí de nuevo aparece la detección coherente para rescatar la demodulación de la SSB.

El detector coherente de la Fig. 3.12 aplica igualmente bien en la demodulación de tanto la DSB-SC como de la

SSB; la única diferencia entre estas dos aplicaciones es cómo se define la onda modulada s(t).

Problema de Práctica 3.12 Para que el filtro de pasabajas en la Fig. 3.12 (suponiendo sincronización

perfecta) suprima la onda SSB no deseada, se debe satisfacer la siguiente condición:

, frecuencia portador y ancho de banda del mensajec cf W f W

Justifique esta condición.

116

Problema de Práctica 3.13 Comenzando con la Ec. (3.23) para una onda modulada SSB, demuestre que la

salida producida por el detector coherente de la Fig. 3.12 en respuesta a esta onda modulada es definida por

( ) ( )4c c

o

A Av t m t

Suponga que el error de fase = 0 en la Fig. 3.12.

TRASLACIÓN DE FRECUENCIAS

La operación básica realizada en la modulación de una sola banda lateral es de hecho una forma de traslación de

frecuencias, que es la razón por la cual algunas veces a la modulación de banda lateral única se le refiere como

cambio de frecuencias, mezclado o heterodinaje.

La idea de la modulación de banda lateral única ha sido presentada hasta ahora en el contexto de una señal de

mensaje original. Esta idea puede generalizarse para cubrir la traslación de frecuencia en la forma siguiente.

Supóngase que tenemos una onda modulada 1( )s t cuyo espectro está centrado en una frecuencia portadora 1f ,

y el requerimiento es trasladar la hacia arriba o hacia abajo en frecuencia, de modo que la frecuencia portadora

se cambie de 1f a un nuevo valor 2f . Este requerimiento se logra usando un mezclador. Como se ilustra en la Fig.

3.21, el mezclador es un bloque funcional que consiste de un modulador de producto seguido por un filtro de

pasabanda, como lo es un modulador SSB convencional pero con una diferencia importante: el filtro de

pasabanda ahora se diseña directamente, como se explica a continuación.

Específicamente, para explicar la acción del mezclador, considérese la situación espectral mostrada en la Fig.

3.22(a), donde, como ilustración, se supone que la entrada al mezclador 1( )s t es una onda con frecuencia

portadora 1f y ancho de banda 2W. La Fig. 3.21(b) exhibe el espectro ( )S f de la señal resultante ( )s t producida

en la salida del modulador de producto en la Fig. 3.21.

FIGURA 3.21 Diagrama de bloques de un mezclador.

La señal ( )s t puede considerarse como la suma de dos componentes moduladas: una representada por el

espectro sombreado en la Fig. 3.22(b), y la otra representada por el espectro no sombreado en esta figura.

Dependiendo de si la frecuencia portadora entrante 1f se va a trasladar hacia arriba o hacia abajo, ahora

podemos identificar dos situaciones diferentes:

(i) Conversión hacia arriba. En esta forma de mezclado, la frecuencia portadora trasladada, denotada por 1f , es

mayor que la frecuencia portadora entrante 1f . La frecuencia requerida del oscilador local lf es entonces

definida por

117

Por tanto, despejando lf , se obtiene

2 1lf f f

En esta situación, la parte no sombreada del espectro en la Fig. 3.22(b) define la señal convertida hacia

arriba 2( )s t , y la parte sombreada de este espectro define la señal imagen asociada con 2( )s t , la cual es

removida por el filtro de pasabanda en la Fig. 3.21. Por razones obvias, el mezclador en este caso se conoce

como el convertidor de frecuencias hacia arriba.

(ii) Conversión hacia abajo. En esta segunda forma de mezclado, la frecuencia portadora trasladada 2f es más

baja que la frecuencia portadora entrante 1f , como muestra la relación

1 2lf f f

La imagen que tenemos ahora es la inversa de la perteneciente a la conversión hacia arriba. En particular, la

parte sombreada del espectro en la Fig. 3.22(b) define la señal convertida hacia abajo 2( )s t , y la parte no

sombreada de este espectro define la señal de imagen asociada. En consecuencia, este segundo mezclador

se conoce como un convertidor de frecuencias hacia abajo. Observe que en este caso, la frecuencia portadora

trasladada 2f tiene que ser mayor que W (por ejemplo, la mitad del ancho de banda de la señal modulada

entrante 2( )s t para evitar solapamiento.

FIGURA 3.22 (a) Espectro de la señal modulada 1( )s t en la entrada del mezclador. (b) Espectro de la

señal correspondiente ( )s t en la salida del modulador de producto en el mezclador.

Ahora debe ser claro el objetivo del filtro de pasabanda de la Fig. 3.21: pasar la señal 2( )s t y eliminar la señal

de imagen asociada. Este objetivo se logra alineando la frecuencia de la banda media del filtro con la frecuencia

portadora trasladada 2f y asignándole un ancho de banda igual al de la señal modulada entrante 1( )s t .

118

Indiferentemente de si la conversión de frecuencia es hacia arriba o hacia abajo, se permite que la banda de

transición del filtro ocupe la banda de 1 lf f W hasta 1 lf f W ; es decir, el ancho permisible de la banda de

transición es 2 lf W , lo que, efectivamente, requiere que la frecuencia del oscilador local lf sea mayor que W.

Además, para evitar solapamiento espectral en la conversión hacia abajo, también se requiere que 1 lf f W sea

mayor que cero; es decir, 1lf f W .

Es importante señalar que el mezclado es una operación lineal. En consecuencia, la relación existente entre las

bandas laterales de la onda modulada entrante y la portadora original en la entrada del mezclador es

conservada totalmente en la salida del mezclador.

3.7 Modulación de Banda Lateral Residual

MOTIVACIÓN

La modulación de banda lateral única funciona satisfactoriamente para una señal portadora de información (por

ejemplo, una señal de voz) con una banda de energía centrada alrededor de la frecuencia cero. Sin embargo,

para la transmisión espectralmente eficiente de señales de banda ancha, tenemos que usar un nuevo método de

modulación por dos razones:

1. Típicamente, los espectros de señales de banda ancha (ejemplificados por la señal de video en la televisión y

por datos de computadora) contienen bajas frecuencias significativas, la que hace impráctico el uso de la

modulación SSB.

2. Las características espectrales de datos de banda ancha se corresponden con el uso de la DSB-SC. Sin

embargo, la DSB-SC requieren de un ancho de banda de transmisión igual al doble del ancho de banda del

mensaje, lo que viola el requisito de conservación del ancho de banda.

Para superar estas dos limitaciones prácticas, necesitamos un método de modulación de compromiso que esté en

algún punto entre la SSB y la DSB-SC en sus características espectrales. La modulación de banda lateral residual, el

esquema de modulación que falta por considerar en esta sección, es ese esquema de compromiso.

La modulación de banda lateral residual (VSB, por sus siglas en inglés) se diferencia de la modulación SSB en

dos aspectos prácticos:

1. En vez de remover completamente una banda lateral, se transmite una traza o residuo de esa banda lateral;

de allí el nombre de “banda lateral residual”.

2. En vez de transmitir toda la otra banda lateral, también se transmite casi toda esta segunda banda.

Por tanto, el ancho de transmisión de una señal modulada VSB se define por

T vB f W

donde vf es el ancho de residual y W es el ancho de banda del mensaje. Típicamente, vf es 25 por ciento de W, lo que

significa que el ancho de banda VSB TB está entre el ancho de banda SSB, W, y el ancho de banda DSB-SC, 2W.

119

FILTRO DE CONFORMADO DE LAS BANDAS LATERALES

Para producir la modulación VSB, podemos usar el modulador mostrado en la Fig. 3.23, el cual consiste de un

modulador de producto seguido por un filtro de pasabanda. Para la modulación VSB, el filtro de pasabanda se

conoce como un filtro de conformado de banda lateral. Suponiendo que el residuo de la VSB está en la banda lateral

inferior de la onda modulada DSB-SC, el espectro VSB en la salida del modulador es conformado en una forma

como la ilustrada en la Fig. 3.24(a). El conformado del espectro lo define la función de transferencia del filtro, la

cual se denota por ( )H f . El único requisito que debe satisfacer el conformado de banda lateral realizado por

( )H f es que el residuo transmitido compense la porción espectral que falta en la otra banda lateral. Este requisito

asegura que una detección coherente de la onda modulada VSB recuperará una réplica de la señal del mensaje,

excepto por un escalamiento en la amplitud.

FIGURA 3.23 Modulador VSB que usa discriminación de frecuencias.

Imponiendo este requisito sobre el proceso de demodulación VSB, se obtiene que el filtro de conformado de

banda lateral debe él mismo satisfacer la condición siguiente:

1, para c cH f f H f f W f W (3.26)

donde cf es la frecuencia de la portadora. El término cH f f es la componente de frecuencias positivas de la

función de transferencia ( )H f desplazada hacia la izquierda por cf , y cH f f es la componente de

frecuencias positivas de la función de transferencia ( )H f desplazada hacia la derecha por cf . Una demostración

de la Ec. (3.26) que trata con una señal de mensaje arbitraria y Fourier transformable se presenta más adelante en

esta sección en la detección coherente de la VSB.

De la Ec. (3.26) se deducen dos propiedades del filtro de conformado de bandas laterales:

1. La función de transferencia del filtro de conformado de bandas laterales exhibe simetría impar en torno a l frecuencia

portadora cf . Para explicar esta propiedad, primero expresamos ( )H f como la diferencia entre dos

funciones de frecuencias desplazadas en la forma siguiente:

( ) para c v c c v cH f u f f H f f f f f f W (3.27)

El primer término cu f f denota la versión desplazada en frecuencia de la función escalón unitario en

frecuencia u(f), la cual se muestra en la Fig. 3.24(b). Es decir,

1, para 0

( )0, para 0

fu f

f

(3.28)

120

El segundo término v cH f f denota la versión desplazada en frecuencia de una nueva función de

transferencia de pasabajas ( )vH f , que, como se muestra en la Fig. 3.24(c), es determinada completamente por

el residuo de la onda modulada s(t). La relación definida en la Ec. (3.27) se obtiene rápidamente a partir de

las tres partes del ejemplo de la Fig. 3.24. El punto importante a observar de la parte (c) de la figura es que

( )vH f satisface la propiedad de simetría impar en torno a la frecuencia cero, como muestra la relación

v vH f H f (3.29)

Por tanto, es en este sentido que se expresa la Propiedad 1.

2. La función de transferencia ( )vH f debe satisfacer la condición de la Ec. (3.26) solamente para el intervalo de

frecuencias W f W, donde W es el ancho de banda del mensaje. La consecuencia práctica de esta segunda

propiedad es que, para el caso de la VSB mostrada en la Fig. 3.24(a), la función de transferencia del filtro de

conformado de bandas laterales puede tener una especificación arbitraria para cf f W ; ésta es la razón

por la cual la parte del espectro que está por encima de cf W se muestra punteada en la Fig. 3.24(a).

EJEMPLO 3.3 VSB Sinusoidal

Considérese el ejemplo sencillo de modulación VSB sinusoidal producida por la onda moduladora

( ) cos 2m mm t A f t

y la onda portadora

( ) cos 2c cc t A f t

Supóngase que la frecuencia lateral superior en c mf f como también su imagen c mf f son atenuadas por

el factor k. Para satisfacer la condición de la Ec. (.26), la frecuencia lateral inferior en c mf f y su imagen

c mf f deben ser atenuadas por el factor (1 k). El espectro VSB es entonces

1( )

4

1 1

4

c m c m c m

c m c m c m

S f kA A f f f f f f

k A A f f f f f f

De forma correspondiente, la onda sinusoidal modulada VSB es definida por

1( ) exp 2 exp 2

4

1 1 exp 2 exp 2

4

1 1 cos 2 cos 2

2 2

c m c m c m

c m c m c m

c m c m c m c m

s t kA A j f f t j f f t

k A A j f f t j f f t

kA A f f t kA A f f t

(3.30)

Usando identidades trigonométricas conocidas para expandir los términos coseno cos 2 c mf f t y

cos 2 c mf f t , podemos reformular la Ec. (3.30) como la combinación lineal de dos ondas sinusoidales

moduladas DSB-SC:

121

FIGURA 3.24 (a) Respuesta de amplitud del filtro de conformado de bandas laterales;

sólo se muestra la parte de frecuencias positivas, la parte punteada de la respuesta de

amplitud es arbitraria. (b) La función escalón unitario definida en el dominio de la

frecuencia. (c) Función de transferencia de pasabajas ( )vH f .

1 1

( ) cos 2 cos 2 1 2 sen 2 sen 22 2c m c m c m c ms t A A f t f t A A k f t f t (3.31)

donde el primer término en el lado derecho es la componente en fase de s(t) y el segundo término es la

componente de cuadratura.

Para resumir, dependiendo de cómo se define el factor de atenuación k en la Ec. (3.31) en el intervalo (0, 1),

podemos identificar todas las diferentes formas sinusoidales de ondas moduladas linealmente en las Secciones

3.3, 3.6 y 3.7 en la forma siguiente:

1. 1

2k , para la cual s(t) se reduce a la DSB-SC.

2. 0k , para la cual s(t) se reduce a la SSB inferior.

122

1k , para la cual s(t) se reduce a la SSB superior.

3. 1

02

k , para la cual la versión atenuada de la frecuencia lateral superior define el residuo de s(t).

11

2k , para la cual la versión atenuada de la frecuencia lateral inferior define el residuo de s(t).

DETECCIÓN COHERENTE DE LA VSB

Para una recuperación exacta de la señal del mensaje m(t) a partir de la onda modulada VSB s(t), excepto por

algún escalamiento de amplitud, podemos usar el detector coherente mostrado en la Fig. 3.12. Igual que con las

demodulaciones DSB-SC y SSB estudiadas previamente, la demodulación de la VSB consiste de multiplicar s(t)

por una sinusoide generada localmente y después filtrar la señal producto resultante v(t). Se supone que la

sinusoide local en el detector coherente de la Fig. 3.12 está en sincronismo perfecto con la portadora en el

modulador responsable de generar la onda modulada VSB. Entonces, igualando a cero la fase en la sinusoide

local en l Fig. 3.12, expresamos la transformada de Fourier de la señal producto

( ) ( )cos 2c cv t A s t f t

en la forma siguiente:

1

( )2 c c cV f A S f f S f f (3.32)

donde

( ) ( )s t S f

A continuación expresamos la transformada de Fourier de la onda modulada VSB s(t) como

1

( ) ( )2 c c cS f A M f f M f f H f (3.33)

la cual se deduce de la Fig. 3.23 que muestra el modulador VSB; ( )M f es el espectro del mensaje y ( )H f es la

función de transferencia del filtro de conformado de las bandas laterales. El desplazamiento del espectro VSB

( )S f hacia la derecha por cf produce

1

2 ( )2c c c cS f f A M f f M f H f f (3.34)

y desplazándolo hacia la izquierda por cf produce

1

22c c c cS f f A M f M f f H f f (3.35)

Por tanto, al sustituir las Ecs. (3.34) y (3.35) en la Ec. (3.32) y después combinando términos, obtenemos

1( ) ( )

4

1 2 2

4

c c c c

c c c c c c

V f A A M f H f f H f f

A A M f f H f f M f f H f f

que, en vista de la condición impuesta sobre ( )H f en l Ec. (3.26), se reduce a

123

1 1

( ) ( ) 2 24 4c c c c c c c cV f A A M f A A M f f H f f M f f H f f (3.36)

El primer término en el lado derecho de la Ec. (3.36) es una versión escalada del espectro del mensaje ( )M f . El

segundo término de la Ec. (3.36) es la transformada de Fourier de las componentes de alta frecuencia y

representan una nueva onda VSB modulada sobre una frecuencia portadora de 2 cf . Siempre que el filtro de

pasabajas en el detector coherente de la Fig. 3.12 tenga una frecuencia de corte algo ligeramente mayor que el

ancho de banda del mensaje, las componentes de alta frecuencia de ( )v t serán removidas por el filtro de

pasabajas. La señal demodulada resultante es una versión escalada de la señal del mensaje deseada m(t).

Problema de Práctica 3.14 Valide la aseveración de que las componentes de alta frecuencia en la Ec. (3.36)

representan una onda VSB modulada sobre una portadora de frecuencia 2 cf

EJEMPLO 3.4 Detección coherente de VSB sinusoidal

Recuerde de la Ec. (3.31) del Ejemplo 3.3, que la señal VSB con modulación sinusoidal se define como

1 1

( ) cos 2 cos 2 1 2 sen 2 sen 22 4c m m c c m m cs t A A f t f t A A k f t f t

Multiplicando s(t) por cos 2c cA f t en concordancia con una detección coherente perfecta da la señal producto

2

( ) ( )cos 2

1 1 cos 2 cos 2 1 2 sen 2 sen 2 cos 2

2 2

c c

c c m m c c c m m c c

v t A s t f t

A A A f t f t A A A k f t f t f t

Ahora, usando las identidades trigonométricas

2 1cos 2 1 cos 4

2c cf t f t

y

1

sen 2 cos 2 sen 42c c cf t f t f t

podemos redefinir v(t) como

1( ) cos 2

4

1 cos 2 cos 4 1 2 sen 2 sen 4

4

c c m m

c c m m c m c

v t A A A f t

A A A f t f t k f t f t

(3.37)

El primer término en el lado derecho de la Ec. (3.37) es un versión escalada de la señal del mensaje

cos 2m mA f t . El segundo término de la ecuación es una nueva onda modulada VSB sinusoidal sobre una

portadora de frecuencia 2 cf , que representa las componentes de alta frecuencia de v(t). Este segundo término es

eliminado por el filtro de pasabajas en el detector de la Fig. 3.12, siempre y cuando la frecuencia de corte del

filtro sea algo ligeramente mayor que la frecuencia del mensaje mf .

124

EJEMPLO 3.5 Detección de envolvente de VSB más portadora

La detección coherente de la VSB requiere sincronismo del receptor con el transmisor, lo que incrementa la

complejidad del sistema. Para simplificar el proceso de demodulación, podemos añadir a propósito la portador a

la señal VSB (escalada por el factor ak ) antes de la transmisión y después usar detección de envolvente en el

receptor.3 Suponiendo modulación sinusoidal, la señal “VSB más portadora” se define como

VSB ( ) A cos 2 ( ), factor de sensibilidad de amplitud

A cos 2 cos 2 cos 22

1 2 sen 2 sen 22

1 cos 22

c c c a a

ac c c m m c

ac m m c

ac m m

S t f t k s t k

kf t A A f t f t

kA A k f t f t

kA A f t

cos 2 1 2 sen 2 sen 2

2a

c c m m c

kf t A A k f t f t

Por tanto, la envolvente de VSB ( )cs t

es

1 22 2

2 2

1 22

( ) 1 cos 2 1 2 sen 22 2

1 2 sen 22 1 cos 2 1

21 cos 2

2

a ac m m c m m

am m

ac m m

am m

k ka t A A f t A A k f t

kA k f tk

A A f tk

A f t

(3.38)

La Ec. (3.38) muestra que la componente de cuadratura de la señal VSB sinusoidal contribuye a la distorsión en la

detección de envolvente realizada sobre la envolvente a(t). Esta distorsión puede reducirse usando una

combinación de dos métodos:

Se reduce el factor de sensibilidad de amplitud ak , lo que tiene el efecto de reducir el porcentaje de

modulación.

El ancho de la banda lateral residual es reducido, lo cual tiene el efecto de reducir el factor (1 2k).

3.8 Representación en la Banda Base de Ondas Moduladas y Filtros de Pasabanda

De nuestro análisis de diferentes estrategias de modulación presentadas en este capítulo, vemos que una onda

modulada que usa una onda sinusoidal como portadora es realmente una señal de pasabanda centrada en la

frecuencia portadora. En virtud de este hecho, la onda portadora se imprime ella misma en la estructura de la onda

modulada. En un sentido explícito, eso lo hace cuando la onda portadora es incluida como una componente

separada en la señal transmitida. Cuando la onda portadora es suprimida, se le presenta al receptor en un

3 Otro procedimiento usado para la detección de una onda VSB modulada es añadir un piloto a la onda modulada en el

transmisor. El piloto sería una versión trasladada en frecuencia de la portadora usada en la generación de la onda modulada,

pero está fuera de la banda de frecuencias ocupada por la onda modulada. En el receptor, el piloto es extraído por medio de

un filtro de pasabanda y después trasladado (hacia arriba o hacia abajo) para producir una réplica de la portadora original.

Con esta réplica de la portadora disponible en el receptor, se puede usar detección coherente para recuperar la señal del

mensaje original.

Se puede usar un procedimiento análogo para la detección coherente de ondas moduladas SSB.

125

sentido implícito posicionando las bandas laterales del espectro transmitido alrededor de la frecuencia portadora

en una forma u otra, dependiendo del tipo de modulación usado.

Típicamente, la frecuencia portadora es grande comparada con el ancho de banda del mensaje, lo que hace que

el procesamiento de una onda modulada en una computadora digital sea un proposición difícil. Sin embargo, a

partir de la teoría de la modulación presentada en este capítulo, sabemos que todo el contenido de información

de una señal de mensaje reside completamente en las bandas laterales de la onda modulada. En consecuencia,

cuando el objetivo es procesar una onda modulada en una computadora, el procedimiento eficiente es hacer el

procesamiento en la versión en la banda base de la onda modulada en vez de directamente en la propia onda

modulada. El término “banda base” se usa para designar la banda de frecuencias que representan la señal original en

formar entregada por una fuente de información.

REPRESENTACIÓN DE BANDA BASE DE ONDAS MODULADAS

Considérese una onda genérica modulada linealmente, la cual se define como

( ) ( )cos 2 ( )sen 2l c Q cs t s t f t s t f t (3.39)

Sea

( ) cos 2 cc t f t

la onda portadora con frecuencia cf y

ˆ( ) sen 2 cc t f t

la versión de cuadratura de fase de la portadora. Para simplificar las cosas, sin pérdida de generalidad, hemos

fijado la amplitud de la portadora igual a la unidad. Ahora expresamos la onda modulada en la forma compacta

ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l Qs t s t c t s t c t (3.40)

El término ( )ls t se denomina la componente en fase de la onda modulada s(t), llamada así porque está

multiplicada por la portadora c(t). Por la misma razón, el término ( )Qs t se llama la componente en cuadratura de

fase o simplemente la componente en cuadratura de s(t), llamada así porque está multiplicada por la portadora en

cuadratura ˆ( )c t . Las portadoras ˆ( ) y ( )c t c t son ortogonales entre sí.

La Ec. (3.39) o la Ec. (340) se conocen como la representación canónica de ondas moduladas linealmente. Lo que es

más importante, esta representación incluye todos los miembros de la familia de modulación de amplitud

analizada en este capítulo, como muestra la Tabla 3.1.

De esta tabla, es claramente obvio que el contenido de información de la señal del mensaje m(t) y la forma en la

cual está implementada la estrategia de modulación son descritas completamente por la componente en fase

( )ls t tanto en AM como en DSB-SC, o en la combinación de la componente en fase ( )ls t y la componente en

cuadratura ( )Qs t en SSB y en VSB. Adicionalmente, la ortogonalidad de ( ) y ( )l Qs t s t entre ellas nos mueve a

introducir una nueva señal denominada la envolvente compleja de la onda modulada s(t), que se define

formalmente por

( ) ( ) ( )l Qs t s t js t (3.41)

Esta definición es motivada por la forma en la cual tratamos con números complejos. En cualquier caso, el punto

importante a tomar de la Ec. (3.41) es el hecho de que la envolvente compleja ( )s t cubre completamente los

126

contenidos de información de ( ) y ( )l Qs t s t . Sin embargo, observe que la envolvente compleja ( )s t es una señal

ficticia, cuyo uso tiene sólo la intención de simplificar las operaciones de procesamiento de las señales en señales

de pasabanda, las cuales son ilustradas por las ondas moduladas basadas en una portadora sinusoidal.

En una forma correspondiente a la Ec. (3.41), podemos definir la onda portadora compleja

ˆ( ) ( ) ( ) cos 2 sen 2

exp 2

c c

c

c t c t jc t f t j f t

f t

(3.42)

En consecuencia, la onda modulada s(t) se define por

( ) Re ( ) ( ) Re ( )exp 2 cs t s t c t s t j f t (3.43)

Ahora podemos ver la ventaja práctica de la envolvente compleja ( )s t sobre la onda modulada de valores

reales s(t):

1. La componente de frecuencia más alta de s(t) puede ser tan grande como cf W , donde cf es la frecuencia

portadora y W es el ancho de banda del mensaje.

2. Por otra parte, la componente con la frecuencia más alta de ( )s t es considerablemente menor, y está

limitada por el ancho de banda del mensaje W.

Sin embargo, al usar la Ec. (3.43) como la representación de la onda modulada s(t), no se ha perdido nada.

Dada una onda modulada arbitraria s(t), podemos deducir la componente en fase ( )ls t y la componente en

cuadratura ( )Qs t usando el esquema mostrado en la Fig. 3.25(a). Recíprocamente, dado el par de componente en

fase ( )ls t y componente en cuadratura ( )Qs t podemos generar la onda modulada s(t) usando el esquema

complementario mostrado en la Fig. 3.25(b). Por razones obvias, estos dos esquemas se denominan

respectivamente el analizador y el sintetizador de ondas moduladas.

Problema de Práctica 3.15 La derivación del sintetizador ilustrado en la Fig. 3.25(b) se obtiene directamente

a partir de la Ec. (3.39). Sin embargo, la derivación del analizador mostrado en la Fig. 3.25(a) requiere una

consideración más detallada. Dado que cf W y las identidades trigonométricas

2

2

1cos 2 1 cos 4

2

1sen 2 1 cos 4

2

c c

c c

f t f t

f t f t

y

1

sen 2 cos 2 sen 42c c cf t f t f t

demuestre que el analizador de la Fig. 3.25(a) produce ( ) y ( )l Qs t s t como sus dos salidas.

127

TABLA 3.1 Formas Diferentes de Modulación Lineal como Casos Especiales de la Ec. (3.29, suponiendo amplitud

unitaria de la portadora

Tipo de modulación Componente en

fase

( )ls t

Componente en

cuadratura

( )Qs t

Comentarios

AM 1 ( )ak m t 0 ak sensibilidad de amplitud

DSB-SC m(t) 0 m(t) = señal del mensaje

SSB:

(a) Banda lateral superior

transmitida

12

( )m t 12

ˆ ( )m t ˆ ( )m t Transformada de Hilbert4

(b) Banda lateral inferior

transmitida

12

( )m t 12

ˆ ( )m t

VSB:

(a) Residuo de banda lateral

inferior transmitida

12

( )m t 12

( )m t ( )m t respuesta del filtro con función de

transferencia ( )QH f debida a la señal del

mensaje m(t). La ( )QH f la define la fórmula

(b) Residuo de banda lateral

superior transmitida

12

( )m t 12

( )m t ( )Q c cH f j H f f H f f

donde ( )H f es la función de transferencia del

filtro de conformado de las bandas laterales.

4 Debemos hacer dos comentarios adicionales sobre la Tabla 3.1:

(i) En la modulación SSB, la transformada de Hilbert

1 ( )ˆ ( )

mm t d

t

define la componente de cuadratura de la onda modulada s(t); es decir,

ˆ( ) ( )Qs t m t

En el dominio de frecuencias, la transformada de Hilbert es descrita por ˆ ( ) sgn( ) ( )M f j f M f

donde

1, para 0

sgn( ) 0, para 0

1 para 0

f

f f

f

es la función signo.

(ii) En la modulación VSB, la componente de cuadratura se obtiene pasando la señal del mensaje m(t) por un filtro lineal

invariable en el tiempo cuya función de transferencia se denota por ( )QH t . La ( )QH t se define a su vez por

( )Q c cH f j H f f H f f

donde ( )H f es la función de transferencia del filtro de conformado de bandas laterales. En el límite, conforme el

residuo de la banda lateral vf tiende a cero, tenemos que

0lím ( ) sgn( )v

Qf

H f j f

y con ella la VSB se reduce a la VSB, que es exactamente como debe ser.

128

FIGURA 3.25 (a) Esquema para deducir las componente en fase y en cuadratura de una señal modulada

linealmente (por ejemplo, de pasabanda). (b) Esquema para reconstruir la señal modulada a partir de sus

componentes en fase y en cuadratura.

REPRESENTACIÓN EN LA BANDA BASE DE FILTROS DE PASABANDA

La representación en la banda base de una señal de pasabanda (ejemplificada por una onda modulada)

desarrollada en esta sección incita el deseo de desarrollar la representación correspondiente para filtros de

pasabanda, incluyendo los canales de comunicación de pasabanda.

Con este objetivo, considere un filtro de pasabanda lineal cuya conducta de entradasalida es definida por

la función de transferencia ( )H f , la cual está limitada a frecuencia dentro de B de la frecuencia de media

banda cf ; en efecto, 2B define el ancho de banda del filtro. Supóngase que se aplica una onda modulada s(t)

a este filtro, produciendo la salida y(t), como se muestra en la Fig. 3.26(a). Suponemos que el ancho de banda

de transmisión de la onda modulada es 2W, centrada en una frecuencia portadora cf . En otras palabras, el

espectro de la onda modulada y la respuesta de frecuencia del filtro de pasabanda están alineados con

B W . (La razón para ignorar el caso B > W es que en una situación así, la onda modulada s(t) pasa por el

filtro y no es alterada en ninguna forma, lo cual no tiene entonces ninguna importancia práctica.)

Obviamente, podemos determinar la señal de salida y(t) evaluando la transformada de Fourier inversa del

producto H f S f 5. Sin embargo, un procedimiento más sencillo es usar una transformación de pasabanda a

pasabajas (es decir, a la banda base), lo que elimina del análisis la frecuencia portadora cf . Específicamente, esta

transformación es definida por

2 ( ), para 0cH f f H f f (3.44)

5 Para una deducción de la transformación definida por la Ec. (3.44), vea Haykin (2000), p. 731.

129

FIGURA 3.16 Transformación de filtro de pasabanda sistema de pasabajas: (a) configuración de

pasabanda de valores reales y (b) configuración de pasabajas correspondiente de valores

complejos.

La nueva función de frecuencia ( )H f es la función de transferencia del filtro de pasabanda complejo que resulta

de la transformación definida en la Ec. (3.44). Se requiere el factor de escala 2 en esta ecuación para asegurar que

la transformación produce el resultado exacto cuando se evalúe la salida y(t).

De acuerdo con la Ec. 3.44, podemos determinar ( )H f procediendo en la forma siguiente:

1. Dada la función de transferencia ( )H f de un filtro de pasabanda, el cual se define para frecuencias

positivas y negativas, mantenga la parte de ( )H f que corresponde a frecuencias positivas; denote esta parte

por ( )H f .

2. Desplace ( )H f

hacia la izquierda por el eje de frecuencias en una cantidad igual a cf y escálela por el

factor 2. El así obtenido define la ( )H f deseada.

Habiendo determinado el filtro de pasabajas complejo caracterizado por ( )H f , podemos entonces proceder a la

etapa siguiente del procesamiento de señales complejas. Específicamente, le introducimos a este filtro la envolvente

compleja ( )s t de la onda modulada s(t); la ( )s t se deduce a partir de s(t) de acuerdo con la Ec. (3.41). Entonces,

aplicando ( )s t a ( )H f como muestra la Fig. 3.26(a), determinamos la envolvente compleja ( )y t de la señal de

salida y(t). Finalmente, la salida verdadera y(t) se determina a partir de la fórmula

( ) Re ( )exp 2 cy t y t j f t (3.45)

que es sencillamente otra forma de escribir la Ec. (3.43).

Problema de Práctica 3.16 Comenzando con el sistema de pasabajas complejo ilustrado en la Fig. 3.6(b),

demuestre que la y(t) deducida de la Ec. (3.45) es idéntica a la salida real y(t) en la Fig. 3.26(a).

3.9 Ejemplos del Tema

En esta sección describimos tres ejemplos del tema, los cuales se fundamentan en la teoría de la modulación de

onda continua descrita en las secciones previas de este capítulo. Las presentaciones acentúan el conocimiento de

los aspectos operacionales de los sistemas de comunicaciones analógicas en vez de las ecuaciones matemáticas o

los detalles de diseño.

130

RECEPTOR SUPERHETERODINO

En un sistema de radiodifusión, indiferentemente de si está basado en modulación de amplitud o de frecuencia, el

receptor no solamente tiene la tarea de demodular la señal modulada entrante, sino que también debe realizar

algunas otras funciones del sistema:

Sintonización de la frecuencia portadora, cuyo propósito es seleccionar la señal deseada (por ejemplo, estación

de radio o TV deseada).

Filtrado, lo que se requiere para separar la señal deseada de otras señales moduladas que puedan captarse

en el camino.

Amplificación, cuya función es compensar por la pérdida de potencia en la señal producida en el curso de la

transmisión.

El receptor superheterodino es un tipo especial de receptor que cumple con todas las tres funciones,

particularmente las primeras dos, en una forma elegante y práctica. Específicamente, supera la dificultad de

tener que construir un filtro sintonizable variable y altamente selectivo en frecuencia. En efecto, prácticamente

todos los receptores de radio y TV que se construyen actualmente son del tipo superheterodino.

Básicamente, el receptor consiste de una sección de radio frecuencia (RF), un mezclador y un oscilador local,

una sección de frecuencia intermedia (FI), un demodulador y un amplificador de potencia. Los parámetros

típicos de receptores de radio AM comerciales se dan en la Tabla 3.2. (Por completitud , la tabla también incluye

los parámetros de frecuencia correspondientes a receptores FM comerciales; la teoría de la modulación de

frecuencia (FM) se cubre en el Capítulo 4.) La Fig. 3.27 muestra el diagrama de bloques de un receptor

superheterodino para la modulación de amplitud que usa un detector de envolvente para la demodulación.

FIGURA 3.27 Elementos básico de un receptor de radio AM del tipo superheterodino.

La onda modulada en amplitud entrante es captada por la antena receptora y amplificada en la sección de RF

que está sintonizada en la frecuencia portadora de la onda entrante. La combinación del mezclador y el oscilador

local (de frecuencia ajustable) proporciona una función de heterodinaje, por medio de la cual la señal entrante es

convertida en una frecuencia intermedia predeterminada, usualmente más baja que la frecuencia portadora

131

entrante. Esta traslación de frecuencia se alcanza sin perturbar la relación entre las bandas laterales y la

portadora. El resultado del heterodinaje es producir una portadora de frecuencia intermedia definida por

FI RF LOf f f (3.46)

donde LOf es la frecuencia del oscilador local y RFf es la frecuencia portadora de la señal de RF entrante. Nos

referimos a FIf como la frecuencia intermedia (FI), porque la señal no está en la frecuencia de entrada original ni

en la frecuencia de la banda base final. A la combinación mezclador-oscilador local se le denomina algunas veces

como el primer detector, en cuyo caso el demodulador (detector de envolvente en la Fig. 3.27) se denomina el

segundo detector.

La sección de FI consiste de una o más etapas de amplificación sintonizada, con un ancho de banda diseñado

para el tipo particular de señal que el receptor debe manejar. Esta sección proporciona la mayor parte de la

amplificación y selectividad en el receptor. La salida de la sección de FI se aplica a un demodulador, cuyo

objetivo es recuperar la señal de la banda base. Si se usa detección coherente, entonces se debe proveer una

fuente de señal coherente en el receptor. La operación final en el receptor es la amplificación de potencia de la

señal del mensaje recuperada.

TABLA 3.2 Parámetros de Frecuencia Típicos de Receptores de Radio AM y FM

Radio AM Radio FM

Banda de la portadora de RF 0.5351.605 MHz 88108 Hz

Frecuencia de media banda de la sección de FI 0.455 MHz 10.7MHz

Ancho de banda de la FI 10kHz 200 kH

En un receptor superheterodino, el mezclador desarrollará una salida de frecuencia intermedia cuando la

frecuencia de la señal de entrada es mayor o menor que la frecuencia del oscilador local por una cantidad igual a

la frecuencia intermedia. Es decir, hay dos frecuencias de entrada, a saber, LO FIf f , que resultarán en FIf en

la salida del mezclador. Esto introduce la posibilidad de una recepción simultánea de dos señales que difieren en

frecuencia por el doble de la frecuencia intermedia. Por ejemplo, un receptor sintonizado a 1 MHz y con una FI

de 0.455 MHz está sometido a una interferencia de imagen en 1.910 MHz. En efecto, cualquier receptor con este

valor de FI, cuando se sintoniza en cualquier estación, está sometido a una interferencia de imagen en un

frecuencia de 0.910 MHz mayor que la estación deseada. Puesto que la función del mezclador es producir la

diferencia entre dos frecuencias aplicadas, es incapaz de distinguir entre la señal deseada y su imagen y produce

una salida de FI de cualquiera de ellas. La única cura práctica para la supresión de la interferencia de imagen es

emplear etapas altamente selectivas en la sección de RF (es decir, entre la antena y el mezclador) para favorecer

la señal deseada y discriminar contra la señal imagen o no deseada. La efectividad de suprimir señales de imagen

indeseadas aumenta conforme crece el número de etapas selectivas en la sección de radio frecuencia y a medida

que aumenta la razón entre las frecuencias intermedias y de la señal.

132

SEÑALES DE TELEVISIÓN

La modulación de banda lateral residual, estudiada en la Sección 3.7, juega un papel clave en la televisión

comercial. Los detalles exactos del formato de modulación usado para transmitir la señal de video que

caracteriza un sistema de TV son influenciados por dos factores:

1. La señal de video exhibe un gran ancho de banda y un contenido significativo de baja frecuencia, lo que

sugiere el uso de la modulación de banda lateral residual.

2. La circuitería usada para la demodulación en el receptor debe ser sencilla y por tanto de bajo costo. Esto

sugiere el uso de detección de envolvente, lo que requiere la adición de una portadora a la onda modulada

VSB.

Sin embargo, en lo que respecta al punto 1, se debe recalcar que aunque efectivamente existe un deseo para

conservar el ancho de banda, en la radiodifusión de la TV comercial la seña transmitida no es totalmente VSB

modulada. La razón es que en el transmisor los niveles de potencia son altos, con el resultado de que sería

costoso controlar rígidamente el filtrado de las bandas laterales. Más bien, se inserta un filtro VSB en cada

receptor donde los niveles de potencia son bajos. El rendimiento global es el mismo que en la modulación de

banda lateral residual convencional, excepto por algún desperdicio de potencia y ancho de banda. Estas

observaciones se ilustran en la Fig. 3.28. En particular, la Fig. 3.28(a) muestra el espectro idealizado de una señal

de TV transmitida. Se transmiten la banda lateral superior, 25 por ciento de la banda lateral inferior y la

portadora de imagen. En la Fig. 3.28(b) se muestra la respuesta de frecuencia del filtro VSB usado para realizar el

conformado requerido del espectro en el receptor.

El ancho de banda del canal usado por la radiodifusión de TV en Norte América es 6 MHz, como se indica en

la Fig. 3.28(b). Este ancho de banda del canal no sólo acomoda el requisito de ancho de banda de la señal de

video VSB modulada sino que también da espacio propio para la señal de sonido que acompaña a la portadora.

Los valores presentados en el eje de frecuencias en la Figs. 3.28(a) y 3.28(b) pertenecen a canal de TV específico.

De acuerdo con esta figura, la frecuencia de la portadora de imagen está en 55.25 MHz y la frecuencia portadora

de sonido está en 59.75 MHz. Sin embargo, observe que el contenido de información de la señal de TV está en un

espectro de banda base que se extiende desde 1.25 MH por debajo de la portadora de imagen hasta 4.5 MHz sobre

ella.

En lo que respecta al punto, el uso de la detección de envolvente (aplicada a una onda VSB modulada más

portadora) produce distorsión de la forma de onda en la señal de video recuperada en la salida del detector. Como

se analizó en el Ejemplo 3.5, la distorsión de la forma de onda es producida por la componente en cuadratura de

la onda VSB modulada. Como se señaló en ese ejemplo, podemos reducir la extensión de la distorsión de la

forma de onda reduciendo el porcentaje de modulación y minimizando el ancho de la banda lateral residual.

133

FIGURA 3.28 (a) Espectro de amplitud idealizado de una señal de TV transmitida. (b) Respuesta

de amplitud de un filtro de conformado VSB en el receptor.

MULTIPLEXADO POR DIVISIÓN DE FRECUENCIA

Otra operación importante de procesamiento de señales en las comunicaciones analógica es la de multiplexar, por

la cual varias señales independientes pueden ser combinadas en una señal compuesta adecuada para su

transmisión por un canal común. Las frecuencias de voz que son transmitidas por sistemas telefónicas, por

ejemplo, varía entre 300 y 3100 Hz. Para transmitir varias de estas señales por el mismo canal (por ejemplo,

cable), las señales deben separarse en el terminal receptor. Esto se logra mediante la separación de la señales ya

sea en tiempo o en frecuencia. La técnica de separar las señales en frecuencia se conoce como multiplexado por

división de frecuencias (FDM, por sus siglas en inglés), en tanto que la técnica de separar las señales en tiempo se

134

denomina multiplexado por división de tiempo (TDM, por sus siglas en inglés). En esta subsección se analiza la FDB;

el estudio de la TDM se difiere hasta el Capítulo 5.

FIGURA 3.19 Diagrama de bloques de un sistema de multiplexado por división de frecuencias (FDM).

En la Fig. 3.29 se muestra un diagrama de bloques de un sistema FDM. Se supone que las señales de mensajes

entrantes son del tipo de pasabajas, pero sus espectros no necesariamente tienen valores diferentes de cero hasta

frecuencia cero. Siguiendo cada entrada de una señal, hemos mostrado un filtro de pasabajas, el cual está

diseñado para remover las componentes de alta frecuencia que no contribuyen significativamente a la

representación de las señales pero sí son capaces de perturbar otras señales de mensajes que comparte el canal

común. Estos filtros de pasabajas pueden omitirse solamente si las señales de entrada están suficientemente

limitadas en banda. Las señales filtradas son aplicadas a moduladores que desplazan las bandas de frecuencias

de las señales de modo que ocupen intervalos de frecuencia mutuamente excluyentes. Las frecuencias

portadoras necesarias para realizar estas traslaciones se obtienen de una fuente de portadora. Para la

modulación, podemos usar cualquiera de los métodos descritos en secciones previas de este capítulo. Sin

embargo, en telefonía, el método más ampliamente usado de modulación en el multiplexado por división de

frecuencia es la modulación de banda lateral única, la cual, en el caso de señales de video, requiere de un ancho

de banda que es aproximadamente igual al de la señal de voz original. En la práctica, a cada entrada de voz

usualmente se le asigna un ancho de banda de 4 kHz. Los filtros de pasabanda que están después de los

moduladores se usan para restringir la banda de cada onda modula a su banda asignada. Las salidas resultantes

de los filtros de pasabanda son entones combinadas en paralelo para formar la entrada al canal común. En el

terminal receptor, se usa un banco de filtros de pasabanda, con sus entradas conectadas en paralelo, para separar

135

las señales de mensajes en una base de ocupación de frecuencias. Finalmente, las señales del mensaje original

son recuperadas por demoduladores individuales. Observe que el sistema FDM mostrado en la Fig. 3.29 opera

solamente en una dirección. Para suministrar transmisión de dos vías, como en telefonía por ejemplo, tenemos

que duplicar completamente las instalaciones de multiplexado, con las componentes conectadas en orden

inverso y con las ondas de las señales procediendo de derecha a izquierda.

EJEMPLO 3.6 Pasos se modulación en un sistema FDM de 60 canales

La implementación práctica de un sistema FDM usualmente involucra muchos pasos de modulación y

demodulación, como se ilustra en la Fig. 3.30. El primer paso de multiplexado combina 12 entradas de voz en un

grupo básico, el cual se forma al hacer que la n-ésima entrada modula una portadora en la frecuencia 60 4cf n

kHz, donde n = 1, 2, … , 12. Entonces se seleccionan las bandas laterales inferiores mediante filtrado de

pasabanda y se combinan para formar un grupo de 12 bandas laterales inferiores (una por cada entrada de voz).

Por tanto, el grupo básico ocupa la banda de frecuencias de 20108 kHz. El siguiente paso en la jerarquía FDM

involucra la combinación de cinco grupos básicos en un supergrupo. Esto se logra usando el n-ésimo grupo para

modular una portadora de frecuencia 372 48cf n kHz, donde n = 1, 2, … , 5. Aquí de nuevo se seleccionan las

bandas laterales inferiores mediante filtrado y luego se combinan para forman un supergrupo que ocupa la

banda de 312552 kHz. Así, un supergrupo está diseñado para acomodar 60 entradas de voz independientes. La

razón para forman el supergrupo en esta forma es que se tienen disponibles filtros económicos de las

características requeridas solamente en una banda de frecuencias limitada. En una forma análoga, los

supergrupos se combinan en grupos maestros (“mastergroups” en inglés), y éstos se combinan en grupos muy

grandes.

3.10 Resumen y Análisis

En este capítulo estudiamos la familia de modulación de amplitud, en la cual la portadora es una onda seno

cuya amplitud es variada de acuerdo con una señal de mensaje. El formato de esta familia de modulación

analógica es tipificado por el ejemplo de la onda modulada

( ) ( )cos 2c cs t A m t f t (3.47)

donde m(t) es la señal del mensaje y cos 2c cA f t es la portadora. La familia de modulación de amplitud

incluye cuatro tipos de modulación de onda continua, dependiendo del contenido espectral de la onda modulad.

Los cuatro tipos de modulación y sus méritos prácticos se resumen a continuación:

1. La modulación de amplitud (AM), en la cual las bandas laterales superior e inferior se transmiten por

completo, acompañadas por una onda portadora. La generación de una onda AM puede alcanzarse con

simplemente usar un dispositivo no lineal (por ejemplo, un diodo) en un modulador de ley cuadrática, por

ejemplo. Por la misma razón, la demodulación de la onda AM se logra también en una forma igualmente

sencilla en el receptor usando un detector de envolvente, por ejemplo. Es por estas dos razones, generación

y detección sencillas, que la modulación de amplitud se usa comúnmente en la radio difusión AM, la cual

involucra un solo transmisor poderos y números receptores cuya construcción es de relativamente bajo

precio.

136

FIGURA 3.30 Ilustración de los pasos de modulación en un sistema FDM.

2. La modulación de banda lateral doble con portadora suprimida (DSB-SC), definida por la Ec. (3.47), en la

cual sólo se transmiten las bandas laterales superior e inferior. La supresión de la onda portadora significa

que la modulación DSB-SC requiere menos potencia que la AM para transmitir la misma señal del mensaje.

Esta ventaja de la modulación DSB-SC sobre la AM es, sin embargo, alcanzada a costas de una mayor

complejidad del receptor. La modulación DSB-SC es por tanto bien adecuada para una comunicación punto a

punto que involucra un transmisor y un receptor. En esta forma de comunicación analógica, la potencia

transmitida es importante y por ello se justifica el uso de un receptor complejo.

3. Modulación de banda lateral única (SSB), en la cual sólo se transmite la banda lateral superior o la inferior.

Es óptima en el sentido que requiere la mínima potencia de transmisión y el mínimo ancho de banda del

canal para transferir una señal de mensaje de un punto a otro. Sin embargo, la implementación del

transmisor SSB impone varias restricciones sobre el contenido espectral de la señal del mensaje entrante.

Específicamente, requiere la presencia de un banda de baja frecuencia alrededor de la frecuencia cero, lo

que, por ejemplo, satisfacen las señales de voz para la comunicación telefónica.

4. Modulación de banda lateral residual, en la cual se transmiten “casi” toda una banda lateral y un “residuo”

de la otra banda lateral en un forma complementaria prescrita. La modulación VSB requiere un ancho de

banda del canal intermedio entre el requerido por los sistemas SSB y DSB-SC, y el ahorro en ancho de

banda puede ser significativo si se está manejando señales moduladoras con anchos de banda grandes,

como en el caso de señales de televisión y datos digitales de alta velocidad.

137

Ahora un comentario final. Aunque el desarrollo de la familias de modulación de amplitud ha sido motivado

por su importancia directa para las comunicaciones analógicas, muchos aspectos de esta rama de la teoría de

modulación se aplican igualmente a las comunicaciones digitales. Si, por ejemplo, la señal del mensaje en la Ec.

(3.47) para la onda modulada s(t) está restringida a niveles de 1 o +1 representado un “0” y un “1” binarios,

respectivamente, entonces tenemos una forma básica de modulación digital conocida como desplazamiento de

fase que se estudia en el Capítulo 7.

PROBLEMAS ADICIONALES

3.17 A través del capítulos nos enfocamos en

( ) cos 2c cc t A f t

como la onda portadora sinusoidal. Para ser consistentes, supóngase que también definimos

( ) sen 2c cm t A f t

(a) Evalúe el espectro de la nueva definición de AM:

( ) 1 ( ) sen 2c a cs t A k m t f t

donde ak es la sensibilidad de amplitud.

(b) Compare el resultado deducida en la parte (a) con el estudiado en el Ejemplo 3.1.

(c) ¿Qué diferencia hace la formulación en este problema con la formulación de la teoría de modulación

ilustrada en el Ejemplo 3.1?

3.18 Considere la señal del mensaje

( ) 20cos 2 voltiosm t t

y la onda portadora

( ) 50cos 100 voltiosc t t

(a) Dibuje (a escala) la onda AM resultante para 75 por ciento de modulación.

(b) Halle la potencia desarrollada en una carga de 100 ohmios debida a esta onda AM.

3.19 Usando la señal de mensaje

2( )

1

tm t

t

determine y dibuje la onda modulada para modulación de amplitud cuyo porcentaje de modulación es

igual a los valores siguientes:

(a) 50 por ciento

138

(b) 100 por ciento

(c) 125 por ciento

3.20 Supóngase que se tiene disponible un dispositivo no lineal para el cual la corriente de salida oi y el voltaje

de entrada iv están relacionados por

31 3o i ii a v a v

donde 1 3 y a a son constantes. Explique cómo se podría usar este dispositivo para proporcionar

modulación de amplitud. ¿Podría este dispositivo usarse también para demodulación? Justifique su

respuesta.

3.21 Considérese la onda modulada DSB-SC obtenida al usar la onda moduladora sinusoidal

( ) cos 2m mm t A f t

y la onda portadora

( ) cos 2c cc t A f t

El ángulo de fase , el cual denota la diferencia de fase entre c(t) y m(t) en el instante t = 0, es variable.

Dibuje esta onda modulada para los siguientes valores de :

(a) = 0

(b) = 45°

(c) = 135°

(d) = 90°

Comente sus resultados.

3.22 Dado el dispositivo lineal descrito en el Problema 3.20, explique cómo podría usarse para obtener un

modulador de producto.

3.23 Considérese una señal de mensaje m(t) con el espectro mostrado en la Fig. 3.31. El ancho de banda del

mensaje es W 1 kHz. Esta señal se aplica a un modulador de producto junto con una onda portadora

cos 2c cA f t , y se produce la onda modulada DSB-SC s(t). Esta onda modulada se aplica después a un

detector coherente. Suponiendo un sincronismo perfecto entre las ondas portadoras en el modulador y en

el detector, determine el espectro de la salida del detector cuando: (a) la frecuencia portadora es 1.25cf

kHz y (b) la frecuencia portadora es 0.75cf kHz. ¿Cuál es la frecuencia portadora más baja para la cual

cada componente de la onda modulada s(t) es determinada en forma única por m(t)?

FIGURA 3.31 Problema 3.23

139

3.24 Considérese una onda compuesta obtenida al añadir una portadora no coherente cos 2c cA f t a una

onda DSB-SC cos 2 ( )cf t m t . Esta onda compuesta se aplica a un detector de envolvente ideal. Halle la

salida resultante del detector para

(a) = 0

(b) 0 y ( ) 2cm t A

3.25 Una onda DSB-SC es demodulada aplicándola a un detector coherente.

(a) Evalúe el efecto de un error de frecuencia f en la frecuencia de la portadora local del detector,

medida con respecto a la frecuencia portadora de la onda DSB-SC entrante.

(b) Para el caso de una onda moduladora sinusoidal, demuestre que debido a este error de frecuencia, la

onda demodulada exhibe batidos en el error de frecuencia. Ilustre su respuesta con un dibujo de la

onda demodulada. (Un batido se refiere a una señal cuya frecuencia es la diferencia entre las

frecuencias de dos señales de entrada.)

3.26 Considérese un pulso de amplitud A y duración T. Este pulso se aplica a un modulador SSB y se produce

la onda modulada s(t). Determine la envolvente de s(t) y demuestre que esta envolvente exhibe picos al

comienzo y al final del pulso.

3.27 (a) Considérese una señal de mensaje m(t) que contiene componentes de frecuencia en 100, 200 y 400 Hz.

Esta señal se aplica a un modulador SSB junto con una portadora de 100 kHz y se retiene solamente

la banda lateral superior. En el detector coherente usado para recuperar m(t), el oscilador local

suministra una frecuencia de la onda sinusoidal de 100.02 Hz. Determine las componentes de

frecuencia de la salida del detector.

(b) Repita su análisis, suponiendo que sólo se transmite la banda lateral inferior.

3.28 A través del capítulo hemos expresado la onda portadora

( ) cos 2c cc t A f t

donde cA es la amplitud de la portadora y cf es la frecuencia portadora. En el Capítulo 7 que trata de

técnicas digitales de modulación de pasabanda, veremos que es más conveniente expresar la portadora en

la forma

2

( ) cos 2 cb

c t f tT

donde bT es la duración asignada a la transmisión del símbolo 1 o del símbolo 0. Determine el valor de la

amplitud de la portadora cA para que la energía en c(t) por símbolo sea igual a la unidad.

PROBLEMAS AVANZADOS

3.29 Para un diodo de unión p-n, la corriente i por el diodo y el voltaje v en el mismo están relacionados por

140

0 exp 1T

vi I

V

donde 0I es la corriente de saturación inversa y TV es el voltaje térmico definido por

T

kTV

e

donde k es la constante de Boltzmann en julios por grado Kelvin, T es la temperatura absoluta en grados

Kelvin y e es la carga de un electrón. A temperatura ambiente, 0.026TV votios.

(a) Expanda i como una serie de potencia en v, reteniendo términos hasta.

(b) Sea

0.01cos 2 0.01cos 2 voltiosm mv f t f t

donde 1mf kHz y 100cf kHz. Determine el espectro de la corriente i que resulta en el diodo.

(c) Especifique el filtro de pasabanda requerido para extraer de la corriente del diodo una onda AM con

frecuencia portadora cf .

(d) ¿Cuál es el porcentaje de modulación de esta onda AM?

3.30 Considérese el sistema multiplex de portadoras en cuadratura de la Fig. 3.17. La señal multiplexada s(t)

producida en la salida del transmisor en la parte (a) de esta figura se aplica a un canal de comunicaciones

con función de transferencia ( )H f . La salida de ese canal es, a su vez, aplicada a la entrada del receptor en

la parte (b) de la Fig. 3.17. Demuestre que la condición

* , para 0c cH f f H f f f W

es necesaria para la recuperación de las señales de mensajes 1 2( ) y ( )m t m t en las salidas del receptor; cf es

la frecuencia portadora, W es el ancho de banda del mensaje. El asterisco en * cH f f denota la

conjugación compleja.

Sugerencia: Evalúe los espectros de las dos salidas del receptor.

3.31 (a) Denote por ( )us t la onda SSB obtenida al transmitir solamente la banda lateral superior y por ˆ ( )us t su

transformada de Hilbert. Demuestre que

2

ˆ( ) ( )cos 2 ( )sen 2u c u cc

m t s t f t s t f tA

y

2

ˆ ˆ( ) ( )cos 2 ( )sen 2u c u cc

m t s t f t s t f tA

donde m(t) es la señal del mensaje, ˆ ( )m t es su transformada de Hilbert, cf es la frecuencia portadora

y cA es la amplitud de la portadora.

141

(b) Demuestre que las ecuaciones correspondientes en términos de la onda SSB ( )ls t obtenidas al

transmitir solamente la banda lateral inferior son

2

ˆ( ) ( )cos 2 ( )sen 2l c l cc

m t s t f t s t f tA

y

2

ˆ ˆ( ) ( )cos 2 ( )sen 2l c u cc

m t s t f t s t f tA

(c) Usando los resultados de (a) y (b), establezca los diagramas de bloques para un receptor para

demodular una onda SSB.

Nota: La transformada de Hilbert se define en el Problema 2.52; vea también el pie de página 4 de este

capítulo.

3.32 En este problema, continuamos el análisis de la modulación VSB para el caso cuando se transmite un

residuo de la banda lateral inferior; la Fig. 3.24 exhibe la respuesta de frecuencia ( )H f del filtro de

conformado de bandas laterales usado para generar esta onda modulada. En particular, queremos

examinar la representación compleja de este filtro, denotada por ( )H f .

Sean ( ) y ( )l QH f H f las componentes en fase y cuadratura de ( )H f , respectivamente. Demuestre que en

el intervalo W f W, tenemos que

(a) ( )lH f representa un filtro pasa todo; es decir, la respuesta de frecuencia del filtro es constante, como

lo muestra la relación

( ) 1, para H f W f W

donde W es el ancho de banda del mensaje.

(b) ( )QH f representa un filtro de pasabajas con respuesta de frecuencia de simetría impar, descrita por

las tres relaciones siguientes:

1. ( ) ( ), Q QH f H f W f W

2. (0) 0QH

3. ( ) 1, para Q vH f f f W

donde vf es el ancho de la banda lateral residual.

142

CAPÍTULO 4

MODULACIÓN ANGULAR

En los capítulos anteriores, se investigó el efecto de variar lentamente la amplitud de una portadora sinusoidal

de acuerdo con una señal portadora de información, manteniendo fija la frecuencia de la portadora. Existe otra

forma de modular una onda portadora sinusoidal – a saber, la modulación angular, en la cual el ángulo de la onda

portadora se varía de acuerdo con la señal portadora de información. En esta segunda familia de técnicas de

modulación, la amplitud de la onda portadora se mantiene constante.

Una característica importante de la modulación angular es que puede suministrar una mejor discriminación

con el ruido y la interferencia que la modulación de amplitud. Sin embargo, como se demostrará en el Capítulo

9, esta mejora en el desempeño se logra a costa de un mayor ancho de banda de trasmisión; es decir, la

modulación angular nos proporciona un medio práctico de intercambiar ancho de banda del canal por mejoras

en el desempeño contra el ruido. Tal intercambio no es posible con la modulación de amplitud. Además, la

mejora en el desempeño contra el ruido en la modulación angular se logra a costas de una mayor complejidad

del sistema tanto en el transmisor como en el receptor.

El material presentado en este capítulo sobre la modulación angular nos enseñará tres lecciones:

Lección 1: La modulación angular es un proceso no lineal, lo que es testigo de su naturaleza sofisticada. En el contexto

de las comunicaciones analógicas, este particular propiedad de la modulación angular tiene dos implicaciones:

En términos analíticos, el análisis espectral de la modulación angular es complicado.

En términos prácticos, la implementación de la modulación angular es exigente.

Estas dos afirmaciones se hacen tomando a la modulación de amplitud como el marco de referencia.

Lección 2: En tanto que el ancho de banda de transmisión de una onda modulada en amplitud (o cualquiera de sus

variantes) es de extensión limitada, el ancho de banda de transmisión de una onda con modulación angular puede

asumir una extensión infinita, por lo menos en teoría.

Lección 3: Dado que la amplitud de la onda portadora se mantiene constante, intuitivamente esperaríamos que el ruido

aditivo afectaría el desempeño de la modulación angular en una menor extensión que en la modulación de amplitud.

144

4.1 Definiciones Básicas

Denote por ( )i t el ángulos de una portadora sinusoidal modulada en el instante t; se supone que es una

función de la señal portadora de información o señal del mensaje. La onda modulada angularmente resultante la

expresamos como

( ) cos ( )c is t A t (4.1)

donde cA es la amplitud de la portadora. Ocurre una oscilación completa siempre que el ángulo ( )i t cambie

por 2 radianes. Si ( )i t crece monótonamente con el tiempo, entonces la frecuencia promedio en hertz, durante

un pequeño intervalo de t a t + t, es dada por

( )( )

2i i

t

t t tf t

t

Permitiendo que el intervalo de tiempo t tienda a cero, conduce a la siguiente definición para la frecuencia

instantánea del señal modulada en ángulo s(t):

0

0

( ) lím ( )

( ) lím

2

( )1

2

i tt

i i

t

i

f t f t

t t t

t

d t

dt

(4.2)

donde, en la última línea, se invocó la definición para la derivada del ángulo ( )i t con respecto al tiempo t.

Por tanto, de acuerdo con la Ec. (4.1), podemos interpretar la señal modulada en ángulo s(t) como un fasor

giratorio de longitud cA y ángulo ( )i t . La velocidad angular de un fasor así es ( )id t dt , medida en radianes

por segundo. En el caso sencillo de una portadora no modulada, el ángulo ( )i t es

( ) 2 , para ( ) 0i c ct f t t

y el fasor correspondiente gira con una velocidad angular constante igual a 2 cf radianes por segundo. La

constante c define el ángulo de la portadora no modulada en el instante t = 0.

Existe un número infinito de formas en las cuales el ángulo ( )i t puede variarse en alguna forma con la señal

del mensaje. Sin embargo, sólo consideraremos dos métodos usados comúnmente, la modulación de fase y la

modulación de frecuencia, como se definen a continuación:

1. La modula de fase (PM, por sus siglas en inglés) es aquella forma de modulación angular en la cual el ángulo

instantáneo ( )i t es variado linealmente con la señal del mensaje m(t), como lo muestra la relación

( ) 2 ( )i c pt f t k m t (4.3)

El término 2 cf t representa el ángulo de la portadora no modulada con la con el ángulo constante c igualado

a cero por conveniencia de la presentación; la constante pk representa el factor de sensibilidad de fase del

145

modulador, expresada en radianes por voltio bajo la suposición de que m(t) es una forma de onda de

voltaje. La onda modulada en fase s(t) es descrita en forma correspondiente en el dominio del tiempo por

( ) cos 2 ( )c c ps t A f t k m t

(4.4)

2. Modulación de frecuencia (FM) es esa forma de modulación angular en la cual la frecuencia instantánea ( )if t es

variada linealmente con la señal del mensaje m(t), como muestra la relación

( ) ( )i c ff t f k m t (4.5)

El término constante cf representa la frecuencia de la portadora no modulada; la constante fk representa el

factor de sensibilidad de frecuencia del modulador, expresado en hertz por voltio bajo la suposición de que m(t)

es una forma de onda de voltaje. Integrando la Ec. (4.5) con respecto al tiempo y multiplicando el resultado

por 2, obtenemos

0

0

( ) 2 ( )

2 2 ( )

t

i i

t

c f

t f d

f t k m d

(4.6)

donde el segundo término toma en cuenta el incremento o decremento en la fase instantánea ( )i t debida a

la señal del mensaje m(t). La onda modulada en frecuencia es por tanto

0

( ) cos 2 2 ( )t

c c fs t A f t k m d

(4.7)

La Tabla 4.1 resume las definiciones básicas incluidas en la generación de ondas moduladas angularmente. Estas

definiciones aplican para todos los tipos de señales de mensaje, sean ellas de clase analógica o digital.

TABLA 4.1 Resumen de las Definiciones Básicas en la Modulación Angular

Modulación de fase Modulación de Frecuencia Comentarios

Fase instantánea

( )i t

2 ( )c pf t k m t

02 2 ( )

t

c ff t k m d cA : amplitud de la portadora

cf : frecuencia de la portadora

m(t): señal del mensaje

pk : factor de sensibilidad de

fase

fk : factor de sensibilidad de

frecuencia

Frecuencia

instantánea ( )if t ( )2

pc

k df m t

dt

( )c ff k m t

Onda modulada

s(t) cos 2 ( )c c pA f t k m t

0cos 2 2 ( )

t

c c fA f t k m d

146

4.2 Propiedades de Ondas Moduladas en Ángulo

Las ondas moduladas en ángulo son caracterizadas por algunas propiedades importantes, las cuales se deducen

de las definiciones básicas resumidas en la Tabla 4.1. En efecto, estas propiedades que colocan las ondas

moduladas en ángulo en una familia propia y las diferencias de la familia de ondas moduladas en amplitud,

como lo ilustran las formas de ondas mostradas en la Fig. 4.1 para el ejemplo de la modulación sinusoidal. Las

Figs. 4.1(a) y 4.1(b) son las ondas correspondientes a la portadora sinusoidal y a la onda moduladora,

respectivamente. Las Figs. 4.1(c), 4.1(d) y 4.1(e) exhiben las correspondientes ondas moduladas en amplitud

(AM, moduladas en fase (PM) y moduladas en frecuencia (AM), respectivamente.

FIGURA 4.1 Ilustración de ondas AM, PM y FM producidas por un solo tono. (a) Onda

portadora. (b) Señal moduladora sinusoidal. (c) Señal modulada en amplitud. (d) Señal

modulada en fase. (e) Señal modulada en frecuencia.

147

PROPIEDAD 1 Potencia transmitida constante. A partir de las Ecs. (4.4) y (3.7), vemos rápidamente que la amplitud de

las ondas PM y FM se mantiene en un valor constante igual a la amplitud de la portadora cA por todo el tiempo t,

indiferentemente de los factores de sensibilidad p fk y k . Esta propiedad la muestra bien la onda PM de la Fig. 4.1(d) y la

onda FM de la Fig. 4.1(e). Como consecuencia, la potencia promedio transmitida de las ondas moduladas angularmente es

una constante, como muestra la relación

2pr

1

2 cP A (4.8)

donde se supone que el resistor de carga es 1 ohmio.

PROPIEDAD 2 No linealidad del proceso de modulación Otra propiedad distintiva de la modulación angular es su

carácter no lineal. Esto lo decimos porque ambas ondas, PM y FM, violan el principio de superposición. Supóngase, por

ejemplo, que la señal del mensaje m(t) está formada por dos componentes diferentes 1 2( ) ( )m t y m t , es decir,

1 2( ) ( ) ( )m t m t m t

Sean 1 2( ), ( ) y ( )s t s t s t las ondas PM producidas por 1 2( ), ( ) y ( )m t m t m t de acuerdo con la Ec. (4.4), respectivamente. A la

luz de esta ecuación, podemos expresar estas ondas PM como

1 2

1 1

( ) cos 2 ( ) ( )

( ) cos 2 ( )

c c p

c c p

s t A f t k m t m t

s t A f t k m t

y

2 2 ( ) cos 2 ( )c c ps t A f t k m t

Partiendo de estas expresiones, a pesar del hecho de que 1 2( ) ( ) ( )m t m t m t , vemos fácilmente que se viola el principio de

superposición porque

1 2( ) ( ) ( )s t s t s t

Problema de Práctica 4.1 Use la Ec. (4.7) para demostrar que las ondas FM también violan el principio de

superposición.

El hecho de el proceso de modulación angular es no lineal complica el análisis espectral y el análisis de ruido

de las ondas PM y FM, en comparación con la modulación de amplitud. Por la misma razón, el proceso de

modulación angular tiene sus propios beneficios prácticos. Por ejemplo, la modulación de frecuencia ofrece un

desempeño superior en la presencia de ruido comparada con la modulación de amplitud, lo cual se atribuye al

carácter no lineal de la modulación de frecuencia.

PROPIEDAD 3 Irregularidad de los cruces en cero Una consecuencia de permitir que el ángulo instantáneo ( )i t se

vuelva dependiente de la señal del mensaje m(t) como en la Ec. (4.3) o su integral 0

( )tm d como en la Ec. (4.6) es que, en

general, los cruces en cero de una onda PM o FM ya no presenta una regularidad perfecta en su separación en la escala del

tiempo. Los cruces en cero se definen como los instantes en los cuales una forma de onda cambia su amplitud de un valor

positivo a uno negativo o viceversa. En cierta forma, la irregularidad de los cruces en cero en las ondas moduladas

148

angularmente también se atribuye al carácter no lineal del proceso de modulación. Para ilustrar esta propiedad, podemos

contrastar la onda PM de la Fig. 4.1(d) y la onda FM de la Fig. 4.1(e) con la Fig. 4.1(c) para la onda AM correspondiente.

Sin embargo, podemos citar dos casos especiales donde la regularidad se mantiene en la modulación angular:

1. La señal del mensaje m(t) crece o decrece linealmente con el tiempo t, en cuyo caso la frecuencia instantánea ( )if t de la

onda PM cambia de la frecuencia portadora no modulada cf a un nuevo valor constante que depende de la pendiente

de m(t).

2. La señal de mensaje m(t) se mantiene en algún valor constante, positivo o negativo, en cuyo caso la frecuencia

instantánea ( )if t de la onda FM cambia de la frecuencia portadora no modulada cf a un nuevo valor constante que

dependen del valor constante de m(t).

En cualquier caso, es importante señalar que en la modulación angular, el contenido de información de la señal del mensaje

m(t) reside en los cruces en cero de la onda modulada. Esta afirmación se cumple siempre que la frecuencia portadora cf se

grande comparada con la componente de frecuencia más alta de la señal del mensaje m(t).

PROPIEDAD 4 Dificultad de visualización de la forma de onda del mensaje En la AM, vemos la forma de onda del

mensaje como la envolvente de la onda modulada, siempre que, por supuesto, el porcentaje de modulación se menor que 100

por ciento, como se ilustra en la Fig. 4.1(c) para modulación sinusoidal. Ésta no es modulación angular, como ilustran las

formas de ondas correspondientes de las Figs. 4-1(d) y 4.1(e) para PM y FM, respectivamente. En general, la dificultad en

visualizar la forma de onda del mensaje en ondas moduladas angularmente también se atribuye al carácter no lineal de las

ondas moduladas angularmente.

PROPIEDAD 5 Intercambio de mayor ancho de banda de transmisión para mejorar el desempeño contra el

ruido Una ventaja importante de la modulación angular sobre la modulación de amplitud es la realización de un

desempeño mejorado contra el ruido. Esta ventaja se atribuye al hecho de que la transmisión de una señal de mensaje

mediante la modulación del ángulo de una onda portadora sinusoidal es menos sensible a la presencia de ruido aditivo que la

trasmisión por modulación de la amplitud de la portadora. Sin embargo, la mejora en el desempeño contra el ruido se

alcanza a costas de un incremento correspondiente en el requerimiento de ancho de banda de transmisión de la modulación

angular. En otras palabras, el uso de la modulación angular ofrece la posibilidad de intercambiar un incremento en el ancho

de banda de transmisión por una mejora en el desempeño contra el ruido. Tal intercambio no es posible con la modulación de

amplitud puesto que el ancho de banda de transmisión de una onda modulada en amplitud es valor fijo en alguna parte

entre el ancho de banda del mensaje W y 2W, dependiendo del tipo de modulación empleado. El efecto del ruido sobre la

modulación angular se analiza en el Capítulo 9.

EJEMPLO 4.1 Cruces en cero

Considérese una onda moduladora m(t) que se incrementa linealmente con el tiempo t, comenzando en t = 0,

como muestra la relación

, 0( )

0, 0

at tm t

t

donde a es el parámetro de la pendiente; véase la Fig. 4.2(a). En lo que sigue, estudiamos los cruces en cero de las

ondas PM y FM producidos por m(t) para el siguiente conjunto de parámetros:

149

FIGURA 4.2 Comenzando en el instante t = 0, la figura exhibe (a) una señal de mensaje m(t) que crece

linealmente, (b) una onda modulada en fase, y (c) una onda modulada en frecuencia.

4 Hz

1 voltio/s

cf

a

1. Modulación de fase: factor de sensibilidad de fase 2pk radianes/voltio. Aplicando la Ec. (4.4) a la m(t) dada

produce la onda PM

cos 2 , 0( )

cos 2 , 0

c c p

c c

A f t k at ts t

A f t t

que se grafica en la Fig. 4.2(b) para 1cA voltio.

Sea nt el instante en el cual la onda PM experimenta un cruce en cero; esto ocurre siempre que el ángulo

de la onda PM sea un múltiplo impar de /2. Entonces, podemos establecer

2 , 0, 1, 2, 2c n p nf t k at n n

como la ecuación lineal para nt . Despejando nt en esta ecuación, obtenemos la fórmula lineal

150

1

2

2

np

c

nt

kf a

Sustituyendo los valores dados de , y c pf a k en la fórmula lineal, obtenemos

1, 0, 1, 2,

2nt n n

donde nt se mide en segundos.

2. Modulación de frecuencia: factor de sensibilidad de frecuencia, 1fk Hz/voltio. Aplicando la Ec. (4.7)

produce la onda FM

2cos 2 , 0( )

cos 2 , 0

c c f

c c

A f t k at ts t

A f t t

la cual se grafica en la Fig. 4.2(c).

Invocando la definición de un cruce en cero, podemos establecer

22 , 0, 1, 2, 2c f nf t k at n n

como la ecuación cuadrática para nt . La raíz positiva de esta ecuación – a saber,

21 1, 0, 1, 2,

2n c c ff

t f f ak n nak

define la fórmula para nt . Sustituyendo los valores dados de , y c ff a k en esta fórmula cuadrática,

obtenemos

11 9 16 , 0, 1, 2,

4nt n n

donde nt se mide, una vez más, en segundos.

Comparando los resultados de los cruces en cero obtenidos para las ondas PM y FM, podemos hacer las

siguientes observaciones una vez que la onda moduladora lineal comience a actuar sobre la onda portadora

sinusoidal:

1. Para la PM, se mantiene la regularidad de los cruces en cero; la frecuencia instantánea cambia del valor

no modulado 1 4cf Hz al nuevo valor constante de 1

22c pf k a Hz.

2. Para la FM, los cruces en cero toman una forma irregular; como se esperaba, la frecuencia instantánea

se incrementa linealmente con el tiempo t.

151

Las formas de ondas moduladas de la Fig. 4.2 deben contrastarse con las correspondientes de la Fig. 4.1.

Mientras que en el caso de la modulación sinusoidal exhibida en la Fig. 4.1 es difícil discernir la diferencia

entre la PM y la FM, éste no es el caso de la Fig. 4.2. En otras palabras, dependiendo de la onda

moduladora, es posible que la PM y la FM exhiban formas de ondas completamente diferentes.

4.3 Relación Entre Ondas PM y FM

Si examinamos las definiciones de las Ec. (4.4) y (4.7), vemos que una onda FM puede considerarse como una

onda PM producida por la onda moduladora 0

( )tm d en vez de m(t). Esto significa que una onda FM puede

ser generada integrando primero la señal del mensaje m(t) con respecto al tiempo t y usando después la señal

resultante como la entrada a un modulador de fase, como se muestra en la Fig. 4.3(a).

Recíprocamente, una onda PM puede considerarse como una onda FM producida por la onda moduladora

( )dm t dt . Por tanto, una onda PM puede ser generada diferenciando primero m(t) con respecto al tiempo t y

después usando la señal resultante como la entrada a un modulador de frecuencia, como se muestra en la Fig.

4.3(b).

Por tanto, se deduce que la modulación de fase y la de frecuencia están relacionadas entre sí de forma única.

Esta relación, a su vez, significa que podemos deducir las propiedades de la modulación de fase a partir de las

de modulación de frecuencia y viceversa. Por esta razón, en este capítulo nos concentraremos en el análisis de la

modulación de frecuencia.

FIGURA 4.3 Ilustración de la relación entre la modulación de frecuencia y la de fase. (a) Esquema

para generar una onda FM usando un modulador de fase. (b) Esquema para generar una onda

PM usando un modulador de frecuencia.

152

Problema de Práctica 4.2 El esquema mostrado en la Fig. 4.2(a) proporciona la base para la generación

indirecta de una onda FM. El modulador de fase lo define la Ec. (4.4). Demuestre que si la onda FM

resultante debe tener exactamente la forma como la definida en la Ec. (4.7), entonces el factor de

sensibilidad de fas pk del modulador de fase está relacionado con el factor de sensibilidad de frecuencia fk

por la fórmula

2p fk k T

donde T es el intervalo en el cual se realiza la integración en la Fig. 4.3(a). Justifique eñ dimensionamiento

de esta expresión.

4.4 Modulación de Frecuencia de Banda Angosta

En la Sección 4.2 se puso énfasis en el hecho de que una onda FM es una función no lineal de la onda

moduladora. Esta propiedad convierte en una tarea mucho más difícil el análisis espectral de la onda FM que el

de la onda AM correspondiente.

¿Cómo podemos entonces atacar el análisis espectral de una onda FM? Nos proponemos suministrar una

respuesta empírica a esta importante pregunta procediendo en la forma siguiente:

Primero consideramos el caso sencillo de una modulación de un solo tono que produce una onda FM de

banda angosta.

Después se considerará el caso más general que también involucra una modulación de un solo tono, pero

esta vez la onda FM es de banda ancha.

Podríamos, por supuesto seguir y considerar el caso más complicado de una onda FM de tonos múltiples. Sin

embargo, no proponemos hacerlo, porque nuestro objetivo inmediato es establecer una relación empírica entre

el ancho de banda de transmisión de una onda FM y el ancho de banda del mensaje. Como se verá más adelante,

el análisis espectral en dos etapas descrito arriba nos suficiente ideas para proponer un solución útil al problema.

Consideremos entonces una onda moduladora sinusoidal definida por

( ) cos 2m mm t A f t (4.9)

La frecuencia instantánea de la onda FM resultante es

( ) cos 2

cos 2

i c f m m

c m

f t f k A f t

f f f t

(4.10)

donde

f mf k A (4.11)

La cantidad f se denomina la desviación de frecuencia, y representa la máxima desviación de la frecuencia

instantánea de la onda FM con respecto a la frecuencia portadora cf . Una característica fundamental de la

modulación de frecuencia sinusoidal es que la desviación de frecuencia f es proporcional a la amplitud de la

señal moduladora y es independiente de la frecuencia moduladora.

153

Usando la Ec. (4.10) en la primera línea de la Ec. (4.6), el ángulo ( )i t de la onda FM se obtiene como

( ) 2 sen 2i c mm

ft f t f t

f

(4.12)

La razón de la desviación de frecuencia f a la modulación de frecuencia mf comúnmente se denomina el índice

de modulación de la onda FM. Este nuevo parámetro lo denotamos por , así que escribimos

m

f

f

(4.13)

y

( ) 2 sen 2i c mt f t f t (4.14)

En la Ec. (4.14) vemos que, en un sentido físico, el parámetro representa la desviación de fase la onda FM – es

decir, la máxima desviación del ángulo ( )i t con respecto al ángulo 2 cf t de la portadora no modulada. Por

tanto, se mide en radianes.

La misma onda FM es dada por

( ) cos 2 sen 2c c ms t A f t f t (4.15)

Para la onda FM s(t) de la Ec. (4.15) sea de banda angosta, el índice de modulación debe ser pequeño en

comparación con un radián. Para seguir adelante, usamos la identidad trigonométrica

cos cos cos sen senA B A B A B

para expandir la Ec. (4.15) como

( ) cos 2 cos sen 2 sen 2 sen sen 2c c m c c ms t A f t f t A f t f t (4.16)

Entonces, bajo la condición de que el índice de modulación es pequeño comparado con un radián, podemos

usar las dos aproximaciones siguientes para todo el tiempo t:

cos sen 2 1mf t

y

sen sen 2 sen 2m mf t f t

Por tanto, la Ec. (4.16) se simplifica a

( ) cos 2 sen 2 sen 2c c c c ms t A f t A f t f t (4.17)

La Ec. (4.17) define la forma aproximada de una onda FM de banda angosta producida por la onda moduladora

sinusoidal cos 2m mA f t . A partir de esta representación aproximada, deducimos el modulador mostrado en

forma de diagrama de bloques en la Fig. 4.4. Este modulador involucra dividir la onda portadora cos 2c cA f t

en dos trayectorias. Una es directa; la otra contiene una red de corrimiento de fase de 90 grados y un

modulador de producto, cuya combinación genera una onda modulada DSB-SC. La diferencia entre estas dos

señales produce una onda FM de banda angosta, pero con alguna distorsión de amplitud, como se analiza a

continuación.

154

FIGURA 4.4 Diagrama de bloques de un método indirecto para generar un onda FM de banda angosta.

Idealmente, una onda FM tiene una envolvente constante y, para el caso de una señal moduladora sinusoidal

de frecuencia mf , el ángulo ( )i t también es sinusoidal con la misma frecuencia. Pero la onda modulada

producida por el modulador de banda angosta de la Fig. 4.4 difiere de esta condición ideal en dos aspectos

fundamentales:

1. La envolvente contiene una modulación de amplitud residual que varía con el tiempo.

2. El ángulo ( )i t contiene una distorsión armónica en la forma de armónicos de tercer orden y superiores de la

frecuencia de modulación mf .

Problema de Práctica 4.3 La representación cartesiana de señales de pasabanda analizadas en la Sección 3.8 se

adecúa bien para los esquemas de modulación lineal ejemplificados por la familia de modulación de

amplitud. Por otra parte, la representación polar

( ) ( )cos 2 ( )c is t a t f t t

se adapta bien para los esquemas de modulación no lineal ejemplificados por la familia de modulación

angular. La a(t) en esta nueva representación es la envolvente de s(t) y (t) es su fase.

Comenzando con la representación [véase la Ec. (3.39)]

( ) ( )cos 2 ( )sen 2l c Q cs t s t f t s t f t

donde ( )ls t es la componente en fase y ( )Qs t es la componente en cuadratura, podemos escribir

2 2( ) ( ) ( )l Qa t s t s t

y

1( )

( ) tan( )

Q

l

s tt

s t

Demuestre que la representación polar de s(t) en términos de a(t) y (t) es exactamente equivalente a su

representación cartesiana en términos de ( )ls t y ( )Qs t .

Problema de Práctica 4.4 Considere la onda FM de banda angosta definida aproximadamente por la Ec.

(4.17). Utilizando el Problema 4.3, haga lo siguiente:

155

(a) Determine la envolvente de esta onda modulada. ¿Cuál es la proporción entre el valor máximo y el

mínimo de esta envolvente?

(b) Determine la potencia promedio de la onda FM de banda angosta, expresada como un porcentaje de la

potencia promedio de la onda portadora no modulada.

(c) Mediante la expansión del argumento angular ( ) 2 ( )ct f t t de la onda FM de banda angosta s(t) en

la forma de una serie de potencia y restringiendo el índice de modulación a un valor máximo de 0.3

radianes, demuestre que

3

3( ) 2 sen 2 sen 23c m mt f t f t f t

¿Cuál es el valor de la distorsión armónica para = 0.3 radianes?

Sugerencia: Para valores pequeños de x, se cumple la siguiente aproximación en serie de potencia

1 31tan ( )

3x x x

En esta aproximación, se ignoran los términos que involucran 3x y otros de orden superior, lo que se

justifica cuando x es pequeña en comparación con la unidad.

La parte importante de observar en el Problema 4.4 es que restringiendo el índice de modulación a 0.3

radianes, se limitan los efectos de la modulación de amplitud residual y de la distorsión armónica a niveles

despreciables. Por tanto, nos animamos a seguir adelante con el uso de la Ec. (4.17), siempre que 0.3 radianes.

En particular, podemos expandir todavía más la onda modulada en tres componentes de frecuencia:

1( ) cos 2 cos 2 cos 2

2c c c c m c ms t A f t A f f t f f t (4.18)

Esta expresión tiene cierto parecido a la correspondiente que define una onda AM, la cual reproducimos aquí,

tomada del Ejemplo 3.1 del Capítulo 3:

AM

1( ) cos 2 cos 2 cos 2

2c c c c m c ms t A f t A f f t f f t (4.19)

donde es el factor de modulación de la señal AM. Comparando las Ecs. (4.18) y (4.19) y colocando a un lado las

constantes respectivas y , vemos que en el caso de modulación sinusoidal, la diferencia básica entre una onda

AM y una onda FM de banda angosta es que el signo algebraico de la frecuencia lateral inferior en la FM de

banda angosta está invertido. Sin embargo, una onda FM de banda angosta requiere de esencialmente el mismo

ancho de banda de transmisión (esto es, 2 mf para modulación sinusoidal) que la onda AM.

INTERPRETACIÓN FASORIAL

La onda FM de banda angosta se puede representar con un diagrama fasorial como el mostrado en la Fig. 4.5(a),

donde hemos usado el fasor de la portadora como referencia. Vemos que la resultante de los dos fasores de las

bandas laterales siempre forma ángulos rectos con el fasor de la portadora. El efecto de esta geometría es

producir un fasor resultante que representa la onda FM de banda angosta que tiene aproximadamente la misma

amplitud que el fasor de la portadora, pero está desfasado con respecto a él.

156

FIGURA 4.5 Comparación fasorial de ondas FM de banda angosta y AM para modulación

sinusoidal. (a) Onda FM de banda angosta. (b) Onda AM.

El diagrama fasorial para la onda FM debe contrastarse con el de la Fig. 4.5(b), que representa la onda AM. En

este último caso, vemos que el fasor resultante que representa la onda AM tiene una amplitud diferente de la del

fasor de la portadora, pero siempre está en fase con él.

A pesar del hecho de que la FM de banda angosta de la Ec. (4.18) y la onda AM de la Ec. (4.19) tienen tres

componentes sinusoidales, las dos partes de la Fig. 4.5 ilustran claramente las principales diferencias entres estas

dos ondas moduladas; las diferencias se atribuyen a las formas en las cuales estas dos ondas moduladas son

generadas.

4.5 Modulación de Frecuencia de Banda Ancha

Ahora queremos determinar el espectro de la FM de un solo tono definida por la fórmula exacta en la Ec. (4.15)

para un valor arbitrario del índice de modulación . En general, una onda FM así producida por una onda

moduladora sinusoidal es una función periódica en el tiempo t solamente cuando la frecuencia portadora cf es

un múltiplo entero de la frecuencia de modulación mf .

Problema de Práctica 4.5 Estrictamente hablando, la onda FM de la Ec. (4.15) producida por una onda

moduladora sinusoidal es una función no periódica del tiempo t. Demuestre esta propiedad de la

modulación de frecuencia.

A la luz de este problema, ¿cómo podemos simplificar el análisis espectral de la onda FM de banda ancha

definida e la Ec. (4.15)? La respuesta está en utilizar la representación compleja en la banda base de una señal

157

modulada (por ejemplo, una señal de pasabanda), analizada en la Sección 3.8. Específicamente, supóngase que la

frecuencia portadora cf es lo suficientemente grande (comparada con el ancho de banda de la onda FM) para

justificar escribir de nuevo la Ec. (4.15) en la forma

( ) Re exp 2 sen 2

Re ( )exp 2

c c m

c

s t A j f t j f t

s t j f t

(4.20)

El nuevo término

( ) exp sen 2c ms t A j f t (4.21)

introducida en la Ec. (4.21) es la envolvente compleja de la onda FM s(t). El punto importante de observar en la Ec.

(4.21) es que, a diferencia de la onda FM original s(t), la envolvente compleja ( )s t es una función periódica del

tiempo con frecuencia fundamental igual a la frecuencia de modulación mf . Específicamente, reemplazando t en

la Ec. (4.21) con mt k f para algún entero k, tenemos

( ) exp sen 2

exp sen 2 2

exp sen 2

c m m

c m

c m

s t A j f t k f

A j f t k

A j f t

que confirma a mf como la frecuencia fundamental de ( )s t . Podemos, por tanto, expandir ( )s t en la forma de

una serie de Fourier compleja como

( ) exp 2n m

n

s t c j nf t

(4.22)

donde el coeficiente de Fourier complejo

1 2

1 2

1 2

1 2

( )exp 2

exp sen 2 2

m

m

m

m

f

n m mf

f

m c m mf

c f s t j f t dt

f A j j f t j nf dt

(4.23)

Ahora se define la nueva variable

2 mx f t (4.24)

Por tanto, se puede redefinir el coeficiente de Fourier complejo nc en la Ec. (4.23) en la nueva forma

exp sen2

cn

Ac j x nx dx

(4.25)

La integral en el lado derecho de la Ec. (4.25), excepto por la amplitud de la portadora cA , se conoce como la

función de Bessel de orden n de la primera clase y argumento . Esta función comúnmente se denota por el símbolo

( )nJ , de modo que podemos escribir

1

( ) exp sen2nJ j x nx dx

(4.26)

158

Así que podemos reescribir la Ec. (4.25) en la forma compacta

( )n c nc A J (4.27)

Sustituyendo la Ec. (4.27) en la Ec. (4.22) obtenemos, en términos de la función de Bessel ( )nJ , la siguiente

expansión para la envolvente compleja de la onda FM:

( ) ( )exp 2c n m

n

s t A J j nf t

(4.28)

A continuación, sustituyendo la Ec. (4.28) en la Ec. (4.20), se obtiene

( ) Re ( )exp 2c n c m

n

s t A J j f nf t

(4.29)

La amplitud de la portadora cA es una constante y puede por tanto sacarse del operador Re . En

consecuencia, podemos reescribir la Ec. (4.29) en la forma simplificada

( ) ( )cos 2c n c m

n

s t A J f nf t

(4.30)

La Ec. (4.30) es la forma deseada para la expansión en serie de Fourier de la señal FM de un solo tono s(t) para el

valor arbitrario del índice de modulación .

El espectro discreto de s(t) se obtiene tomando la transformada de Fourier de la Ec. (4.30), lo cual produce

( ) ( )2

cn c m c m

n

AS f J f f f f f f

(4.31)

donde ( ) ( )s t S f y 1

cos 22c c cf t f f f f para una if arbitraria. La Ec.(4.31) muestra que el

espectro de s(t) consiste de un número infinito de funciones delta localizadas en c mf f nf para

0, 1, 2, n .

PROPIEDADES DE LA FM DE UN SOLO TONO PARA UN ÍNDICE MODULACIÓN ARBITRARIO

En la Fig. 4.6 hemos graficado la función de Bessel nJ versus el índice modulación para diferentes valores

enteros positivos de n. Podemos desarrollar una mayor comprensión del comportamiento de la función de

Bessel nJ utilizando las siguientes propiedades (véase el Apéndice 3 para más detalles):

1. Para valores enteros diferentes (positivos y negativos) de n, tenemos

( ) ( ) para parn nJ J n

(4.32)

y

( ) ( ) para imparn nJ J n

(4.33)

159

FIGURA 4.6 Gráficas de la función de Bessel de la primera clase nJ para orden n variable.

2. Para valores pequeños del índice de modulación , tenemos

0

1

( ) 1,

( ) ,2

( ) 0, 2n

J

J

J n

(4.34)

3. La igualdad

2( ) 1n

n

J

(4.35)

se cumple exactamente para arbitraria.

Por tanto, usando las Ecs. (4.31) a (4.35) y las curvas de la Fig. 4.6, podemos hacer las observaciones

siguientes:

1. El espectro de una onda FM contiene una componente de portadora y un conjunto infinito de

frecuencias laterales localizadas simétricamente a cada lado de la portadora con separaciones en

frecuencia de , 2 , 3 , m m mf f f . En este respecto, el resultado es diferente del que prevalece en la AM,

puesto que en este último caso una onda moduladora sinusoidal da lugar a solamente un par de

frecuencias laterales.

2. Para el caso especial de baja comparada con la unidad, sólo los coeficientes de Bessel 0 1( ) y ( )J J

tienen valores significativos, de modo que la onda FM está efectivamente compuesta por una portadora

y un solo par de frecuencias laterales en c mf f . Esta situación corresponde al caso especial de la FM de

banda angosta, el cual se consideró en la Sección 4.4.

160

3. La amplitud de la componente de portadora varía con de acuerdo con 0( )J . Es decir, a diferencia de

una onda AM, la amplitud de la componente de portadora de una onda FM depende del índice de

modulación . La explicación física para esta propiedad es que la envolvente de una onda FM es

constante, de modo que la potencia promedio de esta señal desarrollada en un resistor de 1 ohmio

también es constante, como en la Ec. (4.8), la cual se reproduce aquí para facilitar la presentación:

21av 2 cP A

Cuando la portadora es modulada para generar la onda FM, la potencia en las frecuencias laterales

puede aparecer solamente a costas de la potencia originalmente en la portadora, lo que hace que la

amplitud de la componente de portadora dependa de . Observe que la potencia promedio de una

onda FM también puede determinarse a partir de la Ec. (4.30), como muestra la relación

2 212

( )c n

n

P A J

(4.36)

Sustituyendo la Ec. (4.35) en la Ec. (4.36), la expresión para la potencia promedio avP se reduce a la Ec.

(4.8), y así debe ser.

EJEMPLO 4.2 Espectro FM para Amplitud y Frecuencia Variables de Onda Moduladora Sinusoidal

En este ejemplo, queremos investigar las formas en las cuales las variaciones en la amplitud y frecuencia de la

onda moduladora sinusoidal afectan el espectro de la onda FM. Considérese primero el caso cuando la

frecuencia de la onda moduladora es fija, pero su amplitud es variable, produciéndose una variación

correspondiente en la desviación de frecuencia f. Entonces, mantenido fija la frecuencia de modulación mf ,

encontramos que el espectro de amplitud de la onda FM resultante es como se muestra en la Fig. 4.7 para

1, 2 y 5 . En este diagrama, hemos normalizado el espectro con respecto a la amplitud de la portadora no

modulada.

Considérese a continuación el caso cuando la amplitud de la onda modulada es fija; es decir, la desviación de

frecuencia f se mantiene constante y la frecuencia de modulación mf se varía. En este segundo caso,

encontramos que el espectro de amplitud de la onda FM resultante es como se muestra en la Fig. 4.8 para

1, 2 y 5 . Ahora vemos que cuando f es fijo y se incrementa, tenemos un número creciente de líneas

espectrales amontonándose en el intervalo de frecuencia fijo c cf f f f f . Es decir, cuando se

aproxima a infinito, el ancho de banda de la onda FM se acerca al valor límite de 2f, que es un punto

importante de recordar.

4.6 Ancho de Banda de Transmisión de las Ondas FM

REGLA DE CARSON

En teoría, una onda FM contiene un número infinito de bandas laterales de modo que el ancho de banda

requerido para transmitir esta onda modulada es similarmente infinito en extensión. Sin embargo, en la práctica

encontramos que la onda FM está efectivamente limitada a un número finito de frecuencias laterales compatibles con una

cantidad especificada de distorsión. Por tanto, podemos trabajar con esta idea para especificar un ancho de banda

efectivo requerido de una onda FM. Consideremos primero el caso de una onda FM generada por una onda

161

moduladora de un solo tono de frecuencia mf . En esta onda FM, las frecuencias laterales que están separadas de

la portadora cf por una cantidad mayor que la desviación de frecuencia f, disminuyen rápidamente hacia cero,

de modo que el ancho de banda siempre excede la excursión de la frecuencia total, pero no obstante está

limitada. Específicamente, podemos identificar dos casos límite:

1. Para valores grandes del índice de modulación , el ancho de banda se aproxima, y es sólo ligeramente

mayor que la excursión de frecuencia total 2f, como se ilustra en la Sección 4.4.

2. Para valores pequeños del índice de modulación , el espectro de la onda FM es efectivamente limitado a la

frecuencia portadora cf y un par de frecuencias laterales en c mf f , de manera que el ancho de banda se

aproxima a 2 mf , como se ilustró en la Sección 4.4.

FIGURA 4.7 Espectros de amplitud discreta de una onda FM, normalizadas con respecto a la

amplitud de la portadora no modulada, para el caso de modulación sinusoidal de frecuencia

variable y amplitud fija. Sólo se muestran los espectros para frecuencias positivas.

162

FIGURA 4.8 Espectros de amplitud discreta de una onda FM con respecto a la amplitud de la

portadora no modulada, para el caso de modulación sinusoidal de frecuencia variable y

amplitud fija. Sólo se muestran los espectros para frecuencias positivas.

En vista de estos dos escenarios limitantes, podemos definir una regla aproximada para el ancho de banda de

transmisión de una onda FM generada por una onda moduladora de un solo tono de frecuencia mf como

1

2 2 2 1T mB f f f

(4.37)

Esta sencilla relación empírica se conoce como la regla de Carson.

163

CURVA UNIVERSAL PARA EL ANCHO DE BANDA DE TRANSMISIÓN DE FM

La regla de Carson es fácil de usar, pero, desafortunadamente, no siempre da un buen estimado de los

requerimientos de ancho de banda de los sistemas de comunicación que usan modulación de frecuencia de

banda ancha. Para una evaluación más precisa del ancho de banda de la FM, podemos usar una definición

basada en la retención del máximo número de frecuencias laterales significativas cuyas amplitudes son todas

mayores que algún valor seleccionado. Podemos entonces definir el ancho de banda de transmisión de una onda FM

como la separación entre las dos frecuencias más allá de las cuales ninguna de las bandas laterales es mayor que uno por

ciento de la amplitud de la portadora obtenida cuando se elimina el modulador. Es decir, definimos el ancho de banda de

transmisión como máx2 mn f donde mf es la frecuencia de modulación y máxn es el mayor valor del entero n que

satisface el requerimiento ( ) 0.01nJ . El valor de máxn varía con el índice de modulación y puede

determinarse fácilmente a partir de valores tabulados de la función de Bessel ( )nJ . La Tabla 4.2 muestra el

número total de frecuencias laterales significativas (incluyendo las frecuencias laterales superior e inferior) para

diferentes valores de , calculados sobre la base del uno por ciento. El ancho de banda de transmisión TB

calculado usando este procedimiento puede presentarse en la forma de una curva universal si se normaliza con

respecto a la desviación de frecuencia f y luego graficándola versus . Esta curva se muestra en la Fig. 4.9, la

cual se dibuja como un mejor ajuste a través del conjunto de puntos obtenidos al usar la Tabla 4.2. En la Fig. 4.9,

notamos que conforme el índice de modulación es incrementado, el ancho de banda ocupado por las

frecuencias laterales significativas cae hacia el valor para el cual la frecuencia portadora se desvía realmente.

Esto significa que los valores pequeños del índice de modulación son más derrochadores de ancho de banda

de transmisión que los valores más grandes de .

TABLA 4.2 Número de Frecuencias Laterales Significativas de una Señal FM de Banda Ancha

para Índice de Modulación Variable

ONDA MODULADORA ARBITRARIA

Consideremos a continuación el caso más general de una onda moduladora arbitraria m(t) con su componente

de frecuencia más alto denotado por W; es decir, W representa el ancho de banda del mensaje. Ahora tenemos

que tratar una situación más difícil. Una forma de abordarla es buscar una evaluación del peor caso del ancho de

banda de transmisión. Específicamente, el ancho de banda requerido para transmitir una onda FM generada por

una onda moduladora arbitraria se basa en el análisis de una modulación de tono en el peor caso. Primero

determinamos la llamada razón de desviación D, definida como la razón de la frecuencia de desviación f, la cual

164

corresponde a la máxima amplitud posible de la onda de modulación m(t), a la más alta frecuencia de

modulación W. Estas condiciones representan los posibles casos extremos. Entonces, podemos escribir

formalmente

FIGURA 4.9 Curva universal para evaluar el ancho de banda del uno por ciento de una onda FM.

ONDA MODULADORA ARBITRARIA

Consideremos a continuación el caso más general de una onda moduladora arbitraria m(t) con su componente

de frecuencia más alto denotado por W; es decir, W representa el ancho de banda del mensaje. Ahora tenemos

que tratar una situación más difícil. Una forma de abordarla es buscar una evaluación del peor caso del ancho de

banda de transmisión. Específicamente, el ancho de banda requerido para transmitir una onda FM generada por

una onda moduladora arbitraria se basa en el análisis de una modulación de tono en el peor caso. Primero

determinamos la llamada razón de desviación D, definida como la razón de la frecuencia de desviación f, la cual

corresponde a la máxima amplitud posible de la onda de modulación m(t), a la más alta frecuencia de

modulación W. Estas condiciones representan los posibles casos extremos. Entonces, podemos escribir

formalmente

f

DW

(4.38)

La razón de desviación D juega el mismo papel en la modulación no sinusoidal que el que juega el índice de

modulación en el caso de la modulación sinusoidal. Por tanto, si se reemplaza por D y mf con W, podemos

generalizar la Ec. (4.37) y obtener

2TB f W (4.39)

165

De aquí en adelante nos referiremos a la Ec. (4.39) como la regla de Carson generalizada para el ancho de banda de

transmisión de una señal FM arbitraria. En una forma similar, podemos generalizar la curva universal de la Fig.

4.9 para obtener un valor para el ancho de banda de transmisión de la señal FM. Desde un punto de vista

práctico, la regla de Carson generalizada subestima en algo el requerimiento de ancho de banda de un sistema

FM, en tanto que, en una forma correspondiente, el uso de la curva universal de la Fig. 4.9 da un resultado algo

conservador. Por tanto, la selección de un ancho de banda de transmisión que esté entre las cotas suministradas

por estas dos reglas empíricas es aceptable para la mayoría de los objetivos prácticos.

EJEMPLO 4.3 Radiodifusión Comercial de FM

En Norte América, el valor máximo de la desviación de frecuencia f está fijado en 75 kHz para la radiodifusión

comercial de FM por radio. Si tomamos la frecuencia de modulación W = 15 kHz, que típicamente la “máxima”

frecuencia de audio de interés en la transmisión de FM, encontramos que el valor correspondiente de la razón de

desviación es [usando la Ec. (4.38)]

755

15D

Usando los valores f = 75 kHz y D = 5 en la regla de Carson generalizada de la Ec. (4.39), encontramos que el

valor aproximado del ancho de banda de transmisión de la señal FM se obtiene como

2 75 15 180 kHzTB

Por otra parte, usando la curva universal de la Fig. 4.9 da el ancho de banda de transmisión de la señal FM como

3.2 3.2 75 240 kHzTB f

En este ejemplo, la regla de Carson subestima el ancho de transmisión por 25 por ciento comparado con el

resultado de usar la curva universal de la Fig. 4.9.

4.7 Generación de Ondas FM

De acuerdo con la Ec. (4.5), la frecuencia instantánea if de una onda FM varía linealmente con la señal del

mensaje m(t). Por tanto, para el diseño de un modulador de frecuencia necesitamos un dispositivo que produzca

una señal de salida cuya frecuencia instantánea sea sensible a variaciones en la amplitud de una señal de entrada

en una forma lineal.

Existen dos métodos básicos de generar ondas moduladas en frecuencia, uno directo y el otro indirecto.

MÉTODO DIRECTO

El método directo usa un oscilador sinusoidal, con uno de los elementos reactivos (por ejemplo, el elemento

capacitivo) en el circuito tanque del oscilador que es controlado directamente por la señal del mensaje. En

términos conceptuales, el método directo es por tanto de implementación directa. Además, es capaz de

proporcionar grandes desviaciones de frecuencias. Sin embarga, una seria limitación del método es la tendencia

de la portadora a desviarse, lo que usualmente inaceptable para aplicaciones de radio comerciales. Para superar

esta limitación, se requiere estabilización de la frecuencia del generador FM, lo que se obtiene a través del uso de

realimentación alrededor del oscilador; véase el Problema 4.15 para la descripción de este procedimiento. Aunque

166

el oscilador puede él mismo ser sencillo de construir, el uso de estabilización de frecuencia añade mayor

complejidad del sistema al diseño del modulador de frecuencias.

MÉTODO INDIRECTO: MODULADOR DE ARMSTRONG

En el método indirecto, por otra parte, la señal del mensaje se usa primero para producir una FM de banda angosta,

que es seguida por multiplicación de frecuencia para incrementar la desviación de frecuencia al nivel deseado. En

este segundo método, el problema de la estabilidad de la frecuencia portadora es aliviado mediante el uso un

oscilador de alta estabilidad (por ejemplo, un oscilador a cristal) en la generación de la FM de banda angosta;

este esquema de modulación se denomina el modulador de frecuencia de banda ancha de Armstrong, en

reconocimiento a su inventor.

En la Fig. 4.10 se muestra un diagrama de bloques simplificado de este sistema de FM indirecta. La señal del

mensaje m(t) es primero integrada y después usada para modular en fase un oscilador controlado a cristal; el

usado del control a cristal proporciona estabilidad de frecuencia. Para minimizar la distorsión inherente al

modulador de fase, la máxima desviación de fase o índice de modulación se mantiene baja a propósito, lo que

resulta en una onda FM de banda angosta; para la implementación del modulador de fase de banda angosta,

podemos usar el arreglo descrito en la Fig. 4.4. La onda FM de banda angosta es multiplicada a continuación en

frecuencia mediante un multiplicador de frecuencia para producir la onda FM de banda ancha deseada.

Un multiplicador de frecuencia consiste de un dispositivo no lineal sin memoria seguido por un filtro de

pasabanda, como muestra la Fig. 4.11. La implicación del dispositivo no lineal que no tiene memoria es que no

tiene elementos que almacenen energía. La relación de entrada salida de un dispositivo así puede expresarse e la

forma general

21 2( ) ( ) ( ) ( )n

nv t a s t a s t a s t (4.40)

donde 1 2 na a a son coeficientes determinados por el punto de operación del dispositivo, y n es el orden

más alto de la no linealidad. En otras palabras, el dispositivo no lineal es un dispositivo de ley de n-ésima potencia.

La entrada s(t) es una onda FM definida por

0

( ) cos 2 2 ( )t

c c fs t A f t k m d

(4.41)

FIGURA 4.10 Diagrama de bloques del método indirecto de generar una onda FM de banda ancha.

167

FIGURA 4.11 Diagrama de bloques de un multiplicador de frecuencias.

donde la frecuencia instantánea es

( ) ( )i c ff t f k m t (4.42)

Supóngase que (1) la frecuencia en la banda media del filtro de pasabanda en la Fig. 4.11 se toma igual a cnf ,

donde cf es la frecuencia portadora de la onda FM entrante s(t), y (2) el filtro de pasabanda está diseñado para

tener un ancho de banda igual a n veces el ancho de banda de transmisión de s(t). En el Problema .25 que trata

con efectos no lineales en sistemas FM, estudiamos las contribuciones espectrales de términos no lineales tales

como los términos de segundo y tercer orden en la relación de entrada – salida de la Ec. (4.40). Por ahora basta

con decir que después del filtrado de pasabanda de la salida v(t) del elemento no lineal, tenemos una nueva

onda FM definida por

0

( ) cos 2 2 ( )t

c c fs t A f t k m d

(4.43)

cuya frecuencia instantánea es

( ) ( )i c ff t nf k m t (4.44)

Por tanto, comparando la Ec. (4.44) con la Ec. (4.42), vemos que el subsistema no lineal de la Fig. 4.11 actúa como

un multiplicador de frecuencia con ( )c cf t nf y ( )f fk t nk . La razón n de la multiplicación de frecuencia es

determinada por la potencia más alta n en la relación de entrada – salida de la Ec. (4.40), que caracteriza al

dispositivo no lineal sin memoria.

4.8 Demodulación de Señales FM

La demodulación de frecuencia es el proceso mediante el cual la señal del mensaje original es recuperada de una

onda FM entrante. En otras palabras, la demodulación de frecuencia es la inversa de la modulación de frecuencia.

Puesto que el modulador de frecuencia es un dispositivo que produce una señal de salida cuya frecuencia

instantánea varía linealmente con la amplitud de la señal del mensaje de entrada, se deduce que para la

demodulación de frecuencia necesitamos un dispositivo cuya amplitud de salida sea también sensible a

variaciones en la frecuencia instantánea de la onda FM de entrada en una forma lineal.

En lo que sigue, describimos dos dispositivos para la demodulación de frecuencia. Uno de ellos, denominado

un discriminador de frecuencias, se basa en la detección de pendiente seguida por detección de envolvente. El

168

otro dispositivo, llamado un lazo de encaje de fase, realiza la demodulación de frecuencia en forma más bien

indirecta.

DISCRIMINADOR DE FRECUENCIA

Recuerde que la señal FM es dada por

0( ) cos 2 2 ( )

t

c c fs t A f t k m d

que es la Ec. (4.41), reproducida aquí para facilitar la presentación. La pregunta que planteamos es. ¿Cómo

recuperamos la señal del mensaje m(t) que viene con la señal modulada s(t)? Podemos motivar la formulación de

un receptor para hacer esta recuperación observando que si tomamos la derivada de la Ec. (4.44) con respecto al

tiempo, entonces obtenemos

0

( )2 ( ) sen 2 2 ( )

t

c c f c f

ds tA f k m t f t k m d

dt

(4.45)

Al inspeccionar la Ec. (4.45), observamos que la derivada es una señal de pasabanda con modulación de

amplitud definida por término multiplicador ( )c ff k m t

. En consecuencia, si cf es lo suficientemente grande

de modo que la portadora no está sobre modulada, entonces podemos recuperar la señal del mensaje m(t) con

un detector de envolvente en una forma análoga a la descrita para señales AM en el Capítulo 3. Esta idea

proporciona la motivación la discriminación de frecuencias, que es básicamente un demodulador formado por un

diferenciador seguido por un detector de envolvente.

Sin embargo, hay dificultades prácticas relacionadas con la implementación del discriminador en la forma que

se acaba de describir – particularmente, el diferenciador. En el Capítulo 2, se demostró que la diferenciación se

corresponde con una función de transferencia lineal en el dominio de la frecuencia; es decir,

2d

j fdt

(4.46)

En términos prácticos, es difícil construir un circuito que tenga una función de transferencia equivalente al lado

derecho de la Ec. (4.46) para todas las frecuencias. Más bien, construimos un circuito que aproxime esta función

de transferencia en el ancho de banda de la señal de pasabanda – en particular, para

2 2c T c Tf B f f B , donde TB es el ancho de banda de transmisión de la señal FM entrante s(t). Una

característica de transferencia típica que satisface este requerimiento es descrita por

1

2 2 , 2 2( )

0, otros valores de

c T c T c Tj f f B f B f f BH f

f

(4.47)

La característica de transferencia de este llamado circuito de pendiente se ilustra en la Fig. 4.12 para frecuencias

positivas. Un circuito de pendiente práctico tendría una ganancia no unitaria asociada con la pendiente; pero,

para simplificar las cosas, suponemos que tiene ganancia unitaria sin pérdida de generalidad. Al circuito

tampoco se le requiere que tenga respuesta cero fuera del ancho de banda de transmisión, siempre que el

circuito sea precedido por un filtro de pasabanda centrado en cf con ancho de banda TB .

169

FIGURA 4.12 Respuesta de frecuencia de un circuito de pendiente ideal.

Es más sencillo proceder con una representación compleja en la banda base del procesamiento de la señal realizado

por el discriminador. Específicamente, siguiendo la representación teórica desarrollada en el Capítulo 3,

encontramos que la envolvente compleja de la señal FM s(t) es

0

( ) 2 ( )t

c fs t A j k m d

(4.48)

cuya aplicabilidad requiere que la frecuencia portadora cf sea grande comparada con TB . Entonces, podemos

expresar el filtro complejo en la banda base (es decir, el circuito de pendiente) que corresponde a la Ec. (4.48)

como

1

2 2 , 2 2( )

0, otros valores de

T T Tj f B B f BH f

f

(4.49)

Sea 1( )s t la envolvente compleja de la respuesta del circuito de pendiente debida a ( )s t . Entonces, de acuerdo

con la transformación de pasabanda a pasabajas descrita en el Capítulo 3, podemos expresar la transformada de

Fourier de 1( )s t como

111

( ) ( ) ( )2

1 1 1( ),

2 2 2

0, otros valores de

t T T

S f H f S f

j f B S f B f B

f

(4.50)

donde ( )S f es la transformada de Fourier de ( )s t . La razón para introducir el factor de multiplicación de 1/2 en

la primera línea de la Ec. (4.50) se delineó en el Capítulo 3. Para determinar 1( )s t , que es la inversa de 1( )S f ,

recurrimos a dos propiedades pertinentes de la transformada de Fourier, como se bosquejan aquí (véase el

Capítulo 2):

1. La multiplicación de la transformada de Fourier ( )S f por 2j f es equivalente a diferenciar la transformada

de Fourier inversa ( )s t de acuerdo con la Propiedad 9 en la Ec. (2.33), como muestra la relación

( ) 2 ( )d

s t j f S fdt

170

2. La aplicación de la propiedad de linealidad (esto es, la Ec. (2.14)) a la parte diferente de cero de 1( )S f da

1

1 1( ) ( ) ( )

2 2 T

ds t s t j B s t

dt (4.51)

Sustituyendo la Ec. (4.48) en la Ec. (4.51), se obtiene

10

21( ) 1 ( ) exp 2 ( )

2

tf

c T fT

ks t j A B m t j k m d

B

(4.52)

Finalmente, la respuesta real del circuito de pendiente debida a la onda FM s(t) es dada por1

1 1

0

( ) Re ( )exp 2

21 1 ( ) cos 2 2 ( )

2 2

c

tf

c T c fT

s t s t j f t

kA B m t f t k m d

B

(4.53)

El siguiente bloque funcional a considerar es el detector de envolvente, el cual es alimentado por 1( )s t . De la Ec.

(4.53, vemos que 1( )s t es una onda modulada híbrida, exhibiendo tanto modulación de amplitud como de

frecuencia de la señal del mensaje m(t). Con tal que se mantenga la extensión de la modulación de amplitud, a

saber,

máx

2( ) 1 para todo

f

T

km t t

B

entonces el detector de envolvente recuperará la señal del mensaje m(t), excepto por una constante.

Específicamente, bajo condiciones ideales, la salida del detector de envolvente es dada por

1

21( ) 1 ( )

2

fc T

T

kv t A B m t

B

(4.54)

La constante en 1( )v t la define el término constante en la Ec. (4.54) – a saber, 2c TA B .

Para remover la constante, podemos usar un segundo circuito de pendiente seguido por un detector de

envolvente. Sin embargo, esta vez el circuito de pendiente se diseña de modo que tenga una pendiente negativa.

Sobre esta base, de la Ec. (4.54) se infiere que la salida de esta segunda configuración la da la relación

2

21( ) 1 ( )

2

fc T

T

kv t A B m t

B

(4.55)

En consecuencia, restando la Ec. (4.55) de la Ec. (4.54), se obtiene una salida global que está libre de constante,

como lo muestra la relación

1 2( ) ( ) ( )

( )

v t v t v t

cm t

(4.56)

donde c es una constante.

1 Observe que la primera línea de la Ec. (4.53) es una repetición de la Ec. (3.43) en el Capítulo 3, la cual trata con la relación

entre una señal modulada s(t) y su representación compleja ( )s t .

171

En vista de las Ecs. (4.54) a (4.56), ahora podemos construir el diagrama de bloques de la Fig. 4.14 para el

discriminador de frecuencias ideal cuya composición es la siguiente:

La trayectoria superior de la figura pertenece a la Ec. 4.54.

La trayectoria inferior pertenece a la Ec. (4.55).

La unión de suma toma en cuenta la Ec. (4.56).

Este sistema particular de detección se denomina un discriminador de frecuencias balanceado, donde el término

“balanceado” se refiere al hecho de que los dos circuitos de pendiente del sistema están relacionados entre sí en

la forma descrita en las Ecs. (4.54) y (4.55).

Desde una perspectiva práctica, el desafío en la implementación del discriminador de frecuencia equilibrado2

de la Fig. 4.13 es cómo construir los dos circuitos de pendiente de modo que se satisfagan los requerimientos del

diseño de las Ecs. (4.54) y (4.55).

FIGURA 4.15 Diagrama de bloques de un discriminador de frecuencias balanceado.

LAZO DE ENCAJE DE FASE

El lazo de encaje de fase es un sistema realimentado cuya operación está íntimamente ligada a la modulación de

frecuencia. Se usa comúnmente para sincronización de la portadora y demodulación indirecta de frecuencia. La

última aplicación es el tópico que nos interesa aquí.

Básicamente, el lazo de encaje de fase consiste de tres componentes principales:

Oscilador controlado por voltaje (OCV), el cual realiza modulación de frecuencia de su propia señal de control.

Multiplicador, el cual multiplica una onda FM entrante por la salida del oscilador controlado por voltaje.

2 En Haykin (1994), páginas 178-180, se describe una realización práctica del discriminador de frecuencias balanceado,

usando un par de filtros RLC altamente resonantes. Los dos filtros están diseñados para tener un factor Q alto. El factor de

calidad o factor Q de un filtro resonante es una medida de lo agudo de la respuesta de frecuencia del filtro; formalmente se

define como 2 veces la razón de la máxima energía almacenada en el filtro a la energía disipada en el filtro, ambas medidas

en una base por ciclo. Para la aplicación actual, un filtro se sintoniza en una frecuencia sobre la frecuencia portadora no

modulada fc y el otro filtro se sintoniza en una frecuencia por debajo de fc. Par un factor Q alto, la linealidad perteneciente a la

porción requerida de la respuesta de frecuencia total, centrada en fc, la determina la separación de las dos frecuencias

resonantes.

172

Filtro de lazo de un tipo de pasabajas, cuya función es remover las componentes de alta frecuencia

contenidas en la señal de salida del multiplicador y por tanto conformar la respuesta de frecuencia global

del sistema.

Como se muestra en el diagrama de bloques de la Fig. 4.14, estas tres componentes están interconectadas para

formar un sistema de realimentación de lazo cerrado.

FIGURA 4.14 Diagrama de bloques del lazo de encaje de fase.

Para demostrar la operación del lazo de encaje de fase como un demodulador de frecuencia, suponemos que el

OCV ha sido ajustado de modo que cuando la señal de control (esto es, la entrada) sea cero, se satisfacen dos

condiciones:

1. La frecuencia del OCV es fijada precisamente en la frecuencia de la portadora no modulada cf de la onda

FM entrante s(t).

2. La salida del OCV tiene un desfase de 90 grados con respecto a la onda portadora no modulada.

Supóngase que la onda FM entrante es definida por

1( ) sen 2 ( )c cs t A f t t (4.57)

donde cA es la amplitud de la portador. Por definición, el ángulo 1( )t está relacionado con la señal del mensaje

m(t) por la integral

10

( ) 2 ( )t

ft k m d (4.58)

donde fk es el factor de sensibilidad en frecuencia del modulador de frecuencia responsable por la generación

de s(t). En forma correspondiente, de acuerdo con los puntos (1) y (2), definimos la onda FM producida por el

OCV como

2( ) cos 2 ( )v cr t A f t t (4.59)

donde vA es la amplitud. El ángulo 2( )t está relacionado con la señal de control v(t) del OCV por la integral

20

( ) 2 ( )t

vt k v d (4.60)

donde vk es el factor de sensibilidad de frecuencia del OCV.

173

La función del lazo de realimentación que actúa alrededor del OCV es ajustar el ángulo 2( )t de modo que sea

igual a 1( )t , ajustando así la etapa para la demodulación de frecuencia. Para ahondar un poco más en esta

función y cómo puede surgir, necesitamos desarrollar un modelo para el lazo de encaje de fase, como se describe

a continuación.

Con este objetivo, primero observamos que la multiplicación de la onda FM entrante s(t) por la onda FM

generada localmente r(t) produce dos componentes (excepto por el factor de escala de 1/2):

1. Una componente de alta frecuencia, la cual es definida por el término de doble frecuencia – a saber,

1 2sen 4 ( ) ( )m c v ck A A f t t t

donde mk es la ganancia del multiplicador.

2. Una componente de baja frecuencia, la cual es definida por el término de la diferencia de frecuencias – a saber,

1 2sen ( ) ( )m c vk A A t t

Problema de Práctica 4.6 Usando una conocida identidad trigonométrica que involucra el producto del

seno de un ángulo y el coseno de otro ángulo, demuestre los dos resultados que se acaban de describir bajo

los puntos 1 y 2.

Con el lazo del filtro diseñado para suprimir las componentes de alta frecuencia en la salida del multiplicador,

podemos de aquí en adelante descartar el término de frecuencia doble. Al hacer esto, podemos reducir la señal

aplicada al filtro de lazo a

( ) sen ( )m c v ce t k A A t (4.61)

donde ( )e t es el error de fase, definido por

1 2

10

( ) ( ) ( )

( ) 2 ( )

e

t

v

t t t

f t k v d

(4.62)

Cuando el error de fase ( )e t es cero, se dice que el lazo de encaje de fase está encajado en fase. Se dice que está

cerca del encaje de fase cuando el error de fase ( )e t es pequeño comparado con un radián; bajo esta condición

podemos usar la aproximación

sen ( ) ( )e et t

Esta aproximación es precisa hasta un cuatro por ciento siempre y cuando ( )e t sea menor que 0.5 radianes. En

este caso, podemos aproximar la señal de error de la Ec. (4.61) como

0

( ) ( )

( )

m c v e

ev

e t k A A t

Kt

k

(4.63)

donde el nuevo parámetro

174

0 m v c vK k k A A (4.64)

se denomina el parámetro de ganancia del lazo del lazo de encaje de fase.

La señal de error e(t) actúa sobre el filtro del lazo para producir la salida global v(t). Sea h(t) la respuesta al

impulso del filtro de lazo. Podemos entonces relacionar v(t) con e(t) mediante la integral de convolución

( ) ( ) ( )v t e h t d

(4.65)

Las Ecs. (4.62), (4.63), (4.65) y (4.60), en ese orden, constituyen un modelo de realimentación linealizado del lazo de

encaje de fase. El modelo se muestra en la Fig. 4.15(a) con el ángulo 1( )t de la onda AM entrante s(t) actuando

como entrada y la salida del filtro de lazo v(t) actuando como la salida global del lazo de encaje de fase.

De la teoría de realimentación lineal, recordemos el siguiente teorema importante3

Cuando la función de transferencia de lazo abierto de un sistema de realimentación lineal tiene una

magnitud grande comparada con la unidad para todas las frecuencias, la función de transferencia

de lazo cerrado del sistema es determinada efectivamente por el recíproco de la función de

transferencia de la trayectoria de realimentación.

Expresado de otra forma, la función de transferencia de lazo cerrado del sistema realimentado se vuelve

esencialmente independiente de la trayectoria directa.

Del modelo de realimentación linealizado de la Fig. 4.15(a), observamos tres puntos que son importantes para

este problema:

1. La trayectoria de realimentación está solamente por el integrador escalado descrito en la Ec. (4.60), que es la

contribución del OCV al modelo. De forma correspondiente, el recíproco de esta trayectoria de

realimentación se describe en el dominio del tiempo por diferenciador escalado:

2( )1( )

2 v

d tv t

k dt

(4.66)

2. La conducta del lazo cerrado en el dominio del tiempo del lazo de encaje de fase es descrita por la salida

global v(t) producida en respuesta al ángulo 1( )t en la onda FM entrante.

3. La magnitud de la función de transferencia de lazo abierto del lazo de encaje de fase es controlada por el

parámetro de ganancia del lazo 0K de la Ec. (4.64).

3 Considérese el ejemplo clásico de un amplificador de realimentación negativa, el cual está conformado por dos componentes:

un amplificador de ganancia en la trayectoria directa y una red de ganancia en la trayectoria de realimentación. La

ganancia de lazo cerrado del amplificador se define como

1A

El término producto en el denominador es la ganancia de lazo abierto del amplificador realimentado. Con es grande

comparado con la unidad, la fórmula para A es determinada efectivamente por el recíproco de , como muestra la relación

1A

175

FIGURA 4.15 (a) Modelo linealizado del lazo de encaje de fase. (b) Forma aproximada del

modelo, suponiendo que la ganancia del lazo 0K es grande comparada con la unidad.

Suponiendo que el parámetro de la ganancia del lazo 0K es grande comparada con la unidad, la aplicación del

teorema de realimentación lineal al modelo de la Fig. 4.15(a) nos enseña que la función de transferencia de lazo

cerrado (esto es, la conducta del lazo cerrado en el dominio del tiempo) del lazo de encaje de fase es

determinada efectivamente por el recíproco de la función de transferencia (es decir, el desempeño en el dominio

del tiempo) de la trayectoria de realimentación. En consecuencia, en vista del teorema de realimentación y de la

Ec. (4.66), podemos relacionar la salida global v(t) con el ángulo de entrada 1( )t por la fórmula aproximada

1( )1( )

2 v

d tv t

k dt

(4.67)

Permitiendo que 0K tenga un valor grande tiene el efecto de hacer que el error de fase ( )e t se aproxime a cero.

Bajo esta condición, tenemos 1 2( ) ( )t t en correspondencia con la primera línea de la Ec. (4.62). Esta condición

de igualdad aproximada proporciona la razón para reemplazar 2( )t con 1( )t en la Ec. (4.67).

En vista de la relación aproximada descrita en la Ec. (4.67), ahora podemos simplificar el modelo de

realimentación linealizado de la Fig. 4.15(a) a la forma mostrada en la parte (b) de la figura. Por tanto, al sustituir

la Ec. (4.58) en la Ec. (4.67), obtenemos

0

1( ) 2 ( )

2

( )

t

fv

f

v

dv t k m d

k dt

km t

k

(4.68)

La Ec. (4.68) establece que cuando el sistema opera en el modo de encaje de fase o cerca del encaje y el parámetro

de la ganancia del lazo 0K es grande comparado con la unidad, se alcanza la demodulación de frecuencia de la onda

176

FM entrante s(t); es decir, se recupera la señal del mensaje original a m(t) a partir de s(t), excepto por el factor de

escala f vk k .

Una característica importante del lazo de encaje de fase, actuando como un demodulador de frecuencia, es que

el ancho de banda de la onda FM entrante s(t) puede ser mucho más amplio que el del filtro de lazo

caracterizado por la respuesta al impulso h(t). La función de transferencia H(f) del filtro de lazo puede y por tanto debe

ser restringida a la banda base (es decir, la banda de frecuencias original ocupada por la señal del mensaje).

Entonces la señal de control del OCV – vale decir, v(t) – tiene el ancho de banda de la señal de banda base

(mensaje) m(t), en tanto que la salida del OCV r(t) es una onda modulada en frecuencia cuya frecuencia

instantánea rastrea las variaciones en la frecuencia instantánea de la onda FM entrante s(t) debida a m(t). Aquí

estamos simplemente reiterando el hecho de que el ancho de banda de una onda FM de banda ancha es mucho

mayor que el ancho de banda de la señal del mensaje responsable por su generación.

La complejidad del lazo de encaje de fase es determinada por la función de transferencia ( )H f del filtro de lazo.

La forma más sencilla de un lazo de encaje de fase se obtiene tomando ( ) 1H f ; es decir, no hay filtro de lazo,

en cuyo caso el lazo de encaje de fase se conoce como un lazo de encaje de fase de primer orden. Para lazos de orden

superior, la función de transferencia ( )H f toma una forma más compleja que depende de la frecuencia.

Una limitación importante de un lazo de encaje de fase de primer orden que el parámetro de la ganancia del

lazo 0K controla tanto el ancho de banda del lazo como también la banda de frecuencias de dominio del lazo. La

banda de frecuencias de dominio se refiere a la gama de frecuencias para las cuales el lazo permanece en una

condición de enganche de fase con respecto a la onda FM entrante. Ésta es la razón por la cual, a pesar de su

sencillez, un lazo de encaje de fase de primer orden raramente se usa en la práctica. Más bien, el procedimiento

recomendado es usar un lazo de encaje de fase de segundo orden, cuya realización se satisface usando un filtro

de lazo de primer orden; véase el Problema 4.25.

Problema de Práctica 4.7 Usando el modelo linealizado de la Fig. 4.15(a), demuestre que el modelo es

regido aproximadamente por la ecuación integro-diferencial

10

( ) ( )2 ( ) ( )e

e

d t d tK h t d

dt dt

Por tanto, deduzca los dos resultados aproximados siguientes en el dominio de la frecuencia.

(a) 1

1( ) ( )

1 ( )e f fL f

(b) 1

( )( ) ( )

1 ( )

j f L fV f f

kv L f

donde

0

( )( )

H fL f K

jf

es la función de transferencia de lazo abierto. Finalmente, demuestre que cuando ( )L f es grande

comparada con la unidad para todas las frecuencias dentro de la banda del mensaje, la versión en el

dominio del tiempo de la fórmula en la parte (b) se reduce a la forma aproximada en la Ec. (4.68).

177

4.9 Tema Ejemplo: Multiplexado en FM Estéreo

El multiplexado estéreo es una forma de multiplexado por división de frecuencia (FDM, por sus siglas en inglés)

diseñado para transmitir dos señales separadas usando la misma portadora. Se usa ampliamente en la radio

difusión de FM para enviar dos elementos diferentes de un programa (por ejemplo, dos secciones diferentes de

una orquesta, un vocalista y un acompañante) para dar una dimensión espacial a su percepción por un oyente en

el terminal receptor.

La especificación de estándares la transmisión en estéreo de FM es influenciada por dos factores:

1. La transmisión tiene que operar dentro de los canales de radiodifusión FM asignados.

2. Tiene que ser compatible con radio receptores monofónicos.

El primer requisito establece los parámetros de frecuencia permisibles, incluyendo la desviación de frecuencia.

El segundo requisito restringe la forma en que se configura la señal.

La Fig. 4.16(a) muestra el diagrama de bloques del sistema de multiplexado en un transmisor de FM estéreo.

Sean ( ) y ( )l rm t m t las señales captadas por dos micrófonos, izquierdo y derecho, en el terminal transmisor del

sistema. Ellas se aplican a un matrizador sencillo que genera la señal suma, ( ) ( )l rm t m t , y la señal diferencia,

( ) ( )l rm t m t . La señal suma se deja sin procesamiento en su forma de banda base; está disponible para recepción

monofónica. La señal diferencia y una subportadora de 38 kHz (obtenida de oscilador a cristal de 19 kHz por

duplicación de la frecuencia) se aplican a un modulador de producto, produciendo así una onda modulada

DSB-SC . Adicionalmente a la señal suma y esta onda modulada DSB-SC, la señal multiplexada m(t) también

incluye un piloto de 19 kHz para proporcionar una referencia para la detección coherente de la señal diferencia

en el receptor estéreo. Entonces, de acuerdo con la Figl 4.16(a), la señal multiplexada es descrita por

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 4 cos 2l r l r c cm t m t m t m t m t f t K f t (4.69)

donde 19cf kHz y K es la amplitud del tono piloto. Entonces, la señal multiplexada m(t) modula la portadora

principal para producir la señal transmitida; esta modulación de frecuencia no se muestra en la Fig. 4.16(a). Al

piloto se le permite en 8 y 10 por ciento de la desviación de frecuencia pico; la amplitud K en la Ec. (4.69) se

selecciona para satisfacer este requerimiento.

En un receptor estéreo, antes que nada la señal multiplexada m(t) es recuperada por demodulación de

frecuencia de la onda FM entrante. Entonces m(t) se aplica al sistema de demultiplexado mostrado en l Fig. 4.16(b).

Las componentes individuales de la señal multiplexada m(t) son separados mediante el uso de tres filtros

apropiados. El piloto recuperado (usando un filtro de banda angosta sintonizado en 19 kHz) es doblado en

frecuencia para producir la subportadora de 38 kHz deseada. La señal diferencia ( ) ( )l rm t m t es recuperada de

este modo. El filtro de pasabajas en la banda base en la trayectoria superior de la Fig. 4.16(b) se diseña para pasar

la señal suma ( ) ( )l rm t m t . Finalmente, el matrizador sencillo reconstruye las señales originales de la izquierda

( )lm t y de la derecha ( )rm t , excepto por el factor de escala 2, y las aplica a sus respectivas bocinas. De esta

manera se logra la FM estereofónica.

178

FIGURA 4.16 (a) Multiplexor en transmisor de FM estéreo. (b) Desmultiplexor en receptor de FM estéreo.

4.10 Resumen y Análisis

En el Capítulo 3 se estudiaron los principios fundamentales de la primera familia de modulación de onda

continua (OC), con base en la modulación de amplitud y sus variantes. En este capítulo, se completó el estudio

de los fundamentos de la modulación de OC, con b ase en la modulación angular.

Fundamentalmente, hay dos tipos de modulación angular:

179

La modulación de fase (PM), donde la fase instantánea de la onda portadora sinusoidal es variada

linealmente de acuerdo con la señal del mensaje.

La modulación de frecuencia (FM), donde la frecuencia instantánea de la onda portadora sinusoidal se

varía linealmente con la señal del mensaje.

Estos dos métodos de modulación están íntimamente relacionados en que si se nos da uno de ellos, podemos

deducir el otro. Por esta razón enfocamos mucho del análisis en la modulación de frecuencia.

La modulación de frecuencia (FM) es tipificada por la ecuación

0

( ) cos 2 2 ( )t

c c fs t A f t k m d

(4.70)

donde m(t) es la señal del mensaje, cos 2c cA f t es la onda portadora sinusoidal y fk es la sensibilidad de

frecuencia del modulador. La Ec. (4.70) es una repetición de la Ec. (4.7), reproducida en este punto simplemente

para facilitar la presentación.

A diferencia de la modulación de amplitud, de la Ec. (4.70) vemos que la FM es un proceso de modulación no

lineal. En consecuencia, el análisis espectral de la FM es más difícil que para la AM. No obstante, al estudiar la

FM de un solo tono, pudimos desarrollar un alto grado de entendimiento de las propiedades espectrales de la

FM. En particular, deducimos una regla empírica conocida como la regla de Carson generalizada para una

evaluación aproximada del ancho de banda de transmisión TB de la FM. De acuerdo con esta regla, TB es

controlada por un solo parámetro: el índice de modulación para la FM sinusoidal o la razón de desviación D

para la FM no sinusoidal.

En la FM, la amplitud de la portadora y por tanto la potencia promedio transmitida es mantenida constante. Es

aquí donde está la ventaja importante de la FM sobre la AM en el combate contra los efectos del ruido o

interferencia en la recepción, un tema que se estudia en el Capítulo 8. Esta ventaja se vuelve más pronunciada a

medida que el índice de modulación (razón de desviación) es aumentado. Por tanto, la modulación de

frecuencia proporciona un método práctico para el intercambio de ancho de banda del canal por desempeño

mejorado contra el ruido, lo cual no es posible con la modulación de amplitud.

Aquí es pertinente un comentario final. En la misma forma que con la modulación de amplitud, el desarrollo

de la familia de la modulación angular ha sido motivado por su importancia directa en las comunicaciones

analógicas, pero muchos aspectos de esta rama de la teoría de modulación son igualmente aplicables a las

comunicaciones digitales. Por ejemplo, si la señal del mensaje en la Ec. (4.70) es restringida a niveles de 1 o +1 y

representa los símbolos binarios 0 y 1, respectivamente, entonces tenemos una forma básica de modulación

digital conocida como modulación binaria por desplazamiento de frecuencia (BFSK, por sus siglas en inglés),

que se analiza en el Capítulo 7.

180

PROBLEMAS ADICIONALES

4.8 Dibuje las ondas PM y FM producidas por la onda diente de sierra mostrada en la Fig. 4.17 como la fuente

de modulación

FIGURA 4.17 Problema 4.8

4.9 En un radar modulado en frecuencia la frecuencia instantánea de la portadora transmitida se varía como en l

Fig. 4.18. Una señal así es generada por modulación de frecuencia con una onda moduladora triangular

periódica. La frecuencia instantánea de la señal de eco recibida se muestra punteada en la Fig. 4.18, donde

es el tiempo de retardo de ida y vuelta. La señal transmitida y la señal de eco recibida son aplicadas a un

mezclador y se retiene la componente con la frecuencia diferencia. Suponiendo que 0 1f para todo ,

determine el número de ciclos de batido en la salida del mezclador, promediados durante un segundo, en

términos de la desviación pico f de la frecuencia portadora, el retardo y la frecuencia de repetición 0f

de la señal transmitida. (El batido se refiere a una señal cuya frecuencia es la diferencia entre las

frecuencias de las dos señales de entrada.)

FIGURA 4.18 Problema 4.9

4.10 Considérese un intervalo t de una onda FM ( ) cos ( )cs t A t tal que (t) satisface la condición

( )t t t

Por tanto, demuestre que si t es suficientemente pequeña, la frecuencia instantánea de la onda FM dentro

de este intervalo es dada aproximadamente por

1

2if t

4.11 La onda moduladora sinusoidal

( ) cos 2m mm t A f t

181

es aplicada a un modulador de fase con sensibilidad de fase pk . La onda portadora no modulada tiene

frecuencia cf y amplitud cA . Determine el espectro de la onda modulada en fase resultante, suponiendo

que la máxima desviación de fase p mk A no excede 0.3 radianes.

4.12 Una onda portadora es modulada en frecuencia usando una señal sinusoidal de frecuencia mf y amplitud

mA .

(a) Determine los valores del índice de modulación para los cuales la componente de portadora de la

onda FM se reduce a cero. Para este cálculo puede usar los valores de 0( )J dados en el Apéndice 3.

(b) En un cierto experimento conducido con 1mf kHz y mA creciente (comenzado desde cero voltios),

se encuentra que la componente de portadora de la onda FM es reducida a cero por primera vez

cuando 2mA voltios. ¿Cuál es la sensibilidad de frecuencia del modulador? ¿Cuál es el valor de mA

para el cual la componente de portadora es reducida a cero por segunda vez?

4.13 Una onda portadora de frecuencia 100 MHz es modulada en frecuencia por una onda sinusoidal de

amplitud 20 V y frecuencia 100 kHz. La sensibilidad de frecuencia del modulador es 25 Hz/V.

(a) Determine el ancho de banda aproximado de la onda FM usando la regla de Carson.

(b) Determine el ancho de banda obtenido al transmitir solamente aquellas frecuencias laterales con

amplitudes que exceden uno por ciento de la amplitud de la portadora no modulada. Use la curva

universal de la Fig. 4.9 para este cálculo.

(c) Repita sus cálculos, suponiendo que la amplitud de la onda modulada es doblada.

(d) Repita sus cálculos, suponiendo que la frecuencia de modulación es doblada.

4.14 Considérese una onda PM de banda ancha producida por la onda moduladora sinusoidal cos 2m mA f t ,

usando un modulador con una sensibilidad de fase igual a fk radianes por voltio.

(a) Demuestre que si la máxima desviación de fase de la onda PM es grande comparada con un radián, el

ancho de banda de la onda PM varía linealmente con la frecuencia de modulación mf .

(b) Compare esta característica de una onda PM de banda ancha con la de una onda FM de banda ancha.

4.15 La Fig. 4.19 muestra el diagrama de bloques de un sistema realimentado de lazo cerrado para la

estabilización de la frecuencia portadora de un modulador de frecuencia de banda ancha. El oscilador

controlado por voltaje mostrado en la figura constituye el modulador de frecuencia. Usando las ideas de

mezclado (por ejemplo, traslación de frecuencias) (descritas en el Capítulo 3) y de la discriminación de

frecuencias (descrita en este capítulo), analice cómo el sistema realimentado de la Fig. 4.19 es capaz de

aprovecharse de la precisión en frecuencia del oscilador a cristal para estabilizar el oscilador controlado

por voltaje.

182

Figura 4.19 Problema 4.15

4.16 Considérese el esquema de demodulación de frecuencia mostrado en la Fig. 4.20 en el cual la onda FM

entrante s(t) se pasa por una línea de retardo que produce un corrimiento de fase de /2 radianes en la

frecuencia portadora cf . La salida de la línea de retardo es restada de s(t) y la onda compuesta resultante

es entonces detectada por envolvente. Este demodulador tiene aplicación en la demodulación de ondas

FM en frecuencias de microondas. Suponiendo que

( ) cos 2 sen 2c c cs t A f t f t

analice la operación de este demodulador cuando el índice de modulación es menor que la unidad y el

retardo T producido por la línea de retardo es lo suficientemente pequeño para justificar el uso de las

aproximaciones

cos 2 1mf t

y

sen 2 2m mf t f T

FIGURA 4.20 Problema 4.16

4.17 Considere el siguiente par de señales moduladoras:

1. 1 0

1

, 0( )

0, 0

a t a tm t

t

2. 2 1 0

2

, 0( )

0, 0

b t b t b tm t

t

donde las a y las b son parámetros constantes.

La señal 1 se aplica a un modulador de frecuencia, en tanto que la señal 2 se aplica a un modulador de

fase. Determine las condiciones para las cuales las salida de estos dos moduladores son exactamente las

mismas.

183

4.18 En este problema trabajamos con las especificaciones de un receptor heterodino de FM dadas en la Tabla

3.2. En particular, dadas esas especificaciones, haga el trabajo siguiente:

(a) Determine la banda de frecuencias suministradas por el oscilador local del receptor para acomodar la

banda de la portadora de RF de 88108 MHz.

(b) Determine la banda correspondiente de frecuencias imágenes.

PROBLEMAS AVANZADOS

4.19 La frecuencia instantánea de una onda sinusoidal es igual a cf f para 2t T y cf para 2t T .

Determine el espectro de esta onda modulada en frecuencia. Sugerencia: Divida el intervalo de tiempo de

interés en tres regiones que no se solapan:

(i) 2t T

(ii) 2 2T t T

(iii) 2T t

4.20 La Fig. 4.21 muestra el diagrama de bloques de un analizador de espectro que opera bajo el principio de

modulación de frecuencia. La señal dada g(t) y una señal modulada en frecuencia s(t) se aplican a un

multiplicador y la salida g(t)s(t) es introducida en un filtro de respuesta al impulso h(t). Las señales s(t) y

h(t) son señales FM lineales cuyas frecuencias instantáneas varían con tasas opuestas, como muestra la

relación

2( ) cos 2 cs t f t kt

y

2( ) cos 2 ch t f t kt

donde k es una constante. Demuestre que la envolvente de la salida del filtro es proporcional al espectro

de amplitud de la señal de entrada g(t), donde el término producto kt juega el papel de la frecuencia cf .

Sugerencia: Use las notaciones complejas descritas en la Sección 3.8 para la transmisión de pasabanda.

FIGURA 4.21 Problema 4.20

4.21 Considérese la onda modulada

10

( ) ( )cos 2 2 ( )t

c fs t a t f t k m d

donde a(t) es una función de envolvente que varía lentamente, cf es la frecuencia potadora, fk es la

sensibilidad de frecuencia y m(t) es una señal de mensaje. La onda modulada s(t) es procesada por un

184

limitador de pasabanda, el cual consiste de un limitador fuerte seguido por un filtro de pasabanda. La

función del limitador de pasabanda es remover fluctuaciones de amplitud debida a a(t). Especifique los

parámetros del filtro de pasabanda de modo que se produzca la onda FM

20

( ) cos 2 2 ( )t

c fs t A f t k m d

donde A es una amplitud constante.

4.22 El análisis de la distorsión producida en una onda FM aplicada a un canal de comunicaciones lineal es de

un importante interés práctico. En este problema, exploramos este análisis para el caso especial de una

onda FM de banda ancha producida por una onda moduladora sinusoidal. Sea ( )H f la función de

transferencia del canal. Comenzando con la Ec. (4.15), haga lo siguiente:

(a) Deduzca una expresión para la señal modulada producida en la salida del canal.

(b) Use la expresión deducida en la parte (a) para analizar la distorsión producida por el canal.

4.23 En la Sección 4.1 se señaló que el ángulo instantáneo ( )i t en ondas moduladas angularmente puede

variarse de acuerdo con una señal de mensaje m(t) en un número infinito de maneras. El tratamiento de la

modulación angular presentado en este capítulo se enfocó en la modulación de fase y en la de frecuencia

como dos candidatas importantes. El objetivo de este problema es explorar otros métodos de producir

ondas moduladas angularmente.

(a) Realice esta exploración considerando derivadas e integrales de la señal del mensaje m(t) como

posibles funciones de respuesta para el proceso de modulación.

(b) ¿Se obtendrían algunos beneficios prácticos en estos nuevos métodos de modulación angular?

Explique su respuesta.

4.24 En este problema se explora cómo el uso de la FM puede superar la distorsión no lineal. Considérese un

canal sin memoria caracterizado por la relación no lineal de entradasalida

2 31 2 3( ) ( ) ( ) ( )o i i iv t a v t a v t a v t

donde ( )iv t es la entrada y ( )ov t es la salida; 1 2 3, y a a a son coeficientes fijos. La entrada es definida por

la señal modulada en frecuencia

0( ) cos 2 2 ( )

t

i c c fv t A f t k m d

El ancho de banda del mensaje es W y la desviación de frecuencia de la señal FM es f.

(a) Evalúe la salida ( )ov t .

(b) Use la regla de Carson generalizada para demostrar que si la frecuencia de la portadora satisface la

condición

3 2cf f W

entonces el efecto de la distorsión no lineal puede removerse mediante filtrado de pasabanda.

185

(c) Especifique la frecuencia de media banda y el ancho de banda del filtro en la parte (b).

4.25 Considérese un lazo de encaje de fase de segundo orden que usa un filtro de lazo con función de transferencia

( ) 1a

H fjr

donde a es un parámetro del filtro.

(a) Use este filtro de lazo en la fórmula siguiente (véase la parte a del Problema de Ejercicio 4.7)

1

1( ) ( )

1 ( )e f fL f

para demostrar que la transformada de Fourier resultante del error de fase ( )e f se puede expresar

como

2

12( ) ( )

1 2

ne

n n

j f ff f

j f f j f f

donde nf es la frecuencia natural del lazo, y

0 4K a

es su factor de amortiguamiento.

(b) Por tanto, justifique la afirmación de que mediante una selección apropiada de los parámetros nf y

es posible que este lazo de encaje de fase supere las limitaciones de la versión de primer orden del

lazo.

186