Resumen Calculo II (2014-2)

Juyoung Wang

A) Aplicacion de integral

1) Longitud de arco:

Sea 𝑓: ,𝑎, 𝑏- → ℝ con derivada continua, se define la longitud de la curva de 𝑦 = 𝑓(𝑥)

con 𝑥 ∈ ,𝑎, 𝑏- por:

𝐿 = ∫ √1 + (𝑑𝑦

𝑑𝑥*2𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Sea 𝑔: ,𝑐, 𝑑- → ℝ con derivada continua, se define la longitud de la curva de 𝑥 = 𝑔(𝑦)

con 𝑦 ∈ ,𝑐, 𝑑- por:

𝐿 = ∫ √1 + (𝑑𝑥

𝑑𝑦*2𝑑

𝑐

𝑑𝑦

2) Area de una superficie de revolucion:

Sea 𝑓: ,𝑎, 𝑏- → ℝ con derivada continua, se define el area de la superficie de solido de

revolucion de 𝑦 = 𝑓(𝑥) que gira respecto al eje X, con 𝑥 ∈ ,𝑎, 𝑏- por:

𝑆𝑋 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + (𝑑𝑦

𝑑𝑥*2𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Sea 𝑓: ,𝑎, 𝑏- → ℝ con derivada continua, se define el area de la superficie de solido de

revolucion de 𝑦 = 𝑓(𝑥) que gira respecto al eje Y, con 𝑥 ∈ ,𝑎, 𝑏- por:

𝑆𝑌 = 2𝜋 ∫ 𝑥√1 + (𝑑𝑦

𝑑𝑥*2𝑏

𝑎

𝑑𝑥

3) Presion hidrostatica:

Se define la presion, como la fuerza ejercida en una unidad de area determinada:

𝑃 = 𝜌𝑔𝑑

donde: 𝜌: Densidad.

𝑑: Distancia entre la placa y la superficie.

𝑔: Aceleracion de la gravedad.

4) Fuerza:

A partir de la segunda ley de Newton, definimos la fuerza F que actua sobre una

particula como la multiplicacion entre la masa y la aceleracion:

𝐹 = 𝑚𝑎

Ley de Hooke:

La fuerza que actua sobre una masa unida al resorte se calcula usando:

𝐹 = −𝑘𝑥(𝑡)

donde: 𝑘: Constante de elasticidad del resorte.

𝑥(𝑡): Distancia entre la longitud original del resorte y la particula en el

intante t.

Y el trabajo hecho por el resorte se calcula mediante la siguiente ecuacion:

𝑊 = −𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥𝑙2−𝑙𝑜

𝑙1−𝑙0

donde: 𝑙0: Longitud natural del resorte.

𝑙1: Longitud del resorte en 𝑡 = 0.

𝑙2: Longitud del resorte en 𝑡 = 𝑡𝑓.

5) Trabajo:

Sea 𝐹 la fuerza constante y ∆d la distancia recorrida, se define la fuerza como:

𝑊 = 𝐹∆𝑥

Entonces, de este modo, se define el trabajo necesario para mover la particula desde

el punto 𝑎 hasta el punto 𝑏, mediante la siguiente formula:

𝑊𝑎𝑏 = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Si la fuerza 𝐹 no es constante y si el cuerpo se mueve desde el punto 𝑎 hasta el

punto 𝑏, el trabajo realizado se calcula con la siguiente formula:

𝑊𝑘 = 𝑚𝑘𝑔𝑥𝑘∗ ⟹ 𝑇𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ 𝑇𝑘

𝑛−1

𝑘=0

⟹ ∫ (𝐹(𝑥) ∙ 𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

6) Centro de masa:

Centro de masa de un sistema unidimensional: Sea 𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑘 las posiciones de

masas 𝑚1, ⋯ ,𝑚𝑘 , se calcula el centro de masa con:

�� =∑ 𝑚𝑘𝑥𝑘

𝑛𝑘=1

∑ 𝑚𝑘𝑛𝑘=1

Centro de masa del sistema (Centroide): Sea 𝑃1, ⋯ , 𝑃𝑘 las posiciones de masas

𝑚1, ⋯ ,𝑚𝑘 , se calcula el centro de masa con:

�� = (��, ��) =(∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎,12 ∫ (𝑓(𝑥))

2𝑑𝑥

𝑏

𝑎)

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

Centro de masa de una region encerrada por dos funciones:

Sean 𝑓, 𝑔 funciones continuas con 𝑔(𝑥) > 𝑓(𝑥) ∀x ∈ ℝ, su centroide es:

�� = (��, ��) =(∫ 𝑥,𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)-𝑑𝑥

𝑏

𝑎,12 ∫ ,(𝑔(𝑥))

2− (𝑓(𝑥))

2-𝑑𝑥

𝑏

𝑎)

∫ ,𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)-𝑑𝑥𝑏

𝑎

Momento: Sea �� el centro de masa, llamaremos momento a:

𝑀 = 𝑚��

Momento del sistema respecto al eje X:

𝑀𝑋 = ∑ 𝑚𝑘𝑦𝑘

𝑛

𝑘=1

=𝜌

2∫ (𝑓(𝑥))

2𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ⟹ 𝑦𝑈𝑛𝑖𝑑𝑖𝑚

=𝑀𝑥

∑𝑚

Momento del sistema respecto al eje Y:

𝑀𝑌 = ∑ 𝑚𝑘𝑥𝑘

𝑛

𝑘=1

= 𝜌∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ⟹ 𝑥𝑈𝑛𝑖𝑑𝑖𝑚 =𝑀𝑦

∑𝑚

Teorema de Pappus: Sea 𝑅 una region acotada, 𝑙 una recta que NO corta a 𝑅 y 𝑑

la distancia recorrida por el centroide al rotar respecto a la recta 𝑙, si 𝑆 es el solido

resultante producido por rotar 𝑅 en torno a 𝑙, entonces el area y el volumen de 𝑆:

𝐴 = 2𝜋𝐿𝑑 = ∫ (𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥𝑏

𝑎

⟹ 𝑉𝑆 = 2𝜋𝐴𝑑 = 𝜋 ∫ .(𝑔(𝑥))2− (𝑓(𝑥))

2/ 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 𝐴𝑑𝑅𝑒𝑐𝑝𝑜𝑟𝑥

B) Curvas parametricas

I) Curvas en el plano cartesiano:

Diremos que 𝛾 es una curva parametrica, con 𝑡 denominado como parametro, si:

𝛾(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) con (𝑥, 𝑦): ,𝑡1, 𝑡2- → ℝ

1) Tangente: Sea 𝑥 = 𝑓(𝑥) ∧ 𝑦 = 𝑔(𝑥) ⟹ 𝑔(𝑥) = 𝐹(𝑓(𝑥)), entonces:

𝐹′(𝑥) =𝑔′(𝑡)

𝑓′(𝑡)

y la recta tangente a la curva en el punto (𝑎, 𝑏) es:

𝐿: (𝑦 − 𝑏) = 𝐹′(𝑥) ⋅ (𝑥 − 𝑎)

2) Longitud: Sea 𝛾(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) con 𝑡 ∈ ,𝑎, 𝑏-, su longitud sera determinado por:

𝐿 = ∫ √(𝑥′(𝑡))2+ (𝑦′(𝑡))

2𝑏

𝑎

𝑑𝑡

3) Area: Sea 𝑅 la region delimitada por 𝛾(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) con 𝑡 ∈ ,𝑎, 𝑏-, 𝑥′(𝑡) ≥ 0, 𝑥 = 𝑥(𝑎),

𝑥 = 𝑥(𝑏) e 𝑦 = 0, entonces el area de la region 𝑅 se calcula mediante la siguiente

formula:

𝐴𝑅 = ∫ 𝑦(𝑡) ⋅ 𝑥′(𝑡)𝑏

𝑎

𝑑𝑡

4) Area de una superficie de revolucion:

Sea 𝑅 la region delimitada por 𝛾(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) con 𝑡 ∈ ,𝑎, 𝑏-, 𝑥′(𝑡) ≥ 0, 𝑥 = 𝑥(𝑎),

𝑥 = 𝑥(𝑏) e 𝑦 = 0, entonces el area de la superficie del volumen generado al rotar la

region 𝑅 respecto al eje X se calcula mediante la siguiente formula:

𝑆𝑋 = 2𝜋 ∫ 𝑦(𝑡)√(𝑥′(𝑡))2+ (𝑦′(𝑡))

2𝑏

𝑎

𝑑𝑡

Y al rotarlo entorno al eje Y:

𝑆𝑌 = 2𝜋 ∫ 𝑥(𝑡)√(𝑥′(𝑡))2+ (𝑦′(𝑡))

2𝑏

𝑎

𝑑𝑡

Figuras tipicas:

1) Cicloide:

Sea γ(θ) = (𝑥(𝜃), y(θ)):

- 𝑥(𝜃) = 𝑟(𝜃 − 𝑠𝑖𝑛(𝜃))

- 𝑦(𝜃) = 𝑟(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝜃))

2) Astroide:

Sea x2

3 + y2

3 = 𝑟2

3

- 𝑥(𝜃) = 𝑟𝑐𝑜𝑠3(𝜃)

- 𝑦(𝜃) = 𝑟𝑠𝑖𝑛3(𝜃)

II) Curvas en polares:

1) Coordenadas polares:

𝜌 = 𝜌(𝜃) = (𝜌, 𝜃) (𝑥, 𝑦) → (𝜌, 𝜃)

donde:

Parametrizacion:

𝝆: Distancia entre el origen y el punto P.

𝜽: Angulo recorrido en sentido anti-horario,

con respecto al eje x.

𝒙 = 𝒓 ⋅ 𝒄𝒐𝒔(𝜽) 𝒚 = 𝒓 ⋅ 𝒔𝒊𝒏(𝜽)

Con:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐

2) Tangente:

Sea: 𝑥 = 𝑟 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝑓(𝜃) ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑦 = 𝑟 ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝜃) = 𝑓(𝜃) ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝜃)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦𝑑𝜃𝑑𝑥𝑑𝜃

=

𝑑𝑟𝑑𝜃

(𝑠𝑖𝑛(𝜃) + 𝑟 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑑𝑟𝑑𝜃

(𝑐𝑜𝑠(𝜃) − 𝑟 ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝜃)

3) Formulas:

a) Longitud de la curva polar:

𝐿 = ∫ √(𝜌(𝜃))2 + (𝜌′(𝜃))2𝑑𝜃

𝛽

𝛼

b) Area de la region encerrada por la curva polar:

𝐴 =1

2∫ 𝜌2(𝜃)𝑑𝜃

𝛽

𝛼

4) Tecnica de graficacion entre 0 y 𝟐𝛑:

𝜌(𝜃) = 𝑎 ∙ sin (𝜃)

donde 𝑎 = r

𝜌(𝜃) = 𝑎 ∙ cos (𝜃)

donde 𝑎 = r

𝜌(𝜃) = cos (𝑎𝜃) donde 𝑎 sera igual a la doble de la cantidad de los petalos, si a es par. Los petalos pasan por eje Y.

𝜌(𝜃) = cos (𝑎𝜃) donde 𝑎 sera igual a la cantidad de petalo, si a es impar. Los petalos no pasan por eje Y.

𝜌(𝜃) = sin (𝑎𝜃) donde 𝑎 sera igual a la doble de la cantidad de los petalos, si a es par. Los petalos no pasan por eje Y.

𝜌(𝜃) = cos (𝑎𝜃) donde 𝑎 sera igual a la cantidad de petalo, si a es impar. Los petalos pasan por eje Y, por abajo (3), ariba(5), sucesivamente.

𝜌(𝜃) = 𝑎(1 − 𝑛 ⋅ 𝑐𝑜 𝑠(𝜃)) donde 𝑎 sera igual al tercio del radio del pesudo-circulo exterior y 𝑛 aumente junto con el radio de pseudo-circulo interior.

C) Integral impropia

Tipo I:

Sea f(x) continua en ,𝑎,∞) ∧ (−∞, 𝑏-

y si ∃∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥t

𝑎, ∀𝑡 ≥ 𝑎 ∧ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

b

𝑡, ∀𝑡 ≤ 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

𝑎

= lim𝑡→∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥t

𝑎

∧ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥b

−∞

= lim𝑡→−∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥b

𝑡

Tipo II:

a) Sea f continua sobre ,𝑎, 𝑏) y discontinua en 𝑏:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥b

𝑎

= lim𝑡→b−

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥t

𝑎

b) Sea f continua sobre (𝑎, 𝑏- y discontinua en 𝑎:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥b

𝑎

= lim𝑡→a+

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥b

𝑡

Concepto de la convergencia:

1) Convergente: Existe el limite de la integral.

2) Divergente: No existe el limite de la integral.

c-1) Criterios de comparacion:

a) Sean f y g continuas con 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ≥ 𝑎

Entonces:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

𝑎 es convergente ⇒ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

∞

𝑎 es convergente

∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥∞

𝑎 es divergente ⇒ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞

𝑎 es divergente

b) Comparar con 1

𝑥𝜆:

Si 0 ≤ 𝝀 ≤ 𝟏: ∫1

𝒙𝝀

∞

𝑎𝑑𝑥 diverge.

Si 𝝀 > 𝟏: ∫1

𝒙𝝀

∞

𝑎𝑑𝑥 converge.

D) Serie

Sucesiones: Es una funcion que hace 𝑓: ℕ → ℝ.

Sea 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛, definiremos la convergencia de la sucecion como:

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐿 | Si 𝑛 ≥ 𝑁 ⇒ ∀ℇ > 0 ∧ |𝐿 − 𝑎𝑛| < ℇ

- Convergencia de sucesion:

Si lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝐿 < ∞, entonces la sucesion converge.

Teorema de valor absouluto:

lim𝑛→∞

|𝑎𝑛| = 0 ⇒ lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 0

Teorema de axioma del supremo:

Toda sucesion monotona creciente o decreciente y acotada, converge.

Convergencia de la suceciones:

Si 0 ≤ lim𝑛→∞

𝑎𝑛 < ∞ con un solo valor determinado, entonces la sucesion converge.

d-0) Serie:

Sea *𝑎𝑘+𝑘=1𝑛 una sucesion, se denomina la SERIE como la suma determinada por:

S = ∑ 𝑎𝑛

∞

𝑛=𝑘

= ∑𝑎𝑛 donde 𝑘 < ∞

donde lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = 𝑆 con 𝑆𝑛 la n-esima suma parcial

Y S denominado como la SUMA DE SERIE.

Convergencia de series:

Convergente: ∃ lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = 𝑎1 + ⋯+ 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 = 𝑠 𝜖 ℝ ∧ lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0

- Divergente: ∄ lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 ∧ lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 ≠ 0

d-1) Propiedad:

Sean ∑𝑎𝑛 y ∑𝑏n series convergentes, las siguientes series tambien lo son y ademas cumplen con

la siguiente propiedad:

1) lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim𝑚→∞ ∑ 𝑎𝑖∞𝑖=𝑚

2) ∑ 𝑐𝑎𝑛∞𝑛=1 = 𝑐 ∑ 𝑎𝑛

∞𝑛=1

3) ∑ (𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛)∞𝑛=1 = ∑ 𝑎𝑛

∞𝑛=1 ± ∑ 𝑏𝑛

∞𝑛=1

d-2) Series conocidas:

1) Serie aritmetica:

∑ 𝑎𝑘

n

𝑘=1

= 𝑎1 + ⋯+ 𝑎𝑛 =𝑛(𝑎1 + 𝑎𝑛)

2, donde:

𝑑 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑(𝑛 − 1)

2) Serie geometrica:

∑ 𝑟𝑘−1𝑛𝑘=1 = 1 + 𝑟 + ⋯+ 𝑟∞ {

1

1−𝑟, 𝑠𝑠𝑖 |𝑟| < 1

(1−𝑟𝑛)

1−𝑟, 𝑠𝑠𝑖 𝑟 > 1

y la serie diverge cuando |𝑟| > 1

∑ 𝑟𝑘

∞

𝑘=𝑎

=𝑟𝑎

1 − 𝑟

3) Serie armonica:

La serie ∑1

𝑛

∞𝑛=1 se denomina como serie armonica y es divergente.

d-3) Serie alternante:

Sea *𝑎𝑛+ sucesion de terminos positivos, entonces llamaremos SERIE ALTERNANTE a:

𝑆 = ∑ 𝑏𝑘

∞

𝑘=1

= ∑(−1)𝑘−1 ∙ 𝑎𝑘

∞

𝑘=1

Criterio de Leibniz (o de la serie alternante):

i) 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛

ii) lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0

Entonces la serie alternante converge.

d-4) Tipos de convergencia:

a) Convergencia absoluta:

∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 converge absolutamente, si ∑ |𝑎𝑘|

∞𝑘=1 converge.

Teorema:

Si ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 converge absolutamente, entonces la serie converge.

Pero esto no dice que la convergencia de una serie implica su

convergencia absoluta.

b) Convergencia condicional:

∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 no converge absolutamente, pero si converge normalmente.

d-5) Criterios de convergencia:

1) Criterio cero:

∑ 𝑎𝑛

∞

𝑛=1

converge ⇒ lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 0

Es decir:

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 ≠ 0 ⇒ ∑ 𝑎𝑛

∞

𝑛=1

diverge

2) Criterio de la integral:

Sea 𝑓: ,1,∞) → ℝ0+ continua y decreciente:

a) ∫ 𝑓(𝑥)∞

1𝑑𝑥 < ∞ ⇔ ∑ 𝑓(𝑘)∞

𝑘=1 < ∞

b) ∫ 𝑓(𝑥)∞

1𝑑𝑥 = ∞ ⇔ ∑ 𝑓(𝑘)∞

𝑘=1 = ∞

3) Criterio de comparacion:

Sean 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛:

a) ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 diverge ⟹ ∑ 𝑏𝑛

∞𝑛=1 diverge

b) ∑ 𝑏𝑛∞𝑛=1 converge ⟹ ∑ 𝑎𝑛

∞𝑛=1 converge

4) Criterio de comparacion al limite:

Sean 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 ∈ ℝ+ tales que:

lim𝑛→∞

𝑎𝑛

𝑏𝑛

= 𝜌

Si 0 < 𝜌 < ∞:

∑𝑎𝑘 converge ⇔ ∑𝑏𝑘 converge ∑𝑎𝑘 diverge ⇔ ∑𝑏𝑘 diverge

Si 𝜌 = 0:

∑𝑏𝑘 converge ⟹ ∑𝑎𝑘 converge ∑𝑎𝑘 diverge ⟹ ∑𝑏𝑘 diverge

5) Criterio de la razon y de la raiz:

Considerando la serie ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 :

Criterio de la razon: Si ∃ lim𝑛→∞ |𝑎𝑛+1

𝑎𝑛| = 𝑐 > 0

Criterio de la raiz: Si lim𝑛→∞

√|𝑎𝑛|𝑛

= 𝑑 > 0

𝟎 ≤ 𝐜, 𝐝 < 𝟏: Absolutamente convergente = Convergente.

𝐜, 𝐝 > 𝟏: Divergente.

𝐜, 𝐝 = 𝟏: No concluyente.

d-6) Resto:

Sea 𝑎𝑛 sucesion y 𝑆 = ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 convergente, con 𝑆𝑛 = ∑ 𝑎𝑘

n𝑘=1 , se define el RESTO como:

𝑅𝑛 = 𝑆 − 𝑆𝑛 = ∑ 𝑎𝑘

∞

𝑘=𝑛+1

Teorema:

1) La serie 𝑆 = ∑ 𝑎𝑘∞𝑘=1 converge, ssi lim𝑛→∞ 𝑅𝑛 = 0.

2) Si lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 y 𝑓: ,1,∞) → ℝ0+ es contunua y decreciente, tal que 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛, entonces:

𝑆𝑛 + ∫ 𝑓(𝑥)∞

𝑛+1

𝑑𝑥 ≤ 𝑆 ≤ 𝑆𝑛 + ∫ 𝑓(𝑥)∞

𝑛

𝑑𝑥

3) Si lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 y 𝑓: ,1,∞) → ℝ0+ es contunua y decreciente, tal que 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛, entonces:

∫ 𝑓(𝑥)∞

𝑛+1

𝑑𝑥 ≤ 𝑅𝑛 ≤ ∫ 𝑓(𝑥)∞

𝑛

𝑑𝑥

d-7) Estimacion de sumas:

1) Resto de una serie: Sea ∑𝑎𝑛 sucesion convergente, comparando con la serie ∑𝑏𝑛 , es

decir, 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛, y ademas 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 ∧ 𝑔(𝑛) = 𝑏𝑛 , entonces:

𝑅𝑛 = 𝑠 − 𝑠𝑛 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛+2 + ⋯ 𝑇𝑛 = 𝑡 − 𝑡𝑛 = 𝑏𝑛+1 + 𝑏𝑛+2 + ⋯

y como 𝑅𝑛 ≤ 𝑇𝑛, y por lo tanto:

𝑅𝑛 ≤ 𝑇𝑛 ≤ ∫ 𝑔(𝑥)∞

𝑛

𝑑𝑥

donde el valor de ∫ 𝑔(𝑥)∞

𝑛𝑑𝑥 o 𝑇𝑛 seria el valor aproximado del error de la suma de la

serie ∑𝑎𝑛 hasta 𝑛 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 terminos.

2) Resto de serie alternante:

Si para la sucesion *𝑎𝑘+𝑘=1∞ , se verifica que 𝑎𝑘 > 0 y es decreciente ∀k ϵ ℕ , entonces:

∑ (−1)𝑘−1𝑎𝑘∞𝑘=1 es convergente y debe cumplir con:

|𝑅𝑘| = |𝑆𝑘 − 𝑆| ≤ |𝑆𝑘 − 𝑆𝑘+1| = 𝑎𝑘+1 donde |𝑅𝑘| es el residuo, el tamano de error y que el

valor de 𝑎𝑘+1 seria el valor aproximado del residuo.

d-9) Estrategias para determinar la convergencia:

1) Si lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 ≠ 0, entonces la serie diverge.

2) Si la serie es de forma u orden ∑1

𝑛𝑝, es convergente si 𝑝 < 1 y divergente si 𝑝 ≥ 1.

3) Si la serie es geometrica (∑𝑟𝑛−1 ∨ ∑ 𝑟𝑛), entonces la serie converge si |𝑟| < 1 y diverge

si |𝑟| ≥ 1.

4) Si la serie es parecida a las 𝑝 − 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠, y si la serie es de terminos positivos, entonces

se debe aplicar el criterio de comparacion al limite.

Pero si la serie contiene algunos signos negativos, entonces se debe ver si hay

convergencia absoluta.

5) Si la serie es de forma ∑(−1)𝑛−1𝑎𝑛 o bien, ∑(−1)𝑛𝑎𝑛, entonces podria aplicar el criterio

de Leibniz.

6) Si la serie contiene factorial y/o una potencia n-esima, entonces podria aplicar el criterio

de la razon y si esto no funciona, de la raiz.

7) Si la serie es de forma ∑𝑏𝑛𝑛, entonces el criterio de la raiz podria ser util.

8) Si 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛, es conveniente resolver ∫ 𝑓(𝑥)∞

1𝑑𝑥, si la integral es evaluable con facilidad.

d-9) Serie de potencias

S(x) = ∑ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛∞𝑛=0 = Serie de potencias en (x − a) donde:

- 𝒓: Es una sucesion denominada como RADIO DE CONVERGENCIA y se calcula:

𝑅 =1

𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢𝑝𝑛→∞

√|𝑐𝑛|𝑛

= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

|𝑐𝑛

𝑐𝑛+1

|

Y el intervalo de convergencia esta dada por la inecuacion: |𝑥 − 𝑎| ≤ 𝑟

Teorema de convergencia de las series de potencias:

1) La serie ∑ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛∞𝑛=0 es convergente, si:

a) 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑟 = 0

b) |𝑥 − 𝑎| < 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ (0,∞)

2) La serie ∑ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛∞𝑛=0 es divergente, si:

a) 𝑥 ≠ 𝑎 ∧ 𝑟 = 0

b) |𝑥 − 𝑎| > 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ (0,∞)

Si |𝑥 − 𝑎| = 𝑟, se debe hacer un estudio para determinar si es convergente o no.

Derivacion e integracion de las series de potencias: Se deriva e integra normalmente

como la siguiente:

1) Derivacion:

𝑑

𝑑𝑥(∑ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛

∞

𝑛=0

) = ∑ 𝑛 ∗ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛−1

∞

𝑛=1

2) Integracion:

∫(∑ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛

∞

𝑛=0

) = 𝐶 + ∑1

𝑛 + 1∗ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛+1

∞

𝑛=0

d-10) Serie de Taylor y de Maclaurin

Serie de Taylor:

𝑇(x) = ∑𝑓(𝑘)(𝑎)(𝑥 − 𝑎)𝑘

𝑘!

∞

𝑘=0

+∫ (𝑥 − 𝑡)𝑛𝑓(𝑛+1)(𝑡)

𝑥

𝑎𝑑𝑡

𝑛!

donde:

∑𝑓(𝑘)(𝑎)(𝑥−𝑎)𝑘

𝑘!∞𝑘=0 : Polinomio de Taylor.

∫ (𝑥−𝑡)𝑛𝑓(𝑛+1)(𝑡)𝑥

𝑎𝑑𝑡

𝑛! : Resto de Taylor.

Estimacion de error de Taylor:

Si |𝑓(𝑛+1)(𝑥)| ≤ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ ,𝑎, 𝑏-, entonces:

|𝑅𝑛(𝑓, 𝑥)| ≤ 𝑀 ⋅|𝑥 − 𝑎|𝑛+1

(𝑛 + 1)!≤ 𝑀 ⋅

|𝑏 − 𝑎|𝑛+1

(𝑛 + 1)!

Serie de Maclaurin: Es la serie de Taylor con 𝑎 = 0.

𝑀(x) = ∑𝑓(𝑛)(𝑎)

𝑛!(𝑥)𝑛

∞

𝑛=0

= 𝑓(0) + 𝑥𝑓(1)(0) +𝑓(2)(0)

2!𝑥2 + ⋯

Y al hacerlo n-veces, se obtiene la siguiente formula:

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(1)(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +𝑓(2)(𝑎)

2!(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯+

𝑓(𝑛)(𝑎)

𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛 + 𝑅𝑛(𝑥)

La igualdad de Euler:

𝑒𝑖𝑥 = cos(𝑥) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑥)

𝑒𝑖𝜋 + 1 = 0

Serie binomial:

(1 + 𝑥)k = ∑ .𝑘𝑛/𝑥𝑛

∞

𝑛=0

= 1 + 𝑘𝑥 +𝑘(𝑘 − 1)

2!𝑥2 +

𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)

3!𝑥3 − +⋯ con 𝑎 = 0

Series importantes:

1

1 − 𝑥= ∑ 𝑥𝑛

∞

𝑛=0

= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯

1

1 + 𝑥= ∑ 𝑥𝑛

∞

𝑛=0

= 1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + ⋯

𝑒𝑥 = ∑ 𝑥𝑛

∞

𝑛=0

= 1 +𝑥

1!+

𝑥2

2!+

𝑥3

3!+ ⋯

sin(𝑥) = ∑(−1)𝑛𝑥2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!

∞

𝑛=0

= 𝑥 −𝑥3

3!+

𝑥5

5!−

𝑥7

7!+ ⋯ con 𝑎 = 0

cos(𝑥) = ∑(−1)𝑛𝑥2𝑛

(2𝑛)!

∞

𝑛=0

= 1 −𝑥2

2!+

𝑥4

4!−

𝑥6

6!+ ⋯ con 𝑎 = 0

Arctan(𝑥) = ∑(−1)𝑛𝑥2𝑛+1

2𝑛 + 1

∞

𝑛=0

= 𝑥 −𝑥3

3+

𝑥5

5−

𝑥7

7+ ⋯ con 𝑎 = 0

𝑙𝑛(1 + 𝑥) = ∑(−1)𝑛𝑥𝑛+1

𝑛 + 1

∞

𝑛=0

= 𝑥 −𝑥2

2+

𝑥3

3−

𝑥4

4+ ⋯ con 𝑎 = 0

(1 + 𝑥)k = ∑ .𝑘𝑛/ 𝑥𝑛

∞

𝑛=0

= 1 + 𝑘𝑥 +𝑘(𝑘 − 1)

2!𝑥2 +

𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)

3!𝑥3 − +⋯ con 𝑎 = 0

E) Vectores y la geometria del espacio

e-1) Espacio euclideo

ℝ𝑛 = *�� = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑎𝑛) ∶ 𝑎1, 𝑎2, ⋯ 𝑎𝑛 ∈ ℝ+

Espacio euclideo de 3 dimensiones (ℝ𝟑):

ℝ ∗ ℝ ∗ ℝ = *(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∶ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ+

donde sus sentidos estan determinados por la regla de mano derecha.

Ecuacion de la distancia entre dos puntos en tres dimensiones:

|𝑃1𝑃2| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)

2 + (𝑧2 − 𝑧1)2

Ecuacion de una esfera: Sea 𝑪 = (𝒉, 𝒌, 𝒍), centro de una esfera y 𝒓 el radio,

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑕)2 + (𝑦 − 𝑘)2 + (𝑧 − 𝑙)2

e-2) Vector

Elemento del sistema coordenado que posee NORMA, DIRECCION y SENTIDO, donde la unica

exepcion sera el vector cero (0) que es el unico vector sin direccion.

𝑟 = (𝑟1, 𝑟2, ⋯ , 𝑟𝑛) = (

𝑟1𝑟2⋮𝑟𝑛

,

Y sea A = (x1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑦 B = (x2, 𝑦2, 𝑧2), el vector AB sera determinado de la siguiente manera:

AB = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1)

Operaciones lineales en ℝ𝟑:

- Suma: �� ± �� = (𝑎1 ± 𝑏1, 𝑎2 ± 𝑏2, 𝑎3 ± 𝑏3)

- Ponderacion: α�� = (𝛼𝑎1, 𝛼𝑎2, 𝛼𝑎3)

Propiedades: Sea a, b, c ∈ Vn ∈ ℝ𝑛 y d,e∈ ℝ

1. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 2. 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐

3. 𝑎 + 0 = 𝑎 4. 𝑎 + (−𝑎) = 0

5. 𝑐(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏 6. (𝑐 + 𝑑)𝑎 = 𝑐𝑎 + 𝑑𝑎

7. 𝑑𝑒(𝑎) = 𝑑(𝑒𝑎) 8. 1𝑎 = 𝑎

Longitud del vector (Norma):

‖𝑟‖ = √∑ 𝑟𝑘

𝑛

𝑘=1

Base de ℝ𝟑:

i =< 1,0,0 > j =< 0,1,0 > k =< 0,0,0 >

Combinacion lineal: �� es combinacion lineal de 𝑢1, ⋯ 𝑢𝑛 , si:

�� = 𝛼1𝑢1 + 𝛼2𝑢2 + ⋯+ 𝛼𝑛𝑢𝑛

Independencia lineal: 𝑢1, ⋯ 𝑢𝑛 son linealmente independientes si:

𝛼1𝑢1 + 𝛼2𝑢2 + ⋯+ 𝛼𝑛𝑢𝑛 = 0 ⟹ 𝛼1 ≠ 𝛼2 ≠ ⋯ ≠ 𝛼𝑛

e-3) Producto punto

Sea �� = (𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛) y �� = (𝑏1, 𝑏2, ⋯ , 𝑏𝑛), entonces:

�� ∙ �� = ∑ 𝑎𝑘𝑏𝑘

𝑛

𝑘=1

y que con z ∈ ℝn y λ ∈ ℝ:

1. 𝑎 ∙ 𝑎 = ‖𝑎‖2 2. 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎

3. 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 4. (𝑑𝑎) ∙ 𝑏 = 𝑑(𝑎 ∙ 𝑏) = 𝑎 ∙ (𝑑𝑏)

5. 0 ∙ 𝑎 = 0

Trivialidades:

‖𝑎‖ = 0 ⇔ 𝑎 = 0 ‖𝜆𝑎‖ = |𝜆|‖𝑎‖

Teoremas:

- Ley de coseno:

𝑎 ∙ 𝑏 = ‖𝑎‖‖𝑏‖𝑐𝑜𝑠𝜃

Sea 𝑎 ∙ 𝑏 vectores no nulos:

cos(𝜃) =𝑎 ∙ 𝑏

‖𝑎‖ ∙ ‖𝑏‖

- Desigualdad de Cauchy-Schwarz:

|𝑎 ∙ 𝑏| ≤ ‖𝑎‖‖𝑏‖

- Desigualdad triangular:

‖𝑎 + 𝑏‖ ≤ ‖𝑎‖ + ‖𝑏‖

Distancia vectorial (Norma euclidinana):

𝑑(��, ��) = √(�� − ��) ∙ (�� − ��) = √∑(𝑎𝑘 − 𝑏𝑘)2

𝑛

𝑘=1

= ‖�� − ��‖

Propiedades: Sean �� = ��, los vectores coliniales,

1. ‖�� − ��‖ ≥ 0 2. ‖�� − ��‖ = ‖�� − ��‖

3. ‖�� − ��‖ = 0, ssi �� = �� 4. ‖𝑎 + 𝑏‖ ≤ ‖𝑎‖ + ‖𝑏‖

Angulos directores:

Sea �� = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) un vector, podemos obtener sus

cosenos directores utilizando la siguiente formula:

Cosenos directores Angulos directores

cos(𝛼) =𝑎1

‖𝑎‖ 𝛼 = Arccos(

𝑎1

‖𝑎‖)

cos(𝛽) =𝑎2

‖𝑎‖ 𝛽 = Arccos(

𝑎2

‖𝑎‖)

cos(𝛾) =𝑎3

‖𝑎‖ 𝛾 = Arccos(

𝑎3

‖𝑎‖)

Proyeccion:

- Proceso de Gramm-Schmidit:

Sea V = *𝑣1,⋯ , 𝑣𝑛+ un conjunto LI, ∃ una base ortogonal P = *𝑝1, ⋯ , 𝑝𝑛+ donde:

p0 = v1

p1 = v2 −𝑣2 ∙ 𝑝1

‖𝑝0‖2𝑝1

p2 = v3 −𝑣3 ∙ 𝑝0

‖𝑝0‖2𝑝0 +

𝑣3 ∙ 𝑝1

‖𝑝1‖2𝑝1

y asi sucesivamente.

- Definicion convencional en ℝ3:

Componente

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑏

Se define como la magnitud de la proyeccion vectorial,

que es el mismo numero ‖𝑏‖𝑐𝑜𝑠𝜃.

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑏 =

𝑎 ∙ 𝑏

‖𝑎‖

Proyeccion

𝑃𝑟𝑜𝑗𝑎𝑏

𝑃𝑟𝑜𝑗𝑎𝑏 =

𝑎 ∙ 𝑏

‖𝑎‖2𝑎

e-4) Producto cruz

Sea �� = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) y �� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), entonces:

�� × �� = 𝑑𝑒𝑡 (𝑖 𝑗 ��𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

) = i |𝑎2 𝑎3

𝑏2 𝑏3| − 𝑗 |

𝑎1 𝑎3

𝑏1 𝑏3| + �� |

𝑎2 𝑎3

𝑏2 𝑏3|

Producto cruz unitario:

𝑖 × 𝑗 = ��

𝑗 × �� = 𝑖

�� × 𝑖 = 𝑗

𝑗 × 𝑖 = −��

�� × 𝑗 = −𝑖

𝑖 × �� = −𝑗

Teoremas:

- Ley de seno:

‖𝑎 × 𝑏‖ = ‖𝑎‖‖𝑏‖𝑠𝑖𝑛𝜃

Donde ‖𝑎 × 𝑏‖ es la magnitud del

area del paralelogramo generado por

el vector 𝑎 y 𝑏.

- Ortogonalidad: (𝑎 × 𝑏) ⊥ (𝑎 ∧ 𝑏)

Normal unitario: Sea 𝑛 ⊥ (𝑎 ∧ 𝑏) y ‖𝑐‖ = 1, entonces:

�� = ±𝑎 × 𝑏

‖𝑎 × 𝑏‖

Entonces el vector �� sera un vector unitario perpendicular al plano

generado por los vectores 𝑎 y 𝑏.

- Paralelismo: 𝑎 × 𝑏 = 0

Propiedades: Sea a, b, c ∈ Vn ∈ ℝ𝑛 y d,e∈ ℝ

1. 𝑎 × 𝑏 = −𝑏 × 𝑎 2. (𝑑𝑎) × 𝑏 = 𝑑(𝑎 × 𝑏) = 𝑎 × (𝑑𝑏)

3. 𝑎 × (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 × 𝑏 + 𝑎 × 𝑐 4. (𝑎 + 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × 𝑐 + 𝑏 × 𝑐

5. 𝑎 ∙ (𝑏 × 𝑐) = (𝑎 × 𝑏) ∙ 𝑐 6. 𝑎 × (𝑏 × 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑐)𝑏 − (𝑎 ∙ 𝑏)𝑐

Teorema:

𝑎 ⊥ 𝑎 × 𝑏 𝑏 ⊥ 𝑎 × 𝑏 𝑎 × 𝑏 = −𝑏 × 𝑎

Producto mixto:

𝑎 ∙ (b × c) = (𝑎 × 𝑏) ∙ 𝑐 = det (

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

𝑐1 𝑐2 𝑐4

+ = −1 ∙ det (

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

𝑐1 𝑐2 𝑐4

+

- Propiedades:

,a, b, c- = −,a, b, c-

Las filas de ,a, b, c- son permutables.

- Volumen de paralelepipedo generado por los vectores a,b y c:

|,𝑎, 𝑏, 𝑐-| = |𝑎 ∙ (b × c)| = |(𝑎 × 𝑏) ∙ 𝑐| = |𝑎| ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ⋅ |𝑏 × 𝑐|

= det (

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

𝑐1 𝑐2 𝑐4

+

Donde |𝑏 × 𝑐| es la area del paralelepipedo y |𝑎| ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃,

su altura.

- Obs: Sean dos rectas τ1: 𝑝1 + 𝜆𝑑1 ∧ τ2: 𝑝2 + 𝜆𝑑2

Paralelas Alabeadas Intersectan

𝑑1 × 𝑑2 = 0 ,𝑝1 − 𝑝2, 𝑑1, 𝑑2- ≠ 0 ,𝑝1 − 𝑝2, 𝑑1, 𝑑2- = 0

Nota:

1) �� ∥ ��, si:

- Sus normas son paralelos.

- Sus vectores directores son paralelos.

2) Un vector 𝑎 y H un plano, son PARALELOS, si:

- 𝑎 no corta el plano H.

- 𝑎 = 𝛼𝑏 con 𝛼 ∈ ℝ.

- 𝑎 ∥ 𝑏 ssi 𝑎 = 𝛼𝑏.

3) |𝑎 𝑏𝑐 𝑑

| = (𝑎 ⋅ 𝑑) − (𝑏 ⋅ 𝑐)

e-5) Ecuaciones de recta y planos

Recta:

Sea Po = (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0) y P = (𝑥, 𝑦, 𝑧) los puntos sobre la recta L,

�� : Vector director. Siempre cumple: �� ∥ L

𝒙𝒐: Vector posicion de 𝑃𝑜.

��: Vector posicion de 𝑃.

𝑎 = 𝑃𝑜𝑃 = 𝑡𝑑

- Ecuacion vectorial:

�� = 𝑥𝑜 + 𝑡𝑑

- Ecuacion parametrica: Sea (x, y, z) = (x0 + 𝑎𝑡, y0 + 𝑏𝑡, 𝑧0 + 𝑐𝑡)

𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡 𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡

- Ecuacion simetrica:

𝑡 =𝑥 − 𝑥0

𝑎=

𝑦 − 𝑦0

𝑏=

𝑧 − 𝑧0

𝑐

Plano:

Sea n = (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∧ 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∧ 𝑟0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)

- Ecuacion vectorial del plano:

n ∙ (r − r0) = 0 ⟺ 𝑛 ∙ 𝑟 = 𝑛 ∙ 𝑟0

- Ecuacion escalar del plano:

(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∙ (𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0) = 𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0

- Ecuacion lineal del plano:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 donde 𝑑 = −(𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0)

- Segmento de la recta 𝒓𝟎 𝒂 𝒓𝟏:

𝑟(𝑡) = (1 − 𝑡)𝑟0 + 𝑡𝑟1 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

Tips:

1) El angulo formado entre dos planos es igual al angulo formado entre sus normales.

2) El vector director de la recta formada por la interseccion entre dos planos se calcula:

(𝑛1 × 𝑛2) ∥ 𝐿

3) La distancia entre una recta y un punto se calcula mediante la siguiente formula:

𝑑(𝑃, 𝑆) =‖𝑎 × 𝑏‖

‖𝑎‖

4) La distancia entre dos rectas se calcula mediante la siguiente formula:

Sean 𝑙1: 𝑃1 + 𝑡 ⋅ 𝑑1 ∧ 𝑙2: 𝑃2 + 𝑡 ⋅ 𝑑2 y 𝑛 = 𝑑1 × 𝑑2:

𝑑(𝑙1, 𝑙2) =|(𝑃2 − 𝑃1) ⋅ 𝑛|

‖𝑛‖

5) La distancia entre un punto y un plano se calcula de la siguiente manera:

Sea P0 ∈ 𝐻 ∧ P1 ∉ H con P0 = (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0) ∧ 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ∧ 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)

∧ 𝑑 = −(𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0)

Es decir, H = 𝑎𝑥𝑜 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐𝑧𝑜 + 𝑑 = 0:

𝑑(𝑃1, 𝐻) = |𝐶𝑜𝑚𝑝𝑛𝑏| =

|𝑛 ∙ 𝑏|

‖𝑛‖=

|𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 + 𝑑|

√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

F) Funciones vectoriales

f-1) Funciones vectoriales y curvas en el espacio

Funcion vectorial:

𝑟(𝑡) = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), 𝑕(𝑡)) = 𝑖 ∙ 𝑓(𝑡) + 𝑗 ∙ 𝑔(𝑡) + �� ∙ 𝑕(𝑡)

- Limite de funcion vectorial: lim 𝑟(𝑡)𝑡→𝑎

= (lim𝑡→𝑎

𝑓(𝑡), lim𝑡→𝑎

𝑔(𝑡), lim𝑡→𝑎

𝑕(𝑡)*

- Ecuacion parametrica de C:

Sea 𝑟(𝑡) = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), 𝑕(𝑡)) , conjunto de todos los puntos de la funcion se denomina

como la CURVA C, donde t recibe el nombre de PARAMETRO, y la siguiente ecuacion se

denomina como ECUACION PARAMETRICA:

𝑥 = 𝑓(𝑡)

𝑦 = 𝑔(𝑡)

𝑧 = 𝑕(𝑡)

Helice: 𝑟(𝑡) = (cos(𝑡) , sin(𝑡) , 𝑡)

f-2) Derivadas e integrales de funciones vectoriales

Derivada:

𝑟(𝑡) = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), 𝑕(𝑡)) ⇒𝑑

𝑑𝑡𝑟(𝑡) = 𝑟′(𝑡) = (

𝑑

𝑑𝑡𝑓(𝑡),

𝑑

𝑑𝑡𝑔(𝑡),

𝑑

𝑑𝑡𝑕(𝑡)+ = Vector tangente

Propiedades: Sean 𝑢 ∧ 𝑣 funciones vectoriales, 𝑐 ∧ 𝑓(𝑥) ∈ ℝ,

1. 𝑑

𝑑𝑡,𝑢(𝑡) ± 𝑣(𝑡)- = 𝑢′(𝑡) ± 𝑣′(𝑡) 2.

𝑑

𝑑𝑡,𝑐𝑢(𝑡)- = 𝑐𝑢′(𝑡)

3. 𝑑

𝑑𝑡,𝑓(𝑡)𝑢(𝑡)- = 𝑓′(𝑡)𝑢(𝑡) + 𝑓(𝑡)𝑢′(𝑡) 4.

𝑑

𝑑𝑡,𝑢(𝑡) ∙ 𝑣(𝑡)- = 𝑢′(𝑡) ∙ 𝑣(𝑡) + 𝑢(𝑡) ∙ 𝑣(𝑡)

5. 𝑑

𝑑𝑡,𝑢(𝑡) × 𝑣(𝑡)- = 𝑢′(𝑡) × 𝑣(𝑡) + 𝑢(𝑡) × 𝑣(𝑡) 6.

𝑑

𝑑𝑡,𝑢𝑓(𝑡)- = 𝑢′(𝑓(𝑡))𝑓′(𝑡)

Integral:

𝑟(𝑡) = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), 𝑕(𝑡)) ⇒ ∫𝑟(𝑡)𝑑𝑡 = (∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ,∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 ,∫ 𝑕(𝑡)𝑑𝑡*

Teorema: Sea C una curva parametrizada por 𝑟: ℝ ⟶ ℝ3 diferencible con ‖𝑟(𝑡)‖ = 𝑐𝑡𝑒, entonces:

𝑟(𝑡) ⊥ 𝑟′(𝑡)

f-3) Longitud de arco y curva

a) Vector unitario tangente: Vector tangente a la curva C con el longitud igual a 1.

��(𝑡) =𝑟′(𝑡)

‖𝑟′(𝑡)‖

b) Longitud de curva en ℝ𝑛 : Sea C una curva con una parametrizacion

𝑟(𝑡) = (𝑓1(𝑡),⋯ , 𝑓𝑛(𝑡))

𝑠(𝑡) = ∫ ‖𝑟′(𝑡)‖𝑑𝑡𝑏

𝑎

= ∫ √∑.𝑓𝑘′(𝑡)/

2𝑛

𝑘=1

𝑑𝑡𝑏

𝑎

= ∫ √,𝑓1′(𝑡)-2 + ⋯+ ,𝑓𝑛

′(𝑡)-2𝑑𝑡𝑏

𝑎

= ∫ ‖𝑟′(𝑢)‖𝑑𝑢𝑡

𝑡𝑜

Se define la parametrizacion de la posicion por la longitud de curva como:

��′(𝑠) =𝑟′(𝑠)

‖𝑟′(𝑠)‖

c) Curva suave: Sea γ una curva, diremos que es una curva suave, si satisfacen las

siguientes condiciones:

- d

dx𝑟(𝑡) continua.

- d

dx𝑟(𝑡) ≠ 0 ∀𝑡 en un intervalo dado.

d) Tangente: El vector tangente a la curva en un punto t se define como:

��(𝑡) =𝑟′(𝑡)

‖𝑟′(𝑡)‖

e) Normal: Dado que si ‖𝑟(𝑡)‖ = 𝑐𝑡𝑒 ⇒ 𝑟(𝑡) ⊥ 𝑟′(𝑡), definiremos el vector normal unitario

como

��(𝑡) =��′(𝑡)

‖��′(𝑡)‖

f) Binormal:

��(𝑡) =𝑟′(𝑡) × 𝑟′′(𝑡)

‖𝑟′(𝑡) × 𝑟′′(𝑡)‖‖𝑟′(𝑡)‖=

��′(𝑡) × ��(𝑡)

‖��′(𝑡) × ��(𝑡)‖

g) Curvatura: Sea T vector tangente unitario, s la longitud de curvatura,

𝜅(𝑠) = ‖𝑑��

𝑑𝑠‖

𝜅(𝑡) =‖��′(𝑡)‖

‖𝑟′(𝑡)‖=

‖𝑟′(𝑡) × 𝑟′′(𝑡)‖

‖𝑟′(𝑡)‖3

- Se calcula la curvatura de una funcion de x de la siguiente manera:

𝜅(𝑥) =|𝑓′′(𝑥)|

01 + (𝑓′(𝑥))213/2

Teorema 1: 𝜅(𝑠) ≡ 0, ssi la curva es una recta.

Teorema 2: d

ds�� =

‖𝑟′(𝑡)×𝑟′′(𝑡)‖

‖𝑟′(𝑡)‖3 ��

h) Torsion:

𝜏 = −𝑁 ∙𝑑��

𝑑𝑠=

(𝑟′(𝑡) × 𝑟′′(𝑡)) ∙ 𝑟′′′(𝑡)

‖𝑟′(𝑡) × 𝑟′′(𝑡)‖2

i) Formulas de Frenet-Serret:

𝑑𝑇

𝑑𝑠= 𝜅𝑁

𝑑𝑁

𝑑𝑠= −𝜅𝑇 + 𝜏𝐵

𝑑𝐵

𝑑𝑠= −𝜏𝑁

j) Planos:

- Plano normal a 𝒓(𝒕): Plano formado por 𝑛(𝑡) y 𝑏(𝑡).

- Plano osculador a 𝒓(𝒕): Plano formado por 𝑛(𝑡) y 𝑡(𝑡).

Circulo osculador: Es un circulo que posee el mismo vector tangente

unitario en el punto P de una curva 𝛾.

Radio del circulo osculador:

𝜌 =1

𝜅

Formulas importantes:

1) sin2(𝑥) =1−cos(2𝑥)

2

2) cos2(𝑥) =1+cos(2𝑥)

2

3) Sea 𝑡 = tan .𝑥

2/ :

sin(x) =2t

1 + t2 ∧ cos(x) =

1 − t2

1 + t2 ∧ dx =

2dt

1 + t2

4) ∫√𝑎2 − 𝑥2𝑑𝑥 =1

2.𝑎2 arcsin .

𝑥

𝑎/ + 𝑥√𝑎2 − 𝑥2/ + C

5) ∫ sec𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 =1

𝑛−1(secn−2(𝑥) tan(𝑥)) +

𝑛−2

𝑛−1𝐼𝑛−2 + C

6) ∫ sec3(𝑥) 𝑑𝑥 =1

2,sec(𝑥) tan(𝑥) + log (sec(𝑥) + tan(𝑥)- + C

7) ∫1

𝑥2+𝑎2 𝑑𝑥 =1

𝑎Arctan .

x

a/ + 𝐶

8) ∫𝑎𝑥𝑑𝑥 =𝑎𝑥

log(𝑎)+ 𝐶