Ecuaciones Lineales

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) - //formula

(Factor integrante)

Ejemplo

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑦 + 3 /x //se divide por x para eliminar la variable

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

2

𝑥𝑦 =

3

𝑥 //ecuación 1

F.I = 𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 //formula factor integrante

= 𝑒∫2

𝑥𝑑𝑥 = 𝑒2 ∫

1

𝑥𝑑𝑥 //se integra la función

= 𝑒2𝑙𝑛𝑥 = 𝑒𝑙𝑛𝑥2 //por propiedades de los logaritmos queda como 𝑙𝑛𝑥2

F.I = 𝑥2 // y a su vez por propiedades se cancela el e con ln

𝑥2 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

2

𝑥𝑥2𝑦 =

3

𝑥𝑥2 //ecuación 1 multiplicando con el factor integrante

𝑥2 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 3𝑥 //se simplifica la ecuación

𝑑(𝑥2𝑦)

𝑑𝑥= 3𝑥 //se tiene la derivada multiplicado por el F.I multiplicado por la variable y

Todo con respecto a dx 𝑑(𝑥2𝑦) = 3𝑥𝑑𝑥 //se despeja dx

∫ 𝑑(𝑥2𝑦) = 3 ∫ 𝑥𝑑𝑥 //se integra ambos lados

𝑥2𝑦 = 3𝑥2

2+ 𝑐 //integral con su respectiva constante

𝑦 = 3𝑥2

2𝑥2+

𝑐

𝑥2 //se despeja y

𝑦 = 3

2+ 𝑐𝑥−2 //se simplica y se sube el 𝑥2 como -2