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Presenta: Ing. Omar Yamil Vidal León Romay
Ciudad de México, Junio de 2016
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD ZACATENCOSECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
Directores de tesis:Dr. David Romero Romero
M. en C. Jesús Reyes GarcíaQue para obtener el grado de:Maestro en Ciencias en Ingeniería Eléctrica
Desarrollar un algoritmo para la estimación de parámetros de líneas de transmisiónque procese un conjunto de mediciones del sistema eléctrico de potencia, use laformulación de mínimos cuadrados ponderados y además que incluya el análisis derobustez numérica de matrices, el proceso de detección de datos erróneos y el cálculode intervalos de confianza e indicadores de precisión de los parámetros estimados.Asimismo, desarrollar un algoritmo para la estimación de estado convencional queprocese un conjunto de mediciones del sistema eléctrico de potencia, use laformulación de mínimos cuadrados ponderados y además que incluya el análisis derobustez numérica de matrices y el proceso de detección de datos erróneos.
2
Desde que las estimaciones son obtenidas de ecuaciones que relacionan lasmediciones a las variables de estado (ecuaciones de flujos de potencia), cualquiererror de parámetro de línea puede afectar las estimaciones proporcionadas por elestimador de estado, ya que el proceso de estimación supone que todos losparámetros son conocidos y las emplea en el algoritmo de estimación de estado enforma iterativa para obtener un vector de estado del SEP.
Kusic y Garrison afirman que debido a las desviaciones de las condiciones idealessupuestas durante los cálculos de los parámetros de líneas de transmisión y pocasmediciones reales, los valores encontrados en las bases de datos de las empresaseléctricas presentan errores que pueden llegar a ser de hasta 25% a 30% comparadoscon los valores reales.
3
4
Posibles Causas
Datos de fabricación incorrectos
Cambios en la red que no se
actualizaron en la base de
datos
Desgaste de materiales
Parámetros dependientes
de la temperatura
Cambios en las condiciones con
las que se calculó el modelo 휋
5
Posibles consecuencias
Degradación de los resultados del
estimador de estado
Mediciones correctas son identificadas
como mediciones erróneas
Desconfianza del operador en los resultados del estimador de
estado
6
ESTIMACIÓN DE ESTADOCONVENCIONAL
7
1 1 1 2 1
2 2 1 2 2
1 2
( , , , )( , , , )
( )
( , , , )
n
n
m m n m
z h x x x ez h x x x e
z h x e
z h x x x e
2
1minimizar
sujeto a ( ) , 1, ,
m
ii ii
i i i
W r
z h x r i m
( ) ( ) ( )TJ x z h x W z h x
1( ) ( ) ( )k k T k kG x x H x W z h x
Modelo de medición no lineal
Problema a resolver
Función objetivo
Conjunto de ecuaciones normales
8
1
Lectura de datos
Inicializa el vector de estado
Forma la matriz de admitancia nodal
Forma la matriz de ponderación
Forma la matriz de incidencia elemento-nodo
INICIO
Añade error a las mediciones
Añade error a los parámetros de algunas
líneas
1
i=1, it
Calcula la función de mediciones
Calcula el vector de los residuales
Calcula la matriz Jacobiana de mediciones
Calcula el miembro derecho del conjunto de ecuaciones normales
Calcula la matriz de Ganancia
Resolver el conjunto de ecuaciones normales para el vector de incrementos de
los estados
Actualiza el vector de estado
Calcula el máximo valor absoluto del vector de incrementos
¿Máximo valor absoluto es menor a
una tolerancia?i=it
STOP
NoNo
Sí
Sí
Calcula la función objetivo
Calcula la transpuesta de la matriz Jacobiana de mediciones
2
Imprime los resultados del estudio de estimación de estado
FIN
Calcula las mediciones estimadas
Calcula los residuales de medición estimados
2
Figura 1: Diagrama de flujo del algoritmo de estimación de estado
convencional.
El vector de estado es:
9
1
2
2
3
k
k
kk N
k
k
kN
VV
Vx
p
pq
qp
pq
qp
p
p
V
P
P
z Q
Q
P
Q
El vector de mediciones es:
Es de dimensión 푛 × 1.Tal que 푛 = 2푁 − 1 y el nodo1 es el de referencia.
Es de dimensión 푚 × 1.Tal que 푚 = 푚푉 + 푚퐹푃퐴 +푚퐹푃푅 + 푚퐼푃퐴 + 푚퐼푃푅.
Figura 2: Estructura del vector de estado en la k-ésima
iteración. Figura 3: Estructura del vector de mediciones.
10
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
kp
kpq
kqp
k kpq
kqp
kp
kp
V x
P x
P x
h x Q x
Q x
P x
Q x
Es de dimensión 푚 × 1.Tal que 푚 = 푚푉 + 푚퐹푃퐴 + 푚퐹푃푅 + 푚퐼푃퐴 + 푚퐼푃푅.
Figura 4: Estructura de la función de mediciones en la k-ésima iteración.
11
1 2 3 2 3
3
4
1
2
1 0 0 0 0 0 0 0 ( )0 1 0 0 0 0 0 0 ( )0 0 1 0 0 0 0 0 ( )
0 0 0 1 0 0 0 0 ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
k
k
k
kN
k k k kpq pq pq pq k
pqk kk kp qp
k k k k k k k
q
k kqp qp
k
N
kp
kNV V
V xV
V
xV x
V x
P x P x P x P xP x
V V
P x P xV
x
V
H
1
2
1
1
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
k kqp qp k
qpk kkp qq
k k k kpq pq pq pq k
pqk kk kp qp q
k k k kqp qp qp qp k
qpk kk k
k k
k k
p qp q
P x P xP x
V
Q x Q x Q x Q xQ x
V
P x P x
V
Q x Q x Q x Q xQ x
V
V V
V
1 1 1 1 11
2 2 2 2 2 2 2
2 3 43
2 3 41 2 3
2 3 41
22
3 3 3
3
3 3
2
3 3
k k k k k k
k k k kk kNN
k k k k k k k k
k k k kk k k kNN
k k k k k k k
k kk k k kN
N k
k
P x P x P x P x P x P xP
V V
P x P x P x P x P x P x P x P xP
V V V V
P x P x P x P x P x P x P x
V V V
x
V
x
2 3 41 2 3
33
1 1 1 1
2
1 1 1
3 411
2
2
2
3
1
2
k
k kN
k k k k k k k k
k k k kk k k kNN
k k k k k k k k
k k k kk k k k
k
N N N N N N N
NN
k
kN
N
k k
k
k
N
P xP
P x P x P x P x P x P x P x P xP
V V V V
Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q xQ
V V V V
Q x Q x
V V
x
x
x
2 2 2 2 2 22
3 3 3 3 3 3 3 3
2 3 43
2 3 41
2
32 3
21 3
k k k k k k
k k k kk kNN
k k k k k k k k
k k k kk k k kNN
k k k k
k
k
N N Nk k
kk k k kN
N N N
Q x Q x Q x Q x Q x Q xQ
V V
Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q xQ
V
x
xV V V
Q x Q x Q x Q x Q x Q x
V V V V
3 4
N N kk
k kN
N
k
k xQ x Q x
Q
Es de dimensión 푚 × 푛.
Tal que 퐻(푥 ) = ( ) y el nodo 1 es elde referencia.
Figura 5: Estructura de la matriz Jacobiana de mediciones en la k-
ésima iteración.
Especifica la importancia relativa de cada medición con respecto a las demás en ladeterminación del vector de estado.
12
21
212
2
1 0 0
10 0
10 0 0m
W R
Es de dimensión 푚 × 푚.
Figura 6: Estructura de la matriz de ponderación.
Es de dimensión 푛 × 푛. Viene dada por la siguiente ecuación.
13
( ) ( ) ( )k T k kG x H x WH x
Para que el conjunto de ecuaciones normales tenga solución única, la matriz deGanancia 퐺(푥 ) debe ser no singular. Para esto es necesario que la matriz Jacobianade mediciones 퐻(푥 ) sea de rango columna completo, si lo es, entonces se asegura que퐺(푥 ) es definida positiva y el conjunto de ecuaciones normales tiene solución única.
14
2
1
ˆ( )ˆ( )
mi i
i i
z h xJ x
ˆ( ( ))E J x m n
2 2( )ˆ[ ( ) ( )]E m nJ x m n
0 ˆ: ( ( ))H E J x m n
1 ˆ: ( ( ))H E J x m n
2,1m nC
Función objetivo evaluada con el estado estimado Distribución de 푱(풙)
Hipótesis consideradasLímite estadístico
15
Lectura de datos
¿Función objetivo evaluada con la estimación de estado es mayor o igual al
valor de la distribución chi-cuadrada?
FIN
INICIO
Calcula la función objetivo evaluada con la estimación de
estado
Llama a subrutina DCHIIN y obtén el valor de la distribución chi-cuadrada con
el nivel de confianza especificado
“Se han detectado datos erróneos”
“No se han detectado datos erróneos”
Realiza el estudio de estimación de estado de WLS
No
SíPara esta tesis se ocupó un nivelde confianza de 95%.
Figura 7: Diagrama de flujo de la prueba 휒 .
16
iNi
ii
rr
SR
0 : ( ) 0NiH E r
1 : ( ) 0NiH E r
Distribución de 풓풊푵
Hipótesis consideradas
Residual normalizado de la i-ésima medición
ˆ( )i i ir z h x ( ) 0NiE r
1( )N N Ti iE r r
17
Lectura de datos
¿Máximo residual normalizado es mayor a un límite estadístico
propuesto?
FIN
INICIO
Calcula los residuales normalizados de medición
Encuentra el máximo residual normalizado
“Se han detectado datos erróneos”
“No se han detectado datos erróneos”
Realiza el estudio de estimación de estado de WLS
No
SíPara esta tesis se ocupó 퐶 = 3para un nivel de confianza de99.73%.
Figura 8: Diagrama de flujo de la prueba 푟 .
18
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROSDE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
19
1 1 2 1 21 1
2 1 2 1 22 2
1 2 1 2
( , , , , , , , )
( , , , , , , , )( , )
( , , , , , , , )
n np
n np
m mm n np
h x x x pl pl plz eh x x x pl pl plz e
z h x pl e
z eh x x x pl pl pl
2
1minimizar
sujeto a ( ) , 1, ,
m
ii ii
i i aum i
W r
z h x r i m
( ) ( ) ( )Taum aum aumJ x z h x W z h x
1( ) ( ) ( )k k T k kaum aum aum aum aum aumG x x H x W z h x
Modelo de medición no lineal para el estimador de parámetros
Problema a resolver
Función objetivo para el modelo aumentado
Conjunto de ecuaciones normales para el modelo aumentado
20
1
Lectura de datos
Inicializa el vector de estado aumentado
Forma la matriz de admitancia nodal
Forma la matriz de ponderación
Forma la matriz de incidencia elemento-nodo
INICIO
Añade error a las mediciones
Añade error a los parámetros de algunas
líneas
1
i=1, it
Calcula la función de mediciones
Calcula el vector de los residuales
Calcula la matriz Jacobiana aumentada
Calcula el miembro derecho del conjunto de ecuaciones normales
Calcula la matriz de Ganancia aumentada
Resolver el conjunto de ecuaciones normales para el vector de
incrementos aumentadoActualiza el vector
de estado aumentado
Calcula el máximo valor absoluto del vector de incrementos aumentado
¿Máximo valor absoluto es menor a
una tolerancia?i=it
STOP
NoNo
Sí
Sí
Calcula la función objetivo
Calcula la transpuesta de la matriz Jacobiana aumentada
i=1
Realiza una iteración de estimación de
estado convencional
Actualiza los vectores de admitancia serie y admitancia en derivación con los valores estimados de parámetros
Forma la matriz de admitancia nodal
Sí No
2
2
Imprime los resultados del estudio de estimación de parámetros
Calcula las mediciones estimadas
Calcula los residuales de medición estimados
Actualiza los vectores de admitancia serie y admitancia en derivación con los valores estimados de parámetros
Forma la matriz de admitancia nodal
FIN
Figura 9: Diagrama de flujo del algoritmo de estimación de parámetros.
21
El vector de estado aumentado es: La función de mediciones es:
Es de dimensión (푛 + 푛 ) × 1Tal que 푛 = 2푁 − 1 y el nodo1 es el de referencia.
Es de dimensión 푚 × 1Tal que 푚 = 푚푉 + 푚퐹푃퐴 +푚퐹푃푅 + 푚퐼푃퐴 + 푚퐼푃푅.
1
2
2
3
k
k
kNk
k
kaum
kN
kpqkpq
kshpq
VV
V
x
gb
b
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
kp aum
kpq aum
kqp aum
k kaum pq aum
kqp aum
kp aum
kp aum
V x
P x
P x
h x Q x
Q x
P x
Q x
Figura 10: Estructura del vector de estado aumentado
en la k-ésima iteración.
Figura 11: Estructura de la función de mediciones para el
modelo aumentado en la k-ésimaiteración.
22
Es de dimensión 푚 × (푛 + 푛 )Tal que 퐻 (푥 ) =
( ) ( ) y el nodo 1 es el dereferencia.
1 2 3
1
2 3 4
2
3
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ( )
( ) (
( )
kk k shpq pq pq
kaum
kaum
kaum
kN aum
kpq aum pq aum
kp
kaum a
k k k k
u
k k k kN N
m
g b b
V x
V x
V x
V x
P x P xV
V V
H x
V V
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
k k k k k kpq aum pq aum pq aum pq aum pq aum k
pq aumkk k k kk shp q pq pqq pq
k k k k kqp aum qp aum qp aum qp aum qp aum qp a
k k kk kp q pqp q
P x P x P x P x P xP x
g bV b
P x P x P x P x P x P xgV V
) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
(
k kum qp aum k
qp aumkk shpq pq
k k k k k k kpq aum pq aum pq aum pq aum pq aum pq aum pq aum k
pq aumkk k k kk k shp q pq pqp q pq
qp aum
P xP x
b b
Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q xQ x
g bV V b
Q x
2 3
1 1 1
3
1 1
2
1
1
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
k k k k k k kqp aum qp aum qp aum qp aum qp aum qp aum k
qp aumkk k k kk k shp q pq pqp q pq
k k k k k kaum aum aum aum a
k kk k k k
u
N
um a m
Q x Q x Q x Q x Q x Q xQ x
g b
P x P x P x P x P x P x
V V V V
V V b
1 1 1 1 11
2 2 2
4
2 3 41 2
2 2 2 2 2 2 2
3
k k k k kaum aum aum aum aum k
aumkk k shpq pq pq
k k k k k k k k k kaum aum aum
k kN
k k k kk k k
aum aum aum aum aum aum aumk kpq pq
kNN
P x P x P x P x P xP x
b
P x P x P x P x P x P x P x P x P x P x
V
g b
V V g bV
2 3 41
22
3 3 3 3 3
2 3
3 3 3 3 3 33
1
kaum k
aumkshpq
k k k k k k k k k k kaum aum aum aum aum aum aum aum aum aum aum k
aumkk k shpq pq pq
kN aum
k k k kk k k kNN
k
P xP x
P x P x P x P x P x P x P x P x P x P x P xP x
bV V V V
P x P
V
b
g b
2 3 42 3
21 2 3
1 1 1 1 1 1
k k k k k k k k k kN aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum k
N aumkkk k k kk k kNN
kk k
k shpq pq pq
k k k k kaum aum aum aum au
k
m a
kN
x P x P x P x P x P x P x P x P x P xP x
bV V V
Q x Q x Q x Q x Q x Q x
V V V V
g b
1 1 1 1 11
2 2 2
3 4
2 3
2 2 2 2 2 2 2
41 2 3
k k k k k kum aum aum aum aum aum k
aumkk k shpq pq pq
k k k k k k k k kaum aum aum aum aum aum a
k k kN
k k k kk k
um aum aum
k kNN
aukpq
Q x Q x Q x Q x Q xQ x
b
Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x
V V gV
g b
V
22
3 3 3 3 3 3 3 3
2 3 41 2 3
3 3 33
k km aum k
aumkk shpq pq
k k k k k k k k k k kaum aum aum aum aum aum aum aum aum aum aum k
aumkk k k k shpq pq pq
N
k kk k k kNN
au
Q xQ x
b
Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q xQ x
bV V V V
Q x
b
g b
2 3 41 2 3
k k k k k k k k k k km N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum k
N aumkk k shpq p
k k k kq pq
k k k kNN
Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q xQ x
bV V gV bV
Figura 12: Estructura de la matriz Jacobiana aumentada
en la k-ésima iteración.
23
( ) ( ) ( )k T k kaum aum aum aum aum aumG x H x WH x
Es de dimensión (푛 + 푛 ) × (푛 + 푛 ). Viene dada por la siguiente ecuación.
Una red es observable con respecto a la estimación simultánea de estado yparámetros si y solo si la matriz Jacobiana aumentada 퐻 (푥 ) es de rangocolumna completo. Si lo es, entonces se asegura que 퐺 (푥 ) es no singular y elconjunto de ecuaciones normales tiene solución única.
Teorema 1. Sea 퐴 ∈ ℝ × , entonces existe una matriz ortogonal 푈 ∈ ℝ × , unamatriz ortogonal 푉 ∈ ℝ × y una matriz diagonal 훴 ∈ ℝ × tales que:
24
TA U V
De donde 훴 = 푆 00 0 , 푆 = 푑푖푎푔(휎 , … ,휎 )휖ℝ × y 휎 ≥ 휎 ≥ ⋯ ≥ 휎 > 0. En el que su
versión abreviada es:
11 11 2
2
00 0
TT
T
S VA U SVU U
V
Los tamaños de las submatrices son determinados por 푟 (el cual debe ser ≤푚푖푛 푚,푛 ), es decir, 푈 ∈ ℝ × , 푈 ∈ ℝ ×( ), 푉 ∈ ℝ × , 푉 ∈ ℝ ×( ) y los bloquesde 0 en Σ presentan dimensiones adecuadas
25
( )rank A r
Ax b
max
min
( )( )( )Acond AA
max ( ) Máximo valor singular de A A
min ( ) Mínimo valor singular de A A
min
max
( ) 1( )( ) ( )ADR AA cond A
Rango de una matriz
Número de condición de una matriz
Distancia relativa a la singularidad de una matriz
26
Lectura de datos
FIN
INICIO
Llama a subrutina DLSVRR y obtén la SVD de la matriz Jacobiana aumentada y
la matriz de Ganancia aumentada de la ultima iteración
Calcula el rango numérico de la matriz Jacobiana aumentada y la matriz de Ganancia
aumentada de la ultima iteración
Imprime los resultados del análisis de robustez numérica
Realiza el estudio de estimación de parámetros por el aumento del vector de
estado usando ecuaciones normales
Calcula el número de condición de la matriz de Ganancia aumentada de la
ultima iteración
Calcula la distancia relativa a la singularidad de la matriz de Ganancia
aumentada de la ultima iteración
Figura 13: Diagrama de flujo del algoritmo de análisis de
robustez numérica.
27
2ˆii
pii
pl plTc
2 ˆ ˆ( ) ( ) ˆ( )ˆ
Taum aum aum
p p
z h x W z h x J xn n n nm m
2 2, ( ) , ( )2 2
ˆ ˆi i ii im n n m n np ppl t c pl pl t c
Distribución t de las estimaciones de parámetros
Valor estimado de la varianza de error
Intervalo de confianza del parámetro 풑풍풊
28
,max ,min
2i i
ii
bpl
2
, ( )2
ˆ ii m n np
i
cb tpl
1 min( ,1)i iI b
Desviación máxima de la estimación
Desviación máxima en función de la distribución t
Indicador de precisión del i-ésimoparámetro estimado
29
Lectura de datos
FIN
INICIO
Llama a subrutina DTDF y obtén la distribución t con el nivel de confianza
especificado
Calcula los intervalos de confianza de los parámetros
Imprime los intervalos de confianza y los indicadores de
precisión
Realiza el estudio de estimación de parámetros por el aumento del vector de
estado usando ecuaciones normales
Calcula los indicadores de precisión de la estimación de parámetros
Calcula la inversa de la matriz de Ganancia aumentada de la última
iteración del estimador de parámetros
Calcula el valor estimado de la varianza de error
Figura 14: Diagrama de flujo del algoritmo de cálculo de intervalos
de confianza e indicadores de precisión.
Para esta tesis se ocupó unnivel de confianza de 95% yun nivel de relevancia del 5%.
30
RESULTADOS
Se tomó en cuenta una tolerancia de ퟏ × ퟏퟎ ퟓ para el criterio de convergencia yuna potencia base de 100 MVA.
Asimismo, se consideraron errores de mediciones de hasta ±ퟐ% con unadistribución normal y se simulan errores de parámetros de +ퟑퟎ% con respecto alos valores nominales encontrados en los datos de parámetros de red del SEP.
Se consideraron las siguientes desviaciones estándar para los dispositivos demedición: Para mediciones de magnitudes de voltaje 휎 = 0.014. Para mediciones de flujos de potencia 휎 = 0.028. Para mediciones de inyecciones de potencia 휎 = 0.030. Para mediciones de inyecciones cero 휎 = 0.012.
31
El sistema cuenta con: 39 nodos de los cuales 12 son
nodos de paso. 10 generadores. 34 líneas. 12 transformadores (taps fuera
del nominal).
32
1
3
30 5
1113
35
36
37
38
34
2 3314
3239
1831
10 25
8
26
27
2829
24
6
2221
1617
15
19
20
4
23
7[E1]
[E2]
[E3]
[E4]
[E5]
[E6]
[E7]
[E8]
[E9] [E10]
9
[E11]
[E12]
12
[E13]
[E14]
[E15]
[E16]
[E17]
[E18][E19]
[E20]
[E21]
[E22]
[E23]
[E24][E25]
[E26]
[E27]
[E28]
[E29]
[E30]
[E31]
[E32][E33]
[E34][E35]
[E36]
[E37]
[E38][E39]
[E40]
[E41]
[E42]
[E43] [E44]
[E45]
[E46]
Figura 15: Diagrama unifilar del sistema Nueva Inglaterra
de 39 nodos.
El conjunto de mediciones comprende: 39 mediciones de magnitudes de
voltaje. 92 mediciones de flujos de potencia
activa. 92 mediciones de flujos de potencia
reactiva. 39 mediciones de inyecciones de
potencia activa (de los cuales 12son de inyección cero).
39 mediciones de inyecciones depotencia reactiva (de los cuales 12son de inyección cero).
33Figura 16: Esquema de 301
mediciones del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos.
1
3
305
1113
35
36
37
38
342
33 14
3239
18
31
10 25
8
26
27
28 29
24
6
2221
16
17
15
19
20 4
23
7
9
12
34
1
3
305
1113
35
36
37
38
342
33 14
3239
18
31
10 25
8
26
27
28 29
24
6
2221
16
17
15
19
20 4
23
7
9
12
Errores de +30%en las líneas 15-16y 21-22
Figura 17: Esquema de 301 mediciones con líneas erróneas
para el caso 1.
35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 390.96
0.98
1
1.02
1.04
1.06
1.08
1.1
Comparación de las Magnitudes de Voltajes NodalesCorrectos y Estimados Para el Caso 1
Nodos
|V p| (
pu)
CorrectoCon Errores de Parámetros
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Porcentajes de Error de las Magnitudes de Voltajes Nodales Para el Caso 1
Nodos
Err
or |V
p| (%
)
% Error
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Comparación de los Ángulos de Fase NodalesCorrectos y Estimados Para el Caso 1
Nodos
p (°
)
CorrectoCon Errores de Parámetros
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39-50
0
50
100
150
200
Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 1
Nodos
Err
or
p (%
)
% Error
Resultados de la Estimación de Estado Convencional
36
Tabla 1 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
흈풎풂풙 푯(풙) 흈풎풊풏 푯(풙) 풓풂풏풌 푯(풙)1307.792297 1.704713 77
Tabla 2 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
흈풎풂풙 푮(풙) 흈풎풊풏 푮(풙) 풓풂풏풌 푮(풙) 풄풐풏풅 푮(풙) 푫푹 푮(풙)8081269023.834400 7852.688502 77 1029108.568625 0.000000971715
Resultados de Robustez Numérica de la Estimación de Estado Convencional
Prueba 흌ퟐ de la Estimación de Estado ConvencionalTabla 3 Prueba 휒2 para el caso 1 tomando en cuenta los valores
de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.Distribución 흌ퟐ Función Objetivo ¿Datos Erróneos?
259.912993 1360.428113 Sí
37
Prueba 풓푵 de la Estimación de Estado Convencional
1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197 211 225 239 253 267 281 2950
3
6
9
12
15
Residuales Normalizados de las Mediciones Para el Caso 1
Número de Medición
r N
rN
Tabla 4 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos?3 16.233122 Sí
38
Tabla 5 Resultados del estudio de estimación de parámetros de los elementos 20 y 29 para el caso 1.
Parámetro 풓ퟏퟓ ퟏퟔ 풙ퟏퟓ ퟏퟔ 풃ퟏퟓ ퟏퟔ풔풉
Valor Inicial (pu) 0.001170 0.012220 0.111150Valor Estimado (pu) 0.000907 0.009363 0.084472Valor Correcto (pu) 0.000900 0.009400 0.085500
% Error de Estimación 0.744231 -0.396114 -1.202646Parámetro 풓ퟐퟏ ퟐퟐ 풙ퟐퟏ ퟐퟐ 풃ퟐퟏ ퟐퟐ
풔풉
Valor Inicial (pu) 0.001040 0.018200 0.166725Valor Estimado (pu) 0.000804 0.013985 0.126691Valor Correcto (pu) 0.000800 0.014000 0.128250
% Error de Estimación 0.502220 -0.108659 -1.215385
Tabla 6 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20 y 29 para el caso 1.
흈풎풂풙 푯풂풖풎(풙풂풖풎) 흈풎풊풏 푯풂풖풎(풙풂풖풎) 풓풂풏풌 푯풂풖풎(풙풂풖풎)1308.620000 0.010000 83
Tabla 7 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20 y 29 para el caso 1.흈풎풂풙 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 흈풎풊풏 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 풓풂풏풌 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 풄풐풏풅 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 푫푹 푮풂풖풎(풙풂풖풎)2007850000.000000 0.181948 83 11035275719.779600 0.000000000091
Resultados de la Estimación de Parámetros
Resultados de Robustez Numérica de la Estimación de Parámetros
39
Tabla 8 Prueba 휒2 para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20 y 29.
Distribución 흌ퟐ Función Objetivo ¿Datos Erróneos?259.912993 65.389195 No
Tabla 9 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20 y 29.
Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos?3 2.570851 No
Intervalos de Confianza e Indicadores de Precisión de los Parámetros Estimados
Prueba 풓푵 de la Estimación deParámetros
Tabla 10 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 20 y 29 para el caso 1.
Parámetro 품ퟏퟓ ퟏퟔ 풃ퟏퟓ ퟏퟔ 풃ퟏퟓ ퟏퟔ풔풉
Valor Inicial (pu) 7.763908 -81.089708 0.111150Valor Estimado (pu) 10.247089 -105.813716 0.084472
Intervalo de Confianza (pu) (9.593581, 10.900598) (-106.448098, -105.179334) (0.080143, 0.088800)Indicador de Precisión 0.936225 0.994005 0.948756
Parámetro 품ퟐퟏ ퟐퟐ 풃ퟐퟏ ퟐퟐ 풃ퟐퟏ ퟐퟐ풔풉
Valor Inicial (pu) 3.129499 -54.766226 0.166725Valor Estimado (pu) 4.097517 -71.270694 0.126691
Intervalo de Confianza (pu) ( 3.921214, 4.273819) (-71.444662, -71.096725) (0.122568, 0.130814)Indicador de Precisión 0.956973 0.997559 0.967457
Prueba 흌ퟐ de la Estimación deParámetros
40
1
3
305
1113
35
36
37
38
342
33 14
3239
18
31
10 25
8
26
27
28 29
24
6
2221
16
17
15
19
20 4
23
7
9
12
Errores de +30%en las líneas 15-16,16-21 y 21-22
Figura 18: Esquema de 301 mediciones con líneas erróneas
para el caso 1A.
41
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 390.96
0.98
1
1.02
1.04
1.06
1.08
1.1
Comparación de las Magnitudes de Voltajes NodalesCorrectos y Estimados Para el Caso 1A
Nodos
|V p| (p
u)
CorrectoCon Errores de Parámetros
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Porcentajes de Error de las Magnitudes de Voltajes Nodales Para el Caso 1A
Nodos
Err
or |V
p| (%
)
% Error
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Comparación de los Ángulos de Fase NodalesCorrectos y Estimados Para el Caso 1A
Nodos
p (°
)
CorrectoCon Errores de Parámetros
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39-50
0
50
100
150
200
250
300Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 1A
Nodos
Err
or
p (%
)
% Error
Resultados de la Estimación de Estado Convencional
42
Resultados de Robustez Numérica de la Estimación de Estado Convencional
Prueba 흌ퟐ de la Estimación de Estado Convencional
Tabla 11 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.
흈풎풂풙 푯(풙) 흈풎풊풏 푯(풙) 풓풂풏풌 푯(풙)1307.361643 1.711120 77
Tabla 12 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.
흈풎풂풙 푮(풙) 흈풎풊풏 푮(풙) 풓풂풏풌 푮(풙) 풄풐풏풅 푮(풙) 푫푹 푮(풙)8076066999.765720 7879.674654 77 1024923.915594 0.000000975682
Tabla 13 Prueba 휒2 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.
Distribución 흌ퟐ Función Objetivo ¿Datos Erróneos?259.912993 2596.05793 Sí
43
Prueba 풓푵 de la Estimación de Estado Convencional
1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197 211 225 239 253 267 281 2950
3
6
9
12
15
18
21
24Residuales Normalizados de las Mediciones Para el Caso 1A
Número de Medición
r N
rN
Tabla 14 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.
Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos?3 23.048502 Sí
44
Resultados de la Estimación de ParámetrosTabla 15 Resultados del estudio de estimación de parámetros
para los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A.Parámetro 풓ퟏퟓ ퟏퟔ 풙ퟏퟓ ퟏퟔ 풃ퟏퟓ ퟏퟔ
풔풉
Valor Inicial (pu) 0.001170 0.012220 0.111150Valor Estimado (pu) 0.000905 0.009363 0.084539Valor Correcto (pu) 0.000900 0.009400 0.085500
% Error de Estimación 0.553599 -0.395387 -1.123428Parámetro 풓ퟏퟔ ퟐퟏ 풙ퟏퟔ ퟐퟏ 풃ퟏퟔ ퟐퟏ
풔풉
Valor Inicial (pu) 0.001040 0.017550 0.165620Valor Estimado (pu) 0.002216 0.012800 0.123359Valor Correcto (pu) 0.000800 0.013500 0.127400
% Error de Estimación 177.049632 -5.187440 -3.172012Parámetro 풓ퟐퟏ ퟐퟐ 풙ퟐퟏ ퟐퟐ 풃ퟐퟏ ퟐퟐ
풔풉
Valor Inicial (pu) 0.001040 0.018200 0.166725Valor Estimado (pu) -0.000025 0.014283 0.129972Valor Correcto (pu) 0.000800 0.014000 0.128250
% Error de Estimación -103.186137 2.020960 1.342677
45
Resultados de Robustez Numérica de la Estimación de Parámetros
Tabla 16 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A.
흈풎풂풙 푯풂풖풎(풙풂풖풎) 흈풎풊풏 푯풂풖풎(풙풂풖풎) 풓풂풏풌 푯풂풖풎(풙풂풖풎)1308.370000 0.000300 86
Tabla 17 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A.흈풎풂풙 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 흈풎풊풏 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 풓풂풏풌 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 풄풐풏풅 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 푫푹 푮풂풖풎(풙풂풖풎)2007090000.000000 0.000123 86 16281006136940.30000 0.0000000000000614
Prueba 풓푵 de la Estimación deParámetros
Prueba 흌ퟐ de la Estimación deParámetros
Tabla 18 Prueba 휒2 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20, 23 y 29.Distribución 흌ퟐ Función Objetivo ¿Datos Erróneos?
259.912993 64.414264 No
Tabla 19 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20, 23 y 29.
Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos?3 2.569834 No
46
Intervalos de Confianza e Indicadores de Precisión de los Parámetros Estimados
Tabla 20 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A.
Parámetro 품ퟏퟓ ퟏퟔ 풃ퟏퟓ ퟏퟔ 풃ퟏퟓ ퟏퟔ풔풉
Valor Inicial (pu) 7.763908 -81.089708 0.111150Valor Estimado (pu) 10.227911 -105.816674 0.084539
Intervalo de Confianza (pu) (9.574520, 10.881301) (-106.450811, -105.182538) (0.080158, 0.088921)Indicador de Precisión 0.936117 0.994007 0.948173
Parámetro 품ퟏퟔ ퟐퟏ 풃ퟏퟔ ퟐퟏ 풃ퟏퟔ ퟐퟏ풔풉
Valor Inicial (pu) 3.364780 -56.780663 0.165620Valor Estimado (pu) 13.134623 -75.852465 0.123359
Intervalo de Confianza (pu) (8.524590, 17.744657) (-98.486357, -53.218573) (0.104764, 0.141954)Indicador de Precisión 0.649017 0.701606 0.849264
Parámetro 품ퟐퟏ ퟐퟐ 풃ퟐퟏ ퟐퟐ 풃ퟐퟏ ퟐퟐ풔풉
Valor Inicial (pu) 3.129499 -54.766226 0.166725Valor Estimado (pu) -0.124945 -70.013401 0.129972
Intervalo de Confianza (pu) (-1.360668, 1.110779) (-80.250543, -59.776259) (0.095852, 0.164092)Indicador de Precisión 0.000000 0.853783 0.737480
47
CONCLUSIONES YAPORTACIONES
De los resultados del estimador de estado convencional para el caso 1 y 1A delsistema Nueva Inglaterra de 39 nodos se concluye que al usar el estimador de estadoconvencional contemplando valores de parámetros de líneas perturbados conporcentajes de error de +30%, se obtienen porcentajes de error de variables de estadoque son mayores en los ángulos de fase estimados en comparación de las magnitudesde voltajes nodales estimados. En estos casos se obtuvieron los mayores errores devariables de estado en los nodos cercanos a las líneas con parámetros erróneos, perono únicamente en los nodos a los que están conectados dichas líneas.
De la prueba 푟 (residuales normalizados) del caso 1 y 1A del sistema NuevaInglaterra de 39 nodos se concluye que los residuales normalizados que sobrepasan ellímite de 3 para un nivel de confianza de 99.73% corresponderán a las medicionescercanas a las líneas con parámetros erróneos, pero no únicamente a las medicionesde dichas líneas.
48
Del caso 1 y 1A del sistema Nueva Inglaterra se concluye que el máximo residualnormalizado 푟 obtenido de la prueba 푟 no siempre corresponderá a una mediciónde una línea con parámetros erróneos pero si al de una línea cercana a las quepresentan errores de parámetros.
Se concluye que tener la menor cantidad de mediciones no significa tener una menorrobustez ya que pueden existir diferentes cantidades de nodos de paso y es por lasmediciones de inyecciones cero en estos nodos que pueden influir en la determinacióndel caso menos robusto para un sistema.
49
Se concluye que solamente contando con mediciones de magnitudes de voltaje ymediciones de inyecciones de potencia (en el conjunto de mediciones) no es posibledetectar la presencia de líneas con parámetros erróneos usando la prueba 휒 (chi-cuadrada) y la prueba 푟 (residuales normalizados).
Se concluye del caso 1 del sistema Nueva Inglaterra que al realizar la estimación deparámetros por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales seincrementa el número de condición de la matriz de Ganancia aumentada 퐺 (푥 )en comparación de la matriz de Ganancia 퐺(푥) para el estimador de estadoconvencional como consecuencia de agregar nuevas columnas que corresponden a losparámetros de líneas que se van a estimar.
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Se concluye que a pesar de que en las pruebas se tienen matrices de rango columna completo,asegurando la observabilidad del Sistema Eléctrico de Potencia (SEP), las estimaciones proporcionadaspor el estimador de parámetros no son siempre buenas debido al mal condicionamiento de matrices comose vio en el caso 1A del sistema Nueva Inglaterra. A medida que aumenta el número de parámetros aestimar, se incrementa el número de condición 푐표푛푑[퐺 (푥 )] y disminuye la distancia relativa a lasingularidad 퐷푅[퐺 (푥 )] de la matriz de Ganancia aumentada 퐺 (푥 ) para el estimador deparámetros. Esto se ve reflejado en un incremento en las iteraciones del proceso de estimación deparámetros para llegar a la convergencia del método.
Del caso 1A del sistema Nueva Inglaterra, se observó que el estimador de parámetros de líneas detransmisión puede proporcionar valores de parámetros estimados irrazonables con porcentajes de errormayores del que se comenzó el proceso de estimación y aun así la función objetivo se minimiza y laspruebas de detección de datos erróneos fallan en detectar errores de parámetros. Los cálculos de losintervalos de confianza y de los indicadores de precisión presentados en esta tesis proporcionan unaherramienta para decidir que parámetros deben ser corregidos con las estimaciones de parámetros quese obtuvieron. Los parámetros que tienen posibilidad de error y con un buen indicador de precisión sonlos que deben corregirse con los valores de parámetros estimados. Debido al mal condicionamiento de lamatriz de Ganancia aumentada 퐺 (푥 ) que se genera al estimar un gran número de parámetros serecomienda tomar en cuenta un indicador de precisión mayor a 0.90 para la corrección de los parámetrosde líneas de transmisión.
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El algoritmo desarrollado en esta tesis es válido para la estimación de los parámetrosde una o varias líneas simultáneamente, pero es necesaria una redundanciaadecuada (como la redundancia del caso 1 o caso 1A del sistema Nueva Inglaterra de39 nodos) usando el método que aumenta el vector de estado, esto es ya que losparámetros de las líneas se consideran nuevas variables de estado a estimar y porconsiguiente los grados de libertad se reducen en el proceso de estimación deparámetros.
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Se programó el algoritmo de estimación de estado convencional y el algoritmo deestimación de parámetros de líneas de transmisión por el aumento del vector deestado usando ecuaciones normales. Por lo que se proporcionan los programas parano solo estimar el estado del sistema, sino también para estimar valores deparámetros de líneas de transmisión que no son directamente medidos en un SEP. Elprograma de estimación de parámetros puede estimar los parámetros deconductancia serie, susceptancia serie y susceptancia en derivación (sobre dos) delíneas de transmisión a partir de datos de mediciones de magnitudes de voltaje, flujosde potencia (activa y reactiva) e inyecciones de potencia (activa y reactiva), ademásde que es capaz de simular mediciones de inyecciones cero en nodos de paso.
Se desarrollaron dos subrutinas para la detección de datos erróneos, los cuales son laprueba 휒 (chi-cuadrada) y la prueba 푟 (residuales normalizados). Con esto sepueden detectar la presencia de líneas con parámetros erróneos en caso de queexistan en la base de datos de los elementos del SEP.
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Se programó una subrutina que analiza la robustez numérica de las matrices involucradas en elproceso de estimación de estado convencional y en el proceso de estimación de parámetros usandola Descomposición de Valores Singulares. Con esto se proporciona una herramienta que calcula elrango numérico y un número que indica el mal condicionamiento que puede tener la matriz deGanancia 퐺(푥) y la matriz de Ganancia aumentada 퐺 (푥 ) de la última iteración del procesode estimación, además de mostrar la cercanía de estas matrices a la singularidad. Esto es de granimportancia en el proceso de estimación ya que puede ocasionar un retardo en la convergencia delmétodo y además puede ocasionar malas estimaciones.
Se desarrolló una subrutina que calcula los intervalos de confianza y los indicadores de precisiónde los parámetros estimados. Con esta herramienta el usuario puede evaluar los resultados y laprecisión de la estimación de parámetros. Con los intervalos de confianza se pueden definir losparámetros con posibilidad de error que deben ser corregidos y por otra parte los indicadores deprecisión proporcionan información cuantitativa acerca de la precisión de la estimación deparámetros. Esto se realiza ya que la estimación de parámetros puede proporcionar resultadosincorrectos como resistencias negativas o valores de parámetros muy grandes aun cuando lafunción objetivo se minimiza.
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GRACIAS POR SU ATENCIÓN
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