CLASE 04 ECONOMÍA PARA INGENIEROS - 2015

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

IX CICLO – 2015 – I

CLASE Nº 04

Docente: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMOEmail : mhamwil@gmail .com Blog: htpp: / inghamiltonwilson.blogspot .com Emai l : [email protected] Teléf.. (51) (056) - 225924

1

“Uno de los conceptos básicos de las técnicas de análisis y evaluación de inversiones, es la noción de

que el dinero tiene un valor en el tiempo”

Si S/. 100 se guarda en una caja y se almacena en la casa, los S/.100originales pueden ser recuperados en cualquier fecha. Sin embargo, si losmismos S/.100 se colocan en una “aventura económica” (nueva empresa,cuenta bancaria, etc.) no solamente recuperará los S/.100 sino unrendimiento adicional (interés).

La cantidad total de interés varía con el tiempo durante el cual el dinero esinvertido y también sobre la tasa de interés ó rendimiento esperado.

La tasa de interés es función del riesgo.

“Dejando al margen el efecto de la variación del nivel de precios (inflación), $1 hoy vale más que $1 en el futuro”

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO2

“Un dólar recibido hoy puede invertirse inmediatamente para ganar interés, pero un dólar futuro no puede generar interés

sino cuando recién se haya recibido” “Un monto de dinero hoy, ganará una cantidad en el futuro dependiendo de lo que se haya hecho con él, de la tasa de

interés y del tiempo involucrado”

PRIMER FUNDAMENTO: de estas equivalencias, el uso del interés compuesto;que el interés ganado por un capital original es adicionado y se convierte en partedel capital al final de cierto periodo; es decir, en subsecuentes periodos de interésse gana tanto sobre el capital original como sobre el interés ganado en periodosanteriores, esta modalidad también se conoce como la capitalización de intereses.

EL SEGUNDO FUNDAMENTO, debe entenderse, que se refiere a la equivalenciade las relaciones matemáticas. Por ejemplo, $100 de hoy es equivalente a $110de mañana, siempre que gane un ratio de interés del 10% en el periodo de unaño; y finalmente da varios flujos de dinero en diferentes épocas, éstos no puedensumarse ni restarse, sólo se suman o restan dinero de la misma época.


DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

3

EL INTERÉS Y EL PERIODO DE CAPITALIZACION

Interés es el pago que se hace al propietario del capital por el uso del dinero.

Cuando una persona deposita dinero en el banco, de hecho le estáprestando ese dinero para que éste lo use, por tanto, el bancodebe pagar cierto interés al propietario del dinero.

En ingeniería económica al interés se le designa con la letra i.El pago de interés siempre está asociado a un periodo de tiempo.

Cuando un banco ofrece a sus ahorradores 20 % de interés anualsignifica que el ahorrador deberá dejar su dinero depositado por miperiodo de un año exacto para percibir el interés ofrecido.



4

EL INTERÉS Y EL PERIODO DE CAPITALIZACION

El periodo mínimo necesario para que se pueda cobrar un interés sellama periodo de capitalización.

Si una persona le presta a otra S/. 1000 al 10 % de interés pero con lacondición de liquidar tanto los S/. 1000 como el interés de S/. 100 alcabo de una semana, el periodo de capitalización del que presta es deuna semana.

Se llama periodo de capitalización porque a su término ya se tiene oya se formó más capital.

Así, quien prestó S/. 1000 al 10 % de interés semanal tendrá S/. 1100en una semana.

De igual forma, si otra persona deposita S/. 1000 en un banco quepaga 20 % de interés anual, pasado el periodo de capitalización de unaño, su capital habrá aumentado de S/. 1000 a S/. 1200.



5

Caso 1. Una persona presta S/. 3,500 con la condición de que lepaguen S/. 4,025 al cabo de un año. ¿Cuál es la tasa de interés anualque cobra el prestamista?

SOLUCIÓN.

Para encontrar una fórmula que permita hacer este cálculo;Determinamos el Interés cobrado;

(F- P) = 4025 – 3500 = 525Se divide la cantidad de interés cobrado sobre la cantidad original, lo cual, sise multiplica por 100, determinará el porcentaje de ganancia sobre lacantidad original, o sea, la tasa de interés correspondiente a ese periodo.

( )1001100

−=

−=

PFx

pPFi ( ) %151001

35004025

=

−= xi



6

SOLUCION. Como se cobra interés simple, esto significa que cada año, seacumularán intereses por S/. 525, aunque no se efectúe ningún pago alpropietario del dinero, por tanto, la suma pagada al final del año 4 será:

F = 3500 + 525 x 4 = 5600Aunque se han desarrollado fórmulas para este tipo de cálculos, actualmente elinterés simple dejó de aplicarse en los negocios desde hace mucho tiempo, por loque la utilidad de dichas fórmulas es nula en la actualidad.

INTERÉS SIMPLESe llama interés simple al que, por el uso del dinero a través de varios

periodos de capitalización, no se cobra interés sobre el interés que se debe.

CASO 2.El prestamista del Caso anterior cobra interés simple en sus operaciones.

Si presta S/. 3500 durante cuatro años al 15% de interés anual y acuerda quetanto el capital como los intereses se pagarán en una sola suma al final de loscuatro años, ¿a cuánto asciende este único pago?



7

SOLUCION.

El banco calculara el saldo del ahorrador al final del año cuarto:

1. Se deposita el dinero en el periodo cero, y al final del primer año los S/. 3500habrán ganado 3500 x 0.15 = 525, siendo:

F1 = 3500 + 3500 (0.15) = 4025

2. El ahorrador inicia el año 2 con S/. 4025 y sobre esta cantidad vuelve a ganarotro 15 %, por lo que al final de ese año habrá acumulado:

F2 = 4025 + 4025 (0.15) = 4628.75

Fórmulas de Interés CapitalizadoCASO 2.Un propietario del dinero en vez de prestar su dinero al 15 % de interés simple anualdurante cuatro años, decide depositarlo, es decir, prestarlo a un banco, que paga uninterés del 15 % capitalizado anualmente, también por un periodo de cuatro años.¿Cuánto tendrá acumulado al final del año cuarto?



8

......Continúa.

3. Bajo el mismo razonamiento, al final del año tres habrá acumulado:

F3 = 4628.75 + 4628.75 (0.15) = 5323.06

4. Y al final del cuarto año habrá acumulado:

F4 = 5323.06 + 5323.06 (0.15) = 6121.52

Obsérvese cómo sobre el interés ganado cada año se vuelve a ganarmás interés, de ahí el nombre de Interés Capitalizado, lo que significaque a partir de un interés ganado se produce o se gana más capital.

El hecho más importante de este tipo de interés es que, de los datos delCaso, aplicando interés simple, la suma acumulada al final del año cuartoes de tan sólo S/. 5600, mientras que, aplicando al dinero el interéscapitalizado la suma al final de los cuatro años se eleva a S/. 6121.52, locual representa una gran diferencia en ganancia.



9

......Por lo Tanto;.

Sean: Fn = la cantidad acumulada al final del periodo n

i = la tasa de interés

n = periodo de capitalización

P = la cantidad inicial depositada en el periodo cero

Si se deposita una cantidad P a una tasa de interés i durante un periodo decapitalización n = 1, la cantidad F1 acumulada al final de ese periodo será:

F1 = P + Pi = P (1+i)1

Siguiendo exactamente el mismo razonamiento utilizado en el Caso paracalcular las Fn, la cantidad F2 acumulada al final del periodo decapitalización 2 (n = 2) será:

F2 = P + Pi + (P + Pi)iP + Pi es la cantidad acumulada al final del periodo 1 y por tanto es la inicialdel periodo 2.



10

Multiplicando y factorizando se obtiene:

F2=P+ Pi + Pi +Pi2 = P(1 +2i +i2) = P(1 + i)2

Del mismo modo, la cantidad F3 acumulada al final del periodo 3 despuésde multiplicar y factorizar es:

F3 = P+ Pi + Pi + Pi2 + (P + 2Pi + Pi2) i == P + 2Pi + Pi2 + Pi + 2Pi2 + Pi3= P + 3Pi + 3Pi2 + Pi3 == P(1+3i+3i2+i3) = P(1 + i)3

Las fórmulas que el exponente de F1 es 1, de F2 es 2 y de F3 es 3, lo cual sepuede generalizar como:

Fn = P (1 + i)n



11

Aplicando la fórmula para calcular las Fn del ejemplo:

F1 = 3500 (1 + 0.15)1 = 4025.00F2 = 3500 (1 + 0.15)2 = 4628.75F3 = 3500 (1 + 0.15)3 = 5323.06F4 = 3500 (1 + 0.15)4 = 6121.52

Estos resultados demuestran que se cuenta con una fórmula básica querefleja exactamente la aplicación práctica del interés capitalizado.

Si en vez de transferir el valor del dinero del presente al futuro se deseahacerlo a la inversa del futuro al presente, basta con despejar P de laformula:

( )nn

iFP+

=1



12

( )28370

12.0150000

5 =+=P

CASO 3.Una persona espera recibir una herencia dentro de cinco años por un total de S/.50000. Si la tasa de interés es de 12 % anual capitalizado cada año, ¿A cuántoequivalen los S/. 50000 al día de hoy?

SOLUCION.

Datos son Fn = 50,000 o F = 50,000, i = 12 %, n = 5.

Utilizando la fórmula:

P = ?

2 4 5

F = S/. 50,000

1 3

0



13

SOLUCION.

Sea A el pago anual uniforme; P = S/. 100,000 o el valor presente que tiene lacasa; n = 10 pagos; i= 10 %.

SERIE UNIFORME DE PAGOS Y SU RELACIÓN CON EL PRESENTE (P)

CASO 4.Una persona compró una casa por S/. 100,000 y decidió pagarla en 10 anualidadesiguales, haciendo el primer pago un año después de adquirida la casa. Si la inmobiliariacobra un interés del 10 % capitalizando anualmente, ¿a cuánto ascienden los pagosiguales anuales que deberán hacerse, de forma que con el último pago se liquidetotalmente la deuda?

Existen multitud de ocasiones en la vida cotidiana en que la forma de pago común es laaportación de una serie de cantidades iguales durante ciertos periodos.

Cuando se desea comprar a crédito de autos, casas o muebles, la forma usual de pagoson 12, 24, 36 o más mensualidades iguales se tiene que usar las mismas fórmulasbásicas.



14

El diagrama de flujo de efectivo para el vendedor es la gráfica:

P = 100,000

0

A A A A A A A A A A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Para plantear una ecuación que resuelva este problema se utiliza la fórmula.

Pero aquí se tienen 10 cantidades futuras con respecto al presente, con laparticularidad de que todas son iguales y desconocidas.

La ecuación que iguala los S/. 100,000 en el presente a las diez A en cadauno de los diez años futuros es:

P1 = P2 = P3 = ............. = P10 = A



15

Resolviendo:

Factorizando y despejando:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

++

++

++

++

++

++

+= 7

76

65

54

43

32

21

1

1.011.011.011.011.011.011.01000,100 PPPPPPP

( ) ( ) ( )1010

99

88

1.011.011.01 ++

++

++

PPP

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

++

+++

++

++

= 109321 1.011

1.011........

1.011

1.011

1.011000,100 A

de donde A = 16,274.54.

Hay que observar dos cosas importantes en este problema, se designacomo A al Pago Anual Uniforme que se efectúa.



16

A será sinónimo de pago uniforme sin importar la frecuencia con que éstese efectúe.Para simplificar la solución de problemas de este tipo se ha desarrolladouna fórmula.Para obtener la fórmula que simplifique la obtención del resultado delproblema, se parte de la siguiente generalización:

a) El valor presente es conocido.b) Se desconoce el valor de n pagos iguales llamados A.c) El primer pago se efectúa en el periodo 1 y el último pago, en el

periodo n.d) Los pagos no se suspenden en el transcurso de los n periodos.

La fórmula es:( )

( )

−++

=11

1n

n

iiiPA



17

SOLUCION.

Los datos son: P = 100,000; n = 10; i = 10 %. Sustituyendo en la fórmula setiene:

CASO 5.Resuélvase el Caso 4, pero ahora empleando la fórmula;.

( )( )

54.274,1611.01

1.011.0000,100 10

10

=

−++

=A

Vemos que el Caso 4 se planteó de que el primer pago se hiciera en el año 1 y elúltimo en el periodo n (Año 10).Si cualquiera de estas condiciones no se cumple, el uso de la fórmula se invalida,como podría suceder al empezar a pagar en el año 2, aunque se hicieran 10 pagos;o bien, si se hicieran 10 pagos y se suspendiera un año el pago para liquidartotalmente la deuda en el año 11.Por lo demás, se puede demostrar que haciendo 10 pagos de S/. 16,274.54 enforma continua durante 10 periodos consecutivos, con el último pago se liquidatotalmente la deuda de 100,000 si la tasa de interés es de 10 %.



18

DEMOSTRACIÓN:En el periodo cero se deben S/.100000; al final del año 1 se deberán;

100,000 x 1.1 = 110,000Pero en ese mismo momento se hace el primer pago, por lo que la deuda alfinal del año 1 será:

110,000 – 16274.54 = 93,725.46Al final del año 2, dado que se cobra un interés de 10 % se deberán;

93,725.46 x 1.1 = 10,3098y se efectúa en ese momento el segundo pago, y así sucesivamente.

Para observar los movimientos de efectivo durante los 10 años, se puedeconstruir la tabla siguiente:



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TABLA DE DEMOSTRACIÓN DE PAGO DE DEUDA:

AMORTIZACION DE PAGOS UNIFORMES

AÑO Interés Deuda + Interés Pago a fin de Año Deuda despues del pago

0 100000 1 10 000 110 000 16 274.54 93725.46 2 9372.54 103 098 16 274.54 86823.46 3 8682.34 95 505.80 16 274.54 79231.26 4 7923.12 87154.39 16 274.54 70879.85 5 7087.98 77967.83 16 274.54 61693.30 6 6169.33 67862.62 16 274.54 54588.08 7 5180.80 56746.89 16 274.54 40472.35 8 4047.23 44519.59 16 274.54 28245.04 9 2824.50 31069.55 16 274.54 14795.01

10 1479.50 16274.51 16 274.54 -.003



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DE LA TABLA:De la tabla es evidente que con el último pago hecho en el año 10 se liquidatotalmente la deuda.

Una serie uniforme de pagos y el valor presente de una cantidad se puedenrelacionar inversamente con respecto al ejemplo mostrado, es decir, en unproblema cualquiera se pueden conocer los pagos uniformes y desconocer elpresente.

Se puede utilizar la misma formula si se desea simplificar el cálculo; De estemodo, si se despeja P de la fórmula se obtiene:

( )( )

+−+

= n

n

iiiAP

111



21

CASO 6.

Una ama de casa compra a crédito una lavadora y acuerda pagarla en 12pagos iguales mensuales de S/. 95.00 comenzando dentro de un mes.

Si el proveedor cobra un interés del 2 % mensual en sus ventas a crédito,¿cuál es el valor de contado de la lavadora?SOLUCION.

Los datos del problema son : A = 95.00; i = 2 %, n = 12.

El diagrama de flujo es el de la gráfica;

P = ?

2 4 5

95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95

1 3

0

6 7 8 9 10 11 12



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Si se desea emplear la fórmula básica considere a cada A como un futuro, Fn yhabrá que trasladar cada uno a su valor equivalente en el periodo cero.

En este ejemplo se puede observar que la A no necesariamente es un pagoanual y que los periodos de capitalización ni tampoco se cuantifican pornecesidad en años;

Observación; los datos del problema están dados en meses, pero ello no invalidala aplicación de las fórmulas dadas. El interés también se da mensualmente,semanalmente en conclusión es por periodos.

( ) ( ) ( ) ( )121121 02.0195

02.0195..........

02.0195

02.0195

++

+++

++

+=P

( ) ( ) ( ) ( )

+

++

+++

++

= 121121 02.0195

02.0195..........

02.0195

02.019595P

( )( )

65.100402.0102.0

102.0195 12

12

=

+−+

=P

Si se desea acortar el cálculo, utilizamos la fórmula:



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SOLUCION.Los datos del problema son: A = 800; i = 12 %; n = 9. El diagrama de flujo delproblema es el de la gráfica siguiente;

SERIE UNIFORME DE PAGOS Y SU RELACIÓN CON EL FUTURO (F)

CASO 7.Si una persona ahorra S/. 800 cada año en un banco que paga el 12 % deinterés capitalizado anualmente, ¿cuánto tendrá ahorrado al finalizar elnoveno año, luego de hacer nueve depósitos de fin de año?

En la vida cotidiana existen problemas en que se relaciona el futuro con unaserie de pagos iguales, por tanto, es necesario contar con fórmulas queayuden a la solución de estos problemas.



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Si se desea utilizar la fórmula básica considérese que cada pago de S/. 800 es unpresente P que debe trasladarse a su valor equivalente en el futuro, cada uno adiferente número de periodos.

El cálculo es:

F = ?

3 5 6

800 800 800 800 800 800 800 800 800

2 41 7 8 9

GRAFICA DEL DIAGRAMA DE FLUJO.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++++++++++= 45678 12.0180012.0180012.0180012.0180012.01800F

( ) ( ) ( ) ( )0123 12.0180012.0180012.0180012.01800 ++++++++

( ) 8.11820776.14800 ==F

( )niPF += 1



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F = ?

0 1 2 3 n - 1 n

A A A A A

Es importante señalar que el primer pago de S/. 800 en el periodo 1 setraslada al futuro ocho periodos; el último pago en el año nueve se eleva a lapotencia cero puesto que ya está en el año futuro que se desea, es decir, elaño nueve, por lo que ya no gana interés.

Para simplificar este cálculo se ha desarrollado la siguiente fórmula:

El diagrama generalizado de la fórmula es la gráfica siguiente:

( )

−+=

iiAF

n 11


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La aplicación de la fórmula tiene las siguientes restricciones:

1. El pago de la primera A siempre se efectúa en el periodo uno y no en elperiodo cero.

2. El último pago se verifica en el periodo n, es decir, en el momento en elque se calcula la F, por tanto, la última A ya no gana interés.

3. Los pagos de A son continuos, del periodo 1 al periodo n.

Cualquier variación de estas condiciones en el problema hace que seinvalide la aplicación de la fórmula.

Formula deducida si se conoce el valor de F; el valor de A será:

( )

−+=

11 niiFA



27

CASO 7B.

Resuélvase el caso 7 en la aplicación de la fórmula.

SOLUCION.

Como el ejemplo 7 está planteado de tal forma que no viola las restriccionespara el empleo de la fórmula, se aplica directamente.

Los datos son: A=800; i=12%; n=9.

( ) 80.1182012.0

112.018009

=

−+=F

Una serie de pagos uniformes también puede relacionarse en forma inversacon respecto al futuro, es decir, se conoce el futuro pero se desconoce elmonto de los pagos uniformes.



28

CASO 8.

Una persona desea contar con S/. 13,000 dentro de ocho años. Su intenciónpara obtener esta suma es ahorrar una cantidad igual cada año, empezandoel próximo fin de año, en un banco que paga el 7 % de interés capitalizadoanualmente.

¿A cuánto ascienden los depósitos iguales que deberá hacer los años 1 al 8para juntar los S/. 13,000?SOLUCION.

Datos del problema: F8 = 13,000; n = 8; i = 7 %. F = 13,000

2 4 5

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8

1 30 6 7 8

A1 = A2 = A3 ………………...……= A7 = A8



29

Nuevamente existen dos formas de resolver el problema.

Si se emplea la fórmula básica, considerando cada A en el futuro del año 8, adiferentes lapsos, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ++++++++= 44

53

62

71 07.0107.0107.0107.01000,13 AAAA

( ) ( ) ( ) ( )081

72

63

5 07.0107.0107.0107.01 ++++++++ AAAA

Factorizando y despejando; 08.267,1=AO bien, si se desea utilizar el cálculo simplificado de la fórmula dado que el

problema no viola ninguna de las restricciones de la fórmula, se tiene:

( )08.267,1

107.0107.0000,13 8 =

−+

=A



30

DEMOSTRACIÓN:Para demostrar que, efectivamente, depositando 8 cantidades iguales de S/.1,267.08 al final del octavo periodo se han reunido S/. 13,000, se procedecomo sigue:

Se depositan los primeros S/. 1,267.08 al final del año 1, es decir, al principiarel periodo 2;

Al finalizar el año 2 ese depósito habrá ganado 7 % de interés, con lo que sehabrá acumulado 1,267.08 x 1.07 = 1,355.775.

En ese momento se hace otro depósito de S/. 1,267.08, con lo cual setendrán 1,355.775 + 1,267.08 = 2,622.85, y así sucesivamente.

Esto se puede representar en el diagrama .



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PERIODO Monto Amortizado Cuota Acumulado

Interés7%

Monto acumulado

1 0.00 1267.08 1267.08 88.6956 1355.7756

2 1355.7756 1267.08 2622.8556 183.5998 2806.4555

3 2806.4555 1267.08 4073.5355 285.1475 4358.6830

4 4358.6830 1267.08 5625.7630 393.8034 6019.5664

5 6019.5663 1267.08 7286.6464 510.0652 7796.7116

6 7796.7116 1267.08 9063.7976 634.4654 9698.2570

7 9698.2570 1267.08 10965.3371 767.5736 11732.9106

8 11732.9106 1267.08 12999.9906

DEMOSTRACIÓN:



32

!Seguimos trabajando hasta la Próxima Clase!


DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO 33

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