BIOMETRÍA

242203 242317

27 de marzo de 2012

Sergio Neira – Hugo Arancibia

Fedor-Freybergh et al. 2005. From the descriptive towards inferential statistics: Hundred years since

conception of the Student‘s t-distribution. Neuroendocrinol Lett 2005; 26(3):167–172

+/- 1s =67% obs

+/- 2s =96% obs

)1()( 11 xnxn stxstxP

Los detalles del cálculo de probabilidad son la base sobre la cual

se asienta el cálculo de todos los test estadísticos de

significancia.

¿Qué significa que leamos en un artículo científico que la media

entre dos muestras fueron significativamente diferentes con un

valor p=0.003?

o

¿Cuál es la diferencia entre un error Tipo I y un error Tipo II?

1. Nociones básicas de probabilidad

2. Formalización de una probabilidad

3. Cálculo de una probabilidad

4. Probabilidad condicional

5. Teorema de Bayes

6. Resumen

Hasta ahora hemos tratado con certezas:

• E.g., hemos tenido a disposición un conjunto de datos y hemos

calculado su media, varianza y desviación estándar (práctico 1).

Ahora entraremos a otra parte importante de la estadística que

tiene que ver con la incertidumbre.

Probabilidad: es un número que indica la verosimilitud de un

evento

Incertidumbre:

Verosimilitud:

Proceso aleatorio No existe patrón

Ejemplos:

1. Arrojar una moneda al aire (2 resultados; cara o sello)

2. Arrojar un dado (6 resultados; 1 al 6)

3. Barajar un mazo de cartas (….)

Pero, ¿Qué sucede si repetimos el lanzamiento de la moneda o

arrojamos el dado o elegimos una carta, digamos 1000 veces?

¿Cuál es la probabilidad de obtener cara?

¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1?

¿Cuál es la probabilidad de obtener un as de

corazones?

Definición: La probabilidad de un evento es su proporción de

ocurrencia (las veces que ocurre).

Y esto corresponde al enfoque de la frecuencia relativa.

Esta definición es muy práctica. De hecho, es una definición empírica

basada en las observaciones que hacemos respecto de ese evento.

Limitaciones:

1. Para obtener la probabilidad real de un evento necesitamos realizar

múltiples observaciones (en teoría, infinitas), lo que hace este

enfoque poco practicable.

2. Conocer la frecuencia de un evento no responde la pregunta ¿por

qué se da esa probabilidad?

Resultados: son las observaciones que podemos registrar.

Moneda: cara, sello; Dado: 1 ,2, 3, 4, 5, 6; etc.

Espacio muestral: Es el conjunto de todos los resultados probables.

¿Cuántos resultados puede tener un lanzamiento de una moneda al

aire?

¿Cuántos resultados tiene el lanzamiento de un dado?

Eventos: Son combinaciones de resultados. Un proceso simple con

inicio y fin bien determinados.

Ejemplo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar cuando

lanzamos un dado?, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as?

La definición “a priori” de probabilidad es:

P(A) =

Número de resultados A

Número de resultados en el espacio muestral

Por definición, no puede haber más resultados que pruebas. Por lo tanto, el

numerador de esta fracción nunca es mayor que el denominador. Entonces:

0.10.0 P

Género vs. Football

Género M F

¿Le gusta? Si No

Género vs. Football

Football Género

M F

Si 10 10

No 4 7

N=espacio muestral=31

Calcule:

1. La probabilidad de elegir a alguien que no gusta del football.

2. La probabilidad de elegir a alguien que le guste el football.

3. La probabilidad de elegir a una mujer.

4. La probabilidad de elegir a un hombre.

Calcule:

1. La probabilidad de elegir a alguien que no gusta del football. P=11/37

2. La probabilidad de elegir a alguien que le guste el football. P=20/31

3. La probabilidad de elegir a una mujer. P=17/31

4. La probabilidad de elegir a un hombre. P=14/31

AXIOMA 1: La suma de todas las probabilidades de resultados

dentro de un único espacio muestral = 1.0.

*premisa que se considera «evidente» y es aceptada sin requerir una demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo,

es toda proposición que no se deduce de otras, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los

postulados

0.11

n

i

iAP

Una vez calculadas o estimadas las probabilidades de eventos

simples, podemos usarlas para calcular probabilidades de eventos

más complicados.

Eventos complejos están compuestos de eventos simples en el

espacio muestral.

Eventos compartidos son ocurrencias múltiples y simultáneas de

eventos simples en el espacio muestral.

AXIOMA 2: La probabilidad de un evento complejo es equivalente a

la suma de las probabilidades de los resultados que componen ese evento.

P(A o B o C) = P (A) + P(B) + P(C)

Ejemplos

Dado: P(1 o 6) = ?

Naipe: P(As de corazones o as de diamantes) = ?

Afirmación O Eventos complejos representan la unión de eventos simples

P(A∩B) = P (A) x P(B) (Si A y B son independientes)

El supuesto primordial es la independencia.

Dos eventos son independientes uno del otro si el resultado de un evento

no es afectado por el resultado del otro.

Si dos eventos son independientes, la probabilidad de que ambos

eventos ocurran (evento compartido) es igual al producto de sus

probabilidades individuales.

Afirmación Y: Eventos compartidos representan la intersección de eventos

simples.

P(Ac) = 1 - P(A)

Para cualquier evento A, la probabilidad de que no ocurra es 1-

P(A), lo que se conoce como la regla del complemento

Donde Ac es cualquiera de los eventos que no son A.

Una especie de escarabajo produce dos camadas, de entre 2 y 4

descendientes por camada.

El éxito reproductivo de uno de estos escarabajos puede ser descrito

como un resultado (a, b), donde a=n° de descendientes de la primera

camada y b=n° de descendientes de la segunda camada.

Tenemos el espacio muestral Fitness que consiste en todos los posibles

resultados reproductivos de un individuo a lo largo de su vida.

F= {(2,2), (2,3), (2,4),(3,2),(3,3),(3,4), (4,2), (4,3), (4,4)}

Supuesto: todos estos resultados tienen igual probabilidad.

Calcular:

1) P(2,2)=P(2,3)=….=P(4.4)= ?

2)

3) La probabilidad de que un escarabajo produzca 6 descendientes.

4) La probabilidad de obtener el par de camadas (2,4). Suponga que el n°

de descendientes en la camada 2 es independiente del n° de

descendientes en la camada 1.

?1

n

i

iAP

La probabilidad condicional de A dado que el evento B ocurre es:

P(A|B) = P (A y B)

P (B)

P(A|B) se lee “probabilidad de A dado B”

P(A │B) = P (B|A) P(A)

P (B|A)P(A) + P(B|Ac)P(Ac)

Hemos discutido probabilidades basados en el enfoque frecuentista

(probabilidades como frecuencias relativas de resultados en un conjunto

infinito de pruebas).

=> No existe conocimiento a priori de la probabilidad de un evento.

El enfoque Bayesiano (probabilidad condicional), se basa en la idea de que

los investigadores tienen una noción a priori de la probabilidad de un

evento (e.g., antes de realizar las pruebas).

=>Las probabilidades priori se utilizan para obtener probabilidades a

posteriori.

• La probabilidad de un resultado es simplemente el número de veces

que ese resultado ocurre dividido por el numero total de pruebas.

• Si conocemos o estimamos probabilidades simples, entonces podemos

determinar:

1. Probabilidades para eventos complejos (Evento A o Evento B)

mediante suma.

2. Probabilidades de eventos compartidos (Evento A y Evento B)

mediante multiplicación.

• La definición de probabilidades, junto con los axiomas de adición de

probabilidades y las tres operaciones en conjuntos (unión, intersección,

complementación), forman el fundamento del cálculo de probabilidades.

Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad