Avaliação de performance de laços de controle

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA PROGRAMA DE MESTRADO EM ENGENHARIA QUÍMICA

AVALIAÇÃO DE PERFORMANCE DE LAÇOS DE CONTROLE Wellington Pereira Santos Eng.º Químico, UEM, 2002 Orientador: Prof. Dr. Ivo Neitzel

Dissertação de Mestrado submetida à Universidade Estadual de Maringá, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Engenharia Química, área de Desenvolvimento de Processos.

Maringá - PR - Brasil

Dezembro de 2003

i

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA PROGRAMA DE MESTRADO EM ENGENHARIA QUÍMICA

Esta é a versão final da dissertação de Mestrado apresentada por Wellington Pereira Santos perante a Comissão Julgadora do Curso de Mestrado em Engenharia Química em 17 de dezembro de 2003.

COMISSÃO JULGADORA

Prof. Ivo Neitzel, D. Sc. Orientador

Prof. Flávio Faria de Moraes, Ph. D. Membro

Osvaldo Vieira, D. Sc. Membro

ii

SANTOS, WELLINGTON PEREIRA Avaliação de Performance de Laços de Controle [PARANÁ] 2003 XIII 145 p. 29,7 cm (PEQ/UEM, M.Sc., Engenharia Química, 2003) Dissertação-Universidade Estadual de Maringá-PEQ 1. Performance de laços de controle I. PEQ/UEM II. Título (série)

iii

Dedico este trabalho aos meus pais Jurandir e Roseneide;

aos meus irmãos Robinson, John Peterson, e Patrícia Kellen; e à Danúbia.

iv

Agradecimentos

Agradeço primeiramente à DEUS, meu Senhor e Salvador. À Ele seja dada toda a

honra e toda a glória. Foi Ele quem permitiu que eu pudesse concluir mais esta etapa da

minha vida, me dando forças, motivação, e entendimento para realizar este trabalho.

Agradeço aos meus pais Jurandir e Roseneide, meu irmão Robinson e minha

cunhada Sílvia, meu irmão John Peterson e minha cunhada Caroline, minha irmã Patrícia

Kellen e meus sobrinhos Lucas Henrique e Ana Maria. Pelo carinho, motivação, oração, e

apoio incondicional em todas os momentos.

Agradeço à Danúbia Araújo, que sempre me apoiou e me inspirou.

Agradeço ao meu orientador e amigo Ivo Neitzel pela forma com que foi conduzido

o trabalho, pela paciência, e por acreditar em mim.

Agradeço ao Osvaldo Vieira, ao Guaracy de Azevedo, ao Roberto Fernandes, ao

Ricardo Batista e ao Geraldo Sutil pela oportunidade.

Agradeço ao Pesch e ao Ridney pela imensa colaboração para que as aplicações na

máquina de papel pudessem ser realizadas.

Agradeço à TODOS os funcionários e colaboradores da KPMA, pelo ambiente de

muita amizade e companheirismo.

"Sei o que é estar necessitado e sei também o que é ter mais do que o necessário.

Aprendi esse segredo e, portanto, sempre e em todo o lugar e em qualquer situação,

eu me sinto contente, esteja alimentado ou com fome,

tenha muito ou tenha pouco.

Posso enfrentar qualquer coisa com a força que Cristo me dá."

Carta de Paulo aos Filipenses, capítulo 4, versículos 12 e 13.

(A Bíblia Sagrada - tradução na linguagem de hoje, São Paulo,

Brasil, Sociedade Bíblica do Brasil, 1988)

v

AVALIAÇÃO DE PERFORMANCE DE LAÇOS DE CONTROLE

AUTOR: WELLINGTON PEREIRA SANTOS

ORIENTADOR: PROF. DR. IVO NEITZEL

Dissertação de Mestrado; Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química;

Universidade Estadual de Maringá; Av. Colombo, 5790, BL E46-09; CEP 87020-900 -

Maringá - PR, Brasil, defendida em 17 de dezembro de 2003, 145 p.

RESUMO

Foram efetuadas avaliações de performance de um laço de controle de temperatura

(linha de vapor de média pressão), e dois laços de controle de pressão (vapor para cilindros

secadores) da secaria da máquina de papel-7 da Klabin Papéis Monte Alegre. Análises dos

gráficos de resposta freqüencial em laço fechado permitiram constatar a existência de

potenciais de melhoria na performance de dois dos laços avaliados, utilizando o

controlador de variância mínima como referência. A nova sintonia do laço de controle de

temperatura foi obtida baseada em modelo identificado. A melhoria na performance pôde

ser constatada visualmente através do gráfico temporal das variáveis controladas bem

como através dos índices de performance, medidas de variabilidades e variância da

variável controlada. O pacote computacional desenvolvido, testado e avaliado

experimentalmente mostrou-se uma ferramenta de grande utilidade e funcionalidade para

análise e melhoria da performance de laços de controle.

vi

CONTROL LOOPS PERFORMANCE ASSESSMENT

AUTHOR: WELLINGTON PEREIRA SANTOS

SUPERVISOR: PROF. DR. IVO NEITZEL

Master Thesis; Chemical Engineering Graduate Program; State University of Maringá; Av.

Colombo, 5790, BL E46-09; CEP 87020-900 - Maringá - PR, Brazil, presented on

December 17th 2003, 145 p.

ABSTRACT

Performance evaluations were performed on one temperature control loop (steam

medium pressure line), and two pressure control loops (vapor to dryers) of the paper

machine - 7 drying section at Klabin Papeis Monte Alegre. Analysis from closed-loop

frequency response charts permitted to detect the existence of potentials for increased

performance of two of those loops, using the minimum variance controller as benchmark.

The new control loop tuning were made on a model identification basis for the temperature

control loop. The increase in performance could be detected visually through the controlled

variables time analysis, as well as, through performance indices, variability measures and

controlled variable variance. The computational package developed, tested and evaluated

experimentally was shown to be a tool of great utility and functionality for control loops

analysis and for achieving higher performance.

vii

ÍNDICE DO TEXTO

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO .....................................................................................1

1.1 - MONITORAMENTO E AVALIAÇÃO DA PERFORMANCE DE CONTROLADORES ...................................................................................................... 1

1.2 - ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ...................................................................... 2

1.3 - REFERÊNCIAS ...................................................................................................... 3

CAPÍTULO 2 - A AVALIAÇÃO DA PERFORMANCE DE LAÇOS DE CONTROLE NO CONTEXTO INDUSTRIAL: ASPECTOS GERAIS .......................4

2.1 - INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 5

2.2 - SOBRE A SITUAÇÃO DOS LAÇOS DE CONTROLE NA INDÚSTRIA........... 6

2.3 - SOBRE AS MÉTRICAS DE AVALIAÇÃO DE PERFORMANCE DE LAÇOS DE CONTROLE.............................................................................................................. 8

2.4 - REFERÊNCIAS .....................................................................................................13

CAPÍTULO 3 - MODELOS DE SÉRIES TEMPORAIS .............................................14

3.1 - INTRODUÇÃO .....................................................................................................15

3.2 - PREVISÃO DE SÉRIES TEMPORAIS ................................................................15

3.3 - MÉTODOS DE PREVISÃO DE SÉRIES TEMPORAIS......................................16

3.3.1 - Modelo ARMA....................................................................................................17

3.3.2 - Modelo MA .........................................................................................................18

3.3.3 - Modelo AR..........................................................................................................18

3.3.4 - Modelo ARIMA ..................................................................................................19

3.4 - MODELOS DE SÉRIES TEMPORAIS NO CONTEXTO DO CONTROLE DE PROCESSOS..................................................................................................................20

3.5 - REFERÊNCIAS .....................................................................................................22

CAPÍTULO 4 - MODELOS DE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ..........................23

4.1 - INTRODUÇÃO .....................................................................................................25

4.2 - MODELOS TIPO FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA..........................................27

4.2.1 - Estimação de parâmetros da estrutura ARX........................................................28

4.2.2 - Estimação de parâmetros da estrutura ARMAX .................................................29

4.3 - O MÉTODO DO ERRO DE PREDIÇÃO .............................................................31

4.4 - REFERÊNCIAS .....................................................................................................33

CAPÍTULO 5 - O CONTROLE DE VARIÂNCIA MÍNIMA .....................................34

5.1 - INTRODUÇÃO .....................................................................................................36

5.2 - A ABORDAGEM PARA PROCESSOS SISO......................................................36

5.3 - A EXTENSÃO PARA PROCESSOS MIMO........................................................40

5.4 - REFERÊNCIAS .....................................................................................................44

viii

CAPÍTULO 6 - ÍNDICES DE AVALIAÇÃO DE PERFORMANCE DE LAÇOS DE CONTROLE ..................................................................................................................45

6.1 - INTRODUÇÃO .....................................................................................................48

6.2 - ÍNDICES DE PERFORMANCE ESTOCÁSTICOS PARA SISTEMAS SISO ....51

6.2.1 - Índice de Harris ...................................................................................................51

6.2.2 - Variância alcançável pelo controlador PID .........................................................54

6.2.3 - Dinâmica desejada - sistemas de fase mínima.....................................................56

6.2.4 - Índice de variância relativa..................................................................................61

6.2.5 - Índice de performance de controle modificado ...................................................63

6.3 - ÍNDICES DE PERFORMANCE ESTOCÁSTICOS PARA SISTEMAS MIMO .64

6.3.1 - Índice de Performance de Sistemas MIMO - sistemas de fase mínima...............64

6.3.2 - Dinâmica desejada - sistemas de fase mínima.....................................................69

6.3.3 - Variância Mínima Admissível - sistemas de fase não-mínima............................71

6.3.4 - Dinâmica desejada - sistemas de fase não-mínima..............................................73

6.4 - ÍNDICES DE PERFORMANCE DETERMINÍSTICOS PARA SISTEMAS SISO........................................................................................................................................75

6.4.1 - Integral do valor absoluto do erro (IAE), integral do quadrado do erro (ISE), integral do valor absoluto do erro ponderado no tempo (ITAE).....................................75

6.4.2 - Integral do valor absoluto do erro (IAE) e tempo de acomodação adimensionais........................................................................................................................................76

6.5 - FERRAMENTAS DE MONITORAMENTO DA CONDIÇÃO DE LAÇOS DE CONTROLE...................................................................................................................78

6.5.1 - Fator de serviço ...................................................................................................78

6.5.2 - Idle index e detecção de comportamento oscilatório ...........................................78

6.5.3 - Função de auto-correlação...................................................................................80

6.5.4 - Análise espectral..................................................................................................81

6.6 - OUTRAS TÉCNICAS DE AVALIAÇÃO DE PERFORMANCE DE LAÇOS DE CONTROLE...................................................................................................................82

6.7 - REFERÊNCIAS .....................................................................................................83

CAPÍTULO 7 - IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS EM LAÇO FECHADO ............85

7.1 - CONTROLADORES BASEADOS EM MODELO DO PROCESSO ..................87

7.2 - IDENTIFICAÇÃO DE PROCESSOS EM LAÇO FECHADO .............................88

7.2.1 - Método Direto .....................................................................................................91

7.2.2 - Método Indireto...................................................................................................92

7.2.3 - Método de identificação conjunta de entradas e saídas .......................................94

7.2.4 - Métodos de identificação em duas etapas............................................................95

7.2.5 - Escolha do método de identificação em laço fechado do processo .....................97

7.3 - CONJUNTO INFORMATIVO DE DADOS DE SISTEMAS OPERANDO EM LAÇO FECHADO .........................................................................................................98

7.4 - IDENTIFICAÇÃO DE PROCESSOS EM LAÇOS DE CONTROLE EM CASCATA ...................................................................................................................100

7.6 - REFERÊNCIAS ...................................................................................................103

ix

CAPÍTULO 8 - APLICAÇÕES E ANÁLISES...........................................................104

8.1 - INTRODUÇÃO ...................................................................................................105

8.2 - PACOTE COMPUTACIONAL DESENVOLVIDO ...........................................106

8.2.1 - Módulo A: Identificação de Sistemas................................................................106

8.2.2 - Módulo B: Sintonia de Controladores ...............................................................107

8.2.3 - Módulo C: Avaliação de Performance ..............................................................107

8.3 - A ESTATÍSTICA PRESS ....................................................................................110

8.3.1 - Utilização da Estatística PRESS na seleção de modelos e avaliação dos resultados obtidos com o Módulo A .............................................................................113

8.4 - TESTES EFETUADOS EM UMA PLANTA DE PROCESSO ..........................115

8.5 - IDENTIFICAÇÃO DO PROCESSO ...................................................................117

8.6 - IDENTIFICAÇÃO DO CONTROLADOR .........................................................119

8.6.1 - Avaliação da influência do intervalo de amostragem........................................119

8.6.2 - Aplicação industrial...........................................................................................123

8.7 - AVALIAÇÃO DE PERFORMANCE..................................................................125

8.7.1 - Laço 372-TIC-3209...........................................................................................128

8.7.2 - Laço 372-PIC-4773 ...........................................................................................133

8.7.3 - Laço 372-PIC-4775 ...........................................................................................136

8.7.4 - Avaliação da influência dos parâmetros do PID no gráfico da resposta freqüencial em laço fechado .........................................................................................137

8.8 - REFERÊNCIAS ...................................................................................................141

CAPÍTULO 9 - SUMÁRIO .........................................................................................142

9.1 - DISCUSSÃO E CONCLUSÕES .........................................................................142

9.2 - PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES .......................................................................144

9.3 - SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS................................................144

x

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2.1 - Laço de controle .............................................................................................6 Figura 2.2 - Situação dos laços de controle nas indústrias auditadas pela Emerson Process

Management................................................................................................................7 Figura 2.3- Resposta característica de um processo subamortecido.....................................9 Figura 2.4 - Alguns benchmarks na avaliação de performance de laços de controle ..........10 Figura 2.5 - Laço de controle ...........................................................................................11 Figura 3.1 - Série temporal com horizonte de previsão h .................................................16 Figura 3.2 - Laço de controle ...........................................................................................20 Figura 4.1 - Configuração básica entrada-saída ................................................................25 Figura 4.2 - O erro de predição um passo-à-frente ............................................................26 Figura 4.3 - Diagrama de sinais do modelo ARX .............................................................28 Figura 4.4 - Diagrama de sinais do modelo ARMAX .......................................................29 Figura 4.5 - Grupos de técnicas de estimação de parâmetros ............................................31 Figura 5.1 - Laço de controle feedback.............................................................................37 Figura 5.2 - Laço de controle segundo abordagem IMC ...................................................38 Figura 6.1 - Estrutura organizacional dos índices de performance estudados neste capítulo

..................................................................................................................................50 Figura 6.2 - Laço de controle e funções de transferência discretas ..............................55, 62 Figura 6.3 - Laço feedback segundo a abordagem IMC ..............................................59, 68 Figura 6.4 - Sistema MIMO .......................................................................................69, 72 Figura 7.1 - A idéia da técnica do controle preditivo ........................................................87 Figura 7.2 - Sistema SISO linear, operando em laço fechado....................................91, 102 Figura 7.3 - Sistema SISO linear operando em laço fechado................................. 92, 94, 96 Figura 7.4 - Sistema SISO linear operando em laço fechado.............................................99 Figura 7.5 - Laços de controle em cascata ......................................................................100 Figura 7.6 - Laço de controle da Figura 7.2, rearranjado.................................................102 Figura 8.1 - Estrutura modularizada do pacote computacional desenvolvido ..................106 Figura 8.2 - Laço de controle .........................................................................................108 Figura 8.3 - Laço de controle de temperatura 372-TIC-3209 ..........................................115 Figura 8.4 - Diagrama em blocos do laço 372-TIC-3209 ................................................116 Figura 8.5 - Testes efetuados no laço 372-TIC-3209 ......................................................116 Figura 8.6 - Simulação noise-free...................................................................................118 Figura 8.7 - Auto-correlação dos resíduos ......................................................................118 Figura 8.8 - Laço de controle implementado via simulação ............................................119 Figura 8.9 - Pulso aplicado no set-point do laço de controle implementado via simulação

................................................................................................................................122 Figura 8.10 - Laço de controle de pressão 372-PIC-4773 ...............................................126 Figura 8.11 - Diagrama em blocos do laço 372-PIC-4773 ..............................................126 Figura 8.12 - Laço de controle de pressão 372-PIC-4775 ...............................................127 Figura 8.13 - Diagrama em blocos do laço 372-PIC-4775 ..............................................127 Figura 8.14 - Janela de 6 horas de operação estável (372-TIC-3209) ..............................129 Figura 8.15 - Respostas freqüenciais em laço fechado com o controlador atual e com o

controlador de variância mínima (372-TIC-3209) ....................................................130 Figura 8.16 - Respostas freqüenciais em laço fechado com o controlador atual (antes e

depois do reajuste da sintonia) e com o controlador de variância mínima (372-TIC-3209).......................................................................................................................131

Figura 8.17 - Comparação dos dados antes e depois da sintonia (372-TIC-3209)............132

xi

Figura 8.18 - Janela de 5 horas de operação estável (372-PIC-4773) ..............................134 Figura 8.19 - Respostas freqüenciais em laço fechado com o controlador atual e com o

controlador de variância mínima (372-PIC-4773) ....................................................135 Figura 8.20 - Janela de 3 horas de operação estável (372-PIC-4775) ..............................136 Figura 8.21 - Respostas freqüenciais em laço fechado com o controlador atual e com o

controlador de variância mínima (372-PIC-4775) ....................................................137 Figura 8.22 - Comparação entre as sintonias A,B e C.....................................................139 Figura 8.23 - Comparação entre as sintonias D, E e F.....................................................139 Figura 8.24 - Comparação entre as sintonias G, H e I .....................................................140

xii

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 4.1 - Modelos SISO tipo "caixa-preta" ..................................................................27 Tabela 6.1 - Classes de performance para controladores PI ..............................................77 Tabela 8.1 - Comparação dos resultados com para a Estatística PRESS ........................114 Tabela 8.2 - Sumário da varredura efetuada com a estrutura ARX (10 melhores) ...........117 Tabela 8.3 - Parâmetros de regulação do PID configurados no SDCD............................123 Tabela 8.4 - Consolidação das métricas de performance (372-TIC-3209) .......................133 Tabela 8.5 - Consolidação das métricas de performance (372-TIC-3209) .......................138

1

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO

Nomenclatura

Acrônimos:

SISO Single Input Single Output (Uma Entrada Uma Saída)

MIMO Multiple Input Multiple Output (Múltiplas Entradas Múltiplas Saídas)

1.1 - MONITORAMENTO E AVALIAÇÃO DA PERFORMANCE DE

CONTROLADORES

A busca incessante pela excelência na manufatura de produtos de alta qualidade

aliada à crescente disponibilidade de computadores de maior capacidade de

processamento, têm motivado o desenvolvimento e aprimoramento de algoritmos de

controle avançados.

Enquanto a etapa do projeto do sistema de controle tem consumido a maior parcela

de tempo despendido no ciclo de implementação destes sistemas, pouco se conhece sobre

as técnicas existentes de avaliação da performance de sistemas de controle baseadas em

dados de rotina da operação do processo industrial.

Se consideradas as diversas hipóteses assumidas durante a fase de projeto de um

sistema de controle, bem como as perturbações não modeladas ou mesmo desconhecidas, e

as muitas alterações de processo que normalmente ocorrem na indústria, o fato dos

sistemas de controle raramente funcionarem conforme previsto no projeto não deve causar

espanto.

Sendo assim, a importância do Monitoramento e Avaliação da Performance de

Controladores, uma área de pesquisa emergente da década de 90 que provê meios de se

diagnosticar a performance de laços de controle, torna-se cada vez maior.

Ao propor a utilização do controlador de variância mínima como limite máximo

para a performance de laços de controle e provar que essa variância mínima pode ser

estimada sem a necessidade de testes na planta, apenas a partir de dados de rotina de

2

operação do processo (com o conhecimento ou estimativa do tempo morto), HARRIS

(1989) deu até então a maior contribuição para a área de monitoramento da performance de

controladores, atraindo a atenção de muitos pesquisadores.

1.2 - ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Neste trabalho são apresentadas as principais técnicas de avaliação de performance

de laços de controle. Todas essas técnicas empregam índices de performance para

quantificar a performance de um laço de controle, e utilizam não apenas o controlador de

variância mínima como benchmark, mas também dinâmicas especificadas pelo usuário, por

exemplo. São apresentadas técnicas para os casos SISO e MIMO.

Num segundo momento, são relatadas aplicações de uma ferramenta computacional

desenvolvida durante este trabalho de pesquisa, em laços de controle de uma máquina de

papel.

Esta dissertação está organizada da seguinte forma: o Capítulo 2 apresenta

estatísticas que enfocam a avaliação de performance sob o aspecto prático industrial,

buscando revelar a situação em que normalmente se encontram as indústrias de processos

químicos; o Capítulo 3 faz uma breve explanação sobre séries temporais e sua

conectividade com o controle de processos - assunto que fundamenta os principais aspectos

matemáticos da avaliação de performance de laços de controle; no Capítulo 4 os modelos

de função de transferência são apresentados, bem como o método do erro de predição para

estimação dos parâmetros destes modelos; no Capítulo 5 o controle de variância mínima é

estudado tanto na abordagem para sistemas SISO quanto para sistemas MIMO; o Capítulo

6 consolida a sistematização de diversas técnicas existentes para avaliação de performance

de laços de controle, utilizando diversos benchmarks; no Capítulo 7 são apresentados os

métodos de identificação de processos e controladores em laço fechado de forma bastante

simples e clara, deixando de lado aspectos teóricos como condições de identificabilidade; o

Capítulo 8 traz resultados de aplicações de identificação de processos e controladores bem

como de avaliações de performance de laços de controle de uma máquina de papel; as

conclusões mais relevantes do trabalho bem como possíveis linhas de pesquisa para

trabalhos futuros são listadas no Capítulo 9.

3

1.3 - REFERÊNCIAS

HARRIS, T. J., 1989, "Assessment of Control Performance", The Canadian Journal of

Chemical Engineering, v. 67, n. 8, pp. 856-861.

4

CAPÍTULO 2 - A AVALIAÇÃO DA PERFORMANCE DE LAÇOS DE

CONTROLE NO CONTEXTO INDUSTRIAL: ASPECTOS GERAIS

Nomenclatura

( )e k Ruído branco

( )1cG q− Função de transferência do controlador

( )1dG q− Função de transferência da perturbação

( )1pG q− Função de transferência do processo

k Instante de tempo

at Tempo de ascenção

rt Tempo de acomodação ou de resposta

( )u k Variável manipulada

( )v k Perturbação de carga

( )w k Ruído da medida

( )my k Sinal medido da variável controlada

( )SPy k Set-point para a variável controlada

( )vy k Sinal verdadeiro da variável controlada

Símbolos gregos: 2σ Variância

Acrônimos:

DMC Dynamic Matrix Control (Controle de Matriz Dinâmica)

PID Proportional-Integral-Derivative (Proporcional-Integral-Derivativo)

PV Process Variable (Variável de Processo Controlada)

SP Set-point (Valor objetivo)

5

2.1 - INTRODUÇÃO

A avaliação da performance de laços de controle é uma ferramenta que pode ser

utilizada para inferir sobre o alcance dos objetivos do controle automático, tais como:

manutenção da segurança operacional, asseguração da qualidade dos produtos e

produtividade da planta. Além disso, pode ser empregada como ferramenta de suporte à

decisão na análise de investimentos potenciais, uma vez que a reengenharia de processo

que acarrete um aumento de economia é que deve, preferencialmente, ser implementada.

O julgamento da performance de laços de controle freqüentemente é efetuado na

indústria mediante critérios bastante subjetivos e intuitivos, e muitas vezes carece de

argumentos que dêem sustenção à esses critérios.

MARLIN (2000), define a performance de laços de controle como sendo "uma

medida da habilidade de tal sistema em alcançar a resposta dinâmica desejada, conforme

indicado por métricas de performance, e dentro de uma determinada faixa de condições

operacionais."

Observa-se que a definição anterior faz uma ressalva acerca das condições

operacionais da planta. Ou seja, em virtude da planta sofrer alterações no seu ponto de

operação com o decorrer do tempo, é necessário que os laços de controle sejam

monitorados periodicamente.

A robustez de um laço de controle, conforme definida por MARLIN, (2000), "é

uma medida da capacidade de um sistema de controle em desempenhar sua função na

presença de flutuações na planta." Portanto, a robustez de um sistema de controle deve ser

levada em consideração na avaliação da performance.

É importante salientar que, a performance de um sistema de controle depende de

todos os componentes do laço, não devendo todos os esforços serem concentrados apenas

no monitoramento do funcionamento do controlador (Figura 2.1). Numa avaliação de

performance rigorosa, o processo, o sensor e o elemento final devem ser incluídos na

análise.

6

Controlador Elemento Final Processo

Sensor

Set-point

Perturbações

+-

++

Variávelcontrolada

Figura 2.1 - Laço de controle

No contexto dos fatores que limitam a performance de laços de controle, o tempo

morto surge como uma fronteira para o desempenho do laço, sendo facilmente verificado a

partir de uma topologia de controle com realimentação (feedback) (Figura 2.1): o laço

nessa configuração não tem influência na variável controlada durante um intervalo de

tempo menor ou igual ao tempo morto do processo.

2.2 - SOBRE A SITUAÇÃO DOS LAÇOS DE CONTROLE NA INDÚSTRIA

Constata-se que, ao longo do tempo, os sistemas de controle industriais tendem a

operar com performances cada vez mais precárias. De fato, segundo BIALKOWSKI

(1993), estatísticas apontam que, em média, o tempo de meia-vida da performance de laços

de controle é da ordem de 6 meses. Como conseqüências diretas dessa tendência, observa-

se elevação nos custos de produção, redução dos níveis de produtividade de máquinas e

equipamentos, e comprometimento dos parâmetros de qualidade dos produtos.

Portanto, a performance de laços de controle exige um acompanhamento contínuo

por parte dos engenheiros de controle de processos, devido ao ciclo de variabilidades do

processo - função das flutuações nas características de matérias-primas, do desgaste de

válvulas, de novos pontos de operação da planta, dentre outros fatores.

7

A seguir são apresentadas estatísticas que fornecem indicativos da situação dos

sistemas de controle nas indústrias durante a última década:

- no estudo divulgado por ENDER (1993), cerca de um terço dos laços de controle

na indústria operam em modo manual; um terço operam em modo automático; e um terço

prejudicam a planta ou o processo;

- segundo MILLER & DESBOROUGH (2001), estimativas apontam que de 66% a

80% dos sistemas de controle industriais apresentam algum problema de performance;

- uma consolidação dos dados da EMERSON PROCESS MANAGEMENT,

(2002), nas mais de 300 auditorias de variabilidades realizadas em diversos seguimentos

industriais, é apresentada na Figura 2.2:

Laços que requerem novo

projeto5%

Laços que requerem novas estratégias de

controle15%

Laços que reduzem

variabilidades20%

Laços que oscilam e aumentam

variabilidades devido a

problemas com transmissores/

válvulas de controle

30%

Laços que oscilam e aumentam

variabilidades devido a sintonia

30%

Figura 2.2 - Situação dos laços de controle nas indústrias auditadas pela Emerson Process

Management

Da Figura 2.2 observa-se que cerca de dois terços dos laços amostrados, exibem

comportamento oscilatório. Usualmente, os problemas que causam oscilações podem ser

agrupados em dois grandes grupos:

1. oscilação devido ao agarramento de válvulas de controle causado pela fricção

estática (fricção de Coulomb);

8

2. oscilação devido ao método inadequado de sintonia do controlador, fatores

inerentes à dinâmica do processo (como tempo morto elevado).

Outros problemas envolvendo o sistema de controle podem estar relacionados com:

a) equipamentos de processo: como por exemplo válvulas de controle com mau

comportamento regulatório;

b) projeto do sistema de controle: como transmissores (pneumáticos) longe dos

elementos finais, limitando a ação de controle;

c) tanques com agitação e mistura inadequados: não atenuando as perturbações de

mais alta freqüência.

2.3 - SOBRE AS MÉTRICAS DE AVALIAÇÃO DE PERFORMANCE DE

LAÇOS DE CONTROLE

Como forma de efetuar uma análise quantitativa da performance de laços de

controle, alguns parâmetros são calculados e utilizados como forma de quantificar e

comparar o desempenho de controladores. Particularmente as respostas em laço fechado

com característica dinâmica do tipo subamortecida são as mais freqüentemente encontradas

na indústria e alguns índices foram designados para caracterizar seu comportamento e

também sua performance quando submetidos à perturbação tipo degrau no set-point:

- sobre-elevação máxima da variável controlada ( /A B na Figura 2.3);

- razão de declínio ( /C A na Figura 2.3);

- tempo de ascensão (ponto at no eixo das abscissas da Figura 2.3);

- tempo de acomodação ou de resposta (ponto rt no eixo das abscissas da Figura

2.3).

De fato, alguns destes índices constituem referência para a sintonia de

controladores no sentido de que representam quantitativamente o comportamento desejado

para dinâmica em laço fechado do processo em questão.

9

Resposta em laço fechado tipo subamortecida

0.0

1.0

2.0

Tempo

Var

iáve

l con

trola

da g

ta

A

B

C

tr

10 %

Figura 2.3- Resposta característica de um processo subamortecido

Outros índices podem ser calculados visando quantificar a performance de laços de

controle, tais como: desvio padrão das variáveis controladas e manipuladas e desvio

máximo das variáveis controladas.

De um modo geral, as técnicas envolvendo a medida da performance de laços de

controle deveriam reunir os seguintes atributos (HUGO, 2001):

1. Ser independente do set-point ou da variedade das perturbações;

2. Dispensar a utilização de testes na planta;

3. Possibilitar a automação dessas tarefas;

4. Requisitar especificações mínimas da dinâmica do processo;

5. Apresentar uma medida absoluta ou não-arbitrária;

6. Dar indicativos das causas principais de performance precária;

7. Apresentar uma medida do retorno obtido devido às melhorias efetuadas no laço

de controle.

10

Os métodos pelos quais a performance de laços de controle pode ser avaliada, em

geral são conduzidos (implícita ou explicitamente) pela comparação da qualidade do

controle atual com algum padrão de referência. Na Figura 2.4 estão apresentados alguns

padrões de referência organizados sob a forma de um ranking, e ordenados segundo a

agressividade do controle quantificado pela medida da variância do erro da saída (SP-PV)

(HUGO, 2001). A decisão de qual destes padrões utilizar, usualmente recai sob

responsabilidade do engenheiro de controle de processos em julgar a aplicabilidade do

padrão em questão na comparação com o processo atual. Observa-se também a partir da

Figura 2.4, que está presente em alguns padrões o termo "melhor", o qual neste contexto

traduz a ação de minimizar a variância do desvio da variável controlada em relação ao set-

point dadas as limitações inerentes ao controlador. Apesar destes "melhores" controladores

não poderem ser implementados em muitas situações práticas – pois são extremamente

sensíveis às incompatibilidades entre modelo e processo levando à instabilidade do laço de

controle - representam um padrão extremo e dispensam quaisquer fatores de ponderação ou

julgamento (HUGO, 2001).

Controle

Perfeito

Ruído d

as medi

das

Melhor c

ontrola

dor

não lin

ear poss

ível

Contro

lador d

e

variânc

ia míni

ma

Melhor c

ontrola

dor

preditiv

o poss

ível

Melhor c

ontrola

dor

PID po

ssível

Operaçã

o em laç

o

aberto

2 0σ = 2 aumentaσ

Figura 2.4 - Alguns benchmarks na avaliação de performance de laços de controle

Controle Perfeito

Embora possa parecer um padrão não realista, de fato este benchmark é muitas

vezes referenciado, ao menos implicitamente. Ao avaliar controladores através da variância

do erro da saída (SP-PV), implicitamente se está comparando a variância atual com a

variância zero (HUGO, 2001).

11

Melhor controlador não-linear possível

Num laço de controle como ilustrado na Figura 2.5, existem ao menos duas

limitações para a ação de controle: (i) não existem controladores que possam atuar de

forma que a variância do erro da saída do processo ( ) ( )( )SPy k y k− seja menor que a

variância do ruído das medidas; e (ii) nenhum controlador pode afetar o processo até que

um intervalo de tempo igual ou maior ao tempo morto do processo tenha decorrido. O

melhor controlador não-linear possível representa o que pode ser realizado utilizando-se

software. Entretanto, em virtude da complexidade envolvida em obter modelos não-

lineares e dos próprios controladores não-lineares, não há índices de performance que

façam referência à este tipo de benchmark (HUGO, 2001).

Gc(q-1) Gp(q

-1)

ysp(k)

ym(k)

yv(k)

+-

++

Gd(q-1)

u(k)

v(k)

e(k)

++

w(k)

ym(k)


Controle de variância mínima

Para sistemas lineares, o controlador de variância mínima resulta na menor

variância possível para o erro da saída (SP-PV) na operação em laço fechado. Esta lei de

controle exige um modelo perfeito para o processo ( )pG e para a perturbação ( )dG

(Figura 2.5), e implicará no cancelamento do erro (exceto aquele devido à contribuição do

12

ruído ( )w k ) no tempo amostrado imediatamente após o tempo morto do processo (HUGO,

2001).

Enquanto o controlador requer as funções de transferência do processo e da

perturbação, HARRIS & DESBOROUGH (1992) mostraram que a resposta em laço

fechado do controlador de variância mínima pode ser determinada utilizando apenas dados

de operação do processo atual em laço fechado e uma estimativa para o tempo morto. Eles

definiram um índice de performance baseado na razão entre a variância que seria obtida

com o controlador de variância mínima e a variância obtida a partir dos dados de operação

em laço fechado do processo atual. Este índice de performance é utilizado em virtualmente

todos os pacotes computacionais de medida de performance industriais do mercado na

atualidade, e muitas vezes referenciado como "Índice de Harris" (HUGO, 2001).

Melhor controlador preditivo possível

Um índice de performance baseado em um controlador preditivo, como o DMC,

que leva em conta um modelo simplificado para o processo (resposta ao degrau ou resposta

ao pulso), compara a variância atual com a variância que seria obtida se um controlador

preditivo fosse aplicado e onde não houvessem erros no modelo do processo ou supressão

de movimento (melhor controlador preditivo).

Melhor controlador PID possível

Estima-se que em cerca de 97% dos laços de controle nas indústrias de processos

químicos são empregados controladores do tipo PID (BIALKOWSKI, 1993). Desta forma,

um índice de performance baseado no melhor controlador PID possível é um padrão de

comparação bastante razoável.

13

2.4 - REFERÊNCIAS

BIALKOWSKI, W. L., 1993, "Dreams versus Reality: A view from both sides of the gap",

Pulp & Paper Canada, 94(11), pp. 330-338;

EMERSON PROCESS MANAGEMENT, "Auditoria de Variabilidade". Disponível em:

<http://www.emersonprocess.com.br/Assistencia/servicos_variabilidade.asp>.

Acesso em 20 dez. 2002;

ENDER, D., 1993, "Process Control Performance: Not as good as you think", Control

Engineering, (September);

HARRIS, T. J., DESBOROUGH, L., 1992, "Performance Assesment Measures for

Univariate Feedback Control", Canadian Journal of Chemical Engineering, v.

70, pp. 1186-1197;

HUGO, A. J., "Process Controller Performance Monitoring and Assesment". Disponível

em: <http://www.controlartsinc.com/pdf/PerformanceAssessment.PDF>. Acesso

em: 10 jun. 2001;

MARLIN, T. E., 2000, Process Control. 2nd ed. New York, USA. McGraw-Hill, Inc.;

MILLER, R., DESBOROUGH, L., 2001, "Increasing Customer Value of Industrial

Control Performance Monitoring - Honeywell’s Experience", CPC VI Meeting,

Tucson, Arizona, USA; 7-12 January.

14

CAPÍTULO 3 - MODELOS DE SÉRIES TEMPORAIS

Nomenclatura

( )1A q− Polinômio em q-1

( )1B q− Polinômio em q-1

( )1C q− Polinômio em q-1


h Horizonte de previsão k Instante de tempo M Tamanho do conjunto de dados n Número inteiro

an Ordem de A(q-1)

cn Ordem de C(q-1) 1q− Operador de atraso

r Ordem do operador de diferenciação da série temporal

s Instante de tempo


( )y k Variável controlada

( )SPy k Set-point para variável controlada

Símbolos gregos:

∇ Operador de diferenciação da série temporal

Acrônimos:

AR Auto Regressive (Auto Regressiva)

ARIMA Auto Regressive Integrated Moving Average (Média Móvel Auto Regressiva Integrada)

ARMA Auto Regressive Moving Average (Média Móvel Auto Regressiva)

ARMAX Auto Regressive Moving Average with External Input (Média Móvel Auto Regressiva com Entrada Externa)

CARMA Controlled Auto Regressive Moving Average (Média Móvel Auto Regressiva Controlada)

MA Moving Average (Média Móvel)

PACF Partial Auto Correlation Function (Função de Auto-Correlação Parcial)

15

3.1 - INTRODUÇÃO

Define-se uma série temporal como sendo uma seqüência de dados distribuídos no

tempo gerada a partir do processo observacional e quantificação numérica de uma classe

de fenômenos (SOUZA, 1989).

Uma série temporal geralmente consiste de componentes determinísticos e

estocásticos. Os componentes determinísticos provocam o surgimento de tendências,

comportamentos sazonais e ciclos, enquanto os componentes estocásticos ocasionam

flutuações estatísticas.

Diz-se que uma série temporal ( ) ( ) 1,...,y k k M= é estacionária se a estrutura da

série depende apenas da posição relativa das observações, isto é, a distribuição conjugada

de ( )y k e ( )y k s+ depende somente de s , e não de k . A estacionariedade de uma série

temporal também pode ser caracterizada pela sua média e variância, ou seja, estas

propriedades devem ser constantes ao longo do tempo.

3.2 - PREVISÃO DE SÉRIES TEMPORAIS

De acordo com BARBANCHO (1970), uma previsão é uma manifestação relativa a

sucessos desconhecidos em um futuro determinado. A previsão não constitui um fim em si

mesma, mas um meio de fornecer informações e subsídios para uma eventual tomada de

decisão, para que se atinja determinados objetivos.

Considerando-se um conjunto de observações de uma série temporal coletadas até

um instante k , e um modelo que represente estes fenômenos, a previsão dos valores da

série entre os instantes k e k h+ podem ser obtidos através deste modelo, onde h é

chamado de "horizonte de previsão".

16

k k+h

Figura 3.1 - Série temporal com horizonte de previsão h

Em função do horizonte de previsão, costumam ser utilizadas duas técnicas na

abordagem da previsão de séries temporais:

(a) Previsão de Passos Múltiplos: em função dos longos horizontes de previsão de

séries nas quais este método é aplicado, visa a identificação de tendências gerais e pontos

de inflexão mais relevantes. Segundo esta abordagem, o conjunto atual de valores é

empregado na previsão para determinado instante; esta previsão é incluída no conjunto de

dados dando origem à um novo conjunto, que será utilizado para a próxima previsão, e

assim sucessivamente;

(b) Previsão de Passo Simples: de acordo com esta técnica, não há incorporação da

previsão no conjunto de observações. A previsão é feita somente para o instante de tempo

imediatamente seguinte às observações.

3.3 - MÉTODOS DE PREVISÃO DE SÉRIES TEMPORAIS

Os métodos de previsão de séries temporais, classificados como métodos

quantitativos, são baseados na extrapolação de características de observações passadas e

nas inter-relações existentes entre essas observações, fornecendo previsões de razoável

acurácia se o comportamento futuro apresentar semelhança ao comportamento passado

(WHEELWRIGHT, 1985).

Segundo WHEELWRIGHT (1985), a maioria dos métodos de previsão de séries

temporais se baseia na suposição de que as observações passadas contém todas as

informações do padrão comportamental da série, e que este comportamento é recorrente no

17

tempo. O propósito dos métodos consiste em identificar o padrão comportamental a

despeito de qualquer ruído que possa estar contido nas observações, e utilizar este padrão

para prever os valores futuros da série temporal.

Apesar de quase todos os métodos de previsão basearem-se na análise das

observações da série de interesse para a construção de um modelo que descreva de modo

satisfatório seu padrão de comportamento, alguns procedimentos utilizam-se de

observações de outras séries para explicar o comportamento de uma série de interesse.

Deste modo, de acordo com o número de séries temporais utilizadas na modelagem do

processo, SOUZA (1989) classifica os métodos de previsão em:

(a) Métodos Univariados: compreendem a maior parte dos métodos de previsão de

séries, e consideram uma única série na realização de prognósticos;

(b) Funções de Transferência: metodologia em que outras séries não-correlatas

entre si, mas que possuem uma relação (conhecida) de causalidade com a série de

interesse, explicam o passado histórico da série de interesse juntamente com seu próprio

passado;

(c) Métodos Multivariados: abrangem os métodos que associam mais de uma série

temporal na efetivação de prognósticos, sem qualquer imposição com relação à causalidade

entre essas séries.

SOUZA (1989) e WHEELWRIGHT (1985) agrupam os métodos baseados em uma

única série segundo três grupos: métodos de decomposição, métodos simples de previsão, e

métodos avançados de previsão.

No conjunto dos métodos avançados de previsão, encontram-se os modelos:

ARMA, MA, AR, ARIMA, dentre outros. Estes modelos serão apreciados à seguir.

3.3.1 - Modelo ARMA

Um modelo ( ),a cARMA n n (modelo ARMA de ordens an e cn ) para uma série

temporal estacionária, possui a seguinte estrutura:

( ) ( )( ) ( )

1

1

C qy k e k

A q

−

−= (3.1)

Os polinômios da Equação (3.1) são dados por:

18

( )( )

1 11

1 11

1 ...

1 ...

a

a

c

c

nn

nn

A q a q a q

C q c q c q

−− −

−− −

= + + +

= + + +

A estimação dos parâmetros da Equação (3.1) a partir de observações experimentais

requer a solução de um problema de otimização não-linear.

3.3.2 - Modelo MA

Um modelo ( )cMA n (modelo MA de ordem cn ) para uma série temporal

estacionária, possui a seguinte estrutura:

( ) ( ) ( )1y k C q e k−= (3.2)

que é equivalente à Equação (3.1) se ( )1 1A q− ≡ .

A estimação dos parâmetros da Equação (3.2) é feita através da solução de um

problema de otimização não-linear. Em virtude disso, muitas vezes é preferível estimar um

modelo ARMA , com a aparente vantagem da redução do número de parâmetros a

determinar.

3.3.3 - Modelo AR

Se ( )1 1C q− ≡ na Equação (3.1), obtém-se um modelo ( )aAR n (modelo AR de

ordem an ), conforme Equação (3.3):

( ) ( ) ( )1

1y k e k

A q−= (3.3)

A estimação dos parâmetros da Equação (3.3) é bastante simples, podendo este

problema ser formulado como um problema de mínimos quadrados linear.

Em teoria, para descrever um processo ARMA é necessário um modelo AR de

ordem infinita. Isto pode ser verificado da seguinte forma:

19

( )( ) ( )( ) ( )

1

1 1 1 2 21

1

1 1 11,1

11 1 1 ...11

cqARMA AR

aq aq cq c qaqcq

−

− − − −−

−

+= = = = ∞+ + − + ++

+

Entretanto, para todos os fins práticos, basta proceder a estimação de um modelo

AR de ordem elevada (WHALBERG, 1990).

OGAWA (1998) sugeriu uma metodologia para determinar qual a ordem de um

modelo AR que seria suficiente para descrever de forma satisfatória um determinado sinal.

Sua proposta está baseada no fato de que a função de auto-correlação parcial (PACF) de

um modelo ( )AR n se anula após o instante n . Portanto, basta calcular a PACF até um

instante que represente uma ordem suficientemente elevada para o sinal e observar a partir

de que instante a PACF fica delimitada pelos limites 1-sigma (95%) do intervalo de

confiança. Este instante fornece diretamente a ordem do modelo a ser utilizada.

A respeito da estimação dos parâmetros do polinômio ( )1A q− , existem várias

estratégias que podem ser adotadas, dentre elas destacam-se (LJUNG, 1999):

- método dos mínimos quadrados: onde a soma dos erros de predição é minimizada;

- método de solução das equações de Yule-Walker: solução do sistema de equações

lineares formado a partir das covariâncias das amostras, ou das equações formadas a partir

das correlações das amostras (equações de Yule-Walker extendidas).

O apelo à utilização do último método é favorecido pela garantia da estabilidade do

modelo obtido, o que não acontece no primeiro caso.

3.3.4 - Modelo ARIMA

Existem casos em que a série temporal é não estacionária. Entretanto, esta série

pode ser diferenciada um número finito de vezes até que se obtenha uma série temporal

estacionária. Em tais casos, se a série diferenciada (um número finito r de vezes) seguir

um modelo ( ),a cARMA n n , a série original obedece um modelo ( ), ,a cARIMA n r n (modelo

ARIMA de ordens , an r e cn ), e possui a seguinte estrutura:

( ) ( )( ) ( )

1

1 r

C qy k e k

A q

−

−=

∇ (3.4)

onde r∇ é o operador de diferenciação da série temporal. Isto é:

20

( )11rr q−∇ ≡ − (3.5)

A estimação dos parâmetros da Equação (3.4) requer a solução de um problema de

otimização não-linear.

3.4 - MODELOS DE SÉRIES TEMPORAIS NO CONTEXTO DO

CONTROLE DE PROCESSOS

Os modelos , ARMA MA e AR envolvem as seqüências de valores aleatórios

independentes ( )y k e ( )e k . No contexto do controle de processos, a seqüência ( )y k é

assumida como sendo a variável de processo controlada e a seqüência ( )e k é assumida

como uma seqüência tipo ruído branco de distribuição gaussiana (normal), concentrando os

efeitos do ruído das medidas e o ruído do processo (as perturbações de carga), conforme a

Figura 3.2.

processou(k) y(k)

e(k)

controlador + ++ +ySP(k)

-1


Além disso, ações (calculadas) são tomadas para influenciar o comportamento da

variável de processo. Para incluir os efeitos destas ações (entradas externas) no sistema, os

modelos de séries temporais são estendidos para acomodar essas entradas.

21

Por exemplo um modelo ARMA enriquecido como uma entrada externa passaria a

ser denominado de ARMAX e escrito da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1A q y k B q u k C q e k− − −= + (4)

O modelo ARMA com uma entrada externa ( )ARMAX é também conhecido como

modelo CARMA , onde o sufixo C vem de controlled (controlado).

Este e outros modelos enriquecidos com uma entrada externa serão apreciados no

Capítulo 4.

22

3.5 - REFERÊNCIAS

BARBANCHO, A. G., 1970, Fundamentos e Possibilidades da Econometria. Rio de

Janeiro, Brasil. Fórum Editora;

LJUNG, L., 1999, System Identification - Theory for the User. 2nd ed. Upper Saddle

River, USA. Prentice Hall;

OGAWA, S., 1998, "A data analysis and graphical presentation system for control loop

performance assessment". TAPPI Process Control Conference 98, [s.n],

Vancouver, Canada;

SOUZA, R. C., 1989, “Modelos Estruturais para Previsão de Séries Temporais:

Abordagens Clássica e Bayesiana”. 17º Colóquio Brasileiro de Matemática,

[s.n.], Rio de Janeiro, Brasil;

WAHLBERG, B., 1990, "ARMA Spectral Estimation of Narrow-Band Processes Via

Model Reduction", IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing,

38(7), pp. 1144-1154;

WHEELWRIGHT, S. C., 1985, Forecasting Methods for Management. 4th ed. New

York, USA. John Wiley & Sons, Inc..

23

CAPÍTULO 4 - MODELOS DE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Nomenclatura



c Constante


d Tempo morto


( )1D q− Polinômio em q-1

( )1F q− Polinômio em q-1

( )1G q− Função de transferência do processo

( )1,G q θ− Modelo parametrizado para processo

( )1H q− Função de transferência da perturbação

( )1,H q θ− Modelo parametrizado para perturbação

k Instante de tempo

( ).� Função escalar definida pelo usuário

N Tamanho do conjunto de dados

an Ordem de A(q-1)

bn Ordem de B(q-1)

cn Ordem de C(q-1)

dn Ordem de D(q-1)

fn Ordem de F(q-1)

*n Constante

( ).maior Maior elemento da seqüência 1q− Operador de atraso

24

s Instante de tempo

( ) ( ),u k u s Variável manipulada

( ),NV Zθ Função objetivo a ser minimizada


( ) ( ),y k y s Variável controlada

� ( )1ky k

− Predição um passo-à-frente da variável controlada

� ( )y k θ Predição um passo-à-frente da variável controlada baseada em modelo

parametrizado

NZ Conjunto de dados

Símbolos Gregos:

( ),kε θ Erro de predição

�( ), Nkε θ Erro de predição baseado em estimativa para vetor de parâmetros

( )kϕ Vetor de regressão linear

( ),kϕ θ Vetor de regressão não-linear

( ) ,kµ µ Constante

θ Vetor de parâmetros ajustáveis �

Nθ Estimativa para vetor de parâmetros

Acrônimos:

AR Auto Regressive (Auto Regressiva)

ARMAX Auto Regressive Moving Average with External Input (Média Móvel Auto Regressiva com Entrada Externa)

ARX Auto Regressive with External Input (Auto Regressiva com Entrada Externa)

BJ Box-Jenkins

FIR Finite Impulse Response (Resposta ao Impulso Finita)

MA Moving Average (Média Móvel)

OE Output Error (Erro da Saída)

PEM Prediction Error Method (Método do Erro de Predição)


25

4.1 - INTRODUÇÃO

Para o sistema SISO descrito pela Figura 4.1:

G(q-1)u(k) y(k)

v(k)

+ +

Figura 4.1 - Configuração básica entrada-saída

assumindo que os sinais são relacionados por um sistema linear, podemos escrever:

( ) ( ) ( ) ( )1y k G q u k v k−= + (4.1)

sendo ( )1G q− a função de transferência do sistema, e ( )v k uma perturbação que pode ser

descrita como uma seqüência gerada por um ruído branco filtrado, de tal forma que a

Equação (4.1) pode ser escrita da seguinte maneira:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1y k G q u k H q e k− −= + (4.2)

Para todos os fins práticos em situações de engenharia, a seqüência ( )e k é

assumida como tendo distribuição gaussiana, sendo especificada por suas propriedades de

2ª ordem (média e variância) (LJUNG, 1999).

A melhor predição ou estimativa para ( )y k , dados ( )u s e ( )y s com 1s k≤ −

(predição um passo-à-frente) é dada por:

� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 11

1k

y k H q G q u k H q y k− − − − −−

� �= + −� � (4.3)

Uma vez determinada uma estrutura para o tipo de modelo representado pela

Equação (4.2), podemos escrever:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, ,y k G q u k H q e kθ θ− −= + (4.4)

26

É muito pouco provável que a determinação dos parâmetros θ da Equação (4.4)

seja feita a partir do conhecimento prévio dos mecanismos físicos que governam o sistema.

Sendo assim, θ consiste de um vetor de parâmetros a serem determinados. Deste modo, a

escolha dentre os candidatos deste conjunto (Equação 4.4), se dará pelo procedimento de

estimação, que selecionará o membro mais adequado.

O preditor (um passo-à-frente) da Equação (4.4) se escreve como:

� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1, , 1 ,y k H q G q u k H q y kθ θ θ θ− − − − −� �= + −� � (4.5)

onde a notação � ( )y kθ

enfatiza a dependência com o vetor θ .

À diferença entre o sinal ( )y k e aquele calculado pelo preditor � ( )( )y k θ , é dado o

nome de Erro de Predição (Equação 4.6):

( ) ( ) � ( ),k y k y kθ

ε θ = − (4.6)

Esquematicamente, o erro de predição pode ser interpretado com a ajuda da Figura

4.2:

k k+1k-1k-2k-3

valor estimado noinstante (k-1) para ovalor amostrado no

instante (k)

passadofuturo

( ),kε θ� ( )y k θ

( )y k

( )u k

processo contínuo

valor amostrado para y

valor estimado para y

variável manipulada

Figura 4.2 - O erro de predição um passo-à-frente

27

4.2 - MODELOS TIPO FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Os modelos possuem a forma geral:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1

11 1

dB q C q

A q y k q u k e kF q D q

− −− −

− −= + (4.7)

onde os polinômios (A-F) são definidos da seguinte forma:

( )( )( )( )( )

1 11

1 11

1 11

1 11

1 11

1 ...

...

1 ...

1 ...

1 ...

a

a

b

b

c

c

d

d

f

f

nn

nn

nn

nn

nn

A q a q a q

B q b q b q

C q c q c q

D q d q d q

F q f q a q

−− −

−− −

−− −

−− −

−− −

= + + +

= + +

= + + +

= + + +

= + + +

Da combinação dos polinômios (A-F) na Equação (4.7), 32 modelos diferentes

podem ser definidos (LJUNG, 1999). Dentre eles, destacam-se os modelos listados na

Tabela 4.1:

Tabela 4.1 - Modelos SISO tipo "caixa-preta"

Polinômios usados na Equação (4.7) Nome da estrutura do modelo

A, B ARX

A, B, C ARMAX

B, F OE

B, F, C, D BJ

A estimação dos parâmetros dos modelos cujas estruturas foram listadas na Tabela

4.1 podem envolver procedimentos de otimização lineares ou não lineares. Como

ilustração, os modelos ARX e ARMAX serão utilizados para demonstração.

28

4.2.1 - Estimação de parâmetros da estrutura ARX

No modelo ARX são usados os polinômios ( )1A q− e ( )1B q− na Equação (4.7).

Deste modo, temos:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1

1B qy k u k e k

A q A q

−

− −= + (4.8)

O diagrama de sinais envolvidos no modelo ARX pode ser representado pela Figura

4.3 a seguir.

( )( )

1

1

B q

A q

−

−

( )1

1A q−

+

u(k) y(k)

e(k)

Figura 4.3 - Diagrama de sinais do modelo ARX

Efetuando a expansão dos polinômios da Equação (4.8), ficamos com:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 ... 1 ...a b bn a n ny k a y k a y k n b u k d b u k d n e k+ − + + − = − + + + − + + (4.9)

Definindo o vetor de parâmetros:

1 1 ... ... a b

T

n na a b bθ � �= � � (4.10)

e o vetor de regressão:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ... 1 ... T

a bk y k y k n u k d u k d nϕ � �= − − − − − + − +� � (4.11)

o preditor da Equação (4.8) pode então ser escrito como:

� ( ) ( ) ( )T Ty k k kθ θ ϕ ϕ θ= = (4.12)

29

O preditor descrito pela Equação (4.12) consiste do produto escalar entre o vetor de

regressão ( )kϕ e o vetor de parâmetros θ , constituindo um sistema de equações

algébricas lineares que pode ser resolvido pelas técnicas tradicionais.

No caso de alguns dos coeficientes dos polinômios ( )1A q− e ( )1B q− serem

conhecidos, a regressão linear então toma a forma dada pela Equação (4.13):

� ( ) ( ) ( )Ty k k kθ

ϕ θ µ= + (4.13)

onde ( )kµ é um termo conhecido.

4.2.2 - Estimação de parâmetros da estrutura ARMAX

No modelo ARMAX são usados os polinômios ( ) ( )1 1, A q B q− − e ( )1C q− na

Equação (4.7). Deste modo, temos:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1

1 1

B q C qy k u k e k

A q A q

− −

− −= + (4.14)

O diagrama de sinais envolvidos no modelo ARMAX pode ser representado pela

Figura 4.4 a seguir.

( )( )

1

1

B q

A q

−

−

( )( )

1

1

C q

A q

−

−

+

u(k) y(k)

e(k)

Figura 4.4 - Diagrama de sinais do modelo ARMAX

Efetuando a expansão dos polinômios da Equação (4.14), ficamos com:

30

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1

1

1 ... 1 ...

1 ...a b b

c

n a n n

n c

y k a y k a y k n b u k d b u k d n

e k c e k c e k n

+ − + + − = − + + + − + +

+ − + + − (4.15)

Definindo o vetor de parâmetros:

1 1 1 ... ... ...a b c

T

n n na a b b c cθ � �= � � (4.16)

o preditor da Equação (4.14) se escreve como:

� ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1

1 11

B q A qy k u k y k

C q C qθ

− −

− −

� �� = + −� ��

(4.17)

Ou ainda:

( ) � ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1C q y k B q u k C q A q y kθ− − − −� �= + −� � (4.18)

Para dar início à seqüência de cálculos da predição, é necessário o conhecimento de

� ( ) � ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

* *

0 ... 1

0 ... 1 , ,

0 ... 1

c

c a

b

y y n

y y n n maior n n

u u n

θ θ− +

− + =

− +

Na ocasião destes dados não estarem disponíveis, estes poderão ser assumidos

como zero, e então a predição diferirá do valor real com um erro que decairá de kcµ , onde

µ é a magnitude máxima dos zeros de ( )C z (LJUNG, 1999). É possível também iniciar a

recursão no instante ( )*, bk maior n n= e então incluir as condições iniciais

� ( ) , 1,..., cy k k nθ

= no vetor θ .

Adicionando-se ( ) � ( )11 C q y k θ−� �−� � em ambos os membros da Equação (4.18), o

preditor da Equação (4.14) pode ser rescrito como:

� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � ( )1 1 11 1y k B q u k A q y k C q y k y kθ θ− − − � �� = + − + − −� � � ��

(4.19)

Introduzindo o erro de predição definido pela Equação (4.6):

( ) ( ) � ( ),k y k y k θε θ = − (4.6)

E definindo-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1 ... 1 ... 1, ... ,T

a b ck y k y k n u k d u k d n k k nϕ θ ε θ ε θ� �= − − − − − + − + − −� � (4.20)

Podemos então escrever:

� ( ) ( ),Ty k kθ ϕ θ θ= (4.21)

31

Apesar da similaridade entre as Equações (4.21) e (4.12), a primeira trata de uma

regressão não-linear, devido ao efeito não linear de θ em ( ),kϕ θ .

4.3 - O MÉTODO DO ERRO DE PREDIÇÃO

Dentro do contexto da identificação de sistemas, diversas técnicas de estimação de

parâmetros são conhecidas, e estas podem ser agrupadas segundo o tipo de abordagem

utilizada (paramétrica ou não-paramétrica) da seguinte forma:

Identificação de Sistemas

Método doErro de Predição

(PEM)

Método daVariável Instrumental

Método dosSubespaços

Métodos deAnálise Espectral e

de Correlação

MétodosParamétricos

Métodos Não-Paramétricos

Figura 4.5 - Grupos de técnicas de estimação de parâmetros

O Método do Erro de Predição (PEM), supõe que esteja disponível uma batelada de

dados do sistema em estudo, aos pares tipo entrada-saída, representados pelo conjunto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 , 1 , 2 , 2 ,..., ,NZ u y u y u N y N� �= � � (4.22)

O objetivo é o de, uma vez de posse de kZ e em k N= , selecionar um conjunto de

parâmetros �Nθ de tal modo que os erros de predição �( ), , 1, 2,...,Nk k Nε θ = sejam os

menores possíveis.

Para tanto, podemos definir uma norma da seguinte maneira:

32

( ) ( )( )1

1, ,

N

Nk

V Z kN

θ ε θ=

= �� (4.23)

onde ( )� � é uma função escalar (usualmente definida positiva).

A estimativa �Nθ é obtida pela minimização da Equação (4.23), da seguinte

maneira:

� � ( ) ( )arg min ,N N N N NZ V Zθ

θ θ θ= = (4.24)

A Equação (4.24) é lida da seguinte maneira: "valores de θ que minimizam

( ),N NV Zθ ".

O termo PEM se aplica à família de abordagens que correspondem à Equação

(4.24).

A função ( )� � utilizada na Equação (4.23), pode ser a norma-2:

( ) 212

ε ε=� (4.25)

ou outra qualquer. Entretanto, a norma-2 se coloca como uma escolha conveniente

computacionalmente.

No caso do preditor assumir a forma � ( ) ( )Ty k kθ ϕ θ= o problema pode ser

resolvido exatamente como um problema de mínimos quadrados (norma-2 e parâmetros

lineares no preditor). Este é o caso quando da estimação dos parâmetros para os modelos

ARX (conforme visto anteriormente), AR e FIR por exemplo.

No caso do preditor assumir a forma � ( ) ( ),Ty k kθ ϕ θ θ= o problema passa a ser

denominado de "problema de mínimos quadrados não-linear". (norma-2 e parâmetros não-

lineares no preditor). Este é o caso quando da estimação dos parâmetros para os modelos

ARMAX (conforme visto anteriormente), OE, BJ e MA, por exemplo. Neste caso,

métodos de otimização não-linear devem ser utilizados, como por exemplo o Método de

Gauss-Newton.

O método do erro de predição (PEM) é também chamado de método da máxima

verossimilhança quando é assumido que o erro possui distribuição gaussiana.

33

4.4 - REFERÊNCIAS

LJUNG, L., 1999, System Identification - Theory for the User. 2nd ed. Upper Saddle

River, USA. Prentice Hall.

34

CAPÍTULO 5 - O CONTROLE DE VARIÂNCIA MÍNIMA

Nomenclatura

( )a k Vetor de seqüências ruído branco




d

Tempo morto ou ordem da matriz de retardo (número inteiro que torna a

matriz de retardo causal)


( )D q Matriz de retardo do processo

( ).E Operador de expectância


( )1F q− Polinômio em q-1

( )1G q− Polinômio em q-1

( )1cG q− Função de transferência do controlador

( )1IMCcG q− Função de transferência do controlador na abordagem IMC

( )1padraocG q− Função de transferência do controlador na abordagem feedback padrão



( )1uG q− Modelo para o processo

1J Função objetivo linear quadrática em � ( )Y k

2J Função objetivo linear quadrática em Y(k)

k Instante de tempo

K Matriz

35

( )1L q− Matrizes polinomiais em q-1

m Número de variáveis de saída

( )FM q Matriz polinomial

n Número de variáveis de entradas

( )1N q− Matriz causal de funções de transferência polinomiais racionais das

perturbações

� ( )1N q− Polinômio em q-1

p Número inteiro 1q− Operador de atraso

q Operador de avanço

r Ordem do operador de diferenciação da série temporal

( )1R q− Matriz polinomiais em q-1

( )1T q− Matriz causal de funções de transferência polinomiais racionais do

processo

� ( )1T q− Matriz causal de funções de transferência polinomiais racionais do

processo fatorada (livre do tempo morto)

( ).tr Operador traço


( )U k Vetor de variáveis manipuladas


{}var . Variância da seqüência


( )Y k Vetor de variáveis controladas

� ( )Y k Vetor de variáveis controladas fatorado (livre do tempo morto)


36

Símbolos Gregos:

∇ Operador de diferenciação da série temporal 2cvmσ Variância da variável controlada com o controlador de variância mínima

( )1q−Ψ Polinômio em q-1

Acrônimos:

IMC Internal Model Control (Controle de Modelo Interno)

MIMO Multiple Input Multiple Output (Múltiplas Entradas Múltiplas Saídas)


5.1 - INTRODUÇÃO

Este capítulo é dedicado à formulação matemática do controle de variância mínima,

proposto inicialmente por ÅSTRÖM, (1967). Embora não seja necessária a implementação

deste controlador na sua utilização como benchmark na avaliação da performance de laços

de controle, torna-se importante o estudo de suas origens e propriedades principalmente na

sua utilização em simulações de estudo de caso (HAARSMA, 2000).

Nos parágrafos que se seguem, propositadamente não será feita distinção entre o

operador de atraso ( )1q− e o operador da Transformada Z ( )1z− .

5.2 - A ABORDAGEM PARA PROCESSOS SISO

O controle de variância mínima foi concebido por ÅSTRÖM (1967), e se apresenta

sob a forma de um controle feedback que alcança a mínima variância na variável

controlada. Esta estrutura pode ser abordada tanto na forma da estratégia IMC (BERGH e

MacGREGOR, 1987) quanto na forma da estratégia do preditor de Smith (QIN, 1998). A

seguir, a estratégia IMC será utilizada na formulação do controle de variância mínima, pois

esta aparenta ser de mais fácil compreeensão e torna-se conveniente na análise quando da

37

ocorrência de discrepâncias entre modelo e processo. Posteriormente será apresentada a

forma do controlador de variância mínima na forma do controle feedback padrão.

Considere o laço de controle da Figura 5.1:

Gc(q-1) Gp(q

-1)

ysp(k) y(k)

+ -++

u(k)

Gd(q-1)

v(k)

e(k)

Figura 5.1 - Laço de controle feedback

Muitos processos industriais podem ser modelados de maneira adequada pela

superposição de um modelo linear para o processo acrescido de uma perturbação. Desse

modo e de acordo com a notação da Figura 5.1, temos:

( ) ( ) ( ) ( )1py k G q u k v k−= + (5.1)

A perturbação ( )v k concentra o efeito de todas as perturbações não medidas, ou

seja, concentra o ruído do processo (perturbações de carga) e o ruído das medidas. Essa

perturbação é usualmente modelada segundo um modelo de série temporal ARIMA, pois

este modelo de série temporal é capaz de representar de forma adequada perturbações não

estacionárias (QIN, 1998). HARRIS et al. (1999) afirmam que este modelo de série

temporal é capaz de modelar perturbações de caráter estocástico ou determinístico

freqüentemente encontradas em situações industriais.

Usualmente a perturbação ( )v k é representada através de uma seqüência tipo ruído

branco filtrada, expressa de acordo com a Figura 5.1 da seguinte maneira:

( ) ( ) ( )1dv k G q e k−= (5.2)

38

Substituindo a Equação (5.2) na (5.1), e escrevendo ( )1pG q− e ( )1

dG q− como

funções de transferência polinomiais racionais, temos:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1

1 1d

r

B q C qy k q u k e k

A q D q

− −−

− −= +

∇ (5.3)

A parcela da Equação (5.3) correspondente à perturbação, após a divisão longa de

seus polinômios, pode ser rescrita da seguinte forma:

( )( ) ( ) ( )

( )1 1

11 1

dr r

C q G qF q q

D q D q

− −− −

− −= +

∇ ∇ (5.4)

Isolando-se ( )1C q− ficamos com:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1r dC q F q D q q G q− − − − −= ∇ + (5.5)

que é conhecida como a Equação de Diophantine em ( )1F q− e em ( )1G q− .

Agora, consideremos o laço de controle concebido segundo a abordagem IMC,

conforme ilustra a Figura 5.2:

GcIMC(q-1) Gp(q

-1)

ysp(k) y(k)

+ -++

u(k)

Gd(q-1)

v(k)

e(k)

+-Gu(q-1)

Figura 5.2 - Laço de controle segundo abordagem IMC

39

Consideremos o caso do problema regulatório ( )( )0SPy k = e assumamos que não

hajam discrepâncias entre o modelo e o processo ( )u pG G= . Então, segundo a notação da

Figura 5.2 e com o auxílio da Equação de Diophantine (Equação 5.5), podemos escrever:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11 IMCC u dy k G q G q G q e k− − −= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1IMCd C u dy k G q e k G q G q G q e k− − − −= −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1

1 1 11 1

d IMC dC dr

G q B qy k F q q e k G q G q q e k

D q A q

− −− − − − −

− −

� �= + − �∇�

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 11 1 1

1 1

*1

*2

1 IMCCr

B q C qy k F q e k G q G q e k d

D q A q

− −− − −

− −

� �= + − − �∇ �

� � � � ��

(5.6)

Uma vez que ( )1IMCCG q− deve ser causal, a parcela ( )*1 na Equação (5.6) depende

apenas dos dados antes do instante ( )k d− , ao passo que a parcela ( )*2 depende dos

dados após o instante ( )k d− . Isto significa que a estratégia de controle feedback, com um

controlador linear, ou mesmo não linear, não pode retornar a variável controlada ao seu

set-point até que tenha decorrido um intervalo de tempo maior que o tempo morto do

processo.

De fato, pode-se chegar a mesma conclusão a partir da demonstração de HARRIS

(1989), que mostrou que um processo operando em laço fechado pode ser adequadamente

descrito por uma média móvel infinita da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )1

1 11 ... 1 ...d d

q

y k e k e k e k d e k dψ ψ ψ−

−

Ψ

= + − + + − + + − +� � � � � � ��

(5.7)

Com vistas à conciliação da notação, tem-se que ( ) ( )1 1q F q− −Ψ ≡ .

Logo, a relação a seguir é válida não importando o controlador utilizado:

( ){ } ( ) ( ){ }1var vary k F q e k−≥ (5.8)

A variância mínima é definida como:

( ) ( ){ } ( )2 1 2 2 21 1var 1 ...cvm d eF q e k f fσ σ−

−= = + + + (5.9)

40

Portanto, para que tenhamos ( ){ } ( ) ( ){ }1var vary k F q e k−= , a função de

transferência do controlador de variância mínima na forma IMC pode ser obtida fazendo-se

com que a parcela ( )*2 na Equação (5.6) seja nula. Para tanto, basta fazer:

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 11 1

10IMC

C

B q C qG q G q

A q

− −− −

−− = (5.10)

De onde obtemos:

( ) ( )( )

( )( )

1 11

1 1IMCC

A q G qG q

B q C q

− −−

− −= (5.11)

A forma do controlador de variância mínima na forma feedback padrão, é obtida

através da relação entre a forma padrão e a abordagem IMC:

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

1 1 1

1 1 1 1 11

IMCCpadrão

C IMC rC u

G q A q G qG

G q G q B q F q D q

− − −

− − − − −= =

− ∇ (5.12)

5.3 - A EXTENSÃO PARA PROCESSOS MIMO

Considere o processo MIMO representado pela Equação (5.13):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1Y k T q U k N q a k− −= + (5.13)

onde ( )1T q− e ( )1N q− são matrizes causais de funções de transferência polinomiais

racionais, e ( ) ( ) ( ), ,Y k U k a k são os vetores das variáveis de saída, entrada e do ruído

branco de média zero, respectivamente, e de dimensões apropriadas.

Conforme visto anteriormente, o desenvolvimento da lei de controle de variância

mínima para processos SISO está baseado no conhecimento a priori do tempo morto do

processo. De maneiro análoga, para processos MIMO é necessário o conhecimento da

matriz de retardo do processo.

Matematicamente, a matriz de retardo do processo pode ser definida da seguinte

maneira (GOODWIN & SIN, 1984):

41

"Para toda matriz causal ( )1T q− de dimensão (n x m) de funções de transferência,

existem matrizes (n x n) polinomiais ( )D q , tal que ( ) pD q q= e

( ) ( ) � ( )1 1

1 1lim limq q

D q T q T q K− −

− −

→∞ →∞

� = = ��

"

onde K é uma matriz de posto completo, p é um número inteiro definido como sendo o

número de zeros infinitos de ( )1T q− e � ( )1T q− é a matriz de funções de transferência

( )1T q− livre do tempo morto, a qual contém apenas zeros finitos, sendo definida por:

� ( ) ( ) ( )1 1T q D q T q− −= (5.14)

e ( )D q é denominada de matriz de retardo do processo.

Uma forma ótima da matriz de retardo do processo para a aplicação do controle de

variância mínima, chamada de matriz de retardo unitária (HUANG et al., 1997), é uma

matriz que satisfaz a seguinte relação:

( ) ( )1TD q D q I− = (5.15)

HUANG et al. (1997) também propuseram um método para estimar a matriz de

retardo unitária a partir de dados em laço fechado.

A dedução da lei de controle para o controle de variância mínima de sistemas

MIMO, é baseada em HUANG & SHAH (1999), e será apresentada nos parágrafos que se

seguem.

Seja o processo MIMO representado pela Equação (5.13) com uma matriz de

retardo genérica definida pela Equação (5.14). Temos então:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1Y k T q U k N q a k D q T q U k N q a k− − − − −= + = + (5.16)

Multiplicando-se ambos os lados da Equação (5.16) por ( )dq D q− (onde d é um

número inteiro que torna ( )dq D q− causal), obtemos:

( ) ( ) � ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1d d dq D q Y k q T q U k q D q N q a k− − − − −= +

( ) ( ) � ( ) ( ) � ( ) ( )1 1d dq D q Y k q T q U k N q a k− − − −= + (5.17)

onde � ( )1N q− é uma matriz de funções de transferência causal, definida por:

� ( ) ( ) ( )1 1dN q q D q N q− − −� (5.18)

42

Definindo-se:

� ( ) ( ) ( )dY k q D q Y k−= (5.19)

e combinando as equações (5.17), (5.18) e (5.19), obtém-se:

� ( ) � ( ) ( ) � ( ) ( )1 1dY k q T q U k N q a k− − −= + (5.20)

Se ( )1L q− e ( )1R q− são matrizes que satisfazem a identidade:

( ) ( ) ( )

( )( )

1

11 10 1... dd d

d

L q

q D q N q L L q q R q−

− +− − − −−= + + +

� � �� (5.21)

e ( )1L q− é uma matriz de funções de transferência causal, então:

� ( ) � ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1d dY k q T q U k L q a k q R q a k− − − − −= + + (5.22)

� ( ) � ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1Y k T q U k d R q a k d L q a k− − −= − + − + (5.23)

Na Equação (5.23), ( ) ( )1L q a k− não pode ser afetado pela ação de controle, de tal

modo que:

� ( ){ } � ( ) � ( )( ) ( ) ( ){ }1var varT

Y k E Y k Y k L q a k−= ≥ (5.24)

Portanto,

� ( ) � ( )( ) ( ) ( )( )1TE Y k Y k tr L q a k−≥ (5.25)

O controle de variância mínima é alcançado quando

� ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0T q U k d R q a k d− −− + − = na Equação (5.23), ou seja:

( ) � ( ) ( )( ) � ( ) ( )

1 1

1 1d d

U k d T R q a k d

q U k d q T R q a k d

− −

− −

− = − −

− = − −

( ) � ( ) ( )1 1U k T R q a k− −= − (5.26)

Como � ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0T q U k d R q a k d− −− + − = na Equação (5.23) (para o controle de

variância mínima), a Equação (5.23) torna-se:

� ( ) ( ) ( )1Y k L q a k−= (5.27)

Ou equivalentemente:

( ) ( ) � ( )11a k L q Y k−−= (5.28)

43

Combinando-se as equações (5.26) e (5.28), obtém-se a lei de controle de variância

mínima:

( ) � ( ) ( ) � ( ) � ( ) ( ) ( )( ) ( )1 11 11 1 1 1 dU k T R q L q Y k T R q L q q D q Y k− −− −− − − − −= − = − (5.29)

Definindo-se ( ) ( )dFM q q F q� , a Equação (5.29) se simplifica e podemos

escrever:

( ) � ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1FU k T R q M q D q Y k

− − −= − (5.30)

onde ( )1L q− e ( )1R q− são matrizes que satisfazem a identidade (5.21).

A lei de controle de variância mínima (Equação 5.30) corresponde à minimização

da seguinte função objetivo LQ (linear quadrática):

� ( ) � ( )( )1

TJ E Y k Y k= (5.31)

Por isso, o controle de variância mínima é também denominado de controle ótimo

LQ singular, de acordo com HUANG et al., (1997).

No caso de ( )D q ser uma matriz de retardo unitária, a lei de controle ótima que

minimiza 1J , também minimiza 2J , sendo 2J definido através da Equação (5.32):

( ) ( )( )2TJ E Y k Y k= (5.32)

HUANG et. al. (1997a) provam que 1 2J J= .

44

5.4 - REFERÊNCIAS

ÅSTRÖM, K. J., 1967, "Computer Control of a Paper Machine - an Application of Linear

Stochastic Control Theory", IBM J. Res. Dev., v. 11, pp. 389-405;

BERGH, L. G., & MacGREGOR, J. F., 1987, "Constrained Minimum Variance

Controllers: Internal Model Structure and Robustness Properties", Ind. Eng. Chem.

Res., v. 26, pp. 1558-1564;

GOODWIN, G. C., SIN, K. S., 1984, Adaptive Filtering Prediction and Control,

Englewood Cliffs, USA, Prentice-Hall;

HAARSMA, G. J., 2000, Controller Performance Monitoring in the Presence of

Uncertainty, Ph.D. Thesis, Texas A&M University, Houston, Texas, USA;


Chemical Engineering, v. 67, n. 8, pp. 856-861;

HARRIS, T. J., SEPPALA, C. T., DESBOROUGH, L. D., 1999, "A Review of

Performance Monitoring and Assessment Techniques for Univariate and

Multivariate Control Systems", Journal of Process Control, v. 9, pp. 1-17;

HUANG, B., SHAH, S. L., 1999, Performance Assessment of Control Loops - Theory

and Applications, London, United Kingdom, Springer Verlag;

HUANG, B., SHAH, S. L., KWOK, E. K., 1997, "Good, Bad or Optimal? Performance

Assessment of Multivariable Process", Automatica, v. 33, n. 6, pp. 1175-1183;

HUANG, B., SHAH, S. L., FUJII, H., 1997a, "The Unitary Interactor Matrix and its

Estimation using Closed-Loop Data", J. Proc. Cont., v. 7, n. 3, pp. 195-207;

QIN, S. J., 1998, "Control Performance Monitoring - A Review and Assessment",

Computers & Chemical Engineering, v. 23, pp. 173-186.

45

CAPÍTULO 6 - ÍNDICES DE AVALIAÇÃO DE PERFORMANCE DE LAÇOS DE

CONTROLE

Nomenclatura

( )a k Vetor de seqüências ruído branco

� ( )a k Estimativa para a(k)




d Tempo morto ou ordem da matriz de retardo (número inteiro que torna a matriz de retardo causal)

( )D q Matriz de retardo do processo


( )GD q Matriz de retardo generalizada

( ).diag Operador diagonal


( ).E Operador de expectância

( )erro t Erro do controlador

( )1F q− Polinômio em q-1 que satisfaz a identidade de Diophantine

( )12F q− Polinômio em q-1 que satisfaz a identidade de Diophantine para o

posicionamento de um pólo (q=�) ( )G s Função de transferência no domínio de Laplace

( )1IMCcG q− Controlador do processo segundo abordagem IMC


( )1desG q− Configuração para filtro GR(q-1) em termos da performance desejada

( )1FG q− Filtro para ajuste da performance do laço


� ( )1pG q− Função de transferência do processo fatorada (sem tempo morto)

( )1RG q− Função de transferência ou matriz de funções de transferência que

caracteriza a performance do laço através dos termos variantes do laço feedback

( )1uG q− Função de transferência do modelo para o processo

( )1YaG q−

Matriz causal de funções de transferência polinomiais racionais em

46

laço fechado, das perturbações para as saídas do processo

( )1*YaG q− Série temporal, modelo de perturbação de a(k) para Y(k) fatorada, livre da matriz de retardo

i Número inteiro I Matriz identidade

,1pI Variante 1 do Índice de Harris

,2pI Variante 2 do Índice de Harris MIMOpI Índice de Performance de Sistemas MIMO

, i

MIMOp yI Índice de Performance com relação à saída yi

1 2,J J Função Objetivo Linear Quadrática (LQ)

1 2min min,J J Valores mínimos (ótimos) de J1, J2

k Instante de tempo

cK Ganho do controlador

( )1L q− Matriz polinomial do processo de média móvel ótimo multivariável

( )1N q− Matriz causal de funções de transferência polinomiais racionais para as perturbações

q Operador de avanço 1q− Operador de atraso

( )1Q q− Matriz causal de funções de transferência polinomiais racionais para o controlador

( )1IMCQ q− Controlador do processo segundo abordagem IMC

( )1R q− Polinômio ou matriz polinomial que satisfaz a equação de Diophantine

0r Amplitude do degrau aplicado no set-point ou em perturbação de carga

( )1FMR q− Matriz polinomial que contém os zeros de fase mínima de T(q-1)

( )1FNMR q− Matriz polinomial que contém os zeros de fase não-mínima de T(q-1)

s Variável complexa no domínio de Laplace

( )1S q− Polinômio em q-1

t Instante de tempo

( )1T q− Matriz causal de funções de transferência polinomiais racionais para o processo

� ( )1T q− Matriz de funções de transferência do processo fatorada, sem tempo morto

at Tempo de acomodação

aT Tempo de acomodação adimensional

dT Constante de tempo da ação derivativa

iT Constante de tempo da ação integral

sT Intervalo de amostragem

negt Intervalo de tempo em que a correlação entre os sinais 'u' e 'y' é negativa

47

post Intervalo de tempo em que a correlação entre os sinais 'u' e 'y' é positiva

( ).tr Operador traço

( ),u u k Variável manipulada

( )U k Vetor das variáveis manipuladas


{}var . Variância da seqüência

X Vetor


( )Y k Vetor de variáveis controladas originais

� ( )Y k Vetor de variáveis controladas filtradas pela matriz de retardo

( )cvm

Y k Vetor de variáveis controladas originais com o emprego do controlador de variância mínima

� ( )cvm

Y k Vetor de variáveis controladas filtradas pela matriz de retardo, com o emprego do controlador de variância mínima

( )usuario

y k Resposta em laço fechado definida ou desejada pelo usuário

( )vma

Y k Vetor das variáveis controladas segundo a mínima variância admissível para o sistema


( )SPY k Vetor com os valores de set-point para as variáveis controladas

Símbolos gregos:

α Constante de ajuste do filtro GF(q-1) ∆ Incremento ou diferença entre atual e anterior η Índice de performance de Harris

usuarioη Índice de performance baseado em dinâmica definida pelo usuário

aθ Tempo morto aparente

( )1qξ − Matriz polinomial

2eσ Variância do ruído do processo 2cvmσ Variância da variável controlada quando empregado o controlador de

variância mínima 2laσ Variância da variável controlada na operação em laço aberto 2modσ Variância mínima modificada devido ao posicionamento de um pólo

(q=�) 2PIDσ Variância mínima alcançável pelo controlador PID 2yσ Variância da variável controlada com o controlador atual

�YaΣ Covariância entre � ( )Y k e ( )a k

τ Constante de tempo do laço fechado, ou tempo de acomodação

48

( )1qφ − Matriz polinomial

aΣ Auto-covariância de ( )a k

cvmΣ Variância mínima do sistema multivariável

usuarioΣ Variância do vetor de variáveis controladas segundo especificação de performance definida pelo usuário

YΣ Auto-covariância de Y(k)

Acrônimos:

ARMA Auto Regressive Moving Average (Média Móvel Auto Regressiva)

FCOR Filtering and Correlation (Filtragem e Correlação)

IAE Integral of Absolute Error (Integral do Valor Absoluto do Erro)

IAE|adimensional IAE adimensionalizada IMC Internal Model Control

(Controle de Modelo Interno) ISE Integral of Squared Error

(Integral do Quadrado do Erro) ITAE Integral of Time Weighted Absolute Error

(Integral do valor absoluto do erro ponderado no tempo) LTV Linear Time Varying

(Linear e Variante no Tempo) MIMO Multiple Input Multiple Output

(Múltiplas Entradas Múltiplas Saídas) PI Proportional-Integral

(Proporcional-Integral) PID Proportional-Integral-Derivative

(Proporcional-Integral-Derivativo) RVI Relative Variance Index

(Índice de Variância Relativa) SISO Single Input Single Output

(Uma Entrada Uma Saída)

6.1 - INTRODUÇÃO

O projeto de algoritmos avançados de controle de processos tem concentrado

esforços de muitos pesquisadores. A dificuldade de controlar diversas situações práticas

industriais tem motivado o aprimoramento de algoritmos de controle lineares, não-lineares,

adaptativos e similares, buscando maior controlabilidade. Paralelamente à esse movimento,

pouco se tem desenvolvido em termos de ferramentas e metodologias objetivas para a

49

avaliação de performance de laços de controle (preferencialmente com a utilização de

dados de rotina de operação). Há uma literatura bastante esparsa e pouco formalismo

envolvido (HUANG et al., 1997).

ÅSTRÖM (1970), HARRIS (1989) e STANFELJ et al. (1993) foram os precursores

dos estudos focados no desempenho de laços de controle, utilizando o controle de variância

mínima como benchmark na avaliação de performance. Entretanto, o trabalho de HARRIS

(1989) destaca-se pela aplicação de análise de séries temporais a dados de rotina de

operação para encontrar expressões adequadas para o termo invariante do laço de controle

feedback.

Os índices de performance utilizados na avaliação de laços de controle estudados

neste capítulo estão organizados segundo a estrutura apresentada na Figura 6.1.

50

Índices de Avaliação de Performance

6.2 - Índices de PerformanceEstocásticos para Sistemas SISO

6.2.1-Índice de Harris

6.2.2-Variância alcançável pelocontrolador PID

6.2.3-Dinâmica desejada - sistemasde fase mínima

6.2.4-Índice de Variância Relativa

6.2.5-Índice de Performance deControle Modificado

6.3.1-Índice de Performance de sistemasMIMO - sistemas de fase mínima

6.3.2-Dinâmica desejada - sistemas de fasemínima

6.3.4-Dinâmica desejada - sistemas de fasenão-mínima

6.4.2-Integral do valor absoluto do erro (IAE) etempo de acomodação adimensionais

6.4.1-Integral do valor absoluto do erro (IAE),integral do quadrado do erro (ISE), integral dovalor absoluto do erro ponderado no tempo(ITAE)

6.3.3-Variância Mínima Admissível - sistemasde fase não-mínima

6.4 - Índices de PerformanceDeterminísticos para Sistemas SISO

6.3 - Índices de PerformanceEstocásticos para Sistemas MIMO

Figura 6.1 - Estrutura organizacional dos índices de performance estudados neste capítulo

51

Os índices de avaliação de performance de laços de controle podem ser dispostos

segundo a natureza das perturbações que os índices se propõem a tratar. Deste modo, os

índices estudados neste capítulo se dividem em índices que se destinam ao monitoramento

da performance estocástica e ao monitoramento da performance determinística. O

monitoramento da performance estocástica está focada na medida da variância resultante

de perturbações estocásticas, não medidas, e que são assumidas como geradas a partir de

um sistema dinâmico movido por um ruído branco (força motriz); o monitoramento da

performance determinística trata de mudanças tipo degrau no set-point ou nas variáveis de

perturbação, por exemplo (QIN, 1998).

6.2 - ÍNDICES DE PERFORMANCE ESTOCÁSTICOS PARA SISTEMAS

SISO

6.2.1 - Índice de Harris

O Índice de Harris (Harris, 1989) utiliza como benchmark o controlador de

variância mínima. Seu cálculo envolve a comparação da variância atual da variável

controlada com a variância que resultaria com o emprego do controlador de variância

mínima. É calculado da seguinte forma: 2

21 cvm

y

σησ

= − (6.1)

onde 0 1η≤ ≤ , e quanto mais próximo de 0 (zero) melhor a ação de controle.

Neste trabalho, serão utilizadas duas variações da Equação (6.1): 2

,1 2y

pcvm

Iσ

σ= (6.2)

2

,2 2,1

1 cvmp

p y

II

σσ

= = (6.3)

A razão para o emprego dessas variações é sustentada pelos seguintes argumentos:

- a forma (6.2) informa diretamente quantas vezes ( ),1 vezespI a variância atual é

maior que a variância mínima;

52

- forma (6.3) é simplesmente uma maneira de normalizar, ou limitar, a Equação

(6.2), pois torna ,10 1pI≤ ≤ , entretanto, ao contrário do índice definido em (6.1), quanto

mais próximo de 1 (um), melhor a ação de controle.

O controlador de variância mínima é o controlador que detém a melhor ação de

controle possível, no sentido de que fornecerá a menor variância possível da variável

controlada, para sistemas lineares. Entretanto, sua implementação não é recomendada face

a dois aspectos principais: não é robusto, e provoca ações de controle excessivas (HUANG

et al., 1997). Apesar disso, como benchmark fornece informações importantes na avaliação

da performance de laços de controle.

A variância do controlador de variância mínima só pode ser alcançada caso estejam

disponíveis modelos perfeitos para o processo e perturbação, e requer ainda ao menos uma

estrutura tipo preditor de Smith para processos com tempo morto (QIN, 1998). Entretanto,

na prática industrial, cerca de 90% de controladores PID não dispõem de compensadores

de tempo morto, o que significa que, não importa a sintonia do controlador, ele nunca terá

o desempenho de um controlador de variância mínima quando houver tempo morto e as

perturbações estocásticas deixarem de atender às condições de estacionariedade (QIN,

1998).

HARRIS (1989) mostrou que a variância da variável controlada obtida com o

controlador de variância mínima pode ser estimada sem que necessariamente este

controlador seja implementado, não importando a estrutura do controlador atual. Esta

estimativa é baseada em um conjunto de dados de operação normal (estável, set-point

constante) do processo e o conhecimento (ou estimativa) para o tempo morto.

O procedimento consiste em ajustar uma série temporal à variável controlada:

( ) ( )( ) ( )

1

1

C qy k e k

A q

−

−= (6.4)

A seguir, procede-se à divisão dos polinômios do modelo da série temporal, que

pode ser escrita como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 20 1 2

0

... ii

i

y k h h q h q e k h q e k+∞

− − −

== + + + =� (6.5)

onde os coeficientes , 0,...ih i = são os parâmetros de Markov do modelo da série temporal.

53

Segundo �STROM (1970), os d primeiros termos da expansão coincidem com os

coeficientes respectivos da expansão em série do modelo da perturbação do processo. A

razão é que nenhum controlador pode influenciar a variável controlada até que tenha

decorrido um intervalo de tempo maior que o tempo morto do processo.

Em teoria, o controlador de variância mínima é capaz de eliminar o erro e toda

influência do ruído do processo na variável controlada no instante de tempo imediatamente

após o tempo morto do processo. Deste modo, a variável controlada obedece uma média

móvel finita de ordem d :

( ) ( ) ( )1 10 1 1... d

dy k h h q h q e k− − −−= + + + (6.6)

E por conseqüência:

( )2 2 2 2 20 1 1...cvm d eh h hσ σ−= + + + (6.7)

A variância da variável controlada atual pode ser obtida, é claro, a partir do próprio

conjunto de dados amostrados. Entretanto, uma vez que uma série temporal é ajustada aos

dados, HORCH (2000) sugere que esta mesma série seja usada no cômputo dos índices de

performance (Equações (6.2) e (6.3)), fazendo-se:

2

0,1 1

2

0

ii

p d

ii

hI

h

+∞

=−

=

=�

� (6.8)

12

0,2

2

0

d

ii

p

ii

hI

h

−

=+∞

=

=�

� (6.9)

Deste modo, a variância do ruído do processo 2eσ é cancelada.

A escolha do modelo da série temporal a ser utilizada para modelar os dados é de

responsabilidade do usuário, e deve ser levado em conta as ferramentas disponíveis para

obtenção desses modelos, dada à complexidade na estimação dos parâmetros inerente à

cada modelo de série temporal.

Segundo HUANG & SHAH (1998), um controlador feedback que indicar

performance razoável mediante os índices de performance apresentados, não necessita de

nova sintonia (se a variância é o item de maior interesse). Contudo o controlador feedback

que indicar baixa performance por este índice não necessariamente deve ser classificado

como um controlador ruim. Análises posteriores envolvendo eventuais limitações de

performance através de benchmarks mais realistas devem ser efetuadas. Pelo fato deste

54

índice de performance exigir um esforço mínimo, pois apenas dados de operação do

processo e tempo morto são necessários, serve como uma medida de performance inicial

conveniente.

QIN (1998) apresenta algumas observações e avaliações envolvendo o controle de

mínima variância como benchmark:

(a) a variância teórica mínima é independente da estrutura do controlador utilizado.

É determinada somente pela dinâmica da perturbação e do tempo morto. É um limite, no

sentido de ser o melhor que um controlador pode fazer pela variância (seja um PID, PID

com compensador de tempo morto, feedforward, controladores baseados em modelos,

controle multivariável). Pode ou não ser alcançável;

(b) não há outro meio de se alcançar a variância mínima a não ser que seja pelo

controlador de variância mínima, pois só existe um ponto de mínimo na curva da variância.

Fazer com que a variância se aproxime da variância mínima, significa aproximar o

controlador atual de um controlador de variância mínima;

(c) o uso do controlador de variância mínima como benchmark é adequado na

avaliação de laços PID nas seguintes situações práticas: (i) processo com tempo morto

negligenciável (como laços de vazão); (ii) ordem do modelo do processo é baixa; (iii)

perturbações não mensuradas aproximadamente estacionárias;

(d) entre os fatores que limitam a utilização a utilização deste benchmark estão: (i)

interação multivariável; (ii) discrepâncias entre modelo e planta (não linearidades); (iii)

erros na modelagem da dinâmica da perturbação, e (iv) e restrições de processo.

Para não comprometer a clareza do texto, as informações contidas neste capítulo

não serão duplicadas para o caso da utilização do controlador de variância mínima como

benchmark para processos MIMO.

6.2.2 - Variância alcançável pelo controlador PID

Uma vez que a maioria controladores industriais são do tipo PID, é de bom senso

avaliar a performance de um laço de controle utilizando-se a variância alcançável por um

PID. KO & EDGAR (1998) propuseram uma metodologia, transcrita nos próximos

parágrafos, para estimar a performance alcançável por um PID. Para tanto, considere o laço

de controle feedback conforme a Figura 6.2.

55

( )( )

1

1

S q

R q

−

−

( )( )

1

1d

B qq

A q

−−

− +

( )( )

1

1

C q

D q

−

−

e(k)

y(k)

-1

u(k)ySP(k)+

Modelo discretopara controlador

PID

Modelo paraprocesso

Modelo paraperturbação

Figura 6.2 - Laço de controle e funções de transferência discretas

As etapas constituintes do método de KO & EDGAR (1998) são as seguintes:

(1) estimar a função de transferência, em laço fechado, da perturbação para a

variável de saída do processo, baseada num controlador PID. Esta função de transferência

é obtida através do conjunto: (modelo para processo + modelo para perturbação) (Equação

6.10):

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1

1 1d

B q C qy k q u k e k

A q D q

− −−

− −= + (6.10)

e da lei de controle, expressa no caso do problema regulatório por:

( ) ( )( ) ( )

1

1

S qu k y k

R q

−

−= − (6.11)

Os coeficientes dos polinômios ( )1S q− e ( )1R q− na Equação (6.11) são funções

conhecidas dos parâmetros de regulação do PID (Kc, Ti e Td).

Substituindo a Equação (6.11) na Equação (6.10), obtemos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1 1

1 1 1 1 1d

A q R q C qy k e k

D q A q R q q B q S q

− − −

− − − − − −=

+ (6.12)

56

(2) expandir a função de transferência em laço fechado (Equação 6.12) na forma da

resposta ao pulso:

( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 ...y k e k f e k f e k= + − + − + (6.13)

onde os coeficientes da resposta ao pulso ( ), 1,2,...if i = são funções dos parâmetros do

controlador PID;

(3) estimar a variância da saída do processo da seguinte forma:

( )2 2 2 21 21 ...y ef fσ σ= + + + (6.14)

(4) a variância alcançável por um PID é então obtida através da solução de um

problema de otimização que pode ser enunciado como:

2 2

, ,minc i d

PID yK T Tσ σ= (6.15)

Uma vez que o sistema em laço fechado seja estável, a resposta ao pulso infinita

pode ser truncada para fornecer uma resposta finita.

Finalmente, pode ser definido um índice de performance utilizando-se as variâncias

do processo com os parâmetros de regulação (Kc, Ti e Td) atuais, (Equação 6.14) e a

mínima variância possível alcançada (em teoria) com um controlador PID (Equação 6.15).

6.2.3 - Dinâmica desejada - sistemas de fase mínima

Em determinadas situações práticas, a implementação do controlador de variância

mínima pode não ser desejada, como no caso em que a taxa de amostragem do controlador

seja muito rápida, causando excessivas ações de controle por conseqüência. Deste modo,

justifica-se a utilização de benchmarks mais realistas, definidos pelo usuário. Por exemplo:

se fosse desejado a comparação da dinâmica em laço fechado com referência a parâmetros

de performance como sobre-elevação máxima e tempo de acomodação. Haveria um

interesse específico em saber o quão próximo a dinâmica do laço fechado está do

comportamento desejado. Uma vez que a performance atual na forma dos coeficientes da

resposta ao pulso pode ser estimada através da análise de séries temporais a partir de dados

de operação do processo, a avaliação de performance pode ser computada diretamente pela

comparação com os coeficientes da resposta ao pulso desejada (HUANG & SHAH, 1998).

57

É importante ressaltar que a dinâmica desejada não pode ser especificada de

maneira totalmente arbitrária. É preciso levar em conta limitações físicas. Por exemplo: a

resposta em laço fechado durante um intervalo de tempo igual ao tempo morto do processo

é invariante no controle feedback e não pode ser especificada pelo usuário. Zeros de fase

não-mínima, não podem ser cancelados por um controlador estável, além do que afetam a

dinâmica desejada em laço fechado (HUANG & SHAH, 1998).

Uma vez que toda variável controlada, no contexto de um laço de controle, obedece

teoricamente um modelo temporal ARMA (Equação 6.12), podemos escrever após a

divisão dos polinômios a resposta em laço fechado (estável) da seguinte forma:

( ) ( )( ) ( )110 1 1... ...d d

d dy k f f q f q f q e k− −− −−= + + + + + (6.16)

Se d é o tempo morto do processo, então sob ação do controlador de variância

mínima a saída do processo se escreve:

( ) ( )( )( )

( )1

110 1 1... d

d

F q

y k f f q f q e k

−

− −−−= + + +

� � � � �� (6.17)

onde ( )1F q− pode ser calculado a partir do modelo da perturbação por divisão longa de

seus polinômios ou através da solução da Equação de Diophantine (método dos

coeficientes indeterminados):

( ) ( ) ( )1 1 1ddG q F q q R q− − − −= + (6.18)

As diferenças entre o controlador de variância mínima e a utilização de um

benchmark especificado pelo usuário ficam claras através da inspeção das Equações (6.16)

e (6.17): no caso do controlador de variância mínima, todos os demais termos além dos d

primeiros termos, são nulos; no caso do benchmark especificado pelo usuário, os d

primeiros termos não se alteram (pois são invariantes), mas os demais termos não são

nulos. Estes termos remanescentes é que definem a dinâmica em laço fechado desejada.

Toda dinâmica em laço fechado definida pelo usuário terá a seguinte forma (HUANG &

SHAH, 1998):

( ) ( )

( )( ) ( )

1

11 10 1 1... d d

d Rusuário

F q

y k f f q f q q G q e k−

− −− − −−

� �= + + + + � ��

(6.19)

onde ( )1RG q− é uma função de transferência estável e causal. Existem diversas maneiras

de se especificar ( )1RG q− , por exemplo, em termos de informações como: tempo de

58

acomodação em laço fechado, constante de tempo, razão de declínio, variância desejada,

características no domínio da freqüência, performance robusta, etc. Se ( )1RG q− é

especificada em termos de uma dinâmica desejada ( )1desG q− , então ( ) ( )1 1

R desG q G q− −= e

somente o conhecimento do tempo morto a priori é necessário para o cálculo deste

benchmark. Se a dinâmica em laço fechado desejada é especifica em termos de outras

características, por exemplo do tempo de acomodação, então não há explicitamente uma

expressão para ( )1desG q− , e esta consiste de um conjunto de funções de transferência. Por

exemplo, poderia ser verificado por tentativa e erro, quando o tempo de acomodação é

igual ao desejado. Contudo ainda torna-se uma escolha um tanto arbitrária, e não fica claro

como estas especificações afetam a performance e a robustez. Suponhamos que fosse

desejada a especificação da performance em termos do tempo de acomodação: haveriam

infinitas escolhas para ( )1RG q− , e a princípio não se saberia qual delas teria performance

mais próxima do controlador de variância mínima. Por outro lado, de acordo com HUANG

(1997) refinando-se o controlador de variância mínima com um filtro, obtém-se um

incremento na performance e robustez e as características da dinâmica em laço fechado

podem ser ajustadas pelo parâmetros do filtro.

Considere uma especificação para ( )1RG q− da seguinte forma:

( ) ( )( ) ( )1 1 11R FG q G q R q− − −= − (6.20)

onde ( )1FG q− é um filtro de função de transferência causal.

Então temos:

( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

1

11 1 10 1 1... 1d d

d Fusuário

F q

y k f f q f q q G q R q e k−

− −− − − −−

� �= + + + + − � ��

(6.21)

O filtro ( )1FG q− é especificado de acordo com a dinâmica em laço fechado. Deve

ser escolhido de tal modo que assintoticamente convirja para zero, isto é, que não haja off-

set. Por exemplo, se ( )1R q− possui um pólo igual a 1, então ( )( )11 FG q−− deve possuir

um zero igual à 1 no sentido de preservar a propriedade assintótica para a lei de controle de

variância mínima. Se um filtro de primeira ordem é utilizado, o qual satisfaz a propriedade

assintótica e é especificado como:

59

( )11

11FG q

qα

α−

−

−=−

(6.22)

então α pode ser calculado através do tempo de acomodação desejado ou constante de

tempo do laço fechado conforme a Equação (6.23):

exp sTατ

−� = ��

(6.23)

Considere a especificação do controlador segundo a abordagem IMC. O laço de

controle nesta abordagem encontra-se ilustrado na Figura 6.3.

GcIMC(q-1) Gp(q

-1)

ysp(k) y(k)

+ -++

u(k)

Gd(q-1)

v(k)

e(k)

+-Gu(q-1)

Figura 6.3 - Laço feedback segundo a abordagem IMC

Seja a função de transferência do processo:

( ) � ( )1 1dppG q q G q− − −= (6.23)

onde � pG é a função de transferência do processo sem tempo morto.

Considerando-se que não hajam discrepâncias entre o modelo para o processo e o

processo real, ou seja, que ( ) ( )1 1u pG q G q− −= :

60

( ) � ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) � ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) � ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 d IMCp c d

d IMCpd c d

d d IMCp c d

y k q G q G q G q e k

y k G q e k q G q G q G q e k

y k F q q R q e k q G q G q G q e k

− − − −

− − − − −

− − − − − − −

= −

= −

= + −

( ) ( ) ( ) ( ) � ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1d IMCp c dy k F q e k q R q G q G q G q e k− − − − − −= + − (6.24)

A Equação (6.19) foi escrita como:

( ) ( )

( )( ) ( )

1

11 10 1 1... d d

d Rusuário

F q

y k f f q f q q G q e k−

− −− − −−

� �= + + + + � ��

(6.19)

Ou seja:

( ) ( ) ( )( ) ( )1 1dRusuário

y k F q q G q e k− − −= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1dRusuário

y k F q e k q G q e k− − −= + (6.25)

Por analogia entre as equações (6.24) e (6.25):

( ) ( ) � ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1IMCpR c dG q R q G q G q G q− − − − −= − (6.26)

Que finalmente resulta em:

( ) ( ) ( )� ( ) ( )

1 11

1 1

RIMCc

p d

R q G qG q

G q G q

− −−

− −

−= (6.27)

Este controlador (Equação 6.27) é causal e estável. A resposta especificada pela

Equação (6.19) é alcançável. Para a especificação contida na Equação (6.20), tem-se:

( ) ( ) ( )( ) ( )� ( ) ( )

( ) ( )� ( ) ( )

1 1 1 1 11

1 1 1 1

1 F FIMCc

p pd d

R q G q R q G q R qG q

G q G q G q G q

− − − − −−

− − − −

− −= = (6.28)

As análises mais importantes decorrem do fato de haverem duas situações extremas

e opostas:

(a) situação em que ( )1 0FG q− = .

Neste caso, 0IMCcG = e o controlador opera em laço aberto.

(b) situação em que ( )1 1FG q− = .

Decorre que ( ) ( )( ) ( )1 1 11 0R FG q G q R q− − −= − = . E da Equação (6.19):

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

11 10 1 1

110 1 1

...

...

d dd Rusuário

ddusuário

y k f f q f q q G q e k

y k f f q f q e k

− −− − −−

− −−−

= + + + +

= + + +

61

Ou seja, esta é a própria resposta em laço fechado do controlador de variância

mínima. Desta forma, o ponto chave é ajustar, ou "sintonizar" o controlador entre a

operação em laço aberto e a implementação do controlador de variância mínima (HUANG

& SHAH, 1998).

De modo similar aos casos anteriores, uma vez que o controlador seja "sintonizado"

ou ajustado para a obtenção de um novo benchmark, a variância da variável controlada

correspondente a esse controlador pode substituir a variância da variável controlada obtida

com o uso do controlador de variância mínima nos índices de performance anteriormente

apresentados.

6.2.4 - Índice de variância relativa

BEZERGIANNI & GEORGAKIS (2000) propuseram um índice de performance de

controle que utiliza duas situações de comparação para o laço de controle: a melhor ação

de controle em teoria (representada pelo controlador de variância mínima) e o caso de não

haver ação de controle (operação em laço aberto).

Desta forma, o RVI (acrônimo em inglês para Índice de Variância Relativa) é

definido como: 2 2

2 2la y

la cvm

RVIσ σ

σ σ−

=−

(6.29)

As estimativas para as variâncias atual do processo ( )2yσ e do controlador de

variância mínima ( )2cvmσ são obtidas conforme discutido anteriormente. A estimativa para

a variância com a operação em laço aberto ( )2laσ é obtida através do modelo da

perturbação estimado para o processo. Seja novamente o laço de controle com suas

respectivas funções de transferência discretas conforme a Figura 6.2:

62

( )( )

1

1

S q

R q

−

−

( )( )

1

1d

B qq

A q

−−

− +

( )( )

1

1

C q

D q

−

−

e(k)

y(k)

-1

u(k)ySP(k)+

Modelo discretopara controlador

PID

Modelo paraprocesso

Modelo paraperturbação

Figura 6.2 - Laço de controle e funções de transferência discretas

A função de transferência em laço fechado da perturbação ( )e k para a variável

controlada ( )y k é:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1 1

1 1 1 1 1d

A q R q C qy k e k

D q A q R q q B q S q

− − −

− − − − − −=

+ (6.12)

No caso da operação em laço aberto, tem-se que ( )( )

1

10

S q

R q

−

−≡ , e portanto, a Equação

(6.12) torna-se:

( ) ( )( ) ( )

1

1

C qy k e k

D q

−

−= (6.30)

Efetuando-se a expansão em série da Equação (6.30), obtemos a resposta em laço

aberto do processo, representada pela média móvel infinita:

( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 ...y k e k e k e kψ ψ= + − + − + (6.31)

E por conseqüência:

( )2 2 2 21 21 ...la eσ ψ ψ σ= + + + (6.32)

63

6.2.5 - Índice de performance de controle modificado

HORCH (2000) propôs a utilização de um índice de performance que permite a

utilização de um benchmark definido pelo usuário, mas que ao contrário da metodologia

proposta por HUANG & SHAH (1998), não é necessário dispor de um modelo para a

perturbação.

De acordo com HORCH (2000), esta formulação alternativa permite que tanto a

definição do benchmark definido pelo usuário quanto o cálculo do índice sejam efetuados

utilizando apenas os dados da variável controlada do processo e o tempo morto. O conceito

do benchmark definido pelo usuário implica que todos os pólos exceto um, são

posicionados na origem. No controle de variância mínima, todos os pólos são colocados na

origem (na função de transferência do laço que relaciona a perturbação com a saída do

processo).

Conforme discutido no Capítulo 5, o termo invariante do laço feedback pode ser

representado através de um média móvel finita:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )11 11 ... 1dy k e k f e k f e k d F q e k−

−= + − + + − − = (6.33)

onde ( )1F q− é determinado pelo truncamento da divisão longa dos polinômios da função

de transferência da perturbação:

( )( ) ( ) ( )

( )1 1

11 1

dC q G q

F q qD q D q

− −− −

− −= + (6.34)

Caso seja desejado posicionar um dos pólos em q µ= , então a função de

transferência em laço fechado torna-se:

( ) ( ) ( )12y k F q e k−= (6.35)

Deste modo, a equação de Diophantine associada para a obtenção de ( )12F q−

torna-se:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )1 1

1 121 1

1 dC q G q

q F q qD q D q

µ− −

− − −− −

− = + (6.36)

O Índice de Performance de Controle Modificado é então definido como: 2

mod2mod

ypI

σσ

= (6.37)

64

onde a variância mínima modificada ( )2modσ é calculada pela Equação (6.38):

2 22 2 2 2 2mod 1 21

ecvm d cvmf µ

µ σσ σ σ σµ−= + = +

− (6.38)

De acordo com HORCH (2000), o Índice de Performance de Controle Modificado

sempre indicará uma performance superior em relação ao Índice de Harris

(assintoticamente a razão entre os índices tende à 1, a medida em que se incrementa o valor

do tempo morto, para todas as escolhas de µ ). Isto porque um benchmark mais realista do

que o controle perfeito (de variância mínima) é empregado.

HORCH (2000) apresenta algumas idéias sobre como proceder à escolha da

localização do pólo µ baseado em considerações de robustez.

6.3 - ÍNDICES DE PERFORMANCE ESTOCÁSTICOS PARA SISTEMAS

MIMO

A organização dos índices de performance estocásticos para sistemas MIMO

estudados neste capítulo, pode ser subdivida em:

- sistemas de fase mínima;

- sistemas de fase não-mínima;

- utilização do controlador de variância mínima como benchmark;

- benchmark definido pelo usuário.

6.3.1 - Índice de Performance de Sistemas MIMO - sistemas de fase mínima

A medida de performance para sistemas MIMO se resume em determinar o termo

de variância mínima do processo de média móvel multivariável, ou seja:

� ( ) ( ) ( )1

cvmY k L q a k−= (6.39)

� ( ) ( ) ( ) ( )( )0 1 11 ... 1dcvmY k L a k L a k L a k d−= + − + + − − (6.40)

65

A covariância entre a saída do processo e o ruído branco no instante ,i i d< ,

calculada a partir da Equação (6.39), é dada por:

� ( ) i aYai LΣ = Σ (6.41)

onde ( ) ( )( )ta E a k a kΣ = .

A Equação (5.23) do Capítulo 5 se escreve como:

� ( ) � ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1Y k T q U k d R q a k d L q a k− − −= − + − + (5.23)

Retendo-se a parcela que é invariante no controle feedback, ficamos com:

� ( ) ( ) ( )1

cvmY k L q a k−= (6.42)

A relação entre � ( )cvm

Y k (a saída do processo filtrada pelo retardo) e ( )cvm

Y k (a

saída original), é descrita por:

� ( ) ( ) ( )dY k q D q Y k−= (6.43)

que é a transcrição da Equação (5.19) do Capítulo 5.

Combinando-se a Equação (6.43) com a Equação (6.42), obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )10 1 11 ... 1d

dcvmY k q D q L a k L a k L a k d−

−= + − + + − − (6.44)

Segundo HUANG et al. (1997), as leis de controle de variância mínima de ( )Y k e

� ( )Y k são idênticas.

Para a matriz de retardo unitária, tem-se que ( ) ( )1 1TD q D q− −= , ou seja:

( ) ( )( )

110 1

1 10 1

...

...

dd

T d Td

D q D q D q

D q D q D q

−−−

− − −−

= + +

= + +

Desta forma podemos escrever:

( ) ( ) ( )( ) ( )110 1 0 1... ... dT T d

d dcvmY k D D q L L q a k− −−

− −= + + + +

( ) ( )( ) ( )110 1 1... d

dcvmY k E E q E q a k− −−

−+ + +� (6.45)

Devido à causalidade, qualquer termo cuja potência de q seja positiva na Equação

(6.45) deve ser nulo.

É possível reescrever a Equação (6.45) numa forma mais compacta (forma

matricial), conforme Equação (6.46):

66

[ ]

0 1 1

1 2

0 1 1 0 1 1

1

1

...

..., ,..., , ,..., ... ...

...

d

T T Td d

d

d

L L L

L L

E E E D D D

L

L

−

− −

−

−

� ��

� � � �= � ��

(6.46)

Da Equação (6.45), a variância de ( )Y k sob o controle de variância mínima pode

ser escrita como:

( ){ } 0 0 1 1var ...T T Tcvm a d a dcvm

Y k E E E E XX− −Σ = = Σ + + Σ � (6.47)

onde:

1 1 12 2 2

0 1 1, ,...,a a d aX E E E −� �Σ Σ Σ� ��

� (6.48)

A partir da Equação (6.41) podemos escrever:

� ( ) 1i aYa

L i −= Σ Σ (6.49)

Substituindo a Equação (6.49) na Equação (6.46) e o resultado na Equação (6.48),

resulta em:

� ( ) � ( ) � ( )� ( ) � ( )

� ( )� ( )

1 1 12 2 2

1 12 2

0 1 11

2

12

0 1 ... 1

1 2 ...

... ..., ,...,

... 1

1

a a aYa Ya Ya

a aYa YaT T T

d

aYa

aYa

d

X D D D

d

d

− − −

− −

−

−

−

� �Σ Σ Σ Σ Σ − Σ� �� Σ Σ Σ Σ� �

� � � �= � ��

Σ − Σ� �� Σ − Σ� ��

(6.50)

Uma vez que a variância de ( )Y k sob o controle de variância mínima pode ser

calculada a partir da Equação (6.47), a medida de performance baseada em função

objetivo, denominada de Índice de Performance de Sistemas MIMO, pode ser calculada da

seguinte maneira:

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )minvariância mínima

variância atual do processo

t

MIMOp t

E Y k Y kI d

E Y k Y k

� �� = =� ��

(6.51)

Ou ainda:

( )( ) ( )( )

( )( )

TcvmMIMO

p tY

tr XXtrI

trtr E Y k Y k

Σ= =

Σ� ��

(6.52)

67

O índice MIMOpI definido pela Equação (6.52) também pode ser visto da seguinte

maneira (esta abordagem visa convergir os resultados com as análises do Capítulo 5):

1 2min min

1 2

MIMOp

J JI

J J= = (6.53)

onde 1J e 2J são funções objetivo definidas, respectivamente, pelas Equações (5.31) e

(5.32).

A avaliação da performance das saídas individuais é obtida através da Equação

(6.54):

�( )1

1

, , 2, ,...MIMO MIMO TYp y p yI I diag XX

−� � = �� (6.54)

onde � ( )1Y Ydiag

−� = Σ .

Embora nos cálculos apresentados anteriormente nada foi comentado acerca do

conhecimento ou não do vetor ( )a k , sabe-se que a princípio esta informação não está

disponível. Entretanto, ( )a k pode ser substituído por uma estimativa ( )a k∧

através da

modelagem via séries temporais (HUANG et al. 1997). O procedimento completo para a

obtenção do Índice de Performance de Sistemas MIMO proposto por HUANG et al. (1997)

é denominado de algoritmo FCOR, por envolver Filtragem e CORrelação.

De acordo com HUANG et al. (1997), a fonte original de variação num processo

regulatório em laço fechado pode ser rastreada até uma excitação tipo ruído branco ( )a k

(Figura 6.3). O objetivo é o de utilizar os dados de saída do processo e o valor de set-point

(informações do sistema) para que se possa estimar a seqüência ruído branco � ( )a k através

da aplicação de um filtro (informação resultante do algoritmo FCOR).

68

Q(q-1) T(q-1)

Ysp(k) Y(k)

+-

++

N(q-1)a(k)

Filtro

â(k)Obtido através damodelagem viaséries temporais

Controlador Planta

Perturbação

SérieTemporal

Figura 6.3 - Representação esquemática do algoritmo FCOR

A relação entre ( )Y k e ( )a k é dada pela seguinte função de transferência:

( ) ( )( ) ( )

11

1 1Ya

N qG q

I T q Q q

−−

− −=

+ (6.55)

Deste modo, a variação de ( )Y k é devida à excitação de ( )a k que atravessa YaG .

Segundo HUANG et al. (1997) muitos métodos foram desenvolvidos para ajustar

um modelo de filtro e obter uma estimativa para a seqüência do ruído branco a partir dos

dados de saída do processo. Este processo de filtragem é denominado usualmente de

“branqueamento” ou “pré-branqueamento”.

O processo para obtenção do filtro é análogo ao da modelagem via séries temporais,

onde a verificação do modelo está baseada na análise de interdependência dos resíduos.

Estes resíduos são por sua vez constituem a estimativa para a seqüência ruído branco.

Contrastando com a modelagem via séries temporais, onde a estimação do modelo recebe o

foco das atenções, o resíduo neste caso é o item de maior interesse no processo de

branqueamento.

A implementação do algoritmo FCOR é resumida nas seguintes etapas:

(1) filtrar os dados de saída do processo por intermédio de um modelo de série

temporal adequado, visando obter a seqüência branqueada ( )a k∧

;

(2) de posse da matriz de retardo do processo, transformar ( )Y k em

( ) ( ) ( )dY k q D q Y k−=�

;

69

(3) calcular a covariância Y a

Σ � entre ( )Y k�

e ( )a k∧

até o instante 1d − e as auto-

covariâncias YΣ e aΣ utilizando as seqüências ( )Y k e ( )a k∧

respectivamente.

Deste modo todas as informações necessárias estão disponíveis para o cálculo do

Índice de Performance de Sistemas MIMO.

6.3.2 - Dinâmica desejada - sistemas de fase mínima

Esta seção constitui-se da extensão para sistemas MIMO da seção 6.1.3. Deste

modo, é sugerido que a seção seja 6.1.3 seja revisitada, uma vez que por simplificação e

maior clareza do texto várias observações compartilhadas pelos processos MIMO não

serão transcritas novamente aqui.

Seja o processo MIMO representado na Figura 6.4 e também pela Equação (6.56):

Q(q-1) T(q-1)

Ysp(k) Y(k)+

-+

+

N(q-1)a(k)

U(k)

Figura 6.4 - Sistema MIMO

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1Y k T q U k N q a k− −= + (6.56)

onde ( )1T q− e ( )1N q− são matrizes causais de funções de transferência polinomiais

racionais; ( ) ( ) ( ), ,Y k U k a k são os vetores dos sinais de saída e entrada do sistema, e do

ruído branco de média zero, respectivamente, e de dimensões apropriadas.

70

Seja ( )D q uma matriz de retardo unitária tal que ( ) ( )TD q D q I= e podendo ser

fatorada a partir da matriz de funções de transferência ( )1T q− de tal modo que

� ( ) ( ) ( )1 1T q D q T q− −= não possui tempo morto.

Através da identidade de Diophantine, a matriz de funções de transferência da

perturbação ( )1N q− pode ser expandida em sua resposta ao pulso da seguinte maneira:

( ) ( ) ( )

( )( )

1

11 1 10 1 1... dd d

d

L q

q D q N q L L q L q q R q−

− −− − − − −−= + + + +

� � � � � � � � � �� (6.57)

A Equação (6.45) é equivalente à Equação (6.58):

( ) ( ) ( )

( )( )

1

11 10 1 1... dd

dcvm

L q

Y k q D q L L q L q a k−

− −− − −−

� �= + + + � ��

(6.58)

No caso da avaliação de performance utilizando um benchmark definido pelo

usuário, uma matriz ( )1RG q− contendo as funções de transferência especificadas pelo

usuário, deve ser incluída na Equação (6.58) para obter:

( ) ( ) ( )( ) ( )11 10 1 1... d d

d RusuarioY k E E q E q G q q a k− −− − −

−= + + + + (6.59)

onde ( )1RG q− é uma matriz de funções de transferência estável e causal.

Na prática, ( )1RG q− pode assumir a forma de uma matriz diagonal, tendo cada

saída do sistema um elemento correspondente.

Com objetivo de mostrar que a resposta em laço fechado da Equação (6.59) é

alcançável, utilizaremos a abordagem segundo a estrutura IMC para obter:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1IMCY k I T q Q q N q a k− − −= − (6.60)

Fatorando ( )1T q− como ( ) ( ) � ( )1 1 1T q D q T q− − −= ficamos com:

( ) ( ) � ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1IMCY k I D q T q Q q N q a k− − − −= − (6.61)

( ) ( ) ( ) ( ) � ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1d d d IMCY k q D q q D q N q q T q Q q N q a k− − − − − − −= − (6.62)

Substituindo a Equação (6.57) na Equação (6.62) ficamos com:

( ) ( ) ( ) ( ) � ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1 1d d d IMCY k q D q L q q R q q T q Q q N q a k− − − − − − − −= + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1 1 1d IMCY k q D q L q a k D q R q T q Q q N q a k− − − − − − −= + − (6.63)

71

De fato, ( ) ( ) ( )1 1dq D q L q a k− − é a própria resposta do controle de variância

mínima, conforme indicado pela Equação (6.58).

Por inspeção da Equação (6.63), conclui-se que:

( ) ( ) ( ) � ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1d IMCRG q q D q R q T q Q q N q− − − − − − −= − (6.64)

Que resulta em:

( ) ( ) ( ) � ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1d IMCRG q q D q R q T q Q q N q− − − − − −= − (6.65)

Finalmente, a matriz de funções de transferência do controlador é dada por:

( ) � ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11 1 1 1 1 1IMC dRQ q T q R q q D q G q N q

−− − − − − − −= − (6.66)

Novamente ( )1IMCQ q− é causal e estável e portanto, pode ser obtido na prática.

De maneira bastante similar ao caso SISO, existem diversas maneiras de se

especificar a matriz ( )1RG q− . Uma das maneiras é especificar ( )1

RG q− como uma matriz

de funções de transferência desejada ( )1desG q− .

Uma outra maneira é a utilização de um termo extra como na Equação (6.59) e

fazer ( ) ( )1 1R FG q I G q− −= − , onde ( )1

FG q− é um filtro especificado pelo usuário de

acordo com a dinâmica em laço fechado desejada.

Este filtro serve como um fator de ajuste do controlador para a operação entre o

controle de variância mínima ( )1FG q I− = e em laço aberto ( )1 0FG q− = .

A variância a ser utilizada no índice de performance é:

( ) ( )( ) ( )Tusuario

usuarioE Y k Y k tr= � (6.67)

onde ( )( )varusuario usuarioY k� = .

6.3.3 - Variância Mínima Admissível - sistemas de fase não-mínima

Nesta seção, será abordado o caso de a matriz de funções de transferência do

processo possuir zeros fora do círculo unitário, caracterizando um sistema de fase não-

mínima.

72

Seja o processo MIMO representado na Figura 6.4 e também pela Equação (6.56):

Q(q-1) T(q-1)

Ysp(k) Y(k)+

-+

+

N(q-1)a(k)

U(k)

Figura 6.4 - Sistema MIMO

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1Y k T q U k N q a k− −= + (6.56)

Considere a seguinte fatoração de ( )1T q− expresso por:

( ) ( ) � ( )1 1 1GT q D q T q− − −= (6.68)

onde ( )1GD q− é chamado de fator passa-tudo ou matriz de retardo generalizada (HUANG,

1997) que contém os zeros infinitos e não inversíveis de ( )1T q− , sendo obtida através de

fatoração interna-externa.

Assim como um controlador feedback causal não pode cancelar o tempo morto, um

controlador estável não pode cancelar os zeros não-inversíveis. Ambos os casos constituem

restrições quanto à performance do laço.

O procedimento a seguir, sugerido por HUANG (1997) descreve as etapas

necessárias à avaliação de performance de sistemas de fase não-mínima:

(1) obter a matriz de retardo generalizada ( )GD q a partir da fatoração de ( )1T q− ;

(2) ajustar um modelo de série temporal ( )1YaG q− para ( )Y k ;

(3) obter ( ) ( ) ( )* 1 1Ya

dG YaG q q D q G q− − −= , onde d é a ordem da matriz de retardo

(maior potência de q dentre todos os elementos);

73

(4) expandir *Ya

G em sua resposta ao pulso para obter

( ) ( )

( )( )

1

1* 1 1 10 1 1... d d

Ya d

L q

G q L L q L q q qφ−

− −− − − −−= + + + +

� � � � � � � � � � � onde , 0,1,..., 1iL i d= − são matrizes

constantes e ( )1qφ − são os termos causais restantes da expansão;

(5) Através da expansão por meio de frações parciais, obter

( ) ( ) ( )1 1 1FNMq R q qφ ξ− − −= + onde FNMR contém todos os pólos instáveis os quais são os

correspondentes zeros não inversíveis de ( )1T q− e ( )1qξ − é o termo residual da expansão;

Finalmente, a resposta do processo sob variância mínima admissível, pode ser

escrita como:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1d dG FNMvma

Y k q D q L q q R q a k− − − −= + (6.69)

Este procedimento pode servir de base para a avaliação da performance de laços de

controle cujo sistema seja de fase não-mínima, mediante o uso da variância mínima

admissível como benchmark.

6.3.4 - Dinâmica desejada - sistemas de fase não-mínima

Para a avaliação de performance utilizando um benchmark definido pelo usuário,

tal como especificação da dinâmica em laço fechado, uma matriz de funções de

transferência especificada pelo usuário ( )1RG q− deve ser incorporada à Equação (6.69)

para fornecer:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1d d dG FNM RY k q D q L q q R q q G q a k− − − − − −= + + (6.70)

É importante observar que a dinâmica em laço fechado depende tanto dos pólos de

( )1RG q− quanto dos pólos de ( )1

GD q− (recíprocos dos zeros não-inversíveis).

A especificação da dinâmica em laço fechado (Equação (6.70)) será mostrada como

alcançável através da utilização da abordagem IMC, na qual a resposta em laço fechado se

escreve:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1IMC IMCY k I T q Q q N q a k N q a k T q Q q N q a k− − − − − − −= − = −

(6.71)

74

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1d d IMCG GY k q D q q D q N q a k T q Q q N q a k− − − − − −= − (6.72)

Por intermédio da identidade de Diophantine, o termo ( ) ( )( )1dGq D q N q− − pode ser

expandido em sua resposta ao pulso para fornecer:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )1 1

11 1 1 10 1 1... dd d

G d FNM FM

L q R q

q D q N q L L q L q q R q R q− −

− −− − − − − −−

� �

= + + + + + � ��

� � � � � � � � � � � � � � �� (6.73)

onde ( )1FNMR q− possui todos os pólos instáveis de ( )1R q− após a expansão por frações

parciais, e ( )1FMR q− contém todos os pólos estáveis de ( )1R q− .

Aplicando a Equação (6.73) na Equação (6.72), obtemos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1d d d IMCG FNM FMY k q D L q q R q q R q a k T q Q q N q a k− − − − − − − − −= + + −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1 1 1 1

d dG FNM

d d IMCG FM

Y k q D q L q q R q a k

q D q R q q T q Q q N q a k

− − − −

− − − − − −

= +

� �+ −� �

(6.74)

Por inspeção das equações (6.70) e (6.74) obtém-se:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1d d IMC d dG FM G G Rq D q R q q D q T q Q q N q q D q G q q− − − − − − − − − −− =

(6.75)

A Equação (6.75) pode ser rescrita com o auxílio da Equação (6.68):

( )( ) ( ) ( ) � ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1d d IMC d dG FM G G Rq D q R q q D q T q Q q N q q D q G q q− − − − − − − − − −− = (6.76)

Finalmente,

( ) � ( ) ( ) ( )( ) ( )11 1 1 1 1 1IMCFM RQ q T q R q G q N q

−− − − − − −= − (6.77)

que é uma lei de controle IMC alcançável.

Similarmente ao que foi exposto para o caso de sistemas SISO, ( )1RG q− pode ser

especificado em termos de um filtro na forma de uma matriz de funções de transferência da

seguinte forma:

( ) ( )( ) ( )1 1 1R F FMG q I G q R q− − −= − (6.78)

e a Equação (6.78) torna-se:

( ) � ( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 1 1 1IMCF FMQ q T q G q R q N q

−− − − − − −= (6.79)

75

A Equação (6.70) por sua vez é escrita como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1d d dG FM F FMusuario

Y k q D q L q q R q q I G q R q a k− − − − − − −= + + − (6.80)

Novamente o controlador é ajustado para operar entre as condições de laço aberto

( )( )1 0FG q− = e sob a resposta de variância mínima admissível ( )( )1FG q I− = .

Um índice de performance para sistemas MIMO de fase não-mínima utilizando um

benchmark escolhido pelo usuário pode ser definido da seguinte forma:

( )( )

usuariousuario

Y

tr

trη

�

�� (6.81)

onde ( )( )varusuario usuarioY k� � .

6.4 - ÍNDICES DE PERFORMANCE DETERMINÍSTICOS PARA

SISTEMAS SISO

6.4.1 - Integral do valor absoluto do erro (IAE), integral do quadrado do erro (ISE),

integral do valor absoluto do erro ponderado no tempo (ITAE)

Estes índices constituem métricas de performance clássicas, e que consideram a

resposta global do laço fechado. Neste contexto, e dada à farta literatura existente sobre a

discussão e aplicação destes índices, serão omitidos comentários que justifiquem ou

incentivem sua utilização em situações de interesse específicas, limitando-se à sua citação:

(a) integral do valor absoluto do erro ( IAE );

0

( )IAE e t dt∞

= � (6.82)

(b) integral do quadrado do erro ( ISE );

[ ]2

0

( )ISE e t dt∞

= � (6.83)

76

(c) integral do valor absoluto do erro ponderado no tempo ( ITAE ).

0

( )ITAE t e t dt∞

= � (6.84)

6.4.2 - Integral do valor absoluto do erro (IAE) e tempo de acomodação

adimensionais

A maioria dos trabalhos focados em performance de controladores tem dedicado

atenção ao monitoramento da performance estocástica utilizando o controle de variância

mínima como benchmark. Os conceitos tradicionais de performance, tais como resposta a

mudanças degrau no set-point ou em variáveis de perturbação da carga têm recebido pouca

ou nenhuma atenção.

SWANDA & SEBORG (1999) propuseram uma metodologia que consiste em

avaliar a performance de um controlador mediante análise do tempo de acomodação

adimensional (Equação 6.85) e da IAE adimensional (Equação 6.86):

aa

a

tT

θ� (6.85)

adimensional0 a

IAEIAE

r θ= (6.86)

onde aθ é o tempo morto aparente - fenômeno descrito como resultado da não distinção

entre o tempo morto verdadeiro do processo e zeros de fase não-mínima.

SWANDA & SEBORG (1999) desenvolveram expressões analíticas para o tempo

de acomodação adimensional, para a IAE adimensional, margens de ganho e fase baseadas

em um controlador IMC-PI para um modelo de primeira ordem com tempo morto.

Resultados de simulação mostram que os valores do tempo de acomodação e da IAE

adimensionais "ótimos" são essencialmente os mesmos para outros quatro modelos de

processos lineares estáveis utilizados na simulação:

modelo 2: ( )( )2

1

seG s

s

−

=+

modelo 3: ( ) ( )( )

0,4

2

1,25 1

1

ss eG s

s

−+=

+

77

modelo 4: ( )( )5

1

1G s

s=

+

modelo 5: ( )( )3

0,75 1

1

sG s

s

− +=+

Desses valores "ótimos" foram calculadas as médias dos parâmetros adimensionais

para a obtenção dos valores que servirão de benchmark. Com estes dados, elaboraram uma

tabela de valores para avaliação da performance de controladores:

Tabela 6.1 - Classes de performance para controladores PI

Classe aT

adimensionalIAE Sobre-elevação

Alta performance ≤ 4,6 ≤ 2,8 não é requerida esta especificação

Demasiadamente

moroso

> 13,3 > 6,3 ≤ 10%

Sintonia deficiente > 13,3 > 6,3 > 10%

Adicionalmente, para os controladores que recaem sobre a classe "Alta

performance", foram calculadas as margens de ganho e fase para a determinação da

existência de um nível aceitável de robustez. Neste caso, as faixas dos valores encontrados

foram:

2,0 margem de ganho 4,4≤ ≤

o o44 margem de fase 74≤ ≤ .

As faixas para as margens de ganho e fase para controladores classificados como de

"Alta performance", e as demais informações contidas na Tabela 6.1 foram calculadas com

base em 2.500 sintonias diferentes para cada um dos cinco modelos de simulação

utilizados. Essas sintonias foram obtidas fazendo-se combinações de cinqüenta valores de

cK e cinqüenta valores de iT , espaçados uniformemente.

78

6.5 - FERRAMENTAS DE MONITORAMENTO DA CONDIÇÃO DE

LAÇOS DE CONTROLE

Além de índices de performance que medem basicamente variância e erro, há a

disponibilidade de ferramentas adicionais na avaliação de performance de laços de

controle. Dentre essas ferramentas serão brevemente discutidas: fator de serviço, Idle Index

e detecção de comportamento oscilatório, função de auto-correlação, e análise espectral.

6.5.1 - Fator de serviço

De acordo com HARRIS et al. (1999), o fator de serviço é definido como sendo a

fração do tempo em que um controlador se encontra ligado (modo automático). Este

parâmetro requer quase nenhum esforço computacional e possui a característica atraente de

ser absolutamente não-invasivo. Entretanto, peca pela ausência de informações que levem

a conclusões acerca do alcance ou não dos benefícios potenciais do sistema de controle. De

acordo com KOZUB (2002) não é difícil encontrar controladores com fator de serviço

acima de 95% mas com características ruins da resposta dinâmica.

Entretanto, este parâmetro fornece uma primeira aproximação da situação dos

sistemas de controle na planta, sendo considerada como essencial em qualquer estratégia

de monitoramento de controladores (KOZUB, 2002). O fator de serviço é a estatística mais

freqüentemente utilizada no monitoramento de performance de sistemas de controle

(KOZUB, 2002).

Segundo KOZUB (2002), as causas mais freqüentes para baixos índices de fator de

serviço incluem problemas associados à instrumentação, atuadores e em equipamentos de

processo.

6.5.2 - Idle index e detecção de comportamento oscilatório

Segundo HÄGGLUND (2002), existem vários motivos para explicar as oscilações

em laços de controle. Muitas delas envolvem ganhos do controlador excessivamente altos e

79

perturbações na carga de natureza oscilatória. Entretanto, a maioria é devido à fricção

estática (fricção de Coulomb) em válvulas de controle.

HÄGGLUND (2002) apresenta duas ferramentas para monitoramento de laços de

controle. A primeira a ser discutida é um procedimento para detecção de oscilação em

laços de controle.

O princípio desta metodologia está baseado no cálculo da IAE entre instantes de

tempo sucessivos em que ocorreram alterações de sinal do erro. Ou seja:

( )1

i

i

t

t

IAE e t dt−

= � (6.87)

Durante períodos de controle "bom", a magnitude do erro é pequena, e os intervalos

de tempo em que ocorrem alterações de sinal do erro são curtos. Ou seja, o valor calculado

pela Equação (6.87) é pequeno. Quando ocorre uma perturbação na carga, a magnitude do

erro aumenta, e aumenta também o intervalo de tempo para ocorrência de alteração de

sinal do erro. E o valor calculado pela Equação (6.87) se torna maior.

A idéia central é a de que a oscilação é detectada sempre que houver um aumento

da taxa de detecção de perturbações na carga. O comportamento do laço é monitorado

dentro de um intervalo de tempo chamado de "tempo de supervisão", definido pelo usuário.

Se ocorrerem um número de perturbações na carga maior do que um limite imposto pelo

usuário durante este tempo, então conclui-se que há uma oscilação presente.

Os detalhes da metodologia envolvendo a escolha dos parâmetros da ferramenta,

bem como um esboço de uma implementação computacional encontram-se em

HÄGGLUND (2002).

Uma outra ferramenta de auxílio no monitoramento de laços de controle proposta

por HÄGGLUND (2002), é o chamada Idle Index, algo como índice de latência. Este

parâmetro tem por finalidade a detecção de comportamento moroso do laço de controle.

Seja u o sinal do controlador e y o sinal de saída do sistema. Quando da

ocorrência de perturbações na carga, observa-se que inicialmente 0u y∆ ∆ < , onde o

símbolo ∆ indica incremento nos sinais. A caracterização de uma resposta morosa é que

passado esta etapa inicial, passa-se um longo período onde a correlação entre os dois

incrementos dos sinais são positivos. Este conceito forma a base para o Idle Index, que

relaciona os tempos de correlação positiva e negativa entre os incrementos dos sinais.

80

Para o cálculo do Idle Index é necessário calcular os períodos de tempo em que as

correlações entre os incrementos dos sinais são positivos e negativos. O procedimento

abaixo é atualizado para cada instante de amostragem:

se 0se 0

se 0se 0

pos Spos

pos

neg Sneg

neg

t T u yt

t u y

t T u yt

t u y

+ ∆ ∆ >�= � ∆ ∆ ≤�

+ ∆ ∆ <�= � ∆ ∆ ≥�

onde ST é período de amostragem. O Idle Index é então calculado segundo a Equação

(6.88):

pos negi

pos neg

t tI

t t

−=

+ (6.88)

Por inspeção da Equação (6.88), observa-se que este índice está restrito ao intervalo

[-1,+1], onde um valor mais próximo de +1 indica que o controle está com comportamento

moroso; para valores próximos de -1, o controle pode estar bem sintonizado, entretanto,

este valor também pode ser obtido para laços que possuam oscilação. Portanto, é sugerido

que este parâmetro seja utilizado em conjunto com a técnica de detecção de oscilação em

laços de controle, também proposta por HÄGGLUND (2002). Caso em que o Idle Index

resulte em um valor próximo de zero, este indica que a sintonia do controlador está

razoavelmente boa.

6.5.3 - Função de auto-correlação

A utilização da função de auto-correlação do erro da saída do sistema (diferença

entre os valores de set-point e da variável controlada) foi inicialmente utilizada como

ferramenta de auxílio na avaliação de performance de laços de controle por STANFELJ et

al., (1993). Esta ferramenta dá indícios de quão perto o controlador existente está do

controlador de variância mínima, ou ainda quão estimado está o erro no horizonte de

tempo de interesse. Se o controlador está sob o controle de variância mínima, então a

função de auto-correlação deve ir para zero em ( )1d − atrasos, onde d é o tempo morto do

processo. A taxa com que a auto-correlação vai a zero ( )1d − atrasos depois, indica o quão

perto o controlador existente está do controlador de variância mínima. Uma vez que o

81

procedimento de cálculo da função de auto-correlação é relativamente simples, esta

ferramenta pode ser utilizada como um teste inicial na avaliação de performance.

6.5.4 - Análise espectral

A resposta freqüencial em laço fechado constitui uma alternativa na medida de

performance do laço de controle. A análise espectral dos dados de saída do processo

permite facilmente a detecção de oscilações, off-sets e presença de ruído excessivo nas

medidas. A resposta freqüencial em laço fechado usualmente é plotada juntamente com a

resposta freqüencial do controlador de variância mínima. Isto permite a verificação de

potencial de melhoria no laço através da sintonia do controlador. Também fornece uma

medida do quão perto está o laço na configuração atual comparado com o controle de

variância mínima e em que região de freqüência o laço possui um desvio significativo do

controle de variância mínima. Grandes desvios na região de baixa freqüência tipicamente

indica ausência de ação integral ou ganho fraco. Picos altos na região de média freqüência

usualmente é um indício de um controlador excessivamente sintonizado ou presença de

perturbações de caráter oscilatório. Desvios significativos na região de alta freqüência

tipicamente indica ruído nas medidas.

A análise espectral envolve também a utilização de espectros de potência

(periodogramas), que encontram utilidade na avaliação dos resultados de uma nova

sintonia do controlador (por exemplo) sem a necessidade de perturbar o processo. O

objetivo principal neste caso é o de manter a energia em baixas freqüências (longos

períodos) o mais baixo possível. No caso da detecção de oscilação em meio ao ruído,

observa-se a existência de um pico correspondente à freqüência do ciclo de oscilações. Se

este ciclo é uma senóide, apenas um pico deve sobressair. Caso contrário, outros picos

devem aparecer como relevantes no periodograma.

82

6.6 - OUTRAS TÉCNICAS DE AVALIAÇÃO DE PERFORMANCE DE

LAÇOS DE CONTROLE

Outros pesquisadores têm dedicado atenção à avaliação de performance de

controladores. Nos parágrafos subseqüentes é apresentada uma revisão de outras técnicas

de avaliação da performance, propostas por alguns pesquisadores.

KENDRA & ÇINAR (1997) propuseram um método de avaliação de performance

baseado na identificação do processo, e que naturalmente coincide com as especificações

de projeto clássicas e modernas da técnica do domínio da freqüência. A medida de

performance é efetuada pela comparação das características da resposta freqüencial

observada com as especificações de projeto.

KAMMER et al. (1998) apresentaram uma abordagem tipo model-free (modelo

não-paramétrico, por exemplo: estatístico ou gráfico no domínio da freqüência) para

medida de performance quadrática linear (LQ). Inicialmente um teste para a performance

LQ ótima é efetuado baseado nos sinais em laço fechado. Deste teste é possível determinar

a posição dos pólos do laço fechado os quais seriam obtidos pelo uso do controlador de

performance LQ ótima. Este resultado pode ser usado num esquema de controle adaptativo

direto para ajustar o controlador.

HUANG (2002) objetivou (i) a obtenção de uma solução explícita para uma lei de

controle de mínima variância para processos linearmente variantes no tempo (LTV) na

forma de função de transferência; e (ii) a medida de performance de processos LTV

utilizando como benchmark o controle de mínima variância. É demonstrado que existe um

limite absoluto e variante no tempo para a variância do processo e que é alcançável

mediante o controle de mínima variância LTV, podendo ser estimado a partir de dados de

rotina da operação. Este limite pode ser posteriormente utilizado para avaliar o benefício

da implementação do controle LTV, como controle adaptativo.

83

6.7 - REFERÊNCIAS

ÅSTROM, K. J., 1970, Introduction to Stochastic Control Theory, Academic Press,

New York, USA;

BEZERGIANNI, S., GEORGAKIS, C., 2000, "Controller performance assesment based

on minimum and open-loop output variance", Control Engineering Pratice, v. 8,

pp. 791-797;

HÄGGLUND, T., 2002, "Industrial Applications of Automatic Performance Monitoring

Tools", 15th Triennial World Congress of the International Federation of

Automatic, Barcelona, Spain, 21-26 July;


Chemical Engineering, v. 67, n. 8, pp. 856-861;

HARRIS, T. J., SEPPALA, C. T., DESBOROUGH, L. D., 1999, "A Review of

Performance Monitoring and Assesment Techniques for Univariate and

Multivariate Control Systems", Journal of Process Control, v. 9, pp. 1-17;

HORCH, A., 2000, Condition Monitoring of Control Loops. Ph. D. thesis, Royal

Institute of Technology, Stockholm, Sweden;

HUANG, B., 1997, Multivariable Statistical Methods for Control Loops Performance

Assesment, Ph. D. thesis, University of Alberta, Edmonton, Canada;

HUANG, B., 2002, "Minimum variance control and performance assesment of time-

variant process", Journal of Process Control, v. 12, pp. 707-719;

HUANG, B., SHAH, S. L., 1998, "Practical issues in multivariable feedback control

performance assesment", Journal of Process Control, v. 8, nn. 5-6, pp. 421-430;

HUANG, B., SHAH, S. L., KWOK, E. K., 1997, "Good, Bad or Optimal? Performance

Assesment of Multivariable Processes", Automatica, v. 33, n. 6, pp. 1175-1183;

KAMMER, L. C., BITMEAD, R. R., BARTLETT, P. L., 1998, "Optimal Controller

Properties from Closed-Loop Experiments", Automatica, v. 34, n. 1, pp. 83-91;

KENDRA, S. J., ÇINAR, A., 1997, "Controller performance assesment by frequency

domain techniques", Journal of Process Control, v. 7, n. 3, pp. 181-194;

KO, B., & EDGAR, T. F., 1998, "Assesment of Achievable PI Control Performance for

Linear Processes with Dead Time", American Control Conference, Philadelphia,

USA;

84

KOZUB, D. J., 2002, "Controller Performance Monitoring and Diagnosis. Industrial

Perspective", 15th IFAC Triennial World Congress, Barcelona, España;

QIN, S. J., 1998, "Control Performance Monitoring - A Review and Assesment",

Computers & Chemical Engineering, v. 23, pp. 173-186;

STANFELJ, N., MARLIN, T. E., MACGREGOR, J. F., 1993, "Monitoring and

Diagnosing Process Control Performance: The Single-Loop Case", Industrial and

Chemical Engineering Research, v. 32, pp. 301-314;

SWANDA, A. P., & SEBORG, D. E., 1999, "Controller Performance Assesment Based on

Setpoint Response Data", American Control Conference, San Diego, USA.

85

CAPÍTULO 7 - IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS EM LAÇO FECHADO

Nomenclatura


( )erro k Erro do controlador

( )1CLeG q− Função de transferência em laço fechado

� ( )1CLeG q− Estimativa para CL

eG

( )1CLrG q− Função de transferência em laço fechado

� ( )1CLrG q− Estimativa para CL

rG

( )1,

CLe uG q− Função de transferência em laço fechado

� ( )1,

CLe uG q− Estimativa para ,

CLe uG

( )1,

CLe yG q− Função de transferência em laço fechado

� ( )1,

CLe yG q− Estimativa para ,

CLe yG

k Instante de tempo M Tamanho do conjunto de dados

( )1N q− Função de transferência da perturbação

� ( )1N q− Estimativa para N(q-1)

( )p k Perturbação aditiva ao sinal do controlador 1q− Operador de atraso

( )1Q q− Função de transferência do controlador

� ( )1Q q− Estimativa para ( )1Q q−

( )1iQ q− Controlador interno no arranjo de controladores em cascata

( )1oQ q− Controlador externo no arranjo de controladores em cascata

( )r k Sinal de referência, sinal de excitação persistente e suficiente quando injetado no set-point

( )'r k Sinal de referência, sinal de excitação persistente e suficiente quando injetado no set-point, com uma perturbação aditiva p(k)

( )Fr k Sinal de referência, sinal de excitação persistente e suficiente quando injetado no set-point, filtrado pela função de sensibilidade do laço

( )1S q−

( )1S q− Função de sensibilidade do laço

� ( )1S q− Estimativa para ( )1S q−

86

( )1T q− Função de transferência do processo

� ( )1T q− Estimativa para a função de transferência do processo

( )1iT q− Função de transferência do processo interno no arranjo de

controladores em cascata

( )1oT q− Função de transferência do processo externo no arranjo de

controladores em cascata ( )u k Variável manipulada

( )iu k Sinal do controlador interno no arranjo de controladores em cascata

( )ou k Sinal do controlador externo no arranjo de controladores em cascata


( )iv k Perturbação de carga do laço interno no arranjo de controladores em cascata

( )ov k Perturbação de carga do laço externo no arranjo de controladores em cascata

( )w k Sinal de excitação persistente e suficiente quando não injetado no set-point


� ( )y k Estimativa para ( )y k

( )iy k Variável controlada do laço interno no arranjo de controladores em cascata

( )oy k Variável controlada do laço externo no arranjo de controladores em cascata

( )Fy k Variável controlada ( )y k filtrada por ( )1S q−

� ( )Fy k Estimativa para � ( )y k filtrada por � ( )1S q−


Z Batelada de dados de entrada e saída do processo

Símbolos Gregos:

( )kε Erro de predição

( )k l

kε−

Erro de predição, com horizonte de predição " l "

Acrônimos:

OEM Output Error Method (Método do Erro da Saída)


DMC Dynamic Matrix Control (Controle de Matriz Dinâmica)


87

7.1 - CONTROLADORES BASEADOS EM MODELO DO PROCESSO

A técnica empregada por estes controladores, denominada de controle preditivo,

começou a ser explorada industrialmente em meados da década de 70. Nos dias de hoje,

com a disponibilidade de computadores e microcomputadores mais baratos e poderosos, o

controle preditivo tem atraído o interesse de várias indústrias de diversos segmentos,

destacando-se as indústrias petroquímicas e de celulose e papel.

A idéia básica por traz do controle preditivo pode ser esquematizada genericamente

através da Figura 7.1.

variável controlada(processo contínuo)

set-point

variávelmanipulada

tempo

horizonte de controle

horizonte de predição

Figura 7.1 - A idéia da técnica do controle preditivo

Conforme ilustrado na Figura 7.1, no instante de tempo atual é efetuada uma

predição do comportamento futuro da variável controlada utilizando os valores medidos

até o momento e um modelo dinâmico do processo. Um problema de otimização com

restrição usualmente é resolvido on-line visando determinar qual a melhor ação de controle

a ser implementada no instante atual e num horizonte de controle futuro. Uma vez que o

problema de otimização foi solucionado, apenas a próxima ação de controle é

implementada. Segue-se então um loop nessas etapas no próximo instante, quando novos

dados da planta são obtidos.

88

O coração de qualquer esquema de regulação baseado no controle preditivo é o

próprio modelo do processo, pois através deste a ação de controle ótima é calculada,

tornando-se imprescindível o desenvolvimento de modelos de processo de razoável

acurácia para que seja obtido um bom desempenho do esquema de controle baseado em

modelo.

7.2 - IDENTIFICAÇÃO DE PROCESSOS EM LAÇO FECHADO

Conforme visto anteriormente, o modelo do processo constitui um pré-requisito

necessário para o controle preditivo. Invariavelmente, os controles baseados em modelos

dependem de estimações off-line do processo, ou seja, um sinal de excitação é injetado no

processo e os dados de entrada-saída em laço aberto são coletados e utilizados para o ajuste

de um modelo adequado do processo. Na maioria das indústrias de processos químicos que

utilizam controles baseados em modelo, os modelos são gerados sem que se agregue a

importância devida à sua utilização final, neste caso específico como base para o controle

preditivo. Quase que em toda a totalidade dos casos, modelos de complexidade reduzida

são gerados visando contemplar apenas as dinâmicas dominantes do processo (HUANG &

SHAH, 1997).

O apelo à utilização de modelos estimados a partir de processos operando em laço

fechado se baseia na possibilidade destes modelos serem utilizados posteriormente para

melhorar o projeto de controladores atualmente instalados, efetuar novos projetos de

controladores, efetuar medidas de performance de laços de controle, etc. Por exemplo: um

modelo obtido a partir da identificação em laço fechado de um processo com um

controlador PID instalado, pode ser utilizado para projetar um controlador DMC.

Em situações práticas industriais, não é difícil a ocorrência da chamada "sub-

modelagem" ou identificação de modelos de complexidade reduzida. Isto se deve ao fato

de ocorrer que o "modelo real" da planta não está contemplado no conjunto de modelos

considerados para ajuste. Ou seja, a planta geralmente possui um "modelo real" de ordem

elevada, ao passo que a estrutura do modelo utilizado é de ordem reduzida, baixa. Sob essa

condição, o erro entre planta e modelo estimado é composto de duas parcelas: o erro de

tendência (devido à "sub-modelagem") e o erro aleatório (ou erro de variância) devido aos

efeitos de ruído e perturbações (HUANG & SHAH, 1997).

89

Desde o início dos trabalhos de pesquisa em identificação de sistemas, há cerca de

30 anos atrás, o foco era dirigido para a obtenção de modelos que descrevessem a dinâmica

verdadeira do processo e perturbações (FORSSELL & LJUNG, 1999). Com a crescente

importância relativa da finalidade do uso da identificação em laço fechado, a "identificação

para controle" ganhou força, e as atenções recentemente voltaram-se para a determinação

do aspecto da distribuição do bias, de tal sorte que são obtidas aproximações de sistemas

através de modelos com interesse na utilização para controle.

Ao contrário da identificação em laço aberto, o objetivo da identificação em laço

fechado é fazer uso de dados de rotina de operação com um sinal de excitação injetado,

para desenvolver um modelo dinâmico do processo. A identificação em laço fechado é

favorecida muitas vezes por duas razões principais (MacGREGOR & FOGAL, 1995),

(FORSSELL & LJUNG, 1999): a primeira é devida a fatores de segurança operacional da

planta, e a segunda é que quando se deseja estimar um modelo linearizado em torno do

ponto de operação do processo, isto pode ser conseguido com a identificação em laço

fechado, ao passo que estando o processo em operação em laço aberto pode haver desvios

significativos do ponto de operação nominal do processo.

Há um "problema" fundamental na identificação em laço fechado, que é a

correlação existente entre o ruído que não é mensurável e o sinal de entrada no processo. E

é devido a este inconveniente que muitas técnicas de identificação em laço aberto, falham

ao serem aplicadas em laço fechado, como é o caso das abordagens de subespaço e dos

métodos não paramétricos (FORSSELL & LJUNG, 1999).

As técnicas de identificação em laço fechado presentes na literatura, podem ser

separadas de acordo com a concepção utilizada acerca do sistema envolvido. Essas

diferentes concepções podem ser traduzidas e dispostas segundo três classes (FORSSELL

& LJUNG, 1999):

(a) técnicas que assumem total desconhecimento acerca da natureza do mecanismo

de realimentação, e utilizam apenas os sinais de entrada na planta, excluindo aí eventuais

sinais de entrada adicionais ou sinais de set-point;

(b) técnicas que assumem que a realimentação é conhecida e utilizam eventuais

sinais de entrada adicionais ou sinais de set-point;

(c) técnicas que assumem que o esquema de regulação é desconhecido, mas de uma

certa estrutura.

90

As técnicas que compartilham as idéias dos itens (b) e (c) geralmente assumem um

controlador linear e invariante no tempo. Entretanto, essas idéias podem ser estendidas

para controladores não-lineares e ou variantes no tempo, com um devido aumento na

complexidade do problema (FORSSELL & LJUNG, 1999).

Dentro do contexto dos métodos pertencentes à classe dos Métodos do Erro de

Predição (PEM), costuma-se classificar os métodos, utilizando por base as considerações

(a)-(c) acima, em (FORSSELL & LJUNG, 1999), (ESMAILI, et. al., 2000):

(1) Método Direto: ignora a realimentação e identifica o sistema como se estivesse

em laço aberto, utilizando as medidas de entrada e saída do sistema;

(2) Método Indireto: identifica funções de transferência em laço fechado e

determina os parâmetros em laço aberto utilizando o conhecimento do controlador (linear);

(3) Método da Abordagem Conjunta Entrada-Saída: considera os sinais de entrada e

saída constituindo um sinal de saída de um sistema movido por algum sinal de entrada

adicional ou sinal de set-point, e ruído. Utiliza algum método para determinação dos

parâmetros em laço aberto a partir da concepção deste "novo" sistema.

Recentemente, HUANG & SHAH (1997) desenvolveram técnicas variantes do

grupo (3) acima, mais conhecidas como procedimentos de identificação em duas etapas.

Essas técnicas abordam o problema da identificação conjunta entrada-saída de maneira a

dividi-lo em dois problemas de identificação em laço aberto: o primeiro tratando do ajuste

de um modelo para a entrada para obter uma estimativa da função de sensibilidade do laço

fechado, utilizando posteriormente essa estimativa para filtrar a entrada ou a saída; o

segundo problema trata da identificação do modelo do processo a partir dos dados

filtrados.

A diferença principal entre os métodos de identificação direto e em duas etapas, se

baseia na forma com que estas técnicas reduzem o efeito da correlação com a

realimentação do laço nos dados (ESMAILI, et. al., 2000). Ambas efetuam essa redução

através da filtragem dos dados. Nos métodos diretos, ambos os sinais da entrada e saída

são filtrados com o inverso do modelo estimado para a perturbação. No método em duas

etapas, ou a entrada ou a saída é filtrada com a estimativa da função de sensibilidade do

laço fechado.

VAN DEN HOF & SCHRAMA (1993) também propuseram um método de

identificação em duas etapas, similar ao apresentado por HUANG & SHAH (1997), com a

diferença que a estimativa da função de sensibilidade é usada para filtrar o sinal de

excitação injetado no sistema.

91

7.2.1 - Método Direto

Seja um sistema SISO causal, linear, e invariante no tempo, operando em laço

fechado conforme ilustrado na Figura 7.2:

Q(q-1)u(k)

T(q-1)

v(k)

y(k)

N(q-1)

e(k)

ySP(k)

-+

++

Figura 7.2 - Sistema SISO linear, operando em laço fechado

Na abordagem do Método Direto, os parâmetros dos modelos do processo � ( )1T q− ,

e da perturbação � ( )1N q− são estimados a partir dos dados em laço fechado exatamente da

mesma maneira com é feita com dados em laço aberto.

Para o modelo:

� ( ) � ( ) ( ) � ( ) ( )1 1y k T q u k N q kε− −= + (7.1)

os parâmetros de � ( )1T q− e � ( )1N q− são estimados então pelo PEM e o problema é então

definido da seguinte maneira:

� ( ) � ( )( )( )

1 1

2

, 1

minM

k lT q N q k

kε− − −

=� (7.2)

Se a seqüência ( )kε possui distribuição gaussiana com uma estrutura adequada

tanto para � ( )1T q− quanto � ( )1N q− , e o horizonte de predição é 1l = (preditor um passo à

92

frente), então o PEM fornece a máxima possibilidade de se estimar os parâmetros do

modelo.

FORSSELL & LJUNG (1999) recomendam que o método direto, dada sua

simplicidade e aplicabilidade, seja visto como a escolha inicial dentre os métodos de

identificação em laço fechado. Na ocasião deste método falhar, nenhum outro método

conseguirá resultado melhor.

7.2.2 - Método Indireto

Considere o sistema causal, linear, e invariante no tempo, operando em laço

fechado descrito conforme a Figura 7.3, e também pelas Equações (7.3) e (7.4).

Q(q-1)

r(k)

u(k)T(q-1)

v(k)

y(k)

N(q-1)

e(k)

++ ++-

Figura 7.3 - Sistema SISO linear operando em laço fechado

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1y k T q u k N q e k− −= + (7.3)

( ) ( ) ( ) ( )1u k r k Q q y k−= − (7.4)

onde ( )1Q q− é um controlador linear, invariante no tempo.

O sinal de referência (excitação) ( )r k é definido conforme a Equação (7.5) para o

caso em que este é injetado no set-point:

93

( ) ( ) ( )1 SPr k Q q y k−= (7.5)

ou definido conforme a Equação (7.6) para o caso em que este é injetado como um sinal de

entrada adicional:

( ) ( )r k w k= (7.6)

O ruído aditivo do sistema é descrito como uma seqüência tipo ruído branco

filtrada, conforme Equação (7.7):

( ) ( ) ( )1v k N q e k−= (7.7)

As relações em laço fechado no caso de feedback linear, são dadas por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1y k S q T q r k S q N q e k− − − −= + (7.8)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1u k S q r k S q Q q N q e k− − − −= − (7.9)

onde a função de sensibilidade ( )1S q− é definida como:

( ) ( ) ( )1

1 1

11

S qQ q T q

−− −

=+

(7.10)

Definindo-se as seguintes funções de transferência em laço fechado:

( ) ( ) ( )1 1 1CLrG q S q T q− − −= (7.11)

( ) ( ) ( )1 1 1CLeG q S q N q− − −= (7.12)

podemos reescrever a equação do sistema em laço fechado (Equação 7.8) da seguinte

forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1CL CLr ey k G q r k G q e k− −= + (7.13)

Caso o controlador ( )1Q q− seja conhecido e ( )r k seja mensurável, o sistema em

laço fechado pode ser identificado utilizando o PEM com um modelo dado pela Equação

(7.14):

� ( ) � ( ) ( ) � ( ) ( )1 1CL CLr ey k G q r k G q kε− −= + (7.14)

E a função de transferência da planta é obtida através da Equação (7.15):

� ( )� ( )

� ( ) � ( )1

1

1 11

CLr

CLe

G qT q

Q q G q

−−

− −=

+ (7.15)

94

Em ocasiões em que o problema regulador seja linear tal qual como na Equação

(7.5) mas contenha uma perturbação aditiva ( )p k , teremos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1u k r k Q q y k p k−= − + (7.16)

A natureza da perturbação ( )p k é considerada de tal sorte que o sistema em laço

fechado seja exponencialmente estável, conforme a definição de estabilidade em

FORSSELL & LJUNG, (1999). Esta perturbação pode ser advinda do conhecimento

imperfeito dos parâmetros de regulação. No caso do conhecimento de ( )1Q q− e medindo-

se ( )u k e ( )y k , então ( )p k pode ser considerado como parte do sinal de referência

(sinal de excitação) através da relação:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1'r k u k Q q y k r k p k−= + = + (7.17)

E assim, havendo realmente uma perturbação tal qual a perturbação ( )p k na

regulação, basta considerar ( )'r k ao invés de ( )r k , sem perda da generalidade.

7.2.3 - Método de identificação conjunta de entradas e saídas

Novamente, considere o sistema causal, linear, e invariante no tempo, operando em

laço fechado descrito conforme a Figura 7.3, e também pelas Equações (7.18) e (7.19).

Q(q-1)

r(k)

u(k)T(q-1)

v(k)

y(k)

N(q-1)

e(k)

++ ++-


95

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1y k S q T q r k S q N q e k− − − −= + (7.18)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1u k S q r k S q Q q N q e k− − − −= − (7.19)

onde ( )1S q− é a função de sensibilidade definida pela Equação (7.10).

Definindo-se as seguintes funções de transferência em laço fechado:

( ) ( ) ( )1 1 1CLrG q S q T q− − −= (7.20)

( ) ( ) ( )1 1 1,

CLe yG q S q N q− − −= (7.21)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1,

CLe uG q S q Q q N q− − − −= (7.22)

podemos então rescrever as Equações (7.18) e (7.19) da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1,

CL CLr e yy k G q r k G q e k− −= + (7.23)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1,

CLe uu k S q r k G q e k− −= − (7.24)

Se modelos parametrizados são estimados independentemente pelo PEM, ficamos

com:

� ( ) � ( ) ( ) � ( ) ( )1 1,

CL CLr e yy k G q r k G q kε− −= + (7.25)

( ) � ( ) ( ) � ( ) ( )1 1,

CLe uu k S q r k G q kε− −= − (7.26)

O método consiste em, através da Equação (7.26) obter � ( )1S q− , uma estimativa da

função de sensibilidade. Posteriormente, obter � ( )1CLrG q− através da Equação (7.25) e

finalmente, através da Equação (7.20), obter uma estimativa da função de transferência do

processo, da seguinte forma::

� ( )� ( )� ( )

11

1

CLrG q

T qS q

−−

−= (7.27)

7.2.4 - Métodos de identificação em duas etapas

Novamente, considere o sistema causal, linear, e invariante no tempo, operando em

laço fechado descrito conforme a Figura 7.3, e também pelas Equações (7.23) e (7.24).

96

Q(q-1)

r(k)

u(k)T(q-1)

v(k)

y(k)

N(q-1)

e(k)

++ ++-


( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1,

CL CLr e yy k G q r k G q e k− −= + (7.23)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1,

CLe uu k S q r k G q e k− −= − (7.24)

Onde ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1, ,, , ,CL CL CL

r e y e uS q G q G q G q− − − − são definidos pelas Equações (7.10) e

(7.20) à (7.22), respectivamente.

Na aplicação deste método, costuma-se assumir uma função de transferência fixa

para a relação entre os sinais ( )e k e ( )y k , como por exemplo ( )1 1N q− = o que implica

em: ( ) ( )1 1,

CLe yG q S q− −= . Deste modo, a Equação (7.23) passa a ser escrita da seguinte

forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1CLry k G q r k S q e k− −= + (7.28)

Definindo-se um modelo pela Equação (7.29) a partir da Equação (7.24), temos:

( ) � ( ) ( ) � ( ) ( )1 1,

CLe uu k S q r k G q kε− −= − (7.29)

A primeira, das duas etapas, consiste em obter uma estimativa para a função de

sensibilidade, � ( )1S q− , através da Equação (7.24).

A segunda e última etapa, consiste em utilizar o inverso da função de sensibilidade

estimada para filtrar o sinal de saída, ou seja, a partir da Equação (7.28) teríamos:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1Fy k

y q T q r k e kS q

− −−

= = + (7.30)

97

O modelo a ser utilizado então, é dado por:

� ( ) � ( ) ( ) ( )1 1Fy q T q r k kε− −= + (7.31)

A diferença essencial entre o método de identificação em duas etapas e o método de

identificação conjunta de entradas e saídas, está na forma de utilização da estimativa da

função de sensibilidade: no primeiro, sua inversa é usada para filtrar o sinal de saída; no

segundo, o modelo é ajustado utilizando o sinal de saída e posteriormente dividindo-o pela

estimativa da função de sensibilidade.

Uma outra alternativa, no contexto da identificação em duas etapas, seria usar a

própria função de sensibilidade para filtrar o sinal de excitação ( )r k (e não a inversa da

função de sensibilidade, para filtrar ( )y k ). Logo, a Equação (7.30) fica:

( ) ( ) ( ) ( )1 Fy k T q r k e k−= + (7.32)

onde:

( ) ( ) ( )1Fr k S q r k−= (7.33)

Usar ( )1 1N q− = em ( )1,

CLe yG q− , é indicado quando o interesse maior está na

obtenção de uma estimativa da função de transferência do processo somente, e a função de

transferência da perturbação é dispensável. Neste caso, ao invés da utilização do algoritmo

PEM (identificação simultânea das funções de transferência da planta e perturbação),

emprega-se o algoritmo OEM.

7.2.5 - Escolha do método de identificação em laço fechado do processo

Nas seções anteriores, os métodos clássicos e os mais freqüentemente utilizados em

situações práticas foram apresentados. Entretanto, qual é o método que terá maior

preferência na identificação de um modelo de processo, em laço fechado ? De acordo com

LAKSHMINARAYANAN et al. (2001), "a natureza do processo e do controlador, as

deficiências e hipóteses assumidas de cada abordagem deveriam fornecer uma resposta à

essa pergunta. Se as estruturas para o modelo do processo e para o modelo da

perturbação são completamente conhecidas, então o método direto é o candidato óbvio

pelo fato de fornecer estimativas para os parâmetros do modelo com a menor variância

possível e consideravelmente menos esforço. Quando tal informação sobre a estrutura e

98

complexidade do modelo não está disponível, os métodos indireto e em duas etapas podem

ser empregados para fornecer modelos de tendência (bias) reduzida, acompanhados de

aumento na variância dos parâmetros do modelo quando comparado com o método direto.

Na prática industrial, o conhecimento da estrutura do modelo freqüentemente não está

disponível; a natureza multivariável de dimensão elevada dos sistemas, as não-

linearidades e a presença de perturbações não mensuráveis compõem o problema. (...) Do

ponto de vista industrial, a escolha do método não chega ser tão complicada quanto a

geração de um conjunto informativo de dados (...)."

7.3 - CONJUNTO INFORMATIVO DE DADOS DE SISTEMAS

OPERANDO EM LAÇO FECHADO

As técnicas de identificação de processos em laço fechado exige que certas

condições de identificabilidade sejam atendidas. SÖDERSTRÖN & STOICA (1989) e

ISERMANN (1991) apresentam uma excelente sistematização de trabalhos envolvendo as

condições de identificabilidade. Nesta seção, será apresentado o conceito de "conjunto

informativo de dados de sistemas operando em laço fechado", uma condição necessária

mas não suficiente para a identificação de sistemas em laço fechado. Suas demonstrações

matemáticas serão omitidas mas encontram-se detalhadas no trabalho de HORCH (2000).

O Teorema 6.1 em HORCH (2000), é enunciado a seguir:

"Teorema 6.1: Considere o diagrama de blocos da Figura (7.4), onde

( ) ( )1 1,Q q T q− − e ( )1N q− são sistemas dinâmicos lineares e invariantes no tempo. Sejam

( )u k e ( )y k o sinal de saída do controlador e o sinal de saída do processo,

respectivamente. Assuma que os sinais ( )SPy k e ( )v k não estão correlacionados.

Então, o conjunto de dados ( ) ( ){ }1,2,...,

,k N

Z u k y k=

= é informativo se e somente se

um sinal de excitação persistente (de ordem suficiente) é injetado no laço fora da área

sombreada na Figura (7.4), ou seja, entre ( )y k e ( )u k ."

99

u(k)

v(k)

y(k)

T(q-1) ++Q(q-1)

ySP(k)

-+

N(q-1)

e(k)


A prova do Teorema 6.1 também encontra-se em HORCH (2000).

De acordo com HORCH (2000) a obtenção de dados informativos deve

preferencialmente ser obtida através de mudanças no set-point. HORCH (2000) também

destaca uma situação na qual a partir desta, pode-se eventualmente concluir porque

algumas perturbações do processo não fornecem dados informativos suficientes para

identificar o processo:

"Considere o caso em que um sinal de excitação persistente é injetado no sinal de

saída do processo. Assuma que o sinal de referência é constante e nenhum outro sinal

adicional é injetado junto ao sinal do controlador. Então, a relação entre o sinal de

controle ( )u k e o sinal de saída do processo ( )y k será sempre determinado pelo

controlador, ou seja,

( ) ( ) ( )1u k Q q y k−= −

Isto significa que, não importa o quão ( )u k e ( )y k variem, contanto que o sinal

de excitação seja injetado no laço na região sombreada (Figura 7.4), somente o

controlador pode ser identificado. O mesmo é verdadeiro se o laço está oscilando."

100

7.4 - IDENTIFICAÇÃO DE PROCESSOS EM LAÇOS DE CONTROLE EM

CASCATA

Considere o sistema constituído de dois laços de controle em cascata (arranjo

mestre-escravo) conforme a Figura 7.5.

Qo(q-1)

uo(k)Ti(q

-1)

vi(k)

ySP(k) yi(k)Qi(q

-1)

vo(k)

yo(k)ui(k)To(q

-1)-

+-

++

++

+

Figura 7.5 - Laços de controle em cascata

No caso da estimação da função de transferência do processo no laço externo,

( )1oT q− , a aplicação do Teorema 6.1 (HORCH, 2000) é direta. Como ( )iv k é injetado no

sinal ( )iy k antes da entrada deste em ( )1oT q− , nos termos do Teorema 6.1, o sinal da

perturbação é injetado no laço fora da "área sombreada", e portanto, "aparentemente" a

perturbação fornecerá dados informativos ( ) ( ){ },i oy k y k para identificação de ( )1oT q− .

Considerando a identificação da dinâmica do laço interno, ( )1iT q− , podemos

observar que pelo menos a princípio, qualquer sinal de excitação dentro dos laços em

cascata resultará em um sinal de set-point ( )( )ou k excitado no laço interno. E a partir desta

observação pode-se concluir que seria possível proceder a identificação da dinâmica do

laço interno, ( )1iT q− , sem a necessidade de excitar o sinal ( )SPy k . De fato, quando da

aplicação do Teorema 6.1, obtém-se a prova de que teoricamente, o sinal de set-point

( )SPy k não precisa ser excitado para a obtenção de dados informativos para a

identificação das dinâmicas dos laços interno e externo. É interessante também o fato de

101

que na identificação da dinâmica do laço interno, ( )iv k representa o ruído, ao passo que

( )ov k faz o papel do sinal de excitação. Na identificação da dinâmica do laço externo, o

significado das perturbações ( )iv k e ( )ov k são invertidos.

Entretanto, se pelo Teorema 6.1 prova-se que em teoria a identificação das

dinâmicas dos laços interno e externo é possível sem a excitação do sinal ( )SPy k , do ponto

de vista prático há um problema, uma vez que ruído não pode ser perturbação e sinal de

excitação ao mesmo tempo, pois é condição necessária a ausência de correlação entre os

sinais do ruído e da perturbação na identificação de sistemas em laço fechado.

De fato, a identificação só poderá ser efetuada de verdade ou no laço interno ou no

laço externo, dependendo da razão entre ( )iv k e ( )ov k . Para a identificação de ( )1iT q− ,

por exemplo, o nível de ruído de ( )iv k deve ser pequeno quando comparado com ( )ov k , e

vice-versa. Logo, ( )1oT q− não pode ser identificado, até mesmo se os dados são -

teoricamente - informativos. A conclusão é que a posse de dados informativos é necessária

mas não é suficiente para proceder à identificação da dinâmica de laços em cascata.

7.5 - IDENTIFICAÇÃO DE CONTROLADORES

O conhecimento dos parâmetros do controlador é um dado importante em sistemas

de monitoramento de laços de controle por exemplo, na detecção "automática" da alteração

dos parâmetros de um dado controlador. Outro aspecto importante é a utilização da função

de transferência do controlador em simulações em laço fechado e estudos de caso.

Considere o laço de controle da Figura 7.2, e um pequeno re-arranjo conforme

mostra a Figura 7.6:

102

Q(q-1)u(k)

T(q-1)

v(k)

y(k)

N(q-1)

e(k)

ySP(k)

-+

++

Figura 7.2 - Sistema SISO linear, operando em laço fechado

Q(q-1)T(q-1)

v(k)

y(k)

ySP(k)

erro(k)++u(k)

N(q-1)

e(k)

+-

Figura 7.6 - Laço de controle da Figura 7.2, rearranjado

Considerando que os sinais ( )SPy k e ( )v k sejam injetados do mesmo modo no

laço e aplicando a teoria discutida na seção 7.3, dados informativos podem ser obtidos se

um dos dois sinais é excitado. A função de transferência que pode ser estimada é dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 SPu k Q q erro k Q q y k y k− −= = − (7.34)

Conclui-se que é possível estimar a função de transferência do controlador sempre

que um sinal de excitação está presente no laço, não importa a sua origem. E mais: ao

contrário da identificação do processo, sua identificação é livre de ruído, e portanto,

deveriam ser obtidos sempre modelos de boa acurácia.

103

7.6 - REFERÊNCIAS

ESMAILI, A., MACGREGOR, J. F., TAYLOR, P. A., 2000, "Direct and two-step

methods for closed-loop identification: a comparison of asymptotic and finite data

set performance", Journal of Process Control, v. 10, pp. 525-537;

FORSSELL, U., LJUNG, L., 1999, "Closed-loop identification revisited", Automatica, v.

35, pp. 1215-1241;

ISERMANN, R., 1991, Digital Control Systems, v. II, Stochastic Control Multivariable

Control, Adaptive Control Applications, 2nd edition. USA, Springer-Verlag;

HORCH, A., 2000, Condition Monitoring of Control Loops. Ph. D. thesis, Royal

Institute of Technology, Stockholm, Sweden;

HUANG, B., SHAH, S. L., 1997, "Closed-loop identification: a two step approach",

Journal of Process Control, v. 7, n. 6, pp. 425-438;

LAKSHMINARAYANAN, S., EMOTO, G., EBARA, S., TOMIDA, K., SHAH, S. L.,

2001, "Closed loop identification and control loop reconfiguration: an industrial

case study", Journal of Process Control, v. 11, pp. 587-599;

MACGREGOR, J. F., FOGAL, D. T., 1995, "Closed-loop identification: the role of the

noise model and prefilters", Journal of Process Control, v. 5, n. 3, pp. 163-171;

SÖDERSTRÖN, T., STOICA, P., 1989, System Identification. Great Britain, Prentice-

Hall;

VAN DEN HOF, P. M. J., SCHARAMA, R. J. P., 1993, "An indirect method for transfer

function estimation from closed loop data", Automatica, v. 29, n. 6, pp. 1523-

1527.

104

CAPÍTULO 8 - APLICAÇÕES E ANÁLISES

Nomenclatura

d Tempo morto


( )ke k− Resíduos PRESS

( )erro k Erro do controlador



j Número inteiro

k Instante de tempo

M Tamanho do conjunto de dados

an Ordem de A(q-1)

bn Ordem de B(q-1)


Y Vetor da variável controlada


� ( )y k Estimativa para ( )y k

� ( )ky k− Estimativa para ( )y k calculada a partir do vetor de parâmetros θ

estimado sem o uso de ( )y k e ( )kφ


MZ Batelada de dados de tamanho M

Símbolos Gregos:

( )kε Erro de predição

ζ Vetor dos componentes do erro aleatório

θ Vetor de parâmetros ajustáveis

�θ Estimativa para θ

( )kξ Componente aleatório do erro 2cvmσ Variância da variável controlada com o emprego do controlador de

variância mínima 2yσ Variância da variável controlada atual

105

( )kφ Vetor de regressão

Φ Matriz do vetor de regressão

Acrônimos:

ARX Auto Regressive with External Input (Auto Regressivo com Entrada Externa)

IAE Integral fo Absolute Error (Integral do Valor Absoluto do Erro)



PRESS Prediction Error Sum of Squares (Soma dos Quadrados dos Erros de Predição)


SP Set-point

8.1 - INTRODUÇÃO

A Klabin Papéis Monte Alegre (KPMA) (localizada em Telêmaco Borba-PR),

maior fábrica integrada de celulose papel da américa latina, mantém desde 1998, um

convênio de mestrado sanduíche com o Departamento de Engenharia Química da

Universidade Estadual de Maringá (DEQ/UEM) (Maringá-PR). Por intermédio deste

convênio a KPMA patrocina bolsas de estudos, de mestrado, para o desenvolvimento de

dissertações e estudos sobre papel e celulose. Estas dissertações e estudos são

desenvolvidos nas instalações fabris da KPMA. Dentro deste contexto foi desenvolvida

uma ferramenta computacional com as finalidades de modelar, medir a performance da

dinâmica de laços de controle e sintonizar controladores, estruturada conforme ilustra a

Figura 8.1.

106

Módulo A

Identificação de Sistemas

Módulo B

Sintonia de Controladores PID

Módulo C

Avaliação de Performance

Figura 8.1 - Estrutura modularizada do pacote computacional desenvolvido

8.2 - PACOTE COMPUTACIONAL DESENVOLVIDO

Os módulos do pacote computacional serão apreciados a seguir.

8.2.1 - Módulo A: Identificação de Sistemas

Este módulo realiza as seguintes tarefas:

(i) Identificação de Processos - permite obter um modelo dinâmico para o

processo a partir de dados em laço aberto ou fechado. O modelo facilita a sintonia de

controladores e permite a simulação das respostas do processo frente às mais diversas

condições operacionais , bem como a avaliação da robustez do laço de controle;

(ii) Identificação de Controladores - permite verificar o algoritmo de controle

efetivamente implementado para realizar simulações em laço fechado;

(iii) Modelagem de sinais via séries temporais - permite modelar e analisar os

sinais via séries temporais para simulações em laço fechado e avaliar a performance dos

laços de controle, a partir de dados de rotina de operação (sem a necessidade da aplicação

de perturbações) e do conhecimento (estimativa) do tempo morto do processo.

107

No contexto da identificação de processos e com vistas à fornecer critérios não

arbitrários para a decisão sobre qual modelo deverá ser escolhido como mais adequado, foi

implementado o cálculo da estatística PRESS (MYERS, 1990). O cálculo da estatística

PRESS está fundamentado no método dos mínimos quadrados, uma técnica consagrada na

área de identificação de sistemas, e é particularmente simples quando a estrutura

selecionada para o modelo do processo possui a propriedade de ser linear nos parâmetros.

8.2.2 - Módulo B: Sintonia de Controladores

A sintonia de controladores, em especial os do tipo PID, é fartamente analisada e

discutida na literatura. As técnicas para sintonia dos controladores PID estão alicerçadas

em estratégias que vão desde a minimização da integral do valor absoluto do erro (IAE), do

tempo de ascensão/acomodação e/ou da sobre-elevação da resposta em laço fechado, até a

comparação com controladores preditivos e uso da "intuição" no reajuste por tentativa e

erro do técnico instrumentista. Com um modelo adequado do processo, a sintonia de

controladores PID pode ser feita baseada em técnicas que usam esse modelo.

O módulo de sintonia implementa regras baseadas em modelo do processo. As

regras de sintonia implementadas contemplam basicamente os seguintes tipos de processos

(os mais freqüentemente encontrados na indústria):

• processos algébricos (dinâmica muito rápida);

• processos integradores sem e com tempo morto;

• processos de primeira ordem sem e com tempo morto;

• processos de segunda ordem sem e com tempo morto.

8.2.3 - Módulo C: Avaliação de Performance

A referencia básica é o controlador de variância mínima. Para sistemas lineares, o

controlador de variância mínima resulta na menor variância possível para o erro da saída

(SP-Variável Controlada) na operação em laço fechado (Figura 8.2). Esta lei de controle

exige um modelo perfeito para o processo e para a perturbação, e implicará no

108

cancelamento do erro (exceto aquele devido à contribuição do ruído das medidas) no

instante de tempo amostrado imediatamente após o tempo morto do processo.

ySP(k) y(k)erro(k) u(k)

e(k)

Perturbação

+

-

ProcessoControlador

Sensor

+


O projeto de um controlador requer as funções de transferência do processo e da

perturbação. Entretanto, HARRIS (1989) mostrou que para o controlador de variância

mínima, a resposta em laço fechado pode ser determinada utilizando apenas dados de

operação do processo atual em laço fechado e uma estimativa para o tempo morto.

A avaliação da performance de um laço de controle consiste essencialmente em

comparar o desempenho de um laço com um padrão de referência, ou benchmark.

Virtualmente todos os pacotes computacionais destinados à avaliação de performance o

fazem mediante a utilização do controlador de variância mínima como benchmark. Deste

modo, são definidos índices de performance baseados no comportamento atual do laço

(variável controlada) e naquele que seria observado caso o controlador de variância

mínima fosse empregado (estes índices foram apreciados no Capítulo 6). Para sistemas

SISO, os índices que utilizam o controlador de variância mínima como benchmark e que

foram utilizados neste trabalho foram: 2

,1 2y

pcvm

Iσ

σ= (8.1)

2

,2 2,1

1 cvmp

p y

II

σσ

= = (8.2)

109

Os principais pontos positivos da utilização de um índice de performance como

aqueles representados pelas Equações (8.1) e (8.2), são:

(+) fácil implementação para um conjunto relativamente extenso de laços;

(+) fácil interpretação;

(+) não invasivo;

(+) não exige conhecimentos profundos da dinâmica do processo (apenas tempo

morto).

Estas características se encaixam perfeitamente nas exigências de uma ferramenta

para monitoramento de performance em escala industrial. Entretanto, existem alguns

aspectos negativos que devem ser cuidadosamente apreciados:

(-) a comparação é feita contra um controle perfeito e que é, em algumas situações,

um índice não realista;

(-) o tempo morto geralmente é um parâmetro desconhecido e variável;

(-) o tempo morto é considerado o único fator limitante da performance;

(-) é baseado em controle estocástico (sujeito à perturbações estocásticas), quando

muitas vezes o objetivo do controle é a rejeição à perturbações determinísticas e

rastreamento de set-point.

Além de índices de performance baseados na comparação com um benchmark tal

como aqueles expressos pelas Equações (8.1) e (8.2), costuma-se utilizar a medida da

variabilidade como parâmetro de comparação de desempenho de laços de controle. A

variabilidade é dada pela Equação (8.3):

desvio-padrãovariabilidade 2 100%

média� = ⋅ ��

(8.3)

Embora a utilização da variabilidade como índice absoluto (comparação com

variabilidade zero) seja pouco informativa, seu emprego como índice relativo (comparação

de diferentes variabilidades) é muito conveniente pois as unidades de engenharia são

canceladas, e, assim, laços de controle de diferentes grandezas físicas podem ser

comparados diretamente.

O módulo de avaliação de performance de laços de controle, além de calcular o

índice de performance segundo as Equações (8.1) e (8.2) e a variabilidade do laço

conforme a Equação (8.3), entre outros, também disponibiliza ferramentas auxiliares para a

constatação da existência de potenciais de melhoria em laços de controle mediante reajuste

da sintonia do controlador existente. Este conjunto de ferramentas de análise é constituído

por gráficos contendo:

110

• resposta freqüencial da variável controlada (situação atual e atingível pelo

controlador de variância mínima);

• resposta pulso em laço fechado (atual);

• auto-correlação do erro da saída (SP-Variável Controlada) (atual);

• índice de performance como função da incerteza do tempo morto.

8.3 - A ESTATÍSTICA PRESS

A disponibilidade de uma ferramenta que possa de certa forma automatizar a tarefa

de estimação dos parâmetros de um modelo para o processo, é sem dúvida uma ferramenta

valiosa. Contudo, a decisão final sobre qual modelo deverá ser escolhido como mais

adequado (mesmo essa decisão sendo de responsabilidade do usuário), deve ser apoiada

em algum critério que possa de alguma maneira sustentar sua decisão e fornecer

argumentos não-arbitrários para tal.

Neste contexto, a Estatística PRESS (MYERS, 1990) se coloca como uma boa

candidata à exercer este papel.

Tomemos um modelo, por exemplo, na seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ... n ny k k k k kφ θ φ θ φ θ ξ= + + + + (8.4)

onde ( )y k é o sinal da variável controlada, e j jφ θ ( )1,...,j n= são funções conhecidas e

os parâmetros ajustáveis do modelo, respectivamente, e ( )kξ é um componente aleatório

do erro.

No contexto da identificação de processos, o sistema no tempo discreto é descrito

por um conjunto de dados amostrados aos pares entradas e saídas respectivas:

( ) ( ){ } ( ), 1,...,MZ u k y k k M= = , onde o sinal de entrada é a variável manipulada e o sinal

de saída a variável controlada. E então as funções ( ) 1,j j nφ = representam funções

lineares de valores passados e presentes da entrada e saída do processo, e ( )kξ sendo um

termo representativo da perturbação, que usualmente é admitida como uma seqüência de

valores aleatórios identicamente distribuídos, ou seja, uma seqüência ruído branco. É

comum admitir que esta seqüência tenha uma distribuição gaussiana (normal) em situações

práticas de engenharia.

111

A Equação (8.4) pode ser rescrita numa forma mais compacta através da notação

vetorial da seguinte maneira:

( ) ( ) ( )Ty k k kφ θ ξ= + (8.5)

onde ( ) [ ]1 2 ... Tnkφ φ φ φ= e [ ]1 2 ... T

nθ θ θ θ= .

O problema então pode ser colocado da seguinte forma: computar uma estimativa

�θ para o vetor de parâmetros de tal modo que a saída predita pelo modelo na Equação

(8.6)

� ( ) ( ) �Ty k kφ θ= (8.6)

seja o mais próximo possível do sinal medido ( )y k , no sentido dos mínimos quadrados.

Uma vez que as Equações (8.4), (8.5) e (8.6) são válidas para ( )1,...,k M= ,

podemos rescrever a Equação (8.6) de tal modo que todos os dados disponíveis sejam

representados numa única equação. Em notação matricial temos:

Y θ ζ= Φ + (8.7)

onde os vetores ,Y θ e ζ são definidos como:

( ) ( ) ( )1 2 ... TY y y y M� �= � � (8.8)

[ ]1 2 ... Tnθ θ θ θ= (8.9)

( ) ( ) ( )1 2 ... T Mζ ξ ξ ξ� �= � � (8.10)

e a matriz Φ é definida por:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1 1 ... 12 2 ... 2

... ... ... ......

n

n

nM M M

φ φ φφ φ φ

φ φ φ

� �� Φ =� ��

(8.11)

Se a matriz ( )TΦ Φ é inversível, os mínimos quadrados do erro entre o que é

medido e o que é estimado é único e dado por:

� ( ) 1T TYθ−

= Φ Φ Φ (8.12)

A matriz ( )TΦ Φ é usualmente chamada de matriz de correlação, e sua condição de

invertibilidade é também chamada de condição de excitação suficiente para estimação dos

parâmetros do modelo.

112

Os resíduos convencionais do estimador de mínimos quadrados (Equação 8.12), é

definido da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) �Tk y k kε φ θ= −

( ) ( ) � ( )k y k y kε = − (8.13)

Esses resíduos medem a qualidade do ajuste do modelo ao conjunto de dados, mas

não traduzem a capacidade de predição do modelo. De fato essa conclusão se torna mais

clara quando observa-se que o sinal ( )y k e o vetor de regressão ( )kφ são ambos

utilizados para a determinação dos parâmetros �θ do modelo, e por isso ( )y k e � ( )y k estão

correlacionados.

De fato muitos pesquisadores costumam dividir um conjunto de dados para o uso

em duas situações: na primeira, para proceder a estimação dos parâmetros do modelo, e na

segunda, para efetuar a validação do modelo, avaliando o comportamento das respostas do

modelo. Entretanto, essa divisão nem sempre é aplicável ou desejável.

Para contornar esse problema, propõe-se a utilização dos resíduos PRESS ,

definidos da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) �Tkke k y k kφ θ −− = −

( ) ( ) � ( )k ke k y k y k− −= − (8.14)

onde os parâmetros � kθ − são estimados segundo um algoritmo de mínimos quadrados que

não inclui o sinal ( )y k e o vetor de regressão ( )kφ . E portanto, os resíduos PRESS

constituem erros de predição verdadeiros, devido a não existência de correlação entre os

sinais ( )y k e � ( )ky k− . Esses resíduos podem ser calculados facilmente a partir dos

resíduos convencionais ( )e k da seguinte forma:

( ) ( )( )( ) ( )1

1k

T T

e ke k

k kφ φ− −=

− Φ Φ (8.15)

A soma dos quadrados dos erros (resíduos PRESS ) de predição, define a Estatística

PRESS :

( )( )2

1

M

kk

PRESS e k−=

=� (8.16)

113

8.3.1 - Utilização da Estatística PRESS na seleção de modelos e avaliação dos

resultados obtidos com o Módulo A

WANG & CLUETT (1999) utilizaram um conjunto de dados de um insuflador de

ar quente de escala laboratorial (LJUNG, 1999) para avaliar a utilização da Estatística

PRESS na seleção da estrutura do modelo. Este conjunto de dados está disponível no

software MATLAB da MathWorks sob o rótulo de DRYER2.

Os resultados com a Estatística PRESS publicados em WANG & CLUETT (1999)

serviram para avaliar a confiabilidade dos resultados obtidos com o Módulo A do pacote

desenvolvido. Os resultados dos testes comparativos, encontram-se a seguir.

Nos testes realizados foi utilizado todo o conjunto de dados DRYER2, de dimensão

1000M = . A estrutura do modelo utilizada nestes testes foi a ARX . O método empregado

neste trabalho para a estimação dos parâmetros do modelo foi o Método do Erro de

Predição (PEM), em que os erros de predição (Equação 8.13) são minimizados no sentido

dos mínimos quadrados.

A comparação dos resultados obtidos com o Módulo A e aqueles publicados com a

Estatística PRESS por WANG & CLUETT (1999), foi feita obedecendo-se exatamente as

mesmas etapas, as quais em resumo foram as seguintes:

- parametrização de modelos de estrutura ( ), ,a bARX n n d , com 1 14a bn n≤ = ≤ e

1 3d≤ ≤ ;

- determinação dos modelos de estrutura particular de tal modo que forneçam os

menores erros de predição, ou seja, os menores valores para Estatística PRESS .

Os resultados dos testes podem ser apreciados na Tabela 8.1.

114

Tabela 8.1 - Comparação dos resultados com para a Estatística PRESS

WANG & CLUETT (1999) Módulo A Ordem do

modelo Tempo morto

PRESS Ordem do modelo

Tempo morto

PRESS Desvio (%)

1 1 29,999 1 1 29,9642 0,12 2 1 2,7895 2 1 2,7798 0,35 3 1 1,5734 3 1 1,5554 1,14

14 (melhor) 1 1,3956 14 (melhor) 1 1,3426 3,80 1 2 13,947 1 2 13,9368 0,07 2 2 1,6609 2 2 1,6492 0,71 3 2 1,4895 3 2 1,4678 1,46

13 (melhor) 2 1,4318 13 (melhor) 2 1,3822 3,47 1 3 10,598 1 3 10,5487 0,47

2 (melhor) 3 7,6355 2 3 7,5691 0,87 3 3 7,6639 3 (melhor) 3 7,5676 1,26

Como pode ser observado na Tabela 8.1, os resultados obtidos com o Módulo A são

praticamente coincidentes com os apresentados por WANG & CLUETT, (1999),

observando-se os desvios percentuais existentes entre os dados calculados e publicados. A

única exceção fica por conta do caso em que o tempo morto foi fixado em três instantes de

amostragem, pois o Módulo A detectou o modelo ( )3,3,3ARX como mais adequado, e

não o modelo ( )2,2,3ARX segundo resultados publicados por WANG & CLUETT,

(1999). Os desvios são decorrentes de problemas numéricos associados ao cômputo dos

índices.

Por inspeção da Tabela 8.1 apresentada anteriormente, para 1d = ou 2d = , o

menor valor da Estatística PRESS considerando a faixa utilizada para a ordem do modelo

( )1 14a bn n≤ = ≤ são muito próximos um do outro. Entretanto, para 3d = , o menor valor

da Estatística PRESS para a mesma faixa utilizada é significativamente maior do que os

valores mínimos para 1d = ou 2d = . Conclui-se desta forma que o tempo morto para este

processo esteja entre 1 e 2 instantes de amostragem. Esta afirmação concorda com os

resultados apresentados por LJUNG, (1999).

A partir dos resultados apresentados na Tabela 8.1, podemos concluir também que

em termos de capacidade preditiva, o melhor modelo (dentre os modelos parametrizados) é

115

um ( )14,14,1ARX ou ( )13,13, 2ARX . Entretanto, se observamos que a mudança no valor

da Estatística PRESS entre os modelos ( )3,3, 2ARX ( )1,4678PRESS = e ( )13,13, 2ARX

( )1,3822PRESS = é bastante pequena, poderíamos utilizar um modelo de ordem bastante

reduzida (no caso, um modelo de ordem 3) sem que degradássemos significativamente a

capacidade preditiva do modelo.

8.4 - TESTES EFETUADOS EM UMA PLANTA DE PROCESSO

Para mostrar os benefícios obtidos com a utilização do pacote computacional

desenvolvido, é relatada a seguir a análise de um caso típico de aplicação. Trata-se aqui do

laço de controle de temperatura do vapor de média pressão para a secaria da Máquina de

Papel-7 da KPMA. O laço está ilustrado na Figura 8.3:

Dessuperaquecedor

Vapor Vapor

TT3209

TIC3209

Água desmineralizadapara

dessuperaquecimento

Figura 8.3 - Laço de controle de temperatura 372-TIC-3209

A representação deste laço segundo um diagrama de blocos encontra-se na Figura

8.4.

116

TIC3209

TV3209

Processo

TT3209

+ySP(k) u(k)

+y(k)

e(k)

-

Figura 8.4 - Diagrama em blocos do laço 372-TIC-3209

No diagrama em blocos da Figura 8.4 o sinal ( )e k concentra todas as perturbações

não medidas: o ruído do processo (perturbações de carga) e o ruído das medidas.

Foram injetados dois pulsos no laço via set-point e os dados foram extraídos do

sistema de informação da planta, que utiliza o software PI-System, da Osi Software. Os

dados do teste podem ser apreciados na Figura 8.5.

180

185

190

195

200

205

210

0 50 100 150 200 250 300 350

Número de instantes de amostragem

Tem

pera

tura

do

vapo

r (º

C)

10

20

30

40

50

Abe

rtur

a de

vál

vula

(%)

372TT3209 SP 372TV3209

Pulso 1 Pulso 2

Figura 8.5 - Testes efetuados no laço 372-TIC-3209

117

8.5 - IDENTIFICAÇÃO DO PROCESSO

Visando obter um modelo que representasse a dinâmica da válvula de controle TV-

3209 para a temperatura do vapor, medida pelo medidor - transmissor TT-3209, os dados

dos testes efetuados no laço de controle (Figura 8.5) foram utilizados para a estimação do

modelo do processo.

O procedimento utilizado para a escolha do modelo mais adequado para o processo

foi baseado na parametrização de modelos de estrutura ( ), ,a bARX n n d com

1 , , 5a bn n d≤ ≤ . A partir disto, tabulou-se os resultados para todas as 125 estruturas e foi

escolhido o modelo que resultou no menor valor para a estatística PRESS. Na Tabela 8.2

encontram-se os 10 melhores modelos segundo este critério.

Tabela 8.2 - Sumário da varredura efetuada com a estrutura ARX (10 melhores)

Na Nb d PRESS 3 2 4 3,8798 4 2 4 3,8935 5 2 4 3,8955 3 3 4 3,9021 2 5 4 3,9129 2 4 4 3,9135 2 3 4 3,9148 3 4 4 3,9161 5 3 4 3,9187 4 3 4 3,9198

(o melhor modelo apresenta o menor o valor do índice PRESS)

A validação do modelo ( )3,2, 4ARX pode ser apreciada através das Figuras 8.6

(simulação noise-free - apenas o sinal de entrada é fornecido ao modelo, que calcula a

saída correspondente) e 8.7 (auto-correlação dos resíduos - para verificar se os

pressupostos da fundamentação matemática da metodologia foram atendidos).

118

-10

-5

0

5

10

15

0 50 100 150 200 250 300 350


Tem

pera

tura

(var

iáve

l des

vio)

y (processo) y (modelo)

Figura 8.6 - Simulação noise-free

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

Atraso

Limites para intervalo de confiança: 95 %

Figura 8.7 - Auto-correlação dos resíduos

119

Através da Figura 8.6, pode ser observado que o modelo ( )3,2, 4ARX obteve um

desempenho muito bom, descrevendo o comportamento dinâmico dos dados; este modelo é

suficientemente preciso para fins de controle e sintonia. Observa-se, por inspeção da

Figura 8.7, que o modelo estimado produz resíduos que podem ser assumidos como tendo

a característica de um ruído branco, o que garante o atendimento dos pressupostos

matemáticos da modelagem do processo.

8.6 - IDENTIFICAÇÃO DO CONTROLADOR

8.6.1 - Avaliação da influência do intervalo de amostragem

Como forma de avaliar a influência do intervalo de amostragem na identificação de

controladores PID, efetuou-se uma simulação de um laço de controle conforme a Figura

8.8.

Gc(z-1) HGp(z

-1)

ysp(k) y(k)

+ -++

u(k)

Gd(z-1)

v(k)

a(k)

ym(k)

e(k)

Gs(z-1)

Figura 8.8 - Laço de controle implementado via simulação

120

PROCESSO

O modelo implementado para o processo apresenta dinâmica de 1a ordem com

tempo morto. Suas equações discretas encontram-se a seguir.

( )

( )

11 1

10 1

0

1

1 1

1,0

exp

1

dp

s

p

b zHG z z

a a z

a

Ta

b K a

τ

−− −

−=+

=

� = − − ��

= +

- tempo morto: 15 s;

- constante de tempo do processo: 60 s;

- ganho estático: 2 %/%.

CONTROLADOR

O controlador implementado foi um PID com algoritmo ideal, cuja equação discreta

foi obtida a partir da transformação "diferença atrasada" aplicada à equação do domínio de

Laplace.

( )1 2

1 0 1 21

0 1

0

1

2

0

1

1

1 2

1,0

1,0

c

s dc

i s

dc

s

dc

s

b b z b zG z

a a z

T Tb K

T T

Tb K

T

Tb K

T

a

a

− −−

−

+ +=+

� = + + �

�

� = − + �

�

=

== −

Os parâmetros do controlador são dados por:

- Kc = 0,44 %/%;

- Ti = 60,00 s/repetição;

- Td = 7,50 s.

121

SENSOR

O modelo implementado para o sensor apresenta dinâmica de primeira ordem sem

tempo morto, representado pela equação discreta:

( )

( )

11 1

10 1

0

1

1 1

1,0

exp

1sensor

s

s

sensor

p

b zG z

a a z

a

Ta

b K a

τ

−−

−=+

=

� = − − �

�

= +

- constante de tempo do sensor: sensorτ ;

- ganho estático: 1,0 º C/º C.

PERTURBAÇÃO

O sinal da perturbação foi obtido através da filtragem de uma seqüência tipo ruído

branco (média zero, variância 0,02).

O filtro utilizado tem a seguinte forma (VAN DEN HOF & SCHARAMA, 1993):

( )1 2 3

11 2 3

1 1,56 1,045 0,33381 2,35 2,09 0,6675

z z zGd z

z z z

− − −−

− − −

− + −=− + −

Os dados utilizados na identificação do controlador consistiram na aplicação de um

pulso no set-point, conforme ilustra a Figura 8.9.

122

Resposta em laço fechado

90

100

110

120

130

140

150

160

500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900


Var

iáve

l con

trol

ada

e se

t-poi

nt

y SP

Figura 8.9 - Pulso aplicado no set-point do laço de controle implementado via simulação

Com os dados da Figura 8.9 foi ajustado um modelo discreto para o controlador,

cujo resultado foi:

� ( )�

�

�

1 21

1

3,7852 7,1111 3,33331,0 1,0

0,44

60,00

7,50

c

c

i

d

z zG z

z

K

T

T

− −−

−

− +=−

=

=

=

Pode-se observar que o resultado é absolutamente concordante com os parâmetros

implementados.

O conjunto de dados ilustrado na Figura 8.9 foi subamostrado com período P=2, de

tal modo que o intervalo de amostragem foi dobrado. Os resultados obtidos foram:

123

� ( )�

�

�

1 21

1

0, 4684 0,4550 0,00051,0 0,9990

0, 46

70,63

0,00

c

c

i

d

z zG z

z

K

T

T

− −−

−

− −=−

=

=

=

Ou seja, o ganho do controlador foi corretamente identificado; a constante de tempo

integral sofreu um desvio significativo e a constante de tempo derivativo sequer foi

percebida.

Portanto, a partir desta situação ideal (uma vez que todos os modelos são

conhecidos - processo, controlador, sensor, perturbação) podemos concluir que, caso os

dados disponíveis não tiverem sido amostrados com freqüência igual ou menor à

freqüência de amostragem do controlador, os parâmetros do PID não poderão ser

identificados corretamente.

8.6.2 - Aplicação industrial

Os testes efetuados no processo, conforme ilustrado pela Figura 8.5, também foram

utilizados para a identificação do modelo do controlador. Os parâmetros de regulação para

os dois pulsos, conforme configuração no SDCD, eram os seguintes:

Tabela 8.3 - Parâmetros de regulação do PID configurados no SDCD

Parâmetros de regulação Pulso 1 Pulso 2

Kc 1,60 1,60

Ti 40,00 60,00

Td 7,00 7,00

124

Os resultados obtidos foram os seguintes:

Pulso 1

Função de transferência do controlador:

�1 2

1

2,005 1,753 0, 4521 0,9994

cz z

Gz

− −

−

− +=−

(algoritmo de controle: série)

Parâmetros de regulação estimados:

�

�

�

1,55

44,14

0, 29

c

i

d

K

T

T

=

=

=

Pulso 2

Função de transferência do controlador:

�1 2

1

1,889 1,674 0,3191 0,9997

cz z

Gz

− −

−

− +=−

(algoritmo de controle: série)

Parâmetros de regulação estimados:

�

�

�

1,57

58,79

0, 20

c

i

d

K

T

T

=

=

=

Dos resultados acima, observa-se que o modelo do controlador foi obtido com

razoável precisão, com exceção da ação derivativa. Os significativos desvios observados

na ação derivativa são decorrentes do intervalo de amostragem utilizado, uma limitação

inerente à fonte de dados utilizada (sistema de informação da planta, software PI-System

da Osi Software).

125

8.7 - AVALIAÇÃO DE PERFORMANCE

O objetivo desta seção é o de demonstrar os benefícios obtidos com a avaliação da

performance de laços de controle. Os resultados da avaliação são baseados todos em dados

históricos da planta (dados de rotina da operação do processo), em que é considerado:

- valor de set-point do controlador constante (a avaliação é efetuada baseada no

controle de rejeição de perturbações);

- ausência de off-set nos dados, ou seja, a média da diferença entre o valor do set-

point e da variável controlada ( ( ) ( )SPmédia y k y k� �−� �) é assumida como sendo zero (é

esperado que a redução da variância incrementará a performance do laço;

- o controlador é do tipo PID.

Além do laço de controle discutido na seção 8.4, foram efetuadas medidas de

performance em outros dois laços de controle:

- 372-PIC-4773: laço de controle de pressão do vapor para coater on-machine da

Máquina de Papel-7 da KPMA;

- 372-PIC-4775: laço de controle de pressão do vapor para coater on-machine da

Máquina de Papel-7 da KPMA.

Os diagramas de processo e instrumentação destes laços, bem como os diagramas

em blocos encontram-se nas figuras a seguir.

126

PIC4773

PT4773

8 barCil. - 61Superior 8 bar

Cil. - 62Inferior

8 barCil. - 63Superior

vapor

Figura 8.10 - Laço de controle de pressão 372-PIC-4773

PIC4773

PV4773

Processo

PT4773

+ySP(k) u(k)

+y(k)

e(k)

-

Figura 8.11 - Diagrama em blocos do laço 372-PIC-4773

127

PIC4775

PT4775

8 barCil. - 64SWING

8 barCil. - 65

vapor

Figura 8.12 - Laço de controle de pressão 372-PIC-4775

PIC4775

PV4775

Processo

PT4775

+ySP(k) u(k)

+y(k)

e(k)

-

Figura 8.13 - Diagrama em blocos do laço 372-PIC-4775

128

A avaliação da performance dos laços 372-TIC-3209, 372-PIC-4773 e 372-PIC-

4775 foi conduzida em duas fases. A primeira fase é constituída das seguintes etapas:

- coleta de dados do processo a partir do histórico do sistema de informação da

planta (software PI-System, da Osi Software);

- pré-processamento e análise dos dados;

- execução dos cálculos de medida de performance.

Na segunda fase (somente 372-TIC-3209), foram executadas as seguintes etapas:

- sintonia do controlador conforme orientação obtida a partir dos cálculos de

medida de performance;

- pré-processamento e análise de novos dados coletados;

- execução dos cálculos de medida de performance;

- avaliação do incremento em performance nos laços de controle.

8.7.1 - Laço 372-TIC-3209

Na Figura 8.14 encontram-se dados de uma janela de 6 horas de operação estável.

129

184

185

186

187

188

189

190

191

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000


Tem

pera

tura

(º C

)

Figura 8.14 - Janela de 6 horas de operação estável (372-TIC-3209)

A partir dos dados de rotina do processo (Figura 8.14), uma série temporal (Auto

Regressiva) foi ajustada aos dados, e a partir desta série foram obtidas a resposta

freqüencial do sistema de controle em laço fechado na situação atual e a resposta

freqüencial com o controlador de variância mínima (benchmark utilizado). O gráfico

freqüencial encontra-se na Figura 8.15.

130

1

10

100

0.00 0.01 0.10 1.00

Frequência (rad/s)

Raz

ão d

e A

mpl

itude

atual antes cvm antes

Figura 8.15 - Respostas freqüenciais em laço fechado com o controlador atual e com o

controlador de variância mínima (372-TIC-3209)

Através do gráfico da Figura 8.15, observa-se que o sistema atual possui uma

capacidade de atenuação de perturbações bastante reduzida na região das baixas e médias

freqüências. Desta forma, conclui-se que há existência de um potencial de melhoria na

performance do laço de controle através de uma nova sintonia do controlador existente. É

necessário insistir que a sintonia do controlador é apenas um dos meios para interferir na

performance do sistema.

Desta forma, o modelo ajustado para o processo (seção 8.5) foi utilizado na

determinação de novos valores para os parâmetros de regulação do controlador. Após a

nova sintonia do controlador, outra janela de 6 horas de operação estável do processo foi

utilizada para uma nova medida de performance do laço de controle. O gráfico,

comparando as respostas freqüenciais antes e depois da sintonia e o controlador de

variância mínima, encontra-se na Figura 8.16.

131

1

10

100

0.00 0.01 0.10 1.00

Frequência (rad/s)

Raz

ão d

e A

mpl

itude

atual depois cvm depois atual antes

Figura 8.16 - Respostas freqüenciais em laço fechado com o controlador atual (antes e

depois do reajuste da sintonia) e com o controlador de variância mínima (372-TIC-3209)

Comparando-se as curvas na Figura 8.16 observa-se que a nova sintonia atenuou

significativamente as perturbações de média e baixa freqüências. A comparação dos dados

de processo nas 6 horas antes da sintonia e nas 6 horas depois, encontra-se na Figura 8.17.

132

184

185

186

187

188

189

190

191

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000


Tem

pera

tura

(º C

)

184

185

186

187

188

189

190

191

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000


Tem

pera

tura

(º C

)

Figura 8.17 - Comparação dos dados antes e depois da sintonia (372-TIC-3209)

133

Além da detecção visual da melhoria da performance do laço de controle, a

quantificação por meio dos cálculos do índice de performance conforme a Equação (6.2),

da variabilidade e variância da variável controlada, forneceram as seguintes medidas de

performance:

Tabela 8.4 - Consolidação das métricas de performance (372-TIC-3209)

Métrica Antes Depois Redução

relativa

Índice de Performance 4,4

(vezes a variância mínima)

3,5

(vezes a variância mínima)

20 %

Variabilidade 1,00 % 0,54 % 46 %

Variância da variável

controlada

0,880 (º C)2 0,257 (º C)2 30 %

8.7.2 - Laço 372-PIC-4773


134

8.40

8.42

8.44

8.46

8.48

8.50

8.52

8.54

8.56

8.58

8.60

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000


Pres

são

(bar

)

Figura 8.18 - Janela de 5 horas de operação estável (372-PIC-4773)

O gráfico com as respostas freqüenciais do sistema de controle em laço fechado na

situação atual e com o controlador de variância mínima (benchmark utilizado), encontra-se

na Figura 8.19.

135

1

10

100

1000

0.001 0.010 0.100 1.000

Frequência (rad/s)

Raz

ão d

e A

mpl

itude

atual cvm


controlador de variância mínima (372-PIC-4773)

Através do gráfico da Figura 8.19, observa-se que o sistema atual possui uma

capacidade de atenuação de perturbações bastante reduzida na região das baixas e médias

freqüências. Desta forma, conclui-se que existe um potencial de melhoria na performance

do laço de controle através de uma nova sintonia do controlador existente.

A sugestão de alteração na sintonia do controlador, se fundamentaria basicamente

no incremento no ganho estático do controlador (Kc). Indicativos de como alterar os

parâmetros do controlador baseado no gráfico da resposta freqüencial em laço fechado,

serão fornecidos no estudo apresentado na seção 8.7.4.

136

8.7.3 - Laço 372-PIC-4775


8.12

8.14

8.16

8.18

8.20

8.22

8.24

8.26

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000


Pres

são

(bar

)

Figura 8.20 - Janela de 3 horas de operação estável (372-PIC-4775)

O gráfico com as respostas freqüenciais do sistema de controle em laço fechado na

situação atual e com o controlador de variância mínima (benchmark utilizado), encontra-se

na Figura 8.21.

137

1

10

100

1000

0.001 0.010 0.100 1.000

Frequência (rad/s)

Raz

ão d

e A

mpl

itude

atual cvm


controlador de variância mínima (372-PIC-4775)

Através do gráfico da Figura 8.21, observa-se que o controlador com a atual

sintonia possui desempenho próximo ao que seria esperado com o uso do controlador de

variância mínima. Neste caso, não há sugestão para alteração na sintonia do controlador.

8.7.4 - Avaliação da influência dos parâmetros do PID no gráfico da resposta

freqüencial em laço fechado

Neste estudo, simulações envolvendo o laço de controle ilustrado na Figura 8.8 e

cujos parâmetros são apresentados na seção 8.6.1 foram utilizadas para avaliar como a

alteração dos parâmetros Kc, Ti e Td afetam o comportamento qualitativo das curvas dos

gráficos de resposta freqüencial em laço fechado.

138

O procedimento adotado constituiu-se da sintonia do PID conforme a regra de

sintonia lambda para processos de primeira ordem com tempo morto (RIVERA et al.,

1986). Esta foi considerada a sintonia de referência. A partir dela, alterações individuais

nos parâmetros Kc, Ti e Td foram efetuadas e avaliado o comportamento das curvas obtidas

nos gráficos freqüenciais. Os parâmetros das sintonias padrão e as variantes estão

sumarizadas na Tabela 8.5.

Tabela 8.5 - Consolidação das métricas de performance (372-TIC-3209)

Sintonia Kc Ti Td Comentários referência 0.44 60.00 7.50 lambda = cte. tempo do processo

A 0.22 60.00 7.50 Kc-50% B 0.67 60.00 7.50 Kc+50% C 0.89 60.00 7.50 Kc+100% D 0.44 30.00 7.50 Ti-50% E 0.44 90.00 7.50 Ti+50% F 0.44 120.00 7.50 Ti+100% G 0.44 30.00 3.75 Td-50% H 0.44 30.00 11.25 Td+50% I 0.44 30.00 15.00 Td+100%

Os gráficos das respostas freqüenciais em laço fechado referentes às sintonias A até

I, encontram-se nas Figuras 8.22, 8.23 e 8.24.

139

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.001 0.010 0.100 1.000

Freqüência Angular (rad/s)

Raz

ão d

e A

mpl

itude

CVM Kc-50% Kc+50% Kc+100%

Figura 8.22 - Comparação entre as sintonias A,B e C

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.001 0.010 0.100 1.000


Raz

ão d

e A

mpl

itude

CVM Ti-50% Ti+50% Ti+100%

Figura 8.23 - Comparação entre as sintonias D, E e F

140

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.001 0.010 0.100 1.000


Raz

ão d

e A

mpl

itude

CVM Td-50% Td+50% Td+100%

Figura 8.24 - Comparação entre as sintonias G, H e I

Por inspeção das figuras apresentadas anteriormente, podemos sumarizar as

conclusões para este caso da seguinte forma:

- o ganho estático do controlador (Kc) atua mais significativamente na região de

baixas e médias freqüências. Aumentando o valor de Kc, faz com que haja um abaixamento

da curva do sistema atual;

- a constante de tempo integral (Ti) atua mais significativamente na região de

médias freqüências, particularmente próximo à região da "queda" da curva na resposta

freqüencial. A medida que a constante é aumentada, a curva na região de médias

freqüências também é movimentada para baixo;

- similarmente ao que acontece com a constante de tempo integral, a constante de

tempo derivativo (Td) atua mais significativamente na região de médias freqüências,

particularmente próximo à região da "queda" da curva na resposta freqüencial, porém com

modificações mais sutis. A medida que a constante é aumentada, a curva na região de

médias freqüências também é movimentada para baixo.

A partir destas análises individuais, é possível concluir quais as principais

contribuições que os parâmetros do PID dão às curvas de resposta freqüencial em laço

141

fechado, e servem de base para indicativos de como a sintonia de um controlador atual

pode ser modificada visando o aumento de performance do laço de controle.

8.8 - REFERÊNCIAS

HARRIS, T. J., 1989, "Assessment of Control Loop Performance", The Canadian

Journal of Chemical Engineering, n. 67, v. 5, pp. 856-861;

LJUNG, L., 1999, System Identification - Theory for the User, 2nd ed., Prentice Hall,

Upper Saddle River, USA;

MYERS, R. H. (1990), Classical and Modern Regression with applications, PWS-

KENT, Boston;

RIVERA, D. E., MORARI, M., SKOGESTAD, S., 1986, "Internal Model Control. 4. PID

Controller Design", Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev., v. 25, n. 1, pp. 252-265;

VAN DEN HOF, P. M. J., SCHARAMA, R. J. P., 1993, "An indirect method for transfer

function estimation from closed loop data", Automatica, v. 29, n. 6, pp. 1523-

1527;

WANG, L., CLUETT, W. R., 1999, From Plant Data to Process Control - Ideas for

process identification and PID design, Taylor & Francis, New York, USA.

142

CAPÍTULO 9 - SUMÁRIO

9.1 - DISCUSSÃO E CONCLUSÕES

Desde o surgimento do Monitoramento e Avaliação da Performance de

Controladores, uma área de pesquisa emergente do início da década de 90, a qual provê

meios de se diagnosticar a performance de laços de controle, o controlador de variância

mínima tem ocupado indubitavelmente a posição de benchmark preferido na avaliação de

laços de controle.

Dada sua simplicidade conceptual e computacional, a utilização do controlador de

variância mínima como referência para o cálculo de índices de performance é praticamente

unânime. Sua utilização em índices de performance é bastante favorecida pela quantidade

de informação requerida:

- dados de rotina de operação do processo (laço fechado);

- conhecimento (ou estimativa) do tempo morto do processo.

Entretanto, a aparente sedução provocada pela quantidade de informações

requerida começa a esbarrar na dificuldade em se obter essas informações - mais

especificamente o tempo morto do processo.

Em várias situações práticas industriais o tempo morto é um parâmetro

desconhecido e ou variável e sua determinação é um tanto problemática em virtude dos

métodos mais conhecidos para determinação do tempo morto exigirem algum tipo de teste

na planta. Esses testes muitas vezes são evitados em favor da manutenção da estabilidade

do processo (ou parte dele).

Por outro lado, a avaliação de performance de laços que freqüentemente sofrem

alterações de set-point (como é o caso dos laços internos em arranjos mestre-escravo)

dificilmente fornecerá informações úteis em relação à situação da performance do laço

interno, pois a utilização do controlador de variância mínima como benchmark

freqüentemente está associada à medição da performance estocástica (problema

regulatório).

A avaliação de performance de laços de controle no contexto de uma unidade

industrial, é uma ferramenta que se pretende seja utilizada em uma grande quantidade de

laços e que muitas vezes pode chegar à várias dezenas. Para que esta tarefa possa ser

143

cumprida, é conveniente que se disponha de sistemas de gerenciamento de dados de

operação e processo da planta.

Estes sistemas (chamados simplesmente de Sistema de Informação da Planta, SIP)

freqüentemente possuem suas bases de dados associadas a bases de dados de sistemas de

gestão empresarial (Enterprise Resource Planning, ERP) e, cumprem em primeiro lugar, a

função de uma ferramenta de processo mais gerencial do que técnica. Isto porque os

computadores de processo (SDCD's) que alimentam o SIP não possuem prioridade para

alimentá-los com taxa de amostragem constante. Além do que, algoritmos de exceção e

compressão de dados são utilizados no SIP para que haja redução de espaço de

armazenamento requerido em seus computadores servidores.

Ainda que os algoritmos implementados no SIP visando economia de espaço digital

sejam destrutivos (os dados verdadeiros apenas podem ser aproximados mas não

exatamente reconstruídos) estes sistemas podem ainda assim ser utilizados como fonte de

dados para estudos envolvendo identificação de processos e avaliação de performance de

laços de controle, desde que sejam tomadas algumas ações: (i) eliminação de testes de

exceção nos dados que alimentam o SIP; (ii) eliminação de testes de compressão dos dados

que alimentam o SIP; (iii) redução máxima do intervalo de amostragem utilizado no SIP

para aquisição de dados de processo.

Em todas as aplicações em situações industriais apresentadas neste trabalho foi

utilizado o software Plant Information (PI) da Osi Software para aquisição de dados de

processo.

O modelo de um processo operando em laço fechado foi identificado pelo método

direto, validado e utilizado na alteração dos parâmetros de sintonia de um PID visando o

aumento de performance do laço de controle.

Os resultados mostraram que, com base nos casos aqui documentados, foi possível

a utilização do SIP para a detecção de potenciais de melhoria na performance de laços de

controle através de nova sintonia de controladores PID, bem como a quantificação da

melhoria relativa proveniente das alterações efetuadas.

Através de um estudo de caso via simulação, ficou comprovado que, caso os dados

não sejam amostrados com a mesma freqüência de amostragem que o controlador do laço

opera, os parâmetros do controlador PID não serão corretamente identificados, embora se

consiga aproximações bastante razoáveis. Esta situação foi demonstrada também com caso

típico numa situação industrial.

144

A ferramenta computacional desenvolvida mostrou-se eficaz e eficiente ao ser

utilizada em conjuntos de dados proveniente de um equipamento de laboratório e de uma

máquina de papel no caso de situações industriais.

9.2 - PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES

- Apresentação e sistematização das principais técnicas de avaliação de

performance de laços de controle por meio da utilização de índices de performance

(processos SISO/MIMO);

- Estudo dos principais métodos de identificação de processos em laço fechado e

estudo do caso da identificação de processos em laços de controle no arranjo mestre-

escravo (cascata);

- Realização de aplicações em situações industriais de técnicas abordando:

• identificação de processos pelo método direto;

• identificação dos parâmetros de um controlador PID;

• avaliação de performance de laços de controle.

9.3 - SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

A área de Monitoramento e Avaliação da Performance de Controladores, dada sua

recente exploração científica, é uma área de pesquisa bastante promissora, e oferece vários

segmentos que podem e devem ser estudados visando o estabelecimento cada vez maior de

bases bem consolidadas. Várias são as possibilidades, e dentre essas, podemos citar:

• estudo da incerteza no conhecimento do tempo morto do processo na utilização

de índices de performance que utilizam o controlador de variância mínima

como benchmark;

• estudo da qualidade de informação de um índice de performance quando da

ocorrência de tempo morto variável;

• estudo de outros fatores limitantes para a performance de laços de controle,

especialmente os elementos primário e final de controle;

145

• na avaliação de performance empregando-se o controlador de variância mínima

como benchmark, é preciso tomar decisões, dentre elas a escolha do modelo de

série temporal (ARMA por exemplo). O estudo da influência da ordem do

modelo da série temporal, e o estudo das condições (sinal oscilatório, por

exemplo) que favorecem uma ou outra estrutura (AR ou ARMA, por exemplo)

constituem importantes tópicos para pesquisas futuras;