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Mestrado em Planeamento e Operação de Transportes
1º Semestre 2013/14
Regiões e Redes
Artigo: A hierarchical location model for public facility planning
João C. Teixeira, António P. Antunes
Docentes
Prof. Luís Martinez
Prof. João Abreu e SIlva
Alunos
Duarte Amorim da Cunha – nº 50982
João Vieira – nº 47104
Luís Neto – nº 74776
Rui Couchinho – nº 76756
MPOT – RR– 1º Sem. 2013/14
A hierarchical location model for public facility planning
João C. Teixeira, António P. Antunes
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IntroduçãoModelos de Localização para Planeamento de Equipamentos Públicos
Processos de Planeamento Complexos devido aos
mecanismos de participação envolvidos
Stakeholders com pontos de interesse distintos
concordância depende da
transparência e da racionalidade do processo de planeamento
Numero de soluções possíveis de planeamento é elevado - Indispensável o uso de Modelos de Otimização com recurso a ferramentas de Tomada de Decisão
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A hierarchical location model for public facility planning
João C. Teixeira, António P. Antunes
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Localizados em qualquer lugar do Plano
Modelos Classificados
Contínuos
DiscretosLocalizados em determinado ponto do Plano especificado antecipadamente
Objetivo do Modelo
Determinar Localizações mais eficientes para o tipo de equipamentos
De acordo com:
* Minimização de Custos* Maximização de Acessibilidade* Outros
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A hierarchical location model for public facility planning
João C. Teixeira, António P. Antunes
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Modelo desenvolvido para a Carta Educacional do Município de Coimbra – 2006 / 2015
Auxilio na tomada de decisão do redesenho da rede de escolas primárias do município.
Stakeholders envolvidos na decisão: Representantes da administração local;
Ministério da Educação; Proprietários de Escolas Privadas; Administração das EscolasPúblicas; Sindicato dos Professores; Associações de Pais dos Estudantes.
PROBLEMADiversos Níveis de ProcuraDistintos Tipos de Equipamentos
Utilização do Modelo Adaptado de p-MedianAplicado para problemas de localização de Equipamentoscomo objetivo de maximizar a acessibilidade aos utilizadoresdos referidos equipamentos.
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A hierarchical location model for public facility planning
João C. Teixeira, António P. Antunes
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P-Median Model
𝑖∈𝐼
𝑗∈𝐽
𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗
Demand CentersI = {1,…,n}
SitesJ = {1,…,m}
cij - custo de viagem cij= dij ui
dij - distância entre i e j / ui - Procura de i
Variáveis de decisão:xij - fracção da procura do centro i servida pelo site jyi - Variável binária de atribuição do equipamento
Minimizar
Sujeito a: (1) 𝑗∈𝐽 𝑥𝑖𝑗 = 1, ∀𝑖 ∈ 𝐼
(2) 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑦𝑖 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽
(3) 𝑗∈𝐽 𝑦𝑗 = 𝑝
(4) 0 ≤ 𝑥𝑖𝑗≤ 1,∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽
(5) 𝑦𝑗 ∈ 0,1 , 𝑗 ∈ 𝐽
Garantir satisfação da Procura
Atribuição a site com equipamento
Limitar a p equipamentos
Limitar fracção da procura
Variável binária de atribuição de equipamento a j
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A hierarchical location model for public facility planning
João C. Teixeira, António P. Antunes
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Capacitated Median Model
𝑖∈𝐼
𝑗∈𝐽
𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗Minimizar
Sujeito a:
(1) 𝑗∈𝐽 𝑥𝑖𝑗 = 1, ∀𝑖 ∈ 𝐼
(2) 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑦𝑖 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽
(6) 𝑖∈𝐼 𝑢𝑖 𝑥𝑖𝑗 ≥ 𝑏𝑗𝑦𝑗 , ∀𝑗 ∈ 𝐽
(5) 𝑦𝑗 ∈ 0,1 ,∀𝑗 ∈ 𝐽
(7) 𝑖∈𝐼 𝑢𝑖 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝐵𝑗𝑦𝑗 , ∀𝑗 ∈ 𝐽
(8) 𝑥𝑖𝑗 ∈ 0,1 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽
(9) 𝑘∈𝑃𝑖𝑗 𝑥𝑘𝑗 ≥ 𝑃𝑖𝑗 ∙ 𝑥𝑖𝑗 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽
(10) 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑘∈𝐴𝑖𝑗 𝑥𝑘𝑗 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽
Garantir satisfação da Procura
Atribuição a site com equipamento
Restrições de capacidade do equipamento:B – capacidade máxima / b – capacidade mínima
Atribuição “Tudo ou nada”
Variável binária de atribuição de equipamento a j
Pij é o subset de centros k que estão “perto” do caminho mais curto entre i e j
Aij é o subset de centros k que estão no caminho mais curto entre i e j
Demand CentersI = {1,…,n}
SitesJ = {1,…,m}
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Rede e Procura Modelo P-Median Modelo CM sem restrições
Modelo CM restrição de atribuição única e de caminho
Modelo CM restrição de atribuição única
Modelo CM restrição de atribuição única e mais próximo
100% 138% 146%
91%83%
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Hierarchical Capacitated Median Model
𝑖∈𝐼
𝑗∈𝐽
𝑠∈𝑆
𝑑𝑖𝑗𝑢𝑖𝑠𝑥𝑖𝑗𝑠Demand Centers
I = {1,…,n}
SitesJ = {1,…,m}Minimizar
S. a: (1) 𝑗∈𝐽 𝑥𝑖𝑗𝑠 = 1,∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑠 ∈ 𝑆
(2) 𝑥𝑖𝑗𝑠 ≤ 𝑡∈𝑆|𝑡≥𝑠 𝑦𝑗𝑡 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆
HierarquiaS = {1,…,v}
(3) 𝑡∈𝑆|𝑡≥𝑠 𝑧𝑗𝑠𝑡 = 𝑖∈𝐼 𝑢𝑖𝑠𝑥𝑖𝑗𝑠 , ∀𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆
(4) 𝑠∈𝑆|𝑠≤𝑡 𝑧𝑗𝑠𝑡 ≥ 𝑏𝑗𝑡𝑦𝑗𝑡, ∀𝑗 ∈ 𝐽, 𝑡 ∈ 𝑆
(5) 𝑠∈𝑆|𝑠≤𝑡 𝑧𝑗𝑠𝑡 ≤ 𝐵𝑗𝑡𝑦𝑗𝑡, ∀𝑗 ∈ 𝐽, 𝑡 ∈ 𝑆
(6) 𝑘∈𝐽|𝑑𝑖𝑘≤𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑘𝑠 ≥ 𝑦𝑗𝑡 , ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽,
𝑠 ∈ 𝑆, ∀𝑡 ∈ 𝑆|𝑡 ≥ 𝑠
(7) 𝑗∈𝐽\𝐽0𝑦𝑗𝑠 ≥ 𝐽𝑠0 − 𝑞𝑠, ∀𝑠 ∈ 𝑆
(8) 𝑗∈𝐽\𝐽0𝑦𝑗𝑠 ≤ 𝑝𝑠, ∀𝑠 ∈ 𝑆
(9) 𝑥𝑖𝑗𝑠 = 0,∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆|𝑑𝑖𝑗 > 𝐷𝑠
(10) 𝑥𝑖𝑗𝑠 ∈ 0,1 ,𝑦𝑗𝑠 ∈ 0,1 , 𝑧𝑗𝑠𝑡 ≥ 0,
∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑡 ∈ 𝑆
(11) 𝑘∈𝑃𝑖𝑗𝑥𝑘𝑗𝑠 ≥ 𝑃𝑖𝑗 ∙ 𝑥𝑖𝑗𝑠 , ∀𝑖 ∈ 𝐼,
𝑗 ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝑆
𝑖∈𝐼
𝑗∈𝐽
𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗
dij - distância entre i e juis - Procura de i de nível sJo – Conjunto inicial de equipamentosq/p – nº máx de equipamentos a fechar/abrirZjst – Cap ocup s equip nível t em j Variáveis de decisão:xijs - fracção da procura do centro i servida pelo site j de hierarquia syis - Variável binária de atribuição do equipamento no site j de nível s
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Case Study (I)Reorganização da rede de ensino primário de Coimbra (objetivos):
Ajustar a capacidade à procura; A acessibilidade dos estudantes à escola deverá ser maximizada; As alterações deverão ser pequenas, por orçamentos diminutos e evitar reacções
públicas contra.
Cenário 1
Cenário 2
Cenário 3
Ocupação mínima de escolas de EB1 e EB12, 40 a120 estudantes
Ocupação mínima de escolas de EB1, 80 estudantese 75% (120 estudantes) para escolas EB12
Igual ao Cenário 2, permitindo uma nova EB12, c/capacidade entre 360 e 600 estudantes(Os cenários 2 e 3 tinham como objectivo encontrar a melhormaneira de ajustar a capacidade existente para a previsão deprocura, mantendo a boa ocupação)
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Case Study (II)O cálculo dos dados para estes constrangimentos foi feito em dois passos :1. Foram criados Buffers em torno de cada centro com um raio de metade da distância
ao vizinho mais próximo, truncado para um máximo de 1 km, medidos ao longo darede rodoviária;
2. Todos os centros, cuja reserva é cortada pelo caminho mais curto (na rederodoviária) de i para j foram adicionados para definir Pij. O que significa que se ocentro de 38 é atribuído à escola 8, então o centro 36 deve ser atribuído à mesmaescola.
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Case Study (III)
Cenário 3
Cenário 2Cenário 1
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Conclusões
As principais caraterísticas do modelo são:
Objetivo da maximização da acessibilidade;
Vários níveis de procura;
Vários tipos (ou níveis) de equipamentos;
Uma hierarquia de equipamentos (um equipamento de um determinado nível
pode servir a procura de níveis iguais e inferiores);
Constrangimentos de capacidade máxima e mínima (ou ocupação);
Restrições de atribuição de utilizador para equipamento.
Permite encontrar soluções fáceis de interpretar e com maior aceitabilidade pública
OBRIGADO!