Geometría

Página 371

SEMANA 5

CIRCUNFERENCIA I

1. En la figura, calcule m AB ; si

m CDE º 145 .

D

B

A

E

o

C

A) 70º B) 145º C) 72,5

D) 140º E) 90º

RESOLUCIÓN

Como CDE º 145

m CME 290º ....( inscrito)

m CDE º 70

m COE º 70 ......( central)

mAB º 140 .......( inscrito)

RPTA.: D

2. Del gráfico, Calcule x.

A) 25º B) 20º C) 30º D) 40º E) 15º

RESOLUCIÓN

Como: m BCA x

mAB x 2

Por ángulo interior CD 180º 2x

Por teorema de los recuadros:

180º 2x 2x40º

2

x=25º RPTA.: A

3. Según el gráfico, mBM mBN .

Calcule :

A) 120º

B) 150º

C) 90º

D) 130º

E) 180º

40º

x

N

B

CA

M

D

B

A

E

o145º70º

C

M

40º

x

C

B

D

2x

180-2x

A

Geometría

Página 372

RESOLUCIÓN

Sea mMB mBN a

mMA b, mAC c, mCN d

Del gráfico

2 a d...(I) .....( interior)

Por interior

b c a

2

b c a...(II) 2

Sumando (I) y (II):

a d b c a 2 2

º 2 2 360

º 180

RPTA.: E

4. Según el gráfico, calcule la diferencia entre las medidas del

mayor y menor AB.

A) 90º B) 45º C) 180º D) 270º E) 135º

RESOLUCIÓN

Por prop. del ex inscrito: m ACB º 45

mABmenor =90º

mABmayor =360º-90º=270º

mAB mayor - mAB menor =180º

RPTA.: C

5. Según el gráfico, calcular x, si

ABCD es un paralelogramo.

A) 120º B) 60º C) 70º

D) 90º E) 80º

RESOLUCIÓN

B

A

A

B C

x

D

x

x

x

x

x

DA

B

E

C

2x

x

N

B

CA

M

aa

c

bd

B

A

C

90º

45º

Geometría

Página 373

En el gráfico:

BCE x BAE x 2 como ABCD

es un paralelogramo m c x

Luego: BDC es equilátero.

x = 60º

RPTA.: B

6. En un trapecio ABCD

BC // AD inscrito en una

circunferencia , su altura mide H. Calcule la longitud de la base

media del trapecio, si:

mBC mAD º 180 .

A) H

3 B)

H3

2 C) H

D) H2

3 E)

H

2

RESOLUCIÓN

Como BC // AD

Trapecio ABCD (Isósceles)

* Por dato BC AD º 180

AB CD =180º

AB CD º 90

m CAD m BDA º 45

* Del gráfico, la base media es:

a H H a

H

2

RPTA.: D

7. Según el gráfico, A, B y T son puntos de tangencia. Calcule “x”.

A) 60º B) 30º C) 45º

D) 37º E) 53º

RESOLUCIÓN

En el MNP: º...(I) 60

En el ATB , por propiedad

m T º 90

x 90º...(II)

Reemplazando (I) en (II) x = 30

RPTA.: B

120º

T

x

A B

P

T

x

A B

C

º2º2º

º

N

M

120º

C

D

H-aB

90º 90º

A45º

HH

a

H

a45º

Geometría

Página 374

8. En el gráfico, calcule x, si

AE=2(BC) y mCD 20º

A) 130º

B) 120º

C) 110º

D) 150º

E) 160º

RESOLUCIÓN

Dato:

Sea BC a ; AE = 2a

AO OE a

En la semi circunferencia: el

ABE es rectángulo BO a

mCDE 180º

Como: mCD 20º DE 160º

Luego:

BC BO OE a entonces los

arcos son iguales.

BC BO OE CDE º 360

180

BC BO OE º 60

BCD BC CD 60º 20º 80º

m BED º 40

x = 130º RPTA.: A

9. En el gráfico:

AT 7mTB mCD, m

BC 1 y T es

punto de tangencia “m”. Calcule

m TEO .

A) 60º B) 30º C) 50º

D) 80º E) 40º

RESOLUCIÓN

Como:

mAT 7mAT 7k; mBC k

1mBC

OHE: m EOH = 60º....(1)

En el gráfico: k CD º 60

k TB º 7 120 ..(2)

(2)(1) k TB CD º 6 60

6k + 0 = 60º

k º 10

TB CD º 50

m TOE º 50

x = 40º......( OTE) RPTA.: E

xDC

EoA

B

oA

T

E

D

C

B

30º

x

C

D

B

AEa o

40ºa

a

a

oA

T

E

D

CB

30º

60º

120º

7k

x

k

50º

50º

H

Geometría

Página 375

10. Según el gráfico; calcule mBT , si

ABCD es un paralelogramo (D es punto de tangencia).

A) 60º

B) 70º

C) 140º

D) 120º

E) 35º

RESOLUCIÓN

mAB mTD ........ Propiedad

m ADT = 70º En el paralelogramo ABCD:

m BAD + m ADC = 180º

mTDC = 40º

Luego:

m TD = 80º

Pero:

mBDT = 140º ...(ángulo inscrito)

mBT = 140º 80º = 60º

RPTA.: A

11. Del gráfico, Calcule la m BAP,

Siendo T y P son puntos de

tangencia, TB = 4 y r = 5

A) 37º B) 53º C) 30º D) 60º E) 45º

RESOLUCIÓN

Como P y T son puntos de

tangencia, entonces:OP PA y

OT TA, además:

OT OP r 5(dato)

En el PHO (notable);

m OPH 53º

m BPA 37º

x = 53º .....( PBA)

RPTA.: B

D

B

A70º

T C

r

TB

A

P

D

B

A70º

T C

70º

40º

70º

TB

A

P

5

o

5

x4

5 3

H

Geometría

Página 376

12. Calcule x, si AB=BC =DE=FE y

mABC º 120 .

A) 60º B) 70º C) 40º D) 30º E) 50º

RESOLUCIÓN

Como:

ABC º BOC BOA º 120 60

Los triángulos BOC y AOB son

equiláteros luego, ODEF es un rombo, donde

m DEF m DOF x DF x

120º xx

2

...........( exterior)

3x = 120º

x= 40º RPTA.: C

13. Del gráfico, P y T son puntos de tangencia, además R=3r. Calcule

mPT .

A) 60º B) 105º C) 100º

D) 120º E) 90º

RESOLUCIÓN

Del gráfico, como TA = R = 3r

AO = 2r

Luego, m TOP º 120

mTP 120 º

RPTA.: D

14. Según el gráfico, calcule

mTC mBC, si AB BC

A) 120º B) 150º C) 180º D) 100º E) 90º

T

P

Rr

C

T

B

A

A

C

B

F

D

Eo x

T

P A

2rr

r

30º

o

A

C

B

F

D

E

120º

x x x60º

60º

o

Geometría

Página 377

RESOLUCIÓN

En la semi circunferencia el m TBC es recto

El ATC es isósceles.

AT TC =2x

luego, en el gráfico

TC BC 2 2 2 =180º

90º =180º

RPTA.: C

15. En la figura, mST mQT. 2 Calcule

PS, si T,Q y S son puntos de tangencia.

A) 5

B) 3

C) 2,5

D) 4

E) 6

RESOLUCIÓN

Sea mQT a

por dato mST a 2

luego, O1 TO2(notable)

1 2m TO O =53º

a = 53º

PS = 4 RPTA.: D

16. Según el gráfico; AB = 1, BC = CD = 2, además B, C y T

son puntos de tangencia. Calcule “x”.

A) 30º B) 37º C) 53º

D) 60º E) º53

2

RESOLUCIÓN

Sea m ATC mTC 2

AB

C

D

x

T

S

T

3

Q 2

P

C

T

B

A

2

2

AB

C

D

x

T

4

3

x2

1

2

2

S

a

3 Q

P

2a

2O2

3

353º 53º

T4

O1

Geometría

Página 378

Como T y C son puntos de tangencia

AT AC 3 m ACT

también B y T son puntos de

tangencia BD =TD=4

Entonces ATD(notable)

m ADT 37º ; + x = 90º ...(I)

2 2x

37º2

.........( exterior)

x º...(II) 37

De (I) (II): 2x=53º

53º

x2

RPTA.: E

17. Si “O” es el centro del cuadrado ABCD y PA =AD=8. Calcule AM.

A) 6 B) 4

3 C) 3

D) 8

3 E)

2

3

RESOLUCIÓN

Como ABCD es cuadrado

el lado del cuadrado =8

AH=HD=4

Como “O” es centro OH=4

Luego: m OPH = 37º

2

PA 3x

8 = 3x

x 8

3

RPTA.: D

18. En la figura, calcule ; si T, Q y P

son puntos de tangencia y CB=2(BT)=4(AQ).

A) 53º B)º53

2 C) 37º

D) º37

2 E) 45º

RESOLUCIÓN

Sea AQ=a BT=2a y BC=4a

Luego ABC (notable)

m BAQ º 127

mQP º 53

53º

2 ..........( inscrito)

RPTA.: B

T

B

C

A

P

Q

D

BC

P A

MO

D

BC

P A

M

o

4x

8 4 H 4

T

B

C

A

P

Q

37º

a

2a

2a

a

4a

Geometría

Página 379

19. Se tiene el triángulo ABC inscrito

en una circunferencia, en el arco

BC se ubica el punto P, tal que

AP BC , luego se traza PH

perpendicular a AC en H. Calcule

la m EHP si la m ABC º 70 y

AP BC = E .

A) 53º B) 35º C) 10º

D) 20º E) 30º

RESOLUCIÓN

* En AHB: m HAB º 20

* Se traza AQ que pasa por D.

* Por proa. AEDH es inscriptible

m DHE m EAD x

* Por proa.m EPD m HCD

mAB 2 m BPA

Luego BPD(isósceles)

BE ED ABD (isósceles)

x=20º RPTA.: D

20. En la figura mED a y

mBCD b . Calcule “x”.

A) a b

2 B)

b a

2

C) b a D) a b2

2

E) b a2

2

RESOLUCIÓN

* Sea: FE c

a cm FAD

2

.......( inscrito)

* En la menor: mFG a c luego

por pro. ex -inscrito: a c

2

A

B

F

E

D

Cx

CH

Q

x

P

A

70º

x

D

ºº

E

B

2

20º

A

B

F

E

D

C

G

a c

2

bx

c a

Geometría

Página 380

* En la mayor: T. cuerdas

c mBC

2

.............( interior)

a c c BC

BC a2 2

mCD b a

b a

x

2

RPTA.: B