5 teoría relatividad

______________________________________________________________________ Cátedra de Física III Facultad de Ingeniería U.N.A. Prof. Ing. Ricardo Giménez Tarrés

TEORÍA DE LA RELATIVIDAD Fuente: Sears Zemansky Contenido: 1. Sistemas de referencia 2. Invariabilidad de las leyes físicas (postulados de Einstein) 3. Relatividad de la simultaneidad 4. Relatividad de los intervalos de tiempo 5. Tiempo propio 6. La paradoja de los gemelos 7. Relatividad de la longitud 8. Transformaciones de coordenadas de Lorentz 9. Transformaciones de velocidades de Lorentz 10. Efecto Doppler en ondas electromagnéticas 11. Cantidad de movimiento relativista 12. Trabajo y energía relativista 13. Mecánica ondulatoria y relatividad


Sistemas de referencia Un sistema de referencia inercial es aquel en el que las leyes del movimiento cumplen las leyes de Newton. Características de un sistema de referencia inercial - El punto de referencia es arbitrario, dado un sistema de referencia

inercial, cualquier otro sistema desplazado respecto al primero a una distancia fija sigue siendo inercial

- La orientación de los ejes es arbitraria, dado un sistema de referencia

inercial, cualquier otro sistema de referencia con otra orientación distinta del primero, sigue siendo inercial.

- Desplazamiento a velocidad lineal constante, dado un sistema de

referencia inercial, cualquier otro que se desplace con velocidad lineal y constante, sigue siendo inercial

Características de un sistema de referencia no inercial - Dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro que se mueva

con aceleración lineal respecto al primero es no inercial - Dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro cuyos ejes roten,

con velocidad de rotación constante o variable, respecto a los del primero, no es inercial.

Invariabilidad de las leyes físicas Los postulados de la “teoría especial de la relatividad” de Einstein describe lo que ve un observador que se halla en un marco inercial de referencia: Primer Postulado de Einstein “Principio de relatividad”: las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales de referencia. Si las leyes fuesen diferentes, esa diferencia permitiría distinguir un marco inercial de los otros, o haría que un marco fuese más correcto que otro.


Segundo postulado de Einstein La rapidez de la luz en un vacío es la misma en todos los marcos inerciales de referencia y es independiente del movimiento de la fuente. Supóngase que dos observadores miden la rapidez de la luz en el vacío. Uno de ellos está en reposo respecto de la fuente de luz y el otro se aleja de ella. Ambos están en marcos inerciales de referencia. Los dos observadores deben obtener el mismo resultado aún cuando uno de ellos se desplaza respecto al otro. Ejemplos: Una nave espacial (S’) se desplaza con una rapidez de 1.000 m/s respecto a un observador situado en la tierra (S). Se dispara un misil con una rapidez de 2.000 m/s respecto a la nave espacial. De acuerdo a la mecánica newtoniana, el misil de desplaza con una rapidez de 3.000 m/s respecto al observador que está en la Tierra, lo cual es correcto

La nave espacial (S’) que se desplaza con una rapidez de 1.000 m/s respecto al observador situado en la tierra (S), emite un haz luminoso que viaja a la velocidad de la luz (c). De acuerdo a la mecánica newtoniana, el haz luminoso se desplaza con mayor rapidez que “c” respecto a la Tierra. Esto es incorrecto porque contradice el segundo postulado de Einstein.


Efectos El segundo postulado de Einstein implica el siguiente resultado: “es imposible que un observador inercial viaje a la velocidad de la luz en el vacío”. Supóngase que la nave espacial (S’) se desplaza con la velocidad de la luz (c) respecto a un observador que se encuentra en la Tierra. Si la nave espacial enciende un faro, el segundo postulado afirma que el observador terrestre (S) encuentra que el haz del faro también se desplaza a “c”. Las mediciones de este observador le indican que el haz del faro y la nave espacial se desplazan juntos y siempre están en el mismo punto del espacio. Pero el segundo postulado también afirma que el haz del faro se desplaza con una rapidez “c” respecto a la nave espacial, de modo que no pueden hallarse en el mismo punto del espacio. Este resultado contradictorio solo se evita si es imposible que un observador inercial, como el pasajero de la nave espacial, se desplace a “c”. En la figura, un marco de referencia inercial (S’) se desplaza respecto al marco (S) con una velocidad constante (u) a lo largo del eje común (x-x’). Los orígenes (O) y (O’) coinciden en el tiempo (t = t’ = 0)


La posición de una partícula (P) se puede describir mediante las coordenadas (x , y , z) en el marco de referencia (S) o mediante (x’ , y’ , z’) en el marco (S’). La relación entre ellas es la “transformación galileana de coordenadas”: x = x’ + u t y = y’ z = z’ Si la partícula (P) se desplaza en la dirección (x), su velocidad instantánea (vx) medida por un observador inmóvil en (S) es: vx = dx / dt De igual modo, su velocidad (v’x) medida por un observador inmóvil en (S’) es: v’x = dx’ / dt Derivando la transformación galileana de coordenadas resulta la “transformación galileana de velocidades” correspondiente a un movimiento unidimensional: dx / dt = dx’ / dt + u vx = v’x + u Si aplicamos la transformación galileana de velocidades a la rapidez de la luz en un vacío, resulta la ecuación: c = c’ + u El segundo postulado de Einstein afirma que la velocidad de la luz es la misma en todos los marcos inerciales de referencia, es decir: c = c’ Esto es una incongruencia. Si aceptamos el segundo postulado de Einstein concluimos que las transformaciones galileanas no son exactamente correctas, y es necesario modificarlas para adecuarlas a este principio. La resolución implica modificaciones de carácter fundamental a los conceptos cinemáticas.


Relatividad de la simultaneidad La medición de tiempos e intervalos de tiempo implica el concepto de “simultaneidad”. En un marco de referencia dado, un suceso es un acontecimiento con una posición y un tiempo definidos. En general, dos sucesos que son simultáneos en un marco de referencia no lo son en un segundo marco que se desplaza respecto al primero, aún cuando ambos son marcos inerciales. Un tren se desplaza con una velocidad uniforme comparable a “c”. Caen dos rayos en un vagón de pasajeros, uno cerca de cada extremo. Cada rayo deja una marca en el vagón (puntos A’ y B’) y otra en el suelo (puntos A y B) en el instante en que cae. El observador en el marco S llamado Sergio, se encuentra inmóvil en el suelo en O, equidistante de A y B. El observador en el marco S’ llamada Magda se mueve junto con el tren en O’, a la mitad del vagón de pasajeros, equidistante de A’ y B’. Tanto Sergio como Magda ven los destellos luminosos emitidos desde los puntos donde cayeron los rayos.


Los dos frentes de onda generados por la caída de los rayos llegan a Sergio en O simultáneamente, y como está a la misma distancia de A y de B, concluye que ambos rayos cayeron simultáneamente en A y en B. Magda coincide en que los dos frentes de onda llegaron a Sergio al mismo tiempo, pero no está de acuerdo en que los destellos fueron emitidos simultáneamente. Sergio y Magda coinciden en que los dos frentes de onda no llegan a Magda al mismo tiempo. Magda en O’ se desplaza hacia la derecha junto con el tren y se encuentra con el frente de onda proveniente de B’ antes que el frente de onda proveniente de A’. Sin embargo, como Magda está en la mitad de vagón a la misma distancia de A’ y B’, observa que ambos frentes de onda tardaron el mismo tiempo en llegar a ella porque ambos recorrieron la misma distancia con la misma velocidad “c”, y concluye que el rayo de B’ cayó antes que el rayo de A’. Sergio en O encuentra que los dos sucesos son simultáneos, en cambio Magda en O’ concluye que no son simultáneos. El hecho que dos sucesos


en diferentes ubicaciones del eje de las “x” sean simultáneos o no depende del estado de movimiento del observador. De acuerdo con el principio de relatividad, ningún marco inercial de referencia es más correcto que otro para la formulación de leyes físicas. Cada observador está en lo correcto en su propio marco de referencia. La simultaneidad no es un concepto absoluto. El que dos sucesos sean simultáneos depende del marco de referencia. El intervalo de tiempo entre dos sucesos puede ser diferente en distintos marcos de referencia. Relatividad de los intervalos de tiempo Un marco de referencia S’ de desplaza a lo largo de un eje común x-x’ con rapidez constante “u” respecto a un marco S (u debe ser menor que c). Magda, que viaja junto con el marco S’, mide el intervalo de tiempo entre dos sucesos que ocurren en el mismo punto del espacio: el suceso (1) correspondiente al momento en que parte de O’ un destello de luz de una fuente luminosa y el suceso (2) cuando el destello regresa a O’ luego de hacerse reflejado en un espejo situado a una distancia “d”, como se muestra en la figura.

El destello de luz recorre una distancia total “2 d”, y el intervalo de tiempo “t0” (aparato en reposo en el marco S’) es: t0 = 2 d / c Sergio en el marco S observa los dos sucesos, y el tiempo de recorrido de ida y vuelta es un intervalo “t” diferente porque en su marco de referencia los dos sucesos ocurren en puntos diferentes del espacio.


Durante el tiempo “t” que mide Sergio la fuente se desplaza respecto a S una distancia “u t” y la distancia de recorrido de ida y vuelta de la luz es una distancia más grande “2 l”. l = d2 + (u t / 2)2 1/2 t = 2 l / c t = (2 / c) d2 + (u t / 2)2 1/2 t = (2 / c) (c t0 / 2)2 + (u t / 2)2 1/2 t2 = (2 / c)2 (c t0 / 2)2 + (u t / 2)2 t2 = (4 / c2) (c2 t0

2 / 4) + (u2 t2 / 4) t2 = t0

2 + u2 t2 / c2 t2 – t2 u2 / c2 = t0

2 t2 ( 1 – u2 / c2) = t0

2 t = t0 / ( 1 – u2 / c2) 1/2 Conclusión: si en un marco de referencia ocurren dos sucesos en un mismo punto del espacio, el intervalo de tiempo entre estos sucesos, medido por un observador en reposo en este marco llamado “marco en reposo” es “t0”. Un observador en un segundo marco que se desplaza con rapidez constante “u” respecto al marco en reposo, medirá un intervalo de tiempo “t”, siendo:


O bien: En la figura se muestra una gráfica de ”” en función de “u”.

Cuando “u” es muy pequeña en comparación con “c” el valor de “” se acerca a 1. En el límite, la ecuación de dilatación del tiempo tiende a la relación newtoniana: t = t0. Tiempo propio Se utiliza el término “tiempo propio” para describir el intervalo de tiempo “t0” entre dos sucesos que ocurren en el mismo punto en un determinado marco inercial de referencia denominado “marco en reposo”. La paradoja de los gemelos La ecuación de la dilatación del tiempo sugiere una paradoja aparente llamada “paradoja de los gemelos”. Considérese dos gemelas idénticas llamadas Teresa y Estrella. Teresa permanece en la Tierra mientras su gemela Estrella viaja a gran velocidad a

t = t0 / ( 1 – u2 / c2) ½ ... dilatación del tiempo

t = t0 ... dilatación del tiempo

= 1 / ( 1 – u2 / c2) ½


través de la galaxia. Debido a la dilatación del tiempo Teresa observa que los procesos vitales de Estrella se llevan a cabo más lentamente que los suyos, por tanto, para Teresa, Estrella envejece más despacio, y cuando regrese a la Tierra Estrella será más joven que Teresa. Todos los marcos inerciales de referencia son equivalentes, por tanto, Estrella puede emplear los mismos argumentos para concluir que Teresa será la más joven. Las mediciones de cada gemela indican que la otra es más joven cuando se reúnan de nuevo, y esto constituye una paradoja. Relatividad de la longitud No solo el intervalo de tiempo entre dos sucesos depende del marco de referencia del observador, también la distancia entre dos puntos puede depender del marco de referencia del observador. En esta definición también interviene el concepto de simultaneidad. Longitudes paralelas al movimiento relativo Una fuente de luz está fijada en el extremo de una regla y un espejo al otro extremo. La regla está en reposo en el marco de referencia S’, y su longitud en este marco es “l0”.

En estas condiciones el tiempo “t0” que requiere la pulsación luminosa para el recorrido de la fuente al espejo y viceversa es: t0 = 2 l0 / c Este tiempo “t0” es un intervalo de tiempo propio, porque la partida y el regreso ocurren en el mismo punto en S’.


En el marco de referencia S la regla se desplaza hacia la derecha con rapidez “u” durante el recorrido de la pulsación luminosa, como se ve en la figura. La longitud de la regla en S es “l” y el tiempo de recorrido de la fuente al espejo medido en S es “t1”.

Durante este intervalo de tiempo la regla, junto con la fuente y el espejo, se desplaza una distancia “u t1”. La longitud total de la trayectoria de la fuente al espejo no es “l” sino “d”. d = l + u t1 La pulsación luminosa se propaga con una rapidez “c”, por tanto también se cumple que: d = c t1 c t1 = l + u t1 t1 = l / (c – u) De igual modo se puede demostrar que el tiempo “t2” del recorrido de regreso del espejo a la fuente es: t2 = l / (c + u) El tiempo total “t” del recorrido de ida y vuelta medido en S es: t = t1 + t2 t = l / (c – u) + l / (c + u)


t = (l c + l u + l c – l u) / (c2 – c u + c u – u2) t = 2 l c / (c2 – u2) t = 2 l / c (1 - u2 / c2) La ecuación de dilatación del tiempo establece: t = t0 / ( 1 – u2 / c2) 1/2 2 l / c (1 - u2 / c2) = 2 l0 / c (1 - u2 / c2)1/2 O bien: La longitud “l” medida en S, donde la regla está en movimiento, es más corta que la longitud “l0” medida en su marco en reposo S’. La longitud “l0” medida en el marco en el que el cuerpo está en reposo recibe el nombre de “longitud propia”. Cuando “u” es muy pequeña en comparación con “c” el valor de “” se acerca a 1. En el límite, la ecuación de contracción de longitud tiende a la relación newtoniana: l = l0. Longitudes perpendiculares al movimiento relativo Considérese dos piezas de madera idénticas de un metro cada uno. Un metro está en reposo en el marco S a lo largo del eje de las “y” positivas, con un extremo en el origen O. El otro metro está en reposo en el marco S’ a lo largo del eje de las “y’ ” positivas, con un extremo en el origen O’. El marco S’ se desplaza en la dirección “x” positiva respecto al marco S.

l = l0 (1 - u2 / c2)1/2 … contracción de la longitud

l = l0 / … contracción de la longitud

= 1 / (1 - u2 / c2)1/2


Los observadores Sergio y Magda, en reposo en sus marcos S y S’ respectivamente, se sitúan en la marca de 50 cm de sus metros. En el instante en que los dos orígenes coinciden, los dos metros están a lo largo de la misma línea. En ese instante, Magda hace una marca en el metro de Sergio en el punto que coincide con su propia marca de 50 cm. Sergio hace lo mismo en el metro de Magda.

Supongamos que Sergio ve el metro de Magda más largo que el suyo. La marca que Sergio hizo en el metro de Magda estará debajo de su centro. Magda pensará que el metro de Sergio se ha acortado, porque la mitad de su longitud coincide con menos de la mitad de la longitud del metro de ella. Por tanto, Magda ve que los metros en movimiento se acortan y Sergio ve que se alargan. Esto implica una asimetría entre los dos marcos que contradice el postulado de la relatividad, que todos los marcos inerciales son equivalentes. Se concluye que la congruencia con los postulados de la relatividad exige que ambos observadores vean las reglas de una misma longitud, no obstante que para cada observador uno de ellos está inmóvil y el otro en movimiento. Por tanto, no hay contracción de longitud perpendicularmente a la dirección del movimiento relativo de los sistemas de coordenadas. Longitudes oblicuas al movimiento relativo Supóngase una varilla en movimiento, de longitud “l0” y formando un ángulo “0” con la dirección del movimiento relativo (eje x), medido en su marco en reposo. Su componente de longitud en ese marco paralela al


movimiento es “l0 cos 0” y su componente de longitud perpendicular al movimiento es “l0 sen 0”. Para un observador que se encuentra en otro marco en movimiento respecto al marco en reposo, la componente de longitud paralela al movimiento se contrae a “l0 cos 0 / ”, y la componente de longitud perpendicular al movimiento no cambia. Transformaciones de coordenadas de Lorentz Un suceso ocurre en un punto “P” de coordenadas (x, y, z) y en el tiempo “t” observado en un marco de referencia S. En un marco de referencia S’, que se desplaza respecto a S con una rapidez constante “u” en la dirección “x”, el suceso ocurre en el tiempo “t’ ” en las coordenadas (x’, y’, z’). Los orígenes de los marcos de referencia S y S’ coinciden en el tiempo inicial: t = t’ = 0. En el marco S la distancia de O a O’ en el tiempo “t” es “u t”. La coordenada (x’) es una longitud propia en S’, y en S se ha contraído por el factor “1 / ”.

La distancia “x” de O a P en el marco S no es la transformación galileana “x = u t + x’ ”, sino: x = u t + x’ (1 - u2 / c2)1/2 x’ = (x – u t) / (1 - u2 / c2)1/2 El principio de relatividad exige que la transformación de S a S’ sea idéntica en cuanto a forma a la transformación de S’ a S. La única diferencia es un cambio en el signo de la componente de la velocidad relativa “u”. Por tanto:


x’ = – u t’ + x (1 - u2 / c2)1/2 (x – u t) / (1 - u2 / c2)1/2 = – u t’ + x (1 - u2 / c2)1/2 x / (1 - u2 / c2)1/2 – u t / (1 - u2 / c2)1/2 = – u t’ + x (1 - u2 / c2)1/2 u t’ = u t / (1 - u2 / c2)1/2 – x / (1 - u2 / c2)1/2 + x (1 - u2 / c2)1/2 u t’ = u t / (1 - u2 / c2)1/2 – x / (1 - u2 / c2)1/2 + x (1 - u2 / c2) / (1 - u2 / c2)1/2 u t’ = ( u t – x + x (1 - u2 / c2)) / (1 - u2 / c2)1/2 u t’ = (u t – x (1 – 1 + u2 / c2)) / (1 - u2 / c2)1/2 u t’ = (u t – x u2 / c2) / (1 - u2 / c2)1/2 t’ = (t – x u / c2) / (1 - u2 / c2)1/2 El movimiento no influye en las longitudes perpendiculares a la dirección del movimiento relativo, por tanto, “y’ = y” y “z’ = z”. El espacio y el tiempo han quedado ligados, ya no se puede afirmar que la longitud y el tiempo tienen significados absolutos independientes del marco de referencia. Por ello, el tiempo y las tres dimensiones del espacio es una entidad tetradimensional llamada “espaciotiempo”, siendo (x, y, z, t) las “coordenadas del espaciotiempo” de un suceso.

Transformaciones de coordenadas de Lorentz x’ = (x – u t) / (1 - u2 / c2)1/2 = (x – u t) y’ = y z’ = z t’ = (t – x u / c2) / (1 - u2 / c2)1/2 = (t – x u / c2)


Transformación de velocidades de Lorentz Una partícula se desplaza una distancia “dx” en un tiempo “dt” en un marco de referencia S. La distancia y el tiempo en un marco S’ serán: dx’ = (dx – u dt) dt’ = (dt – dx u /c2) dx’ / dt’ = (dx – u dt) / (dt – dx u / c2) dx’ / dt’ = (dx / dt – u) / (1 – (u / c2) dx / dt) Siendo “dx / dt” la velocidad “vx” en el marco S, y “dx’ / dt’ ” la velocidad “v’x” en el marco S’, se obtiene la generalización relativista. Si “u ” y “vx” son mucho menores que “c” la ecuación se transformación de velocidades de Lorentz se aproxima al resultado no relativista: v’x = vx – u Si “vx = c” la transformación de velocidades de Lorentz da por resultado: v’x = (c – u) / (1 – c u / c2) v’x = (c – u) / (1 – u / c) v’x = c (c – u) / (c – u) v’x = c Este resultado es congruente con el postulado de Einstein de que la rapidez de la luz en el vacío es la misma en todos los marcos inerciales de referencia. La expresión de “vx” en términos de “v’x” debe tener la misma forma y con el signo de “u” invertido.

Transformación de velocidades de Lorentz v’x = (vx – u) / (1 – vx u / c2)

Transformación de velocidades de Lorentz vx = (v’x + u) / (1 + v’x u / c2)


Las transformaciones de velocidades de Lorentz demuestran que un cuerpo que se desplaza con rapidez menor que “c” en un marco de referencia siempre tiene una rapidez menor que “c” en cualquier otro marco de referencia. Esta es una de las razones por las que se concluye que ningún cuerpo material puede viajar con una rapidez igual o mayor que la de la luz en el vacío. Efecto Doppler en ondas electromagnéticas Una fuente de luz que se desplaza con rapidez “u” respecto a un observador, emite una cresta de onda. Cuando recorre una distancia “u T” hacia el observador emite la siguiente cresta. En el marco de referencia S del observador, la segunda cresta se halla a una distancia “” atrás de la primera.

Medida en su marco en reposo, la fuente emite ondas luminosas de frecuencia “f0” y período “T0 = 1 / f0”. “T” es el intervalo de tiempo entre la emisión de crestas de onda observado en el marco de referencia del observador. Durante ese tiempo, las crestas que van delante de la fuente recorren una distancia “c T”, y la fuente de desplaza una distancia más corta “u T” en la misma dirección. Para el observador la longitud de onda “” es la distancia entre crestas sucesivas, y la frecuencia que mide es “c / ”. = c T – u T = (c – u) T


f = c / f = c / (c – u) T T = c / (c – u) f 1 / T = (c – u) f / c Desde el punto de vista relativista, debido a la dilatación del tiempo “T” no es igual a “T0”. El tiempo “T0” se mide en el marco en reposo de la fuente, por lo que es un tiempo propio. T = T0 / (1 - u2 / c2)1/2 T = c T0 / (c

2 – u2)1/2 1 / T = (c2 – u2)1/2 / (c T0) 1 / T = f0 (c

2 – u2)1/2 / c (c – u) f / c = f0 (c

2 – u2)1/2 / c f = f0 (c

2 – u2)1/2 / (c – u) f = f0 (c + u)1/2 (c – u)1/2 / (c – u) La ecuación de efecto Doppler para las ondas electromagnéticas es En la ecuación la velocidad relativa “u” tiene el siguiente signo: “u” es (+) si la fuente se acerca al observador “u” es (-) si la fuente se aleja del observador En el caso de la luz, a diferencia del sonido, no existe distinción alguna entre el movimiento de la fuente y el movimiento del observador, solo importa la velocidad relativa entre ellos.

f = f0 (c + u)1/2 / (c – u)1/2


Cantidad de movimiento relativista El principio de conservación de la cantidad de movimiento afirma que “cuando dos cuerpos interactúan, la cantidad de movimiento total es constante, siempre y cuando la fuerza externa neta que actúa sobre los cuerpos en un marco inercial de referencia sea cero” (sistema aislado en el que interactúan solo uno con otro). Si la conservación de la cantidad de movimiento es una ley física válida, debe ser válida en todos los marcos inerciales de referencia. Observamos una colisión en un sistema inercial de coordenadas S y encontramos que se conserva la cantidad de movimiento. Aplicamos la transformación de Lorentz para obtener las velocidades en un segundo sistema inercial S’ y encontramos que al aplicar la definición newtoniana de cantidad de movimiento “p = m v”, la cantidad de movimiento no se conserva en el segundo sistema. Si el principio de relatividad y la transformación de Lorentz son correctos, la única forma de seguir conservando la cantidad de movimiento es generalizar la definición de cantidad de movimiento. Sin deducir la generalización relativista de la cantidad de movimiento, aplicaremos directamente el siguiente resultado: masa en reposo: masa “m” medida de una partícula cuando está en reposo partícula material: partícula cuya masa en reposo es diferente de cero v: velocidad de la partícula material p: cantidad de movimiento relativista p = m v / (1 – v2 / c2)1/2 Cuando la rapidez “v” de la partícula es mucho menor que “c” la expresión de la cantidad de movimiento relativista es aproximadamente igual a la expresión newtoniana “p = m v”. En general, la magnitud de la cantidad de movimiento es mayor que “m v”, y conforme “v” tiende a “c” la cantidad de movimiento tiende a infinito.


Segunda Ley de Newton En la mecánica newtoniana la forma más general de la segunda ley de Newton es: F = dp / dt Este resultado conserva su validez en la mecánica relativista, siempre y cuando se utilice la cantidad de movimiento relativista. F = d/dt m v / (1 – v2 / c2)1/2 Debido a que la cantidad de movimiento ya no es directamente proporcional a la velocidad, la rapidez del cambio de la cantidad de movimiento ha dejado de ser directamente proporcional a la aceleración. En consecuencia, una fuerza constante no produce una aceleración constante. Si la fuerza neta y la velocidad están dirigidas a lo largo del eje “x”, la derivada da por resultado: F = m a / (1 – v2 / c2)3/2 …… “F” y “v” a lo largo de la misma línea En este caso, la aceleración “a” también está a lo largo del eje de las “x”. a = (F / m) (1 – v2 / c2)3/2


A medida que la rapidez de una partícula aumenta, la aceleración provocada por la fuerza disminuye constantemente. Cuando la rapidez tiende a “c” la aceleración tiende a cero, sin importar el valor de la fuerza. Algunos físicos interpretan la ecuación de la cantidad de movimiento relativista en el sentido de que una partícula que se desplaza con rapidez sufre un aumento de masa. Si la masa a velocidad nula (masa en reposo) es “m”, la masa relativista “mrel” es: mrel = m / (1 – v2 / c2)1/2 De hecho, cuando se considera el movimiento de un sistema de partículas, como por ejemplo las moléculas en rápido movimiento de un gas ideal en un recipiente inmóvil, la masa total en reposo del sistema es la suma de las masas relativistas de las partículas y no la suma de sus masas en reposo. Sin embargo, la aplicación a ciegas del concepto de masa relativista presenta inconvenientes. En la generalización relativista de la segunda ley de Newton puede verificarse que: F mrel a En la mayor parte de los casos trataremos con partículas individuales y utilizaremos la definición generalizada de la cantidad de movimiento, con “m” como una constante de cada partícula independientemente de su estado de movimiento. Si una partícula tiene un movimiento circular uniforme con rapidez constante “v”, la fuerza total y la velocidad son perpendiculares, por tanto, la fuerza no puede realizar trabajo sobre la partícula, y la energía cinética y la rapidez permanecen constantes. En este caso la derivada con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento relativista da por resultado: F = m a / (1 – v2 / c2)1/2 …… “F” y “v” perpendiculares Si la partícula se mueve en círculo, la fuerza neta y la aceleración están dirigidas hacia adentro a lo largo del radio. Haciendo: = 1 / (1 – v2 / c2)1/2


Si la fuerza “F” y la rapidez “v” no están a lo largo de una misma línea ni tampoco son perpendiculares, la fuerza total “F” en cualquier instante se resuelve en sus componentes paralela y perpendicular a “v”. La aceleración resultante tendrá componentes para cada fuerza (paralela y perpendicular). Debido a que los factores “3” y “” son diferentes, las componentes de la aceleración no serán proporcionales a las componentes de la fuerza neta, es decir: “a menos que la fuerza neta sobre una partícula relativista esté a lo largo de la misma línea que la velocidad de la partícula o bien sea perpendicular a ella, los vectores de fuerza total y de aceleración no son paralelos”. Trabajo y energía relativistas Cuando la fuerza neta y el desplazamiento tienen la misma dirección, el trabajo efectuado por la fuerza es: W = F dx Sustituyendo “F” por su ecuación relativista y al desplazar una partícula de masa en reposo “m” desde el punto “x1” al punto “x2”, el trabajo es:

La energía cinética de una partícula es igual al trabajo total realizado sobre ella al llevarla del reposo a la rapidez “v”. Fijemos la rapidez en cero en el punto “x1” y en “vx” en el punto “x2”, siendo “vx” la componente en “x” de la velocidad de la partícula cuando la fuerza neta la acelera del reposo a una rapidez “v”.

p = m v …… cantidad de movimiento relativista F = 3 m a …… “F” y “v” a lo largo de la misma línea F = m a …… “F” y “v” perpendiculares = 1 / (1 – v2 / c2)1/2


a = dvx / dt a dx = (dvx / dt) dx a dx = dx dvx / dt a dx = (dx / dt) dvx a dx = vx dvx

El resultado de la integral es: Conforme “v” tiene a “c”, la energía cinética tiende a ser infinita.

Si la ecuación de energía cinética relativista es correcta, debe tender a la expresión newtoniana “K = ½ m v2” cuando “v” es mucho más pequeña que “c”.

Energía cinética relativista

K = m c2 / (1 – v2 / c2)1/2 – m c2

K = ( - 1) m c2

= 1 / (1 – v2 / c2)1/2


Para verificar expandimos el radical mediante el teorema del binomio en la forma: (1 + x)n = 1 + n x + n (n – 1) x2 / 2 + … En este caso: n = -1/2 x = - v2 / c2 = (1 - v2 / c2)-1/2 = 1 + 1/2 v2 / c2 + 3/8 v4 / c4 + … K = (1 + 1/2 v2 / c2 + 3/8 v4 / c4 + … – 1) m c2 K = 1/2 m v2 + 3/8 m v4 / c2 + … Cuando “v” es mucho más pequeña que “c”, todos los términos de la serie, salvo el primero, son insignificantemente pequeños, u obtenemos la expresión newtoniana. Energía en reposo La ecuación de energía cinética incluye un primer término de energía que depende del movimiento “m c2 / (1 – v2 / c2)1/2” y un segundo término que es independiente del movimiento “m c2”. Se puede reformular la ecuación haciendo que la energía cinética de una partícula es la diferencia entre cierta energía total “E” y una energía “m c2” que tiene incluso cuando está en reposo. Si: K = 0 (partícula en reposo): E = m c2 La energía “m c2” asociada con la masa en reposo “m” y no con el movimiento, se llama “energía en reposo” de la partícula.

Energía total de una partícula

E = K + m c2

E = m c2 / (1 – v2 / c2)1/2 = m c2

= 1 / (1 – v2 / c2)1/2


Existen pruebas experimentales que demuestran la existencia de la energía en reposo. Un ejemplo es la desintegración del pión neutro, que se trata de una partícula subatómica de masa en reposo “m”. Cuando el pión neutro se desintegra, desaparece, y en su lugar aparece radiación electromagnética. Si un pión neutro no tiene energía cinética antes de desintegrarse, la energía total de la radiación una vez que se ha desintegrado resulta exactamente igual a “m c

2” Principio de conservación de masa y energía Los principios de conservación de la masa y de la energía se descubrieron de modo independiente. La teoría de la relatividad muestra que se en realidad se trata de dos casos especiales de un solo principio de conservación más amplio, llamada “principio de conservación de la masa y la energía”. En ciertos fenómenos físicos, ni la suma de las masas en reposo de las partículas ni la energía total distinta de la energía en reposo, se conservan por separado. Pero hay un principio de conservación más general que establece: en un sistema aislado cuando la suma de las masas en reposo cambia, siempre hay un cambio equivalente a “1 / c2” veces la energía total distinta de la energía en reposo. Este cambio es de la misma magnitud que el cambio de la suma de las masas en reposo, aunque de signo opuesto. Esta ley más general de conservación de la masa y la energía es el principio fundamental en el que se basa la generación de energía por medio de reacciones nucleares. Cuando un núcleo de uranio sufre fisión es un reactor nuclear, la suma de las mas en reposo de los fragmentos resultantes en menor que la masa en reposo del núcleo original. Se libera una cantidad de energía equivalente al producto de la disminución de la masa por “c2”. La mayor parte de esta energía se puede utilizar para producir vapor de agua, y con ello mover turbinas para generar energía eléctrica. También se puede relacionar la energía total “E” con la cantidad de movimiento “p” de la siguiente manera: E = m c2 / (1 – v2 / c2)1/2 E / m c2 = 1 / (1 – v2 / c2)1/2 (E / m c2)2 = 1 / (1 – v2 / c2)


p = m v / (1 – v2 / c2)1/2 p = m v (c / c) / (1 – v2 / c2)1/2 p / m c = (v / c) / (1 – v2 / c2)1/2 (p / m c)2 = (v2 / c2) / (1 – v2 / c2) (E / m c2)2 – (p / m c)2 = 1 / (1 – v2 / c2) – (v2 / c2) / (1 – v2 / c2) (E / m c2)2 – (p / m c)2 = (1 – v2 / c2) / (1 – v2 / c2) (E / m c2)2 – (p / m c)2 = 1 (E / m c2)2 – (p c / m c2)2 = 1 (E2 – (p c)2) / (m c2)2 = 1 E2 – (p c)2 = (m c2)2 E: energía total m c2: energía en reposo p: cantidad de movimiento Si: p = 0 (partícula en reposo): E = m c2 La ecuación también sugiere que una partícula puede tener energía y cantidad de movimiento incluso cuando carece de masa en reposo. Si: m = 0 (cero masa en reposo): E = p c Existen partículas con masa en reposo nula. Estas partículas siempre viajan a la rapidez de la luz en el vacío. Un ejemplo es el fotón (radiación electromagnética). Mecánica newtoniana y relatividad El principio de relatividad exige cambios en la mecánica newtoniana, como los conceptos de longitud y tiempo, las ecuaciones del movimiento y los principios de conservación. Las leyes de la mecánica newtoniana no son erróneas sino incompletas, son aproximadamente correctas siempre que la rapidez sea pequeña en comparación con la rapidez de la luz en el vacío. En estos casos, los cambios con tan minúsculos que resulta imposible observarlos. Los principios de la mecánica newtoniana son un caso especial de la formulación relativista de carácter más general. Analicemos ahora como se podría ampliar el principio de relatividad para abarcar también los marcos no inerciales.

E2 = (m c2)2 + (p c)2


Imaginemos una persona que se lanza al vacío encerrado en una caja. Durante su caída libre la persona puede flotar en el aire en el interior de la caja. No cae al piso porque tanto la persona como la caja están en caída libre con una aceleración de la gravedad hacia abajo. Otra interpretación tiene la persona en el interior de la caja, es que no cae al piso porque su interacción gravitatoria con la tierra ha sido suspendida. En tanto permanezca en la caja y en caída libre, la persona no puede saber si efectivamente está en caída libre o si la interacción gravitatoria ha desaparecido. Estas observaciones constituyen la base de la “teoría general de la relatividad”. Si no podemos distinguir experimentalmente entre un campo gravitacional uniforme en un lugar en particular y un marco de referencia uniformemente acelerado, entonces no puede haber una distinción real entre los dos. Se puede tratar de representar cualquier campo gravitacional en términos de características especiales del sistema de coordenadas, pero resulta que esto exige revisiones aún más radicales de los conceptos de espacio y tiempo que la teoría especial de la relatividad. En la teoría general de la relatividad, las propiedades geométricas del espacio son no euclidianas en general.

Representación bidimensional del espacio curvo

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