الهندسة التحليلية

Analytical Geometry

طرائق وتطبيقات

Methods and applications

المقدمة

-ه‌-

ـــــــةــــــــــــــــــــــــــــــمقدمـ

مميم كل صواب وولي كل خير، أنطق الحمد هلل رب العالمين, بسم اهلل الرحمن الرحيم

نسان وشرفو بحمل أمانة العقل وعممو البيان .انو ، خمق اإلالكون بآيات وجوده وعظيم سمطمين الرسول الصادق الوعد األ ،والصالة والسالم عمى خير خمق اهلل أجمعين محمد بن عبد اهلل

صمى اهلل عميو وعمى آلو وصحبو أجمعين .. أما بعد كماليا وىو إل سأل اهلل أن يوفقناتعالى سمسمة مؤلفات عربية في أحد المؤلفاتفيذا ىو

ألفاظيا .. لغة القرآن الكريم، لغة في نية غمفراداتيا الفي تمك المغة الثرية ، مؤلف بمغتنا العربيةما كتب بالمغة العربية في إلى إذا نقدم ىذا الجيد المتواضع الذي نضيفوننا ا و . العرب ولغة العمم

نما يضيف ،ىذا المضمارفي وعمم الرياضيات البد أن نذكر أن ىذا الكتاب ال يزاحم أقران وا لرغم من وجود العديد من الكتب العربية عن موضوع ىذا ، فعمى اإلييم أفكارًا جديدة ومتطورة

بعض المواضيع وكذلك في نحسب ىذا الكتاب قد يسد بعض القصور الموجود ننا أالمؤلف إال التي مثمة المتنوعة باأل وائثر إلى ضافةلم يتم تناوليا باإلالتي خرى معالجة بعض المواضيع األ

فكار.تطرح العديد من األتعتبر اليندسة التحميمية ىي العمم الذي يدرس اليندسة بطرق جبرية ) تحميمية ( أي ىو

العالم الفرنسي إلى اليندسة التحميميةكتشاف االجسر بين الجبر واليندسة ، ويعود الفضل في ثم تطورت بعد ذلك عمى يد العالم ، اإلحداثياتة ف طريقشالذي اكت (6191-6951)رينية ديكارت

سواء كان (coordinates) اإلحداثياتالذي استخدم ألول مرة (6161-6161)لماني ليبنتيزاأل. ويعد عمم اليندسة من أقدم (Ordinate)حداثي الرأسي اإل وأ (abscissa)حداثي االفقي اإل

الرض لتقدير الضرائب عمييا، ومن ىنا جاء العموم، فقد نشأ في مصر القديمة مرتبطا بقياس ارض. وبعد ذلك تطور عمم غريقي ليذا العمم " جيومتريا" وىو ما يعني عمم قياس األاالسم اإل

قميدس ق.م( 961-129)وثاليس ق.م( 916-191)غريق، أمثال فيثاغورثعمماء اإليدي أاليندسة عمى وا ق.م( 251-212)وأبولونيوس ق.م( 262-281)قميدية وأرخميدس اليندسة اإل وليإالذي تنسب ق.م( 011)

الذي كان أول من درس القطاعات المخروطية . غير أن حل المسائل اليندسية في ذلك الوقت عداد وحدد أن اكتشف ديكارت التناظر بين النقط عمى المستقيم وبين األإلى كان يتم بالتقريب،

قتصرت ان مستقيمين ثابتين، وعمى الرغم من أن دراستو موضع كل نقطة في المستوى ببعدىا عمرحمة جديدة متطورة تمكن فييا إلى قد نقل اليندسةكتشافة افإن ،ولحداثي األعمى الربع اإل

العمماء من حل العديد من المسائل بطرق تحميمية مما أعطاىا دقة لم تكن متوفرة لدى العمماء

المقدمة

-و‌-

عطاء قبل ذلك. وبواسطة اليندسة التحميمية أمكن أيضا حل بعض المسائل الجبرية ىندسيا وا عظم لميندسة التحميمية نجاز األتفسير ىندسي واضح لكثير من المعادالت الجبرية، غير أن اإل

التعبير عن النماذج اليندسية بمعادالت رياضية ودراسة ىذه النماذج وفقا إمكانية كان في غة عند دراسة حساب التفاضل والتكامل والمعادالت لمعادالتيا. ولميندسة التحميمية أىمية بال

التفاضمية والتطبيقات الفيزيايئة والميكانيكية وعموم التقنية وبذلك نعرف مدى أىمية اليندسة ،اليندسة التحميمية في المستوى يف اً ىام اً ُيعد ىذا الكتاب مرجعو التحميمية في عمم الرياضيات.

، العموم، المتوسطة من كميات اليندسةاألولى و لمراحل لطالب اساسًا أوىذا الكتاب موجو والمعاىد الفنية العميا. كما أنو يتجو أيضًا لطالب العموم التطبيقية األخرى من رياضيات وفيزياء وكذلك تخصصات العموم التطبيقية. ولقد راعينا أن تكون معالجة المسائل العممية بطريقة رتيبة

.منيجية تبسيط كل و ، مراجعة الخط المستقيمو الديكارتية اإلحداثياتلمفيوم بعرضالكتاب يبتدىء

باب الفي من خالل تحميل بسيط وتتابع شيق. ،المفاىيم الخاصة بيا ومحاولة جذب القارىء ليافي الباب الثالث تم طرح موضوع نقل و ،مجموعة من الخطوط المستقيمةدراسة تم يالثان

الخامس، ،الرابعب ابو األفي .تصنيف القطاعات المخرطيةوتم بحاالتو المختمفة المحاور السابع والثامن تم تقديم القطاعات المخروطية سواء كانت دائرة، قطع مكافىء، قطع ، السادس

مع تقديم العديد من التطبيقات الفيزيائية واليندسية لجعل المحتوى أكثر تشويقا ناقص، قطع زائد بواب تمك األ ناوذيم، لحل مسائل رياضية أداة عية عن كونو وأقرب لتحميل ومحاكاة مشاكل واق

اإلحداثياتدراسة وفيو تم التاسع أعقب ذلك الباب وقد بالعديد من التمارين العامة المتنوعة. وذيل ىذا الباب بالعديد من التمارين العامة القطبية ودراسة الخط المستقيم والقطاعات المخروطية

.المتنوعةأن يكون ىذا الكتاب تربويٌا في –ونود أن نكون قد وفقنا –ول لقد حاولنا وخالصة الق

إخالل أسموبو، مكثرًا من االمثمة التوضيحية والتطبيقية دونما في في عرضو، سيال شيقا. مكان، حاثا القارىء عمى التفكير موسعا مداركو ومقدرتو عمى االبداعبقدر اإل يالنظر ساس باألرجو أن يكون نإلقتنائو، وأخيرًا اً كتاب مرجعًا يتوق القاريء طالبًا كان أو باحثيكون ىذا الأن يأ

عمى إنجازىا خدمة لمعمم التوفيقتعالى سأل اهلل نة من المؤلفات التي سمىذا الكتاب فاتحة لسمثراء لممعرفة . وا

.التوفيقولي وىو .....واهلل تعالى من وراء القصد المؤلفون

الفهارس

المحتويات

- -ط‌

المحتويات

Coordinate System حداثياتإلا الباب االول : نظام 4 اإلحداثيات المتعامدة -1\1 8 تقسيم القطعة المستقيمة -2\1 11 مساحة أى مضمع معموم الرؤوس -3\1

Straight Line الباب الثانى :الخط المستقيم 17 ميل الخط المستقيم -1\2 21 معادلة الخط المستقيم -2\2 25 طول العمود الساقط من نقطة عمى المستقيم -3\2 27 المعادلة العمودية لمخط المستقيم -4\2 29 المتبيانات الخطية -5\2 33 المعادلة والمحل الهندسي -6\2

Straight Lines المستقيمة :الخطوط الباب الثالث 45 ط المستقيمةنظام من الخطو -1\3 47 المعادلة العامة لخطين مستقيمين أو أكثر -2\3 52 الزاوية بين أي خطين مستقيمين يمران بنقطة األصل -3\3 53 شرط المعادلة العامة من الدرجة الثانية كي تمثل خطيين مستقميين -4\3 55 منصف الزاوية بين خطيين مستقمين -5\3

Transformation Of Coordinates اورالمح نقل : الباب الرابع 66 نقل نقطة االصل فقط بدون تغيير إتجاهات المحاور -1\4 77 دوران المحاور بدون تغيير نقطة األصل -2\4 76 دوران المحاور مع نقل نقطة األصل -3\4

Conic Sections المخروطية الباب الخامس :القطاعات 97 عامة المعادلة التربيعية ال -1\5 91 تصنيف المعادلة العامة لمدرجة الثانية -2\5

Circle الدائرة الباب السادس : 176 الصورة القياسية لمعادلة الدائرة -1\6 179 معادلة الدائرة بمعمومية طرفي قطر فيها -2\6 112 الدوائر متحدة المركز -3\6 114 ع عميهامعادلة المماس لدائرة من نقطة معمومة تق -4\6

المحتويات

- -ي‌

117 شرط تماس خط مستقيم مع دائرة مركزها هو نقطة األصل -5\6 Parabola المكافىء : القطع الباب السابع

137 القطع المكافىء الصورة القياسية لمعادلة -1\7 147 الحاالت المختمفة لمقطع المكافىء صاحب نقطة رأس هي نقطة األصل -2\7 143 الحاالت المختمفة لمقطع المكافىء صاحب نقطة رأس غير نقطة األصل -3\7 147 معادلة المماس من نقطة عمى القطع المكافىء -4\7 157 شرط تماس خط المستقيم مع القطع المكافىء -5\7 153 الخواص الهندسية لمقطع المكافىء -6\7

Ellipseالناقص : القطع الباب الثامن 169 لصورة القياسية لمعادلة القطع الناقصا -1\8 172 الحاالت المختمفة لمقطع الناقص بمركز هو نقطة األصل -2\8 187 حاالت مختمفة لقطع ناقص مركزه هو نقطة غير نقطة األصل -3\8 185 معادلة المماس والعمودي من نقطة تقع عمى القطع الناقص -4\8 187 مستقيم مماسا لمقطع الناقص الشرط لكي يكون الخط ال -5\8

Hyperbola الزائد القطع 273 الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد -1\9 277 حاالت مختمفة لقطع الزائد مركزه نقطة األصل -2\9 212 حاالت مختمفة لمقطع الزائد بنقطة برأس غير نقطة األصل -3\9 217 نقطة تقع عمى القطع الزائد معادلة المماس والعمودى من -4\9 227 الشرط لكى يكون الخط المستقيم مماسا لمقطع الزائد -5\9

Polar Coordinates القطبية : األحداثيات الباب العاشر 237 اإلحداثيات القطبية -1\17 232 العالقة بين االحداثيات المتعامدة واالحداثيات القطبية -2\17 238 لقطبية لمخط المستقيمالمعادلة ا -3\17 241 المعادلة القطبية لمدائرة -4\17 244 المعادالت القطبية لمقطاعات المخروطية -5\17

255 : المراجع

العاشرالباب

اإلحداثيات القطبية

Polar Coordinates

القطبية اإلحداثيات :العاشرالباب

-33:-

اإلحداثيات ، فمنيا بالعديد من الطرق المختمفةالمستوى ييمكن تمثيل النقطة فول األ البابفي ( وىو ما سبق ذكره تفصيالrectangular co-ordinatesالمتعامدة )

القطبية اإلحداثيات ( وأيضا oblique co-ordinatesالمائمة ) اإلحداثيات ومنيا (polar co-ordinates وتمتاز ) كل العموم في القطبية بأىمية خاصة اإلحداثيات

قوم بة من عمميات تبسيط لمعديد من المشاكل اليندسية وليا أيضا أىمية تاليندسية لما طية رو لمخاليندسة التحميمية حيث يمكن من خالليا تمثيل كل القطاعات افي خاصة

القطبية لنتعرف اإلحداثيات ب خاصاً البابذلك فقد جعمنا ىذا بأسموب سيل وبسيط، ول من خالليا عمى أىميتيا وكيفية تمثمييا لكل القطاعات المخروطية

-032-

القطبية اإلحداثيات -0\01وىو يمثل 0Xيخط أفق وتم رسم Poleتمثال القطب 0إذا فرض وجود نقطة

الفراغ يمكن تمثيميا بزوج في ، وبيذا فإن موضع أى نقطة Polar Axisالقطبىالمحور ) مرتب , )r الشكل التالى في ذلك كماو

(0-01شكل ) تمثل قيمة الزاوية التى يميل و radius vector مثل طول القطعة المستقيمةتr حيث)الزوج المرتب ويسمى عكس إتجاه دوران عقارب الساعة.في مع األفقىPOبيا , )r . Pالقطبية لمنقطة اإلحداثيات ب

حيث يتضح من الشكل، القطبية اإلحداثيات الواحدة بعدد من تمثيل النقطةيمكن ,2 اإلحداثيات يمكن أن تكون إحدى Pأن إحداثيات النقطة التالي

2

أو 5

2,2

3أو 2,

2

تمثل نفس النقطة الثالثة ت اإلحداثيا . بما يعنى أن تمك

القطبية ليست وحيدة. اإلحداثيات وبما يعنى أن

(2-01شكل )

) اإلحداثيات أيضا نجد أن , )r اإلحداثيات تكافىء ( , )r وىو ما الشكل التالىيتضح من

القطبية اإلحداثيات :العاشرالباب

-342-

(3-01شكل ) يقطبية، سوف نتعرف عمى ذلك من خالل المثال التال رسم معادلةنستطيع واآلن كيف

4sinrارسم المنحنى صاحب المعادلة القطبية :(0-01) مثال الحل

في سوف نقوم بعممية الرسم عن طريق الحصول عمى عدة نقاط تحقق المعادلة كما يالجدول التال

0

6

4

3

2

2

3

3

4

5

6

r (تقريبا)

0 2 2.8 3.4 4 3.4 2.8 2 0

(Circleوىو يمثل دائرة ) ينقوم بتوقيع تمك النقاط لنحصل عمى الشكل التال

(4-01شكل )

-030-

القطبية اإلحداثيات المتعامدة و اإلحداثيات العالقة بين -2\01)بفرض وجود النقطة , )P x y اإلحداثيات ذات ( , )x y عمى المحاور المتعامدة ونفس

)اإلحداثيات النقطة تمثل , )r وعمى ذلك الشكل التاليفي اور القطبية كماعمى المح العالقات التالية.إلى يمكن التوصل

(5-01شكل ) cosx r , siny r

2 2 2 -1, =tany

r x yx

القطبية لنرى كيف يمكن حساب مسافة بين نقطتين في اإلحداثيات حربواآلن دعنا ن، وأيضا كيفية إيجاد القطبية اإلحداثيات باستخدام وكيف يمكن تمثيل معادلة خط مستقيم

المعادالت القطبية لكل القطاعات المخروطية.

المسافة بين نقطتين

1اذا كانت 1 1 2 2 2( , ), ( , )P r P r المستوى فإن البعد بينيما ىو في نقطتين 2 2

1 2 1 2 1 22 cos( )r r r r اإلثبات

1عتبار أن إحداثيات النقطتين ىما اعمى 1 1 2 2 2( , ), ( , )P x y P x y اإلحداثيات فى الكارتيزية فإن المسافة بين النقطتين يمكن تمثيميا كما يمي

2 2

1 2 1 2( ) ( )x x y y الكارتيزية اإلحداثيات القطبية و اإلحداثيات وبإستخدام العالقة بين

cos , sin x r y r نحصل عمى

القطبية اإلحداثيات :العاشرالباب

-344-

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

( cos cos ) ( sin sin )

2 cos cos sin sin

2 cos( )

r r r r

r r r r

r r r r

1أوجد المسافة بين النقطتين :(2-01) مثال 2(5,90 ), (3,30 )P P الحل

2 23 5 2(3)(5)cos(60 ) 19 1وجد المسافة بين النقطتين أ :(3-01) مثال 2(6,15 ), (8,75 )P P

الحل 2 26 8 2(6)(8)cos(75 15 ) 36 64 96(0.5) 2 13

يحداثيات رؤؤسة ىإأوجد مساحة المثمث والذي :(4-01) مثال1 1 2 2(0,0),( , ),( , )r r

الحل

(6-01شكل ) يمساحة المثمث ى

1

1 2 2 1

1 2 2 1

1( )

2

1 = ( sin( ))

2

1 = sin( )

2

area OP h

r r

r r

0

1 1 1( , )P r

2 2 2( , )P r

2r

1r

h

1 2

x

-032-

يحداثيات رؤؤسة ىإوجد مساحة المثمث والذي أ :(5-01) مثال(0,0),(6,20 ),(9,50 )

الحل يمساحة المثمث ىالعالقة السابقة نجد أن في بالتعويض

1 2 2 1

1 1sin( ) 6 9 sin(50 20 ) 13.5 s.u.

2 2area r r

x,المتغيراتفي الكارتيزية اإلحداثيات ب أوجد المعادلة :(6-01) مثال y

(rectangular co-ordinatesالت )تمثل المنحنى ي sin , a 0r a الممثل ب . ارسم المعادلة الناتجة.القطبية اإلحداثيات

الحل2 2 2sin sin ( sin )sin sinr a r a a a ar

sinyن إوحيث r 2إلى فإن المعادلة تؤولr ay 2ن إوحيث 2 2x y r 2فإن 2x y ay اإلحداثيات وىى معادلة بداللة

كما يميالمتعامدة واآلن سنحاول وضعيا في صورة قياسية عن طريق إكمال المربع

2 2

2 2 2 2

2 2

2

0 2 2

2 2

a ax y ay x y ay

a ax y

,0)معادلة دائرة مركزىا ىو وبذلك فقد حصمنا عمى )2

aصف قطرىا ون2

a

2أوجد المعادلة القطبية لممعادلة :(7-01) مثال 2 16x y

الحلالكارتيزية اإلحداثيات القطبية و اإلحداثيات ستخدام العالقة بين اب

cos , sin x r y r نحصل عمى

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

16 cos sin 16

(cos sin ) 16

16cos2 16 16sec2

cos2

x y r r

r

r r

القطبية اإلحداثيات :العاشرالباب

-346-

2 وبيذا فإن 16sec2r القطبية للمعادلة اإلحداثيات هي المعادلة ب

2 2 16x y الكارتيزيةاإلحداثيات والممثمة ب أوجد المعادلة القطبية لممعادلة :(8-01) مثال 2 29 4 36x y

الحل

الكارتيزية ات اإلحداثيالقطبية و اإلحداثيات ستخدام العالقة بين اب cos , sinx r y r نحصل عمى

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

9 4 36 9 cos 4 sin 36

(9cos 4sin ) 36

(4 5cos ) 36

16

4 5cos

x y r r

r

r

r

2 وبيذا فإن

2

16

4 5cosr

القطبية للمعادلة اإلحداثيات هي المعادلة ب

2 29 4 36x y الكارتيزية اإلحداثيات والممثمة ب

عبر عن المعادلة :(9-01) مثال 2 2 (cos sin ) 7 0r r عمى صورة المتعامدة اإلحداثيات

الحلالكارتيزية اإلحداثيات القطبية و اإلحداثيات بإستخدام العالقة بين

2 2 1, tan ( / )r x y y x نحصل عمى

2 2 2 2cos ,sin

yx

x y x y

وبالتعويض في المعادلة

2 2 (cos sin ) 7 0r r نحصل عمى

2 2 2 2

2 2 2 22 7 0

x yx y x y

x y x y

y

x

2 2x y

-032-

وباالختصار نحصل عمى 2 2 2 2 7 0x y x y دائرة معادلة وىي تمثل,(1مركزىا ىو وحدات. 4ونصف قطرىا (1

عبر عن المعادلة :(01-01) مثال

4

1 cosr

اإلحداثيات عمى صورة

المتعامدة الحل

اعادة كتابة المعادلة عمى الصورة ب (1 cos ) 4r

ستخدلم العالقات اوب

2 2 1

2 2, tan ( / ),cos

xr x y y x

x y

نحصل عمى

2 2

2 21 4

xx y

x y

ختصار نحصل عمى وباإل 2 2 4x y x بتربيع الطرفين نحصل عمى و 2 2 2 8 16x y x x نحصل عمى المعادلة وبإلختصار

2 8 16 0x x معادلة قطع مكافىء .ىي تمثل و بحيث أن حاصل ضرب تتحرك أوجد معادلة المحل اليندسى لنقطة (:01-00) مثال

)بعدىا عن النقطة ,0)a فى بعدىا عن النقطة( ,0)a 2يساويa. الحل

(7-01شكل ) جد أن نمن الشكل المقابل

( , )P r

( ,0 )a0( ,0 )a

r

A B

x

القطبية اإلحداثيات :العاشرالباب

-348-

2 2 2 22 cos , 2 cosAP a r ar B a r ar ومنيا فإن

2 2 2 2

2 22 2 4 2 2 4 2 2 2

2 cos 2 cos

2 cos = 2 4 cos

AP PB a r ar a r ar

a r ar a a r r a r

لمنقطة ىو يمعادلة المحل اليندس 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 4 cosAP PB a a a r r a r a

بتربيع الطرفين نحصل عمى

4 2 2 4 2 2 2 4

2 2 4 2 2 2

2 2 2 2 2

2 4 cos

2 4 cos 0

2 4 cos 0

a a r r a r a

a r r a r

r r a a

ومنيا فإن 2 2 2 2 2 2 2 22 4 cos 0 2 2 cos 1r a a r a a

-032-

المعادلة القطبية لمخط المستقيم -3\01الساقط عمية من نقطة االصل المعادلة القطبية لمخط المستقيم بمعمومية طول العمود

) التي يصنعيا ىذا العمود مع المحور القطبى، بفرض أن النقطةوالزاوية , )P r تقع عمى الخط المستقيم كما ىو موضح بالشكل التالي

( , )P r

x

r

( , )

(8-01شكل )

من الشكل نجد أن cos( )r

وىى تعتبر المعادلة القطبية لمخط المستقيم

,بداللة كل من يمكن كتابتيا عمى الصورة يوالت cos( ) cos cos sin sinr r r

وباستخدام التعويض cos , sinx r y r نحصل عمى المعادلة cos sinx y بالمعادلة العمودية والتي تعرف normal equation

لممستقيم في المستوى. : ويمكن التوصل لعدد من الحاالت الخاصة وذلك كما يمي

فإن معادلتة تكون عمى 0 ًا لممحور القطبىإذا كان المستقيم موازي -2sin الصورة r y

فإن معادلتة تكون عمى 90إذا كان المستقيم عموديًا عمى المحور القطبى -3cosrالصورة x

القطبية اإلحداثيات :العاشرالباب

-34:-

فإن معادلتة تكون عمى الصورة 0القطبى إذا كان المستقيم مارًا بالمحور -4

0 cos( ) cos cos sin sin

0= cos sin y=- cot

r r r

x y x

ل العمود ذا كان طو إأوجد المعادلة القطبية والعمودية لمخط المستقيم :(02-01) مثال يلمحور القطبوحدة ويميل ىذا العمود عن ا2 يصل يساو الساقط عمية من نقطة األ

بزاوية مقدارىا 4

الحلتقيم ىى ة لمخط المسيالمعادلة القطب

2 cos4

r

في حين أن المعادلةفي

يالصورة العمودية ى

2 cos sin 2

4 4x y x y

4,30)أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة (:03-01) مثال ويعمل زاوية ( مع المحور القطبي . 150مقدارىا

الحل)بفرض أن النقطة , )r . ىي أى نقطة تقع عمى الخط المستقيم

( , )r

x

A

O

(4,30 )

15030

60

r90

60

(9-01شكل )

الساقط عمى المستقيم من نقطة االصللحساب طول العمود 3

4sin60 4 2 32

OA

-022-

معادلة المستقيم في الصورة القطبية ىي cos( )r

حيث إن ل ىي طو

ىي الزاوية التي يصنعيا ىذا العمود مع صل والعمود الساقط عمية من نقطة األ .يالمحور القطب

2وطولة يساوي 60يميل بزاوية مقدارىا OAن العمودي إوحيث 3 معادلة فإن تكون عمى الصورةالمستقيم

cos( 60 ) 4sin60 cos( 60 ) 2 3OA r r

القطبية اإلحداثيات :العاشرالباب

-352-

Polar equation of a circleالمعادلة القطبية لمدائرة -4\01مركزىا ىو النقطة ياستنتاج معادلة الدائرة القطبية والتإلى نسعى اآلن سوف

0 0( , )C r , ونصف قطرىاa بفرض أن النقطة ،( , )P r في نقطة عمى الدائرة كما يى بإستخدام العالقات المثمثية ، نجد أن و OCP، من المثمث يالشكل التال

2 2 2

0 0 02 cos( )a r r r r 0وىي المعادلة القطبية لمدائرة التى مركزىا 0( , )C r ونصف قطرىاa.

(01-01شكل )

0rذا مرت الدائرة بنقطة االصل فإن إ أوال : a ومنيا فإن

2 2 2

0 0 0

2 2 2

0

2

0 0

2 cos( )

2 cos( )

2 cos( ) 2 cos( )

a r r r r

a a r ar

r ar r a

الموجب السينيمرت الدائرة بنقطة االصل وكان مركزىا يقع عمى المحور إذا ثانيا :positive x-axis 0فإن 0 ومنيا فإن

2 cos( )r a الموجب الصادىمرت الدائرة بنقطة االصل وكان مركزىا يقع عمى المحور إذا ثالثا :

positive y-axis 0فإن2

ومنيا فإن

2 cos( /2) 2 sin( )r a r a السالب السينىمرت الدائرة بنقطة االصل وكان مركزىا يقع عمى المحور إذا رابعا :

negative x-axis 0فإن ومنيا فإن 2 cos( ) 2 cos( )r a a

-020-

السالب الصاديمرت الدائرة بنقطة االصل وكان مركزىا يقع عمى المحور إذا خامسا :negative y-axis 0فإن

3

2

ومنيا فإن

2 cos( 3 /2) 2 sin( )r a r a

يوضح تمك الحاالتوالشكل التالي

(00-01شكل )

4,30)والتي مركزىا أوجد معادلة الدائرة :(04-01) مثال لمحور السينيتمس او (

الحل من الشكل المقابل نجد أن نصف

2aقطر الدائرة ىو وعمى ذلك تكون

الدائرة المطموبة ىي الدائرة التي

4,30)مركزىا ىو 2aونصف قطرىا (

x

30

4

O

(4,30 )C

a

القطبية اإلحداثيات :العاشرالباب

-354-

2بالتعويض في المعادلة 2 2

0 0 02 cos( )a r r r r بالقيم

0 02, 4, =30 =6

a r

معادلة الدائرة عمى الصورة نحصل عمى

2 4 cos( ) 12 06

r r

-022-

القطبية لمقطاعات المخروطية تالمعادال -5\01Polar equations of Conic section

ن النسبة إالفراغ بحيث في ىو مستقيم محددLنقطة ثابتة وأن المستقيم Fبفرض أن PF

PQالمسافة العمودية من يى PQ بحيث أنeتكون قيمة موجبة ويرمز ليا بالرمز

. وبفرض أن Fحتى النقطةPالمسافة من النقطة يى PFوLحتى المستقيم Pالنقطة (0,0)صل ىي نقطة األFالنقطة

(02-01شكل )

, من ىندسة الشكل السابق، نجد أن cosPF r PQ d r ومنيا فإن

cos- cos

(1 cos ) 1 cos

re r de er

d r

der e de r

e

ى عتمادا عماساسية لكل القطاعات المخروطية. و ي المعادلة األوتعتبر تمك المعادلة ى :يمعادلة الدليل نحصل عمى عدة صور من تمك المعادلة وذلك كما يم

القطبية اإلحداثيات :العاشرالباب

-356-

المعادلة القطبية معادلة الدليل

x d

1 cos

der

e

x d

1 cos

der

e

y d

1 sin

der

e

y d

1 sin

der

e

يواآلن نسعى إلثبات أن المعادلة الناتجة تمثل قطع مخروط 1eأوال : حالة القطع المكافىء ) )

1eثبات أن المعادلة تمثل قطع مكافىء نعوض عن إل كما يمي وذلك cos cosr de er r d r

cosxن إوحيث r 2وكذلك 2r x y فإن 2 2cos r d r x y d x

من الجذر، نحصل عمى صبتربيع الطرفين لمتخم2 2 2 2

2 2 2

2

2 22

x y d x dx

dy d dx y d x

0, يوىى تمثل قطع مكافىء رأسة ى2

d

يساريوقطع مكافىء

1e: حالة القطع الناقص ) ثانيا ) 1eثبات أن المعادلة تمثل قطع ناقص بمعمومية أن إل وذلك كما يمي

cos r de er cosxن إوحيث r 2وكذلك 2r x y فإن

2 2x y de ex بتربيع الطرفين لمتخمص من الجذر، نحصل عمى

-022-

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( ) 2

(1 ) (2 ) ( )

x y de ex x y de e x dxe

e x de x y de

وبإكمال المربع نحصل عمى

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2

22 2 2 2

2 2 2 2

(2 ) ( )(1 ) (2 ) ( )

(1 ) (1 ) (1 )

( )

1 (1 ) 1 (1 )

1 (1 ) (1 )

de y dee x de x y de x x

e e e

de y de dex

e e e e

de y d ex

e e e

وبقسمة كال الطرفين عمى 2 2

2 2(1 )

d e

e وعمى إعتبار أن

2

21

deh

e

نحصل

عمى

2 2

2 2 2 2

2 2 2

1

(1 ) (1 )

x h y

d e d e

e e

عتبار أن اوعمى 2 2

2

2 2(1 )

d ea

e

و

2 22

2(1 )

d eb

e

وذلك بمعمومية أن

1e يمكن التعبير عن المعادلة السابقة عمى الصورة 2 2

2 2

( )1,

x h y

a b

2بين كال من وكما نالحظ أن العالقة 2,a b كما يمي يى 2 2 2(1 ), 1b a e e

وىي معادلة قطع ناقص1eثالثا : حالة القطع الزائد ) )

1eوىو مشابو تماما لمحالة السابقة بإستثناء أن في وىو ما سوف يظير خيرة كما يميالمعادلة اال

2 2

2 2 2 2

2 2 2

1

(1 ) (1 )

x h y

d e d e

e e

القطبية اإلحداثيات :العاشرالباب

-358-

يمكن إعادة كتابتيا عمى الصورة يوالت

2 2

2 2 2 2

2 2 2

1

( 1) ( 1)

x h y

d e d e

e e

عتبار أن اوعمى 2 2

2

2 2( 1)

d ea

e

و

2 22

2( 1)

d eb

e

1eبمعمومية أن

الصورة يمكن التعبير عن المعادلة السابقة عمى2 2

2 2

( )1,

x h y

a b

2وكما نالحظ أن العالقة بين كال من 2,a b ىى كما يمي 2 2 2( 1), 1b a e e

أن المعادالت التالية إلى ومما سبق يمكن التوصل

1 cos 1 sin

de der r

e e

ويكون ىذا القطع : يتمثل قطع مخروط1eكانت إذا قطع مكافىء

2كانت إذا قطع زائد 2 21, ( 1)e b a e 2كانت إذا قطع ناقص 2 20 1, (1 )e b a e

في حين أن cosوجد بالمعادلة إذا ويكون القطر االكبر منطبقًا عمى المحور القطبي sinوجد بالمعادلة إذا وديُا عمى المحور القطبيالقطر االكبر يكون عم

ارسم مع التوضيح المنحنى الخاص بالمعادلة القطبية :(05-01) مثال10

3 2cosr

الحل نقوم اوال بوضع المعادلة عمى إحدى الصور العامة التالية

1 cos 1 sin

de der r

e e

لنحصل عمى 4طريق قسمة المعادلة عمى وذلك عن

-022-

1010 3

23 2cos1 cos

3

r

2ىو يومنيا يكون معامل االختالف المركز 1

3e ولذلك فيو قطع ناقص أفقى

(، اليجاد polar axis) يومحوره االكبر يقع عمى المحور القطب القطبفي تقعبؤرتو 0عن نيايات المحور االكبر نعوض و عمى: لنحصل

0عندما تكون أوال: 2نحصل عمىr يومنيا فإن تكون الرأس ى V(2,0) عندما تكون ثانيا : 10ل عمى نحصr يومنيا فإن تكون الرأس ى

V(10, )2كبر . طول المحور األ 12 6.VV a a . وتكون إحداثياتيا major axisمنتصف المحور االكبر في مركز القطع الناقص يقع

,4)ىى ). 2، نستخدم العالقة minor axisصغر ر األإليجاد طول المحو 2 2(1 )b a e

2وبالتعويض عن قيمة , 6

3e a 20نحصل عمىb ويتضح ذلك من خالل

الشكل التالي.

(03-01شكل )

ارسم مع التوضيح المنحنى الخاص بالمعادلة القطبية :(06-01) مثال10

2 3sinr

الحل وال بوضع المعادلة عمى إحدى الصور العامة التالية نقوم أ

القطبية اإلحداثيات :العاشرالباب

-35:-

وذلك عن طريق

لنحصل عمى 3قسمة المعادلة عمى

10 5

32 3sin1 sin

2

r

3ومنيا يكون معامل االختالف المركزى ىو 1

2e يولذلك فيو قطع زائد رأس

(، اليجاد نيايات polar axis) ياالكبر يقع عمودى عمى المحور القطب محورهالمحور االكبر نعوض عن

2

3و

2

عمى لنحصل

عندما تكون أوال":2

2نحصل عمىr س ىى ومنيا فإن تكون الرأV(2, )

2

3عندما تكون ثانيًا :

2

10نحصل عمىr ومنيا فإن تكون الرأس ىى

3V(-10, )

2والتى تكافىء

V(10, )2

كبر .طول المحور األ 2 8 4.VV a a. وتكون إحداثياتيا ىى real axis يمنتصف المحور الحقيقفي مركز القطع الزائد يقع

(6, )2

.

، نستخدم العالقة conjugate axisالتخيميإليجاد طول المحور 2 2 2( 1)b a e 3وبالتعويض عن قيمة

, 42

e a 20نحصل عمىb ،

ويتضح ذلك من خالل الشكل التالي.

1 cos 1 sin

de der r

e e

-052-

(04-01شكل )

15ارسم مع التوضيح المعادلة القطبية التالية :(07-01) مثال

4 4cosr

الحل نقوم اوال بوضع المعادلة عمى إحدى الصور العامة التالية

1 cos 1 sin

de der r

e e

لنحصل عمى 5مة المعادلة عمى وذلك عن طريق قس15/4

1 cosr

1eىو يومنيا يكون معامل االختالف المركز وبيذا فيو قطع مكافىء معادلة دليمة15 يى

4x وىو قطع مكافىء يمينى الفتحة . إليجاد الرأس نضع نحصل

15عمى

8r 15ومنيا فإن إحداثيات الرأس ىى

V( , )8

الشكل التالى.في وذلك كما

القطبية اإلحداثيات :العاشرالباب

-362-

(05-01شكل )

1 يبمعمومية معامل االختالف المركز :(08-01) مثال

4e 2والدليلx أوجد .

يالمعادلة القطبية ليذا القطع المخروط الحل

2xبمعمومية الدليل تكون عمى الصورة القطع المخروطيفإن معادلة

1 cos

der

e

.

1بالتعويض بقيمة كال من , 2

4e d نحصل عمى

(1/4)(2) 2

1 cos 1/(1/4)cos 4 cos

der

e

يالشكل التالفي عادلة قطع ناقص كما ىو موضحوىى بذلك م

(06-01شكل )

-050-

2e يبمعمومية معامل االختالف المركز :(09-01) مثال 4والدليلy أوجد . يالمعادلة القطبية ليذا القطع المخروط

الحل4yبمعمومية الدليل فإن معادلة الدليل تكون عمى الصورة

1 sin

der

e

.

,2بالتعويض بقيمة كال من 4e d نحصل عمى 8

1 sin 1 2sin

der

e

يالشكل التالفي بذلك معادلة قطع زائد كما ىو موضح يوى

(07-01شكل )

القطبية اإلحداثيات :العاشرالباب

-364-

:تمارين القطبية ارسم كال من النقاط التالية اإلحداثيات باستخدام -2

(2,50 ),(4,20 ),( 4,300 ),(2, /2)

4,120)بالنقطة وجد معادلة الخط المستقيم المارأ -3 .OXوعمودى عمى المحور (

.21القطب ونصف قطرىا في يقع مركزىا يأوجد معادلة الدائرة الت -4

8,120)ة التي يقع مركزىا عند النقطةأوجد معادلة الدائر -5 وتمر بالنقطة ((4,60 ).

القطبية إلى اإلحداثيات حول كل من المعادالت التالية -6

2 2 2 2

32

2 2

2 2

) ( ) 2

) - 3 0

) 2

) 4

) 5

) 2 3

a x y a xy

b x y

xc y

a x

d x y

e y

f x y xy y

الكارتيزية إلى اإلحداثيات حول كل من المعادالت التالية -7

2

) 3cos

) 45

) 9cos2

a r

b

c r

ناقش وارسم كال من -8

2

) 2(1 sin )

) 4sin2

) 1 2sin

a r

b r

c r

صنف وارسم كل من المنحنيات التالية -9

-052-

4)

2 cos

5)

1- cos

2)

2 3sin

a r

b r

c r

محورة يقع عمى المحور القطبي وبؤرتو عند يوجد معادلة القطع المكافىء الذأ -:4,0)نقطة االصل ودليمو يمر بالنقطة )

لمحور القطبي ة القطع الناقص الذى محورة االساسي يقع عمى اوجد معادلأ -21,6)صل ودليمو يمر بالنقطةوبؤرتو عند نقطة األ ) ختالفو المركز 0.5ىو يوا

,4)رأسة يوجد معادلة القطع الزائد الذأ -22 /2) وبؤرتو عند نقطة االصل ختالفو المركز . 2ىو يوا