Vít Tuček — MFF UK

Aplikace abstraktní matematiky

aneb co všechno se dá násobit

Abstract mathematics…

–John von Neumann

“In mathematics you don’t understand things. You just get used to them.”

❖ Takže co všechno můžeme násobit?

Konečné okruhy Zn

❖ prvky jsou celá čísla od 0 do n - 1

❖ násobení a sčítání modulo n

❖ 2 + 3 = 5 = 1 mod 4

❖ 2 * 3 = 6 = 2 mod 4

A co Z24?

To bylo Z12

Co s tím? RSA!

Co s tím? RSA!

❖ šifrování

❖ dešifrování

Příklad p=7, q = 13n = 7*13 = 91,

ϕ(n) = 6 * 12 = 72

e = 5, d = 29e*d = 5*29 = 145 145 = 1 mod 72

a h o j 1, 8, 15, 10

1^5 = 1 mod 918^5 = 8 mod 91

15^5 = 71 mod 9110^5 = 82

1, 8, 71, 82

1^29 = 1 mod 918^29 = 8 mod 91

71^29 = 15 mod 9182^29 = 10 mod 91

1, 8, 15, 10

Co s tím? RSA!

Velká čínská věta o zbytcích

Sun Tzu (孙⼦子)

3. — 5. AD

Velká čínská věta o zbytcích

Nastoupeni v trojstupech, zbyde jeden. Nastoupeni v řadách po pěti, zbydou dva.

Nastoupí-li v sedmi řadách, zbydou tři.

Kolik vojáků je v armádě Han Xina?

Velká čínská věta o zbytcích

– Ludwig Wittgenstein

“Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen.”

Minimální kostra

❖ computer networks, telecommunications networks, transportation networks, water supply networks, and electrical grids

❖ http://en.wikipedia.org/wiki/Borůvka's_algorithm

Minimální kostra❖ Taxonomy.[19]

❖ Cluster analysis: clustering points in the plane,[20] single-linkage clustering (a method of hierarchical clustering),[21] graph-theoretic clustering,[22] and clustering gene expression data.[23]

❖ Constructing trees for broadcasting in computer networks.[24] On Ethernet networks this is accomplished by means of the Spanning tree protocol.

❖ Image registration[25] and segmentation[26] — see minimum spanning tree-based segmentation.

❖ Curvilinear feature extraction in computer vision.[27]

❖ Handwriting recognition of mathematical expressions.[28]

❖ Circuit design: implementing efficient multiple constant multiplications, as used in finite impulse response filters.[29]

❖ Regionalisation of socio-geographic areas, the grouping of areas into homogeneous, contiguous regions.[30]

❖ Comparing ecotoxicology data.[31]

❖ Topological observability in power systems.[32]

❖ Measuring homogeneity of two-dimensional materials.[33]

❖ Minimax process control.[34]

Komplexní čísla❖ součin dvou záporných reálných čísel je vždy kladný

❖ i2 = -1

Komplexní čísla polární souřadnice

z = r ei α

w = s ei β

z w = r s ei(α + β)

Komplexní číslaEulerova formule

❖ Fourierova transformace:

Komplexní čísla Fourierova transformace

frekvence —> amplituda

čas —> hodnota signálu

❖ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif

❖ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif

Fourierova transformace Nukleární magentická rezonance

❖ In 1983, Ljunggren[8] and Twieg[9] independently introduced the k-space formalism, a technique that proved invaluable in unifying different MR imaging techniques. They showed that the demodulated MR signal S(t) generated by freely precessing nuclear spins in the presence of a linear magnetic field gradient G equals the Fourier transform of the effective spin density.

❖ Continuous wave spectroscopy is inefficient in comparison with Fourier analysis techniques (see below) since it probes the NMR response at individual frequencies in succession.

Umíme násobit body v prostoru?Sir William Rowan Hamilton

(midnight, 3–4 August 1805 – 2 September 1865)

Umíme násobit body v prostoru?Sir William Rowan Hamilton

(midnight, 3–4 August 1805 – 2 September 1865)

Násobení čtveřic

Gimbal lock

https://www.youtube.com/watch?v=zc8b2Jo7mno&t=38

Gimbal lock"How about sending me a fourth gimbal for Christmas?"

— Michael Collins, Apollo 11 Command Module Pilot

Quaternions to the rescue!

Dirakův trik s páskem

https://vimeo.com/62228139

Prostor dyád

tón = frekvence až na oktávu = “kružnice”

dva tóny = součin dvou kružnic

dyáda = zapomenu pořadí

(ko)homologie

perzistentní topologie

perzistentní homologie

perzistentní topologie

perzistentní topologie

perzistentní topologie

perzistentní topologie

perzistentní topologie

kolaborační sítě

Za každý článek, který spolu dva autoři napsali přidám k jejich vzdálenosti 1/(n-1) kde n je celkový počet autorů článku.

kolaborační sítě

Kempe’s theorem

❖ http://www.koutschan.de/data/link/index.html

❖ Kempe 1876

Wir müssen wissen.Wir werden wissen.

— David Hilbert