VEKTOR

VECTOR

Pengertian Vektor

• vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah.

• Misalnya : kecepatan, percepatan, dan lain-lain.

Lingkup vektor

Penulisan vektor• Vektor biasanya dituliskan

dengan huruf kecil tebal misalnya u cara lain untuk menuliskan vektor adalah dengan menuliskan ruas garis AB disertai tanda anak panah diatasnya seperti

A

B

Modulus Vektor• Modulus vektor adalah ukuran (panjang)

vektor u dan ditulis dengan notasi |u|, dimana

• |u| = x2+y2

x

y

Vektor posisi• Adalah vektor yang

menyatakan kedudukan setiap titik diruang koordinat Cartesius.

• Sebagai contoh, titik A relative terhadap O, Maka , disebut vektor posisi A terhadap titik O

0

A

Kesamaan dua vektor• Dua vektor dikatakan

sama apabila panjang serta arahnya sama

• a=b, jika |a| = |b| atau arah a = arah b

a b

• Vektor –a mempunyai ukuran yang sama dengan vektor a tetapi arahnya berlawanan. Jika vektor –a = b. Maka |a| = |-b|, vektor negative sering disebut sebagai vektor invers

a b

OPERASI PADA VEKTOR

Perkalian vektor dengan skalar• Jika k bilangan real yang

positif, maka ku adalah vektor yang panjangnya k |u| dan mempunyai arah yang sama dengan u. Sedangkan – ku adalah vektor yang panjangnya k |u| tetapi berlawanan arah dengan u.

u2u

• Menggambar Penjumlahan vektor aturan segitiga

Cara menjumlahkanya dengan aturan segitiga adalah

Mengubungkan ujung vektor a dengan titik pangkal vektor b

ab

a b

a + b

Cara jajaran genjang

• AB dan DC mewakili vektor a, • dan AD dan BC mewakili vektor b.• Maka AC = a+b. Cara kedua ini

disebut penjumlahan vektor dengan aturan jajaran genjang

a+bb

aA B

CD a

b

Contoh Penjumlahan

a + b =

a

b

PENJUMLAHAN 3 VEKTOR

• Untuk menjumlahkan tiga buah vektor a,b dan c dapat kita lakukan terlebih dahulu menjumlahkan vektor a dan b. Setelah resultan kedua vektor itu dicari kemudian jumlahkan vektor C

a

b c

a+b+c

a+b

bac

Pengurangan atau selisih

• Selisih dua vektor a dan b dinyatakan sebagai a – b, dapat dipandang sebagai penjumlahan vektor a dan dengan invers vektor b, yaitu vektor -b

a - ba b

- ba

- b

Konsep Vektor pada bangun ruang (Dimensi Tiga)

• Koordinat ruang

dimensi tiga terdiri atas sumbu OX,OY, dan OZ yang satu sama lain saling tegak lurus. Sebuah titik dalam ruang dimensi tiga disajikan dalam pasangan berurutan (x,y,z)

Koordinat bangun ruang

x

y

z

cara menggambar vektor pada bangun ruang (Dimensi Tiga)

• Gambarlah vektor r

dengan titik (3,4,6)

x

y

z

34

6

Mencari komponen vektor pada bangun

ruang

x

y

z

4

7

-2

5

3

O

A(3,4,7)

B(-2,5,1)

Dari gambar tampak bahwa

AB = AO + OB = -a + b= -(3,4,7) + (-2,5,1)= (-3,-4,-7) + (-2,5,1)

AB= (-5,1,-6)

1

Agar AB bisa dihitung balikan panah AO = a menjadi OA = -a

Panjang vektor

• Panjang vektor atau modulus vektor

a adalah |a|, yang dalam system koordinat di samping digambarkan dengan panjang OA

• Jika A adalah titik (x,y,z), maka

x

y

zDengan menggunakan teori phytagoras

Y X

O

P

CARI NILAI OP = X2+Y2

Masih menggunakan pytagoras OA = OP2 + z2 OA = X2 + Y2 + z2

A

Operasi pada vektor

Contoh :Diketahui titik A(5,4,6) dan B(-2,5,1). Tentukan jarak antara titik A dan B

d=(-2-5)2 + (5-4)2 + (1-6)2

d=49+1+25 d=75 = 5 3

Perkalian scalar dua vektor

• Hasil skala dua vektor a dan b yang ditulis a b ∙didefinisikan sebagai |a| |b| ∙ cos , dimana adalah sudut antara vektor a dan b.

•

a∙b = |a|∙|b| cos a

b

contoh

• Tentukan hasil scalar vektor a dan b pada, jika |a|= 5, |b|=6 dan besar sudut antara vektor a dan b adalah 600

• Jawab : a b = 5 x 6 x cos ∙ 600

• = 30 x 0,5• = 15

Sifat-sifat Hasil kali scalar

• Dua vektor yang saling sejajarJika a dan b merupakan dua vektor yang arahnya sama,

maka

a b∙ = |a| |b| ∙ cos 0o

= |a| |b| ∙ ∙ 1 = |a| |b|∙0 ba

Dua vektor yang saling tegak lurus

a b ∙ = |a| |b| ∙ cos 90o

= |a| |b| ∙ ∙ 0 = 0

a

b

0

Dua vektor yang saling berlawanan arah • a b∙ = |a| |b| ∙ cos 180o

= |a| |b| ∙ ∙ (-1) = - |a| |b|∙

0a b

Perkalian scalar dua vektor dalam bentuk komponen

misalkan vektor a dan b dinyatakan dengan bentuk tripel berikut ini,

a= a1i + a2j+ a3k dan b = b1i + b2j+ b3k makaa b = (∙ a1i + a2j+ a3k) (b∙ 1i + b2j+ b3k)• Dengan menggunakan sifat distributive dan hasil kali 2 vektor basis

yang saling tegak lurus dan searah berikut,• i i = 1, j j = 1, k k = 1, i j = 0, i k = 0, j k = 0∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙• maka perkalian scalar di atas dapat disajikan pada table berikut .

a.b b1i b2j b3k

a1i a1b1 0 0

a1j 0 a1b1 0

a1k 0 0 a1b1

• Dengan demikian, kita peroleh rumus hasil kali scalar 2 vektor sebagai berikut

a b = ∙ a1b1 + a2b2 + a3b3

Contoh :Diberikan vektor –vektor sebagai berikut :a = (1,2,4) b = (5,2,0)Tentukan hasil kali scalar dua vektor tersebut

Jawab :

a b = 1.5 + 2.4 + 4.0∙ = 5 + 8 + 0

a b = 13∙

Sudut antara 2 vektor

Cos = a.b|a| |b|∙

x

y

z

-6

7

-22

3

O

A(3,-2,5)

B(2,-6,7) 5

A ( 3,-2,5) B (2,-6,7)