Unidad4. funciones trigonometricas gonzalo revelo pabon

Luis Gonzalo Revelo Pabón

Dpto. de Matemáticas - Goretti 30

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para analizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctrica alterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los planetas, ciclos biológicos, etc.

En aplicaciones de las funciones trigonométricas relacionadas con fenómenos que se repiten periódicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de números reales. Para la obtención de valores de las funciones trigonométricas de números reales con una calculadora por ejemplo, se debe usar el modo radián. FUNCION SENO

La función seno está definida por la expresión: f (x) = y= Sen x.

Características de la función Seno.

1.- Dominio: El conjunto de los números reales ,

2.- Codominio: Son los valores comprendidos ente 1; o en el intervalo [1,-1]

3.- La función Seno es periódica ya que sus valores se repiten cada 360º o 2 rad. Por lo tanto su periodo es igual a 2 rad. 4.- El valor máximo de y= Sen x es 1, y el mínimo valor es -1. 5.-La amplitud de la función y=Sen x es 1.

TALLER Graficar en el plano cartesiano los siguientes valores que se encuentran en grados sexagesi-

males y radianes.

X 0º 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

0 /6 /3 /2 2 /3 5 /6 7 /6 4 /3 3 /2 5 /3 11 /6 2

Y 0 0,5 0,866 1 0,866 0,5 0 -0,5 -0,86 -1 -0,86 -0,5 0



FUNCION COSENO

La función coseno está definida por la expresión: f (x) = y= Cos x.

Características de la función Coseno.

1.- Dominio: El conjunto de los números reales , 2.- Codominio: Son los valores comprendidos ente 1; o el intervalo [1,-1]

3.- La función coseno es periódica ya que sus valores se repiten cada 360º o 2 rad. Por lo

tanto su periodo es igual a 2 rad. 4.- El valor máximo de y= Cos x es 1, y el mínimo valor es -1. 5.-La amplitud de la función y=Cos x es 1. TALLER

Graficar en el plano cartesiano los siguientes valores que se encuentran en grados sexagesi-

males y radianes.

X 0º 30º 60º 90º 120º 150º 180 210º 240º 270º 300º 330º 360º

0 /6 /3 /2 2 /3 5 /6 7 /6 4 /3 3 /2 5 /3 11 /6 2

Y 0 0,866 0,5 0 -0,5 -0,866 -1 -0,866 -0,5 0 0,5 -0,866 1



FUNCION TANGENTE

La función tangente está definida por la expresión: f (x) = y= tang x.

Características de la función Tangente.

1.- Dominio: - *( )

+

2.- Codominio:

3.- La función tangente, es una función periódica, ya que sus valores se repiten cada 180º o radianes. Por lo tanto su periodo es igual a rad.

TALLER

Graficar en el plano cartesiano los siguientes valores que se encuentran en grados sexagesi-

males y radianes.

X 0º 30º 60º 90º 120º 150º 180 210º 240º 270º 300º 330º 360º

0 /6 /3 /2 2 /3 5 /6 7 /6 4 /3 3 /2 5 /3 11 /6 2

Y 0 0,5773 1,7320 + -1,732 -0,5773 0 0,5773 1,7320 + -1,732 -0,5773 0



FUNCIONES SINUSOIDALES

Son funciones relacionadas con las funciones seno y coseno:

Y = Asen (Bx + C) + D, Y = A Cos (Bx + C) + D.

Dónde:

A: ampliación o reducción vertical. B: ampliación o reducción horizontal. C: desplazamiento horizontal D: desplazamiento vertical.

CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES SINUSOIDALES.

1. LA AMPLITUD (A): es el máximo valor VERTICAL, que toma la función seno o coseno. 2. EL PERIODO (T): es el máximo valor HORIZONTAL, que toma la función seno o co-

seno y está definido por:

T

ó T

3. EL DESFASE ( ): es el desplazamiento horizontal de la función sinusoidal, desde el origen del plano cartesiano hasta donde inicia la función sinusoidal (desplazamiento de la función hacia la derecha o hacia la izquierda del origen del plano cartesiano). Para determinar este desplazamiento se tiene la siguiente expresión algebraica.

=

4. EL DESPLAZAMIENTO VERTICAL: es una traslación vertical en D unidades de la gráfica sinusoidal.

Ejemplos:

Encontrar la amplitud (A), el desfase ( ) de las siguientes funciones sinusoidales y graficarlas en el plano cartesiano.

A) Y = 2 Sen2x B) Y = 5 Cos 4x

C) Y = 8 Sen

D) Y = 4 Cos

.

A) Y = 2 Sen 2X al igualar con la ecuación Y = Asen (Bx + C) + D, se deduce que: A = 2 B = 2 C = 0 D = 0 Por lo tanto,

- la amplitud es igual A = 2

- =

=

= 0 Significa que la función inicia en 0º

- T

=

= 180º significa que la función termina en 180º.

Para graficar y tabular la función Y = 2 Sen 2x, al periodo lo dividimos entre cuatro (4), y ha este valor obtenido lo sumamos sucesivamente cuatro veces, iniciando la tabulación desde = 0º con el único fin de obtener los valores cuadrantales de la función. Así:



T = 180º/4 = 45º La tabla de valores será:

X 0º 45º 90º 135º 180º

Y 0 2 0 -2 0

B) Y = 5 Cos 4X al igualar con la ecuación Y = A Cos (Bx + C) + D, se deduce que: A = 5 B = 4 C = 0 D = 0 Por lo tanto,


- =

=

= 0 significa que la función inicia en 0º

- T

=


Para graficar y tabular la función Y = 5 Cos 4x, al periodo lo dividimos entre cuatro (4), y ha este valor obtenido lo sumamos sucesivamente cuatro veces, iniciando la tabulación desde = 0º con el único fin de obtener los valores cuadrantales de la función. Así: T = 90º/4 = 22,5º La tabla de valores será:

X 0º 22,5º 45º 67,5º 90º

Y 5 0 - 5 0 5



C) Y = 8 Sen

al igualar con la ecuación Y = A Sen(Bx + C) + D, se deduce que:

A = 8 B = 1/2 C = 0 D = 0 Por lo tanto,


- =

=


- T

=


Para graficar y tabular la función Y = 8 Sen x/2, al periodo lo dividimos entre cuatro (4), y ha este valor obtenido lo sumamos sucesivamente cuatro veces, iniciando la tabulación desde = 0º con el único fin de obtener los valores cuadrantales de la función. Así: T = 720º/4 = 180º La tabla de valores será:

X 0º 180º 360º 540º 720º

Y 0 8 0 -8 0



D) Y = 4 Cos

al igualar con la ecuación Y = A Cos (Bx + C) + D, se deduce que:

A = 4 B = 3/2 C = 0 D = 0 Por lo tanto,


- =

=


- T

=




Para graficar y tabular la función Y = 4 Sen 3x/2, al periodo lo dividimos entre cuatro (4), y ha este valor obtenido lo sumamos sucesivamente cuatro veces, iniciando la tabulación desde = 0º con el único fin de obtener los valores cuadrantales de la función. Así: T = 240º/4 = 60º La tabla de valores será:

X 0º 60º 120º 180º 240º

Y 4 0 -4 0 4

EJEMPLOS Dibujar en el plano cartesiano las siguientes funciones sinusoidales, indicando su amplitud, desfasaje y periodo.

1. Y = 4 Sen (2x + 40) 2. Y = 3 Cos (6x - 120) 3. Y = 2 Sen (5x - 60) 1. Y = 4 Sen (2x + 40) al igualar con la ecuación Y = A Sen (Bx + C) + D, se deduce

que: A = 4 B = 2 C = 40 D = 0 Por lo tanto,


- =

=

= -20º significa que la función inicia en - 20º

- T

=

= 180º significa que la función da un ciclo completo cada 180º.



- La función termina = + T

- La función termina = -20º + 180º = 160º

Para graficar y tabular la función Y = 4 Sen (2x + 40), al periodo lo dividimos entre cuatro (4), y ha este valor obtenido lo sumamos sucesivamente cuatro veces, iniciando la tabulación desde = -20º con el único fin de obtener los valores cuadrantales de la función. Así: T = 180º/4 = 45º La tabla de valores será:

X - 20º 25º 70º 115º 160º

Y 0 4 0 -4 0

2. Y = 3 Cos (6x - 120) al igualar con la ecuación Y = A Cos (Bx + C) + D, se deduce que:

A = 3 B = 6 C = - 120 D = 0 Por lo tanto,


- =

= ( )

= 60º significa que la función inicia en 60º



- T

=



- La función termina = 60º + 60º = 120º

Para graficar y tabular la función Y = 3 Cos (6x - 120), al periodo lo dividimos entre cuatro (4), y a este valor obtenido lo sumamos sucesivamente cuatro veces, iniciando la tabulación desde = 60º con el único fin de obtener los valores cuadrantales de la función. Así: T = 60º/4 =15º La tabla de valores será:

X 60º 75º 90º 105º 120º

Y 3 4 0 -4 0

3. Y = 2 Sen (5x - 60) al igualar con la ecuación Y = A Sen (Bx + C) + D, se deduce que: A = 2 B = 5 C = - 60 D = 0 Por lo tanto,


- =

= ( )

= 12º significa que la función inicia en 12º

- T

=





- La función termina = 12º + 72º = 84º

Para graficar y tabular la función Y = 2 Sen (5x - 60), al periodo lo dividimos entre cuatro (4), y a este valor obtenido lo sumamos sucesivamente cuatro veces, iniciando la tabulación desde = 12º con el único fin de obtener los valores cuadrantales de la función. Así: T = 72º/4 = 18º La tabla de valores será:

X 12º 30º 48º 66º 84º

Y 0 2 0 -2 0

TALLER Dibujar en el plano cartesiano las siguientes funciones sinusoidales, indicando su amplitud, desfasaje y periodo.

1. Y = 3 Sen (8x + 40) 2. Y = 4 Cos (3x - 240) 3. Y = 5 Sen (9x - 810)

4. Y = 2 Cos (

)

CARACTERISTICAS DE LAS GRAFICAS DE LAS FUNCIONES SINUSOIDALES.

Si en un plano cartesiano existe un gráfico de una función Sinusoidal, y nos piden encontrar la

ecuación algebraica que tienen la forma:

Y = Asen (Bx + C) + D, Y = A Cos (Bx + C) + D.

Dónde:

A: ampliación o reducción vertical. B: ampliación o reducción horizontal. C: desplazamiento horizontal D: desplazamiento vertical.



Entonces para encontrar el periodo (T) y el desfase ( ) que se encuentran determinados en el gráfico, se debe tener en cuenta que: T = Angulo donde termina la función – Angulo donde inicia la función

= Distancia desde punto donde Inicia la función al Origen del plano cartesiano Es decir: Ahora, para establecer los coeficientes B y C, de las ecuaciones Sinusoidales, partimos de las ecuaciones de periodo (T) y desfase ( ), así:

T =

entonces B =

Ahora:

=

entonces C =

Ejemplo: Dadas las siguientes gráficas. Se pide hallar la Amplitud (A), el Periodo (T), el Desplazamiento

de fase ( ) y escribir la ecuación que tiene la forma: Y = A Sen (Bx + C); Y = A Cos (Bx + C)



Al observar la gráfica, se obtiene que, el periodo (T) y el desfase ( ) de la función es igual a: T = Los grados donde la función termina – los grados donde la función inicia T = 500º - 100º = 400º

= Distancia desde el origen del plano cartesiano al punto donde inicia la función.

= +100º

Pero: B =

=

= 9/10

C = . B = (+100grados)(9/10) = 90grados = 90º.

Remplazamos en la función Y = A Sen (Bx + C), para obtener: Y = 2 Sen (9x/10 + 90º)

Ejemplo:

Al observar la gráfica, se obtiene que, el periodo (T) y el desfase ( ) de la función es igual a: T = Los grados donde la función termina – los grados donde la función inicia T = 60º - (-60º) = 60º + 60º = 120º


= - 60º

Pero: B =

=

= 3

C = . B = (- 60 grados)(3) = - 180 grados = -180º.

Remplazamos en la función Y = A Sen (Bx + C), para obtener: Y = 4 Sen (3x - 180º)



Ejemplo:

Al observar la gráfica, se obtiene que, el periodo (T) y el desfase ( ) de la función es igual a: T = Los grados donde la función termina – los grados donde la función inicia T = 540º - (-180º) = 540º + 180º = 720º


= - 180º

Pero: B =

=

= 1/2

C = . B = (- 180 grados)(1/2) = - 90 grados = -90º.

Remplazamos en la función Y = A Sen (Bx + C), para obtener: Y = 4 Sen (x/2 - 90º)

Ejemplo:





= +20º

Pero: B =

=

= 3

C = . B = (20 grados)(3) = 60 grados = 60º.

Remplazamos en la función Y = A Cos (Bx + C), para obtener: Y = 5 Sen (3x + 60º)

Ejemplo:



= +0º

Pero: B =

=

= 1/2

C = . B = (0 grados)(1/2) = 0 grados = 0º.

Remplazamos en la función Y = A Cos (Bx + C), para obtener: Y = 4 Sen x/2

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