Trigonometria

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULOTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

A

B

C

a

b

c

a2 = b2 + c2

⍺⍺⍺⍺

=sen ⍺⍺⍺⍺ ca

=cos ⍺⍺⍺⍺ ba

ββββ

=tg ⍺⍺⍺⍺ c

b

⍺ + + ββββββββ = 90= 90°°

cateto oposto

hipotenusasen =

cateto adjacente

hipotenusacos =

cateto oposto tg =

cateto adjacente

=sen ββββ ba

=cos ββββ ca

=tg ββββ b

c

sen ⍺⍺⍺⍺ = cos ββββSe ⍺ + + ββββββββ = 90= 90°°

sen sen ⍺ = cos ββββββββ

EXEMPLOS: EXEMPLOS:

sen 30sen 30 °°= cos 60°sen 10°= cos 80°

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULOTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

A

B

C

a

b

c

⍺⍺⍺⍺

=sen ⍺⍺⍺⍺ ca

=cos ⍺⍺⍺⍺ ba

ββββ

=tg ⍺⍺⍺⍺ c

b

cateto oposto

hipotenusasen =

cateto adjacente

hipotenusacos =

cateto oposto tg =

cateto adjacente

=sen ββββ ba

=cos ββββ ca

=tg ββββ b

c

a2 = b2 + c2

⍺ + + ββββββββ = 90= 90°°

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUERTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUER

AAAA

CCCC

BBBB

cc

aabb

aasen Asen A == 2R2R

LEI DOS SENOSLEI DOS SENOS

bbsen Bsen B ==

ccsen Csen C

==

O

A B

R

CCCC

R

LEI DOS COSSENOSLEI DOS COSSENOS

aa22 = b= b22 + c+ c2 2 –– 2.b.c. (cos Â)2.b.c. (cos Â)

SENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMSENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉÉTRICOTRICO

B’

A’O

A

BP(αααα)

ααααM

Q sen ⍺⍺⍺⍺ =1

OQ

cos ⍺⍺⍺⍺ = 0Mcos

sen


sen 0º = sen 0 =

cos 0º = cos 0 =

(–1, 0)A’ A(1,0)

B(0, 1)ππππ/2

0 ou 2ππππππππO

3ππππ/2 B’(0, –1)

A(1, 0)0

⇒⇒⇒⇒

1

sen 90º = sen ππππ/2 =

cos 90º = cos ππππ/2 =B(0, 1)

1⇒⇒⇒⇒

0

sen 180º = sen ππππ =

cos 180º = cos ππππ =A’(–1, 0)

0⇒⇒⇒⇒

–1


(–1, 0)A’ A(1,0)

B(0, 1)ππππ/2

0 ou 2ππππππππO

3ππππ/2 B’(0, –1)

sen 270º = sen 3ππππ/2 =

cos 270º = cos 3ππππ/2 =B’(0,–1)

–1⇒⇒⇒⇒

0

sen 360º = sen 2ππππ =

cos 360º = cos 2ππππ =A(1, 0)

0⇒⇒⇒⇒

1

SENO E COSSENO SENO E COSSENO -- SINAISSINAIS

SENO

+ 1

– 1

+ +__

COSSENO

+ 1– 1

+

+

_

_O

BP(αααα)

ααααM

Q

cos

sen

O

P

M

1

cos αααα

sen αααα

sensen 22αααααααα +cos+cos 22αααααααα = 1= 1

B’

A’O A

BP(αααα)

αααα1

Ttg ⍺⍺⍺⍺ = ATtg

TANGENTE NO CICLO TRIGONOMTANGENTE NO CICLO TRIGONOM ÉÉTRICOTRICO

SENO

+ 1

+ +__

COSSENO

+ 1– 1

+

+

_

_

TANGENTE

+

+

_

_

1) sen2 x + cos2 x = 1 � Relação fundamental

2) tg x =sen x

cos x� (cos x ≠ 0)

3) cotg x =cos x

sen x� (sen x ≠ 0)=

1

tg x

4) sec x =1

cos x� (cos x ≠ 0)

5) cosec x =1

sen x � (sen x ≠ 0)

Adição e Subtra ção de Arcos

sen (a ±±±± b) = sen a . cos b ±±±± sen b . cos a

mcos (a ±±±± b) = cos a . cos b sen a . sen b

sen 75º =

sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30ºsen (a + b) = sen a . cos b + sen b. cos a

2

3.

2

2

2

2.

2

1 +

sen 75º =4

62 +

cos 15º =

cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30ºcos (a – b) = cos a . cos b + sen a. sen b

cos 15º =4

62 +

2

1.

2

2

2

3.

2

2 +

O valor de cos 10o cos 35o – sen 10o. sen 35º, é:

cos (a + b) = cos a . cos b - sen a. sen b

cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35ºcos (10º + 35o) =

cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35ºcos 45o =

= cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º

22



Seno e Cosseno do arco duplo

sen (2x) = 2sen x . cos x

cos (2x) = cos 2 x - sen 2 x

sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos xcos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x



O 0

B

A’

B’

ππππ/2

A

sen

1

Oππππ

B

A’

B’

ππππ/2

A

sen

1

Oππππ

B

A’

B’3ππππ/2

A

sen

–1

O A

B

A’

B’3ππππ/2

2ππππ

sen

–1

C D

D C

y = f(x) = sen x

0

ππππ

0–110y = sen x

2ππππ3ππππ/2ππππ/20x

x

y = sen x

0ππππ/2

1

–1

ππππ3ππππ/2 2ππππ

IMAGEM:

DOMÍNIO: ℜℜℜℜ[-1, 1]

CRESCENTE:

DECRESCENTE:

1º. e 4º. q

2º. e 3º. q

PERÍODO: 2ππππ

�Construir o gráfico da fun ção y = 1 + sen x:

1

0

ππππ

1021y = 1 + sen x

0–110sen x


x

y

0ππππ/2

1

–1

ππππ 3ππππ/2 2ππππ

2

–2

� y = sen x � y = 1 + sen x

p = 2ππππ

Im = [–1, 1]

p = 2ππππ

Im = [0, 2]

�Construir o gráfico da fun ção y = 2 sen x:

0

0

ππππ

0–220y = 2 sen x

0–110sen x


x

y

0ππππ/2

1

–1

ππππ3ππππ/2

2ππππ

2

–2

� y = sen x � y = 2sen x

p = 2ππππ

Im = [–1, 1]

p = 2ππππ

Im = [–2, 2]

O0

B

A’

B’

ππππ/2

A

cos

1 Oππππ

B

A’

B’

ππππ/2

A

cos

–1

Oππππ

B

A’

B’3ππππ/2

A

cos

–1 OA

B

A’

B’3ππππ/2

2ππππ

cos

1

D D

C C

y = f(x) = cos x

–1

ππππ

1001y = cos x


x

y = cos x

0ππππ/2

1

–1


IMAGEM:

DOMÍNIO: ℜℜℜℜ[-1, 1]

CRESCENTE:

DECRESCENTE:

3º. e 4º. q

1º. e 2º. q

PERÍODO: 2ππππ

�Construir o gráfico da fun ção y = sen 2x:

0

ππππ/2

ππππ

0–110y = sen 2x



x

y = sen x

0ππππ/2

1

–1

ππππ 3ππππ/2 2ππππππππ/4

3ππππ/4

[–2, 0]4ππππℝℝℝℝy = - 1 + sen (x/2)

[-1, 3]2ππππ/3ℝℝℝℝy = 1 + 2cos (3x + ππππ/2)

[–3, 1]2ππππℝℝℝℝy = –1 + 2sen (x + ππππ/2)

[–2, 4]ππππℝℝℝℝy = 1 + 3sen (2x)

2ππππ

2ππππ

2ππππ

2ππππ

2ππππ

Período

[2, 4]ℝℝℝℝy = 3 + cos (x)

[–1, 1]ℝℝℝℝy = cos (x)

[4, 8]ℝℝℝℝy = 6 + 2 sen (x)

[1, 7]ℝℝℝℝy = 4 + 3sen (x)

[–1, 1]ℝℝℝℝy = sen (x)

ImagemDomínioFunção

f(x) = a + b sen m xf(x) = a + b cos m x

O0

B

A’

B’

ππππ/2

A

tg

Oππππ

B

A’

B’

ππππ/2

A

tg

0

Oππππ

B

A’

B’3ππππ/2

A

tg

0O

A

B

A’

B’3ππππ/2

2ππππ

tg

0

C C

C C

0

ππππ

0∄∄∄∄∄∄∄∄0y = tg x


x

y = tg x

0ππππ/2


y = f(x) = tg x

x

IMAGEM:

DOMÍNIO:

ℜℜℜℜ

CRESCENTE:

SEMPRE

PERÍODO: ππππ

{x ∈∈∈∈ ℜℜℜℜ|x ≠≠≠≠2

π+ kπ}

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