INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”SAN CRISTÓBAL - ESTADO TÁCHIRA

Realizado por: Mantilla Garcia Glendis Vanessa

Matemática IV

Transformada de Fourier

Concepto: La buena  transformada  de  Fourier,  denominada  así  por Joseph  Fourier,  es una transformación  matemática  empleada  para  transformar  señales  entre el dominio  del  tiempo (o  espacial)  y  el dominio  de  la  frecuencia,  que  tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse  en  cualquiera  de  los  dominios  al  otro.  El  propio  término  se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce. La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función.  Un  buen  ejemplo  de  eso  es  lo  que  hace  el  oído  humano,  ya  que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias  (que  es  lo  que  finalmente  se  escucha).  El  oído  humano  va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió  la señal; es decir, en  la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.

Propiedades de la Transformada de Fourier: a) Propiedad de linealidad.Si F1(w) = F[f1(t)] y F2(w) = F[f2(t)], además a1 y a2 son dos constantes arbitrarias, entonces:F [a1 f1(t) + a2 f2(t)] = a1 F1(w) + a2 F2(w) b) Propiedad de escalamiento.Si a es una constante real y F(w) = F[f(t)] entonces:

 F[f(at)]=f()Si a es positiva y mayor que uno, f(at) es una versión comprimida de f(t) y su densidad espectral se expande en frecuencia por 1/a.Si a es positiva y menor que uno, f(at) se expande y su densidad espectral se comprime.c) Si F[f(t)] = F(w) entonces: F [f(- t)] = F(- w)

d) Propiedad de desplazamiento en el tiempo.Si F(w) = F[f(t)] entonces:

e) Propiedad de desplazamiento en la frecuencia.Si w0 es una constante real y F(w) = F[f(t)] entonces:

 f) Propiedad de simetría.Si F(w) = F[f(t)] entonces:

 

g) Propiedad de derivación en el tiempo.Si F[f(t)] = F(w) y f(t) 0 cuando t , entonces:

i) Teorema de convolución en el tiempo.Si F[f1(t)] = F1(w) y F[f2(t)] = F2(w), entonces: 

F[ f1(t) * f2(t) ] = F1(w) F2(w)  De acuerdo con este resultado se concluye que la convolución en el tiempo equivale al producto en la frecuencia.

j) Teorema de convolución en la frecuencia.Si F-1[F1(w)] = f1(t) y F-1[F2(w)] = f2(t), entonces: 

F-1[ F1(w) * F2(w) ] = 2 f1(t) f2(t)  

Según el resultado anterior se concluye que el producto en el tiempo equivale a la convolución en la frecuencia.En la tabla 1 se muestra un resumen de las propiedades de la transformada de Fourier. Puede observarse la simetría y la correspondencia entre los dominios del tiempo y la frecuencia.

Calcular la transformada de Fourier para la siguiente función f(t) no Periódica:

Este seria el resultado final.