1. - FRMULAS BSICAS DE LGEBRA Operaciones aritmticas aib + e) =
ab + ae, a e ae bd = bd af b a d cid = bc !!: + S = ad + be b d bd'
leyes de los signos -( -a) = a, -a a a b b-b Cero La divisin entre
cero no est definida. Si a =j:. O: ~ = O, aO = 1, o- = O Para
cualquier nmero a: a O = O a = O leyes de los exponentes Sia =j:.
O, -11I _ 1 a - amo El teorema del binomio Para cualquier entero
positivo n, n(n - 1) (a + b)" = a" + na"-1 b + a"-2b2 12 nin - l)(n
- 2) '3 + a"-~b + 1 23 + nab"-I + b". Por ejemplo, (a + b? = a2 +
2ab + b2, (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, (a - b)2 = a2 - 2ab +
j2 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 . Factorizacin de una
diferencia de potencias iguales de enteros, n > 1 a" - b" = (a -
b)(a"-1 + a"-2 b + a"-3b2 + ... + ab"-2 + b"-I ) Por ejemplo, a2 -
b2 = (a - b)(a + b), a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2), a4 - b4 = (a
- b)(a3 + a2b + ab2 + b3). Cmo completar un cuadrado Si a =j:. O,
ax2 + bx + e = au2 + e (u = x + (bI2a), e = e - !:) la frmula
cuadrtica Si a =j:. OYax: + bx + e = O, entonces -b Vb2 - 4ae 2a x=
FRMULAS BSICAS DE LGEBRA Operaciones aritmticas Leyes de los signos
a(b + e) = ab + ae, !!: + .f. = ad + be b d bd ' a e ae /Y"71 = bd
a/ b a d c/ d = /y"c -(-a) =a, -a a a b b-b Cero La divisin entre
cero no est definida. Si a =1= O: ~ = O, aO = 1, oa= O Para
cualquier nmero a: a" O = O" a = O Leyes de los exponentes (ab)1II
= alllbm , Sia =1= O, - m _ 1 a - am . EL teorema del binomio Para
cualquier entero positivo n, n(n - 1) (a + b)" = a" + na,,- Ib +
a"- 2b2 1 " 2 n(n - l )(n - 2) + a"- 3 b3 + 1" 2" 3 Por ejemplo, +
nab"- I + b" . (a + b? = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + i} (a
+ b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.
Factorizacin de una diferencia de potencias iguales de enteros, n
> 1 a" - b" = (a - b)(a"- I.+ a,,- 2b + a',-3b2 + .. . + ab,,-2
+ b"- I) Por ejemplo, a2 - b2 = (a - b)(a + b), a3 - b3 = (a -
b)(a2 + ab + b2), a4 - b4 = (a - b)(a3 + a2b + ab2 + b3 ). Cmo
completar un cuadrado Si a =1= O, ax2 + bx + e = au 2 + e (u = x +
(b/ 2a), e = e - !:) La frmula cuadrtica Si a =1= OYax2 + bx + e =
O, entonces -b Vb2 - 4ae x = 2a
2. TROMAS~ CALCULOUNA VARIABLE Decimosegunda edicin George B.
Thomas, Jr. Massachusetts Institute of Technology Revisada por
Mauriee D. Weir Naval Postgraduate Sehool Joel Hass University of
California, Davis Traduccin Vctor Hugo Ibarra Mercado Escuela de
Actuara Universidad Anhuac - Mxico Norte Revisin tcnica Carlos
Bosch Giral Csar Luis Garca Garca Claudia Gmez Wulschner
Departamento de Matemticas Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico
Manuel Robles Bernal Instituto Politcnico Nacional Addison-Wesley
Mxico > Argentina Brasil Colombia Costa Rica' Chile Ecuador
Espaa> Guatemala> Panam> Per > Puerto Rico >
Uruguay> Venezuela TROMAS~ CALCULOUNA VARIABLE Decimosegunda
edicin George B. Thomas, Jr. Massachusetts Institute of Technology
Revisada por Maurice D. Weir Naval Postgraduate School J oel Hass
University of California, Davis Traduccin Vctor Rugo !barra Mercado
Escuela de Actuara Universidad Anhuac - Mxico Norte Revisin tcnica
Carlos Bosch Giral Csar Luis Garca Garca Claudia Gmez Wulschner
Departamento de Matemticas Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico
Manuel Robles Bernal Instituto Politcnico Nacional Addison-Wesley
Mxico' Argentina' Brasil, Colombia Costa Rica' Chile ' Ecuador
Espaa' Guatemala' Panam ' Per' Puerto Rico' Uruguay '
Venezuela
3. / Datos de catalogacin bibliogrfica TROMAS Clculo una
variable Decimosegunda edicin PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2010 ISBN:
978-607-32-0164-3 rea: Matemticas Formato: 21.5 X 27.5 cm Pginas:
800 Authorizeded translation from the English language editions,
entitled THOMAS' CALCULUS, SINGLE VARIABLE, 12th Edition by GEORGE
THOMAS; MAURICE WEI; OEL HASS, published by Pearson Education,
Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright 2010. All rights
reserved. ISBN 9780321637420 Edicin en ingls Editor-in-Chief:
Deirdre Lynch Senior Acquisitions Editor: William Hoffman Senior
Project Editor: Rachel S. Reeve Associate Editor: Caroline Celano
Associate Project Editor: Leah Goldberg Senior Managing Editor:
Karen Wernholm Senior Production Supervisor: Sheila Spinney Senior
Design Supervisor: Andrea Nix Digital Assets Manager: Marianne
Groth Media Producer: Lin Mahoney Software Development: Mary
Durnwald and Bob Carroll Executive Marketing Manager: Jeff
Weidenaar Marketing Assistant: Kendra Bassi Senior Author
Support/Technology Specialist: [oe Vetere Senior Prepress
Supervisor: Caroline Fell Manufacturing Manager: Evelyn Beaton
Production Coordinator: Kathy Diamond Composition: Nesbitt
Craphics, Inc. Illustrations: Karen Heyt, IllustraTech Cover
Design: Rokusek Design Traduccin autorizada de la edicin en idioma
ingls, CALCULUS, SINGLE VARIABLE, 12" ed. Por GEORGE THOMAS;
MAURICE WEI; OEL HASS, publicada por Pearson Education, Inc.,
publicada como Addison-Wesley, Copyright 2010. Todos los derechos
reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en
espaol Editor: Rubn Fuerte Rivera e-mail:
[email protected] Editor de desarrollo: Felipe Hernndez
Carrasco Supervisor de produccin: Jos D. Hernndez Carduo
DECIMOSEGUNDA EDICIN, 2010 D.R. 2010 por Pearson Educacin de Mxico,
S.A. de ev. Atlacomulco 500-50. piso Col. Industrial Atoto 53519,
Naucalpan de [urez, Estado de Mxico Cmara Nacional de la Industria
Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031. Addison-Wesley es una marca
registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de ev. Reservados
todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin
pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de
recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea
electrnico, mecnico, fotoqu- mico, magntico o clectroptico. por
fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por
escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de
cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del
editor o de sus representantes. ISBN VERSIN IMPRESA:
978-607-32-0164-3 ISBN E-BOOK: 978-607-32-0165-0 ISBN E-CHAPTER:
978-607-32-0166-7 DJUL 1 23456789 O - 13 12 11 10 LlTOGRFICA
INGRAMEX, S.A. CENTENO No. 162-1 COL. GRANJAS ESMERALDA 09810
MXICO, D.F. Addison-Wesley es una marca de Impreso en Mxico.
Printed in Mexico. PEARSON ----- 2010 D / Datos de catalogacin
bibliogrfica THOMAS Clculo una variable Decimosegunda edicin
PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2010 ISBN: 978-607-32-0164-3 rea:
Matemticas Formato: 21.5 X 27.5 cm Pginas: 800 Authorizeded
translation from the English language editions, entitled THOMAS'
CALCULUS, SINGLE VARIABLE, 12th Edition by GEORGE THOMAS; MAURICE
WEI; OEL HASS, published by Pearson Education, Inc., publishing as
Addison-Wesley, Copyright 2010. AH rights reserved. ISBN
9780321637420 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls,
CALCULUS, SINGLE VARIABLE, 12" ed. Por GEORGE THOMAS; MAURICE WEI;
OEL HASS, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como
Addison-Wesley, Copyright 2010. Todos los derechos reservados. Esta
edicin en espaftol es la nica autorizada. Edicin en ingls
Editor-in-Chief: Deirdre Lynch Senior Acquisitions Editor: William
Hoffman Senior Project Editor: Rachel S. Reeve Associate Editor:
Caroline Celano Associate Project Editor: Leah Goldberg Senior
Managing Editor: Karen Wernholm Senior Production Supervisor:
Sheila Spinney Senior Design Supervisor: Andrea Nix Digital Assets
Manager: Marianne Groth Media Producer: Lin Mahoney Edicin en
espaol Editor: Rubn Fuerte Rivera e-mail:
[email protected] Editor de desarrollo: Felipe Hernndez
Carrasco Supervisor de produccin: Jos D. Hernndez Gardufto
DECIMOSEGUNDA EDICIN, 2010 D.R. 2010 por Pearson Educacin de Mxico,
S.A. de ev. Atlacomulco 500-50. piso Col. Industrial Atoto 53519,
Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico Cmara Nacional de la Industria
Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031. Software Development: Mary
Durnwald and Bob Carroll Executive Marketing Manager: Jeff
Weidenaar Marketing Assistant: Kendra Bassi Senior Author
Support/Technology Specialist: Joe Vetere Senior Prepress
Supervisor: Caroline Fell Manufacturing Manager: Evelyn Beaton
Production Coordinator: Kathy Diamond Composition: Nesbitt
Graphics, Ine. Illustrations: Karen Heyt, IllustraTech Cover
Design: Rokusek Design Addison-Wesley es una marca registrada de
Pearson Educacin de Mxico, S.A. de ev. Reservados todos los
derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden
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978-607-32-0164-3 ISBN E-BOOK: 978-607-32-0165-0 ISBN E-CHAPTER:
978-607-32-0166-7 Addison-Wesley es una marca de PEARSON -----
Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 123456789 O-1312 1110 DJUL
LITOGRFICA INGRAMEX, S.A. CENTENO No. 162-1 COL. GRANJAS ESMERALDA
09810 MXICO, D.F. 2010 D
4. REVISIN TCNICA Adelia Copas Enrique Santilln ES/ME,
Zacatenco-Instituto Politcnico Nacional Javier Mosqueda Lafarga
Instituto Tecnolgico de Culiacn Elio Csar Ramos Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus
Aguascalientes Mara Guadalupe Lomel Plascencia Instituto Tecnolgico
y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Guadalajara Daniel
Flores Barriga Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey-Campus Morelia Eduardo Soberanes Lugo Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Sinaloa
Roberto Nez Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de
Occidente Enrique Fernndez Daz Gabriel Martnez Chvez Instituto
Tecnolgico de Hermosillo Cutberto Romero Melndez Universidad
Autnoma Metropolitana- Unidad Azcapotzalco Socorro del Rivero
Jimnez Instituto Tecnolgico Superior de Cajeme Mario Mesino
Universidad Autnoma de Guadalajara Luca Gonzlez Rendn Universidad
de Guadalajara REVISIN TCNICA Adelia Copas Enrique Santilln ES/ME,
Zacatenco-Instituto Politcnico Nacional Javier Mosqueda Lafarga
Instituto Tecnolgico de Culiacn Elio Csar Ramos Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus
Aguascalientes Mara Guadalupe Lomel Plascencia Instituto Tecnolgico
y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Guadalajara Daniel
Flores Barriga Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey-Campus Morelia Eduardo Soberanes Lugo Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Sinaloa
Roberto Nez Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de
Occidente Enrique Fernndez Daz Gabriel Martnez Chvez Instituto
Tecnolgico de Hermosillo Socorro del Rivero Jimnez Instituto
Tecnolgico Superior de Cajeme Mario Mesino Universidad Autnoma de
Guadalajara Cutberto Romero Melndez UniversidadAutnoma
Metropolitana-Unidad Azcapotzalco Luca Gonzlez Rendn Universidad de
Guadalajara
5. Chile Juan Duarte Universidad de Antofagasta AGRADECIMIENTOS
Pearson Educacin agradece a los centros de estudio y profesores
usuarios de esta obra por su apoyo y retroalimentacin, elemento
fundamental para esta nueva edicin de Clculo, una variable,
Argentina Emilio Surez Instituto Tecnolgico de Buenos Aires Elena
Arlauskas Gabriela Righetti Universidad Tecnolgica Nacional
Regional Avellaneda Haydee Castelletti Silvia Adriana Mamone
Universidad de Belgrano Colombia Bernardo Aldana Gmez Nstor Ral
Pachn Escuela Colombiana de Ingeniera-Bogot Viviana Niselman
Universidad de Buenos Aires Elas Cardona ICESI Gladis Beatriz
Astargo Horacio Day Universidad Nacional de Cuyo Isabel Weinberg
Universidad Nacional de la Matanza Antonio Merchn Fernando Novoa
Gerardo Tole Hctor Linares Irina Reyes Ismael Garca Jaime Gmez Juan
Carlos Quintero Liliana Barreto Moiss Aranda Nazly Esmeralda Salas
Rafael Castro Pontificia Universidad Javeriana ngela Maldonado
Augusto Melgarejo Delicia Tisera Diego Vallejo Jos Surez Laura
Langoni Mara Ins Otegui Mara Teresa Guardarucci Mariel Lavaa
Mercedes Trpoli Miguel Sanservino Nstor Bucari Universidad Nacional
de la Plata Laureano Valencia Oswaldo Rodrguez Daz Universidad
Autnoma de Occidente-Cali Mario Bravo Universidad de San
Buenaventura-Cali Anglica Arnulfo Beatriz Introcaso Emilio Sastre
Jos Botto Mara Susana Montelar Mnica Casero Universidad Nacional de
Rosario Jos Villada Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas
AGRADECIMIENTOS Pearson Educacin agradece a los centros de estudio
y profesores usuarios de esta obra por su apoyo y retroalimentacin,
elemento fundamental para esta nueva edicin de Clculo, una
variable. Argentina Emilio Surez Instituto Tecnolgico de Buenos
Aires Haydee Castelletti Silvia Adriana Mamone Universidad de
Belgrano Viviana Niselman Universidad de Buenos Aires Gladis
Beatriz Astargo Horacio Day Universidad Nacional de Cuyo Isabel
Weiriberg Universidad Nacional de la Matanza ngela Maldonado
Augusto Melgarejo Delicia Tisera Diego Vallejo Jos Surez Laura
Langoni Mara Ins Otegui Mara Teresa Guardarucci Mariel Lavaa
Mercedes Trpoli Miguel Sanservino Nstor Bucari Universidad Nacional
de la Plata Anglica Arnulfo Beatriz Introcaso Emilio Sastre Jos
Botto Mara Susana Montelar Mnica Casero Universidad Nacional de
Rosario Elena Arlauskas Gabriela Righetti Universidad Tecnolgica
Nacional RegionalAvellaneda Colombia Bernardo Aldana Gmez Nstor Ral
Pachn Escuela Colombiana de Ingeniera-Bogot Elas Cardona ICESI
Antonio Merchn Fernando Novoa Gerardo Tole Hctor Linares Irina
Reyes Ismael Garca Jaime Gmez Juan Carlos Quintero Liliana Barreto
Moiss Aranda Nazly Esmeralda Salas Rafael Castro Pontificia
Universidad Javeriana Laureano Valencia Oswaldo Rodrguez Daz
Universidad Autnoma de Occidente-Cali Mario Bravo Universidad de
San Buenaventura-Cali Jos Villada Universidad Distrital Francisco
Jos de Caldas Chile Juan Duarte Universidad de Antofagasta
6. Clarita Balbontn Universidad de los Andes Mauro Ernesto
Espinoza Garca Universidad Cristbal Coln - Jiracruz Julio Hugo
Ramrez Universidad de Via del Mar Ana Mara Gonzlez Pia Javier Barrn
Karla Violeta Martnez Facundo Maribel Fuentes Dvila Patricia
Gonzlez Universidad de Monterrey Ecuador Eduardo Alba Universidad
San Francisco de Quito Espaa Patricia Barral Rodio Universidad de
Santiago de Compostela Alma Rosa Griselda Zetina Vlez Martn Cruz
Cuevas Miriam Lemus Roberto Bautista Atengenes Sandra Chimal Garma
Universidad La Salle Mxico Alicia Ordez Segura Celerino Federico
Navarrete Cruz Fernando Arenas Garca Isidro Rodrguez Montoro Jess
Solano Roano Jorge Almanza Prez Jos Luis Almanza Prez Julio Ernesto
Hoyos Ochoa Salvador Hoyos Ochoa Instituto Tecnolgico de Estudios
Superiores de Jalapa Dolores Vera Dector Felipe Hernndez Hernndez
Ricardo Victoria Carrera Universidad Veracruzana Per Luis Daz
Bazurco Wilber Ramos Lovn Universidad Catlica de Santa
Mara-Arequipa Miguel Hernndez de la Torre Ornar Olmos Lpez
Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey - Campus
Toluca Jos Cuevas Gonzlez Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Mauricio Cirilo Mndez Canseca Ral Chvez Universidad Anhuac - Mxico
Sur Venezuela Elvira Sabal Milagros Bosquetti Universidad Catlica
Andrs Bello Anglica Tovar Gmez Bertha Alicia Arellano Silva Elvia
Loera Hernndez Javier Cant Rodrguez Karla Guajardo Coso Universidad
Autnoma de Nuevo Len Jess Hernndez Jos Luis Quinteros Mara de Armas
Mara Luisa Vonna Marienma Snchez Universidad Central de Venezuela
Ramiro Garza Molina Universidad Autnoma de Tamaulipas David
Elizarraraz Martnez Jaime Grabinsky Steider Jos Ventura Becerril
Espinosa Judith Omaa Pulido Marina Salazar Antunez Universidad
Autnoma Metropolitana - Unidad Azcapotzalco CIarita Balbontn
Universidad de los Andes Julio Hugo Ramrez Universidad de Via del
Mar Ecuador Eduardo Alba Universidad San Francisco de Quito Espaa
Patricia Barral Rodillo Universidad de Santiago de Compostela Mxico
Alicia Ordez Segura Celerino Federico Navarrete Cruz Fernando
Arenas Garca Isidro Rodrguez Montoro Jess Solano Roano Jorge
Almanza Prez Jos Luis Almanza Prez Julio Ernesto Hoyos Ochoa
Salvador Hoyos Ochoa Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de
Jalapa Miguel Hernndez de la Torre Ornar Olmos Lpez Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey - Campus Toluca
Mauricio Cirilo Mndez Canseca Ral Chvez Universidad Anhuac - Mxico
Sur Anglica Tovar Gmez Bertha Alicia Arellano Silva Elvia Loera
Hernndez Javier Cant Rodrguez Karla Guajardo Coso Universidad
Autnoma de Nuevo Len Ramiro Garza Molina Universidad Autnoma de
Tamaulipas David Elizarraraz Martnez Jaime Grabinsky Steider Jos
Ventura Becerril Espinosa Judith Omaa Pulido Marina Salazar Antunez
UniversidadAutnoma Metropolitana - UnidadAzcapotzalco Mauro Ernesto
Espinoza Garca Universidad Cristbal Coln - Veracruz Ana Mara
Gonzlez Pia Javier Barrn Karla Violeta Martnez Facundo Maribel
Fuentes Dvila Patricia Gonzlez Universidad de Monterrey Alma Rosa
Griselda Zetina Vlez Martn Cruz Cuevas Miriam Lemus Roberto
Bautista Atengenes Sandra Chimal Garma Universidad La Salle Dolores
Vera Dector Felipe Hernndez Hernndez Ricardo Victoria Carrera
Universidad Veracruzana Per Luis Daz Bazurco Wilber Ramos Lovn
Universidad Catlica de Santa Mara-Arequipa Jos Cuevas Gonzlez
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Venezuela Elvira Sabal
Milagros Bosquetti Universidad Catlica Andrs Bello Jess Hernndez
Jos Luis Quinteros Mara de Armas Mara Luisa Vonna Marienma Snchez
Universidad Central de Venezuela
7. CONTENIDO Prefacio VOLUMEN 1 1 Funciones 1 xiii 1.1 1.2 1.3
1.4 Las funciones y sus grficas 1 Combinacin de funciones;
traslacin y cambio de tamao de funciones Funciones trigonomtricas
22 Graficacin por medio de calculadoras y computadora 30 PREGUNTAS
DE REPASO 34 EJERCICIOS DE PRCTICA 35 EJERCICIOS ADICIONALES Y
AVANZADOS 37 14 2 Limites y continuidad 39 3 Derivadas 102 2.1
Tasas de cambio y tangentes a curvas 39 2.2 Lmite de una funcin y
leyes de los lmites 46 2.3 La definicin formal de lmite 57 2.4
Lmites laterales 66 2.5 Continuidad 73 2.6 Lmites que incluyen al
infinito; asntotas de grficas 84 PREGUNTAS DE REPASO 96 EJERCICIOS
DE PRCTICA 97 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 98 102 3.1 3.2 3.3
3.4 3.5 3.6 Tangentes y la derivada en un punto La derivada como
una funcin 106 Reglas de derivacin 115 La derivada como una tasa de
cambio Derivadas de funciones trigonomtricas La regla de la cadena
142 124 135 vii CONTENIDO Prefacio VOLUMEN 1 1 Funciones 1.1 1.2
1.3 1.4 Las funciones y sus grficas 1 Combinacin de funciones;
traslacin y cambio de tamao de funciones Funciones trigonomtricas
22 Graficacin por medio de calculadoras y computadora 30 PREGUNTAS
DE REPASO 34 EJERCICIOS DE PRCTICA 35 EJERCICIOS ADICIONALES Y
AVANZADOS 37 2 Limites y continuidad 2.1 Tasas de cambio y
tangentes a curvas 39 2.2 Lmite de una funcin y leyes de los lmites
46 2.3 La definicin formal de lmite 57 2.4 Lmites laterales 66 2.5
Continuidad 73 2.6 Lmites que incluyen al infinito; asntotas de
grficas 84 P REGUNTAS DE REPASO 96 EJERCICIOS DE PRCTICA 97
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 98 3 Derivadas 3.1 Tangentes y
la derivada en un punto 102 3.2 La derivada como una funcin 106 3.3
Reglas de derivacin 115 3.4 La derivada como una tasa de cambio 124
3.5 Derivadas de funciones trigonomtricas 135 3.6 La regla de la
cadena 142 xiii 1 14 39 102 vii
8. viii Contenido 3.7 Derivacin implcita 149 3.8 Tasas
relacionadas 155 3.9 Linealizacin y diferenciales 164 PREGUNTAS DE
REPASO 175 EJERCICIOS DE PRCTICA 176 EJERCICIOS ADICIONALES Y
AVANZADOS 180 4 Aplicaciones de Lasderivadas 184 4,1 Valores
extremos de funciones 184 4,2 El teorema del valor medio 192 4.3
Funciones montonas y el criterio de la primera derivada 198 4.4
Concavidad y trazado de curvas 203 4.5 Optimizacin aplicada 214 4.6
Mtodo de Newton 225 4.7 Antiderivadas 230 PREGUNTAS DE REPASO 239
EJERCICIOS DE PRCTICA 240 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 243 5
Integracin 246 5.1 rea y su estimacin mediante sumas finitas 246
5.2 Notacin sigma y lmites de sumas finitas 256 5.3 La integral
definida 262 5.4 El teorema fundamental del clculo 274 5.5
Integrales indefinidas y el mtodo de sustitucin 284 5.6 Sustitucin
y rea entre curvas 291 PREGUNTAS DE REPASO 300 EJERCICIOS DE
PRCTICA 301 EJERCICIOS ADICIO ALES y AVANZADOS 304 6 ApLicaciones
de LasintegraLes definidas. 308 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Clculo de
volmenes por medio de secciones transversales Clculo de volmenes
por medio de cascarones cilndricos Longitud de arco 326 reas de
superficies de revolucin 332 Trabajo y fuerza de fluidos 337
Momentos y centros de masa 346 PREGUNTAS DE REPASO 357 EJERCICIOS
DE PRCTICA 357 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 359 308 319 viii
Contenido 3.7 Derivacin implcita 149 3.8 Tasas relacionadas 155 3.9
Linealizacin y diferenciales 164 PREGUNTAS DE REPASO 175 EJERCICIOS
DE PRCTICA 176 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 180 4
Aplicaciones de las derivadas 184 4,1 Valores extremos de funciones
184 4,2 El teorema del valor medio 192 4.3 Funciones montonas y el
criterio de la primera derivada 198 4.4 Concavidad y trazado de
curvas 203 4.5 Optimizacin aplicada 214 4.6 Mtodo de Newton 225 4.7
Antiderivadas 230 PREGUNTAS DE REPASO 239 EJERCICIOS DE PRCTICA 240
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 243 5 Integracin 246 5.1 rea y
su estimacin mediante sumas finitas 246 5.2 Notacin sigma y lmites
de sumas finitas 256 5.3 La integral definida 262 5.4 El teorema
fundamental del clculo 274 5.5 Integrales indefinidas y el mtodo de
sustitucin 284 5.6 Sustitucin y rea entre curvas 291 PREGUNTAS DE
REPASO 300 EJERCICIOS DE PRCTICA 301 EJERCICIOS ADICIO ALES y
AVANZADOS 304 6 Aplicaciones de las integrales definidas . 308 6.1
Clculo de volmenes por medio de secciones transversales 308 6.2
Clculo de volmenes por medio de cascarones cilndricos 319 6.3
Longitud de arco 326 6.4 reas de superficies de revolucin 332 6.5
Trabajo y fuerza de fluidos 337 6.6 Momentos y centros de masa 346
PREGUNTAS DE REPASO 357 EJERCICIOS DE PRCTICA 357 EJERCICIOS
ADICIONALES Y AVANZADOS 359
9. Contenido ix 7 Funciones trascendentes 361 7.1 Funciones
inversas y sus derivadas 361 7.2 Logaritmos naturales 369 7.3
Funciones exponenciales 377 7A Cambio exponencial y ecuaciones
diferenciales con variables separables 387 7.5 Formas
indeterminadas y la regla de L'Hpital 396 7.6 Funciones
trigonomtricas inversas 404 7.7 Funciones hiperblicas 416 7.8
Razones relativas de crecimiento 424 PREGUNTAS DE REPASO 429
EJERCICIOS DE PRCTICA 430 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 433 8
Tcnicas de integracin 435 8.1 Integracin por partes 436 8.2
Integrales trigonomtricas 444 8.3 Sustituciones trigonomtricas 449
8A Integracin de funciones racionales por medio de fracciones
parciales 453 8.5 Tablas de integrales y sistemas de lgebra por
computadora (SAC) 463 8.6 Integracin numrica 468 8.7 Integrales
impropias 478 PREGUNTAS DE REPASO 489 EJERCICIOS DE PRCTICA 489
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 491 9 Ecuaciones diferenciaLes
de primer orden 496 9.1 Soluciones, campos direccionales y el mtodo
de Euler 496 9.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
504 9.3 Aplicaciones 510 9A Soluciones grficas de ecuaciones
diferenciales autnomas 516 9.5 Sistemas de ecuaciones y planos fase
523 PREGUNTAS DE REPASO 529 EJERCICIOS DE PRCTICA 529 EJERCICIOS
ADICIONALES Y AVANZADOS 530 10 Sucesiones y series infinitas 532
10.1 Sucesiones 532 10.2 Series infinitas 544 10.3 Criterio de la
integral 553 lOA Criterios de comparacin 558 10.5 Criterios de la
raz y de la razn 563 / Contenido ix 7 Funciones trascendentes 361
7.1 Funciones inversas y sus derivadas 361 7.2 Logaritmos naturales
369 7.3 Funciones exponenciales 377 7A Cambio exponencial y
ecuaciones diferenciales con variables separables 387 7.5 Formas
indeterminadas y la regla de I.:H6pital 396 7.6 Funciones
trigonomtricas inversas 404 7.7 Funciones hiperblicas 416 7.8
Razones relativas de crecimiento 424 PREGUNTAS DE REPASO 429
EJERCICIOS DE PRCTICA 430 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 433 8
Tcnicasde integracin 435 8.1 Integracin por partes 436 8.2
Integrales trigonomtricas 444 8.3 Sustituciones trigonomtricas 449
8A Integracin de funciones racionales por medio de fracciones
parciales 453 8.5 Tablas de integrales y sistemas de lgebra por
computadora (SAC) 463 8.6 Integracin numrica 468 8.7 Integrales
impropias 478 PREGUNTAS DE REPASO 489 EJERCICIOS DE PRCTICA 489
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 491 9 Ecuaciones diferenciaLes
de primer orden 496 9.1 Soluciones, campos direccionales y el mtodo
de Euler 496 9.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
504 9.3 Aplicaciones 510 9A Soluciones grficas de ecuaciones
diferenciales autnomas 516 9.5 Sistemas de ecuaciones y planos fase
523 PREGUNTAS DE REPASO 529 EJERCICIOS DE PRCTICA 529 EJERCICIOS
ADICIONALES Y AVANZADOS 530 10 Sucesiones y series infinitas 532
10.1 Sucesiones 532 10.2 Series infinitas 544 10.3 Criterio de la
integral 553 lOA Criterios de comparacin 558 10.5 Criterios de la
raz y de la razn 563 /
10. -~-------~------------------------------------------- X
Contenido 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 Series alternantes,
convergencia absoluta y convergencia condicional Series de
potencias 575 Series de Taylor y de Maclaurin 584 Convergencia de
series de Taylor 589 La serie binomial y aplicaciones de las series
de Taylor 596 PREGUNTAS DE REPASO 605 EJERCICIOS DE PRCTICA 605
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 607 568 13 Funciones con vaLores
vectoriaLes y movimiento en eL espacio 707 11 Ecuaciones
paramtricas y coordenadas poLares 610 11.1 Parametrizacin de curvas
planas 610 11.2 Clculo con curvas paramtricas 618 11.3 Coordenadas
polares 627 11,4 Grficas en coordenadas polares 631 11.5 reas y
longitudes en coordenadas polares 635 11.6 Secciones cnicas 639
11.7 Secciones cnicas en coordenadas polares 648 PREGUNTAS DE
REPASO 654 EJERCICIOS DE PRCTICA 655 EJERCICIOS ADICIONALES Y
AVANZADOS 657 VOLUMEN 11 12 Los vectores y Lageometra deL espacio
660 12.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 660 12.2 Vectores
665 12.3 El producto punto 674 12,4 El producto cruz ~682 12.5
Rectas y planos en el espacio 688 12.6 Cilindros y superficies
cudricas 696 PREGUNTAS DE REPASO 701 EJERCICIOS DE PRCTICA 702
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 704 13.1 Curvas en el espacio y
sus tangentes 707 13.2 Integrales de funciones vectoriales;
movimiento de proyectiles 715 l3.3 Longitud de arco en el espacio
724 13,4 Curvatura y vectores normales de una curva 728 l3.5
Componentes tangencial y normal de la aceleracin 734 l3.6 Velocidad
y aceleracin en coordenadas polares 739 PREGUNTAS DE REPASO 742
EJERCICIOS DE PRCTICA 743 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 745 X
Contenido 10.6 Series alternantes, convergencia absoluta y
convergencia condicional 568 10.7 Series de potencias 575 10.8
Series de Taylor y de Maclaurin 584 10.9 Convergencia de series de
Taylor 589 10.10 La serie binomial y aplicaciones de las series de
Taylor 596 PREGUNTAS DE REPASO 605 EJERCICIOS DE PRCTICA 605
EJERCICIOS ADICIONALES YAVANZADOS 607 11 Ecuaciones paramtricas y
coordenadas polares 610 1l.l Parametrizacin de curvas planas 610
11.2 Clculo con curvas paramtricas 618 1l.3 Coordenadas polares 627
11.4 Grficas en coordenadas polares 631 11.5 reas y longitudes en
coordenadas polares 635 1l.6 Secciones cnicas 639 11.7 Secciones
cnicas en coordenadas polares 648 PREGUNTAS DE REPASO 654
EJERCICIOS DE PRCTICA 655 EJERCICIOS ADICIONALES YAVANZADOS 657
VOLUMEN 11 12 Los vectores y la geometra del espacio 660 12.l
Sistemas de coordenadas tridimensionales 660 12.2 Vectores 665 12.3
El producto punto 674 12.4 El producto cruz 682 12.5 Rectas y
planos en el espacio 688 12.6 Cilindros y superficies cudricas 696
PREGUNTAS DE REPASO 701 EJERCICIOS DE PRCTICA 702 EJERCICIOS
ADICIONALES YAVANZADOS 704 13 Funciones con valores vectoriales y
movimiento en el espacio 707 13.1 Curvas en el espacio y sus
tangentes 707 13.2 Integrales de funciones vectoriales; movimiento
de proyectiles 715 l3.3 Longitud de arco en el espacio 724 13.4
Curvatura y vectores normales de una curva 728 l3.5 Componentes
tangencial y normal de la aceleracin 734 l3.6 Velocidad y
aceleracin en coordenadas polares 739 PREGUNTAS DE REPASO 742
EJERCICIOS DE PRCTICA 743 EJERCICIOS ADICIONALES YAVANZADOS
745
11. Contenido xi 14 Derivadas parciales 747 14.1 Funciones de
varias variables 747 14.2 Limites y continuidad en dimensiones
superiores 755 14.3 Derivadas parciales 764 14.4 Regla de la cadena
775 14.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente 784 14.6
Planos tangentes y diferenciales 791 14.7 Valores extremos y puntos
de silla 802 14.8 Multiplicadores de Lagrange 811 14.9 Frmula de
Taylor para dos variables 820 14.10 Derivadas parciales con
variables restringidas 824 PREGUNTAS DE REPASO 829 EJERCICIOS DE
PRCTICA 829 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 833 15 Integrales
mltiples 836 15.1 Integrales dobles e iteradas sobre rectngulos 836
15.2 Integrales dobles sobre regiones generales 841 15.3 reas por
doble integracin 850 15.4 Integrales dobles en forma polar 853 15.5
Integrales triples en coordenadas rectangulares 859 15.6 Momentos y
centros de masa 868 15.7 Integrales triples en coordenadas
cilndricas y esfricas 875 15.8 Sustitucin en integrales mltiples
887 PREGUNTAS DE REPASO 896 EJERCICIOS DE PRCTICA 896 EJERCICIOS
ADICIONALES Y AVANZADOS 898 16 Integracin en campos vectoriales 901
16.1 Integrales de lnea 901 16.2 Campos vectoriales e integrales de
lnea: Trabajo, circulacin y flujo 907 16.3 Independencia de la
trayectoria, campos conservativos y funciones potenciales 920 16.4
Teorema de Green en el plano 931 16.5 Superficies y reas 943 16.6
Integrales de superficie 953 / 16.7 Teorema de Stokes 962 16.8 El
teorema de la divergencia y una teora unificada 972 PREGUNTAS DE
REPASO 983 EJERCICIOS DE PRCTICA 983 EJERCICIOS ADICIONALES Y
AVANZADOS 986 Contenido xi 14 Derivadas parciales 747 14.1
Funciones de varias variables 747 14.2 Lmites y continuidad en
dimensiones superiores 755 14.3 Derivadas parciales 764 14.4 Regla
de la cadena 775 14.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente
784 14.6 Planos tangentes y diferenciales 791 14.7 Valores extremos
y plmtos de silla 802 14.8 Multiplicadores de Lagrange 81 1 14.9
Frmula de Taylor para dos variables 820 14.10 Derivadas parciales
con variables restringidas 824 PREGUNTAS DE REPASO 829 EJERCICIOS
DE PRCTICA 829 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 833 15 Integrales
mltiples 836 15.1 Integrales dobles e iteradas sobre rectngulos 836
15.2 Integrales dobles sobre regiones generales 841 15.3 reas por
doble integracin 850 15.4 Integrales dobles en forma polar 853 15.5
Integrales triples en coordenadas rectangulares 859 15.6 Momentos y
centros de masa 868 15.7 Integrales triples en coordenadas
cilndricas y esfricas 875 15.8 Sustitucin en integrales mltiples
887 PREGUNTAS DE REPASO 896 EJERCICIOS DE PRCTICA 896 EJERCICIOS
ADICIONALES Y AVANZADOS 898 16 Integracin en campos vectoriales 901
16.1 Integrales de lnea 901 16.2 Campos vectoriales e integrales de
lnea: Trabajo, circulacin y flujo 907 16.3 Independencia de la
trayectoria, campos conservativos y funciones potenciales 920 16.4
Teorema de Oreen en el plano 931 16.5 Superficies y reas 943 16.6
Integrales de superficie 953 16.7 Teorema de Stokes 962 16.8 El
teorema de la divergencia y una teora unificada 972 PREGUNTAS DE
REPASO 983 EJERCICIOS DE PRCTICA 983 EJERCICIOS ADICIONALES Y
AVANZADOS 986
12. -- -----------------------------------------------------~-
17 Ecuaciones diferenciaLes de segundo orden 989 xii Contenido 1-1
17.1 Ecuaciones lineales de segundo orden 989 17.2 Ecuaciones
lineales no homogneas 996 17.3 Aplicaciones 1005 17.4 Ecuaciones de
Euler 1011 17.5 Soluciones en series de potencias 1014 Apndices
AP-1 Breve tabla de integrales T-1 A.1 Los nmeros reales y las
rectas reales AP-l A.2 Induccin matemtica AP-6 A.3 Rectas,
circunferencias y parbolas AP-10 A.4 Demostraciones de los teoremas
de lmites AP-18 A.5 Lmites que aparecen con frecuencia AP-21 A.6
Teora de los nmeros reales AP-23 A.7 Nmeros complejos AP-25 A.8 La
ley distributiva para el producto vectorial cruz AP-35 A.9 El
teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-36
Respuestas a los ejercicios con nmero impar ndice A-1 Crditos C-1
xii Contenido 17 Ecuaciones diferenciaLes de segundo orden Apndices
17.1 17.2 17.3 17.4 Ecuaciones lineales de segundo orden Ecuaciones
lineales no homogneas Aplicaciones 1005 Ecuaciones de Euler 1011
989 996 17.5 Soluciones en series de potencias 1014 A.1 Los nmeros
reales y las rectas reales AP-l A.2 Induccin matemtica AP-6 A.3
Rectas, circunferencias y parbolas AP-10 A.4 Demostraciones de los
teoremas de lmites AP-18 A.5 Lmites que aparecen con frecuencia
AP-21 A.6 Teora de los nmeros reales AP-23 A.7 Nmeros complejos
AP-25 A.8 La ley distributiva para el producto vectorial cruz AP-35
A.9 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento
AP-36 Respuestas a Los ejercicios con nmero impar ndice Crditos
Breve tabLa de integraLes 989 AP-1 A-1 1-1 C-1 T-1
13. PREFACIO Revisamos exhaustivamente esta edicin de Clculo de
Thomas con la finalidad de cubrir las necesidades de los profesores
y los estudiantes actuales. El resultado es un libro con ms ejem-
plos, ms ejercicios de nivel medio, mayor cantidad de figuras y
mejor flujo conceptual, adems de mayores claridad y precisin. Al
igual que las ediciones anteriores, esta nueva edicin ofrece una
introduccin moderna al clculo que apoya la comprensin conceptual,
pero conserva los elementos esenciales de un curso tradicional.
Tales mejoras se relacionan estrechamente con una versin ampliada
del texto de MyMathLab (al que nos referiremos ms adelante), el
cual brin- da apoyo adicional a los estudiantes y flexibilidad a
los profesores. Muchos de nuestros alumnos estuvieron expuestos a
la terminologa y los aspectos compu- tacionales del clculo durante
el bachillerato. A pesar de la familiaridad con el lgebra y la tri-
gonometra, sus habilidades en estas materias con frecuencia son
insuficientes para alcanzar el xito en el clculo universitario. Con
este texto buscamos equilibrar la escasa experiencia de los
estudiantes con el clculo y el desarrollo de habilidades
algebraicas que podran necesitar, todo sin socavar o minar su
confianza. Adems, hemos tenido cuidado de presentar suficiente
material, soluciones detalladas paso a paso y ejercicios que apoyen
una comprensin completa para alumnos de todos los niveles. Animamos
a los estudiantes a ir ms all de la memorizacin de las frmulas para
genera- lizar conceptos conforme stos se presenten. Nuestro deseo
es que despus de cursar clculo, ellos tengan confianza en sus
habilidades para razonar y resolver problemas. El dominio de un
tema maravilloso con aplicaciones prcticas al mundo ser su
recompensa, pero el verdadero regalo ser la habilidad para pensar y
generalizar. Creemos que este libro brindar respaldo y apoyo para
ambas cosas. Cambios en Ladecimosegunda edicin CONTENIDO En la
preparacin de esta edicin hemos conservado la estructura bsica de
la ta- bla de contenido de la edicin anterior. Hemos puesto atencin
a las peticiones de los usuarios y los revisores de posponer la
introduccin de ecuaciones paramtricas hasta despus de expli- car
las coordenadas polares, y de presentar el tema de la regla de
L'Hpital despus de las fun- ciones trascendentes. Realizamos
numerosas revisiones a la mayora de los captulos, como se detalla a
continuacin. Funciones Condensamos este captulo an ms para
centramos en la revisin de los con- ceptos sobre funciones. El
material de requisito que cubre nmeros reales, intervalos, incre-
mentos, lneas rectas, distancias, circunferencias y parbolas se
presenta en los apndices 1 a 3. Lmites Para mejorar la continuidad
en este captulo, combinamos las ideas de lmites que incluyen
infinito y su relacin con las asntotas en las grficas de las
funciones, colocn- dolas juntas al final de la ltima seccin del
captulo. Derivadas Aunque utilizamos tasas de cambio y tangentes a
curvas como motivacin para el estudio del concepto de lmite, ahora
presentamos el concepto de derivada en un solo cap- tulo.
Reorganizamos e incrementamos el nmero de ejemplos de tasas
relacionadas y agre- gamos nuevos ejemplos y ejercicios sobre
graficacin de funciones racionales. xiii PREFACIO Revisamos
exhaustivamente esta edicin de Clculo de Thomas con la finalidad de
cubrir las necesidades de los profesores y los estudiantes
actuales. El resultado es un libro con ms ejem- plos, ms ejercicios
de nivel medio, mayor cantidad de figuras y mejor flujo conceptual,
adems de mayores claridad y precisin. Al igual que las ediciones
anteriores, esta nueva edicin ofrece una introduccin moderna al
clculo que apoya la comprensin conceptual, pero conserva los
elementos esenciales de un curso tradicional. Tales mejoras se
relacionan estrechamente con una versin ampliada del texto de
MyMathLab(al que nos referiremos ms adelante), el cual brin- da
apoyo adicional a los estudiantes y flexibilidad a los profesores.
Muchos de nuestros alumnos estuvieron expuestos a la terminologa y
los aspectos compu- tacionales del clculo durante el bachillerato.
A pesar de la familiaridad con el lgebra y la tri- gonometra, sus
habilidades en estas materias con frecuencia son insuficientes para
alcanzar el xito en el clculo universitario. Con este texto
buscamos equilibrar la escasa experiencia de los estudiantes con el
clculo y el desarrollo de habilidades algebraicas que podran
necesitar, todo sin socavar o minar su confianza. Adems, hemos
tenido cuidado de presentar suficiente material, soluciones
detalladas paso a paso y ejercicios que apoyen una comprensin
completa para alumnos de todos los niveles. Animamos a los
estudiantes a ir ms all de la memorizacin de las frmulas para
genera- lizar conceptos conforme stos se presenten. Nuestro deseo
es que despus de cursar clculo, ellos tengan confianza en sus
habilidades para razonar y resolver problemas. El dominio de un
tema maravilloso con aplicaciones prcticas al mundo ser su
recompensa, pero el verdadero regalo ser la habilidad para pensar y
generalizar. Creemos que este libro brindar respaldo y apoyo para
ambas cosas. Cambios en La decimosegunda edicin CONTENIDO En la
preparacin de esta edicin hemos conservado la estructura bsica de
la ta- bla de contenido de la edicin anterior. Hemos puesto atencin
a las peticiones de los usuarios y los revisores de posponer la
introduccin de ecuaciones paramtricas hasta despus de expli- car
las coordenadas polares, y de presentar el tema de la regla de
I:Hopital despus de las fun- ciones trascendentes. Realizamos
numerosas revisiones a la mayora de los captulos, como se detalla a
continuacin. Funciones Condensamos este captulo an ms para
centrarnos en la revisin de los con- ceptos sobre funciones. El
material de requisito que cubre nmeros reales, intervalos, incre-
mentos, lneas rectas, distancias, circunferencias y parbolas se
presenta en los apndices 1 a 3. Lmites Para mejorar la continuidad
en este captulo, combinamos las ideas de lmites que incluyen
infinito y su relacin con las asntotas en las grficas de las
funciones, colocn- dolas juntas al final de la ltima seccin del
captulo. Derivadas Aunque utilizamos tasas de cambio y tangentes a
curvas como motivacin para el estudio del concepto de lmite, ahora
presentamos el concepto de derivada en un solo cap- tulo.
Reorganizamos e incrementamos el nmero de ejemplos de tasas
relacionadas y agre- gamos nuevos ejemplos y ejercicios sobre
graficacin de funciones racionales. xiii
14. ~~--~-------------------------------------------..",-----
Antiderivadas e integracin Conservamos la organizacin de la
decimoprimera edicin al colocar las antiderivadas como el ltimo
tema referente a las aplicaciones de las derivadas. Nuestro
objetivo es exponer "la forma de recuperar una funcin a partir de
su derivada", como la solucin del tipo ms sencillo de una ecuacin
diferencial de primer orden. Las integrales, como "lmites de sumas
de Riemann", estudiadas sobre todo a la luz del pro- blema de
determinar reas de regiones generales con fronteras curvas, son un
nuevo tema que forma la parte sustancial del captulo 5. Despus de
un cuidadoso desarrollo del con- cepto de integral, pusimos nuestra
atencin en su evaluacin y su relacin con las anti- derivadas,
relacin que se plasma en el teorema fundamental del clculo. Las
aplicaciones correspondientes definen diversas ideas geomtricas de
rea, volumen, longitudes de tra- yectorias y centroides, todas como
lmites de sumas de Riemann que dan lugar a integrales definidas que
pueden evaluarse determinando una antiderivada del integrando.
Posterior- mente, regresamos al tema de resolver ecuaciones
diferenciales de primer orden ms com- plicadas; despus de ello,
definimos y establecemos las funciones trascendentes y sus
propiedades. Ecuaciones diferenciales Algunas universidades
prefieren que este tema se incluya en un curso aparte de clculo.
Aunque nosotros tratamos las soluciones de ecuaciones diferencia-
les con variables separables, cuando tratamos las aplicaciones de
crecimiento y decaimiento exponenciales en el captulo de funciones
trascendentes, organizamos todo nuestro material en dos captulos
(que pueden omitirse para seguir la secuencia de clculo). En el
captulo 9 damos un tratamiento introductorio a las ecuaciones
diferenciales de primer orden. El cap- tulo incluye una nueva
seccin sobre sistemas y planos fase, con aplicaciones a modelos que
incluyen presas y depredadores. En el captulo 17 presentamos una
introduccin a ecua- ciones diferenciales de segundo orden, que se
incluye en MyMathLab, as como en el sitio Web del texto,
www.pearsoneducacion.net/thomas. Series Conservamos la estructura
organizacional de la decimoprimera edicin para los temas de
sucesiones y series. Agregamos nuevas figuras y nuevos ejercicios a
diversas secciones, pero adems revisamos algunas de las
demostraciones relacionadas con la convergencia de series de
potencia para mejorar la accesibilidad del material a los
estudiantes. Uno de los usuarios del texto nos dijo que cualquier
modificacin que hiciramos "para que este ma- terial resultara ms
sencillo para los estudiantes" sera bienvenida en su facultad; ese
co- mentario nos gui para hacer las revisiones de este captulo.
Ecuaciones paramtricas Varios usuarios pidieron incluir este tema
en el captulo 11, don- de tambin se tratan coordenadas polares y
secciones cnicas. Lo hicimos luego de com- prender que muchos
departamentos eligen cubrir tales temas al inicio de Clculo III,
como preparacin para tratar el clculo con vectores y de varias
variables. Funciones de variables vectoriales Redujimos los temas
de este captulo para dar mayor nfasis a los conceptos que
fundamentan el material sobre derivadas parciales, el vector gra-
diente y las integrales de lnea. Compactamos el anlisis del marco
de Frenet y las tres leyes de Kepler acerca del movimiento de los
planetas. Clculo de varias variables En estos tres captulos
resaltamos el diseo, adems de aadir muchas figuras, ejemplos y
ejercicios nuevos. Reorganizamos el material inicial sobre inte-
grales dobles. Combinamos en una sola seccin las aplicaciones de
integrales dobles y tri- pies a masas y momentos; se presentan
casos tanto de dos como de tres dimensiones. Dicha reorganizacin
permite una mejor exposicin de los conceptos clave, junto con sus
propie- dades y sus aspectos computacionales. Al igual que en la
edicin anterior, en sta conti- nuamos haciendo las conexiones de
las ideas de varias variables con sus anlogos de una variable que
se estudian antes en el texto. Campos vectoriales Dedicamos un
considerable esfuerzo para mejorar la claridad y pre- cisin
matemtica de nuestro estudio de clculo integral vectorial,
incluyendo ejemplos, figuras y ejercicios adicionales. Los teoremas
y los resultados importantes se enuncian con mayor claridad y en
forma completa; se incluyen explicaciones amplias de sus hiptesis y
consecuencias matemticas. El rea de una superficie ahora se
organiza en una sola sec- cin, mientras las superficies definidas,
explcita o implcitamente, se tratan como casos especiales de la
representacin paramtrica ms general. Las integrales de superficie y
sus aplicaciones se estudian en una seccin separada. El teorema de
Stokes y el teorema de la divergencia se siguen presentando como
generalizaciones del teorema de Green a tres dimensiones. xiv
Prefacioxiv Prefacio Antiderivadas e integracin Conservamos la
organizacin de la decimoprimera edicin al colocar las antiderivadas
como el ltimo tema referente a las aplicaciones de las derivadas.
Nuestro objetivo es exponer "la forma de recuperar una funcin a
partir de su derivada", como la solucin del tipo ms sencillo de una
ecuacin diferencial de primer orden. Las integrales, como "lmites
de sumas de Riemann", estudiadas sobre todo a la luz del pro- blema
de determinar reas de regiones generales con fronteras curvas, son
un nuevo tema que forma la parte sustancial del captulo 5. Despus
de un cuidadoso desarrollo del con- cepto de integral, pusimos
nuestra atencin en su evaluacin y su relacin con las anti-
derivadas, relacin que se plasma en el teorema fundamental del
clculo. Las aplicaciones correspondientes definen diversas ideas
geomtricas de rea, volumen, longitudes de tra- yectorias y
centroides, todas como lmites de sumas de Riemann que dan lugar a
integrales definidas que pueden evaluarse determinando una
antiderivada del integrando. Posterior- mente, regresamos al tema
de resolver ecuaciones diferenciales de primer orden ms com-
plicadas; despus de ello, definimos y establecemos las funciones
trascendentes y sus propiedades. Ecuaciones diferenciales Algunas
universidades prefieren que este tema se incluya en un curso aparte
de clculo. Aunque nosotros tratamos las soluciones de ecuaciones
diferencia- les con variables separables, cuando tratamos las
aplicaciones de crecimiento y decaimiento exponenciales en el
captulo de funciones trascendentes, organizamos todo nuestro
material en dos captulos (que pueden omitirse para seguir la
secuencia de clculo). En el captulo 9 damos un tratamiento
introductorio a las ecuaciones diferenciales de primer orden. El
cap- tulo incluye una nueva seccin sobre sistemas y planos fase,
con aplicaciones a modelos que incluyen presas y depredadores. En
el captulo 17 presentamos una introduccin a ecua- ciones
diferenciales de segundo orden, que se incluye en MyMathLab, as
como en el sitio Web del texto, www.pearsoneducacion.net/thomas.
Series Conservamos la estructura organizacional de la decimoprimera
edicin para los temas de sucesiones y series. Agregamos nuevas
figuras y nuevos ejercicios a diversas secciones, pero adems
revisamos algunas de las demostraciones relacionadas con la
convergencia de series de potencia para mejorar la accesibilidad
del material a los estudiantes. Uno de los usuarios del texto nos
dijo que cualquier modificacin que hiciramos "para que este ma-
terial resultara ms sencillo para los estudiantes" sera bienvenida
en su facultad; ese co- mentario nos gui para hacer las revisiones
de este captulo. Ecuaciones paramtricas Varios usuarios pidieron
incluir este tema en el captulo 11, don- de tambin se tratan
coordenadas polares y secciones cnicas. Lo hicimos luego de com-
prender que muchos departamentos eligen cubrir tales temas al
inicio de Clculo IIl, como preparacin para tratar el clculo con
vectores y de varias variables. Funciones de variables vectoriales
Redujimos los temas de este captulo para dar mayor nfasis a los
conceptos que fundamentan el material sobre derivadas parciales, el
vector gra- diente y las integrales de lnea. Compactamos el anlisis
del marco de Frenet y las tres leyes de Kepler acerca del
movimiento de los planetas. Clculo de varias variables En estos
tres captulos resaltamos el diseo, adems de aadir muchas figuras,
ejemplos y ejercicios nuevos. Reorganizamos el material inicial
sobre inte- grales dobles. Combinamos en una sola seccin las
aplicaciones de integrales dobles y tri- ples a masas y momentos;
se presentan casos tanto de dos como de tres dimensiones. Dicha
reorganizacin permite una mejor exposicin de los conceptos clave,
junto con sus propie- dades y sus aspectos computacionales. Al
igual que en la edicin anterior, en sta conti- nuamos haciendo las
conexiones de las ideas de varias variables con sus anlogos de una
variable que se estudian antes en el texto. Campos vectoriales
Dedicamos un considerable esfuerzo para mejorar la claridad y pre-
cisin matemtica de nuestro estudio de clculo integral vectorial,
incluyendo ejemplos, figuras y ejercicios adicionales. Los teoremas
y los resultados importantes se enuncian con mayor claridad y en
forma completa; se incluyen explicaciones amplias de sus hiptesis y
consecuencias matemticas. El rea de una superficie ahora se
organiza en una sola sec- cin, mientras las superficies definidas,
explcita o implcitamente, se tratan como casos especiales de la
representacin paramtrica ms general. Las integrales de superficie y
sus aplicaciones se estudian en una seccin separada. El teorema de
Stokes y el teorema de la divergencia se siguen presentando como
generalizaciones del teorema de Green a tres dimensiones.
15. Prefacio XV EJERCICIOS Y EJEMPLOS Sabemos que los
ejercicios y los ejemplos son componentes funda- mentales en el
aprendizaje del clculo. En virtud de tal importancia, actualizamos,
mejoramos y ampliamos el nmero de ejercicios en casi todas las
secciones del libro. En la presente edicin incluimos ms de 700
nuevos ejercicios. Continuamos nuestra organizacin y la agrupacin
de ejercicios por tema, como en las ediciones anteriores, pasando
de problemas computacionales a problemas aplicados y tericos. Los
ejercicios que requieren del uso de sistemas de cmputo (como Maple
o Mathematica) se colocaron al final de cada seccin de ejercicios
con el t- tulo Exploraciones con computadora. La mayora de los
ejercicios aplicados tienen un sub- ttulo para indicar la clase de
aplicacin adecuada del problema. Muchas secciones incluyen ejemplos
nuevos para clarificar y profundizar en el significado del tema que
se estudia, as como para ayudar a los estudiantes a comprender las
consecuencias matemticas o las aplicaciones a la ciencia y la
ingeniera. Al mismo tiempo, eliminamos ejem- plos que repetan
material presentado con anterioridad. DISEO Por su importancia en
el aprendizaje del clculo, continuamos con la mejora de figuras
existentes en este texto e incluimos un nmero significativo de
nuevas figuras. Continuamos con el uso del color de manera
consistente y pedaggica para resaltar la idea conceptual que se
ilustra. Tambin revisamos todas las leyendas de las figuras,
poniendo mucha atencin a la claridad y precisin en los enunciados
cortos. y=1 No importa qu y nmero positivo sea , ~ a grfica se
encuentra en esta banda en x = E Yah permanece. 1y = r-~~~~~~.
Si,nimportar qU~ - numero positivo sea e, la grfica se encuentra en
esta banda en x = - y ah permanece. FIGURA 2.50 La geometra dentro
del argumento del ejemplo 1. ...--- FIGURA 16.9 Una superficie,
como una red o un paracadas, en un campo vectorial que representa
los vectores velocidad del flujo de agua o aire. Las flechas
muestran la direccin y sus longitudes indican la rapidez. MYMATHlAB
Y MATHXl El aumento en el uso y la demanda de sistemas de tareas en
lnea ha llevado a cambios en MyMathLab y MathXL para el texto. El
curso MyMathLab ahora incluye muchos ms ejercicios de todo tipo.
Los nuevos applets Java se agregan a la ya sig- nificativa
coleccin, para ayudar a los estudiantes a visualizar los conceptos
y generalizar el material. Otras caractersticas destacadas RIGOR El
nivel de formalidad es consistente con el de las ediciones
anteriores. Seguimos dis- tinguiendo entre anlisis formal e
informal, y sealamos sus diferencias. Consideramos que iniciar con
una idea ms intuitiva y menos formal ayuda a los estudiantes a
comprender un con- cepto nuevo y dificil, de manera que luego ellos
puedan apreciar cabalmente su precisin matemtica y los resultados.
Ponemos atencin en definir las ideas de una manera detallada
Prefacio XV EJERCICIOS Y EJEMPLOS Sabemos que los ejercicios y los
ejemplos son componentes funda- mentales en el aprendizaje del
clculo. En virtud de tal importancia, actualizamos, mejoramos y
ampliamos el nmero de ejercicios en casi todas las secciones del
libro. En la presente edicin incluimos ms de 700 nuevos ejercicios.
Continuamos nuestra organizacin y la agrupacin de ejercicios por
tema, como en las ediciones anteriores, pasando de problemas
computacionales a problemas aplicados y tericos. Los ejercicios que
requieren del uso de sistemas de cmputo (como Maple o Mathematica)
se colocaron al final de cada seccin de ejercicios con el t- tulo
Exploraciones con computadora. La mayora de los ejercicios
aplicados tienen un sub- ttulo para indicar la clase de aplicacin
adecuada del problema. Muchas secciones incluyen ejemplos nuevos
para clarificar y profundizar en el significado del tema que se
estudia, as como para ayudar a los estudiantes a comprender las
consecuencias matemticas o las aplicaciones a la ciencia y la
ingeniera. Al mismo tiempo, eliminamos ejem- plos que repetan
material presentado con anterioridad. DISEO Por su importancia en
el aprendizaje del clculo, continuamos con la mejora de figuras
existentes en este texto e incluimos un nmero significativo de
nuevas figuras. Continuamos con el uso del color de manera
consistente y pedaggica para resaltar la idea conceptual que se
ilustra. Tambin revisamos todas las leyendas de las figuras,
poniendo mucha atencin a la claridad y precisin en los enunciados
cortos. y=1 No importa qu y nmero positivo sea , ~ a grfica se
encuentra en esta banda en x = E Yah permanece. 1y = r-~~--~----~
FIGURA 2.50 La geometra dentro del argumento del ejemplo 1. ...---
FIGURA 16.9 Una superficie, como una red o un paracadas, en un
campo vectorial que representa los vectores velocidad del flujo de
agua o aire. Las flechas muestran la direccin y sus longitudes
indican la rapidez. MYMATHlAB Y MATHXl El aumento en el uso y la
demanda de sistemas de tareas en lnea ha llevado a cambios en
MyMathLab y MathXLpara el texto. El curso MyMathLab ahora incluye
muchos ms ejercicios de todo tipo. Los nuevos applets Java se
agregan a la ya sig- nificativa coleccin, para ayudar a los
estudiantes a visualizar los conceptos y generalizar el material.
Otras caractersticas destacadas RIGOR El nivel de formalidad es
consistente con el de las ediciones anteriores. Seguimos dis-
tinguiendo entre anlisis formal e informal, y sealamos sus
diferencias. Consideramos que iniciar con una idea ms intuitiva y
menos formal ayuda a los estudiantes a comprender un con- cepto
nuevo y dificil, de manera que luego ellos puedan apreciar
cabalmente su precisin matemtica y los resultados. Ponemos atencin
en definir las ideas de una manera detallada
16. TECNOLOGA En un curso que utilice e! texto, la tecnologa
puede incorporarse de acuer- do con e! criterio de cada profesor.
Cada seccin contiene ejercicios que requieren el uso de tecnologa;
si es pertinente el uso de una calculadora o una computadora, se
incluye un sm- bolo D en los ejercicios, o bien, stos se agrupan
bajo el ttulo Exploraciones con compu- tadora si se requiere del
uso de un sistema algebraico computacional (SAC, como Maple o
Mathematica). . xvi Prefacio y en probar los teoremas adecuados
para estudiantes de clculo, aunque mencionamos temas ms profundos o
sutiles que ellos estudiarn en un curso ms avanzado. Nuestra
organizacin y las distinciones entre tratamiento informal y formal
dan al profesor un considerable grado de flexibilidad en la
cantidad y la profundidad de cobertura de los diferentes temas. Por
ejemplo, no demostramos el teorema del valor intermedio ni el
teorema del valor extremo para funciones continuas en a :S x :S b,
pero enunciamos dichos teoremas de manera muy precisa, ilustramos
su significado en numerosos ejemplos y los utilizamos para
demostrar otros resultados impor- tantes. Adems, para aquellos
profesores que deseen una mayor profundidad, en e! apndice 6
estudiamos la validez de tales teoremas con base en la completez de
los nmeros reales. EJERCICIOS DE ESCRITURA Los ejercicios de
escritura colocados en todo el texto piden a los estudiantes
explicar una variedad de conceptos y variaciones del clculo. Adems,
al final de cada captulo se incluye una lista de preguntas para que
revisen y sinteticen lo que aprendieron. Muchos de estos ejercicios
son buenas tareas de redaccin. MANUALES DE RECURSOS TECNOLGICOS
Maple Manual de James Stapleton, North Carolina State University
Mathematica Manual de Marie Vanisko, Carroll College TI-Graphing
Calculator Manual de Elaine McDonald-Newman, Sonoma State
University Estos manuales cubren Maple 13, Mathematica 7 y las
TI-83 PlusrrI-84 Plus y TI-89, respec- tivamente. Cada manual
ofrece una gua detallada para integrar un paquete especfico o una
calculadora graficadora a lo largo de todo e! curso, incluyendo
sintaxis y comandos. Los ma- nuales estn disponibles para
profesores calificados a travs del Centro de Recursos para el
Profesor de Pearson, www.pearsonhighered/irc y MyMathLab. REPASO Y
PROYECTOS DE FINAL DE CAPTULO Adems de los problemas que aparecen
en cada seccin, cada captulo termina con preguntas de repaso,
ejercicios de prctica que cubren todo el captulo, y una serie de
ejercicios adicionales y avanzados que sirven para incluir pro-
blemas ms desafiantes o que sintetizan e! conocimiento. La mayora
de los captulos tambin incluyen descripciones de varios Proyectos
de aplicacin tecnolgica, que pueden desarro- llarse de manera
individual o por grupos en un periodo ms prolongado. Dichos
proyectos re- quieren e! uso de una computadora con Mathematica o
Maple, y de material adicional, el cual est disponible en Internet
en www.pearsoneducacion.net/thomas y en MyMathLab. ESCRITURA Y
APLICACIONES Como siempre, este texto contina siendo fcil de leer,
pues tiene un estilo conversacional al tiempo que es rico
matemticamente. Cada nuevo tema se plantea mediante ejemplos claros
y fciles de comprender; adems, el tema se refuerza me- diante
aplicaciones a problemas del mundo real y de inters inmediato para
los estudiantes. Un sello distintivo de! libro han sido sus
aplicaciones del clculo a la ciencia y la ingeniera. Estos
problemas aplicados se han actualizado, mejorado y ampliado de
manera continua durante las ltimas ediciones. CompLementos
muLtimedia y apoyo en Lnea SITIO WEB
www.pearsoneducacion.netjthomas El sitio Web de Clculo de Thomas
contiene el captulo sobre ecuaciones de segundo orden, incluyendo
las respuestas a problemas de nmero impar; adems, presenta las
biografas his- tricas ampliadas y los ensayos a que hace referencia
el texto. Tambin est disponible una coleccin de mdulos en Maple y
Mathematica, as como los Proyectos de aplicacin tecno- lgica, que
pueden usarse como proyectos para los alumnos, ya sea que trabajen
de manera in- dividual o por grupos. xvi Prefacio y en probar los
teoremas adecuados para estudiantes de clculo, aunque mencionamos
temas ms profundos o sutiles que ellos estudiarn en un curso ms
avanzado. Nuestra organizacin y las distinciones entre tratamiento
informal y formal dan al profesor un considerable grado de
flexibilidad en la cantidad y la profundidad de cobertura de los
diferentes temas. Por ejemplo, no demostramos el teorema del valor
intermedio ni el teorema del valor extremo para funciones continuas
en a :=; x :=; b, pero enunciamos dichos teoremas de manera muy
precisa, ilustramos su significado en numerosos ejemplos y los
utilizamos para demostrar otros resultados impor- tantes. Adems,
para aquellos profesores que deseen una mayor profundidad, en el
apndice 6 estudiamos la validez de tales teoremas con base en la
completez de los nmeros reales. EJERCICIOS DE ESCRITURA Los
ejercicios de escritura colocados en todo el texto piden a los
estudiantes explicar una variedad de conceptos y variaciones del
clculo. Adems, al final de cada captulo se incluye una lista de
preguntas para que revisen y sinteticen lo que aprendieron. Muchos
de estos ejercicios son buenas tareas de redaccin. REPASO Y
PROYECTOS DE FINAL DE CAPTULO Adems de los problemas que aparecen
en cada seccin, cada captulo termina con preguntas de repaso,
ejercicios de prctica que cubren todo el captulo, y una serie de
ejercicios adicionales y avanzados que sirven para incluir pro-
blemas ms desafiantes o que sintetizan el conocimiento. La mayora
de los captulos tambin incluyen descripciones de varios Proyectos
de aplicacin tecnolgica, que pueden desarro- llarse de manera
individual o por grupos en un periodo ms prolongado. Dichos
proyectos re- quieren el uso de una computadora con Mathematica o
Maple, y de material adicional, el cual est disponible en Internet
en www.pearsoneducacion.net/thomas y en MyMathLab. ESCRITURA Y
APLICACIONES Como siempre, este texto contina siendo fcil de leer,
pues tiene un estilo conversacional al tiempo que es rico
matemticamente. Cada nuevo tema se plantea mediante ejemplos claros
y fciles de comprender; adems, el tema se refuerza me- diante
aplicaciones a problemas del mundo real y de inters inmediato para
los estudiantes. Un sello distintivo del libro han sido sus
aplicaciones del clculo a la ciencia y la ingeniera. Estos
problemas aplicados se han actualizado, mejorado y ampliado de
manera continua durante las ltimas ediciones. TECNOLOGA En un curso
que utilice el texto, la tecnologa puede incorporarse de acuer- do
con el criterio de cada profesor. Cada seccin contiene ejercicios
que requieren el uso de tecnologa; si es pertinente el uso de una
calculadora o una computadora, se incluye un sm- bolo D en los
ejercicios, o bien, stos se agrupan bajo el ttulo Exploraciones con
compu- tadora si se requiere del uso de un sistema algebraico
computacional (SAC, como Maple o Mathematica). CompLementos
muLtimedia y apoyo en Linea MANUALES DE RECURSOS TECNOLGICOS Maple
Manual de James Stapleton, North Carolina State University
Mathematica Manual de Marie Vanisko, Carroll College TI-Graphing
Calculator Manual de Elaine McDonald-Newman, Sonoma State
University Estos manuales cubren Maple 13, Mathematica 7 y las
TI-83 PluslTI-84 Plus y TI-89, respec- tivamente. Cada manual
ofrece una gua detallada para integrar un paquete especfico o una
calculadora graficadora a lo largo de todo el curso, incluyendo
sintaxis y comandos. Los ma- nuales estn disponibles para
profesores calificados a travs del Centro de Recursos para el
Profesor de Pearson, www.pearsonhighered/irc y MyMathLab. SITIO WEB
www.pearsoneducacion.netjthomas El sitio Web de Clculo de Thomas
contiene el captulo sobre ecuaciones de segundo orden, incluyendo
las respuestas a problemas de nmero impar; adems, presenta las
biografas his- tricas ampliadas y los ensayos a que hace referencia
el texto. Tambin est disponible una coleccin de mdulos en Maple y
Mathematica, as como los Proyectos de aplicacin tecno- lgica, que
pueden usarse como proyectos para los alumnos, ya sea que trabajen
de manera in- dividual o por grupos.
17. Prefacio xvii Curso en lnea con MyMathLab (se requiere un
cdigo de acceso) MyMathLab es un curso en lnea especfico del texto
y fcil de personalizar que integra ins- trucciones interactivas de
multimedios con contenido del texto. MyMathLab da al profesor las
herramientas que necesita para poner todo su curso o una parte de
ste en lnea, si sus alumnos estn en un laboratorio o bien trabajan
en su casa. Ejercicios interactivos, correlacionados con el libro
de texto en el nivel de objetivos, se ge- neran de manera
algortmica para prctica y dominio ilimitados. La mayora de los
ejerci- cios son de respuesta abierta y presentan soluciones
guiadas, problemas de ejemplo y apoyo al aprendizaje para ayuda
adicional. Captulo "Cmo prepararse": incluye cientos de ejercicios
referentes a las habilidades necesarias de lgebra y trigonometra.
Cada estudiante puede recibir apoyo para aquellas habilidades en
las que necesite ayuda. Plan de estudio personalizado, generado
cuando los estudiantes completan un examen o un cuestionario;
indica los temas que tienen que dominarse, y contiene vnculos a
ejercicios tutoriales para mejorar su comprensin y desempeo. Apoyo
de aprendizaje multimedia, como videoclases, applets de Java y
animaciones; ayuda a los estudiantes a mejorar, independientemente
de su nivel de comprensin y desempeo. Administrador de
evaluaciones: permite crear trabajos, cuestionarios y exmenes en
lnea, que se califican de manera automtica. Basta seleccionar una
mezcla adecuada de las pre- guntas en el banco de ejercicios de
MyMathLab y de los ejercicios creados por el profesor. Libro de
calificaciones: diseado especficamente para matemticas y
estadstica, de ma- nera automtica hace un seguimiento del
estudiante y brinda al profesor control para calcu- lar las
calificaciones finales. Tambin es posible agregar calificaciones
extras a este libro de calificaciones. Diseador de ejercicios
MathXL: permite crear ejercicios fijos y algortmicos para las
tareas en lnea. El profesor puede utilizar la biblioteca de
ejercicios como un punto sencillo de inicio. MyMathLab es activado
por CourseCompassTM, entornos de enseanza y aprendizaje de Pearson
Educacin, y por MathXL, nuestro sistema en lnea de tareas,
tutoriales y trabajos. MyMathLab est disponible para maestros
calificados que adopten el texto. Para mayor informacin, co-
munquese con su representante de ventas local de Pearson. Video
clases con captura opcional Las presentaciones de las clases
incluyen ejemplos y ejercicios del texto, adems de que apo- yan un
enfoque que enfatiza la visualizacin y la resolucin de problemas.
Est disponible por medio de MyMathLab y MathXL. Cursos en lnea con
MathXL (se requiere cdigo de acceso) MathXL es un sistema en lnea
para tareas, tutora y asignacin de trabajos que acompaa a li- bros
de texto en matemticas y estadstica de Pearson. Ejercicios
interactivos, correlacionados con el libro de texto en el nivel de
objetivos; se generan de manera algortmica para prctica y dominio
ilimitados. La mayora de los ejer- cicios son de respuesta abierta
y ofrecen soluciones guiadas, problemas de ejemplo y apoyo al
aprendizaje para ayuda adicional. Captulo "Cmo prepararse": incluye
cientos de ejercicios referentes a las habilidades necesarias de
lgebra y trigonometra. Cada estudiante puede recibir apoyo para
aquellas habilidades en las que necesite ayuda. Plan de estudio
personalizado: se genera cuando los estudiantes completan un examen
o un cuestionario; adems, indica los temas que tienen que
dominarse, y contiene vnculos a ejercicios tutoriales para mejorar
su comprensin y desempeo. Apoyo de aprendizaje multimedia, como
videoclases, applets de Java y animaciones; ayuda a los estudiantes
a mejorar, independientemente de su nivel de comprensin y de-
sempeo. Prefacio xvii Curso en linea con MyMathLab (se requiere un
cdigo de acceso) MyMathLab es un curso en lnea especfico del texto
y fcil de personalizar que integra ins- trucciones interactivas de
multimedios con contenido del texto. MyMathLab da al profesor las
herramientas que necesita para poner todo su curso o una parte de
ste en lnea, si sus alumnos estn en un laboratorio o bien trabajan
en su casa. Ejercicios interactivos, correlacionados con el libro
de texto en el nivel de objetivos, se ge- neran de manera
algortmica para prctica y dominio ilimitados. La mayora de los
ejerci- cios son de respuesta abierta y presentan soluciones
guiadas, problemas de ejemplo y apoyo al aprendizaje para ayuda
adicional. Captulo "Cmo prepararse": incluye cientos de ejercicios
referentes a las habilidades necesarias de lgebra y trigonometra.
Cada estudiante puede recibir apoyo para aquellas habilidades en
las que necesite ayuda. Plan de estudio personalizado, generado
cuando los estudiantes completan un examen o un cuestionario;
indica los temas que tienen que dominarse, y contiene vnculos a
ejercicios tutoriales para mejorar su comprensin y desempeo. Apoyo
de aprendizaje multimedia, como videoclases, applets de Java y
animaciones; ayuda a los estudiantes a mejorar, independientemente
de su nivel de comprensin y desempeo. Administrador de
evaluaciones: permite crear trabajos, cuestionarios y exmenes en
lnea, que se califican de manera automtica. Basta seleccionar una
mezcla adecuada de las pre- guntas en el banco de ejercicios de
MyMathLab y de los ejercicios creados por el profesor. Libro de
calificaciones: diseado especficamente para matemticas y
estadstica, de ma- nera automtica hace un seguimiento del
estudiante y brinda al profesor control para calcu- lar las
calificaciones finales. Tambin es posible agregar calificaciones
extras a este libro de calificaciones. Diseador de ejercicios
MatbXL: permite crear ejercicios fijos y algortmicos para las
tareas en lnea. El profesor puede utilizar la biblioteca de
ejercicios como un punto sencillo de inicio. MyMathLab es activado
por CourseCompassTM, entornos de enseanza y aprendizaje de Pearson
Educacin, y por MathXL, nuestro sistema en lnea de tareas,
tutoriales y trabajos. MyMathLab est disponible para maestros
calificados que adopten el texto. Para mayor informacin, co-
munquese con su representante de ventas local de Pearson. Video
clases con captura opcional Las presentaciones de las clases
incluyen ejemplos y ejercicios del texto, adems de que apo- yan un
enfoque que enfatiza la visualizacin y la resolucin de problemas.
Est disponible por medio de MyMathLab y MathXL. Cursos en linea con
MathXL (se requiere cdigo de acceso) MathXL es un sistema en lnea
para tareas, tutora y asignacin de trabajos que acompaa a li- bros
de texto en matemticas y estadstica de Pearson. Ejercicios
interactivos, correlacionados con el libro de texto en el nivel de
objetivos; se generan de manera algortmica para prctica y dominio
ilimitados. La mayora de los ejer- cicios son de respuesta abierta
y ofrecen soluciones guiadas, problemas de ejemplo y apoyo al
aprendizaje para ayuda adicional. Captulo "Cmo prepararse": incluye
cientos de ejercicios referentes a las habilidades necesarias de
lgebra y trigonometra. Cada estudiante puede recibir apoyo para
aquellas habilidades en las que necesite ayuda. Plan de estudio
personalizado: se genera cuando los estudiantes completan un examen
o un cuestionario; adems, indica los temas que tienen que
dominarse, y contiene vnculos a ejercicios tutoriales para mejorar
su comprensin y desempeo. Apoyo de aprendizaje multimedia, como
videoclases, applets de Java y animaciones; ayuda a los estudiantes
a mejorar, independientemente de su nivel de comprensin y de-
sempeo.
18. Libro de calificaciones: diseado especficamente para
matemticas y estadstica, de ma- nera automtica hace un seguimiento
del estudiante y y brinda al profesor control para calcu- lar las
calificaciones finales. Tambin es posible agregar calificaciones
extras a este libro de calificaciones. Diseador de ejercicios
MathXL: permite crear ejercicios fijos y algortmico s para las
tareas en lnea. El profesor puede utilizar la biblioteca de
ejercicios como un punto sencillo de inicio. Administrador de
evaluaciones: permite crear trabajos, cuestionarios y exmenes en
lnea que se califican de manera automtica. Basta seleccionar una
mezcla adecuada de las pre- guntas en el banco de ejercicios de
MyMathLab y de los ejercicios creados por el profesor. MathXL est
disponible para profesores calificados que adopten el libro. Para
mayor informa- cin, comunquese con su representante de ventas local
de Pearson. TestGen TestGen permite a los maestros construir,
editar, imprimir y administrar exmenes utilizando un banco de
preguntas computarizado, el cual fue desarrollado para cubrir todos
los objetivos del texto. TestGen tiene como base un algoritmo que
permite a los profesores crear mltiples versiones, aunque
equivalentes, de la misma pregunta o examen con tan slo hacer clic
en un botn. Los profesores tambin pueden modificar las preguntas
del banco respectivo o agregar nuevas preguntas. Es posible
imprimir los exmenes o administrados en lnea. Diapositivas de
clases en PowerPoint Estas diapositivas de presentaciones de clases
fueron diseadas especficamente para la secuen- cia y filosofia de
la serie de Clculo de Thomas. Se incluyen grficas clave del libro
para ayudar a hacer vvidos los conceptos en el saln de clases.
Manual de soluciones para el profesor El Manual de soluciones para
el profesor, de William Ardis, Collin County Community College,
contiene soluciones completamente desarrolladas de todos los
ejercicios del texto. xviii Prefacio Agradecimientos Sarah Streett
Rolly Zullo Queremos expresar nuestro agradecimiento a las personas
que hicieron muchas e invaluables contribuciones a esta edicin
conforme se de- sarrollaba en sus diferentes etapas: Revisores
Blaise DeSesa Paul Lorczak Kathleen Pellissier Lauri Semarne
Revisores de la decimosegunda edicin Meighan Dillon, Southern
Polytechnic State University Anne Dougherty, University of Colorado
Said Fariabi, San Antonio College Klaus Fischer, George Mason
University Tim Flood, Pittsburg State University Rick Ford,
California State University, Chico Robert Gardner, East Tennessee
State University Christopher Heil, Georgia lnstitute ofTechnology
Joshua Brandon Holden, Rose-Hulman lnstitute ofTechnology Alexander
Hulpke, Colorado State University Jacqueline Jensen, Sam Houston
State University Jennifer M. Johnson, Princeton University Hideaki
Kaneko, Old Dominion University Przemo Kranz, University of
Mississippi Xin Li, University of Central Florida Maura Mast,
University of Massachusetts, Boston Val Mohanakumar, Hillsborough
Community College, Dale Mabry Campus Aaron Montgomery, Central
Washington University Cynthia Piez, University of ldaho Brooke
Quinlan, Hillsborough Community College, Dale Mabry Campus Rebecca
A. Segal, Virginia Commonwealth University Andrew V Sills, Georgia
Southern University Alex Smith, University ofWisconsin. Eau Claire
Mark A. Smith, Miami University Donald Solomon, University
ofWisconsin, Milwaukee Blake Thornton, Washington University in Sto
Louis David Walnut, George Mason University Adrian Wilson,
University of Montevallo Bobby Winters, Pittsburg State University
Dennis Wortman, University o/Massachusetts, Boston xviii Prefacio
Agradecimientos Libro de calificaciones: diseado especficamente
para matemticas y estadstica, de ma- nera automtica hace un
seguimiento del estudiante y y brinda al profesor control para
calcu- lar las calificaciones finales. Tambin es posible agregar
calificaciones extras a este libro de calificaciones. Diseador de
ejercicios MathXL: permite crear ejercicios fijos y algortmicos
para las tareas en lnea. El profesor puede utilizar la biblioteca
de ejercicios como un punto sencillo de inicio. Administrador de
evaluaciones: permite crear trabajos, cuestionarios y exmenes en
lnea que se califican de manera automtica. Basta seleccionar una
mezcla adecuada de las pre- guntas en el banco de ejercicios de
MyMathLab y de los ejercicios creados por el profesor. MathXL est
disponible para profesores calificados que adopten el libro. Para
mayor informa- cin, comunquese con su representante de ventas local
de Pearson. TestGen TestGen permite a los maestros construir,
editar, imprimir y administrar exmenes utilizando un banco de
preguntas computarizado, el cual fue desarrollado para cubrir todos
los objetivos del texto. TestGen tiene como base un algoritmo que
permite a los profesores crear mltiples versiones, aunque
equivalentes, de la misma pregunta o examen con tan slo hacer clic
en un botn. Los profesores tambin pueden modificar las preguntas
del banco respectivo o agregar nuevas preguntas. Es posible
imprimir los exmenes o administrarlos en lnea. Diapositivas de
clases en PowerPoint Estas diapositivas de presentaciones de clases
fueron diseadas especficamente para la secuen- cia y filosofia de
la serie de Clculo de Thomas. Se incluyen grficas clave del libro
para ayudar a hacer vvidos los conceptos en el saln de clases.
Manual de soluciones para el profesor El Manual de soluciones para
el profesor, de William Ardis, Collin County Community College,
contiene soluciones completamente desarrolladas de todos los
ejercicios del texto. Queremos expresar nuestro agradecimiento a
las personas que hicieron muchas e invaluables contribuciones a
esta edicin conforme se de- sarrollaba en sus diferentes etapas:
Revisores Blaise DeSesa Paul Lorczak Kathleen Pellissier Lauri
Semame Revisores de la decimosegunda edicin Meighan Dillon,
Southern Polytechnic State University Anne Dougherty, University
ofColorado Said Fariabi, San Antonio College Klaus Fischer, George
Mason University Tim Flood, Pittsburg State University Rick Ford,
California State University, Chico Robert Gardner, East Tennessee
State University Christopher Reil, Georgia lnstitute ofTechnology
Sarah Streett Rolly Zullo Maura Mast, University ofMassachusetts,
Boston Val Mohanakumar, Hillsborough Community College, Dale Mabry
Campus Aaron Montgomery, Central Washington University Cynthia
Piez, University ofldaho Brooke Quinlan, Hillsborough Community
College, Dale Mabry Campus Rebecca A. Segal, Virginia Commonwealth
University Andrew V Sills, Georgia Southern University Alex Smith,
University ofWisconsin, Eau Claire Joshua Brandon Rolden,
Rose-Hulman lnstitute ofTechnology Alexander Rulpke, Colorado State
University Mark A. Smith, Miami University Donald Solomon,
University ofWisconsin, Milwaukee Blake Thornton, Washington
University in Sto Louis David Walnut, George Mason University
Jacqueline Jensen, Sam Houston State University Jennifer M.
Johnson, Princeton University Rideaki Kaneko, Old Dominion
University Adrian Wilson, University ofMontevallo Przemo Kranz,
University ofMississippi Bobby Winters, Pittsburg State University
Xin Li, University ofCentral Florida Dennis Wortman, University
ofMassachusetts, Boston
19. 1 FUNCIONES INTRODUCCIN Las funciones son fundamentales en
el estudio del clculo. En este captulo repasamos lo que son las
funciones, cmo se dibujan sus grficas, cmo se combinan y se
transforman, as como las formas en las que se pueden clasificar.
Adems, revisamos las fun- ciones trigonomtricas y analizamos las
representaciones errneas que pueden ocurrir cuando se utilizan
calculadoras o computadoras para obtener la grfica de una funcin.
En los apn- dices se revisa el sistema de los nmeros reales, as
como las coordenadas cartesianas, las lneas rectas, las parbolas y
las circunferencias. En el captulo 7 se tratan las funciones inver-
sas, exponenciales y logartrnicas. 1.1 Las funciones y sus grficas
Las funciones son una herramienta para describir el mundo real en
trminos matemticos. Una funcin puede representarse mediante una
ecuacin, una grfica, una tabla numrica o mediante una descripcin
verbal; a lo largo de este texto utilizaremos las cuatro
representa- ciones. Esta seccin revisa tales ideas de funcin.
Funciones: Dominio y rango La temperatura a la cual hierve el agua
depende de la altitud sobre el nivel del mar (el punto de ebullicin
es ms bajo conforme se asciende). El inters que se paga por una
inversin de- pende del tiempo que sta se conserve. El rea de un
crculo depende de su radio. La distancia que recorre un objeto a
una rapidez constante a lo largo de una trayectoria recta depende
del tiempo transcurrido. En cada caso, el valor de una cantidad
variable, digamos y, depende del valor de otra can- tidad variable,
que podramos llamar x. Decimos que ''y es una funcin de x", lo que
en forma simblica escribimos como . y =f(x) ("y es igual a f de
x"). En esta notacin, el smbolo f representa a la funcin, la letra
x es la variable independiente que representa el valor de entrada
def, mientras que y es la variable dependiente o variable de salida
def en x. DEFINICIN Una funcin f de un conjunto D a un conjunto Yes
una regla que asigna a cada elemento x E D un solo o nico elemento
f(x) E Y. El conjunto D de todos los valores posibles de entrada se
denomina dominio de la funcin. El conjunto de todos los valores de
f(x) cuando x vara por todos los valores de D se denomina rango de
la funcin. El rango podra no incluir a todos los elementos del
conjunto Y. El dominio y el rango de una funcin pueden ser
cualquier conjunto de objetos, aunque en clculo con fre- cuencia se
trata de conjuntos de nmeros reales, los cuales se interpretan como
puntos de una recta coordenada. (En los captulos 13 a 16
encontraremos funciones para las que los elementos son puntos en el
plano coordenada o en el espacio). 1 1.1 1 FUNCIONES INTRODUCCIN
Las funciones son fundamentales en el estudio del clculo. En este
captulo repasamos lo que son las funciones, cmo se dibujan sus
grficas, cmo se combinan y se transforman, as como las formas en
las que se pueden clasificar. Adems, revisamos las fun- ciones
trigonomtricas y analizamos las representaciones errneas que pueden
ocurrir cuando se utilizan calculadoras o computadoras para obtener
la grfica de una funcin. En los apn- dices se revisa el sistema de
los nmeros reales, as como las coordenadas cartesianas, las lneas
rectas, las parbolas y las circunferencias. En el captulo 7 se
tratan las funciones inver- sas, exponenciales y logartmicas. Las
funciones y sus grficas Las funciones son una herramienta para
describir el mundo real en trminos matemticos. Una funcin puede
representarse mediante una ecuacin, una grfica, una tabla numrica o
mediante una descripcin verbal; a lo largo de este texto
utilizaremos las cuatro representa- ciones. Esta seccin revisa
tales ideas de funcin. Funciones: Dominio y rango La temperatura a
la cual hierve el agua depende de la altitud sobre el nivel del mar
(el punto de ebullicin es ms bajo conforme se asciende). El inters
que se paga por una inversin de- pende del tiempo que sta se
conserve. El rea de un crculo depende de su radio. La distancia que
recorre un objeto a una rapidez constante a lo largo de una
trayectoria recta depende del tiempo transcurrido. En cada caso, el
valor de una cantidad variable, digamos y, depende del valor de
otra can- tidad variable, que podramos llamar x. Decimos que ''y es
una funcin de x", lo que en forma simblica escribimos como . y =
f(x) ("y es igual a f de x"). En esta notacin, el smbolof
representa a la funcin, la letra x es la variable independiente que
representa el valor de entrada def, mientras que y es la variable
dependiente o variable de salida def en x. DEFINICIN Una funcin f
de un conjunto D a un conjunto Yes una regla que asigna a cada
elemento x E D un solo o nico elemento f(x) E Y. El conjunto D de
todos los valores posibles de entrada se denomina dominio de la
funcin. El conjunto de todos los valores de f(x) cuando x vara por
todos los valores de D se denomina rango de la funcin. El rango
podra no incluir a todos los elementos del conjunto Y. El dominio y
el rango de una funcin pueden ser cualquier conjunto de objetos,
aunque en clculo con fre- cuencia se trata de conjuntos de nmeros
reales, los cuales se interpretan como puntos de una recta
coordenada. (En los captulos 13 a 16 encontraremos funciones para
las que los elementos son puntos en el plano coordenado o en el
espacio). 1
20. 2 Captulo 1: Funciones x Entrada (dominio) f ---.~f(x)
Salida (rango) FIGURA 1.1 Diagrama que muestra una [uncin como una
especie de mquina. x ~.r..;-- ~f(a) D = conjunto dominio y =
conjunto que contiene al rango FIGURA 1.2 Una funcin del conjunto
Da un conjunto Y asigna un nico elemento de Y a cada elemento en D.
f(x) Con frecuencia una funcin se expresa mediante una frmula que
describe cmo calcular el valor de salida a partir de la variable de
entrada. Por ejemplo, la ecuacin A = 7Tr2 es una regla que permite
calcular el rea A de un crculo de radio r (as, r se interpreta como
una lon- gitud, que en esta frmula slo puede ser positiva). Cuando
definimos una funcin y = f(x) mediante una frmula, y el dominio no
se establece de forma explcita o se restringe por el con- texto, se
supondr que el dominio ser el mayor conjunto de nmeros reales x
para los cuales la frmula proporciona valores reales para y, el
llamado dominio natural. Si de alguna manera queremos restringir el
dominio, debemos establecerlo. El dominio de y = x2 es todo el
conjunto de los nmeros reales. Para restringir el dominio de la
funcin, digamos a valores positivos para x, escribiramos "y = x2,
x> O". Por lo regular, al cambiar el dominio para el que
aplicamos una frmula, se modifica tam- bin el rango. El rango de y
= x2 es [O, (0). El rango de y = x2, X 2: 2, es el conjunto de
todos los nmeros reales que se obtienen al elevar al cuadrado
nmeros mayores o iguales a 2. En la notacin de conjuntos (vase el
apndice 1), el rango es {x21x 2: 2} o {y Iy 2: 4} o [4, (0). Cuando
el rango de una funcin es un subconjunto de nmeros reales, se dice
que la fun- cin tiene valores reales (o que es real valuada). Los
dominios y rangos de muchas funcio- nes con valores reales de una
variable real son intervalos o combinaciones de intervalos. Los
intervalos pueden ser abiertos, cerrados y semiabiertos, as como
finitos o infinitos. El rango de una funcin no siempre es sencillo
de determinar. Una funcin f es como una mquina que produce el valor
de salida f(x) en su rango, siem- pre que le demos el valor de
entrada x de su dominio (figura 1.1). Las teclas de funciones en
una calculadora ofrecen un ejemplo de una funcin vista como una
mquina. Por ejemplo, la tecla Vx en una calculadora da el valor de
salida (la raz cuadrada) siempre que se introduce un nmero no
negativo x y se presiona la tecla Vx. Una funcin tambin se puede
representar como un diagrama de flechas (figura 1.2). Cada flecha
asocia un elemento del dominio D con un nico elemento en el
conjunto Y. En la figura 1.2 las flechas indican que f( a) est
asociada con a, f(x) est asociada con x y as suce- sivamente.
Observe que una funcin puede tener el mismo valor en dos elementos
de entrada diferentes en el dominio [como ocurre conf(a) en la
figura 1.2], pero a cada elemento de en- trada x se le asigna un
solo valor de salida f(x). EJEMPLO 1 Verifique los dominios
naturales y los rangos asociados de algunas funciones sencillas. En
cada caso, los dominios son los valores de x para los que la frmula
tiene sentido. Funcin Dominio (x) Rango (y) y = x2 Y = l/x y= Vx
y=~ y=~ (-00, (0) (-00, O) U (O, (0) [O, (0) (-00,4] [-1, 1] [O,
(0) (-00, O) U (O, (0) [O, (0) [O, (0) [O, 1] Solucin La frmula y =
x2 da un valor real y para cualquier nmero real x, as que el do-
minio es (-00, (0). El rango de y = x2 es [O, (0), ya que el
cuadrado de cualquier nmero real es no negativo y todo nmero no
negativo y es el cuadrado de su raz cuadrada, y = (vY)2 para y 2:
O. La frmula y = l/x ser un valor real y para toda x, excepto para
x = O. De acuerdo con las reglas aritmticas, no podemos dividir un
nmero entre cero. El rango de y = l/x, el con- junto de los
recprocos de todos los nmeros reales distintos de cero, es
precisamente el conjunto de todos los nmeros reales distintos de
cero, ya que y = l/(l/y). Esto es, para y =1=-0, el nmero x = l/y
es la entrada asignada al valor de salida y. La frmula y = Vx da un
valor real de y slo si x 2: O. El rango de y = Vx es [O, (0),
porque cada nmero no negativo es la raz cuadrada de algn nmero (es
decir, es la raz cua- drada de su propio cuadrado). En y = ~ la
cantidad 4 - x no puede ser negativa. Es decir, 4 - x 2: o x ::s 4.
La frmula da valores reales de y para todas las x ::s 4. El rango
de ~ es [O, (0), el conjunto de todos los nmeros no negativos. 2
Captulo 1: Funciones x Entrada (dominio) f - __---i.~ f(x) Salida
(rango) FIGURA 1.1 Diagrama que muestra una [uncin como una especie
de mquina. x ~.r -;-- ~f(a) f(x) D = conjunto dominio y = conjunto
que contiene al rango FIGURA 1.2 Una funcin del conjunto Da un
conjunto Y asigna un nico elemento de Y a cada elemento en D. Con
frecuencia una funcin se expresa mediante una frmula que describe
cmo calcular el valor de salida a partir de la variable de entrada.
Por ejemplo, la ecuacin A = 7Tr2 es una regla que permite calcular
el rea A de un crculo de radio r (as, r se interpreta como una lon-
gitud, que en esta frmula slo puede ser positiva). Cuando definimos
una funcin y = f(x) mediante una frmula, y el dominio no se
establece de forma explcita o se restringe por el con- texto, se
supondr que el dominio ser el mayor conjunto de nmeros reales x
para los cuales la frmula proporciona valores reales para y, el
llamado dominio natural. Si de alguna manera queremos restringir el
dominio, debemos establecerlo. El dominio de y = x2es todo el
conjunto de los nmeros reales. Para restringir el dominio de la
funcin, digamos a valores positivos para x, escribiramos "y = x2, x
> O". Por lo regular, al cambiar el dominio para el que
aplicamos una frmula, se modifica tam- bin el rango. El rango de y
= x2es [O, (0). El rango de y = x2, X 2: 2, es el conjunto de todos
los nmeros reales que se obtienen al elevar al cuadrado nmeros
mayores o iguales a 2. En la notacin de conjuntos (vase el apndice
1), el rango es {x21x 2: 2} o {y Iy 2: 4} o [4, (0). Cuando el
rango de una funcin es un subconjunto de nmeros reales, se dice que
la fun- cin tiene valores reales (o que es real valuada). Los
dominios y rangos de muchas funcio- nes con valores reales de una
variable real son intervalos o combinaciones de intervalos. Los
intervalos pueden ser abiertos, cerrados y semiabiertos, as como
finitos o infinitos. El rango de una funcin no siempre es sencillo
de determinar. Una funcin f es como una mquina que produce el valor
de salida f(x) en su rango, siem- pre q