Teoria redes

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

Ing. César Canelo Sotelo

Contenido del curso

• Teoría de redes• El problema del árbol de expansión mínima• El problema de la ruta más corta• El problema de flujo máximo• El problema de flujo de costo mínimo• Administración de proyectos: ruta crítica

determinística, ruta crítica probabilística, optimización de proyectos

• Programación dinámica• Proceso de Jerarquía analítica• Teoría de colas

SISTEMA DE EVALUACIÓN: G

• Promedio de prácticas (PP)

• Examen parcial (EP)

• Examen final (EF)

Promedio final = (PP + EP + EF)/3

BIBLIOGRAFÍA

• Investigación de Operaciones - WinstonWayne

• Introducción a la Investigación de Operaciones - Hillier y Lieberman

• Investigación de Operaciones – H. Taha

• Investigación de Operaciones: El arte de la toma de decisiones – Mathur y Solow

• Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa – Eppen Gould

TEORÍA DE REDES

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

Ing. César Canelo Sotelo

GRÁFICAS

Las gráficas son diagramas que si seinterpretan en forma adecuada proporcionaninformación que se utiliza para describir ciertotipo de estructura. Son de utilidad porquemuestran las conexiones o relaciones entrevarias partes de la estructura. Ejemplos:mapas de carreteras, rutas de itinerario aéreo,etc.

GRÁFICA DE ORDEN n

• Una gráfica es un par ordenado G = (X, A), donde X ≠ Ø , es finito.

• X se denomina conjunto de vértices o nodos.

• Al conjunto A se denomina arcos o aristas, y tiene como elementos a pares de vértices de X. Los arcos unen a todos o algunos de los vértices xi, xj Є X.

GRAFICAS ORIENTADAS

• Una gráfica orientada G consiste en un conjunto de vértices o nodos X y un conjunto de arcos A.

• Para denotar un arco u, se requiere definir el concepto de extremo.

Sea u Є A / u = (xi, xj ), se define:

xi : Extremo inicial o predecesor.

xj : Extremo final o sucesor.

GRÁFICAS ORIENTADAS

El arco u = (xi, xj ) también se expresa como:

xi xj

Y se representa como:

Cola Cabeza

Xi Xj


U1 U2 U5

U3 U4

U6

Esta red representa la gráfica G, cuyos vértices y arcos son:

X = x1, x2, x3, x4, x5

A = (x1, x1), (x3, x2), ( x3, x4), ( x3, x5), (x4, x5), (x5, x3)

A = u1, u2, u3, u4, u5, u6

X1

X3

X2

X4

X5


• ARCOS ADYACENTES

Dos arcos son adyacentes si tienen un vértice en común.

Ejemplo, u2 y u3 son adyacentes.

• VÉRTICES ADYACENTES

Dos vértices son adyacentes si son diferentes y existe al menos un arco que va de Xi a Xj o de Xj a Xi.

Ejemplo, x2 y x3 son adyacentes.


• ARCO INCIDENTE A UN VÉRTICE

Un arco u es incidente al vértice Xi si llega a dicho vértice o sale del mismo.

Si Xi es el extremo inicial del arco u, se dice que el arco u es incidente hacia el exterior de Xi. En caso contrario, se dice que u es incidente hacia el interior de Xi. Ejemplos:

Hacia el exterior de X3: u2, u3, u5

Hacia el interior de X3: u4


u1 u2 u5

u3 u4

u6

x1

x3

x2

x4

x5

ARCOS INCIDENTES A UN CONJUNTO DE VÉRTICES

Sea Y un subconjunto de X, perteneciente a la gráfica G = ( X, A), se dice que u es incidente a Y hacia el exterior si xi Є Y, xj ~ Є Y.

El conjunto de arcos incidentes a Y hacia el exterior, se representa por W⁺ (Y) .

Si xi ~ Є Y y xj Є Y , se dice que u es incidente hacia el interior de Y, y se representa por W⁻ (Y) .

ARCOS INCIDENTES A UN CONJUNTO DE VÉRTICES

Así, si en la gráfica definimos Y como el conjunto:

Y = x3, x4 Entonces:

W⁺ (Y) = u2, u3, u6

W⁻ (Y) = u4

Al conjunto W⁺ (Y) U W⁻ (Y) se representa como:

W (Y) = u2, u3, u4, u6

U2 U5

U1

U3 U4

U6

Gráfica orientada

X1X2

X3

X4

X5

GRÁFICAS• SUBGRÁFICAS

Se denomina subgráfica de G=(X,A) a la gráficaconstituida por Y subconjunto de X y por arcos de Aque unen vértices de Y. No intervienen todos losvértices de X, en consecuencia sólo intervienen losarcos de A que unen los vértices de Y.

• GRAFICA PARCIALUna gráfica parcial de G=(X,A) es la gráfica constituidapor el conjunto de vértices de X y por B subconjunto deA. Intervienen todos los vértices de X de la gráficaoriginal.


• CAMINO

Es una secuencia de arcos u = (u1, u2, . . . , uk), en el cual el extremo final de cada arco coincide con el extremo inicial del arco que le sigue. Ejemplos:

Camino representado por arcos Camino representado por los vértices

( u5, u6) (x3, x4, x5)


• CAMINO SIMPLEEs un camino que no utiliza más de una vez el mismo arco.

• CAMINO ELEMENTALEs un camino que no utiliza más de una vez el mismo vértice.

• LONGITUD DE UN CAMINOEs el número de arcos que contiene el camino y se representa por ℓ(u).Ejemplo: Si u = ( u5, u6) , entonces ℓ (u) = 2.

x3

x1

x2

x5

x4

u1 u2

u3u4

u5

u6


• CIRCUITO

Es un camino finito N = (x1, x2, ... , xk) en el que el vértice inicial X1 es igual al vértice final Xk.

Ejemplo: U = ( u5, u6, u4) es un circuito.

• ANILLO

Es un circuito constituido por un solo vértice y con un solo arco.

Ejemplo: u1 = (x1, x1) es un anillo.

REPRESENTACIÓN DE GRÁFICAS ORIENTADAS

• Para la representación de gráficas orientadas se pueden emplear varias estructuras de datos. Una representación común es la matriz de adyacencia. Para una gráfica G = (X, A) , se supone que X = {1, 2, . . . , n } . La matriz de adyacencia para G es una matriz B de orden nxn, de elementos booleanos, donde B = [i, j] es verdadero sí y solo sí, existe un arco que vaya del vértice i al j. La matriz se exhibe con 1 para verdadero y 0 para falso.

Ejemplo

1

4

2

3

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

1 2 3 4

1

2

3

4

GRÁFICAS NO ORIENTADAS

En las gráficas no orientadas los conceptos de arco, camino y circuito, se sustituyen por arista, cadena y ciclo.

ARISTASe denomina arista de una gráfica no orientada G a un conjunto de vértices xi, xj tales que xi ≠ xj, con (xi, xj) Є A y/o (xj, xi) Є A.O sea, es el segmento que une dos vértices adyacentes. No se distinguen entre vértice inicial y final.

GRÁFICA NO ORIENTADA

En esta gráfica cada arco tiene las dos orientaciones: (Xi, Xj) y (Xj, Xi)

X1 X2

X3X5

X4

GRÁFICAS NO ORIENTADAS

• CADENAEs una secuencia de aristas.Ejemplo: v = (x1, x2, x3) es una cadena.

• CICLOEs una cadena finita en el que coinciden los vértices inicial y final.Ejemplo: v = (x1, x2, x3, x4, x5, x1)

REPRESENTACIÓN

También se puede usar la matriz de adyacencia. Ejemplo:

a b

d c

0 1 0 1

1 0 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0

a b c d

a

b

c

d

REDES DE TRANSPORTE

DEFINICIÓN

Se denomina red de transporte al grafo finito, sin anillos, donde se cumple que:

a) Cada arco u tiene asociado un número c(u)>=0 llamado capacidad del arco.

b) Existe un solo vértice Xs tal que W⁻(Xs) = 0 ,

este vértice se llama fuente o entrada de la red.

c) Existe un solo vértice Xt tal que W⁺(Xt) = 0 , este vértice se llama destino o sumidero de la red.

REDES DE TRANSPORTE• FLUJO

Es una función entera Ø(u), definida sobre elconjunto A de arcos. Esta función es un flujo parauna red de transporte si satisface:

0 <= Ø(u) <= c(u) , para todo u Є A.

La función Ø(u) puede considerarse como lacantidad de materia que fluye por el arco u.Como la cantidad de materia que entra es igual ala que sale, entonces para todo nodo se cumple:

Σ Ø(u) ingresa = Σ Ø(u) sale

REDES DE TRANSPORTE

• ARCO SATURADO

Se dice que un arco u Є A está saturado si:

Ø(u) = c(u)

• FLUJO COMPLETO

Un flujo es completo si todo camino que va de la fuente al destino contiene al menos un arco saturado.

Ø(u)

c(u) 1 0

c(u)- Ø(u) 2 1

0 2

2 2

RED DE TRANSPORTE

X1

Xs Xt

X2

3 1

42

RED DE TRANSPORTE• CORTE

Sea Y un subconjunto del conjunto X de vértices, que contiene al destino Xt y no contiene a la fuente Xs. El conjunto W⁻(Y) (arcos incidentes hacia el interior de Y) se le denomina corte de la red.Un corte de una red, es un conjunto de arcos cuya ausencia desconectaría completamente a la red.Ejemplo, si en la red se tiene Y = (X2, Xt), entonces el corte correspondiente a Y está dado por: W⁻(Y) = { (X1, Xt), (Xs, X2) }

CORTE EN UNA RED DE TRANSPORTE

x1

xtxs

x2

3 1

42

REDES DE TRANSPORTE

• CAPACIDAD DE CORTE

Se denomina así a la expresión:

C [W⁻(Y)] = Σ c(u) , u Є W⁻(Y)

Al definirse la capacidad de un corte se toma en cuenta la dirección de los arcos del corte.

Ejemplo, si Y = (X2, Xt) ,

C [W⁻(Y)] = 2 + 1 = 3

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