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Teoría de Falla Solicitaciones combinadas
Problema de AplicaciónResolución del Ejercicio N° 8
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
Veamos el siguiente ejemplo:
Hallar las tensiones máximas en el empotramiento A y el giro alrededor del eje x, de la sección E (X). Trazar los diagramas de momentos torsores, los diagramas de tensiones y los diagramas de esfuerzos actuantes. Verificar las tensiones máximas para la fibra más solicitada y calcular el coeficiente de seguridad () aplicando el criterio de Von Mises. Nota: El momento torsor de M está aplicado en la sección B.
Enunciadoy
xz
AB
CD
E
F
4 Tn
10 Tn
5 Tn
M = 8 Tn . m
X
2 m
1 m1 m
1 m1 m
Datos:AC = 40 cm CE= 10 cm DF= 10 cmMaterial: aluminio (6061), G = 2,7x105 kgf/cm2
Veamos los datos del material:
Para el aluminio 6061se tiene:
Resolución
FL= 150 N/mm2
FL= 1530 kgf/cm2
por lo tanto:
Veamos las características geométricas de la sección:
Siendo la sección del empotramiento A una sección circular maciza será:
2264,256.1
4cmA E
3333,333.5
12
1cmS Ex
4471,663.125
64cmJ E
44
0 42,327.25132
cmJ E
Resolución
x
y
z
A
Calculemos las solicitaciones actuantes en el empotramiento A:
Solicitación axil:
Resolución
kgfTnN X 50005 tracción (+)
NX = 5000 kgf
Solicitaciones por corte:
kgfTnTY 1000010
kgfTnTZ 40004
TY = -10000 kgf
TZ = -4000 kgf
Solicitación por momentos flexores:
cmkgfmTnmTnMY 510222234
cmkgfmTnmTnM Z 5103030310
MY = 22x105 kgf.cm
MZ = -30x105 kgf.cm
Solicitación por momento torsor:
cmkgfmTnmTnmTnM X 51012122108
MX = 12x105 kgf.cm
Calculemos las tensiones debidas al esfuerzo axil:
La tensión normal será:
222
40
50004
4
cm
kgfkgfN
cmA
kgfN XXX
y
z
297,3
cm
kgfX
X = 3,97 kgf/cm2
Resolución
y
z MZ
MY
MF
Calculemos las tensiones debidas a los momentos
flexores:
El momento flexor actuante será:
Resolución
cmkgfMMM ZYF
52222
103022
… y el ángulo que forma con el eje z resulta:
75,14330
22arctan
Z
Y
M
M
cmkgfM F 51020,37
Por su parte, la distribución de tensiones normales será:
2
J
My
J
M FMAX
FX MAX
24
5
5922
40
71,125663
1020,37
cm
kgfcm
cm
cmkgfMAXX
z
yMF
P
Xmax ≈ 592 kgf/cm2
donde:
25,36
75,143180
…y las tensiones normales totales serán…
…, por el principio de superposición de efectos, la suma de las tensiones debidas a la solicitación axil y las debidas al momento flexor:
Resolución
z
yMF
P
MAX ≈ 596 kgf/cm2
MAX
FXFlexiónAxilMAX y
cmJ
cmkgfM
cmA
kgfN
42
2259297,3
cm
kgf
cm
kgfFlexiónAxilMAX
2596
cm
kgfMAX
donde: 25,36
TY
TZ
T
y
z
Q
Calculemos las tensiones debidas a los esfuerzos
cortantes:
El esfuerzo cortante actuante será:
Resolución
kgfTTT ZY
3222210410
… y el ángulo que forma con el eje z resulta:
20,68
4
10arctan
Z
Y
T
T
kgfT 31077,10
Por su parte, la distribución de tensiones corte será parabólica con una MAX1:
22
3
230,114
2
40
1077,10
3
4
2
3
4
3
411 cm
kgf
cm
kgfT
A
TMAXMAX
MAX1
Calculemos las tensiones debidas al momento
torsor:
Las tensiones tangenciales debidas al momento torsor tendrán distribución radial con un valor máximo MAX2 :
Resolución
24
5
0
49,9541,251327
2
401012
22 cm
kgf
cm
cmcmkgf
J
M X
MAX
y
z
A
B
MAX2
Las tensiones tangenciales máxima total será la suma de las tensiones debidas al esfuerzo de corte (MAX1) y al momento torsor (MAX2). Esta tensión se verificará en un punto tal como el A:
2279,20949,9530,114
21 cm
kgf
cm
kgfMAXMAXMAXAMAX … y por su parte:
249,95
2 cm
kgfMAXPMAXBMAX
… en el punto P la tensión 1
no es nula por ser P ≠ Q ya que ≠ , pero al 1 ser muy cercana a 0 (cero) puede despreciarse.
Veamos los diagramas:
Resolución
P
Q
Q
T
P
Graficamos las tensiones normales
Graficamos las tensiones tangenciales debidas al corte
Graficamos las tensiones tangenciales debidas a la torsión
Definimos P
Trazamos el diagrama
Definimos Q
Trazamos el diagrama Q
Luego analizaremos la tensión P
correspondiente al punto P
El diagrama resultará independiente del ángulo
Analicemos el valor de P:
Resolución
P
Q
Q
PLa expresión de las tensiones tangencialesP debidas al esfuerzo de corte tendrán una distribución cuadrática según la siguiente expresión:
4
22
13
4
R
yRT
donde y resulta ser:
y
cosRy
24
22
4
22
1 2,3cos1
3
4
3
4
cm
kgf
R
RT
R
yRT
249,95
2 cm
kgfMAX
por lo tanto, P puede despreciarse
Calculemos las tensiones principales para la fibra más solicitada (P)
Resolución El estado tensional del punto P será el siguiente:
y el tensor de tensiones: MPaT
zyzxz
zyyxy
zxyxx
T
049,950
49,9500
00596
…será el correspondiente a un estado espacial de tensiones. Calculamos sus invariantes:
3
2
222
2
2
222
2
70,54345302
34,9118
596
cmkgf
J
cmkgf
J
cmkgf
J
xyzyxzzxyyzxzxyzyx
yzxzxyxzzyyx
zyx
070,543453034,911859602323
iiiiii JJJ
…y aplicando Ruffini:
Resolución
034,911801
70,54345300596596
70,543453034,91185961
23,2
212
34,9118
596
034,9118596
cmkgf
cmkgf
ii
23
22
21
49,95
49,95
596
cmkgf
cmkgf
cmkgf
Los centros y radios de las familias de circunferencias son:
Resolución
22321
3
22231
2
2132
1
75,3452
49,95596
2
26,2502
49,95596
2
02
49,9549,95
2
cmkgf
cmkgf
CC
cmkgf
cmkgf
CC
cmkgf
CC
22321
3
22231
2
22132
1
26,2502
49,95596
2
75,3452
49,95596
2
49,952
49,9549,95
2
cmkgf
cmkgf
rr
cmkgf
cmkgf
rr
cmkgf
cmkgf
rr
Tracemos ahora las circunferencias de Mohr:
Resolución
[kgf/cm2]
[kgf/cm2]
R1 (≈95)R3 (≈250)
R2 (≈345)
C1 (0)
C2 (≈250)
C3 (≈345) 1 (596)2 (95,49)3 (-95,49)
Apliquemos ahora el criterio de Von Mises:
Resolución“La falla se producirá cuando la energía de distorsión por unidad de volumen debida a los
esfuerzos máximos absolutos en el punto crítico sea igual o mayor a la energía de distorsión por unidad de volumen de una probeta en el ensayo de tracción en el momento de producirse la fluencia”
2
2222
313221
2
3
2
2
2
1
52,618
46,9559646,9546,9559646,9546,95596
cmkgf
Adm
Adm
FlAdm
Para el aluminio (6061) resulta:
21530 cmkgfFl 47,2
52,618
1530
2
2
cmkgf
cmkgf
Adm
FlFlAdm
… y el diagrama de Momentos Torsores es:
Resolución
Bibliografía
Estabilidad II - E. FliessIntroducción a la estática y resistencia de materiales - C. RaffoMecánica de materiales - F. Beer y otrosResistencia de materiales - R. Abril / C. BenítezResistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana SantanaResistencia de materiales - V. FeodosievResistencia de materiales - A. Pytel / F. SingerResistencia de materiales - S. Timoshenko
Muchas Gracias