Solicitación axil

Solicitación Axil Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos

El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.

Ing. Gabriel Pujol

Año de edición 2016

Solicitación Axil (Complemento Teórico)

Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol

Tabla de contenido

SOLICITACIÓN AXIL 3

EQUILIBRIO INTERNO DE UN SÓLIDO DE ALMA LLENA (PLANTEO GENERAL) 3 PLANTEO DEL PROBLEMA DE LA SOLICITACIÓN AXIL 4 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LA SOLICITACIÓN AXIL 5 PROBLEMAS USUALES 6 INFLUENCIA DEL PESO PROPIO 10 INFLUENCIA DE LA TEMPERATURA 11 DEFORMACIÓN TRANSVERSAL Y VARIACIÓN DEL VOLUMEN 11

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 14


Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12



Solicitación Axil

Equilibrio interno de un Sólido de Alma Llena (Planteo General)

Sea una sección cualquiera de un sólido de alma llena sujeto a un sistema de fuerzas en equilibrio. Al reducir al baricentro G de la sección las fuerzas que actúan a la derecha y a la izquierda de la misma, se obtienen dos pares y dos fuerzas, en equilibrio, cuyas componentes corresponden a un momento flexor MF, un momento torsor MT, un esfuerzo normal N y un esfuerzo de corte Q.

En la figura se han representado las componentes del par y de la resultante de reducción de las fuerzas de la derecha de la sección y se ha hecho coincidir el origen de coordenadas con el baricentro de la sección, orientando el semieje positivo de las x normal a la sección y hacia fuera de la misma, y los ejes z e y según las direcciones principales de inercia. El vector representativo del par torsor está dirigido según el eje x resultando en consecuencia:

xT MM

El par flexor, en general, actúa en un plano que no coincide con ninguno de los ejes coordenados, en consecuencia puede descomponerse en dos vectores Mz y My. La fuerza normal N coincide en dirección con el eje x y en lo que respecta a Q, contenida en el plano zy, puede ser descompuesta en sus componentes Qx y Qy.

Como se ha visto al definir el concepto de tensión, las acciones que se transmiten de uno a otro lado de la sección considerada, lo son como acciones mutuas, de punto a punto. Estas tensiones, descompuestas en sus componentes



normal y tangencial ( y ), la primera normal a la sección y la segunda contenida en el plano de la

misma puede ser descompuesta (esta última) en sus componentes xz y xy.

En consecuencia, sobre cada elemento infinitésimo de superficie tendremos actuando tres fuerzas elementales cuyas expresiones son:

dFdQzsegún

dFdQysegún

dFdNxsegún

xzz

xyy

:

:

:

Nos encontramos ante un sistema de infinitas fuerzas elementales que debe ser equivalente al sistema formado por los esfuerzos característicos que los originan. En este caso, convendrá expresar la equivalencia en forma de tres ecuaciones de igualdad de proyecciones sobre los ejes x, y, z y tres ecuaciones de igualdad de momentos respecto de los mismos ejes.

21

F

z

F

y

F

xzxyTx

F

xzz

F

xyy

F

dFyM

dFzM

dFyzMM

dFQ

dFQ

dFN

Planteo del Problema de la Solicitación Axil

La solicitación axil corresponde al caso en que al reducir las fuerzas que actúan a un lado de la sección, sólo existe una resultante de reducción normal al plano de aquella, y que esta circunstancia se repite para todas las secciones del sólido. En consecuencia para todas las secciones resulta N = P.

Al no existir ni momento flexor, ni momento torsor ni tampoco esfuerzo de corte, resultan Q = MF = MT = 0, en consecuencia las ecuaciones (1) y (2) se transforman en las siguientes:

3

0

0

0

0

0

F

F

F

xzxy

F

xz

F

xy

F

dFy

dFz

dFyz

dF

dF

dFN



Resolución del Problema de la Solicitación Axil

La hipótesis fundamental es la proporcionalidad entre tensiones y deformaciones (Ley de Hooke). Admitiremos (verificado experimentalmente en elementos solicitados por tracción o compresión simple) que una sección normal se mantiene plana y paralela a sí misma luego de la deformación para secciones alejadas de los extremos, de acuerdo al principio de Saint Venant (“Si se reemplazan las fuerzas que actúan sobre una zona reducida de la superficie de un sólido elástico por otro sistema estáticamente equivalente actuando en la misma zona, este estado ocasiona una modificación sustancial del estado de tensión local, pero no influye en el estado de tensión de secciones ubicadas a una distancia que, en comparación con las dimensiones lineales de la zona de carga, sea grande”).

Por lo tanto, si la sección se mantiene plana y paralela a sí misma, los elementos infinitésimos de su volumen no pueden sufrir distorsiones o, de existir éstas, deben ser constantes y del mismo signo. Pero si

= 0, resulta = 0, y si = cte, tiene que ser = cte. Si esta última hipótesis fuera cierta, 2ª y 3ª

ecuación de las (3) se transformarían en:

00

0

FdFctecon

dF

dF

F

xzxy

F

xz

F

xy

lo que es una incongruencia. En consecuencia debe necesariamente verificarse que 0 xzxy , lo

que hace que la 2ª, 3ª y 4ª de las ecuaciones (3) resulten idénticamente nulas.

Consideremos ahora dos secciones s-s y s’-s’ separadas por un distancia l antes de la deformación. Si suponemos la sección s-s fija, la sección s’-s’ se desplazará

paralelamente a sí misma una longitud l pasando a ocupar la posición s”-s”.

Una fibra cualquiera como ser la a-a, experimentará una deformación específica:

l

la

Ahora bien, todas las fibras de la sección, cuyas longitudes originales eran l, experimentarán el mismo

aumento de longitud l y en consecuencia resulta:

cteeE

por lo que la 1ª de las ecuaciones (3) se puede escribir:

4F

NFNdFN

F

La constancia del valor de , satisface las dos últimas ecuaciones (3). En efecto:



F

F

F

F

dFy

dFz

ctesiendoydFy

dFz

0

0

0

0

estas integrales corresponden a los momentos estáticos del área de la sección con respecto a los ejes y y z respectivamente, momentos estáticos que son nulos por ser los ejes mencionados baricéntricos.

En cuanto a los signos de la fuerza axil, si N tiende a acortar al sólido se le asigna signo negativo (compresión), mientras que si tiende a alargar al sólido le asignaremos signo positivo (tracción).

La ecuación (4) indica que las tensiones del material se reparten uniformemente en una misma sección recta y considerando la Ley de Hooke será:

5El

l

F

NE

Se observa que:

Las ecuaciones (4) y (5) mantienen su validez sólo en la zona elástica del material.

Si la fuerza N no está aplicada en el baricentro de la sección, hay excentricidad y la repartición de tensiones no es uniforme. (solicitación por flexión compuesta)

Las ecuaciones (4) y (5) sólo se aplican a barras cortas (cuando se consideran esfuerzos de compresión) para eliminar la posibilidad de pandeo.

En las ecuaciones (4) y (5) no interviene el peso propio de la barra que puede despreciarse si la misma es horizontal.

Problemas usuales

1. Problema de dimensionamiento

Adm

Adm NF

FIncógnita

) (materialyNDatos

:

:

2. Problema de verificación

F

NE

materialEIncógnita

FyNDatos

N

lEFlo

EF

lNl

lolIncógnita

lolyFmaterialENDatos

FNNIncógnita

FymaterialDatos

F

N

Incógnita

FymaterialNDatos

Adm

Adm

Admtrabajo

trabajo

Adm

:

,:Material

:

,,:macionesDim./Defor

:

:max. Carga

:

,:Material



Problemas de aplicación

Ejercicio I: Para la siguiente figura se pide determinar:

a) Esfuerzos en las barras 1 y 2.

b) Reacciones de vínculo externo en los nodos “B” y “C”.

c) Dimensionar las secciones de las barras de tal manera que tanto las proyecciones horizontales (Δx) y verticales (Δy) del desplazamiento del Punto “A” no excedan 1.50 mm, siendo las mismas de sección circulares.

d) Trazar los diagramas de desplazamientos y deformaciones específicas a lo largo de las barras para ambos elementos estructurales.

Resolución:

Vamos a considerar no despreciable la variación de los ángulos y al alcanzar la posición final, así

tendremos:

a) En la posición inicial resulta

coscos

sin

sin

906030

21

2

22

1

11

LLh

L

a

a

L

L

a

a

L

b) Cálculo de la posición final

mma

mmhartg

mma

mmhtg

mma

mmhartg

mma

mmhtg

5,1

5,1

5,1

5,1

5,1

5,1

5,1

5,1

2

2

1

1

c) Cálculo de las longitudes de las barras 1 y 2 luego de la deformación



2

'

22max

1

'

11max

'

2'

2

'

1'

1

sin

5,15,1sin

sin

5,15,1sin

LL

LL

mmhL

L

mmh

mmhL

L

mmh

d) Dimensionamiento de las secciones de las barras:

Dimensionamos por condiciones de deformación, para ello, los diámetros de las barras los calculamos en función de las expresiones de los alargamientos y el área de la sección circular:

2

22

222max

11

111max

2,,

dA

EA

LN

EA

LN

22max

222

11max

111 2,2

E

LNd

E

LNd

Verificamos las tensiones máximas que se generan en las barras (dimensionamiento por condiciones de resistencia):

2

2

2

2

222

1

1

1

11

2

,

2

d

N

A

N

d

N

A

N

Ejercicio II: El esquema estructural de la figura está constituido por una viga rígida A-B-C, la cual cuelga de tres tensores A-D, B-E y C-F. Se pide calcular:

a) Esfuerzos en cada uno de los tres tensores.

b) Tensiones que soporta cada uno de los tres tensores.

c) Desplazamientos de los puntos “A”, “B” y “C”.

d) Desplazamiento vertical del punto de aplicación “G” de la carga P.

e) Deformaciones específicas de cada uno de los tres tensores.

Resolución:

a) Esfuerzos en cada uno de los tres tensores:

Deberemos plantear, además de la nulidad de la sumatoria de las fuerzas verticales y la nulidad de la sumatoria de los momentos respecto de un punto (punto “A”), la relación de los desplazamientos de cada barra de forma tal que la barra rígida no se deforme, esto podemos referirlo en la siguiente proporción:



2

2

FCDAFCEB

FCDAFCEB

LL

por lo tanto:

1

3

1

1

1

3

2

2

321

32

2

1

2

0

220

AE

hN

AE

hN

AE

hN

AE

hN

PNNNF

aPaNaNM

FCDAFCEB

y

A

Sistema de tres ecuaciones con 3 incógnitas: N1, N2 y N3.

Ejercicio III: Para el esquema estructural de barras de la figura se pide calcular:

a) Reacciones de vínculo.

b) Diagrama de esfuerzos normales.

c) Diagrama de tensiones normales a lo largo de toda la longitud de las tres barras.

d) Diagrama de deformaciones específicas.

e) Diagrama de desplazamientos absolutos.

Resolución:

a) Reacciones de vínculo:

Deberemos plantear, además de la nulidad de la sumatoria de las fuerzas verticales la deformación total nula, por lo tanto:

AE

LN

AE

LN

AE

LN

PPRRFBAy

332211321

21

0

0

0332211 LNLNLN

y siendo además, el diagrama de características de la solicitación axil el que se muestra en la figura, resulta:

AB

B

B

RPRPPNN

RPPNN

RN

21223

1112

1

Resulta un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas: RA, RB, N1, N2 y N3



AB

B

B

BA

RPRPPNN

RPPNN

RN

LNLNLN

PPRR

21223

1112

1

332211

21

0

0

Influencia del Peso Propio

Sea la pieza prismática BB’CC’ sobre la cual actúa la fuerza de tracción P. Si F es el área constante de la

pieza, l su longitud y su peso específico, una sección S distante x del extremo libre, se encuentra

solicitada por dos fuerzas, el peso propio del trozo SC de la pieza (.F.x) y la carga axil P. La fuerza total

será:

6PxFN

La tensión en la sección S, conforme al principio de superposición de los efectos, es:

F

Px

F

PxF

F

Nx

Esta tensión tendrá un mínimo que se corresponderá con el extremo libre x = 0

F

Pmin

y un máximo en el extremo fijo x = l

F

Pl

F

PlF

max

Luego, la condición de resistencia tendrá que ser:

AdmAdmF

Pl

F

PlF

max

El alargamiento, en este caso, será de (5):

xNNEF

lNl

con

EF

lP

EF

lF

EF

xP

EF

xFl

dxEF

Pdx

EF

xFdx

EF

PxFdx

EF

xNl

ll

llll

22

2

00

2

0000



P

lF

EF

ll

2

En el caso de una barra de igual resistencia, es decir cuando en todas las secciones transversales las tensiones normales son iguales, el cálculo del área de la sección transversal se realiza con la siguiente fórmula:

x

Adm

xAdme

PF

Influencia de la Temperatura

El coeficiente de dilatación libre de un prisma, es el número que mide el alargamiento o acortamiento

por unidad de longitud, cuando la temperatura varía 1ºC. Así se tiene:

ltlt ºº

Si definimos el alargamiento específico térmico:

ººº

º tl

lt

tt

La presencia de esfuerzos internos de origen térmico se presentan como si estas tensiones respondieran a una fuerza N exterior que será de compresión cuando hay disminución de temperatura y de tracción si hay aumento de temperatura.

Si es la tensión producida a consecuencia de una

variación térmica, por la Ley de Hooke podrá escribirse:

ºº tEE t

y para una sección de área F resulta:

ºtFEN

Deformación Transversal y variación del volumen

La variación longitudinal unitaria en el caso de tracción o compresión es, según la ley de Hooke,

E

y la deformación unitaria transversal,

E

siendo μ el coeficiente de Poisson del material. La variación de área de la sección transversal de la barra

puede calcularse con la fórmula,

EF

F

22



Para hallar la variación absoluta del volumen de la barra se emplea la expresión

dxN

EV x

21

La integración se realiza sobre cada tramo, la suma abarca todos los tramos. Si la barra se tracciona o se comprime por las fuerzas P, aplicada a los extremos entonces,

lP

EV

21

Problemas de aplicación

Ejercicio IV: Dados P, q, l, Fx, E y μ, Calcular x, Fx / Fx y V.

Resolución:

El esfuerzo axil y la tensión normal en una sección transversal en una sección arbitraria son,

xx

xxx

F

xqP

F

NxqPN

;

Puesto que según la ley de Hooke, el alargamiento unitario vale

x

xx

FE

xqP

E

la variación unitaria del área de la sección será,

x

x

x

x

FE

xqP

EF

F

22

y la variación absoluta del volumen de la barra,

l

lqP

EdxxqP

EdxN

EV

ll

x

2

212121

00

Ejercicio V: Dado el reticulado plano que se indica en la figura, cuyas barras serán construidos por dos

perfiles ángulo de alas desiguales (según norma DIN 1029) se solicita:

1. Dimensionar la barra AD.

2. Determinar para la barra

dimensionada los planos

principales de corte y sus

respectivas tensiones

mediante la circunferencia

de Mohr.



Datos: a = 2m; P1 = P2 = P3 = 30 KN; adm = 12 KN/cm2

Resolución:

1) Dimensionamiento de la barra AD

Las reacciones de vínculo en los apoyos A y B actúan hacia arriba, y por razones de simetría (geométrica y de cargas), tienen la misma magnitud:

KNPRRi

iBA 452

1 3

1

Para calcular el esfuerzo en la barra, se realiza el diagrama del cuerpo libre en el nudo A, como se muestra en la figura:

Planteando las dos ecuaciones de equilibrio de proyección de fuerzas tendremos:

a) Sobre el eje y (compresión):

KN

KNRN

NRP

AAC

ACAiy

63,100)'3426sin(

45

)sin(

)sin(0

b) Sobre el eje x (tracción):

KNKNNN

NNP

ACAD

ACADix

90)'3426cos(.63,100)cos(

)cos(0

Para dimensionar la barra (AD) debe cumplirse que:

2

2

5,7

12

90cm

cm

KN

KNNF

F

N

adm

ADADadm

De la tabla de perfiles (L - DIN 1029 – 50x30x5) se obtiene: 2

1 78,3 cmF

y como la barra está

conformada por dos perfiles idénticos será:

2

1 56,72 cmFFbarra

2) Determinación de los planos principales de corte y sus tensiones respectivas, mediante la

circunferencia de Mohr

En cualquier sección transversal de la barra AD se tiene que:

2290,11

56,7

90

cm

KN

cm

KN

F

N

AD

ADz

Como se observa en la figura, los planos principales de corte son bisectores de los planos principales.



Bibliografía Recomendada

Estabilidad II - E. Fliess

Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez

Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros

Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced Mechanics of Materials")

El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")

Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo

Mecánica de materiales - F. Beer y otros

Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler

Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros

Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir

Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana

Resistencia de materiales - V. Feodosiev

Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer

Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Education

Solicitación axil