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Los conceptos de Población y su relación con Objetividad y Probabilidad.
Colegio de Posgraduados 50 años de la Maestría en Estadística.
1964-2014 Colegio de Posgraduados
28 de febrero de 2014 San Miguel de Allende, Gto. Colg
-Ignacio Méndez Ramírez. IIMAS UNAM. -Hortensia Moreno Macías. UAM-I. -Chiharu Murata. INP - Ignacio Méndez Gómez Humáran. CIMAT Ags. -Felipe de Jesús Zaldívar López. GAMI (por invitación)
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La estadística es un valioso auxiliar en la investigación. Se conoce poco el marco filosófico, epistemológico de sus fundamentos. Se presentan algunas ideas respecto a la situación epistemológica de conceptos básicos en todas las investigaciones que usan la estadística. Tales como población, objetividad, probabilidad, entre otros.
Se conjugan los conceptos de Población, Objetividad y Probabilidad de acuerdo al uso frecuente de las aplicaciones de la estadística. Se parte de la diferenciación de las poblaciones en Finitas e Infinitas. También se considera el proceso de obtención de muestras, así como conceptos de probabilidad adecuados en cada caso y su estatus en relación a la objetividad.
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Objetivo. No depende de la vo luntad de los investigadores. “es como es”. “Así salió”. Es un reflejo de la “realidad”. Nos informa sobre como es el mundo. Es comunicable y esta abierto a la crítica Ejemplos: Se mide la estatura del próximo estudiante, se determina la diversidad de plantas en una hectárea de bosque. Se observa la evolución de un paciente. Se toma una muestra de 400 individuos de la población de habitantes en México y se obtiene un estimado de la proporción de obesos. En todos los casos los investigadores no determinan el resultado.
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Subjetivo. Si depende de la voluntad de los investigadores. Es lo que nos parece, lo que nos gusta, lo que creemos que conviene. Se elige arbitrariamente dentro de una gama de posibilidades. Ejemplos: Elección de carrera para estudiar o de esposa. ¿Qué película ir a ver? Planteamiento de un problema de investigación Selección de un método para medir algo. Selección de un diseño de investigación. En todos los casos hay arbitrariedad en la elección o formulación, es al “gusto” de los investigadores. (aun que en ocasiones las opciones son limitadas)
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Subjetivamente especificar: 1.- Qué elementos son Ui. Unidades
observacionales o unidades experimentales. (Viviendas, Arboles, Pacientes, etc.)
2.- Qué características son comunes a todos los elementos. ABCD. Automáticamente pueden variar un numero potencialmente infinito de factores EFG…..
3.- Qué variables se quieren medir en las unidades Y, X, …Z. (numéricas, pesos tallas, ingresos, duración de vida, presión arterial sistólica, etc.), o categóricas (sexo, derechohabiente, con pisos de tierra, etc.)
4.- Qué procedimiento se usará para obtener la medición de las variables. A cada Ui se le asocia un valor o una categoría.
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Los aspectos 1 a 4 son subjetivos, se determinan según criterios, teorías, preferencias, recursos, objetivos de los investigadores, etc. (puede haber intersubjetividad en el método, se acuerda el protocolo entre varios investigadores). 5.- Resultados objetivos. (son básicos, a partir de ellos se tienen parámetros, distribuciones, etc.). Los valores particulares de las variables en cada unidad Ui, estos son Yi, Xi, …,Zi. Son objetivos, el investigador no los determina según su conveniencia. Son los que ocurrieron en la realidad.
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La variabilidad entre los valores de las variables se conceptualiza que se debe a la presencia diferencial de los factores no comunes o “fuentes de error”. Una unidad Ui presentó valores particulares Yi, Xi, …, Zi debidos a los factores no comunes Ei,Fi,Gi, … Posición de Popper : determinista epistemológicamente e indeterminista ontológicamente
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12
Ui
Todos tienen A, B , C, D
Yi =25, tiene propiedad Q Yj =32, no tiene la propiedad Q
Yk =45, tiene la propiedad Q
Promedio poblacional de las Yi llamado Y. distribución de probabilidades poblacional de las Yi
Subjetivo. El investigador d e c i d e a voluntad, o elige de acuerdo a su gusto , intuición y m a r c o t e ó r i c o estos aspectos
Los resultados de la mediciones en las Ui no dependen de la voluntad del investigador.
Población finita Hay N elementos
Probabilidades clásicas
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Ui
Todos tienen A, B , C, D
Yi =25, tiene propiedad Q Yj =32, no tiene la propiedad Q
Yk =45, tiene la propiedad Q
Promedio poblacional de las Yi llamado μ distribución de probabilidades poblacional de las Yi
Subjetivo. El investigador d e c i d e a voluntad, o elige de acuerdo a su gusto y marco t e ó r i c o e s t o s aspectos
Los resultados de la mediciones en las Ui no dependen de la voluntad del investigador. Fracción disponible
Población infinita Es un proceso
Probabilidades Propensivistas
N=100 Nazul=70 Nroja=30
Selección al azar de una unidad con igual probabilidad 1/100, para cualquiera de las N.
P(azul)=Nazul/N =70/100=0.7 Que sea roja: P(rojo)=Nrojo/N =30/100=0.3. Son desconocidas pero reales
La probabilidad de que la Ui seleccionada sea Azul :
Se aplica la definición clásica de probabilidad. Casos favorables/casos posibles 14
N=100 Nazul=70 Nroja=30
Cada extracción de una Ui es un “ensayo de Bernoulli”. Puede ser azul con probabilidad P(azul)
P(azul)=Nazul/N =70/100=.7 P(rojo)=Nrojo/N =30/100=.3
Muestra aleatoria con reemplazo de n=10. p es la probabilidad estimada Representativa p(azul) =P(azul)=0.7 p(roja)=P(roja)= 0.3 Las Probabilidades estimadas son las poblacionales. 15
Binomial n =10, p=0.7
Muestra representativa 7 azules y 3 rojas La mas probable de todas las muestras
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N=100 Nazul=70 Nroja=30
Selección de una unidad con igual probabilidad 1/100, para cualquier unidad
P(azul)=Nazul/N =70/100=.7 P(rojo)=Nrojo/N =30/100=.3
Muestra aleatoria con reemplazo de n=10. No representativa p(azul)=1.0 p(roja)= 0,0 17
N=100 Nazul=70 Nroja=30
Selección de una unidad con igual probabilidad 1/100, para cualquier unidad
P(azul)=Nazul/N =70/100=0.7 P(rojo)=Nrojo/N =30/100=0.3
Muestra aleatoria con reemplazo de n=10. Casi representativa =p(azul)=0.6 p(roja)= 0.4 19
Muestra aleatoria con reemplazo de n=10. Casi representativa p(azul)=0.6 p(roja)= 0.4 Probable, aun que menos que la representativa.
20
Probabilidades estimadas de que sea azul.
P(azul) =0.7
p(azul)
1.0
0.80
0.70
0.60
0.35
0.0 n
Probabilidades estimadas de que sea azul. p(azul)
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Secuencia de esHmaciones p(azul) al incrementar n , el tamaño de muestra. Al aumentar n son cada vez mas probables las muestras representaHvas
P(azul) p(azul)
Muestra de n=100,000 elementos con P=0.7 Población con N grande, (10,000,000) N(azul)=7,000,000 y N(rojo)=3,000,000
n azul
Muestras representativas o casi 69,500 a 70,500 azules Casi con seguridad es representativa probabilidad estimada de azules entre 0.695 o 0.705 22
Se alcanzó la regularidad
estadística. Las posibles p están muy cerca de P
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La proporción de azules en la población es un parámetro de ella. Es decir es una propiedad objetiva desconocida de la población. P(azul) dadas las Ui con ABCD constante. Si se plantea una variable que valga 1 si la bola es azul y 0 si no. Se conoce esa variable como “indicadora”. Entonces P(azul) es la media de todos los valores 1 o 0 de la variable en cada bola unidad de la población. La proporción poblacional es la media de la variable indicadora y es la probabilidad de que en una extracción salga azul.
Proporción poblacional = probabilidad en una extracción= Media de la variable indicadora
Promedio de las caras de un dado
El promedio poblacional es 3.5, este valor no puede ocurrir al lanzar una vez el dado Es una propiedad del arreglo experimental para infinitos lanzamientos
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Promedio muestral
Promedio poblacional 3.5
25
Suponga ahora que la población finita, esta constituida por todas las mujeres que habitan en la república mexicana en 2012, y a cada una se le asocia el numero de hijos que tiene. Serán valores 0,1,2,3,4,……,25. Suponga también que el promedio de todos los valores en la población es 2.3, es llamado µ. Ciertamente ninguna mujer tiene 2.3 hijos. El promedio es una propiedad de la población. El promedio no existe como valor para una mujer, pero si existe y es objetivo para la población. Podemos decir que es objetivo virtual, resultado de la operación de promediar los valores de la variable en la población. Promedio 2.3 hijos por mujer
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Si se considera que en las finitas, n es muy pequeño relativo a N (n/N<0.1), entonces la obtención de una muestra aleatoria de la población finita sin reemplazo se acerca a la selección de la muestra con reemplazo o la de una población infinita. En ambos casos se presenta la regularidad estadística, pero en el caso finito, se plantea el concepto de probabilidad clásica. En cambio en el caso infinito se supone la representatividad de la mues t ra y se p l an tea l a p robab i l i dad propensivista.
Se llena cuantas veces se quiera, es la muestra disponible de la población infinita
Tres submuestras de tamaño 10
29 El color de cada bola es un ensayo de Bernoulli
Muestra de n=50 Población Infinita con P=0.7
n azul
Muestras representativas o casi Frecuencias relativa de azules probabilidad estimada de azules entre 0.68 o 0.72
30
En poblaciones finitas, si n es p e q u e ñ o e n relación a N, con n/N menor que 0.1, se comporta en la práct ica como población infinita
Muestra de n=100,000 elementos con P=0.7 Población infinita. Propensión 0.7
n azul
Muestras representat ivas o cas i frecuencia relativa de azules 0.695 a 0.705 Casi con seguridad se tiene que la probabilidad estimada de azules esta entre 0.696 o 0.705
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Si esta es una secuencia real, se considera que se apoya , no se
rechaza la hipótesis de que la
propensión es P=0.70
Se alcanzó la
regularidad estadísKca.
32
Propensión de azul Pazul=0.7 Propensión de azul Pazul=0.7
Valores de n. Tamaño de muestra
0.90.80.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
0.90.80.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
Muestreo de población infinita o finita (con n/N<0.1). Note mucha variación alrededor de P(azul), para muestras pequeñas . 0.7 es la propensión en población infinita 0.7 es la proporción poblacional en la población finita
Mundo 1
Mundo 2
Mundo 3
Átomos, moléculas, órganos, neuronas, sinapsis,
neurotransmisores, etc.
Física, Química, Biología, Sociedad
Sentimientos (no observable) y emociones (si observable vía
comportamiento). creencias, melancolía, afecto, deseos, “qualia”, ¿ a que
sabe el mamey?, etc.
Obras de arte, sinfonías, teorías, matemática, leyes, validación, relaciones lógicas, ciencia, etc.
Conocimiento compartible. Cultura Conjeturas Hipótesis
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ulacion37s
Antonio Damasio “The feeling of what happens”. A Harvest Book. Hartcour, Inc. 1999, p.55
Razonamiento
Sentimientos
Emociones
Regulación básica de la vida
Regulaciones metabólicas , reflejos, maquinaria biológica que sustenta dolor, agradable, éxtasis.
E s t e r e o t i p o s c o m p l e j o s d e respuesta. Emociones primarias (p.e. tristeza, alegría, dolor, fe l ic idad, miedo, sorpresa) . Emociones secundarias y de fondo.
Patrones de sensibilidad que s e ñ a l a n d o l o r , a g r a d o , y emociones que se hacen imágenes
Planes de respuesta complejos, flexibles y que se formalizan en imágenes conscientes y pueden ser ejecutadas como comportamiento. Retirarse o explicar por que hay dolor. Crítica a teorías Consciencia
Conjeturas (H) y refutaciones Racionalismo crítico
38
Escoger elegir diseño: ¿Qué medir? ¿Cómo? ¿Usar bloques?, ¿cómo? ¿n ? ¿Cuándo O no concuerda
con E ? P<0.05
Conducción del diseño, observación.
Experimento. Se observa O
Contrastación, comparación O vs E Concuerdan, no se rechaza H. Nuevas deducciones.
No concuerdan, se rechaza H. Nueva hipótesis para los nuevos hechos
Mundo 1
Mundo 2
Mundo 3
Regularidad EstadísHca Observada.
Afecto por la aleatoriedad, intuición en problemas estadísKcos , etc. Conocimiento subjeHvo
Sea P(Ω)=1 P(Ø)=0
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(U∞i=1 Ai )=∑∞
i=1 P(Ai ) con Ai∩Ai´=Ø (vacio). Las consecuencias de los axiomas son objeKvas, no las determina el invesKgador. Están sujetas a la críKca, Conocimiento público, objeHvo.
39
N. Kolmogorov 1933
Mundo 1
Mundo 2
Mundo 3
Regularidad EstadísHca Observada.
Para varias muestras grandes p, la proporción muestral, cambia poco y está cerca de un valor P.
P es una propiedad de la población .
Conocimiento objeHvo
Afecto por la aleatoriedad, intuición en problemas estadísKcos , etc.
Ley de los grandes números. Se conceptualza un proceso infinito que produce elementos , que son ensayos de Bernoulli. Con probabilidad o propensión P de tener una propiedad Q. Entonces Lim n-∞ p=P donde p es la proporción muestral de elementos con la propiedad Q. Demostración abierta al publico y a la crítica. Conocimiento publico objetivo. La P la suponemos. Secuencia virtual
to40
Mundo 1
Mundo 2
Mundo 3
Se produce en la practica un proceso con condiciones de observación o experimentales
ABCD, que tiene una frecuencia relativa estabilizada P
Regularidad Estadística Observada.
Para varias muestras grandes p cambia poco y está cerca de P
Afecto por la aleatoriedad, intuición en problemas estadísticos , etc.
Se complementa la ley de los grandes números. Se conceptualiza un proceso con condiciones de observación o experimentales ABCD, que tiene la propensión a producir elementos con una propiedad Q, (azul) en una proporción P. El resultado del teorema no depende de la voluntad del investigador. La P es hipotética
41
P(Q/ABCD) Propensión a que ocurra Q
en condiciones ABCD. Secuencia objetiva
virtual
P(Q/ABCD)
Frecuencia relativa de
Q en condiciones
ABCD n grande
42
n-∞
Secuencia real objetiva
En poblaciones infinitas se usa el concepto de probabilidad propensivista de Popper. Que es objetiva virtual. La estadística consiste en tratar de conocer los valores de las probabilidades propensivistas. Se espera que p se acerque a la P desconocida con muestras grandes. Además se recurre a la estadística matemática para valorar el grado de error entre p y P. Así como generalizaciones de esta idea.
43
44
Considere una población en la que una variable Y tiene en la población cualquier distribución con media µ y varianza σ2.. Si se toman muchas muestras de tamaño n, se puede imaginar una nueva población cuyos elementos son la diversas muestras y a cada muestra se le asocia el promedio muestral de la variable . Entonces si n es grande la distribución de los promedios (de muchas muestras todas de tamaño n) es normal con media µ y varianza σ2/n. Se llama Error estándar a la raíz cuadrada de σ2/n.
Central Limit Effect – Histograms of sample means
Sample means from sample size n=1, n=2,
500 samples
n = 2n = 1
n = 4 n = 10
0 1 2 3 4 5 60.00.20.40.60.81.0
0 1 20.0
0.4
0.8
1.2
0 1 2 3 4 5 60.00.20.40.60.81.0
(a) Exponential
0 1 2 30.00.20.40.60.81.0
0 1 2 3 40.0
0.2
0.4
0.6
0.8
From Chance Encounters by C.J. Wild and G.A.F. Seber, © John Wiley & Sons, 2000.
n = 2n = 1
n = 4 n = 10
0 1 2 3 4 5 60.00.20.40.60.81.0
0 1 20.0
0.4
0.8
1.2
0 1 2 3 4 5 60.00.20.40.60.81.0
(a) Exponential
0 1 2 30.00.20.40.60.81.0
0 1 2 3 40.0
0.2
0.4
0.6
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From Chance Encounters by C.J. Wild and G.A.F. Seber, © John Wiley & Sons, 2000.
n = 2n = 1
n = 4 n = 10
0 1 2 3 4 5 60.00.20.40.60.81.0
0 1 20.0
0.4
0.8
1.2
0 1 2 3 4 5 60.00.20.40.60.81.0
(a) Exponential
0 1 2 30.00.20.40.60.81.0
0 1 2 3 40.0
0.2
0.4
0.6
0.8
From Chance Encounters by C.J. Wild and G.A.F. Seber, © John Wiley & Sons, 2000.
Area = 1
ExponenKal DistribuKon
),0[ , ∞∈− xxe
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Central Limit Effect -‐-‐ Histograms of sample means
n = 2n = 1
n = 4 n = 10
0 1 2 3 4 5 60.00.20.40.60.81.0
0 1 20.0
0.4
0.8
1.2
0 1 2 3 4 5 60.00.20.40.60.81.0
(a) Exponential
0 1 2 30.00.20.40.60.81.0
0 1 2 3 40.0
0.2
0.4
0.6
0.8
From Chance Encounters by C.J. Wild and G.A.F. Seber, © John Wiley & Sons, 2000.
n = 2n = 1
n = 4 n = 10
0 1 2 3 4 5 60.00.20.40.60.81.0
0 1 20.0
0.4
0.8
1.2
0 1 2 3 4 5 60.00.20.40.60.81.0
(a) Exponential
0 1 2 30.00.20.40.60.81.0
0 1 2 3 40.0
0.2
0.4
0.6
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From Chance Encounters by C.J. Wild and G.A.F. Seber, © John Wiley & Sons, 2000.
ExponenKal DistribuKon Sample sizes n=4, n=10
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Central Limit Effect – Histograms of sample means
Sample means from sample size n=1, n=2,
500 samples
n = 2n = 1
n = 4 n = 10
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
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(b) Quadratic U
From Chance Encounters by C.J. Wild and G.A.F. Seber, © John Wiley & Sons, 2000.
n = 2n = 1
n = 4 n = 10
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
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(b) Quadratic U
From Chance Encounters by C.J. Wild and G.A.F. Seber, © John Wiley & Sons, 2000.
n = 2n = 1
n = 4 n = 10
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
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(b) Quadratic U
From Chance Encounters by C.J. Wild and G.A.F. Seber, © John Wiley & Sons, 2000.
Quadratic U Distribution
Area = 1
( ) ]1,0[ , 122
21 ∈−= xxY
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Central Limit Effect -‐-‐ Histograms of sample means
n = 2n = 1
n = 4 n = 10
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
1
2
3
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
1
2
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(b) Quadratic U
From Chance Encounters by C.J. Wild and G.A.F. Seber, © John Wiley & Sons, 2000.
n = 2n = 1
n = 4 n = 10
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
1
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(b) Quadratic U
From Chance Encounters by C.J. Wild and G.A.F. Seber, © John Wiley & Sons, 2000.
Quadratic U Distribution Sample sizes n=4, n=10
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Como consecuencia del Teorema Central de Limite, si se trata de estimar P, o en el caso general si se trata de estimar un parámetro θ, el intervalo de confianza es: Una consideración epistemológica, es que P, (θ) tiene una existencia real como una propiedad de la población como un todo, dada la definición clásica de probabilidad en poblaciones finitas, aunque su valor no se conoce. Sin embargo al considerar las posibles muestras de tamaño n, se recurre a la probabilidad frecuentista, las posibles muestras son, en la práctica, infinitas. Cuando se trata de poblaciones infinitas se conceptualiza la probabilidad propensivista
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ1.96 1.96 0.95P V Vθ θ θ θ θ⎛ ⎞− ≤ ≤ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
50
Se conceptualiza que con cada muestra se construye un intervalo, esos intervalos cubren el verdadero valor de θ en el 95% de los casos. Entonces el intervalo particular obtenido con una muestra de tamaño n, es uno de esa población de intervalos, pero ese intervalo particular cubre el valor del parámetro o no. Se tiene una situación donde se le asocia a un elemento de la población la probabilidad poblacional de un evento. La probabilidad como estabilización de frecuencias relativas es una propiedad de la población, no de un elemento de la misma. Se usa la probabilidad propensivista, la que si es aplicable a casos únicos.
51
Para aplicar estas ideas a las distribuciones de probabilidades (o de densidad); tanto en poblaciones finitas (n/N<0.1) como en infinitas, se considera que a cada unidad Ui se le asocia una variable numérica Y, con un número grande de posibles valores Yi. De manera que para las variables numéricas con muchos valores (continuas) en la población como un todo, se pueden especificar intervalos de valores (h=1,2…L, usualmente L es grande 15 o 20). Para cada intervalo se plantea una variable indicadora que vale 1 si la Ui tiene un valor de Y en el intervalo h.
52
Entonces la proporción o probabilidad como propensión poblacional Ph es la que se obtiene al aplicar la definición de propensión para ese intervalo h. Al considerar esos intervalos en forma simultánea se tendrá la distribución de probabilidades propensivistas de esa variable continua en la población; la distribución queda especificada por los valores de Yh en cada intervalo y sus propensiones Ph. Cualquier función de los valores de Yh y Ph, con h=1, …L como la media, varianza, etc. (los llamados parámetros θ), queda especificada por la distribución de probabilidades propensivista
53
Niñas de 14 años, escuelas del DF y del Oro Mex. Distribución de CLDL. N crece de 30, 50, 70, 86. Observe estabilización de las Ph.
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Ph Ph
ph ph
estabilización de las Ph
Probabilidades en poblaciones infinitas anidadas • Un elemento Ui puede pertenecer a varias poblaciones con
grado decreciente de generalidad. Así se puede plantear las poblaciones anidadas con factores comunes, ABC, ABCD, ABCDE, ABCDEF.
• Si hay información respecto a la probabilidad propensivista en muestras “grandes”, de que Ui tenga una propiedad Q en poblaciones ABC, ABCD se usa la que tenga mas factores comunes. Si además hay información, aun que sea subjeKva, de cómo se modifica la probabilidad de Q, de acuerdo a la experiencia y conocimientos del invesKgador, se usan para modificar la probabilidad de Q en ABCD, y pasar a la población ABCDEF, aun que esta ulKma no exista. En este caso ya se trata de probabilidad subjeKva.
55
• Anidamiento de poblaciones
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Hombres adultos AB P(muerte 50-‐51)/AB)
Juan Pérez ¿ muere entre los 50 y los 51 años?
Hombres, adultos, fuman ABC P(muerte 50-‐51)/ABC)
Hombres, adultos, fuman , colesterol alto ABCD P(muerte 50-‐51)/ABCD)
Probabilidades propensivistas estudiadas en muestras grandes
Hombres, adultos, fuman , colesterol alto, abuelos y padres longevos ABCDE P(muerte 50-‐51)/ABCDE)
Hombres, adultos, fuman , colesterol alto, abuelos y padres longevos , nadadores ABCDEF P(muerte 50-‐51)/ABCDEF)
Probabilidades subjeKvas