Repaso Resolviendo Repaso Resolviendo Ecuaciones y Ecuaciones y

Desigualdades con una Desigualdades con una variablevariable

Profa. Carmen BatizProfa. Carmen BatizUGHSUGHS

Propiedades Básicas de la Igualdad

Si a, b y c son nombres de objetos, entonces:

1. a = a P. Reflexiva2. Si a = b, entonces b = a P. Simétrica5. Si a = b, b = c entonces a = c P. Transitiva6. Si a = b, entonces ambas pueden reemplazar a

la otra en cualquier proposición sin que cambie la veracidad o falsedad de ésta.

Otras Propiedades de la Igualdad

Si a, b y c son números reales cualesquiera,

1. Si a = b, entonces a + c = b + c P. Suma

• Si a = b, entonces a - c = b - c P. Resta• Si a = b, entonces ac = bc, c ≠ 0 P. Mult.• Si a = b, entonces a/c = b/c, c ≠ 0 P. Div.

Desigualdades simples a < bSignifica a es menor o igual a b

a > bSignifica a es mayor o igual a b

Desigualdades compuestas

a < x < b

Significa que a <x y x < b.es decir

x está entre a y b incluyendo a b

Notación de Intervalos

x < a(- ∞,a)x < a(- ∞,a]x > b(b, ∞)x > b[b,∞)

a < x < b(a,b)a < x < b(a,b]a < x < b[a,b)a < x < b[a,b]

GráficaNotación de desigualdad

Notación de Intervalo

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

Propiedades de las desigualdades

Si a, b y c son números reales cualesquiera:

1. a < b, entonces a + c < b + c P. Suma2. a < b, entonces a - c < b - c P. Resta• a < b, entonces ac < bc P. Mult.4. a < b, entonces a/c < b/c P. División5. a < b y c es negativo, entonces a/c > b/c

Valor Absoluto

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

|-5| = 5 |5| = 5

|-5| se lee el “valor absoluto de -5” y significa que la distancia de 0 hasta -5 es 5 unidades.

Definición de Valor Absoluto

El valor absoluto de un número nunca es negativo porque la distancia nunca es negativa.

x si x es positivo|x| = 0 si x es cero -x si x es negativo

Desigualdades con Valor Absoluto

Para p > 0

|x| < p -p < x < p|x| > p x < p ó x > p

Ejemplos:1. 3x – 2(2x - 5)= 2(x + 3)- 8

Ejemplos:1. 3x – 2(2x - 5)= 2(x + 3)- 8 3x – 4x + 10 = 2x + 6 - 8 Eliminación de paréntisis

– x + 10 = 2x - 2 Suma términos semejantes

Propiedad de la resta – 3x = -1 2 x = 4 Propiedad de la división

El conjunto de solución es {4}

Intenta: 2 (3 – x) – (3x + 1) = 8 – 2 (x + 2)

Intenta: 2 (3 – x) – (3x + 1) = 8 – 2 (x + 2) 6 – 2x – 3x – 1 = 8 – 2x - 4

5 – 5x = 4 – 2x – 3x = -1

x = 1/3

El conjunto de solución es {1/3}

Ejemplos:2. Resuelve 2

1

43

1 =−+ xx

Ejemplos:2. Resuelve

=−+

2

1

43

112

xx Multiplicar por el denominador común

Simplificar fracciones

Eliminar paréntesis

Términos semejantes y P. Resta de la igualdad

El conjunto de solución es {2}

2

1

43

1 =−+ xx

=−+

2

1

43

112

xx

6)(3)1(4 =−+ xx

6344 =−+ xx2=x

Intenta:4

3

2

2

5:Re =−− xx

suelva

Intenta:4

3

2

2

5:Re =−− xx

suelva

=−−

4

3

2

2

520

xx

15)2(104 =−− xx

1520104 =+− xx

56 −=− x6/5=x

El conjunto de solución es {5/6}

Ejemplos:3. Resuelve para P tPA Pr+=

Ejemplos:3. Resuelve para P tPA Pr+=

)1( rtPA += Factorizar factor común

Prt

A =+1

P. División de la igualdad

Intenta:)32(

9

5 C :F para Re −= Fsuelva

Intenta:)32(

9

5 C :F para Re −= Fsuelva

−= )32(

9

5 C

5

9 F

)32( C5

9 −= F

F 32 C5

9 =+

Ejemplo 4:Haz la gráfica de:

a. [-2,3)

b. (-4,2)

c. [-2, ∞)

d. (- ∞,3)

Ejemplo 4:Haz la gráfica de:

a. [-2,3)

b. (-4,2)

c. [-2, ∞)

d. (- ∞,3)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ejemplo 5:Escriba las siguientes desigualdades como notación de intervalos.

a. -3 < x < 3 b. -1 < x < 2

c. x > 1 d. x < 2

Ejemplo 5:Escriba las siguientes desigualdades como notación de intervalos.

a. -3 < x < 3 b. -1 < x < 2

c. x > 1 d. x < 2

a. (-3,3]

b.[-1,2]

c. (1, ∞)

d.(- ∞, 2]

Ejempo 6:Resuelve: 2 (2x + 3) < 6 ( x – 2) + 10

Ejempo 6:Resuelve: 2 (2x + 3) < 6 ( x – 2) + 10

4x + 6 < 6x – 12 + 10Eliminación de paréntesis.

4x + 6 < 6x – 2Suma de términos semejantes

-2x < – 8P. Suma y resta de la igualdad

x > 4 P. De la división de la igualdad

La solución es x>4 ó (4, ∞)

Intenta:Resuelve: 3 (x - 1) > 5 ( x + 2) - 5

Intenta:Resuelve: 3 (x - 1) > 5 ( x + 2) - 5

3x - 3 > 5x + 10 - 5

3x - 3 > 5x + 5

-2x > 8

x < -4

La solución es x < -4 ó (-∞,- 4]

Intenta:Resuelve: 3

426

4

32 xx +≥+−

Intenta:Resuelve:

3

426

4

32 xx +≥+−

La solución es x < 3.9 ó (-∞, 3.9]

+≥+−

3

426

4

3212

xx

)4(4)12(2)6(12)32(3 xx +≥+−

xx 16247296 +≥+−

xx 1624636 +≥+

3910 −≥− x

10/39≤x

Intenta:Resuelve:

2

368

3

34 xx +<+−

Intenta:Resuelve:

2

368

3

34 xx +<+−

La solución es x > 6 ó ( 6 , ∞ )

+<+−

2

368

3

346

xx

)3(3)6(6)8(6)34(2 xx +<+−

xx 9364868 +<+−

xx 936428 +<+

6−<− x6>x

Ejemplo 7:Resuelve: 18743 <−≤− x

Ejemplo 7:Resuelve: 18743 <−≤− x

La solución es ó (-2, 1]

418743 −<−≤−− x

1477 <−≤− x

P. Resta de la Igualdad

P. División de la Igualdad7

14

7

7

−>≥

−−

x

21 −>≥ x

21 −>≥ x

Intenta:Resuelve: 7273 ≤+<− x

Intenta:Resuelve: 7273 ≤+<− x

La solución es ó (-5, 0]

77273 −≤<−− x

0210 ≤<− x

P. División de la Igualdad2

0

2

10 ≤<−x

05 ≤<− x

05 ≤<− x

P. Resta de la Igualdad

Términos semejantes

Ejemplo 8:a. |7| =

c. |π - 3|=

e. |-7| =

Ejemplo 8:• |7| = 7

• |π - 3|= π - 3

• |-7| = 7

Ejemplo 9Resuelve: |x – 3 | = 5

Ejemplo 9Resuelve: |x – 3 | = 5

x – 3 = 5Dos resultados, uno positivo y el otro negativo

x – 3 = -5

x = 5 + 3

x = 8

x = -5 + 3

x = -2

La solución es {8,-2}

Ejemplo 10Resuelve: |x – 3 | < 5

Ejemplo 10Resuelve: |x – 3 | < 5

x – 3 < 5Dos resultados, uno positivo y el otro negativo

x – 3 > -5

x < 5 + 3

x < 8

x > -5 + 3

x > -2

La solución es {-2 < x < 8}

Cambio de signo al que negativo.

y

Ejemplo 11Resuelve: |x – 3 | > 5

Ejemplo 11Resuelve: |x – 3 | > 5

x – 3 > 5Dos resultados, uno positivo y el otro negativo

x – 3 < -5

x >< 5 + 3

x > 8

x < -5 + 3

x < -2

La solución es {x < -2 ó x > 8}

Cambio de signo al que negativo.

ó

Ejemplo 12Resuelve: 0 < |x – 3 | < 5

Ejemplo 12Resuelve: 0 < |x – 3 | < 5 0 < |x – 3 |

Desigualdad compuesta

|x – 3 | < 5

La solución es {-2< x < 8 x ≠ 3}

Cada una de ellas tiene dos contestaciones

y

0 < x – 3 0 > x – 3 x – 3 < 5 x – 3 > -5

x > -5 + 3

x > -2

x < 5 + 3

x < 8 y

3< x 3 > x ó

x ≠ 3

Ejercicios sugeridos• Barnett: p. 81-82 (1-20) (31-38)

p. 100-101 (1-46)

p. 108-109 (1-62)