DECIDIR SI LAS RECTAS DADAS SON PARALELAS O PERPENDICULARES O NINGUNA

DE LAS ANTERIORES

Dos rectas, no verticales, son paralelas si tienen la misma pendiente.

Dos rectas, no paralelas a los ejes coordenados, son perpendiculares si el producto de sus

pendientes es igual a –1.

Es claro que si la ecuación de una de las rectas corresponde a una recta vertical y la otra a una

recta horizontal entonces las rectas son perpendiculares.

Ejemplo Para cada par de rectas determine si son paralelas o perpendiculares o ninguna de

las anteriores.

Ejercicios

1) Para cada par de rectas diga si son paralelas o perpendiculares o ninguna de las anteriores.

a) 2y−3x=5 y 6x−4y−2=0;

b) 2y−3x=7 y 2x−3y=9;

c) 3x−2y=4 y 3y=4−2x

CONSIGA EL VALOR DE k PARA QUE LAS RECTAS SEAN PARALELAS Si se quiere determinar los valores de una constante para que dos rectas sean paralelas, se usa el hecho que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Así, el primer paso es encontrar la pendiente de cada recta, una o las dos pendientes dependen de la constante, k, a determinar. Se plantea y se resuelve la ecuación

m1=m2

Con incógnita k. Las pendientes se pueden determinar llevando cada ecuación a la forma y=mx+b. El coeficiente de x es la pendiente de la recta.

CONSIGA EL VALOR DE k PARA QUE LAS RECTAS SEAN PERPENDICULARES Se usa el hecho que dos rectas son perpendiculares si

m1= (−1) m2

El primer paso es encontrar la pendiente de cada recta, una o las dos pendientes dependen de la constante, k a determinar. Se plantea y se resuelve la ecuación

m1= (−1) m2

Con incógnita k. Observación De manera equivalente, se puede plantear la ecuación

m1⋅m2=−1

Ejercicios

1) Determine los valores de k para que las rectas ky−3x=4 y kx−4y=7 sean paralelas.

2) Consiga el valor de k para que las rectas 2y−5x=4 y kx+4y=7 sean perpendiculares.

Caso 1 En este caso la ecuación de la función parabólica viene dada por . Estas parábolas

siempre pasan por el origen de coordenadas, es decir, por el punto, punto que, además, es el

vértice de la misma. El eje Y es por tanto el eje de la parábola (este tipo de funciones son

pares: . En este caso son muy fáciles de representar, basta dar unos cuantos

valores de x a la izquierda y derecha de cero. En la figura de más abajo se han representado las

parábolas (que se abren hacia arriba) y las parábolas ,

, que se abren hacia abajo y son un reflejo a través del eje X de las

anteriores. Obsérvese que cuanto mayor es el valor absoluto de a más "estrecha" es la parábola.

Caso 2 Este es un caso muy similar al anterior. La parábola ahora presenta la forma . Su

gráfica es exactamente igual que la del caso anterior, sólo que se ha desplazado c unidades hacia

arriba o hacia abajo (dependiendo de que c sea mayor o menor que cero). Por tanto el vértice

pasa a ser ahora el punto (0, c) y el eje de la parábola sigue siendo el eje Y. Por ejemplo, las

parábolas son exactamente iguales que la parábola desplazadas

respectivamente una unidad hacia arriba y una unidad hacia abajo (ver figura siguiente).

Caso 3 Ahora la ecuación de la parábola adopta la forma y=ax2+bx. Resolviendo la ecuación

obtenemos dos soluciones:

. Esto quiere decir que la parábola

corta al eje X en dos puntos:

. Como estos dos puntos tienen la

misma coordenada y (o la misma ordenada), deben ser simétricos respecto del eje de la

parábola. Como el eje contiene al vértice de la parábola, la coordenada x (o abscisa) del vértice

ha de ser el punto medio de –

, es decir,

(esta es precisamente la ecuación del eje).

La coordenada y del vértice se obtiene fácilmente sustituyendo el valor

en la ecuación

de la parábola. Para representarla gráficamente basta representar los tres puntos anteriores

(cortes con el eje X y vértice) y algunos puntos más alrededor de éstos. Veamos un ejemplo.

Sea la parábola de ecuación

. Para obtener los cortes con el eje X resolvamos la

ecuación

.

Así pues los puntos de corte con el eje X son

La coordenada x del vértice es

⋅

(el punto medio de 0 y 4). La

coordenada y del vértice será entonces

⋅ ⋅ . Por tanto el vértice de la

parábola es el punto (2, 2).

Ahora vamos a construir una tabla de valores con algunos puntos más alrededor del vértice y de

los puntos de corte con el eje X. Por ejemplo, podemos pensar en los puntos

. Así en total tendremos siete puntos, tres a la izquierda y tres a la derecha del vértice.

Además, estos últimos simétricos respecto del eje de la parábola, con lo que solamente

tendremos que hallar la imagen de uno de ellos, pues la del simétrico será la misma. Así la

imagen de es

⋅ ⋅

. Entonces, la imagen de

(el simétrico de x=−1 respecto del eje de la parábola) también es

(¡compruébese!). Procediendo de manera similar se construye una tabla de valores. La

representación gráfica de la parábola a partir de la tabla es muy sencilla.