Tiêu đề Quỹ tích thỏa mãn hệ thức Dựa vào giả thiết

Chuyên đề

QUỸ TÍCH – TẬP HỢP ĐIỂM( Véctơ trong hình học phẳng)

Nguyễn Thành An

Giáo viên Toán – Trường THPT Hòa BìnhUsepackage beamer of LATEX

Ngày 23 tháng 2 năm 2010

Tiêu đề Quỹ tích thỏa mãn hệ thức Dựa vào giả thiết

1. Quỹ tích điểm thỏa hệ thực véctơ, hệ thức độ dài

Lý thuyết cơ sở

Muốn tìm quỹ tích của một điểmthỏa mãn một hệ thức véctơ hayhệ thức độ dài ta thường

• Biến đổi hệ thức véctơ về hệthức cuối cùng liên quan tớivéctơ cố định

• Biến đổi hệ thức độ dài về hệthức cuối cùng liên quan tới độdài cố định

Việc biến đổi thường dựa vào quytắc chêm điểm, trọng tâm, hìnhbình hành, trung điểm và bìnhphương vô hướng của véctơ

Ví dụ 1

1. Cho hình vuông ABCD cạnh a.Tìm tập hợp điểm sao cho:

a)−→MA.−−→MC +

−−→MB .−−→MD = a2

b) MA2 + MB2 + MC 2 = 3MD2

c) 2MA2 + MB2 = MC 2 + MD2

2. Cho 4ABC và điểm M tùy ý

a) Cmr −→m = 2−→MA +

−−→MB − 3

−−→MC

độc lập với điểm M

b) O là tâm đtròn ngoại tiếp. Cmr:

2MA2+MB2−3MC 2 = 2−−→MO.−→m

c) Tìm tập hợp điểm M sao cho2MA2 + MB2 = 3MC 2

Tiêu đề Quỹ tích thỏa mãn hệ thức Dựa vào giả thiết

1. Quỹ tích điểm thỏa hệ thực véctơ, hệ thức độ dài

Lý thuyết cơ sở

Muốn tìm quỹ tích của một điểmthỏa mãn một hệ thức véctơ hayhệ thức độ dài ta thường

• Biến đổi hệ thức véctơ về hệthức cuối cùng liên quan tớivéctơ cố định

• Biến đổi hệ thức độ dài về hệthức cuối cùng liên quan tới độdài cố định

Việc biến đổi thường dựa vào quytắc chêm điểm, trọng tâm, hìnhbình hành, trung điểm và bìnhphương vô hướng của véctơ

Ví dụ 1

1. Cho hình vuông ABCD cạnh a.Tìm tập hợp điểm sao cho:

a)−→MA.−−→MC +

−−→MB .−−→MD = a2

b) MA2 + MB2 + MC 2 = 3MD2

c) 2MA2 + MB2 = MC 2 + MD2

2. Cho 4ABC và điểm M tùy ý

a) Cmr −→m = 2−→MA +

−−→MB − 3

−−→MC

độc lập với điểm M

b) O là tâm đtròn ngoại tiếp. Cmr:

2MA2+MB2−3MC 2 = 2−−→MO.−→m

c) Tìm tập hợp điểm M sao cho2MA2 + MB2 = 3MC 2

Tiêu đề Quỹ tích thỏa mãn hệ thức Dựa vào giả thiết

1. Quỹ tích điểm thỏa hệ thực véctơ, hệ thức độ dài

Lý thuyết cơ sở

Muốn tìm quỹ tích của một điểmthỏa mãn một hệ thức véctơ hayhệ thức độ dài ta thường

• Biến đổi hệ thức véctơ về hệthức cuối cùng liên quan tớivéctơ cố định

• Biến đổi hệ thức độ dài về hệthức cuối cùng liên quan tới độdài cố định

Việc biến đổi thường dựa vào quytắc chêm điểm, trọng tâm, hìnhbình hành, trung điểm và bìnhphương vô hướng của véctơ

Ví dụ 1

1. Cho hình vuông ABCD cạnh a.Tìm tập hợp điểm sao cho:

a)−→MA.−−→MC +

−−→MB .−−→MD = a2

b) MA2 + MB2 + MC 2 = 3MD2

c) 2MA2 + MB2 = MC 2 + MD2

2. Cho 4ABC và điểm M tùy ý

a) Cmr −→m = 2−→MA +

−−→MB − 3

−−→MC

độc lập với điểm M

b) O là tâm đtròn ngoại tiếp. Cmr:

2MA2+MB2−3MC 2 = 2−−→MO.−→m

c) Tìm tập hợp điểm M sao cho2MA2 + MB2 = 3MC 2

Tiêu đề Quỹ tích thỏa mãn hệ thức Dựa vào giả thiết

1. Quỹ tích điểm thỏa hệ thực véctơ, hệ thức độ dài

Lý thuyết cơ sở

Muốn tìm quỹ tích của một điểmthỏa mãn một hệ thức véctơ hayhệ thức độ dài ta thường

• Biến đổi hệ thức véctơ về hệthức cuối cùng liên quan tớivéctơ cố định

• Biến đổi hệ thức độ dài về hệthức cuối cùng liên quan tới độdài cố định

Việc biến đổi thường dựa vào quytắc chêm điểm, trọng tâm, hìnhbình hành, trung điểm và bìnhphương vô hướng của véctơ

Ví dụ 1

1. Cho hình vuông ABCD cạnh a.Tìm tập hợp điểm sao cho:

a)−→MA.−−→MC +

−−→MB .−−→MD = a2

b) MA2 + MB2 + MC 2 = 3MD2

c) 2MA2 + MB2 = MC 2 + MD2

2. Cho 4ABC và điểm M tùy ý

a) Cmr −→m = 2−→MA +

−−→MB − 3

−−→MC

độc lập với điểm M

b) O là tâm đtròn ngoại tiếp. Cmr:

2MA2+MB2−3MC 2 = 2−−→MO.−→m

c) Tìm tập hợp điểm M sao cho2MA2 + MB2 = 3MC 2

Tiêu đề Quỹ tích thỏa mãn hệ thức Dựa vào giả thiết

1. Quỹ tích điểm thỏa hệ thực véctơ, hệ thức độ dài

Lý thuyết cơ sở

Muốn tìm quỹ tích của một điểmthỏa mãn một hệ thức véctơ hayhệ thức độ dài ta thường

• Biến đổi hệ thức véctơ về hệthức cuối cùng liên quan tớivéctơ cố định

• Biến đổi hệ thức độ dài về hệthức cuối cùng liên quan tới độdài cố định

Việc biến đổi thường dựa vào quytắc chêm điểm, trọng tâm, hìnhbình hành, trung điểm và bìnhphương vô hướng của véctơ

Ví dụ 1

1. Cho hình vuông ABCD cạnh a.Tìm tập hợp điểm sao cho:

a)−→MA.−−→MC +

−−→MB .−−→MD = a2

b) MA2 + MB2 + MC 2 = 3MD2

c) 2MA2 + MB2 = MC 2 + MD2

2. Cho 4ABC và điểm M tùy ý

a) Cmr −→m = 2−→MA +

−−→MB − 3

−−→MC

độc lập với điểm M

b) O là tâm đtròn ngoại tiếp. Cmr:

2MA2+MB2−3MC 2 = 2−−→MO.−→m

c) Tìm tập hợp điểm M sao cho2MA2 + MB2 = 3MC 2

Tiêu đề Quỹ tích thỏa mãn hệ thức Dựa vào giả thiết

1. Quỹ tích điểm thỏa hệ thực véctơ, hệ thức độ dài

Lý thuyết cơ sở

Muốn tìm quỹ tích của một điểmthỏa mãn một hệ thức véctơ hayhệ thức độ dài ta thường

• Biến đổi hệ thức véctơ về hệthức cuối cùng liên quan tớivéctơ cố định

• Biến đổi hệ thức độ dài về hệthức cuối cùng liên quan tới độdài cố định

Việc biến đổi thường dựa vào quytắc chêm điểm, trọng tâm, hìnhbình hành, trung điểm và bìnhphương vô hướng của véctơ

Ví dụ 1

1. Cho hình vuông ABCD cạnh a.Tìm tập hợp điểm sao cho:

a)−→MA.−−→MC +

−−→MB .−−→MD = a2

b) MA2 + MB2 + MC 2 = 3MD2

c) 2MA2 + MB2 = MC 2 + MD2

2. Cho 4ABC và điểm M tùy ý

a) Cmr −→m = 2−→MA +

−−→MB − 3

−−→MC

độc lập với điểm M

b) O là tâm đtròn ngoại tiếp. Cmr:

2MA2+MB2−3MC 2 = 2−−→MO.−→m

c) Tìm tập hợp điểm M sao cho2MA2 + MB2 = 3MC 2

Tiêu đề Quỹ tích thỏa mãn hệ thức Dựa vào giả thiết

2. Quỹ tích điểm tùy thuộc vào giả thiết

Lý thuyết cơ sở

Muốn tìm quỹ tích của một điểmtùy thuộc vào giả thiết ta thườngcó các hướng suy nghĩ sau:

• Dựa vào giả thiết để thiết lậpcác mối quan hệ để biến đổi

• Để ý tới các giả thiết trungđiểm, vuông góc, trọng tâm đểtìm mối liên hệ

• Biến đổi về một hệ thức cuốicùng có liên quan tới véctơ hayđộ dài cố định

Quỹ tích của một điểm thường làđiểm, đường thẳng, đường tròn

Ví dụ 2

Cho điểm A cố định nằm ngoàiđường thẳng d, H là hình chiếu củaA lên d. Với mỗi điểm M trên d,lấy điểm N trên tia AN sao cho−→AN.−−→AM = AH2. Tìm tập hợp điểm

N.

Ví dụ 3

Cho 4ABC một điểm M di độngtrên cạnh BC. Các đường thẳngqua M song song với AB, AC và cắtAB, AC theo thứ tự là P, Q. Tìmtập hợp trọng tâm G của 4MQP .

Tiêu đề Quỹ tích thỏa mãn hệ thức Dựa vào giả thiết

2. Quỹ tích điểm tùy thuộc vào giả thiết

Lý thuyết cơ sở

Muốn tìm quỹ tích của một điểmtùy thuộc vào giả thiết ta thườngcó các hướng suy nghĩ sau:

• Dựa vào giả thiết để thiết lậpcác mối quan hệ để biến đổi

• Để ý tới các giả thiết trungđiểm, vuông góc, trọng tâm đểtìm mối liên hệ

• Biến đổi về một hệ thức cuốicùng có liên quan tới véctơ hayđộ dài cố định

Quỹ tích của một điểm thường làđiểm, đường thẳng, đường tròn

Ví dụ 2

Cho điểm A cố định nằm ngoàiđường thẳng d, H là hình chiếu củaA lên d. Với mỗi điểm M trên d,lấy điểm N trên tia AN sao cho−→AN.−−→AM = AH2. Tìm tập hợp điểm

N.

Ví dụ 3

Cho 4ABC một điểm M di độngtrên cạnh BC. Các đường thẳngqua M song song với AB, AC và cắtAB, AC theo thứ tự là P, Q. Tìmtập hợp trọng tâm G của 4MQP .

Tiêu đề Quỹ tích thỏa mãn hệ thức Dựa vào giả thiết

2. Quỹ tích điểm tùy thuộc vào giả thiết

Lý thuyết cơ sở

Muốn tìm quỹ tích của một điểmtùy thuộc vào giả thiết ta thườngcó các hướng suy nghĩ sau:

• Dựa vào giả thiết để thiết lậpcác mối quan hệ để biến đổi

• Để ý tới các giả thiết trungđiểm, vuông góc, trọng tâm đểtìm mối liên hệ

• Biến đổi về một hệ thức cuốicùng có liên quan tới véctơ hayđộ dài cố định

Quỹ tích của một điểm thường làđiểm, đường thẳng, đường tròn

Ví dụ 2

Cho điểm A cố định nằm ngoàiđường thẳng d, H là hình chiếu củaA lên d. Với mỗi điểm M trên d,lấy điểm N trên tia AN sao cho−→AN.−−→AM = AH2. Tìm tập hợp điểm

N.

Ví dụ 3

Cho 4ABC một điểm M di độngtrên cạnh BC. Các đường thẳngqua M song song với AB, AC và cắtAB, AC theo thứ tự là P, Q. Tìmtập hợp trọng tâm G của 4MQP .

Tiêu đề Quỹ tích thỏa mãn hệ thức Dựa vào giả thiết

2. Quỹ tích điểm tùy thuộc vào giả thiết

Lý thuyết cơ sở

Muốn tìm quỹ tích của một điểmtùy thuộc vào giả thiết ta thườngcó các hướng suy nghĩ sau:

• Dựa vào giả thiết để thiết lậpcác mối quan hệ để biến đổi

• Để ý tới các giả thiết trungđiểm, vuông góc, trọng tâm đểtìm mối liên hệ

• Biến đổi về một hệ thức cuốicùng có liên quan tới véctơ hayđộ dài cố định

Quỹ tích của một điểm thường làđiểm, đường thẳng, đường tròn

Ví dụ 2

Cho điểm A cố định nằm ngoàiđường thẳng d, H là hình chiếu củaA lên d. Với mỗi điểm M trên d,lấy điểm N trên tia AN sao cho−→AN.−−→AM = AH2. Tìm tập hợp điểm

N.

Ví dụ 3

Cho 4ABC một điểm M di độngtrên cạnh BC. Các đường thẳngqua M song song với AB, AC và cắtAB, AC theo thứ tự là P, Q. Tìmtập hợp trọng tâm G của 4MQP .

Tiêu đề Quỹ tích thỏa mãn hệ thức Dựa vào giả thiết

2. Quỹ tích điểm tùy thuộc vào giả thiết

Lý thuyết cơ sở

Muốn tìm quỹ tích của một điểmtùy thuộc vào giả thiết ta thườngcó các hướng suy nghĩ sau:

• Dựa vào giả thiết để thiết lậpcác mối quan hệ để biến đổi

• Để ý tới các giả thiết trungđiểm, vuông góc, trọng tâm đểtìm mối liên hệ

• Biến đổi về một hệ thức cuốicùng có liên quan tới véctơ hayđộ dài cố định

Quỹ tích của một điểm thường làđiểm, đường thẳng, đường tròn

Ví dụ 2

Cho điểm A cố định nằm ngoàiđường thẳng d, H là hình chiếu củaA lên d. Với mỗi điểm M trên d,lấy điểm N trên tia AN sao cho−→AN.−−→AM = AH2. Tìm tập hợp điểm

N.

Ví dụ 3

Cho 4ABC một điểm M di độngtrên cạnh BC. Các đường thẳngqua M song song với AB, AC và cắtAB, AC theo thứ tự là P, Q. Tìmtập hợp trọng tâm G của 4MQP .

Tiêu đề Quỹ tích thỏa mãn hệ thức Dựa vào giả thiết

2. Quỹ tích điểm tùy thuộc vào giả thiết

Lý thuyết cơ sở

Muốn tìm quỹ tích của một điểmtùy thuộc vào giả thiết ta thườngcó các hướng suy nghĩ sau:

• Dựa vào giả thiết để thiết lậpcác mối quan hệ để biến đổi

• Để ý tới các giả thiết trungđiểm, vuông góc, trọng tâm đểtìm mối liên hệ

• Biến đổi về một hệ thức cuốicùng có liên quan tới véctơ hayđộ dài cố định

Quỹ tích của một điểm thường làđiểm, đường thẳng, đường tròn

Ví dụ 2

Cho điểm A cố định nằm ngoàiđường thẳng d, H là hình chiếu củaA lên d. Với mỗi điểm M trên d,lấy điểm N trên tia AN sao cho−→AN.−−→AM = AH2. Tìm tập hợp điểm

N.

Ví dụ 3

Cho 4ABC một điểm M di độngtrên cạnh BC. Các đường thẳngqua M song song với AB, AC và cắtAB, AC theo thứ tự là P, Q. Tìmtập hợp trọng tâm G của 4MQP .