Upload
pham-son
View
80
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Kiểm tra bài cũ:
1. Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M và nhận véctơ u làm vtcp?
2. Chứng tỏ rằng véctơ n vuông góc với véctơ u ?
3. Véctơ k.n có vuông góc với véctơ u không?
Cho điểm M(2;3) và hai véctơ u (-1;2) ; n (2;1).
2( )
3 2
x tt
y t
= −∈ = +¡
( ). 1 .2 2.1 0u n u n= − + = ⇔ ⊥r r r r
ĐS :
ĐS :
( ) ( ). . . .0 0ku n k u n k ku n= = = ⇔ ⊥r r r r r r
ĐS :
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
2. Phương trình tham số của đường thẳng
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
3. Véctơ pháp tuyến của đường thẳng:
a. Định nghĩa:Véctơ n được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu n ≠ 0 và n vuông góc với véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
* Từ định nghĩa trên ta suy ra:
+ Một đường thẳng có vô số vtpt.
+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vtpt của nó.
+Nếu ∆ có vtpt n (a;b) thì nó luôn có một vtcp là u (b;-a) hoặc u (-b;a).+Nếu n là một vtpt của đường thẳng ∆ thì k.n (k≠0) cũng là vtpt của đường thẳng ∆.
∆n1
n2
b.Ví dụ 2:1. Cho đường thẳng có vtpt n (-2;3). Các véctơ nào sau đây là
vtcp của đường thẳng đó?
A. u (2;3) B. u (-2;3) u (3;2) D. u (3;-2)
D. u (0;-5) u (-3;0) C. u (0;-2)A. u (0;3)
3. Cho đường thẳng có vtpt n (3;0). Các véctơ nào sau đây
không là vtcp của đường thẳng đó?
C.
B.
2. Cho đường thẳng có vtcp u (1;-5). Các véctơ nào sau đây là vtpt của đường thẳng đó?
A. n (1;5) B. n (-1;5) n (5;1)C. n (-5;1) D.
c. Bài toán:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M0 (x0;y0) và một vtpt n (a;b). Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 và nhận n làm vtpt. ∆M0
x
y
O
nVới mỗi điểm M (x;y) ∈mp (Oxy).
Giải
⇔ ax + by – ax0 – by0 = 0
Đặt c = – ax0 – by0; pttt: ax + by + c = 0
Pt có dạng như trên với a, b không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
M
Ta có: M ∈ ∆ ⇔ M0M ⊥ n ⇔ M0M.. n = 0
Trong đó: M0M = (x-x0;y-y0);
⇒ M0M.n = 0 ⇔ a(x-x0) + b(y-y0) = 0
n = (a;b)
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
a. Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a, b không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: i) Đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 thì ∆ có vtpt n = (a;b) và có vtcp là u = (b;-a) hoặc u = (-b;a).
∆6. Tìm tọa độ vtcp của đường thẳng có pt: 3x + 4y – 5 = 0b. Ví dụ 3: Lập pttq của đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm A (2;3),
B (1;5).
ii) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0) và có vtpt n(a;b) là : a(x-x0)+b(y-y0)=0
⇒ PTTQ của đường thẳng ∆ : 2(x-2)+1(y-3)=0⇔ 2x+y-7=0
Giải :Đường thẳng ∆ có vtcp AB=(-1;2) ⇒vtpt n=(2;1)
c/Các trường hợp đặc biệt:
Cho đường thẳng ∆ có pttq : ax + by + c = 0 (1)
* Nếu a = 0 phương trình (1) trở thành : by + c = 0 hay
Khi đó đường thẳng ∆ vuông góc với trục Oy tại điểm
b
cy −=
)b
c;0( −
O x
y
b
c− c
yb
= −
O x
y
a
c−
cx
a= −
* Nếu b = 0 phương trình (1) trở thành : ax + c = 0 hay
Khi đó đường thẳng ∆ vuông góc với trục Ox tại điểm
acx −=)0;a
c( − c
xa
= −
* Nếu c = 0 phương trình (1) trở thành : ax + by = 0. Khi đó đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ O.
O x
y
0ax by+ =
* Nếu a, b, c đều khác 0 ta có thể đưa phương trình (1) về
dạng: (2) với 1b
y
a
x
00
=+ .b
cb;
a
ca 00 −=−=
Phương trình (2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a0;0) và N(0;b0).
O x
y
a0
Mb0
N0 0
1x y
a b+ =
∆7/ Trong mặt phẳng Oxy, hãy vẽ các đường thẳng có phương trình sau đây:D1: x – 2y = 0; D2: x = 2; D3: y+1=0; D4: ;1
4
y
8
x =+
1
2O x
y
H.1
(D1)
2O x
y
H.2
(D2)
-1
O x
y
H.3
(D3)
4
8Ox
y
H.4
(D4)
Bài tập trắc nghiệm:
Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: -2x + 3y -1 = 0
1. Véctơ nào sau đây là vtcp của d:A. (3;2) B. (2;3) C. (-3;2) D. (2;-3)
2. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d:A. (3;0) B. (1;1) C. (-3;0) D. (0;-3)
3. Véctơ nào sau đây không phải là vtcp của d:
A. B. (3;2) C. (2;3) D. (-3;-2)2
1;3
÷
4. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng d:
A. 2x – y – 1 = 0 07y2
3x =+−B.
C. 2x + 3y + 4 = 0 D. 2x + y = 5
TÓM TẮT:
1. Véctơ n được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu n ≠ 0 và n vuông góc với véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
2. Phương trình ax + by + c = 0 với a, b không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
3. Đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 thì ∆ có vtpt n = (a;b) và có vtcp là u = (b;-a) hoặc u = (-b;a).
4. Phương trình đt đi qua điểm M(x0;y0) và có VTPT n(a;b) là:a(x-x0)+b(y-y0)=0
Các dạng pt đường thẳng :
( )( ) ( )
0
0
0 0
0 0
0 0
1) : 0
2) :
3) :
4) :
5) 0
PTTQ ax by c
x x atPTTS
y y bt
x x y yPTCT
a bPTHSG y y k x x
a x x b y y
+ + == +
= +− −=
− = −
− + − =
Cho đường thẳng ∆ : -2x+5y+1=0
1/ Lập ptts của đường thẳng ∆ .
3/ Lập ptđt đi qua điểm M (1;-3) và song song với ∆
2/ Lập ptđt đi qua điểm A (-2;5) và vuông góc với ∆
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Các bài tập 2, 3, 4 sgk trang 80
y
x
1V
O
y
x1
VO
5 - VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng:
y
x1
VO
2V
2V
2V
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
a x b y c
a x b y c
∆ + + =∆ + + = NNªu c¸c vÞ trÝ t¬ng ªu c¸c vÞ trÝ t¬ng
®èi cña hai ®êng ®èi cña hai ®êng th¼ng trªn? th¼ng trªn?
Ta gi¶i hÖ PT: Ta gi¶i hÖ PT: 1 1 1
2 2 2
0(*)
0
a x b y c
a x b y c
+ + = + + =
1. (*) cã 1 nghiÖm 2. (*) v« nghiÖm 3. (*) v« sè nghiÖm
. Mx0
y0
?..?!
Cho hai ®êng th¼ng:
?..?!Cã c¸ch nµo xÐt vÞ Cã c¸ch nµo xÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng hai ®êng th¼ng mµ kh«ng cÇn gi¶i mµ kh«ng cÇn gi¶i hÖ pt kh«ng? hÖ pt kh«ng? y
x
1V
O
y
x1
VO
5 - VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng:
y
x1
VO
2V
2V
2V
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
a x b y c
a x b y c
∆ + + =∆ + + =
Ta lËp tØ sè c¸c hÖ Ta lËp tØ sè c¸c hÖ sè t¬ng øng trong trsè t¬ng øng trong trêng hîp êng hîp
2 2 2, , 0a b c ≠
1. 2. 3.
. Mx0
y0
Cho hai ®êng th¼ng:
1 1
2 2
a b
a b≠ 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c= ≠ 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c= =
Ví dụ 4 :1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 , ∆2 trong các trường hợp sau :
1 2
1 2
1 2
) : 2 3 5 0 : 3 3 0
) : 3 2 0 : 2 6 3 0
) : 0,7 12 5 0 :1,4 24 10 0
µ
µ
µ
a x y v x y
b x y v x y
c x y v x y
∆ − + = ∆ + − =
∆ − + = ∆ − + + =
∆ + − = ∆ + − =
Ta thấy : 2 3
1 3
−≠ nên ∆1 cắt ∆2
Ta thấy : 1 3 2
2 6 3
−= ≠−
nên ∆1 // ∆2
Ta thấy : 0,7 12 5
1,4 24 10
−= =−
nên ∆1 trùng ∆2
Ví dụ 4 :
2. Đường thẳng nào sau đây song song với đt 4x-10y+1=0?
1) : 2 5 5 0a x y∆ − + =2) : 4 10 1 0b x y∆ − + − =
3) : 5 1 0c x y∆ − + = 4) :10 4 5 0d x y∆ + + =
3. Xét vị trí tương đối của đt ∆ : x-2y+1=0 với mỗi đt sau :
d1: -3x+6y-3=0
d2: y=-2x
d3: 2x+5=4y
ĐS : ∆ trùng d1, cắt d2, song song với d3
6. Góc giữa hai đường thẳng
Góc nào là góc giữa hai đường thẳng AC và BD?
Cho hcn ABCD cã t©m I vµ c¸c c¹nh AB=1,AD= 3. TÝnh sè ®o c¸c gãc ∠AID vµ ∠DIC
1
3
I
A B
CD
6. Góc giữa hai đường thẳng
a. Đn : Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó đgl số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay đơn giản là góc giữa a và b. Kí hiệu : (a;b)
Khi a//b hay a≡b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 0.
NX :
i) Góc giữa hai đt luôn không tù
ii) Góc giữa hai đt bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT của hai đt.
a
b
n2
n1
b. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
a x b y c
a x b y c
∆ + + =∆ + + =
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a a bbcos
a b a bϕ
+=
+ +
Cho hai ®êng th¼ng:∆1
∆2
n2
n1
Gọi φ=(∆1, ∆2), ta thấy :
( ) 1 2
1 2
1 2
.cos cos ,
.
n nn n
n nϕ = =
ur uurur uur
ur uur
Suy ra
1 2 1 2 1 20a a bb∆ ⊥ ∆ ⇔ + =Lưu ý : hay k1.k2=-1 với k1,k2 lll
hệ số góc của hai đt
Ví dụ 5 :
Tìm góc giữa hai đường thẳng sau :
1 2
4: : 2 3 1 0
4 3µ
x tv x y
y t
= −∆ ∆ + − = = − +
?..?!Ta có : n1=(3;1); n2=(2;3)
Giải :
( )1 2 2 2 2 2
3.2 1.3 9cos ,
10 33 1 2 3
+∆ ∆ = =
+ +
Khi đó :
Suy ra : (∆1, ∆2)≈5804’37”
Chúng ta đã hoàn thành xong Chúng ta đã hoàn thành xong 6 mục của bài6 mục của bài
M MM(x ; y )y
x
: 0∆ + + =ax by c
∆
=uuuuur
'M M
+ Xác định điểm M’
+ Tính đoạn M’M
Cách giải :
M '
Nêu cách tính độ dài đoạn vuông góc hạ từ M xuống ∆?
=' ( '; ')M x yGiả sử
− + −2 2( ') ( ')M Mx x y y
Có công thức nào mà không cần tìm tọa độ
của M’ không?
Cách làm này không phức tạp nhưng … dài. Liệu có công thức nào tính độ dài đoạn vuông góc đó đơn giản hơn không?
=r
vtpt ( ; )n a b
' . (1)M M k n=uuuuuur r
: 0ax by c∆ + + =
∆
M M M(x ;y )
M '(x '; y ')
nr
2 2' . . (2)M M k n k a b= = +r
y
x
'
'
− =⇒ − =
M
M
x x ka
y y kb
. ( ; )=rk n ka kb
' ( '; ')= − −uuuuuur
M MM M x x y y
'
'
= −⇒ = −
M
M
x x ka
y y kb
Chỉ cần biết k là tính
được M’M !
Dựa vào đâu để tính k?
' ( ) ( ) 0M MM a x ka b y kb c∈∆ ⇒ − + − + =+ +=
+2 2M Max by c
ka b
Suy ra:
A… Thay k vào (2) là ta có
được M’M
2 2'
+ +=
+M Max by c
M Ma b
Khoảng cách từ M đến ∆
+ +∆ =
+2 2( ; ) M Max by c
d Ma b
Công thức tính
khoảng cách từ M đến ∆
7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
+ − −
+2 2
1.1 2.( 2) 7
1 2= =10
2 55
∆ =( ; )d M
+ +∆ =
+2 2( ; ) M Max by c
d Ma b
VD6. Cho đường thẳng ∆ có phương trình x + 2y - 7 = 0 và điểm M(1; -2). Tính d(M;∆) ?
Áp dụng:
Cho đt ∆: ax + by + c = 0 và điểm M(xM; yM).
Khoảng cách từ M đến ∆:
: 0ax by c∆ + + =
∆M M M(x ;y )y
x0
Áp dụng+ +
∆ =+2 2
( ; ) M Max by cd M
a b
VD7:Tính khoảng cách từ M(1;-2) đến = − +∆ =
1 2:
x t
y t
Có áp dụng được công thức tính khoảng cách
ngay không?
∆ qua điểm (-1; 0) và có 1 vtpt ( 1; -2). Pt ∆: (x+1) - 2y = 0 hay x - 2y +1 = 0
2 2
(1 1) 2.( 2) 6 6( ; )
5 51 ( 2)
+ − −∆ = = =
+ −d M
Tương tự: với N(-1; 1) và P(3; 2) thì:− + −
+ −2 2
( 1 1) 2.1
1 ( 2)∆ =( ; )d N
+ −=
+ −2 2
(3 1) 2.20
1 ( 2)
−= =
2 2
5 5?
∆ =( ; )d P ?
M
N
N’
N
M
∆ ∆
M’M’
? N’
M, N cùng phía
hay khác phía đối với ∆?
'M M kn=uuuuuur r
' 'N N k n=uuuuur r
? Có nhận xét gì về vị trí của M, N đối với ∆ khi:
+ k và k’ cùng dấu?
+ k và k’ khác dấu?
M, N cùng phía đối với ∆
2 2' N Nax by ck
a b
+ +=+
2 2M Max by c
ka b
+ +=+
M, N khác phía đối với ∆
•M, N cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0
•M, N khác phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0
Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng
+ +∆ =
+2 2( ; ) M Max by c
d Ma b
•Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng:
Cho đt ∆: ax + by + c = 0 và điểm M(xM; yM).•Khoảng cách từ M đến ∆ :
•M, N cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0
•M, N khác phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0
7.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
+ +∆ =
+2 2( ; ) M Max by c
d Ma b
Cho M(1;-2), N(-1; 1) và P(3; 2) và1 2
:= − +∆ =
x t
y t
+ − −∆ = = =
+ −2 2
(1 1) 2.( 2) 6 6( ; )
5 51 ( 2)d M
+ −∆ = =
+ −2 2
(3 1) 2.2( ; ) 0
1 ( 2)d P
•M, N cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0
•M, N khác phía đối với ∆
⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0
− + − −∆ = = =
+ −2 2
( 1 1) 2.1 2 2( ; )
5 51 ( 2)d N
Đường thẳng ∆ cắt cạnh
nào của tam giác MNP ?
y
x
-2 -1
2
1
-2
3
P
N
M
O 1
(x+1) - 2y = 0 hay x - 2y +1 = 0
∆1: a1x+b1y+c1=0
∆2: a2x+b2y+c2=0
Viết công thức tính khoảng cách từ M
đến ∆1, ∆2?
M(x; y)
1 1 11 2 2
1 1
( ; )+ +
∆ =+
a x b y cd M
a b
2 2 22 2 2
2 2
( ; )+ +
∆ =+
a x b y cd M
a b
2 1( , ) ( , )d M d M∆ = ∆ 1 1 1 2 2 2
2 2 2 21 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +=
+ +⇔
1 1 1 2 2 2
2 2 2 21 1 2 2
0a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +± =+ +
⇔
Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau
Hãy so sánh khoảng cách từ điểm M đến 2 đt ∆1, ∆2 khi M nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi 2 đt trên?
+ +∆ =
+2 2( ; ) M Max by c
d Ma b
•Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng:
Cho đt ∆: ax + by + c = 0 và điểm M(xM; yM).•Khoảng cách từ M đến ∆:
•M, N cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0
•M, N khác phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0
•Pt 2 đường phân giác của góc tạo bởi 2 đt cắt nhau:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 21 1 2 2
0+ + + +± =
+ +a x b y c a x b y c
a b a b
7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Hướng dẫn học ở nhà.
1. Nắm chắc các nội dung của bài.
2. Hoàn thành các hoạt động và ví dụ của SGK
3. Bài tập về nhà:
Bài tập: 1 đến 9 - SGK trang 80-81
CHÚC CÁC EM HỌC TỐT