FUNCIONES DEL PLANO FUNCIONES DEL PLANO EN EL PLANOEN EL PLANO

Profesora Responsable :Profesora Responsable : Nathalia Weigle Nathalia Weigle

ÍndiceÍndice IntroducciónIntroducción Transformaciones geométricasTransformaciones geométricas SimetríaSimetría TraslaciónTraslación RotaciónRotación

Arte y geometríaArte y geometría Frisos Frisos MosaicosMosaicos Polígonos regularesPolígonos regulares TeselacionesTeselaciones Mauritis Cornelius EscherMauritis Cornelius Escher Ejemplos en la vida realEjemplos en la vida real

Así se trabajóAsí se trabajó

IntroducciónIntroducción

OPINIONES :OPINIONES :

Este trabajo trata de explicar Este trabajo trata de explicar algunos de los temas de algunos de los temas de matemática que encontramos matemática que encontramos interesantes ya que como interesantes ya que como todos saben las Matemáticas todos saben las Matemáticas son una parte importante de son una parte importante de la vida cotidiana, a la vida cotidiana, a continuación se presenta una continuación se presenta una serie actividades de serie actividades de investigación para trabajar investigación para trabajar con los alumnos. con los alumnos.

Este material tiene como Este material tiene como objetivo principal ser claro y objetivo principal ser claro y sencillo para el aprendizaje.sencillo para el aprendizaje.

Trata de hacer comprender y Trata de hacer comprender y aprender conceptos como el aprender conceptos como el de traslación, rotación y de traslación, rotación y simetría.simetría.

Muestra de forma dinámica e Muestra de forma dinámica e ilustrada la creación desde la ilustrada la creación desde la antigüedad de obras de arte antigüedad de obras de arte que utilizaron como fuente de que utilizaron como fuente de inspiración la belleza de la inspiración la belleza de la perfección matemática.perfección matemática.

Transformaciones Transformaciones GeométricasGeométricas

•Un movimiento transforma una figura plana en otra figura de igual forma y tamaño. Los movimientos se clasifican en traslaciones, simetrías y giros.

•Una transformación geométrica en el plano es la que nos permite obtener un punto P` a partir de otro punto P mediante una regla precisa.

•Un movimiento es una transformación geométrica que conserva las distancias y los ángulos.

http://youtu.be/LJturc6OllI

Simetría Axial.Simetría Axial.•Las simetrías son movimientos muy utilizados en diversos campos del conocimiento, como la arquitectura, el diseño, el arte y la moda.

•Es una transformación isométrica fijada por una recta llamada “eje Es una transformación isométrica fijada por una recta llamada “eje de simetría”.de simetría”.

•Además, es un concepto geométrico que tiene especial importancia en el estudio de las funciones.

•Es una función cuyo dominio y codominio son parte del plano. El punto A va a tener como imagen al punto A`.

Propiedades de la Propiedades de la simetría axial.simetría axial.

1ª:La simetría axial: La imagen de un segmento en una simetría 1ª:La simetría axial: La imagen de un segmento en una simetría axial es otro segmento de igual longitud.axial es otro segmento de igual longitud.

2ª: Las figuras simétricas conservan ángulos, área y perímetro.2ª: Las figuras simétricas conservan ángulos, área y perímetro.

3ª: En una simetría axial los puntos pertenecientes al eje de 3ª: En una simetría axial los puntos pertenecientes al eje de simetría se mantienen fijos.simetría se mantienen fijos.

4ª: La simetría axial aplicada a una circunferencia nos da como 4ª: La simetría axial aplicada a una circunferencia nos da como imagen otro circunferencia de igual radio y centro ó simétrico de o imagen otro circunferencia de igual radio y centro ó simétrico de o con respecto al eje c.con respecto al eje c.

Se dice que una figura Se dice que una figura tiene simetría axial cuando tiene simetría axial cuando hay un eje de simetría que hay un eje de simetría que pueda dividirla en dos pueda dividirla en dos mitades idénticas respecto mitades idénticas respecto de éste (al plegar el papel de éste (al plegar el papel en relación con el eje de en relación con el eje de simetría coinciden sus simetría coinciden sus elementos).elementos).

Simetría CentralSimetría Central

Es una función, cuya función dominio y Es una función, cuya función dominio y codominio son parte del plano. Surge de codominio son parte del plano. Surge de realizar dos simetrías axiales consecutivas de realizar dos simetrías axiales consecutivas de ejes perpendiculares. Tiene por referencia un ejes perpendiculares. Tiene por referencia un punto al que llamaremos centro y que coincide punto al que llamaremos centro y que coincide con el punto de intersección de dos ejes con el punto de intersección de dos ejes perpendicularesperpendiculares..

Una simetría central de centro O es equivalente a un giro de centro ese mismo punto ,O y ángulo 180º. Ambos producen el mismo resultado al transformar cualquier figura.

TraslacióTraslaciónn Se llama traslación de una figura a la Se llama traslación de una figura a la

transformación en otra figura mediante un transformación en otra figura mediante un desplazamiento. Para definir una traslación es desplazamiento. Para definir una traslación es necesario conocer un vector y un punto.necesario conocer un vector y un punto.

Una traslación de vector v es un movimiento Una traslación de vector v es un movimiento que transforma cualquier punto P en otro punto que transforma cualquier punto P en otro punto P´, de forma que PP´ tiene el mismo módulo, P´, de forma que PP´ tiene el mismo módulo, dirección y sentido que v.dirección y sentido que v.

TraslacióTraslaciónn

Foto de una de las carpetas

RotacióRotaciónn Un giro o rotación es un movimiento que asocia a cada punto otro Un giro o rotación es un movimiento que asocia a cada punto otro

punto situado a la misma distancia que él de un punto llamado punto situado a la misma distancia que él de un punto llamado centro, O, y de modo que se cumple una determinada relación centro, O, y de modo que se cumple una determinada relación angular.angular.

Una rotación es una transformación isométrica que mueve una Una rotación es una transformación isométrica que mueve una figura en torno a un punto fijo, llamado centro de rotación, y en un figura en torno a un punto fijo, llamado centro de rotación, y en un determinado ángulo, llamado ángulo de rotación. El ángulo se dice determinado ángulo, llamado ángulo de rotación. El ángulo se dice positivo si el giro se realiza en el sentido contrario a los punteros del positivo si el giro se realiza en el sentido contrario a los punteros del reloj, y negativo en el otro caso.reloj, y negativo en el otro caso.

Actividad:Analiza un modelo de la Tierra, observa el eje terrestre y su movimiento de rotación. Revisa lo que estudiaste en este punto y piensa si el eje terrestre es un eje de simetría y qué tienen en común el movimiento de rotación de la Tierra con los que acabas de observar en el plano. Anota tus observaciones y conclusiones en tu cuaderno y convérsalas con tu profesor de Geografía

Polígonos RegularesPolígonos Regulares Un polígono regular es un polígono en el que Un polígono regular es un polígono en el que

todos tienen la misma longitud y todos los todos tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de las misma mediada ángulos interiores son de las misma mediada

Una característica de los polígono regulares, Una característica de los polígono regulares, es que se pueden trazar inscritos en una es que se pueden trazar inscritos en una circunferencia que tocara cada uno de los circunferencia que tocara cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el vértices del polígono. A medida que crece el numero de los lados de un polígono regular, numero de los lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez mas a la su apariencia se asemeja cada vez mas a la de un circulo.de un circulo.

Actividad:Escribe los nombres de los polígonos regulares que aparecen en la diapositiva e investiga en internet como se construyen.

TeselacionesTeselaciones Una teselación o mosaico es un patrón de figuras repetidas que Una teselación o mosaico es un patrón de figuras repetidas que

cubre, pavimenta o embaldosa una superficie plana sin dejar cubre, pavimenta o embaldosa una superficie plana sin dejar espacios ni sobreponer figuras.espacios ni sobreponer figuras.

Las Las teselacionesteselaciones se crean usando las transformaciones se crean usando las transformaciones isométricas, es decir, los movimientos de rotación, traslación y isométricas, es decir, los movimientos de rotación, traslación y simetría. simetría.

Teselaciones regularesTeselaciones regulares son aquella que se construye usando un son aquella que se construye usando un polígono regular, y sólo existen tres: las que se forman con un polígono regular, y sólo existen tres: las que se forman con un triángulo equilátero, con un cuadrado y con un hexágono regular. triángulo equilátero, con un cuadrado y con un hexágono regular. Esto es porque solo se puede embaldosar el plano con polígonos Esto es porque solo se puede embaldosar el plano con polígonos regulares en que la medida de su ángulo interior sea un divisor de regulares en que la medida de su ángulo interior sea un divisor de 360º.360º.

http://youtu.be/0DP_kH2S0TI

Teselaciones Teselaciones RegularesRegulares

http://youtu.be/mQI53yK_vmw

Actividad:1)Construye una teselación con regla y compás sobre una cartulina.2)Construye la misma teselación con GeoGebra.

Teselaciones Teselaciones IslámicasIslámicas

La geometría alcanza en el arte islámico todo un valor constructivo y decorativo, cuyas figuras están impregnadas de significado simbólico, cosmológico y filosófico. Puesto que el Corán prohíbe la representación en pintura o escultura de los seres vivos, esta decoración toma un carácter abstracto, armonioso y estilizado

FrisosFrisos Se llama Friso o cenefa a un dibujo que se genera por Se llama Friso o cenefa a un dibujo que se genera por

traslaciones sucesivas del mismo motivo. Los frisos se traslaciones sucesivas del mismo motivo. Los frisos se obtienen al aplicar la misma traslación a un motivo, obtienen al aplicar la misma traslación a un motivo, figura base o elemento generador. En el arte persa es figura base o elemento generador. En el arte persa es famoso el friso de los arqueros.famoso el friso de los arqueros.

Foto de una de las carpetas de estudiantes

Foto del libro “La enciclopedia del estudiante”

MosaicosMosaicos Los Los mosaicosmosaicos son un revestimiento de una superficie con piedras de colores son un revestimiento de una superficie con piedras de colores

distintos, que casi siempre forman dibujos, geométricos o de figuras: los bizantinos distintos, que casi siempre forman dibujos, geométricos o de figuras: los bizantinos y los romanos hicieron mosaicos de gran perfección.y los romanos hicieron mosaicos de gran perfección.

Mosaicos Pararregulares Mosaicos Pararregulares Cuando utilizamos polígonos no regulares que Cuando utilizamos polígonos no regulares que permiten recubrir correctamente el plano el mosaico formado se llama permiten recubrir correctamente el plano el mosaico formado se llama pararregular. Podemos conseguir mosaicos pararregulares uniendo teselas o pararregular. Podemos conseguir mosaicos pararregulares uniendo teselas o piezas iguales, obtenidas a partir de la deformación de polígonos regulares. piezas iguales, obtenidas a partir de la deformación de polígonos regulares.

Foto de una de las carpetas

Mosaicos Mosaicos semirregularessemirregulares

Se pueden realizar algunos diseños de baldosas basados en los Se pueden realizar algunos diseños de baldosas basados en los mosaicos semirregulares, aquellos que utilizan dos o más tipos mosaicos semirregulares, aquellos que utilizan dos o más tipos de polígonos regulares, de modo que alrededor de cada vértice de polígonos regulares, de modo que alrededor de cada vértice se encuentren siempre los mismos polígonos en el mismo orden.se encuentren siempre los mismos polígonos en el mismo orden.

Al igual que en los mosaicos pararregulares, la suma de los Al igual que en los mosaicos pararregulares, la suma de los ángulos coincidente en cada vértice ha de ser 360º. Existen ocho ángulos coincidente en cada vértice ha de ser 360º. Existen ocho mosaicos semirregulares.mosaicos semirregulares.

Foto de “La enciclopedia del estudiante- Matemática II “

http://youtu.be/5LxKSqvRrAI

Mauritis Cornelius EscherMauritis Cornelius Escher

http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/escher.htmhttp://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/escher.htm

REPTILES

CISNES

Actividad:2)Busca información sobre la vida y obra de M. Escher para compartir con tus compañeros de clase.3)Recorta diferentes polígonos regulares y con un espejo determina los ejes de simetría.

http://youtu.be/6hGgGHcKJa0

AUTORRETRATO

Actividad: Busca en internet los nombres de las siguientes obras.

Ejemplos en la vida Ejemplos en la vida realreal

TESELACIONES Y ARQUITECURA

SIMETRÍA EN EL ARTE

http://youtu.be/0XG-g84X8t4http://youtu.be/fYpVmFUM5RY

Actividad: Realiza un informe guiado por el profesor de historia sobre la geometría y simetría en monumentos, obras de arte y arquitectura.

Ejemplos en la vida Ejemplos en la vida realreal

SIMETRÍA EN LA NATURALEZA

Actividad: Realiza un informe guiado por el profesor de biología sobre la simetría en la naturaleza .Se recomienda analizar el video Artifact One Symmetry in Nature en youtube.

Geometría y publicidadGeometría y publicidad Una parte sustancial de los gastos de imagen Una parte sustancial de los gastos de imagen

corporativa que realizan las grandes marcas han corporativa que realizan las grandes marcas han sido invertidos en el diseño de símbolos que, al sido invertidos en el diseño de símbolos que, al mismo tiempo, sean sencillos e inconfundibles como mismo tiempo, sean sencillos e inconfundibles como sello distintivo de sus productos. Éste es el logotipo sello distintivo de sus productos. Éste es el logotipo de una marca. En él, las regularidades geométricas, de una marca. En él, las regularidades geométricas, como los polígonos, regulares, predominan; así, el como los polígonos, regulares, predominan; así, el símbolo, además de sencillez, transmite la símbolo, además de sencillez, transmite la perfección que es inherente a la Geometría. perfección que es inherente a la Geometría.

Actividad:Recorta o dibuja con regla y compás por lo menos tres logotipos de marcas conocidas e indica que figuras geométricas las forman. Luego indica si tienen ejes o centro de simetrías.

Aportes de los Aportes de los alumnosalumnos

EXPOSICIÓN 2007 DE TESELACIONES LICEO Nº2 de Maldonado

Fotos de los trabajos anexos en las carpetas 2008

Liceo Nº2 de Liceo Nº2 de MaldonadoMaldonado

EXPOSICIÓN PERMANENTE EN EL HALL DEL LICEO Nº 2 DE

MALDONADO

MOSAICOS Y FRISOS

Actividad:Realiza una lámina o escultura aplicando los conceptos trabajados en la presentación.Solicita consejos del profesor de Educación visual y plástica.

Así trabajé.Así trabajé.

En la primera etapa me basé en un proyecto de investigación del año En la primera etapa me basé en un proyecto de investigación del año 2008 con mis alumnos de 2º año en Liceo Nº2 de Maldonado. El 2008 con mis alumnos de 2º año en Liceo Nº2 de Maldonado. El mismo lo adapté con los acotaciones de mis compañeros en el foro mismo lo adapté con los acotaciones de mis compañeros en el foro para elaborar un material reutilizable con mis futuros estudiantes, para elaborar un material reutilizable con mis futuros estudiantes, tomando en cuenta más de una vía de acceso y estimulando las tomando en cuenta más de una vía de acceso y estimulando las diferentes capacidades de los alumnos.diferentes capacidades de los alumnos.

El programa que utilicé PowerPoint, los videos los extraje de El programa que utilicé PowerPoint, los videos los extraje de YouTube, las imágenes las baje de diferentes páginas y el sonido de YouTube, las imágenes las baje de diferentes páginas y el sonido de archivos disponibles en internet .archivos disponibles en internet .

La idea de este producto final es de que se pueda trabajar mirando La idea de este producto final es de que se pueda trabajar mirando sólo las diapositivas, combinando con los videos o seleccionando que sólo las diapositivas, combinando con los videos o seleccionando que videos se desean ver en esa clase o en varias clase, ya que no es un videos se desean ver en esa clase o en varias clase, ya que no es un único tema, es una unidad temática. único tema, es una unidad temática.

Fuentes de informaciónFuentes de información

LIBROS:LIBROS:

La enciclopedia del estudiante. Matemática 2- SantillanaLa enciclopedia del estudiante. Matemática 2- Santillana Matemática Segundo Año del Ciclo Básico- Belcredi, Zambra.Matemática Segundo Año del Ciclo Básico- Belcredi, Zambra. Atlas universal (Matemáticas)Atlas universal (Matemáticas) Enciclopedia de Matemáticas Océano.Enciclopedia de Matemáticas Océano.

Material didáctico en internet:Material didáctico en internet:

VIDEOS : VIDEOS : http://youtu.be/LJturc6OllIhttp://youtu.be/LJturc6OllIhttp://youtu.be/0DP_kH2S0TIhttp://youtu.be/0DP_kH2S0TIhttp://youtu.be/mQI53yK_vmwhttp://youtu.be/mQI53yK_vmwhttp://youtu.be/5LxKSqvRrAIhttp://youtu.be/5LxKSqvRrAIhttp://youtu.be/6hGgGHcKJa0http://youtu.be/6hGgGHcKJa0 http://youtu.be/fYpVmFUM5RYhttp://youtu.be/fYpVmFUM5RYhttp://youtu.be/0XG-g84X8t4http://youtu.be/0XG-g84X8t4

SONIDO:SONIDO:

12 Cobbelstoned Waltz.mp3

CRÉDITOS DE LAS FOTOGRAFÍAS:CRÉDITOS DE LAS FOTOGRAFÍAS:

http://es.dreamstime.com/fotograf-iacutea-de-archivo-libre-de-regal-iacuteas-paisaje-sim-trico-con-los-rboles-en-el-lago-image12759077http://es.dreamstime.com/fotograf-iacutea-de-archivo-libre-de-regal-iacuteas-paisaje-sim-trico-con-los-rboles-en-el-lago-image12759077http://belgrano.olx.com.ar/profesor-particular-fisica-matematica-quimica-iid-171257442http://belgrano.olx.com.ar/profesor-particular-fisica-matematica-quimica-iid-171257442http://la-clase-de-plastica.blogspot.com/2010/07/practicar-la-simetria.htmhttp://la-clase-de-plastica.blogspot.com/2010/07/practicar-la-simetria.htmhttp://www.paginasprodigy.com/mosaicospeninsular/Residencias.htmhttp://www.paginasprodigy.com/mosaicospeninsular/Residencias.htm

http://images.google.com.uy/url?q=http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Vazquez/carpeta/GEOMETRIA/MOV.http://images.google.com.uy/url?q=http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Vazquez/carpeta/GEOMETRIA/MOV.%2520PLANO/TRASL/movimientos6x.html&ei=oDvvTpi4JIHAgAfRs42FCQ&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targetlink&ust=132430301659878%2520PLANO/TRASL/movimientos6x.html&ei=oDvvTpi4JIHAgAfRs42FCQ&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targetlink&ust=1324303016598782&usg=AFQjCNFLlaIVUDV3KzYGftvMmRcYZPLIUA2&usg=AFQjCNFLlaIVUDV3KzYGftvMmRcYZPLIUA

http://images.google.com.uy/url?q=http://www.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/movimientos-plano/traslacion.html%3Fxhttp://images.google.com.uy/url?q=http://www.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/movimientos-plano/traslacion.html%3Fx%3D20070926klpmatgeo_265.Kes%26ap%3D20070926klpmatgeo_265.Kes%26ap%3D0&ei=4TvvTuvtCcSKgwfHwL3lCA&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targetlink&ust=1324303081163599&usg=AFQjCNGjhfbtXL9TwIkMvM5-%3D0&ei=4TvvTuvtCcSKgwfHwL3lCA&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targetlink&ust=1324303081163599&usg=AFQjCNGjhfbtXL9TwIkMvM5-jPMiBmehHQjPMiBmehHQ

http://images.google.com.uy/url?q=http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm&ei=t07vTo7ADsbIgQfBt_nIBQ&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targetlink&ust=1324307903239996&usg=AFQjCNEHVshppr-97q9ju5xUs9lHHWEpxwhttp://images.google.com.uy/url?q=http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm&ei=t07vTo7ADsbIgQfBt_nIBQ&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targetlink&ust=1324307903239996&usg=AFQjCNEHVshppr-97q9ju5xUs9lHHWEpxw

/wiki/Imagen:Polig_04b.svg/wiki/Imagen:Polig_04b.svg

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full/escher.jpgfull/escher.jpg

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