Upload
juha-korhonen
View
857
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Prosenttilaskentaa MA7-kurssille
Citation preview
Huhtaharjun koulu 8. Luokan matematiikka
Prosenttilaskenta
Juha Korhonen, FMMA7-Kurssi
18.10.1 2
2
MA
7
SISÄLTÖ
1. SATA PROSENTTIA2. PROSENTTI ON SADASOSA 3. PROSENTTEJA4. PROSENTTIKERROIN5. ALENNETTU HINTA6. LISÄYS PROSENTTEINA7. KUINKA MONTA PROSENTTIA?8. MUUTOSPROSENTTI9. VERTAILUPROSENTTI10. SEOKSET11. KORKO
18.10.1 2
3
MA
7
Kuinka paljon? Kuinka paljon 17 % on 3600 eurosta?
Kuinka monta prosenttia? Kuinka monta prosenttia 18 euroa on 50 eurosta?
Mistä luvusta? Mistä summasta 40 % on 200 euroa?
Mikä on muutosprosentti? Kuinka monta prosenttia oli korotus, kun alkuperäinen
hinta oli 90 € ja korotus oli 30 € Kuinka monta prosenttia hinnat nousivat, kun
alkuperäinen hinta oli 90 € ja korotettu hinta 120 €? Koronkorko
Kuinka suureksi pääoma (12 000 €) kasvaa, kun korkoprosentti on 6,7 % ja talletusaika 8 vuotta?
PERUSPROSENTTILASKUT
18.10.1 2
4
MA
7
1. SATA PROSENTTIA
Prosenttimerkintää on kätevä käyttää, kun vertaillaan osia keskenään ja tutkitaan niiden keskinäisiä suhteita. Esim. tyttöjä 8D:llä n. 26 % ja 8A:lla 65 %
100 % on kaikki tai yksi kokonainenIhmisiä rannalla 40 100 %
Naisia 50 %
Miehiä 25 %
Tyttöjä 10 %
Uimassa 20 %
Aurinkotuolilla 15 %
Sinipukuisia 75 %
18.10.1 2
5
MA
7
1100
2. PROSENTTI ON SADASOSA (s. 12-13)
Prosentin nimitys tulee latinastaper centum, sataa kohden pro centum, joka tarkoittaa sadasta
(Yksi) prosentti tarkoittaa sadasosaa ja sitä merkitään symbolilla %.
1 % =
Kuinka paljon 16:sta 5/8?
16⋅58=161
⋅58=16⋅51⋅8
=2⋅51⋅1
=10
18.10.1 2
6
MA
7
ESIMERKKEJÄ
Kuinka paljon on 1 % eli (yksi) sadasosa 200 €· = 200 € / 100 = 2 €
240 €· = 240 € / 100 = 2,4 €
Kuinka paljon on 7 % eli seitsemän sadasosaa 200 €
240
1100
1100
18.10.1 2
7
MA
7
Tehtäviä
Kuinka paljon on 8 % talletuksesta Selvitä ensin 1 %
jakamalla sadalla Kerro tulos 8
http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths/number/percentagesact.shtml http://www.youtube.com/watch?v=wKT2e6IzVYY
Talletus 1 % talletuksesta 8 % talletuksesta
200 € 2 € 8 · 2 € = 16 €
900 €
2400 €
18.10.1 2
8
MA
7
18.10.1 2
9
MA
7
3. PROSENTTEJA (s. 14-15, teht. A5, B7, B10)
Kuinka paljon valtio sai tuloja bensiiniverosta? Tehdään taulukko Merkitään 100 % valtion verotuloista Lasketaan 1% valtion verotuloista jakamalla sadalla Lasketaan paljonko on 1,3 % kertomalla
kaikki 100 % 40 Mrd € = 40 000 M€
prosentti 1 % 40 000 Mrd € : 100 = 400 M€
bensiinivero 1,3 % 1,3 · 400 M€ = 520 M€
dieselvero 1,34 % 1,34 · 400 M€ = 536 M€
18.10.1 2
10
MA
7
PERUSPROSENTTILASKUT
Kuinka paljon? Kuinka paljon 23,5 % on 3600 eurosta?
Kuinka monta prosenttia? Kuinka monta prosenttia 18 euroa on 50 eurosta?
Mistä luvusta? Mistä summasta 40 % on 200 euroa?
Mikä on muutosprosentti? Kuinka monta prosenttia hinnat nousivat, kun alkuperäinen
hinta oli 90 € ja korotettu hinta 120 €? Koronkorko
Kuinka suureksi pääoma (12 000 €) kasvaa, kun korkoprosentti on 6,7 % ja talletusaika 8 vuotta?
18.10.1 2
11
MA
7
4. PROSENTTIKERROIN 1/4 (s. 16 –17 )
Murtolukujen, desimaalilukujen ja prosenttien välinen yhteys
Suoritetaan jakolasku ja kerrotaan tulos sadalla
= 0,01 = 1 %= 0,01 = 1 %1100
18.10.1 2
12
MA
7
4. PROSENTTIKERROIN 2/4 (s. 16 –17 )
100
24==
25
6= 24 %
100
135 = 1,35
8
5 = 62,5 %0,625 =
Jakolasku esim. laskimella
Kerrottu sadallaeli pilkkua siirretty
kaksi pykälää oikealle
Muunna seuraavat murtoluvut ensin desimaaliluvuksi ja sitten prosenteiksi
4)
0,24
= 135 %
Ensi murtoluku lavennetaan
sadasosiksi
18.10.1 2
13
MA
7
4. PROSENTTIKERROIN 3/4 (s. 16 –17 )
100
77=77 % Jaettu sadallaeli pilkkua siirrettyvasemmalle kaksi pykälää
=47,5 %100
47,5 = 0,475
Prosenttilukujen muuntaminen murto- ja desimaaliluvuiksi
= 0,77
18.10.1 2
14
MA
7
KUINKA PALJON?
Juomakorissa on 24 pulloa. Pulloista 5/8 on jo juotu. Kuinka monta pulloa on vielä juomatta?
Tapa 1 juomatta 3/8 3/8 • 24 = 9
Vastaus: Yhdeksän pulloa on vielä juomatta. Tapa 2
Juomatta 3/8 = 0,375=> 0,375•24 = 9
18.10.1 2
15
MA
7kotitehtävät s. 94, teht. A33, A35, B36-37)4. PROSENTTIKERROIN 4/4(s. 17, teht. A1-A4, B7-B9, B10->
Tapa 1 (päässä) Murtoluvulla
kertominen 9 %=
Tapa 2 (laskimella) Prosenttikertoimella
eli desimaaliluvulla kertominen 9%= 0,09
Jesse oli kesän alussa 150 cm pitkä. Kesäloman aikana hän kasvoi 9 %. Kuinka monta senttiä hän oli kasvanut?
18.10.1 2
16
MA
7
KUINKA PALJON?
Prosentit lasketaan koko määrästä seuraavasti: Muutetaan prosentit desimaaliluvuksi. Kerrotaan koko määrä desimaaliluvulla.
Suomalaisista 9,4 % luki Hesaria päivittäin vuonna 1995. Kuinka moni suomalainen luki Hesaria, kun Suomen väkiluku oli vuonna 1995 noin viisi miljoonaa?
Muutos desimaaliluvuksi==> 9,4 % = 0,094
Kertolasku 0,094 • 5 000 000 = 470 000
Vastaus: 470 000 suomalaista luki Hesaria päivittäin
18.10.1 2
17
MA
7
5. ALENNETTU HINTA (s. 18-19, t. A1--> )
Tapa 1 Lasketaan ensin
alennus 35 % = 0,35
0,35 • 125 € = 43,75 € Alennettu hinta
= hinta - alennus 125 € - 43,75 € = 81,25 €
Tapa 2 Lasketaan alennettu hinta
suoraan Kuinka monta % jää
alkuperäisestä hinnasta maksettavaksi
100 % - 35 % = 65 % = 0,65 Alennettu hinta suoraan
0,65 • 125 € = 81,25 €
Vaateliikkeen kaikki tuotteet olivat 35 % syysalessa. Farkkujen hinta oli 125 €. Mikä oli alennettu hinta?
18.10.1 2
18
MA
7
6. LISÄYS PROSENTTEINA ELI HINNAN KOROTUS (s. 20-21, t. A2, A4, A5, B7)
Tapa 1 22 % = 0,22 0,22 • 1,55 € = 0,341 €
Uusi hinta= Alkup. hinta + korotus1,55 € + 0,341 € = 1,891 €
≈ 1,90 €
Tapa 2 Kuinka monta % hinta
suurenee? 100 % + 22 % = 122 % = 1,22
Uusi hinta 1,22 • 1,55 €
= 1,891 € ≈ 1,90 €
Makeisvero nostaa karkkien hintaa 22 %. Paljonko maksaa 1,55 € karkkipussi ensi vuonna?
18.10.1 2
19
MA
7
ALENNUSLASKUT
Alennusmyyntien aikaan kauppa tarjosi 900 euron laajakuvatelevisiota 35 %:n alennuksella. Mitä televisio maksoi alehintaisena?
Lasku Merkitään alkuperäistä hintaa 100 %:lla Alennettu hinta on alkuperäisestä hinnasta
100 % - 35 % = 65 % Alehinta euroissa
0,65 • 900 € = 585 € Vastaus
Televisio maksoi alehintaisena 585 euroa19
18.10.1 2
20
MA
7
PERUSPROSENTTILASKUT
Kuinka paljon? Kuinka paljon 23,5 % on 3600 eurosta?
Kuinka monta prosenttia? Kuinka monta prosenttia 18 euroa on 50 eurosta?
Mistä luvusta? Mistä summasta 40 % on 200 euroa?
Mikä on muutosprosentti? Kuinka monta prosenttia hinnat nousivat, kun alkuperäinen
hinta oli 90 € ja korotettu hinta 120 €? Koronkorko
Kuinka suureksi pääoma (12 000 €) kasvaa, kun korkoprosentti on 6,7 % ja talletusaika 8 vuotta?
18.10.1 2
21
MA
7
7. KUINKA MONTA PROSENTTIA? (s. 24-25, teht. A1-A4, A5-->
Kuinka monta prosenttia luku a on luvusta b?
Prosenttimäärä lasketaan seuraavasti: Jaetaan osa koko määrällä (a/b) Muutetaan desimaaliluku prosenteiksi (· 100)
EsimerkkiKuinka monta prosenttia luku kuusi (6) on
kahdeksasta (8)?
= 0,75 = 75 %68
p=ab⋅100%
18.10.1 2
22
MA
7
7. KUINKA MONTA PROSENTTIA? (s. 24-25, teht. A1-A4, A5-->
Kuinka monta prosenttia 8D:n paikalla olevista oppilaista on tyttöjä? Tyttöjä 12 ja oppilaita yhteensä 17
= 70,6 %
Entä kuinka monta prosenttia paikalla olevista on poikia?
= 29,4 % Tapa 2
100 % - 70,6 % = 29,4 %
p=ab⋅100%
1217
=0,7059
517
=0,294
18.10.1 2
23
MA
7
7. KUINKA MONTA PROSENTTIA? (s. 24-25, teht. A1-A4, A5-->
Postimyynnistä tilatun valaisimen hinta oli 35 euroa. Postimyyntiä harjoittava yritys peri lisäksi toimituskuluja 5 euroa. Kuinka monta prosenttia toimituskulut olivat valaisimen kokonaishinnasta? Valaisimen kokonaishinta: 35 € + 5 € = 40 € Kuinka monta prosentti 5 € on 40 €:sta?
VastausToimituskulut olivat 12,5 prosenttia valaisimen
kokonaishinnasta
5€40 €
=0,125=12,5%
18.10.1 2
24
MA
7
8. VERTAILU- JA MUUTOSPROSENTTI (s. 30-31&32-33, ) Kuinka monta prosenttia
luku a on suurempi kuin luku b?
Kuinka monta prosenttia on muutos alkuperäisestä luvusta b lukuun a?
Esim. 1a) Kuinka monta prosenttia 5 on suurempi kuin 4?b) Kuinka monta prosenttia 4 on pienempi kuin 5?
Esim. 2 Suomen väkiluku oli vuonna 2010 5 375 276.
Vuonna 2011 se oli 5 401 267. Kuinka monta prosentti oli muutos (=väestönkasvu)?
• 100 % =a−b
b=
erotus
vertailuarvo
erotus
vertailuarvo
muutos
alkuperäinen arvo• 100 %
18.10.1 2
25
MA
7
8. VERTAILU- JA MUUTOSPROSENTTI (s. 30-31&32-33, ) Kuinka monta prosenttia
luku a on suurempi kuin luku b?
Kuinka monta prosenttia on muutos alkuperäisestä luvusta b lukuun a?
Esim. 1a) Kuinka monta prosenttia 5 on suurempi kuin 4?b) Kuinka monta prosenttia 4 on pienempi kuin 5?
Esim. 2 Suomen väkiluku oli vuonna 2010 5 375 276.
Vuonna 2011 se oli 5 401 267. Kuinka monta prosentti oli muutos (=väestönkasvu)?
• 100 % =a−b
b=
erotus
vertailuarvo
erotus
vertailuarvo
muutos
alkuperäinen arvo• 100 %
18.10.1 2
26
MA
7
Palkka nousi 1250 €:sta 1330 €. Kuinka monta prosenttia palkka nousi? Oliko palkankorotus reilu, kun palkkoja nostettiin
yleisesti 6,5 %? Lasku
Lasketaan ensin muutos eli kuinka monta euroa palkka nousi
Verrataan erotusta alkuperäiseen
= 6,4 %
11. VERTAILU- ELI MUUTOSPROSENTTI (s. 30-31:A2, B6 & s. 32-33: A1, A2)
1330 € −1250 €1250 €
=80€1250€
=0,064
18.10.1 2
27
MA
7
10. MUUTOSPROSENTTI (s. 30-31)
Muutos prosentteina: Lasketaan muutos Jaetaan muutos alkuperäisellä luvulla eli sillä luvulla,
mihin verrataan. Muutetaan desimaaliluku prosenteiksi.
Normaalihintainen seisomapaikkalippu paikallisen jääkiekkojoukkueen liigaotteluun maksaa 12 euroa. Lipun hinta kohoaa kuitenkin 14 euroon esim. HIFK:n vieraillessa Jyväskylässä. Kuinka monta prosenttia normaalia kalliimpi on seisomapaikkalippu HIFK-otteluun? Muutos: 2 € 2 € / 12 € = 0,16666666 … ≈ 16,7 % Seisomapaikkalipun hinta on JYP-HIFK ottelussa 16,7
prosenttia normaalia kalliimpi.27
18.10.1 2
28
MA
7
11. VERTAILUPROSENTTI (s. 32-33)
Tietokonepeli maksoi tietokoneliikkeessä 36 € ja tavaratalossa 40 €. Kuinka monta prosenttia halvempi peli oli tietokoneliikkeessä kuin tavaratalossa? Lasketaan erotus Jaetaan erotus sillä luvulla, johon verrataan (ns. kuin-luku) Muutetaan desimaaliluku prosenteiksi
Hintaero: 40 - 36 = 4 € Vertailuprosentti: 4 € / 40 € = 0,1 = 10 % Peli oli 10 % halvempi tietokoneliikkeessä
Kuinka monta prosenttia kalliimpi peli oli tavaratalossa kuin tietokoneliikkeessä? 4 € / 36 € = 0,11111… ≈ 11,11 % Tavaratalossa peli oli 11,11 % kalliimpi
18.10.1 2
29
MA
7
9. PERUSARVON LASKEMINEN
Jesse ostamat farkut maksoivat 45 €. Hän osti ne 30 % alennuksella. Mikä oli alkuperäinen hinta?
Ratkaisu 1 (yhtälöllä)x = farkkujen alkup. Hinta100 % - 30 % = 70 % farkkujen alennettu hinta (=45 €)
Muodostetaan yhtälö0,70· x = 45 € | : 0,70x = 45 € / 0,70x = 64,285 € ≈ 64,30 €
18.10.1 2
30
MA
7
9. PERUSARVON LASKEMINEN
Jesse ostamat farkut maksoivat 45 €. Hän osti ne 30 % alennuksella. Mikä oli alkuperäinen hinta?
Ratkaisu 2 (päättelemällä) 100 % - 30 % = 70 % farkkujen alennettu hinta (=45 €)
70 % = 45 €1 % = 45 € / 70 ≈ 0,6428571428571429 €100 % ≈ 64,28571 € ≈ 64,30 €
Ratkaisu 3 (ulkoa opettelemalla) Alennettu hinta / (100 % - alennusprosentti)
18.10.1 2
31
MA
7
10. SEOKSIA (s. 36-37, A1-A4, B5--> )
Massaprosentti m%
Aineen massaprosenttisuus tarkoittaa aineen massan osuutta koko seoksen massasta
Tilavuusprosentti til-% (Vol)
Tilavuusprosentti kertoo liuenneen aineen tilavuuden osuuden koko liuoksen tilavuudesta
Liuenneen aineen massa
Koko liuoksen massa• 100 %
Liuenneen aineen tilavuus
Koko liuoksen tilavuus• 100 %
Jesse sekoittaa 75 g suolaa 500 grammaan vettä. Laske liuoksen suolapitoisuus (m-%).
Alina valmistaa suolaliuosta niin, että hän liuottaa 1,5 kg suolaa 8,5 kilogrammaan vettä. Mikä on liuoksen suolapitoisuus (m-%)?
10 kilogrammasta 20 %:n suolaliuosta haihdutetaan 2 kg vettä. Mikä on liuoksen suolapitoisuus (m-%) haihdutuksen jälkeen?
Mikä on tuulilasin puhdistusnesteen metanolipitoisuus (til-%) , kun 6 l puhdistusnestettä sisältää 750 ml metanolia?
Kemisti teki suolaliuosta. Hän sekoitti 35 g suolaa sataan grammaan vettä. Kuinka monta prosenttia liuoksessa oli suolaa?
18.10.1 2
33
MA
71 ‰ = = 0,001 = 0,1 % 1 ‰ = = 0,001 = 0,1 % 11000
11. PROMILLE
Promille on tuhannesosa
Kuinka paljon on 1,2 ‰ (=alkoholia) luvusta 5400 ml (=verta)?
1,2 ‰ = 0,0012 0,0012· 5400 ml = 6,48 ml
Kultaseppä sulattaa yhteen 220 g hopeaa ja 55 g muita metalleja. Mikä on seoksen hopeapitoisuus promilleina?
= 80 % = 800 ‰220 g
220 g+55 g=220 g275 g
=0,8
18.10.1 2
34
MA
7
Hopeaa käytetään tavallisimmin seoksena, jossa on joko 83 % tai 92,5 % hopeaa, loput kuparia. Seosta, jossa hopeaa on 92,5 %, sanotaan sterling-hopeaksi Kuparia käytetään, koska se ensinnäkin tekee
metalliseoksesta kovemman ja toisekseen halvempana aineena laskee seoksen hintaa
Sterling-hopean ominaispaino on 10,3 kg/dm³ Hopeaesineisiin lyötävissä leimoissa
hopeapitoisuus ilmaistaan promilleina, siis 830 tai 925
(Lähde: WikiPedia)
18.10.1 2
35
MA
7
12. PROSENTTIYKSIKKÖ
Prosenttilukuja verratessa niiden erotus ilmoitetaan prosenttiyksikkönä.
Esimerkki Puolueen A kannatus on 18,7 % ja puolueen B
kannatus 15,2 %. Puolueen A kannatus on 18,7 % – 15,2 % = 3,5 %-yksikköä suurempi kuin puolueen B kannatus.
Kuinka monta prosenttia puolueen B kannatus on pienempi kuin puolueen A kannatus?
= 0,2303 ≈ 23 %
Jos puolueen A kannatus nousisi n. 23 %, niin silloin se olisi sama kuin puolueen B kannatus
18,7−15,215,2
=3,215,2
18.10.1 2
36
MA
7
13. KERTAUS
18.10.1 2
37
MA
7
13. KERTAUS
18.10.1 2
38
MA
7
PERUSPROSENTTILASKUT
Kuinka paljon? Kuinka paljon 23,5 % on 3600 eurosta?
Kuinka monta prosenttia? Kuinka monta prosenttia 18 euroa on 50 eurosta?
Mikä on muutosprosentti? Kuinka monta prosenttia hinnat nousivat, kun
alkuperäinen hinta oli 90 € ja korotettu hinta 120 €? Mistä luvusta?
Mistä summasta 40 % on 200 euroa? Promille
Kuinka monta promillea alkoholia (3,5 mg) on veressä (5 l)?
Prosenttiyksikkö
18.10.1 2
39
MA
7
KORKO
Koron kaava r=korko (€) k=pääoma (€) p=korkoprosentti t=aika (vuosina)
Korkotuotot lisätään yleensä vuoden lopussa. Seuraavana vuonna korkoa kasvavat sekä alkuperäinen pääoma että edellisen vuoden korko. Sanotaan, että pankki maksaa korkoa korolle.
r=kpt100
18.10.1 2
40
MA
7
Esimerkki korkolaskusta
Talletuksen vuotuinen korko on 1,8 %. Kuinka suureksi 12500 € talletus kasvoi
a) vuodessab) puolessa vuodessac) kahdessa kuukaudessad) kahdessa vuodessae) kolmessa vuodessaf) 100 vuodessa g) n-vuodessa?
Koron koron yleinen kaava
r=kpt100
K=k⋅(1+p100
)t