Embed Size (px)
Citation preview
ASSALAMU’ALAIKUM WR.WB
Loading
Loading CompletePower Point is starting up...
Program Linear
Nama Kelompok
Mira Sandrana
Kiki Andani
fitri
Asrul
Steven Febranzio
Muti’ah Solehah Azhar
XII IPA 1
PROGRAM LINEAR
STANDAR KOMPETENSI
MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR.
KOMPETENSI DASAR
MENYELASIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
MERANCANG MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH PROGRAM LINIER
MENEYELESAIKA MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH PROGRAM LINIER DAN PENAFSIRANNYA
Pengertian program linear
Program linear adalah suatu cara atau metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi.
Aplikasi Program Linear dalam Kehidupan sehari hari :1. Memaksimalkan keuntungan sebuah
perusahaan 2. Meminimumkan pengeluaran suatu
perusahaan
Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah sebuah kalimat terbuka yang mengandung dua variabel dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan, yaitu >, > , <, dan <
Terdapat 4 (empat) bentuk pertidaksamaan linear dua variabel, sebagai berikut :
Himpunan penyelesaian (HP) merupakan himpunan titik-titik atau daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear
Pertidaksamaan Linear dua variabel
• Diberikan pertidaksamaan :x + y ≤ 604x + y ≤ 90
• Himpunan penyelesaiaannya dapat dicari dengan langkah – langkah sebagai berikut:
– Gambar garis x + y = 60 pada bidang cartesius dengan cara menghubungkan titik potong garis dengan sumbu X dan Sumbu Y
• x = 0 maka y = 60• y = 0 maka x = 60
– Selanjutnya selidiki daerah yang merupakan himpunan penyelesaian x + y ≤ 60
– Ambil titik selidik O(0,0), kemudian substitusi titik (0,0) ke pertidaksamaan x + y ≤ 60 diperoleh 0 + 0 ≤ 60
0 ≤ 60 – Ketidaksamaan benar berarti titik O(0,0) terletak pada daerah himpunan
penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 60
Y
X
60
60
x + y = 60O
– Jadi, daerah himpunan penyelesaian ditunjukan oleh daerah yang diarsir pada gambar
– Lakukan hal yang sama untuk pertidaksamaan 4x + y ≤ 90x = 0 maka y = 90y = 0 maka x = 22,5
– Ambil titik selidik (0,0), substitusi titik (0,0) ke pertidaksamaan 4x + y ≤ 90 diperoleh4.(0) + 0 ≤ 900 ≤ 90
– Karena ketiksamaan bernilai benar berarti titik selidik (0,0) terletak pada daerah himpunan penyelesaian
Y
O X
60
60
O
Y
X
90
22,5
– Jadi, daerah himpunan penyelesaian ditunjukan oleh daerah yang diarsir pada gambar
– Langkah selanjutnya adalah menggambarkan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 60 dan 4x + y ≤ 90 dalam satu bidang cartesius, dan daerah yang terarsir dua kali adalah himpunan penyelesaiannya.
O
Y
X
90
22,5
Y
OX
60
60
90
22,5
B. FUNGSI TUJUAN (FUNGSI OBJEKTIF) BESERTA KENDALA
• Model MatematikaModel matematika adalah hasil terjemahan permasalahan kedalam bahasa / lambang matematika.
• Fungsi Tujuan (Fungsi Objektif)Fungsi tujan adalah fungsi dari suatu keadaan yang hendak dicapai secara maksimum atau minimum
• KendalaKendala adalah pertidaksamaan – pertidaksamaan linier yang memenuhi semua syarat yang diberikan
• Farah akan membuat roti bolu dan roti tawar. Roti bolu membutuhkan 100 gram terigu dan 25 gram mentega. Roti jenis tawar membutuhkan 50 gram terigu dan 50 gram mentega. Farah mempunyai persedian bahan 2,5 Kg terigu 1Kg mentega. Farah akan membuat roti sebanyak – banyaknya. Tentukan model matematika dari masalah tersebut!
• Tentukan model matematika dari masalah tersebut!
• Langkah – langkah– Buat kebutuhan bahan untuk setiap jenis roti ke dalam bentuk tabel
– Misalkan banyaknya roti bolu yang akan dibuat = x banyaknya roti tawar yang akan dibuat = y
– Maka tabel akan menjadi
Jenis Roti Terigu (gram) Mentega (gram)
Bolu 100 25
Tawar 50 50
Persediaan 2.500 1000
Jenis Roti Banyaknya Bahan yang dibutuhkan
Terigu Mentega
Bolu x 100 x 25 x
Tawar y 50 y 50 y
Jumlah x+ y 100 x + 50 y 25 x + 50 y
persediaan 2500 1000
Karena x dan y mewakili banyaknya roti yang dibuat, maka nilainya harus bulat dan tidak negatif
Jadi, x > 0 (i) y > 0 (ii)
Persediaan terigu 2.500 gram, oleh karena itu penggunaan terigu tidak boleh lebih dari 2.500 gram.
Jadi, 100 x + 50 y ≤ 2.500 atau 2x + y ≤ 50 (iii)
Persediaan mentega 1000 gram, maka jumlah mentega yang digunakan memenuhi pertidaksamaan
25 x + 50 y ≤ 1000 atau x + 2 y ≤ 40 (iv)
Farah ingin membuat roti bolu dan tawar sebanyak – banyaknya, dapat ditulis sebagai sebuah fungsi yaitu :
f(x,y) = x+ y
Kedua jenis roti akan dibuat sebanyak – banyaknya, maka pertidaksamaan (i), (ii), (iii) dan (iv) membentuk sistem pertidaksamaan yang harus dipenuhi untuk memaksimumkan f(x,y) = x + y
Sehingga model matematika untuk masalah farah adalah:
Memaksimumkan (fungsi tujuan / fungsi objektif)
f(x,y) = x + yDengan syarat (kendala)
x ≥ 0y ≥ 02 x + y ≤ 50x + 2 y ≤ 40
C. NILAI OPTIMUM DARI MASALAH PROGRAM LINIER
• Penyelesaian Optimum Penyelesaian optimum / masalah optimum adalah sebuah penyelesaian yang memberikan hasil terbaik dari berbagai kemungkinan penyelesaian
• Tujuan dari masalah program linier adalah mengoptimumkan fungsi tujuan f(x,y) = ax +by.
• Pada subbab ini hanya akan dijelaskan mengunakan metode grafik. Dalam metode grafik ada dua macam metode, yaitu:1. Metode uji titik pojok2. Metode garis selidik
1. Metode uji titik pojok• Dalam metode ini, untuk menentukan nilai optimum dengan
menghitung ax + by pada tiap titik pojok atau tiap tititk yang dekat dengan titik pojok dari daerah himpunan penyelesaian
Contoh– Model matematika masalah Farah dalam membuat roti
• Memaksimumkan f(x,y) = x + y• Dengan syarat / kendala :
x ≥ 0y ≥ 02x + y ≤ 50x + 2y ≤ 40
Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif tersebut!
• Langkah – langkah
– Gambar grafik daerah penyelesaian dari kendala – kendala yang diberikan dala bidang koordinat. dan namai titik –titik pojoknya dengan huruf alfabet
– Tentukan koordinat – koordinat titik pojok yang merupakan daerah penyelesaiannya
O (0,0)A (25,0)C (0,20)
50
20
25 40OA
BC
X
Y
• Langkah – langkah
– Titik B dapat dicari dengan menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi. Karena titik B merupakan titik perpotongan antara garis 2x + y =50 dan garis x + 2y =40
Eliminasi variabel x2x + y = 50 x1 2x +2y = 50 x + 2y = 40 x2 2x +4y = 80
-3y = -30 y = 10
Substitusi nilai y = 10 ke persamaan 2x + y = 50 maka 2x + 10 = 50
2x = 40 x = 20
Jadi koordianat titik B (20,10)
Langkah – langkah
Langkah selanjutnya adalah menentukan nilai fungsi objektif pada masing – masing titik pojoknya
f(x,y) = x + yO(0,0) maka f(x,y) = 0 + 0 = 0A(25,0) maka f(x,y) = 25 + 0 =
25B(20,10) maka f(x,y) = 20 + 10
= 30C(0,20) maka f(x,y) = 0 + 20 =
20
Dari nilai fungsi objektif tersebut diperoleh
Nilai maksimum = 30 dicapai pada titik (20,10)
Nilai minimum = 0 dicapai pada titik (0,0)
Nilai optimum pada permasalahan farah adalah nilai maksimum, karena Farah ingin membuat roti tawar dan bolu sebanyak – banyaknya. Jadi, Farah dapat membuat roti tawar sebanyak 20 buah dan bolu sebanyak 10 buah
2. Metode Garis Selidik
• Metode garis selidik lebih praktis dari metode uji titik pojok. Karena dalam metode uji titik pojok memerlukan ketelitian dan waktu yang agak lama untuk menghitung nilai fungsi objektif di masing – masing titik pojoknya
• Diberikan persamaan garis x + 2y = k
• Garis tersebut memotong sumbu X di (k,0) dan memotong sumbu Y di (0,k/2). Grafik garis x + 2y = k dilukis dengan menghubungkan titik (k,0) dan (0,k/2).
Dari gambar terlihat, jika nilai k makin besar maka garis x + 2y = k makin menjauhi titik pangkal. Ini berarti himpunan garis- garis yang sejajar dengan persamaan x + 2y = k dapat dipakai untuk menyelediki nilai optimum (maksimum atau minimum) dari bentuk objektif f(x,y) = x + 2y . Sehingga garis dengan persamaan dinamakan garis selidik.
Jadi, nilai optimum (maksimum atau minimum) bentuk objektif ax+by dapat diselidiki menggunakan garis selidik ax +by =k
• Gambar berikut merupakan grafik garis x + 2y = k untuk nlai – nilai k = 0, k = 2, k = 4, dan k = 6
y
x
3
2
1
0 2 4 6
• Model matematika masalah Farah dalam membuat roti
• Memaksimumkan f(x,y) = x + y• Dengan syarat / kendala : • x ≥ 0• y ≥ 0• 2x + y ≤ 50• x + 2y ≤ 40• Tentukan nilai maksimum dari fungsi
objektif tersebut!
CONTOH
• Langkah – langkah
– Gambarkan grafik daerah penyelesaiannya dari kendala – kendala yang diberikan dalam bidang koordinat.
– Tentukan persamaan garis selidik ax + by = k ,untuk suatu k tertentu.Dari persamaan Farah diperoleh fungsi objektif f(x,y) = x +yPersamaan garis selidik x + y = kAmbil k = 1, diperoleh x + y = 1
50
20
25 40OA X
Y
x > 0
x+y < 2
x+3y < 3
X
x+y = 2
01Y
30X
x+3y = 3
y > 0
Gambarkan daerah himpunan penyelesaian dari
x + y ≤ 2
X+3y ≤ 3
x ≥0
y ≥0
Jawab
x > 0
x+y < 2
x+3y < 3
1
2
1 2 30
3
X
x+y = 2
01Y
30X
x+3y = 3
Himpunan penyelesaian
y > 0
Gambarkan daerah himpunan penyelesaian dari
x + y ≤ 2
X+3y ≤ 3
x ≥0
y ≥0
Jawab
CONTOH SOAL:
1
2
1 2 30
3
Tentukan sistem pertidaksamaan dari grafik berikut
Persamaan garis melalui (0,1) dan (3,0)
y-y1
y2-y1
=x-x1
x2-x1
y-1
0-1=
x-0
3-03y-3 = -1xx+3y = 3
y-2
0-2=
x-0
1-0y-2 = -2x
2x+y = 2
Persamaan garis melalui (0,2) dan (1,0)
Sistem Pertidakksamaan liniernya adalah:
x + 3y ≤ 3
2x+y ≤ 2
x ≥ 0
y ≥ 0
CONTOH SOAL
Jawab Misalkan nilai olahraga = x, nilai kesehatan = y, maka: x ≥ 7 ; y ≥6; x + y ≥15
x ≥7
y ≥6
x+y ≥15
Daerah Himpunan penyelesaian
015Y
150X
10
15
5
0 5 10 15
Daerah Himpunan penyelesaian
Jawab Misalkan banyaknya es teler yang akan dibuat adalah x, dan es buah adalah y, maka:Berjualan Es
Itung-itung untuk menambah penghasilan saat liburan panjang ini, Amri mencoba berjualan es di depan rumahnya. “Lumayan untungnya untuk membayar SPP bulan depan”, pikirnya. Dalam usahanya ia hanya menyediakan dua jenis es yaitu es teler dan es buah. Karena baru pertama ia hanya mau mencoba maksimal 120 mangkok. Rencananya, es teler yang ia buat setiap harinya paling sedikit 20 mangkok dan paling banyak 100 mangkok. Buatlah model matematika dan daerah penyelesaian untuk menentukan banyaknya masing-masing es yang boleh dibuat!
20 <x < 100 x + y < 120y > 0
0 50 100 150
20 ≤x
x ≤100
x+y≤120
0120Y
1200X
y ≥ 0
Daerah himpunan penyelesaian
100
50
T H A N K Y O U
