Programación no Lineal

Realizado:Marcos BarbozaC.I: 15.059.191Yoeny BravoC.I:15.260.528

En matemáticas, programación no lineal es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con un función objetivo a maximizar (o minimizar), cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.

Programación no lineal

El problema de programación no lineal puede enunciarse de una forma muy simple: max ƒ (x) maximizar una función objetivo x Є X   mix ƒ (x) minimizar una función objetivo x Є XDondeƒ : Rn RX С Rn.

Si la función objetivo f es lineal y el espacio restringido es un politopo, el problema es de Programación lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de programación lineal.

Si la función objetivo es cóncava (problema de maximización), o convexa (problema de minimización) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el método general de Optimización convexa

Existe una variedad de métodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programación lineal. Otro método implica el uso de técnicas de Ramificación y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un límite inferior del coste total en cada subdivisión. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendrá una solución cuyo coste es igual o inferior que el mejor límite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas. Esta solución es óptima, aunque posiblemente no sea única. El algoritmo puede ser parado antes, con la garantía de que la mejor solución será mejor que la solución encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difíciles y cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado.

Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las condiciones necesarias para que una solución sea óptima.

Métodos de resolución del problema

      Optimización no restringida.      Optimización linealmente restringida.      Programación cuadrática      Programación convexa.      Programación separable.      Programación no convexa.      Programación geométrica.      Programación fraccional.

Tipos De Problemas De Programación No Lineal 

En esta sección se presentarán dos algoritmos para el problema no restringido: el algoritmo de búsqueda directa y el algoritmo degradiente.  

  1.- Método de búsqueda directa  Los métodos de búsqueda directa se aplican principalmente a funcionesestrictamente unimo- dales de una variable. Aunque puede parecer trivial el caso, la sección 21.1.2 muestra que la optimización de funciones de una variable juega un papel clave en el desarrollo de los algorit mos de varias variables, más generales.  

La idea de los métodos de búsqueda directa es identificar el intervalo de incertidum- bre que comprenda al punto de solución óptima. El procedimiento localiza el óptimo estre chando en forma progresiva el intervalo de incertidumbre hasta cualquier grado de exactitud que se

desee.  

ALGORITMOS SIN RESTRICCIÓN

Método de búsqueda directaEn esta sección se presentan dos algoritmos estrechamente relacionados: los

métodos

de búsqueda dicótomo y de sección dorada (o áurea). Ambos buscan la maximización de una

fun ción unimodal/(x) en el intervalo a ^ x < b, que se sabe que incluye el punto óptimo x*.Los

dos métodos comienzan con /0 = (a, b) que representa el intervalo inicial de incertidumbre.  

Paso general i. Sea /, _ , = (xD xR) el intervalo actual de incertidumbre (en la iteración 0, xL =

a y xR = b). A continuación se definen xx y x2tales que  

xj^ ^ ^ x2 ^ xr  

El siguiente intervalo de incertidumbre, /z, se define como sigue:  

Si f(xx) > /(x2), entonces xL < x* < x2. Se definen xR = x2 e /, = (xL, x2) (véase la figura 21.2[a]).

Si f(xx) < f(x2\ entonces xx < x* < xR. Se definen xL = xx e I¡ = (xh xR) (véase la figura 21.1 [b]). .

Si f{x\) = /(jc2), entonces xx < x* < x2. Se definen xL = x2 e /, = (xb x2).

La manera en que se determinan xx y x2 garantiza que /, < /,_ p como se

demostrará en breve. El algoritmo termina en la iteración ksilk< A,donde A es un

grado de exactitud defi nido por el Usuario .                                                                                                                        

La diferencia entre los métodos dicótomo y de sección dorada estriba en la forma

en que se calculan xx y x2. La tabla siguiente presenta las fórmulas.  

Método de búsqueda directa

En el método dicótomo los valores jc, y x2 se encuentran

simétricos respecto del punto medio del actual intervalo

de incertidumbre. Esto significa que 

La aplicación repetida del algoritmo garantiza que la longitud del intervalo de incertidumbre se acercará al nivel de exactitud deseado, A. 

En el método de la sección dorada la idea es de mayor involucramiento. Se puede apre ciar que cada iteración del método dicótomo requiere calcular los dos valores/(jc,) y f(x2), Pero termina por descartar alguno de ellos. Lo que propone el método de la sección dorada es ahorrar cálculos mediante el reuso del valor descartado en la iteración inmediata siguiente. Para definir 0 < a < 1 

Cuando el intervalo de incertidumbre /, en la teración i es igual a (jc¿, x2) o a (xu xR). Conside re el caso en que /, = (jcl, x2), lo cual significa que xx está incluido en /,. En la iteración /+1, seleccione x2 igual a jc, de la iteración /, lo cual lleva a la siguiente ecuación: 

x2(iteración i+l) = x{(iteración i) 

Los problemas de optimización no restringida no tienen restricciones, por lo que la función objetivo es sencillamente

Maximizar f(x)

sobre todos los valores x= (x1, x2,…,xn). Según el repaso del apéndice 3, la condición necesa ria para que una solución específica x = x* sea óptima cuando f(x) es una función diferenciable es

OPTIMIZACIÓN NO RESTRINGIDA

Cuando f (x) es cóncava, esta condición también es suficiente, con lo que la obtención de x* se reduce a resolver el sistema de las n ecuaciones obtenidas al establecer las n derivadas parciales iguales a cero. Por desgracia, cuando se trata de funciones no lineales f (x), estas ecuaciones suelen ser no lineales también, en cuyo caso es poco probable que se pueda obtener una solu ción analítica simultánea.

¿Qué se puede hacer en ese caso? Las secciones 13.4 y 13.5 descri ben procedimientos algorítmicos de búsqueda para encontrar x* primero para n = 1 y luego para n > 1. Estos procedimientos también tienen un papel importante en la solución de varios tipos de problemas con restricciones, que se describirán en seguida. La razón es que muchos algo ritmos para problemas restringidos están construidos de forma que se adaptan a versiones no restringidas del problema en una parte de cada iteración.

Cuando una variable Xj tiene una restricción de no negatividad, x- > 0, la condición ne cesaria (y tal vez) suficiente anterior cambia ligeramente a

para cada j de este tipo. Esta condición se ilustra en la figura 13.11, donde la solución óptima de un problema con una sola variable es x = 0 aun cuando la derivada ahí es negativa y no cero. Como este ejemplo tiene una función cóncava para maximizar sujeta a una restricción de no negatividad, el que su derivada sea menor o igual a 0 en # = 0, es una condición necesaria y su ficiente para que x= 0 sea óptima. Un problema que tiene algunas restricciones de no negatividad y que no tiene restriccio nes funcionales es un caso especial (m = 0) de la siguiente clase de problemas.

Los problemas de optimización linealmente restringida se caracterizan por restricciones que se ajustan por completo a la programación lineal, de manera que todas las funciones de restric ción g¡ (x) son lineales, pero la función objetivo es no lineal. El problema se simplifica mucho si sólo se tiene que tomar en cuenta una función no lineal junto con una región factible de programación lineal. Se han desarrollado varios algoritmos especiales basados en una exten sión del método símplex para analizar la función objetivo no lineal.

Un caso especial importante descrito a continuación es la programación cuadrática.

OPTIMIZACIÓN LINEALMENTE RESTRINGIDA

De nuevo los problemas de programación cuadrática tienen restricciones lineales, pero ahora la función objetivo /(x) debe ser cuadrática. Entonces, la única diferencia entre éstos y un problema de programación lineal es que algunos términos de la función objetivo incluyen el cuadrado de una variable o el producto de dos variables

PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

La programación convexa abarca una amplia clase de problemas, entre ellos como casos espe ciales, están todos los tipos anteriores cuando /(x) es cóncava. Las suposiciones son

1.- f(x) es cóncava.

2.- Cada una de las g(x) es convexa.

PROGRAMACIÓN CONVEXA

PROGRAMACIÓN SEPARABLELa programación separable es un caso especial de programación convexa, en donde la suposi ción adicional es

Todas las funciones f(x) y g(x) son funciones separables.

Una función separable es una función en la que cada término incluye una sola variable, por lo que la función se puede separar en una suma de funciones de variables individuales. Por ejem plo, si  f(x) es una función separable, se puede expresar como

son cada tina funciones de una sola va riable x1 y x2, respectivamente. Usando el mismo razonamiento, se puede verificar que la función considerada en la figura 13.7 también es una función separable. Es importante distinguir estos problemas de otros de programación convexa, pues cual quier problema de programación separable se puede aproximar muy de cerca mediante uno de programación lineal y, entonces, se puede aplicar el eficiente método símplex.

PROGRAMACIÓN SEPARABLE

La programación no convexa incluye todos los problemas de programación no lineal que no sa tisfacen las suposiciones de programación convexa. En este caso, aun cuando se tenga éxito en encontrar un máximo local, no hay garantía de que sea también un máximo global. Por lo tanto, no se tiene un algoritmo que garantice encontrar una solución óptima para todos estos problemas; pero sí existen algunos algoritmos bastante adecuados para encontrar máximos lo cales, en especial cuando las formas de las funciones no lineales no se desvían demasiado de aquellas que se supusieron para programación convexa. En la sección 13.10 se presenta uno de estos algoritmos. Ciertos tipos específicos de problemas de programación no convexa se pueden resolver sin mucha dificultad mediante métodos especiales. Dos de ellos, de gran importancia, se pre sentarán más adelante.

PROGRAMACIÓN NO CONVEXA

Cuando se aplica programación no lineal a problemas de diseño de ingeniería, muchas veces la función objetivo y las funciones de restricción toman la forma

PROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA

En tales casos, las ci y a ty representan las constantes físicas y las x} son las variables de diseño. Estas funciones por lo general no son ni cóncavas ni convexas, por lo que las técnicas de pro gramación convexa no se pueden aplicar directamente a estos problemas de programación geo- métrica. Sin embargo, existe un caso importante en el que el problema se puede transformar en un problema de programación convexa equivalente. Este caso es aquel en el que todos los coeficientes c¿ en cada función son estrictamente positivos, es decir, las funciones son polino mios positivos generalizados (ahora llamados posinomiales), y la función objetivo se tiene que minimizar. El problema equivalente de programación convexa con variables de decisión yx, y2,…, yn se obtiene entonces al establecer 

Suponga que la función objetivo se encuentra en la forma de una fracción, esto es, la razón o cociente de dos funciones,

PROGRAMACIÓN FRACCIONAL

Estos problemas de programación fraccional surgen, por ejemplo, cuando se maximiza la ra zón de la producción entre las horas-hombre empleadas (productividad), o la ganancia entre el capital invertido (tasa de rendimiento), o el valor esperado dividido entre la desviación es tándar de alguna medida de desempeño para una cartera de inversiones (rendimiento/ries go). Se han formulado algunos procedimientos de solución especiales1 para ciertas formas de f1(x) y f2 (x)  Cuando se puede hacer, el enfoque más directo para resolver un problema de programa ción fraccional es transformarlo en un problema equivalente de algún tipo estándar que dis ponga de un procedimiento eficiente. Para ilustrar esto, suponga que f(x) es de la forma de programación fraccional lineal

donde c y d son vectores renglón, x es un vector columna y c0 y dQ son escalares. También su ponga que las funciones de restricción g¡ (x)son lineales, es decir, las restricciones en forma matricial son Ax < b y x > 0.

Con algunas suposiciones débiles adicionales, el problema se puede transformar en un problema equivalente de programación lineal si se establece

PROGRAMACIÓN FRACCIONAL

que se puede resolver con el método símplex. En términos generales, se puede usar el mismo tipo de transformación para convertir un problema de programación fraccional con /¡(x) cóncava, f2 (x) convexa y g¡ (x) convexas, en un problema equivalente de programación con vexa.