Problemario de Álgebra Lineal

PROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL

JULIHO CASTILLO

Indice

Capıtulo 1. Numeros complejos 31. Introduccion 3Motivacion 32. El campo de numeros complejos 53. Forma polar de los numeros complejos 6

Capıtulo 2. Espacios Vectoriales 91. Definicion y ejemplos 9Resumen 9Ejercicios 102. Subespacios vectoriales 11Resumen 11Ejercicios 133. Transformaciones lineales 14Definicion y ejemplos 14Operadores en Rn 16Ejercicios 164. Nucleo e imagen 18Resumen 18Ejercicios 205. Bases y dimension 20Resumen 20Ejercicios 236. Coordenadas y cambios de base. 23Coordenadas 23Cambios de base 25Ejercicios 27

Capıtulo 3. Teorıa espectral 291. Introduccion 292. Valores propios 30

Date: 28 de abril de 2016.1

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Resumen 30Ejercicios 323. Vectores propios 33Resumen 33Ejercicios 344. Diagonalizacion 35Resumen 35Ejercicios 395. Proyecto final: Ecuaciones diferenciales 39Teorıa 39Ejemplos 42Proyecto final 45

Bibliografıa 47

Numeros complejos

1. Introduccion

Motivacion. En estas notas, denotaremos por R el conjunto de nume-ros reales. En esta seccion, procederemos de manera informal, para mo-tivar la definicion de un numero complejo y formalizar sus propiedades,en secciones posteriores.

Supongamos que a, b, c ∈ R, y queremos resolver la ecuacion

ax2 + bx+ c = 0.

De manera algebraıca encontramos que las soluciones estan dadaspor la formula

x =−b±

√D

2a, D = b2 − 4ac.

Si D ≥ 0, entonces D es un numero real. Sin embargo, ¿que sucedesi D < 0?. Por la ley de los signos si x, y ≥ 0, entonces xy ≥ 0. Dela misma manera, si x, y < 0, entonces xy > 0. En particular, paracualquier x ∈ R, tenemos que x2 = x · x ≥ 0. Por lo tanto,

√D /∈ R si

D < 0.Una solucion a este problema es definir el numero i =

√−1. En este

caso, si D < 0, entonces usando leyes de los exponentes tenemos que√D =

√(−1)(−D) =

√−1√−D =

√−Di.

En este caso, como D < 0, entonces −D > 0 y√−D ∈ R.

PROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL 3

Ejemplo 1.1. Las soluciones de la ecuacion x2 + 1 = 0 son x = 0 + i1y x = 0 + i(−1), o simplemente, x = ±i.

Ejercicio 1. Encuentre las soluciones de la siguientes ecuaciones:

1. x4 + 16 = 0,2. x2 − 2x+ 2 = 0.

Entonces, diremos que un numero complejo es una cantidad de laforma

z = x+ iy, x, y ∈ R, i =√−1.

Observe que si x ∈ R, podemos identificarlo con x+ i0.Definimos la suma de numeros complejos z = x+ iy, z′ = x+ iy′ de

la siguiente manera:

z + z′ = (x+ x′) + i(y + y′).

Ejercicio 2. Demuestre que

1. (x+ iy) + (x′ + iy′) = (x′ + iy′) + (x+ iy).2. [(x+ iy) + (x′ + iy′)]+(x′′+iy′′) = (x+iy)+[(x′ + iy′) + (x′′ + iy′′)]3. 0 + (x+ iy) = x+ iy4. (x+ iy) + ((−x) + i(−y)) = 0

Diremos que 0 = 0 + i0 es el neutro aditivo en los numero complejosy que −z := −x− iy es el inverso aditivo de z = x+ iy.

Ahora queremos definir la multiplicacion (x+iy)(x′+iy′). Sigamos lasreglas algebraicas usuales para numeros reales, salvo por la identidadi2 = −1.

(x+ iy)(x′ + iy′) = x(x′ + iy′) + iy(x′ + iy′)

= xx′ + x(iy′) + (iy)x′ + (iy)(iy′)

= xx′ + ixy + iyx′ + i2yy′

= (xx′ − yy′) + i(xy′ + yx′).

En resumen,

zz′ = (xx′ − yy′) + i(xy′ + yx′) ∈ C.

Ejercicio 3. Demostrar las siguientes propiedades de la multiplicacionde numero complejos

1. (x+ iy)(x′ + iy′) = (x′ + iy′)(x+ iy).2. [(x+ iy)(x′ + iy′)] (x′′ + iy′′) = (x+ iy) [(x′ + iy′)(x′′ + iy′′)]3. (1 + i0)(x+ iy) = x+ iy4. (x+ iy)(x− iy) = x2 + y2.

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5. (x+ iy)

(x− iyx2 + y2

)= 1.

Diremos que 1 = 1 + i0 es el neutro multiplicativo en los numerocomplejos y que

z−1 :=x− iyx2 + y2

es el inverso multiplicativo de z = x+ iy.Si definimos z = x− iy, para z = x+ iy, podemos reescribir

z−1 =z

zz.

Diremos que z es el conjugado de z.

Observacion. Los numero reales se pueden identificar con una lınea rec-ta. Como i no se puede identificar con un numero en la lınea recta, sedecıa que este numero era imaginario. Sin embargo, podemos visualizarlos numeros complejos (es decir, ¡dibujarlos!), para lo cual necesitare-mos “mas espacio”. Como requerimos dos numeros reales para describirun complejo, tendremos que dibujarlos en el plano.

Ejercicio 4. Encuentre el resultado de las siguientes operaciones:

1.(1 + i

√3) (−1 + i

√3)

2.

1√2

+ i 1√2√

3 + i1

3.(√

2 + i√

6)3

2. El campo de numeros complejos

Definicion 2.1. El plano es el conjunto

R2 = {(x, y)|x, y ∈ R} ,

de parejas ordenadas de numeros reales.

En este espacio, podemos definir varias operaciones. Cuando al con-junto lo dotamos de ciertas operaciones, decimos que es un estructura(matematica) en el plano. Una de las mas importantes es la estructurade espacio vectorial, que a continuacion presentamos.

Definicion 2.2. El plano euclideano es R2 dotado de las siguienteoperaciones:

1. (x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′),2. Si α ∈ R, α · (x, y) = (αx, αy),


Observacion. En este caso, a los pares ordenados (x, y) ∈ R2 les lla-maremos vectores (en el plano), mientras que a los numeros reales losllamaremos escalares. Entonces, nos referiremos a la primera operacioncomo suma de vectores, mientras que a la segunda como multiplicacionpor escalares. Estas son las operaciones usuales en el plano euclideano.

Ejercicio 5. Encuentre y grafique los vectores resultantes.

1. 2(1, 0) + 3(0, 1),2. 1

5(5, 0)− 1(0, 2).

Con el plano euclideano en mente, podemos definir de manera formalel conjunto de numero complejos. Observe que podrıamos identificar x+iy con el vector (x, y). Observe que con esta identificacion, el resultadode la suma de numeros complejos coincide con la de vectores. De igualmanera, podemos identificar la multiplicacion entre numero complejo.Esto nos lleva a la definicion formal de numeros complejos.

Definicion 2.3. El campo de numero complejos C es el conjunto R2

dotado de las siguientes operaciones:

1. (x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′),2. (x, y)(x′, y′) = (xx′ − yy′, xy′ + yx′).

Si identificamos α ∈ R, con (a, 0) ∈ C, resulta que la multiplicacionpor escalares coindice con la multiplicacion de numeros complejos paraescalares reales, es decir, si a ∈ R,

a(x, y) = (a, 0)(x, y).

Ejercicio 6. Verifique la afirmacion anterior.

Ejercicio 7. Verifque las siguiente propiedades. Si u, v, w ∈ C ∼= R2,entonces

1. u+ v ∈ C2. (u+ v) + w = u+ (v + w)3. u+ v = v + u4. Existe 0 ∈ C, tal que u+ 0 = 05. Para cada u ∈ C, existe −u ∈ C, tal que u+ (−u) = 06. uv ∈ C7. (uv)w = u(vw)8. uv = vu9. Existe 1 ∈ C, tal que 1u = u

10. Para cada u ∈ C, u 6= 0, existe u−1 ∈ C, tal que uu−1 = 111. u(v + w) = uv + uw.

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Observacion. Cualquier conjunto S, con operaciones suma y multiplica-cion, que cumplan las propiedades anteriores, se conoce como un cam-po. Otros ejemplos de campos son las fracciones y los mismos numerosreales. En teorıa numero, ejemplos de campos son los enteros modulop Zp, con p un numero primo.

3. Forma polar de los numeros complejos

En la presente seccion, suponemos que el lector tiene conocimientoselementales de trigonometrıa y geometrıa analıtica.

Como los numeros complejos son vectores, podemos calculas su lon-gitud o norma.

Definicion 3.1. Si z = x + iy ∈ C, entonces la norma de z se definecomo

‖z‖ =√x2 + y2.

Como hicimos antes, definimos de manera formal el conjugado de unnumero complejo.

Definicion 3.2. Si z = (x, y) ∈ C, su conjugado esta dado por

z = (x,−y) ∈ C.

De manera que ‖z‖2 = zz.De la misma manera, siendo un vector podemos medir el angulo que

abre respecto al vector (1, 0), en el sentido de las manecillas del reloj, alcual llamaremos argumento y definimos analıticamente de la siguienteforma.

Definicion 3.3. El argumento θ(z) de z = x+ iy ∈ C se define como

1. arctan(yx

)si x > 0

2. π + arctan(yx

)si x < 0

3.π

2si x = 0, y > 0

4. −π2

si x = 0, y < 0

Definicion 3.4. Si z ∈ C tiene norma r > 0 y argumento θ, decimosque

z = rϕ(θ),

es la forma polar de z, donde ϕ(·) : R→ R2,

ϕ(θ) = (cos(θ), sin(θ)) .

Ejercicio 8. Demostrar que


1. ϕ(0) = 12. ϕ(θ + 2π) = ϕ(θ)

3. ϕ(θ) = ϕ(−θ)4. ϕ(θ + τ) = ϕ(θ)ϕ(τ)5. ϕ(nθ) = (ϕ(θ))n

Ejercicio 9. 1. Si z = rϕ(θ) ∈ C, entonces

a) z−1 = r−1ϕ(θ)b) Si n es un numero entero, zn = rnϕ(nθ).

2. Si z = rϕ(θ), w = sϕ(τ) ∈ C, entoncesa) zw = rsϕ(θ + τ).

b)z

w=r

sϕ(θ − τ)

Esta ultima identidad se conoce como identidad de De Moivre.

Ejercicio 10. Convierta a su forma polar, cada uno de los numerosen el ejercicio 4 y realice las operaciones correspondientes, usando losresultados anteriores.

Espacios Vectoriales

4. Definicion y ejemplos

Resumen. Hasta ahora hemos considerado a los vectores como ele-mentos de un espacio

Rn = {(x1, ..., xn|xk ∈ R)} ,por ejemplo vectores en el plano R2 = {(x, y)|x, y ∈ R} o en el espacioR3 = {(x, y, z)|x, y, z ∈ R} . En cada caso, tenıamos una suma entrevectores y una multiplicacion por escalares, es decir, numero reales.

Ejemplo 4.1. Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son vectores en R2, yα ∈ R, entonces

(u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2),

mientras queα(u1, u2) = (αu1, αu2).

En este caso, la suma tiene las siguientes propiedades:

1. (Cerradura) u+ v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2), es unvector en R2,

2. (Asociatividad) Si w = (w1, w2) es otro vector en R2, entonces

(u+ v) + w = ((u1, u2) + (v1, v2)) + (w1, w2)

= (u1, u2) + ((v1, v2) + (w1, w2))

= u+ (v + w),

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3. (Conmutatividad) u+v = (u1 +v1, u2 +v2) = (v1 +u1, v2 +u2) =v + u

4. (Existencia de un elemento neutro) u + ~0 = (u1, u2) + (0, 0) =

(u1, u2) = u, y de la misma forma ~0 + u = u.5. (Inversos aditivos) Para u = (u1, u2), definimos

−u = (−u1,−u2),y este elemento satisface que

u+ (−u) = (−u) + u = 0.

La multiplicacion por escalares satisface las siguientes propiedades

1. αu es de nuevo un vector en R2,2. 1u = 1(u1, u2) = (1 · u1, 1 · u2) = u,3. (αβ)u = α(βu1, βu2) = α(βu).

Finalmente, la suma de vectores y la multiplicacion por escalaresestan relacionadas por las siguiente leyes distributivas.

1. (α + β)u = ((α + β)u1, (α + β)u2) = (αu1, αu2) + (βu1, βu2) =αu+ βu,

2. α(u + v) = α(u1 + v1, u2 + v2) = (α(u1 + v1), α(u2 + v2)) =α(u1, u2) + α(v1, v2) = αu+ αv.

Problema 1 (†). Verificar que las mismas propiedades se cumplen paraR3, usando la suma de vectores y multiplicacion por escalares conocida.

Estas propiedades se cumplen para muchos y muy diferentes conjun-tos, donde tenemos una operacion suma entre sus elementos y podemosdefinir una multiplicacion por numeros reales. De hecho, estos conjun-tos son los objetos de estudio en el algebra lineal.

Definicion 4.1. Sea V un conjunto, con una operacion + : V ×V → Vy una operacion · : R× V → V. Decimos que V es un espacio vectorial(sobre R) si para todo u, v, w ∈ V y α, β ∈ R se cumplen las siguientespropiedades.

1. (Cerradura)u+ v ∈ V,2. (Asociatividad)(u+ v) + w = u+ (v + w),3. (Conmutatividad)u+ v = v + u,4. (Elemento neutro) Existe 0 ∈ V, tal que para todo u ∈ V :u+ 0 = 0 + u = u,

5. (Elementos inversos) Para todo u ∈ V, existe −u ∈ V, tal queu+ (−u) = (−u) + u = 0.

6. αu ∈ V,7. 1u = u,8. (αβ)u = α(βu),


9. (α + β)u = αu+ βu,10. α(u, v) = αu+ αv.

A los elementos del espacio vectorial V les llamamos vectores.

Observacion. Cuando V es un espacio vectorial, con operacion suma+ : V × V → V y multiplicacion por escalares · : R → V → V, porbrevedad, decimos que (V,+, ·) es un espacio vectorial.

Ejercicios. Para resolver los ejercicios de esta seccion puede consultar[1, sec. 4.2] y [2, sec. 2.1].

Ejercicio 11 (†). Demuestre usando las propiedades anteriores, queen cualquier espacio vectorial se cumplen las siguientes propiedades.

1. 0u = α0 = 0. (Note que el cero escrito a la izquierda denota elcero como numero, mientras que escrito a la izquierda o solo,denota el elemento neutro del espacio vectorial.)

2. −u = (−1)u. Sugerencia: Verifique que u+ (−1)u = 0.3. Si αu = 0, entonces o bien α = 0 o u = 0.4. El elemento neutro 0 es unico.5. Para cada vector u, su inverso aditivo −u es unico.

Ejercicio 12. Compruebe que los siguientes conjuntos son espaciosvectoriales (reales), con las operaciones suma y multiplicacion por es-calar usuales.

1. {0} .2. {(x, y) ∈ R2|y = mx} para m ∈ R fijo.3. {(x, y, z) ∈ R3|ax+ by + cz = 0} para a, b, c ∈ R.4. {(x, y, z) ∈ R3|(a, b, c) · (x, y, z) = 0} para a, b, c ∈ R.5. {f |f : S → R} , donde S puede ser cualquier conjunto fijos.6. Rm×n, es decir, el conjunto de matrices m×n con entradas reales.7. El espacio de polinomios con coeficientes reales.8. El espacio de polinomios con coeficientes reales de grado ≤ n,

para n ∈ N fijo.9. C[a, b], el espacio de funciones continuas en el intervalo [a, b].

10. El conjunto de numero reales positivos con las operaciones u ⊕v := u, v y α · u := uα.

Problema 2. Considere la ecuacion diferencial de segundo orden ho-mogenea

y′′(x) + a(x)y′ + b(x)y(x) = 0

donde a, b son funciones continuas. Demuestre que el conjunto de solu-ciones de la ecuacion diferencial es un espacio vectorial bajo las reglasusuales para la suma de funciones y multiplicacion por escalares.

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5. Subespacios vectoriales

Resumen.

Ejemplo 5.1. R2 es un espacio vectorial con las operaciones

(u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2)

yα(u1, u2) = (αu1, αu2).

En la seccion anterior consideramos el subjunto

Lc = {(u1, u2)|u2 = cu1} ⊂ R2

para c una pendiente fija, y verificamos que en efecto, con las mismasoperaciones es un espacio vectorial.

Decimos entonces que Lc es un subespacio vectorial de R2.

Definicion 5.1. Si (V,+, ·) es un espacio vectorial yW ⊂ V es tambienespacio vectorial, con las mismas operaciones +, · decirmos que W esun subespacio vectorial de V, y podemos escribir W < V.

En principio, si W < V , tendrıamos que verificar todos loa axiomasde espacio vectorial para (W,+, ·). Sin embargo, si en el espacio V, lasuma es asociativa y conmutativa, tambien lo sera en W. De igual ma-nera, el elemento neutro 1 ∈ V de la multiplicacion por escalares es elmismo en W, y se sigue cumpliendo la asociatividad de la multiplicacionpor escalares y las leyes de distribucion.

Entonces, basta demostrar que se cumplen los restantes axiomas, asaber:

1. Si u, v ∈ W, entonces u+ v ∈ W.2. Si α ∈ R, v ∈ W, entonces αv ∈ W.3. 0 ∈ W.4. Si u ∈ W, entonces −u ∈ W.

Sin embargo, los dos ultimos incisos se siguen del segundo. En efecto,si escogemos α = 0 y cualquier u ∈ W, entonces

0 = 0 · u ∈ W.De igual manera, para cualquier u ∈ W, si escogemos α = −1, entonces−u = (−1)u ∈ W.

Por ultimo, verificar los dos axiomas restantes es equivalente a veri-ficar que para todo α ∈ R, u, v ∈ W,

αu+ v ∈ W.

Proposicion 5.1. Si W ⊂ V, entonces

W < V ⇐⇒ ∀α ∈ R, u, v ∈ W,αu+ v ∈ W.


Corolario 5.2. Todo W < V contiene a 0 ∈ V.

Definicion 5.2. Si W < V, pero W 6= {0} y W 6= V, entonces decimosque W es un subespacio (vectorial) propio.

Definicion 5.3. Sean u, v1, ..., vk vectores en un espacio vectorial V.Decimos que u es combinacion lineal de v1, ..., vk si existen escalaresα1, ..., αk ∈ R tales que:

u = α1v1 + ...αkvk.

Definicion 5.4. Sea V un espacio vectorial. El subespacio generadopor un subconjunto S = {v1, ..., vk} ⊂ V se define como

gen (S) = {α1vk, ..., αkvk|α1, ..., αk ∈ R} ,es decir, el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1, ..., vk.

Observacion. gen (S) < V.

Ejemplo 5.2. u = (2, 0, 2) es combinacion lineal de v1 = (1, 0, 1) yv2 = (0, 1, 1) porque u = 2v1 − v2.

De hecho,

gen (v1, v2) = {(a, b, a+ b)|a, b ∈ R} < R3

es el plano que contiene a estos dos vectores.(−1,−1, 1) /∈ gen (v1, v2) , porque no vive en este plano.

Ejercicios. Los siguientes ejercicios se pueden encontrar en [1, sec.4.3] y [2, sec. 2.2].

Ejercicio 13. ¿Cual de los siguientes conjuntos de vectores

u = (u1, u2, u3)

en R3 son subespacios de R3?

1. {u|u1 ≥ 0}2. {u|u1 + 3u2 = u3}3. {u|u2 = u21}4. {u|u1u2 = 0}5. {u|a2 es racional}

Ejercicio 14. Sea V el espacio vectorial (real) de todas las funcionesf : R→ R. ¿Cuales de los siguientes conjuntos son subespacios de V?

1. todas las funciones f tales que f(x2) = f 2(x)2. todas las funciones f tales que f(0) = f(1)3. todas las funciones f tales que f(3) = 1 + f(−5)4. todas las funciones f tales que f(−1) = 0

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Ejercicio 15. Sea W el conjunto de todos los vectores (x1, ..., x5) quesatisfacen

2x1 − x2 +4

3x3 − x4 = 0

x1 +2

3x3 − x5 = 0

9x1 − 3x2 + 6x3 − 3x4 − 3x5 = 0.

Mostrar que W es subespacio vectorial de R5.

Problema 3 (†). 1. Verificar que si U,W < V, entonces U ∩W <V.

2. Demostrar que si U = {u1, ..., um} y W = {w1, ..., wm} , entonces

U ∩W = gen (u1, ..., un, w1, ..., wm) .

Problema 4 (†). Sean u, v ∈ R2. Mostrar que

W = {αu+ βv|α, β ∈ R} < R2.

Mostrar que si u, v no son paralelos, entonces para cualquier w ∈R2, podemos encontrar α, β ∈ R de manera que w = αu+ βv.

Problema 5 (†). Sea A una matriz m×n con entradas reales. Demos-trar que el conjunto de todas los vectores columna u de longitud n, talesque Au = 0 es un subespacio vectorial de todos los vectores columnaRn.

6. Transformaciones lineales

Definicion y ejemplos.

Definicion 6.1. Sean V,W espacios vectoriales. Decimos que T : V →W es una transformacion lineal si para todos α ∈ R, u, v ∈ V se cumple

1. T (u+ v) = T (u) + T (v) (T abre sumas)2. T (αu) = αT (u) (T saca escalares)

o de manera equivalente

T (αu+ v) = αT (u) + T (v),

es decir, T respeta la estructura de espacio vectorial.En el caso V = W, decimos que T : V → V es un operador y

al conjunto de operadores en V lo denotamos por L(V ). En el casoW = R, decimos que T : V → R es un funcional en V.

Ejemplo 6.1. Sea a = [a1, ..., an] ∈ Rn fijo y definamos T : Rn →R, T (u) = a · u. Entonces, T es una transformacion lineal.


Ejemplo 6.2. Sea A =[aij]

una matriz de dimension n×m, donde nindica el numero de columnas y m el de renglones.

Si definimos T : Rn → Rm, T (u) = Au, entonces T es una tranforma-cion lineal. En otras palabras, cada matriz define una transformacionlineal. Lo inverso tambien es cierto.

Sea

ek =

0...1...0

el vector columna con un 1 en la k−esima posicion y ceros en el resto,y sea T : Rn → Rm una transformacion lineal. Entonces, T (ek) ∈ Rm

y digamos que es de la forma

T (ek) =

a1k...amk

.Si definimos A = [aij] ∈ Mmn entonces T (ek) = Aek, k = 1, ..., n.

Por linealidad tanto de T como de A, obtenemos que T (x) = Ax, paratodo vector x ∈ Rn.

Ejemplo 6.3. Las siguientes transformaciones son lineales:

T : C1[0, 1]→ C0[0, 1],

T (f)(x) = f ′(x).

T : C0[0, 1]→ R,

T (f) =

∫ 1

0

f(t)dt.

T : C0[0, 1]→ C1[0, 1],

T (f)(x) = C +

∫ x

0

f(t)dt,

donde x ∈ [0, 1] y C ∈ R es alguna constante.

Ejercicio muestra 1. Indique si la siguiente transformacion T : R3 →R3 es lineal y de ser ası, encuentre su representacion matricial.

(1) T

xyz

=

x+ 2yz − y

2x+ 7y − 3z

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Solucion. La prueba de que la transformacion es lineal se deja al lector.Ahora bien,

T

100

=

102

, T0

10

=

2−17

, T0

01

=

01−3

.Por lo tanto, la representacion matricial de T esta dada por

[T ] =

1 2 00 −1 12 7 −3

Operadores en Rn. Sean T, S ∈ L(Rn). La composicion TS, es decir,TS(x) = T (S(x)) es de nuevo un operador y de hecho, si B = [bij] esla matriz asociada a T como en el ejemplo 3.2 y A = [Aij] la asociadaa S, entonces la matriz asociada a TS es C = [cij] conjunto

cij =n∑k

bikakj.

Decimos que C = BA es el producto de de B con A (es este orden), yesta composicion es asociativa.

El operador de T con S suma esta definido como (T + S)(u) =T (u) + S(u), y de hecho tiene asociada la matriz[

bij + aij].

Dos operadores especiales en Rn son la transformacion cero 0(x) = 0y la identidad Id(x) = x.

Ejercicio 16 (†). Encuentre la matriz asociada a los operadores ceroe identidad.

Podemos definir la multiplicacion de operadores por escalares de lasiguiente forma. (αT )(u) = αT (u). De esta manera, con la operacionsuma entre operadores y esta multiplicacion por escalares, resulta queL(Rn) es un espacio vectorial.

Finalmente, si para P ∈ L(Rn) existe Q ∈ L(Rn), de manera quePQ = Id, decimos que P es invertible y que Q es el operador inverso deP. Tambien podemos escribir Q como P−1. De hecho, si A es la matrizasociada a P, entonces A−1 es la asociada a P−1.

Ejercicios.

Ejercicio 17. Verificar que las siguientes transformaciones son linea-les, y encontrar la representacion matricial de cada una.


1. (Proyeccion sobre el plano)

T

xyz

=

xy0

2.

T

xyz

=

x− yy + z

2x− y − z−x+ y + 2z

3.

T

xyz

=

2x− y + 3z4x− 2y + 6z−6x+ 3y − 9z

4.

T

[xy

]=

[2x− y2y − 4x

]5.

T

[xy

]=

[2x

3x− y

]6.

T

xyz

=

[2x− y + 3z6x− 3y + 9z

]7.

T

[xy

]=

2x+ y2y − xx+ 8y

8.

T

xyz

=

[1x− 3z−y + 5z

]9.

T

[xy

]=

2x+ y−4x+ 2y8x+ 4y

10.

T =

xyz

=

3x− z−y + 2z

15x− 2y − z

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Problema 6. Encuentre una expresion matematica para la transfor-macion que rota un vector en el plano, con un angulo φ en el sentidopositivo (contrario a las manecillas del reloj). Indique si esta trans-formacion es lineal y de serlo, encuentre su representacion matricial.Sugerencia: Exprese el vector en coordenadas polares.

7. Nucleo e imagen

Resumen.

Definicion 7.1. El nucleo de una transformacion lineal T : V → W,donde V y W son espacios vectoriales, es el conjunto

ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0} .La imagen de T : V → W es el conjunto

Im(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V, T (v) = w} .

Proposicion 7.1. ker(T ) < V, Im(T ) < W.

Demostracion. Si α ∈ R y u, v ∈ ker(T ), entonces

T (αu+ v) = αT (u) + T (v) (Por linealidad de T )

= α0 + 0 (Porque T (u) = T (v) = 0)

= 0

Por tanto, ker(T ) < V.Ahora, si α ∈ R y w,w′ ∈ Im(T ), entonces Existen v, v′ ∈ V tales

que T (v) = w, T (w′) = v′. Por lo cual,

αw + w′ = αT (v) + T (v′)

= T (αv + v′).

Como αv + v′ ∈ V, entonces αw + w′ ∈ W. �

Ejercicio muestra 2. Encontrar un conjunto de vectores que generenker(T ), para la tranformacion lineal T dada por (1).

Solucion. Supongamos que

T

xyz

=

x+ 2yz − y

2x+ 7y − 3z

=

000

Esto equivale a resolver el sistema de ecuacuones

x+ 2y = 0

z − y = 0

2x+ 7y − 3x = 0,


que podemos reescribir en forma matricial como1 2 0 00 −1 1 02 7 −3 0

y utilizando Gauss-Jordan, se reduce a1 2 0 0

0 1 −1 00 0 0 0

,es decir, tenemos dos ecuaciones con tres incognitas

x+ 2y = 0

y − z = 0

por lo que sustituyendo y = z = t, tenemos quexyz

=

−2ttt

= t

−211

, es decir, todos los vectores en ker(T ) son multiplos de−2

11

.De manera equivalente,

ker(T ) = gen

−211

.

Ejercicio muestra 3. Encontrar un conjunto de vectores que generenIm(T ), para la tranformacion lineal T dada por (1).

Solucion. Un vector en Im(T ) es de la forma, x+ 2yz − y

2x+ 7y − 3z

= x

102

+ y

2−17

+ z

01−3

,por lo que Im(T ) estarıa generado por los vectores

u =

102

, v =

2−17

, w =

01−3

.

18 JULIHO CASTILLO

Sin embargo, por el ejercicio anterior, w = 2u− v, y por tanto x+ 2yz − y

2x+ 7y − 3z

= xu+ yv + wz = (x+ 2z)u+ (y − z)v.

De hecho, para cualesquiera λ, µ, si escogemos una solucion de lasecuaciones las ecuaciones

λ = x+ 2z

µ = y − z,podemos escribir x+ 2y

z − y2x+ 7y − 3z

= xu+ yv + zw = λu+ µv.

Es decir,

Im(T ) = gen (u, v) = gen

102

, 2−17

.

Ejercicios.

Ejercicio 18. Encuentre un conjunto de vectores, con el mınimo nume-ro de elementos posible, que generen ker(T ) e Im(T ) para cada una delas transformaciones lineales del ejercicio 17.

8. Bases y dimension

Resumen.

Definicion 8.1. Sea V un espacio vectorial y B = {u1, ..., uk} ⊂ V.Decimos que B es unconjunto linealmente independiente si para cua-lesquiera c1, ..., ck ∈ R,

c1u1 + ...+ ckuk = 0⇒ c1 = ... = ck = 0,

es decir, la unica relacion lineal entre los elementos de B es la trivial.En otro caso, decimos que B es linealmente dependiente.

Definicion 8.2. Decimos que B ⊂ V es una base de V si:

1. V = gen (B) y2. B es linealmente independiente.

Observacion. Es decir, B es un base si cualquier v ∈ V es una combi-nacion lineal de sus elementos, no falta informacion, y ninguno de loselementos de la base es combinacion lineal de los restantes, es decir, no


sobra informacion. Una vez que tenemos una base, toda lo que necesi-tamos saber sobre el espacio vectorial se puede obtener a partir de loselementos de la base.

Proposicion 8.1. Toda base de un espacio vectorial tiene el mismonumero de elementos.

Definicion 8.3. 1. Si B = {u1, ..., un} es una base de V, decimosque n es la dimension de V y escribimos dimV = n.

2. Si T : V → W es una transformacion lineal decimos que dim(kerT )es la nulidad de T y la denotamos por nul (T ) .

3. Si T : V → W es una transformacion lineal decimos que dim(ImT )es el rango de T y la denotamos por ran (T ) .

Determinar si un conjunto forma una base de Rn puede ser bastantelaborioso. Sin embargo, las siguientes dos proposiciones, que se presen-tan sin demostracion, sirven como criterios avanzados para determinarsi un conjuntos es base.

Proposicion 8.2. Si n = dimV, cualquier conjunto B ⊂ V linealmen-te independiente con n elementos es una base de V.

Proposicion 8.3. B =

a1,1...a1,n

, ...,an,1...an,n

es un conjunto de vec-

tores linealmente independientes en Rn si y solo si∣∣∣∣∣∣a1,1 ... a1,n

......

an,1 ... an,n

∣∣∣∣∣∣Ejercicio muestra 4. Determine si

B′ =

{[10

],

[11

]}es base de R2.

Solucion. Sabemos que

B =

{[10

],

[01

]}es una base de R2. Entonces dimR2 = 2.

Pero como ∣∣∣∣1 10 1

∣∣∣∣ = 1 6= 0,

20 JULIHO CASTILLO

entonces

B′ =

{[10

],

[11

]}es un conjunto de 2 vectores linealmente independientes. Por tanto, B′

tambien es una base de R2.

Ejercicio muestra 5. Encuentre una base para kerT y otra para ImT,para la transformacion definida en el ejercicio de muestra 1. Indiquecual es la dimension de cada espacio.

Solucion. Como ya vimos en el ejercicio de muestra 2,

ker(T ) = gen

−211

.

Consideremos la ecuacion

c1

−211

= 0,

es decir −2c1c1c1

=

000

.La unica solucion es c = 0 y por tanto

B =

−2

11

es un conjunto linealmente independiente.

Por tanto, B es una base de kerT y nul (T ) = 1.De manera similar, en el ejercicio de muestra 3,

Im(T ) = gen

102

, 2−17

.


Entonces

c1

102

+ c2

2−17

=

000

⇒

c1 + c2−c2

2c1 + 7c2

=

000

⇒ c1 = c2 = 0.

Por tanto, 1

02

, 2−17

es un conjunto linealmente independiente, y por tanto una base deIm(T ). Entonces ran (T ) = 2.

Finalmente, enunciaremos una de las proposicones importantes ennuestro curso. Si T : V → W es una transformacion lineal, tenemos lssiguiente relacion entre las dimensiones de V, kerT e ImT.

Proposicion 8.4 (Teorema de la dimension).

dimV = nul (T ) + ran (T ) .

Ejercicios.

Ejercicio 19. Determine si el conjunto E es base del espacio vectorialV.

1. E =

{[10

],

[0−1

]}, V = R2,

2. E =

{[10

],

[11

]}, V = R2,

3. E =

1

00

,1

10

,1

11

, V = R3.

Ejercicio 20. Para cada una de las transformaciones lineales T : V →W, del ejercicio 17, encuentre

1. Una base de kerT,2. Una base de ImT,3. nul (T ) ,4. ran (T ) ,

y verifique la afirmacion del teorema 5.4.

22 JULIHO CASTILLO

9. Coordenadas y cambios de base.

Coordenadas. Si E = {e1, ..., en} es base de un espacio vectorial V,entonces todo vector v ∈ V se puede escribir de la forma

(2) v = v1e1 + ...+ vnen.

Esto es cierto para cualquier otro conjunto que genere V. Lo impor-tante de una base es que, debido a la independencia lineal de E, estamanera de escribir el vector es unica.

Supongamos que podemos escribir v = c1e1 + ...+ cnen. Entonces

0 = v − v= (v1e1 + ...+ vnen)− (c1e1 + ...+ cnen)

= (v1 − c1)e1 + ...+ (vn − cn)en.

Como E es linealmente independiente, entonces v1 − c1 = ... = vn −cn = 0. Es decir,

v1 = c1, ..., vn = cn.

En otras palabras, los escalares v1, ..., vn en la expresion (2) es unica.Para simplificar la expresion (2) necesitamos el concepto de orden

de una base.

Definicion 9.1. Una base ordenada (e1, ..., en) es una sucesion de vec-tores en V tal que {e1, ..., en} es una base.

Dos bases ordendas (e1, ..., en) , (f1, ..., fn) son iguales si y solo si

e1 = f1, ..., en = fn.

Observacion. Si intercambiamos un par de elementos de una base orde-nada obtendremos una base ordenada distinta, aunque como conjuntossean diferentes.

Ejemplo 9.1. ([10

],

[01

])y ([

01

],

[10

])son dos bases ordenadas distintas de R2.

Si consideramos E como la base ordenada (e1, ..., en) entonces, laexpresion (2) se puede escribir comov1...

vn

E

.


Decimos que v1, ..., vn son las cordenadas de v en la base E.

Ejemplo 9.2. Si consideramos la base ordenada

E = (

[11

],

[01

], )

de R2, entonces [uv

]=

[uv

]E

.

En cambio, si consideramos

F =

([01

],

[10

]),

entonces [uv

]=

[vu

]F

.

Definicion 9.2. La base

10...0

,

01...0

, ...,

00...1

de Rn se conoce como base canonica.

Cambios de base. Supongamos que tenemos dos basesB = (e1, ..., en)y F = (f1, .., fn) de Rn. ¿Como podemos comparar las cordenadas deun vector v ∈ Rn en ambas bases? Digamos que sus coordenadas son

v =

v1...vn

B

=

w1...wn

F

.

Para realizar la comparacion, digamos que las coordenadas de cadaelemento de la base F en la base B son

fk =

fk,1...fk,n

B

.

24 JULIHO CASTILLO

Ahora bien w1...wn

F

= w1f1 + ...+ wnfn

= w1

f1,1...f1,n

B

+ ...+ wn

fn,1...fn,n

B

=

w1f1,1 + ...+ wnfn,1...

w1f1,n + ...+ wnfn,n

B

,

y como las coordenadas en una base son unicas, tenemos quev1...vn

=

w1f1,1 + ...+ wnfn,1...

w1f1,n + ...+ wnfn,n

=

f1,1 ... f1,n...

...fn,1 ... fn,n

w1...wn

Definicion 9.3.

PF,B :=

f1,1 ... f1,n...

...fn,1 ... fn,n

se conoce como matriz de paso de F a B. Tambien decimos que es lamatriz cambio de base de F a B.

Ası como podemos cambiar las coordenadas de la base F a la baseB, podemos aplicar el mismo procedimiento para encontrar la matrizde paso de B a F . Sin embargo, al ser el procedimiento inverso, bastaencontrar la matriz inversa. En otras palabras.

Proposicion 9.1. PB,F = P−1F,B.

Observacion. El hecho de que PF,B sea invertible se debe a que estaformada por los vectores columna que son las coordenadas de cadaelemento de la base F en terminos de B. Estos vectores generen todoRn, que es equivalente a que la matriz PF,B sea invertible.

Ejercicio muestra 6. 1. Verifique que

F =

100

, 0−20

,1

01


es una base de R3.2. Si denotamos por E la base estandar de R3, encuentre las ma-

trices de paso PF,E y PE,F .

Solucion. Por la proposicion 5.2, basta verificar que F es un conjuntolinealmente independiente. Ahora bien, por la proposicion 5.3, bastaverificar que ∣∣∣∣∣∣

1 0 10 −2 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ 6= 0.

Aunque esto lo podemos hacer a mano, usaremos WxMaxima parahacer dichas cuentas. Primero introducimos la matriz, a partir de lacual calcularemos el determinante y la denotaremos por P.

(%i1) P: matrix(

[1,0,1],

[0,-2,0],

[0,0,1]

);

( %o1)

1 0 10 −2 00 0 1

Posteriormente, calculamos su determinante.

(%i2) determinant(%);

( %o2) − 2y concluimos que F es una base.Note que 1

00

, 0−20

,1

01

estan ya dados en terminos de la base canonica E y por tanto

PF,E = P.

Por la proposicion 6.1, sabemos que PE,F = P−1 y usando nueva-mente WxMaxima, calculamos esta matriz inversa.

(%i3) invert(P);

( %o3)

1 0 −10 −1

20

0 0 1

.

26 JULIHO CASTILLO

Ejercicios.

Ejercicio 21. Encuentre las matrices de paso PF,E y PE,F para lossiguientes casos.

1. E la base canonica de R2, F =

([10

],

[0−1

]),

2. E la base canonica de R2, F =

([10

],

[11

])3. E la base canonica de R3, F =

100

,1

10

,1

11

.

Ejercicio 22. Encuentre las coordenadas de los siguientes vectores v,en las bases ordendas F indicadas. Utilice el resultado en el ejercicio21.

1. v =

[−12

], F =

([10

],

[0−1

]),

2. v =

[−12

], F =

([10

],

[11

])3. v =

3−15

, F =

100

,1

10

,1

11

.

Ejercicio 23. Encuentre las coordendas de los elementos de la basecanonica de V en terminos de las bases ordenadas F indicadas. Utiliceel resultado en el ejercicio 21.

1. V = R2, F =

([10

],

[0−1

]),

2. V = R2, F =

([10

],

[11

])3. V = R3, F =

100

,1

10

,1

11

.

Teorıa espectral

10. Introduccion

Como hemos visto, hacer calculos que involucren matrices, por ejem-plo multiplicar una matriz por un vector, puede ser complicados porla cantidad de operaciones involucradas. En cambio, multiplicar porescalares es muy sencillo. ¿Podrıamos encontrar alguna manera de con-vertir las operanciones con matrices en operaciones con escalares? Eneste capıtulo trataremos de responder esta pregunta.


Definicion 10.1. Sea T : Rn → Rn una transformacion lineal y A surepresentacion matricial en la base estandar. Si λ ∈ R y v ∈ R, v 6= 0tales que

Av = λv,

decimos que λ es un valor propio y v un λ-vector propio.

Supongamos que F = (v1, ..., vn) es una base ordenada de vectorespropios de Rn, es decir,

Avk = λkvk, k = 1, ...n.

Entonces, la representacion matricial de T : Rn → Rn en la base Fes

B =

λ1 0 . . . . . . . . . 00 λ2 . . . . . . . . . 0...

.... . . . . . . . . 0

0 0 . . . λk . . . 0...

......

......

...0 . . . 0 . . . 0 λn

es decir, una matriz con los valores propios en la diagonal y ceros enotras partes.

Si expresamos un vector v ∈ Rn en esta base, tendrıa la forma

v = c1v1 + ...+ cnvn,

y aplicando la transformacion, o de manera equivalente, multiplicandopor B, obtendriamos

T (v) = c1λ1v1 + ...+ cnλnvn,

es decir, simplemente harıamos operaciones con escalares. Por estarazon, es importante estudiar los valores y vectores propios asociadosa operadores en Rn, es decir, transformaciones lineales T : Rn → Rn.Esta teorıa se conoce como espectral.

11. Valores propios

Resumen. El primer paso para desarrollar la teorıa espectral de unoperador es determinar sus valores propios. Antes, recordemos el si-guiente criterio para determinar si un operador es invertible.

Proposicion 11.1. Sea T : Rn → Rn una transformacion lineal, y Auna representacion lineal en alguna base de Rn. Las siguientes propo-siciones son equivalentes:

1. A es invertible,2. Av = 0 si y solo si v = 0,

28 JULIHO CASTILLO

3. det(A) 6= 0.

La misma proposicion se puede reescribir de la siguiente manera.

Proposicion 11.2. Sea T : Rn → Rn una transformacion lineal, y Muna representacion lineal en alguna base de Rn. Las siguientes propo-siciones son equivalentes:

1. M no es invertible,2. Existe un vector v 6= 0, tal que Mv = 0,3. det(A) = 0.

Supongamos que λ es un valor propio de A y v un λ-vector propio.Como v = Iv, entonces

Av = λv ⇔ Av = λIv ⇔ (A− λI)v = 0.

Es decir, v ∈ ker(T ) aunque v 6= 0. Esto quiere decir que A− λI no esinvertible y por tanto,

det(A− λI) = 0.

Este es el criterio que buscabamos para localizar los valores propios.

Definicion 11.1. Si A ∈Mn×n, entonces

p(λ) = (−1)n det(A− λI) = det(λI − A)

se conoce como polinomio caracterıstico de A.

Observacion. λ es valor propio de A si y solo si es raız de p(λ).

Ejercicio muestra 7. Encuentre los valores propios, de la transfor-macion lineal con representacion matricial

(3) A =

3 1 −12 2 −12 2 0

.Solucion. Primero determinamos el polinomio caracterıstico:

p(λ) = −

∣∣∣∣∣∣3− λ 1 −1

2 2− λ −12 2 −λ

∣∣∣∣∣∣= λ3 − 5λ2 + 8λ− 4

= (λ− 1)(λ− 2)2.

Los valores propios de A son las raices de p(λ) = (x− 1)(x− 2)2, esdecir,

λ1 = 1, λ2 = 2.


Podemos verificar nuestra respuesta en WxMaxima, de la siguientemanera:

Primero, introducimos la matriz.

(%i1) matrix(

[3,1,-1],

[2,2,-1],

[2,2,0]

);

( %o1)

3 1 −12 2 −12 2 0

Posteriormente, calculamos el polinomio caracterıstico. En este caso,

WxMaxima usara la definicion

p(x) = det (A− xI) .

(%i2) charpoly(%, x), expand;

( %o2) − x3 + 5x2 − 8x+ 4Finalmente, factorizamos el polinomio.

(%i8) factor(%o2);

( %o8) − (x− 2)2 (x− 1)Otra manera, mas directa, es encontrar directamenta las raices del

polinomio

(%i13) realroots(%o2);

( %o13) [x = 2, x = 1]Otra manera de obtener los valores propios es la siguiente:

(%i21) eigenvalues(A);

( %o21) [[1, 2], [1, 2]] En este caso, el primer arreglo nos dice los valo-res propios, mientras que el segundo, nos dice sus multiplicidades al-gebraicas, que es el exponente que tienen asociado en el polinomiocaracterıstico.

Ejercicios. Los ejercicios de esta seccion se pueden encontrar en [1,sec. 6.3].

Ejercicio 24. Encuentre los valores propios de las siguientes matrices.Verifique sus resultados usando WxMaxima.

1.

A =

[−2 −2−5 1

]

30 JULIHO CASTILLO

2.

A =

[2 −15 −2

]3.

A =

[3 2−5 1

]4.

A =

[4 23 3

]5.

A =

−6 −3 −252 1 82 2 7

6.

A =

1 −1 43 2 −12 1 −1

7.

A =

3 2 42 0 24 2 3

8.

A =

1 1 −2−1 2 10 1 −1

9.

A =

7 −2 −43 0 −26 −2 −3

10.

A =

−3 −7 −52 4 31 2 2

12. Vectores propios

Resumen.

Definicion 12.1. Si T : Rn → Rn es una transformacion lineal y A surepresentacion matricial, en la base estandar, y λ un valor propio deA, entonces cualquier vector v ∈ Rn que satisfaga la ecuacion

Av = λv


se conoce como λ-vector propio.Al conjunto de λ-vectores propios se le conoce como λ-espacio propio

y se denota por Eλ.

Observacion. En el caso anterior, tenemos que

Eλ = ker (A− λI) .

Ejercicio muestra 8. Encuentre el espacio propio asociado al valorpropio λ1 = 2 de la matriz A definida en (3).

Solucion. Si

v =

xyz

∈ Eλ1 ,entonces (A− 2I) v = 0, es decir,1 1 −1

2 0 −12 2 −2

xyz

=

000

,que se reduce al sistema de ecuaciones{

2x = z

z = 2y.

Escogiendo z = 2t, donde t ∈ R, obtenemosxyz

=

tt2t

= t

112

.Es decir ker(A − 2I) esta generado por el conjunto

1

12

y al

consistir de un solo vector, este es linealmente independiente, y portanto es una base. En resumen,

ker(A− 2I) =

112

.

Ejercicio 25. Encuentre el espacio propio asociado al valor propioλ2 = 1 de la matriz A definida en (3).

Solucion.

ker(A− I) =

102

.

32 JULIHO CASTILLO

Para comprobar nuestros resultados, podemos usar WxMaxima. Pri-mero, introducimos nuestra matriz.

(%i1) matrix(

[3,1,-1],

[2,2,-1],

[2,2,0]

);

( %o1)

3 1 −12 2 −12 2 0

Posteriormente, calculamos los vectores propios de la siguiente ma-

nera.

(%i2) eigenvectors(%);

( %o2) [[[1, 2], [1, 2]], [[[1, 0, 2]], [[1, 1, 2]]]]El primer arreglo [1, 2] nos dice los dos valores propios, mientras que

el segundo [1, 2] nos dice su multiplicidad algebraica. El tercer arreglo[1, 0, 2] es un vector propio de λ = 1, mientras que el ultimo [1, 1, 2] esuno asociado a λ = 2. Como explicamos anteriormente, cada uno deestos constituye una base de sus respectivos espacios propios.

Ejercicios.

Ejercicio 26. Encuentre los espacios propios de los diferentes valorespropios de las matrices dadas en el ejercicio 24.

13. Diagonalizacion

Resumen.

Definicion 13.1. A ∈ Mn se dice que es diagonalizable si existe unabase de Rn que consista de vectores propios de A.

Ejercicio muestra 9. Determine si la matriz A definida en (3) esdiagonalizable.

Solucion. Como vimos en las secciones anteriores, los valores propiosde A son λ1 = 2 y λ2 = 1, con respectivos espacio propios

ker(A− 2I) =

112

.

y

ker(A− I) =

102

.


Como cualquier otro vector propio es o bien multiplo de

112

o bien

de

102

, tendrıamos a los mas una conjuto de dos vectores propios

linealmente independientes. Sin embargo, cualquier base de R3 debetener exactamente 3 vectores propios linealmente independientes. Portanto A no es diagonalizable.

Podemos comprobar este resultado usando WxMaxima de la siguientemanera.

Primero, introducimos la matriz de manera habitual.

(%i1) A: matrix(

[3,1,-1],

[2,2,-1],

[2,2,0]

);

( %o1)

3 1 −12 2 −12 2 0

Y posteriormente usamos el comando nondiagonalizable, siempre

calculando primero los vectores propios de la matriz.

(%i4) eigenvectors(A);

( %o4) [[[1, 2], [1, 2]], [[[1, 0, 2]], [[1, 1, 2]]]]

(%i5) nondiagonalizable;

( %o5) trueSi la respuesta es true, esto quiere decir que en efecto, tal matriz no

es diagonalizable. En otro caso, obtenendremo false.

¿Porque decimos que una matriz es diagonalizable? Consideremosuna transformacion lineal T : R2 → R2, y una base

F = (v1, v2)

de valores propios. Como T (v1) = λ1v1, T (va) = λ2v2 y en terminos deesta base

v1 =

[10

]F

, v2 =

[01

]F

,

entonces

T

([10

]F

)= λ1

[10

]F

=

[λ10

]F

34 JULIHO CASTILLO

./Sketch94203650.png

Figura 1. Diagonalizacion

y de manera similar

T

([01

]F

)= λ2

[01

]F

=

[0λ2

]F

.

Entonces, la representacion matricial D de la transformacion T en labase F estara formada por los dos vectores columna, que resultan deaplicar la transformacion a cada elemento de la base, es decir,

D =

[λ1 00 λ2

].

Este mismo razonamiento, lo podemos aplicar a cualquier tranfor-macion lineal T : Rn → Rn, si podemos obtener una base de vectorespropios para su representacion matricial A (en la base estandar o dehecho, en cualquier otra base), es decir, si A es diagonalizable.

En este caso, ¿como podemos relacionar las representaciones matri-ciales de T : Rn → Rn, en la base estandar y en una base de vectorespropios? Denotemos por A a la primera y por D a la segunda, mien-tras que por V = (Rn, E) al espacio vectorial Rn en la base E estandar,mientra que V ′ = (Rn, F ) en la de valores propios. Considere el diagra-ma 1, donde P denota la matriz cambio de base PF,E. Es claro que

AP = PD,

y por tanto, multiplicando por P−1 = PE,F por la izquierda en amboslados de la ecuacion,

D = P−1AP.

En este caso, decimos que D es una matriz diagonal semejante a A.Para un repaso de cambios de base, consulte la seccion 6.


Ejercicio muestra 10. Determine si la matriz

A =

3 2 42 0 24 2 3

es diagonalizable y encuentre una matriz diagonal semejante.

Solucion. Para encontrar los vectores propios, podemos proceder co-mo en la seccion 3. Para hacer mas eficientes los calculos, usaremosWxMaxima. Primero, introducimos la matriz:

(%i1) A: matrix(

[3,2,4],

[2,0,2],

[4,2,3]

);

( %o1)

3 2 42 0 24 2 3

Despues, encontramos los valores propios:

(%i2) eigenvectors(A);

( %o2) [[[8,−1], [1, 2]], [[[1,1

2, 1]], [[1, 0,−1], [0, 1,−1

2]]]]

La salida de la ultima instruccion quiere decir que λ = 8 es un vectorpropio, de multiplicidad 1 con vector propio

v1 =

11/21

,mientras que λ1 = −1 es un vector propio, de multiplicidad 2 y portanto, los siguientes dos vectores

v2 =

10−1

, v3 =

01−1/2

son vectores propios, linealmente independientes asociados a λ2 = −1.

Por lo tanto,

P =

1 1 01/2 0 11 −1 −1/2

.Introducimos esta matriz en WxMaxima y calculamos su inversa, a la

que denotamos por Q.

36 JULIHO CASTILLO

(%i5) P: matrix(

[1,1,0],

[1/2,0,1],

[1,-1,-1/2]

);

( %o5)

1 1 012

0 11 −1 −1

2

(%i6) Q:invert(P);

( %o6)

49

29

49

59−2

9−4

9−2

989−2

9

Finalmente, realizamos el calculo P−1AP

(%i7) Q.A.P;

( %o7)

8 0 00 −1 00 0 −1

para verificar que, en efecto, la matriz resultante es diagonal, y en

su diagonal estan ordenados los valores propios de A.

Ejercicios.

Ejercicio 27. Determine si cada matriz A en el ejercicio 24 son dia-gonalizables, y en caso de serlo, encuentre

1. Una base F de vectores propios de A;2. la matriz P = PF,E cambio de base, donde E es la base estandar

del respectivo espacio vectorial;3. la matriz diagonal D semejante a A, usando la matriz cambio de

base P.

14. Proyecto final: Ecuaciones diferenciales

Teorıa. Consideremos la siguiente ecuacion diferencial

x′(t) = cx(t).

Esta ecuacion describe un modelos donde la razon de crecimiento ins-tantaneo x′ es propocional al estado del sistema, en un momento de-terminado. Aplicaciones de este modelo incluyen:

1. Crecimiento poblacional;2. decaimiento radioactivo;3. la Ley de Newton, para la temperatura de un cuerpos; y4. interes compuesto.


De hecho, si conocemos la condicion inicial, es decir, el valor delsistema en el tiempo t = 0, podemos encontrar una unica solucion alproblema.

Teorema 14.1. La unica solucion continuamente diferenciable a laecuacion diferencial

x′ = cx,

con condicion incial x(0) = x0 es

(4) x(t) = etcx0.

Es facil comprobar que (4) es un solucion derivando de manera usual;que esta sea la unica solucion con derivada continua es resultado delteorema fundamental de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Sin embargo, este modelo solo describe un sistema con una canti-dad que evoluciona con el tiempo, ¿como modelar un sistema con mascantidades?

Podemos pensar que existen cantidades x1(t), ..., xn(t) de manera quela razon de cambio de cada una sea combinacion lineal de cada una delos estados del sistema, es decir, para k = 1, ..., n:

x′k(t) = ak,1x1(t) + ...+ ak,nxn(t).

Esto es una manera de generalizar el hecho de que para una sola can-tidad, su razon de cambio instantanea sea proporcional.

De manera matricial, podemos escribir este sistema comox′1(t)...x′n(t)

=

a1,1 ... a1,n...

...an,1 ... an,n

x1(t)...xn(t)

.Si definimos

x(t) =

x1(t)...

xn(t)

x′(t) =

x′1(t)...

x′n(t)

A =

a1,1 ... a1,n...

...

an,1 ... an,n

el sistema anterior se puede reescribir como

x′(t) = Ax(t).

38 JULIHO CASTILLO

Note como se parece este sistema al de una sola variable. De hecho,ası como podemos definir ea para a ∈ R, es posible definir eA, donde Aes una matriz n × n. Para esto, necesitamos la siguiente definicion dela funcion exponencial.

Definicion 14.1.

ex =∑k≥0

xk

k!

Esta definicion tiene sentido para matrices porque Ak = A · · ·A unnumero k de veces.

Teorema 14.2. La unica solucion de la ecuacion diferencial vectorial

x′(t) = Ax(t),

para x(t) ∈ Rn para cada t ∈ R y A ∈Mn, con condicion inicial

x0 =

x1,0...xn,0

∈ Rn

es

x(t) = etAx0.

Sin embargo, calcular la n-esima potencia de una matriz puede serdemasiado complicado... excepto para matrices diagonales.

Proposicion 14.3. Si

D =

λ1 00 λ2

. . .λn

es una matriz diagonal, entonces

Dk =

λk1 00 λk2

. . .

λkn

.Demostracion. La demostracion se puede hacer por induccion. �

Supongamos que T : Rn → Rn es una tranformacion lineal, cuyarepresentacion matricial A (en la base estandar E) es diagonalizable yP es la matriz de paso de la base F de vectores propios a la base E.


Entonces si D es la matriz que representa la misma transformacion enla base F , sabemos que

A = PDP−1.

Por induccion, no es difıcil demostrar que

An = PDnP−1,

y por tanto, multiplicando por un escalar t ∈ R,

tAn = P (tDn)P−1.

Antes de continuar, recordemos que por propiedades distributivas delas matrices

R(M +N)S = RMS +RNS,

o de manera mas generalizar

∑(RMkS) = R

(∑Mk

)S.

Entonces

etA =∑k≥0

(tA)k

k!

=∑k≥0

(P (tDn)P−1)k

k!

= P

(∑k≥0

(tDn)k

k!

)P−1

= PetDP−1.

Basta entonces encontrar etD. Pero como vimos, calcular las poten-cias de D no es dificil.

40 JULIHO CASTILLO

etD =∑k≥0

1

k!(tD)k

=∑k≥0

1

k!

(tλ1)

k 00 (tλ2)

k

. . .

(tλn)k

=

∑

k≥01k!

(tλ1)k 0

0∑

k≥01k!

(tλ2)k

. . . ∑k≥0

1k!

(tλn)k

=

etλ1 00 etλ2

. . .

etλn

.¡Listo!

Ejemplos.

Ejercicio muestra 11. Resuelva el siguiente sistema de ecuacionesdiferenciales {

x′ = −xy′ = x+ 2y

con condiciones inciales

x(0) = 0, y(0) = 3.

Solucion. Rescribimos x = x1, y = x2 y podemos escribir el sistema deforma matricial, en la siguiente manera[

x′1x′2

]=

[−1 01 2

] [x1x2

].

Entonces

A =

[−1 01 2

].

Usando WxMaxima, podemos encontrar los valores y vectores propios.


(%i1) A: matrix(

[-1,0],

[1,2]

);

( %o1)

(−1 01 2

)(%i2) eigenvectors(%);

( %o2) [[[−1, 2], [1, 1]], [[[1,−1

3]], [[0, 1]]]]

Esto quiere decir que λ1 = −1 es un valor propio con vector propio[1−1

3

],

mientras que λ2 = 2 tambien lo es, con vector propio[01

].

Observacion. Como tenemos dos vectores propios en un espacio de di-mension dos, basta verificar que son linealmente independiente, parasaber que forman una base. Para comprobar que son linealmente in-dependientes, formamos una matriz que tenga como columnas a estosvectores y verificamos que esta matriz es invertible.

(%i4) P: matrix(

[1,0],

[-1/3,1]

);

( %o4)

(1 0−1

31

)(%i5) determinant(%);

( %o5) 1

Entonces, F =

([1−1

3

],

[01

])es una base de R2, de vectores propios

de A. Por tanto A es diagonalizable. Como P es la matriz de cambiode la base F a la base estandar E, usamos la siguiente identidad

D = P−1AP,

para encontrar la matriz diagonalizada D. Denotaremos a P−1 por Q.

(%i6) Q:invert(P);

( %o6)

(1 013

1

)

42 JULIHO CASTILLO

(%i7) D:Q.A.P;

( %o7)

(−1 00 2

)Entonces, sabemos que

etD =

[e−t 00 e2t

],

y podemos hallar etA con la ecuacion

etA = PetDP−1.

Podemos hacer los calculos en WxMaxima de la siguiente manera

(%i8) matrix(

[%e^(-t),0],

[0,%e^(2*t)]

);

( %o8)

(e−t 00 e2 t

)(%i9) P.%o8.Q;

( %o9)

(e−t 0

e2 t

3− e−t

3e2 t

)Es decir,

etA =

[e−t 0

e2 t

3− e−t

3e2 t

]Las condiciones inciales se pueden escribir en forma vectorial como[

03

],

y por tanto, nuestra solucion sera[e−t 0

e2 t

3− e−t

3e2 t

] [03

].

Realizamos los calculos en WxMaxima de la siguiente manera. Primerointroducimos el vector como si fuera una matriz de dos reglos y unacolumnas

(%i10) matrix(

[0],

[3]

);

( %o10)

(03

)


./pantalla.png

Figura 2. WxMaxima

y posteriormente hacemos la multiplicacion, recordando que WxMaximale asigno la etiqueta %o9 a nuestra matriz etA, y la etiqueta %o10 a nues-tro vector de condiciones inciales.

(%i11) %o9.%o10;

( %o11)

(0

3 e2 t

)Por tanto, la solucion a nuestro sistema de ecuaciones diferenciales

es [x(t)y(t)

]=

[0

3e2t

].

Proyecto final. Resuelva los siguientes sistema de ecuaciones diferen-ciales, como se hizo en el ejemplo anterior. Debe plantear de maneracorrecta todos los pasos, indicar los calculos que hizo en WxMaxima yescribiendo de manera clara sus conclusiones. El proyecto puede serelaborado por equipos de a lo mas tres personas, y debe ser entregadoen computadora el dıa del examen final.1

1. {x′1 = 2x1 + x2

x′2 = x1 + x2

con condiciones iniciales x1(0) = 1, x2(0) = 1.2.

x′ = Ax

1Para copiar el cogido que introduzca en WxMaxima, seleccione con el boton iz-quierdo de su raton, el lado izquierdo del codigo, de manera que cambie a colorazul como en la figura 2 y posteriormente presione el boton derecho, y seleccione laopcion copiar.

44 JULIHO CASTILLO

con

A =

[0 31 −2

]y condiciones iniciales

x(0) =

[31

].

3.x′ = Ax

con

A =

2 0 00 −1 00 2 −3

y condiciones iniciales

x(0) =

0−bb

.Para una revision con mas detalle de este tema y un repaso de algebra

lineal, puede consultar [3, capıtulo 3].

Referencias

[1] Grossman, S.; Algebra Lineal; McGraw Hill, 5a Edicion, 1996.[2] Hoffman, K., Kunze, R.; Linear Algebra; Prentice-Hall,1971.[3] Hirsch, M.; Smale, S.; Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear

Algebra; Academic Press, 1974.

Departamento de Ciencias Basicas, Intituto Tecnologico de OaxacaE-mail address: [email protected]

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Problemario de Álgebra Lineal