ความนาจะความนาจะเปนเปน

จดทำำโดยจดทำำโดย ครมำลยพร เออสวรรณครมำลยพร เออสวรรณกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร โรงเรยนพมำยวทยำ อำำเภอพมำย โรงเรยนพมำยวทยำ อำำเภอพมำย จงหวดนครรำชสมำจงหวดนครรำชสมำสงกดสำำนกงำนเขตพนทกำรศกษำสงกดสำำนกงำนเขตพนทกำรศกษำนครรำชสมำ เขต นครรำชสมำ เขต 77

ความนาจะเปนความนาจะเปน

จดประสงคกำรเรยนรจดประสงคกำรเรยนร1.1.หำจำำนวนวธตำงๆโดยใชกฏเกณฑเบองตนเกยวกบหำจำำนวนวธตำงๆโดยใชกฏเกณฑเบองตนเกยวกบกำรนบไดกำรนบได2.2.หำจำำนวนวธโดยใชวธกำรเรยงสบเปลยนหรอกำรจดหำจำำนวนวธโดยใชวธกำรเรยงสบเปลยนหรอกำรจดหมไดหมได3.3.หำปรภมตวอยำง เหตกำรณ จำำนวนสมำชกของหำปรภมตวอยำง เหตกำรณ จำำนวนสมำชกของปรภมตวอยำงและจำำนวนเหตกำรณไดปรภมตวอยำงและจำำนวนเหตกำรณได4.4.หำควำมนำจะเปนของเหตกำรณตำงๆทนำสนใจไดหำควำมนำจะเปนของเหตกำรณตำงๆทนำสนใจได

5.5.ใชกฏทสำำคญบำงประกำรของควำมนำจะเปนไปใชใชกฏทสำำคญบำงประกำรของควำมนำจะเปนไปใชแกปญหำไดแกปญหำได

ประกอบดวยเนอหา ตวอยาง แบบประกอบดวยเนอหา ตวอยาง แบบฝกหดพรอมเฉลยฝกหดพรอมเฉลย

ทฤษฎเบองตนเกยวทฤษฎเบองตนเกยวกบกฎเกณฑการนบกบกฎเกณฑการนบ

1.1.กฎเบองตนเกยวกบการคณกฎเบองตนเกยวกบการคณ

2.2.กฎเบองตนเกยวกบการบวกกฎเบองตนเกยวกบการบวก

ทฤษฎเกยวกบการนบทฤษฎเกยวกบการนบ

หลกการนบหลกการนบ1.1.หลกการบวก หลกการบวก ถาการทำางานหนงมวธการทำา ถาการทำางานหนงมวธการทำา kk วธ คอวธท วธ คอวธท 1 1 ถงวธท ถงวธท kk

โดยทโดยท

การทำางานวธท การทำางานวธท 1 1 มวธทำา มวธทำา nn11 วธวธ

การทำางานวธท การทำางานวธท 2 2 มวธทำา มวธทำา nn22 วธวธ

การทำางานวธท การทำางานวธท kk มวธทำา มวธทำา nnkk วธวธและวธการทำางานแตละวธแตกตางกนแลวและวธการทำางานแตละวธแตกตางกนแลว

จำานวนวธทำางานนเทากบ จำานวนวธทำางานนเทากบ nn11++nn22+….++….+nnkk วธวธ

1.หลกการคณ ถาการทำางานหนงมวธการทำา k วธ คอวธท 1 ถงวธท k โดยท

การทำางานวธท 1 มวธทำา n1 วธ

การทำางานวธท 2 มวธทำา n2 วธ

การทำางานวธท k มวธทำา nk วธและวธการทำางานแตละวธแตกตางกนแลว

จำานวนวธทำางานนเทากบ n1 .

n2 . n3 ... nk วธ

ตวอยำงท ตวอยำงท 11

1.1.หองประชมแหงหนงมประต หองประชมแหงหนงมประต 4 4 ประต เมอเขาประตใดแลวประต เมอเขาประตใดแลวหามออกประตนน จงหาจำานวนวธเขาไปแลวออกมาจากหองหามออกประตนน จงหาจำานวนวธเขาไปแลวออกมาจากหองประชมนนประชมนน

วธทำำวธทำำ ขนตอนท ขนตอนท 11 ขนตอนท ขนตอนท 22

ดงนน จำานวนวธทงหมดทจะเขาออก หองประชมคอ ดงนน จำานวนวธทงหมดทจะเขาออก หองประชมคอ 4x4x 3 = 3 = 1212

เลอกเขา 4 ประต เลอกออก 3 ประต

ตวอยำงท ตวอยำงท 22

❂ 2. 2. มกลอง มกลอง 5 5 ใบ วางเรยงกนเปนแถวตรง จะมกวธ ทจะนำาใบ วางเรยงกนเปนแถวตรง จะมกวธ ทจะนำาบอล บอล 4 4 ลกใสกลองทละ ลกใสกลองทละ 1 1 ลก ลก ((หามใสกลองซำาหามใสกลองซำา))

❂ วธทำา งาน คอ การนำาลกบอล วธทำา งาน คอ การนำาลกบอล 4 4 ลก ใสกลอง ลก ใสกลอง 5 5 ใบใบ❂ ขนตอนท ขนตอนท 1 1 บอลใบท บอลใบท 1 1 สามารถเลอกใสสามารถเลอกใส

กลองได กลองได 5 5 วธวธ❂ ((สามารถใสใบไหนกไดสามารถใสใบไหนกได))❂ ขนตอนท ขนตอนท 2 2 บอลใบท บอลใบท 2 2 สามารถเลอกใสสามารถเลอกใส

กลองได กลองได 4 4 วธวธ❂ ((เพราะวาเหลออย เพราะวาเหลออย 4 4 กลองกลอง))❂ ขนตอนท ขนตอนท 3 3 บอลใบท บอลใบท 3 3 สามารถเลอกใสสามารถเลอกใส

กลองได กลองได 3 3 วธ วธ ❂ ขนตอนท ขนตอนท 4 4 บอลใบท บอลใบท 4 4 สามารถเลอกใสสามารถเลอกใส

กลองได กลองได 2 2 วธวธ❂ ดงนน จำานวนวธทงหมดทจะนำาลกบอล ดงนน จำานวนวธทงหมดทจะนำาลกบอล 4 4 ลกไปใสกลองทลกไปใสกลองท

ละลกเทากบ ละลกเทากบ 55x4x3x2 =120 x4x3x2 =120 วธวธ

ตวอยำงท ตวอยำงท 33

3. 3. หนงสอกองหนงมหนงสอคณตศาสตรแตกตางกน หนงสอกองหนงมหนงสอคณตศาสตรแตกตางกน 5 5 เลม เลม หนงสอเคมทแตกตางกน หนงสอเคมทแตกตางกน 4 4 เลม และหนงสอภาษาไทยแตกเลม และหนงสอภาษาไทยแตกตางกน ตางกน 3 3 เลมจนหาจำานวนวธทจะหยบหนงสอ เลมจนหาจำานวนวธทจะหยบหนงสอ 1 1 เลมจากเลมจากหนงสอ กองนหนงสอ กองน

วธทำำวธทำำ การหยบหนงสอหนงเลม จากกองหนงสอนมวธการ การหยบหนงสอหนงเลม จากกองหนงสอนมวธการ 3 3 วธ คอหยบหนงสอคณตศาสตรหรอหยบหนงสอเคมหรอวธ คอหยบหนงสอคณตศาสตรหรอหยบหนงสอเคมหรอหยบหนงสอภาษาไทย เนองจากหยบหนงสอภาษาไทย เนองจาก

การหยบหนงสอคณตศาสตรมวธหยบ การหยบหนงสอคณตศาสตรมวธหยบ 5 5 วธวธ ((หยบหนงสอเลมใดเลมหนงถอวาเปน หยบหนงสอเลมใดเลมหนงถอวาเปน 1 1 วธวธ)) การหยบหนงสอเคมมวธหยบ การหยบหนงสอเคมมวธหยบ 4 4 วธวธ การหยบหนงสอ ภาษาไทยมวธหยบ การหยบหนงสอ ภาษาไทยมวธหยบ 3 3 วธวธ ดงนน วธหยบหนงสอ ดงนน วธหยบหนงสอ 1 1 เลมจากหนงสอกองนมทงหมด เลมจากหนงสอกองนมทงหมด

5+4+3 5+4+3 = = 12 12 วธวธ

ตวอยำงท ตวอยำงท 44

4. 4. มผสมครกรรมการนกเรยนอย มผสมครกรรมการนกเรยนอย 5 5 คน จะมวธเลอกประธาน คน จะมวธเลอกประธาน รองประธาน และเลขานการ ไดกวธถามอยหนงคนทไมสมครรองประธาน และเลขานการ ไดกวธถามอยหนงคนทไมสมครเปนประธานเปนประธาน

วธทำำ ขนตอนท วธทำำ ขนตอนท 11 เลอกประธานเลอกประธาน เนองจากมผสมคร เนองจากมผสมคร 5 5 คน แตมอยหนงคนทไมสมครเปนคน แตมอยหนงคนทไมสมครเปน

ประธานประธาน ดงนนดงนน เราสามารถเลอกประธานได เราสามารถเลอกประธานได 4 4 วธวธ ขนตอนท ขนตอนท 22 เลอกรองประธาน เราสามารถเลอกเลอกรองประธาน เราสามารถเลอก

ได ได 44 วธเพราะวาเหลอคนอก วธเพราะวาเหลอคนอก 4 4 คน รวมทงคนทไมสมครคน รวมทงคนทไมสมครเปนประธานดวยเปนประธานดวย

ขนตอนท ขนตอนท 33 เลอกเลอกเเลขานการเราสามารถเลอกได ลขานการเราสามารถเลอกได 3 3 วธวธ

ดงนนดงนน จำานวนวธในการเลอก ประธาน รองประธาน และ จำานวนวธในการเลอก ประธาน รองประธาน และเลขานการ เลขานการ

มทงหมด มทงหมด 4x4x3 =48 4x4x3 =48 วธวธ

ความนาจะเปนความนาจะเปน

การทดลองสมการทดลองสม

คอ การทผลลพธอาจเกดขนไดแตกตางคอ การทผลลพธอาจเกดขนไดแตกตางกน และเราไมสามารถทำานายผลลพธไดกน และเราไมสามารถทำานายผลลพธไดอยางแนนอนอยางแนนอน

เชน การทอดลกเตาลงในถวยเปนการเชน การทอดลกเตาลงในถวยเปนการทดลองสม ซงเราไมทราบผลลพธวา ลกเตา ทดลองสม ซงเราไมทราบผลลพธวา ลกเตา จะหงายขนหนาใดจะหงายขนหนาใด

ปรภมตวอยางหรอแซมเปลสเปซ ปรภมตวอยางหรอแซมเปลสเปซ ((SS))

คอ เซตของผลลพธทเกดจากการคอ เซตของผลลพธทเกดจากการทดลองสม เชน โยนเหรยญบาททดลองสม เชน โยนเหรยญบาท

3 3 ครง ปรภมตวอยางหรอแซมเปลสเปซ ครง ปรภมตวอยางหรอแซมเปลสเปซ คอคอ

{HHH,HHT,HTH,HTT,TTH,TTT,THT,THH}{HHH,HHT,HTH,HTT,TTH,TTT,THT,THH}

เหตการณ เหตการณ ((EE))

คอ สบเซตของปรภมตวอยางหรอแซมเปลคอ สบเซตของปรภมตวอยางหรอแซมเปลสเปซ เปน เซตของผลลพธทเกดจากการสเปซ เปน เซตของผลลพธทเกดจากการทดลองสมทเราสนใจทดลองสมทเราสนใจ

ให ให EE11 แ ทนเหตการณทโยนเหรยญ แ ทนเหตการณทโยนเหรยญ 1 1 บาท บาท 3 3 ครง แลวไดหว ครง แลวไดหว 2 2 ครงครง

EE11 = = {HHT,HTH,THH}{HHT,HTH,THH}

ดงนน ดงนน nn((EE11) ) == 3 3

nn((EE11) ) คอจำานวนของเหตการณทโยนคอจำานวนของเหตการณทโยนเหรยญ เหรยญ 1 1 บาท บาท 3 3 ครง แลวไดหว ครง แลวไดหว 2 2 ครง ครง

ความนาจะเปนความนาจะเปน

❂ ให ให EE เปนเหตการณใดๆเปนเหตการณใดๆ❂ nn((EE) ) แทนจำานวนสมาชกของเหตการณแทนจำานวนสมาชกของเหตการณ((EE))❂ S S เปนปรภมตวอยางหรอแซมเปลสเปซเปนปรภมตวอยางหรอแซมเปลสเปซ❂ nn((SS) ) แทนจำานวนสมาชกของแซมเปลสเปซแทนจำานวนสมาชกของแซมเปลสเปซ❂ PP((EE) ) แทนความนาจะเปนทจะเกดเหตการณ แทนความนาจะเปนทจะเกดเหตการณ EE❂ PP((EE) ) == )S(n

)E(n

สมบตควำมนำจะเปนสมบตควำมนำจะเปน

❂ 1.01.0≤≤PP≤≤11❂ 2.2.PP((SS) ) = = 11❂ 3.3.PP((EE) ) ==0 (0 (หมายถง เหตการณนไมมหมายถง เหตการณนไมม

ทางเกดขนเลยทางเกดขนเลย))❂ 4.4.PP((EE))==1 (1 (หมายถง เหตการณทเกดหมายถง เหตการณทเกด

ขนอยางแนนอนขนอยางแนนอน))❂ 5.5.PP((EE11 UE UE22))=P=P((EE11))+P+P((EE22)-)-PP((EE11

EE22))❂ 6.P6.P((E'E') ) =1-P=1-P((EE))

∩

ตวอยางท ตวอยางท 11

1.1.ในการทอดลกเตา ในการทอดลกเตา 2 2 ลกได ลกได S S คอคอ S=S={{(1(1,,1) 1) ,,(1(1,,2)2),…,,…,(1(1,,6)6) (2(2,,1)1),,(2(2,,2)2),,..........,,(2(2,,6)6) (3(3,,1)1),,(3(3,,2)2),….,….(3(3,,6)6)

(6(6,,1)1),,(6(6,,2)2),,.....(6.....(6,,6)6)}}ใหใหEE11 แทนเหตการณทอดลกเตา แทนเหตการณทอดลกเตา 2 2 ลกพรอมกนไดผลลกพรอมกนไดผล

บวกของแตมเปน บวกของแตมเปน 77ดงนน ดงนน EE11 เทากบเทากบ{{(1(1,,6)6),,(2(2,,5)5),,(3(3,,4)4),,(4(4,,3)3),,(5(5,,2)2),,

(6(6,,1)1)}}nn((EE11) ) = = 66

ตวอยางท ตวอยางท 22

กำาหนดใหกำาหนดใหEE11 และ และ EE22เปนเหตการณเปนเหตการณท ท PP((EE11))=0. 3 =0. 3

PP((EE22))=0.4=0.4และและPP((EE11 EE22))=0.1=0.1ดงดงนน นน PP((EE22 - - EE11))//เทากบเทาใดเทากบเทาใด

วธทำา วธทำา PP((EE11 EE22) ) = 0.1= 0.1

PP((EE22 - - EE11))// = 1= 1-P-P((EE22 - - EE11))

=1-[P=1-[P((EE22))--PP((EE22 EE11))]]

=1=1--[0.4[0.4--0.1] 0.1] =0.7 =0.7

∩

∩

∩

แบบฝกหดแบบฝกหด❂ 1.ถาตองการสลบตวอกษรในคำาวา mathematician จะสลบไดทงหมดกวธ เมอ❂ 1.1 ไมมเงอนไขเพมเตม 1.2อกษร a อยตดกนทง 3 ตว 1.3 อกษร a

อยตดกนเพยง 2 ตว❂ 2.มหนงสอภาษาไทยเหมอนกน 3 เลม องกฤษตางกน 2 เลม ฝรงเศสเหมอน

กน 5 เลม ถาตองการจดหนงสอทงหมดบนชนหนงสอเดยวกนจะมวธการจดกวธเมอ

❂ 2.1 หนงสอเลมใดอยทใดกได 2.2 หนงสอวชาเดยวกนตองอยตดกน❂ 2.3 หนงสอภาษาไทยตองอยตดกนทง 3 เลมแตหนงสอภาษาองกฤษอย

แยกกน ❂ 2.มนกเรยนชาย 6 คนและนกเรยนหญง 6 คนยนเรยงกนเปนวงกลมไดทงหมดก

วธ เมอให❂ 2.1 ไมมขอกำาหนดเพมเตม 2.2 ชายกบหญงยนสลบกน❂ 3.จดคน 7 คนนงรอบโตะกลม ซงในจำานวนนมหนอย นดและมดรวมอยดวยจะ

จดไดกวธทจะใหหนอยนงตดกบนดและมดเสมอ❂ 4.ในการรอยพวงมาลยเปนวงกลมพวงหนง ใชดอกไม 9 ดอกแตละดอกไม

เหมอนกนและมสขาว 2 ดอก สแดง 3 ดอกทเหลอมสไมซำากนอยากทราบวาจะไดพวงมาลยทแตกตางกนกวธเมอ

❂ 4.1 ไมมเงอนไข 4.2 สขาวอยตดกนและสแดงอยตดกน

แบบฝกหดแบบฝกหด((ตอตอ))❂ 6)กลองใบหนงมลกบอลอย 12 ลก สแดง 5 ลก ขาว 4 ลก และสนำาเงน 3 ลก

ถาหยบลกบอล 3 ลกจากกลองน จงหาจำานวนวธท ❂ 6.1ไดลกบอลสขาว 1 ลก 6.2 ไดสขาวอยางนอย 1 ลก❂ 7).จากการสำารวจใบลงทะเบยนของนกเรยน 100 คน พบวา มนกเรยน 60 คน

เลอกเรยนภาษาองกฤษ ❂ 20 คน เลอกเรยนภาษาฝรงเศส 10 คน เลอกเรยน

ภาษาเยอรมน ❂ 15 คน เลอกเรยนทงภาษาองกฤษและฝรงเศส 7 คนเลอกเรยน

ทงภาษาองกฤษและเยอรมน ❂ 3 เลอกเรยนทงภาษาฝรงเศสและเยอรมน 3 คนเลอกเรยน

ทง 3 ภาษา❂ ถาสมใบลงทะเบยนขนมา 1 ใบ จงหาความนาจะเปนทจะไดใบลงทะเบยนของ

นกเรยนทเลอกเรยนภาษาองกฤษหรอภาษาฝรงเศสหรอภาษาเยอรมน

เฉลยแบบฝกหดเฉลยแบบฝกหด❂ 1) 1.1 129,729,000 วธ 1.2 4,989,600 วธ 1.3

49,896,000 วธ❂ 2) 2.1 5,040 วธ 2.2 12 วธ 2.3

252 วธ❂ 3) 3.1 120 วธ 3.2 48 วธ 3.3

24 วธ 3.4 72 วธ❂ 4) 144 วธ❂ 5) 480 วธ❂ 6) 6.1 112 วธ 6.2 164 วธ❂ 7) 17/25