Prezentats lek

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №1

Теория систем и системный анализ – это научная дисциплина, разрабатывающая общие принципы исследования сложных объектов с учетом их системного характера, методология исследования объектов посредством представления их в качестве систем и анализа этих систем.

Теория иерархических систем – математическая теория, исследующая совместное поведение элементов многоуровневой иерархической структуры. Рассматривается «цепочка» из многих элементов, где на каждом уровне имеется только один элемент – «начальник» по отношению к элементам нижнего уровня, но «подчиненный» по отношению к верхним уровням. Каждый элемент имеет свои формализованные критерии, связанные с его местом в структуре и его интересами, причем выбор возможных действий, ограниченный некоторым числом заданных альтернатив, определяется «управляющей» информацией сверху и информацией, поступающей от следующих звеньев снизу.


ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ И СИСТЕМНОГО

АНАЛИЗА

В СОВРЕМЕННОЙ НАУКЕ

Категории систем по характеру иерархического расположения

образующих систему элементов:

1. Одноуровневые одноцелевые системы.

2. Одноуровневые многоцелевые системы.

3. Многоуровневые многоцелевые системы.

Виды систем по количеству вариантов реализации:

1. Однорежимные системы.

2. Многорежимные системы.


Классификация систем на основе их сложности:

1. Морфологические системы – такие, которые описываются при помощи сети структурных взаимосвязей.

2. Каскадные системы – показывают пути прохождения вещества и энергии (информации) в системе.

3. Системы типа действие-реакция объединяют указанные системы и показывают способ, которым структура привязана к процессу жизнедеятельности.

4. Управляющие системы – это системы, подобные указанным в п.3, в которых основные компоненты контролируются человеком.


Классификация систем на основе взаимодействия с внешней средой:

1. Изолированные – это такие системы, границы которых закрыты для экспорта и импорта вещества и энергии (информации).

2. Закрытые – это такие системы, границы которых закрыты для экспорта и импорта вещества, но открыты для энергии (или информации).

3. Открытые – обмениваются и веществом, и энергией (информацией) с внешней средой.


Классификация развивающихся экономических систем:

Экономико-

демографические системы

Межотраслевые

системы

Развивающиеся экономические

системы

Социально-экономические

системы

Технико-экономические

системы

Экономико-

политические

системы

Природно –

экологические

системы

Отраслевые

системы

Региональные

системы


Существенные характеристики, присущие всем иерархическим системам:

последовательное вертикальное расположение подсистем, составляющих данную

систему; приоритет действий или право вмешательства подсистем верхнего уровня;

зависимость действий подсистем верхнего уровня от фактического исполнения

нижними уровнями своих функций.

Полная система

Вход Выход Вмешательство Обратная связь Вход Выход Вмешательство Обратная cвязь Вход Выход

Подсистема

уровня 1


уровня n-1


уровня n


Основные виды иерархий

Введем три понятия уровней: а) уровень описания или абстрагирования; б)

уровень сложности принимаемого решения; в) организационный уровень.

Страты. Уровни описания или абстрагирования

Страта 2.

Матеметические

операции

Страта 1.

Физические

операции

Вход

Вход Выход

Выход

Страта 2.

Обработка информации и

управление

Страта 1.

Физические процессы

Страта 3.

Экономические

факторы

Вмешательство

Обратная

связь

Обратная

связь Управление

Сырье Готовая

продукция


Некоторые общие характеристики стратифицированного описания системы:

1. Выбор страт, в терминах которых описывается данная система, зависит от наблюдателя, его знания и заинтересованности в работе системы.

2. Аспекты описания функционирования системы на различных стратах, в общем случае, не связаны между собой, поэтому принципы и законы, используемые для характеристики системы на любой страте, не могут быть выведены из принципов, используемых на других стратах.

3. Существует асимметричная зависимость между условиями функционирования системы на различных стратах.

4. На каждой страте имеется свой собственный набор терминов, концепций и принципов.

5. Понимание системы возрастает при последовательном переходе от одной страты к другой: чем ниже мы опускаемся по иерархии, тем более детальным становится раскрытие системы, чем выше мы поднимаемся, тем яснее становится смысл и значение всей системы.


Многоэшелонные системы – организационные иерархии.

Процесс

Обратная связь

Обратная связь

Иерархия принятия решений

Решающий элемент

Координация

Управление


1. Планирование перевозок грузов – важнейшая задача, занимающая особое место среди других проблем планирования. Пусть используется транспорт нескольких типов, обслуживающий несколько маршрутов, причем перевозки по каждому из маршрутов заранее заданы. Известно, сколько груза может перевезти единица транспорта каждого типа на каждом из маршрутов и сколько единиц транспорта каждого типа имеется.

Пусть iju – количество транспорта i-го вида на j-м маршруте mjni ,1,,1 ; ijl –

количество груза, который может перевезти единица i-го транспорта на j-м маршруте; ia

– число единиц транспорта i-го вида; jb – количество груза, который необходимо

перевезти на j-м маршруте. Тогда условия полной перевозки груза будут иметь вид:

n

ijijij mjbul

1

.,1,

Условия использования лишь того транспорта, который имеется в наличии, имеют вид:

m

jiij niau

1

.,1,

Кроме того, имеется условие неотрицательности величин

.,1,,1,0 mjniuij

Цель при планировании перевозок грузов – обеспечить минимум затрат на перевозку, поэтому при выборе плановых решений за критерий оптимальности принимается следующий:

mn

jiijijucuJ

,

1,

min, (1.1)

где ijc – стоимость эксплуатации единицы i-го транспорта на j-м маршруте.

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №11 2. Проблемы управления запасами возникают при рассмотрении разнообразных экономических объектов. При анализе розничной торговли рассматриваются оптимальные запасы некоторого товара в магазине. Управлять запасами приходится и на производстве, при планировании работы любой производственной единицы, т. к. чрезмерно большой запас приводит к нерациональному использованию оборотных средств, а нехватка сырья или инструмента – приводит к перебоям в производстве.

Рассмотрим хранение единственного продукта, делимого на любые части.

Количество продукта на складе в момент времени t обозначим tu , при этом продукт

расходуется с постоянно заданной интенсивностью . При управлении запасами обычно

принимается следующая стратегия: выбирается уровень запаса 1u такой, что при

достижении этого уровня запаса посылается заказ на пополнение запаса в количестве 0u

. Цель исследования систем хранения запасов состоит в выборе наилучшей стратегии управления запасами. В задачах управления запасами оптимальными вариантами управления являются те из них, на которых издержки достигают наименьшего значения. Следовательно, цель управления запасами – обеспечить минимальные издержки, поэтому критерий оптимальности запаса товаров определяется функцией издержек, которая имеет вид:

min,1

0

210

dttucuccT

uJT

(1.2)

где

T – время производственного цикла;

0с – стоимость издержек, не зависящая от

объема заказа и возникающая в связи с самим фактом произведения заказа; 1с

–

стоимость издержек, пропорциональная количеству заказанного товара; 2с

– стоимость

издержек, связанная с хранением единицы товара в течение заданного времени.

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №12 3. При стратегическом планировании организации важной задачей является развитие материально-технической базы фирмы. При этом цель оптимальности процесса развития материально-технической базы фирмы можно задать следующим (критерием) функционалом [5]:

T

TVdttVJ0

2н min, (1.3)

где , – весовые коэффициенты ,0,0,1 VV ,н – неосвоенные ОПФ

(капитальные вложения) и освоенные ОПФ соответственно. Экономический смысл критерия оптимальности заключается в следующем. Минимизация первого слагаемого в выражении функционала (1.3):

T

dttVJ0

2н1

отражает требование максимальной экономии капитальных вложений. Второе слагаемое в выражении функционала (1.3)

TVJ 2

и его минимизация равносильно максимизации tV

значения ОПФ с весовым

коэффициентом

в конце планового периода T,0

.

Таким образом, в функционале (1.3) отражены два противоположных требования к процессу – экономии капиталовложений с одной стороны и увеличению ОПФ предприятия – с другой.


4. Выход на потребность в продукции, обусловленной рыночным

спросом, за минимальное время является одной из важных задач

коммерческой организации.

Пусть tPP – потребность в продукции предприятия, которая здесь

считается известной функцией времени в рассматриваемом интервале

времени.

Здесь в отличие от предыдущей задачи интервал T,0 заранее не

задан. Но задана потребность в конечной продукции как функция времени,

которой требуется достичь как можно быстрее.

Следовательно, целью данной задачи является минимальное время

достижения потребности в продукции, а критерий оптимизационной задачи

примет вид:

.min0

T

dtJ (1.4)


5. При стратегическом планировании важной задачей является распределение ресурсов между производственными подразделениями.

Пусть некоторая функция ii VЭ н отражает увеличение выпуска

продукции на i-м предприятии за счет реализации на нем капитальных

вложений в объеме iVн . Показатель ii VЭ н является критерием

эффективности капитальных вложений [5]. Пусть количество предприятий данной организации n, а заданный фонд

капитальных вложений niAVA i ,1,0 н , при этом в оптимальном плане

весь фонд капитальных вложений должен быть полностью реализован.

Предположим, что все функции ii VЭ н возрастающие, то есть

nidVdЭ ii ,1,0н , то есть эффективность реализации капитальных

вложений возрастает с увеличением их объема. Математическая модель распределения капитальных вложений между предприятиями имеет следующий вид:

.,1,0,

max,

н1

н

1н

niVAV

VЭ

i

n

ii

n

iii

(1.5)

Следовательно, цель распределения капитальных вложений между предприятиями – добиться максимума суммарной эффективности при распределении средств между подразделениями организации.


6. Как известно, процесс контроля состоит из установки стандартов (установки конкретных целей), измерения фактически достигнутых результатов и проведения корректировки в том случае, если достигнутые результаты существенно отличаются от установленных стандартов.

Отклонения от режима планового развития, вызванные изменениями внешней окружающей среды организации, характеризуются следующими величинами:

,, ннн tVtVtVtVtVtV

где символ (*) означает режим планового развития. Тогда целью процесса стабилизации планового развития организации является минимизация отклонения от режима планового развития ОПФ организации при минимальных затратах инвестиций. Критерий процесса стабилизации в этом случае примет вид:

min,0

2н

2

dttVtVJ (1.6)

где ,

– весовые коэффициенты 1,0,0

, T

–

бесконечный горизонт планирования.

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №16 7. Главная задача организации, занимающейся бизнесом – это получение определенной прибыли при

ограниченных затратах. Эта ее задача отражается в таких целях, как рентабельность и производительность. Поэтому

целевым критерием системы будет норма рентабельности организации, которая имеет вид [18]:

T

n dttVtWtUtCVW

R000

max,1

(1.7)

где dttWT

WT

0

0

1 – средняя стоимость ОбПФ, dttV

TV

T

0

0

1 – средняя стоимость ОПФ, tC – цена единичной

продукции в момент времени t, tU – валовой выпуск в натуральном измерении, tV – стоимость ОПФ в момент

времени t, tW – стоимость ОбПФ в момент времени t, T – интервал времени (например, один год), – коэффициент

амортизации ОПФ.

8. Цель оптимального развития экономики однопродуктовой макроэкономической системы – удовлетворение

потребности общества какого-либо региона в данном продукте. Поэтому целевым параметром (критерием) системы

является критерий, предусматривающий рост потребления и возможность наращивать определенный экономический

потенциал к конечному моменту времени, который может быть выражен функционалом следующего вида [5]:

.max,0

Tt TVdttPgeJ (1.8)

Здесь первое слагаемое представляет собой суммарное взвешенное потребление на промежутке [0,T],

терминальный член имеет смысл накопления производственного потенциала в конечный момент времени. Весовые

коэффициенты , говорят о приоритете, который имеет каждое из этих слагаемых. Если отдается предпочтение

потреблению, то , а если накоплению производственного потенциала, то . Подынтегральное выражение

tPge t , – дисконтированное потребление, tPg , – функция полезности, – коэффициент дисконтирования, TV –

стоимость ОПФ в момент времени T и непроизводственное потребление tP .


Логистическая функция описывается уравнением вида [6]:

,exp1

max

bta

XtX

(2.1)

где tX – численность популяции в единице объема выпуска системы в мо-

мент времени t; maxX – максимальная численность популяции; a, b – констан-

ты.

Из рис. 2.1 видно, что логи-

стическая кривая начинается в

точке aX 1max , симметрична

и имеет точку перегиба с коорди-

натами

.2,ln maxпп XXbat

Константа a определяет по-

ложение логистической кривой по

времени (сдвиг влево или вправо),

константа b – наклон кривой. Эти

константы очень легко вычисля-

ются по формулам:

0max

2

0

max 1,1

ttdt

dX

aX

ab

tX

Xa . (2.2)

X

maxX

2maxX

a

X

1

max t

0 t1 ln a/b t2

Рис. 2.1


В модели Риденура предполагается без особой строгости экспоненциальный закон роста, как общий закон технико-экономического развития. При этом считается, что степень признания какого-то нового продукта (технологии) обществом пропорциональна числу потенциальных производителей, ознакомившихся с ним:

,ALdt

dL (2.9)

где A – коэффициент пропорциональности. Коэффициент A определяется как вероятность того, что человек, впервые ознакомившись с технологией, станет потенциальным ее потребителем. Эта вероятность аппроксимируется соотношением:

max

1L

LaA , (2.10)

где a – константа. Подставляя выражение (2.10) в формулу (2.9), получим

.1max

L

LaL

dt

dL (2.11)

Решением уравнения (2.11) является логистическая функция следующего вида:

,

exp110

max

max

atL

L

LtL

(2.12)

где

00

ttLL

– начальное значение величины.

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №19 Свойства ПФ. Приведем общие свойства производственных функций.

ПФ всегда неотрицательна: 0,, tLVF . ПФ непрерывна и обращаема в нуль. Будем полагать, что функция tLVF ,, непрерывна по V и L и 0,0,,,0 tVFtLF .

ПФ – монотонно возрастающая функция по каждому из аргументов:

.0,0 L

F

V

F

ПФ – дважды дифференцируемая с убывающими темпами роста:

.0,02

2

2

2

L

F

V

F

ПФ обладает свойством аддитивности, то есть .,,, 22112121 LVFLVFLLVVF

Объединение усилий двух систем дает результаты, по крайней мере, не худшие, чем результаты каждой системы в отдельности. Условия аддитивности оказываются несправедливыми, если имеется «дефицитность» факторов производства, которые не учитываются в данной модели. ПФ обладают свойством мультипликативности, которое дает возможность отразить эффект масштаба производства. Пусть эти факторы изменяются в n раз, тогда

tLVFntnLnVF ,,,,

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №20 Характеристики ПФ.

1. Коэффициенты эластичности выхода системы по входным

ресурсам:

L

F

L

F

V

F

V

F

, .

2. Предельная норма замещения ресурсов. Под предельной нормой

замещения ресурсов понимают количество фондов, которое необходимо

дополнительно ввести при уменьшении затрат труда на единицу, если выпуск

продукции остается неизменным. Предельная норма замещения S

определяется из уравнения изокванты (линия равного выпуска продукции):

.0 dLL

FdV

V

FdX

Отсюда

VF

LF

dL

dVS

.

Формула (2.25) показывает взаимосвязь между ресурсами V, L. Знак «–

» означает, что с увеличением V, L должно убывать, чтобы обеспечить

постоянный выпуск системы.

3. Эластичность замещения системы определяется следующим

образом:

LV

S

dS

LVd .

Введем дополнительные обозначения: LVv – фондовооруженность

труда; VX – фондоотдача; LXx – производительность труда.

Тогда эластичность замещения системы определится так:

v

S

dS

dv .

Следовательно, эластичность замещения системы показывает, на

сколько процентов надо изменить фондовооруженность системы при

сохранении постоянства выпуска, чтобы предельная норма замещения

изменилась на 1%.


Общее дифференциальное уравнение для определения различных производственных функций.

,LL

FV

V

FX

где L

Fw

V

Fr

, – предельная производительность факторов

производства. Выведем формулу для эластичности замещения:

,

1

1

2

2v

vv

v

vv

v

fvf

ffvf

f

fff

fv

f

vS

vS

.

v

vv

fvf

ffvf

Это общее дифференциальное уравнение для определения ПФ. Перепишем его в более удобной форме:

.02

fffvfvf vvv


Производственная функция Леонтьева .0,0 t Из уравнения (2.30) получим:

02

fffv vv

и, следовательно, имеем два решения:

а) .const,0 0 affv

б) .,,0 1vafv

dv

f

dfffv v

Переходя к полным переменным, получим:

,)

;)

11

0

VaL

VLaLfXб

LaLfXa

то есть ., 10 aXVaXL

Найдем уравнение изокванты ПФ Леонтьева из условия X = const = X0

и получим ., 1000 aXVaXL

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №23 Производственная функция Кобба – Дугласа. Рассмотрим сначала общий

случай, когда .1,0

.0222 uu

uu

uuu

uu effefeffefe

Сокращая на ue , получим:

.012 uuu fffff

Сделаем еще одну замену переменных

,,, Pdx

dP

du

dx

dx

dP

du

dP

du

xdtuxPx u

u

С другой стороны, известно, что uuuu fxfxfx ,, .

Следовательно, выражение можно переписать так:

,01 2 PPfdx

dPPf

.0,01 PPfdx

dPf

Теперь уравнение (2.35) можно свести к полному дифференциалу, воспользовавшись методом интегрирующего множителя, предварительно записав его в следующем виде:

.01 Pxdx

dPx

Решение уравнения (2.36) будем искать в виде: 1CxxP .

Подставив значение P, будем иметь

.1 Cxxdu

dx

Рассмотрим один из возможных случаев:

.,1,0,1 11

uCeCxCxdu

dxt

Учитывая, что vuvfx ln,

, получим

,11

ln11

CvC vCeCvf

CCC

LVCL

VLCLfF

1

1

1

1

или, полагая C1 , получим функцию Кобба – Дугласа: 11 LVCX

.

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №24 Обобщение производственной функции Кобба – Дугласа, функция Солоу:

, RSLAVX

где ,,,,A – константы.

Теперь рассмотрим более сложный случай: ,t, 01

1Cxxdu

dx – это уравнение Бернулли.

,,1

1

v

dv

Cxx

dxCxx

dv

dxv

а это уравнение легко интегрируется, и решение в неявном виде будет: .1

110

11 avax

где 10 , aa – константы. Для получения ПФ подставим

LXxLVv , в

уравнение (2.41), получим:

.111

11

011

11

aL

Va

L

X

Обозначим . 11 Тогда получим:

.1

10 LaVaX

Это производственная функция с постоянной эластичностью замещения (ПЭЗ). Обобщением для ПФ ПЭЗ на случай n переменных служит производственная функция Удзавы:

,...1

2211

nn XXXAX

где n ,...,, 21 – константы,

1

1 – эластичность замещения системы.


Экзогенная модель инновационной деятельности

Инновационная деятельность проявляется в том, что на смену старой технологии приходит новая. Технология описывается производственной функцией системы, следовательно, можно выразить ИД сменой производственных функций. В простейшем случае эффект от ИД можно выразить, введя явную зависимость ПФ от времени:

.0,,, dtdXtLVFX

Здесь учитывается фактический тренд ПФ. Учитываемая таким образом инновационная деятельность называется экзогенной.

Нейтральная экзогенная модель ИД. Наряду с воздействием ИД на систему в целом, может быть выдвинут ряд гипотез относительно ее воздействия на переменные:

v

vv

fvf

ffvfv

dvdf

fS

dv

dfvfw

dv

dfr

,,, .

Модель ИД называется

-нейтральной, если существует гладкая функция, удовлетворяющая уравнению .0,,,,, Swrvx


Нейтральная модель ИД по Хиксу. Гипотеза: при фиксированной

фондовооруженности const LVv предельная норма замещения constS .

vgtTtvf ,

или, переходя от относительных переменных к полным, получим LVGtTtLVF ,,, .

Нейтральная модель ИД по Харроду. Гипотеза: при

фиксированной фондоотдаче (эффективности капиталовложений) величина предельной производительности основных фондов (фондоемкость) остается постоянной.

Переходя к полным переменным и обозначая 1q через g, получим

VTLGFL

V

V

TLgf

L

V

V

TLqf ,,,1

.

Нейтральная модель ИД по Харроду является трудосберегающей. Нейтральная модель ИД по Солоу. Гипотеза: производительность труда постоянна при постоянстве предельной производительности живой силы:

,const,const, dL

dFwf

L

Xtvx

или const,const, vfvfwf

Обозначая 1q

через g , получим .,, LtVTGFvTgvf

Нейтральная модель ИД по Солоу является капиталосберегающей.


Эндогенная модель инновационной деятельности

.0

dtttdt

dX XL

L

XV

V

X

Уравнение получило название производственный функционал. Задача моделирования эндогенной ИД сводится к вычислению этого производственного функционала.

Для вычисления интеграла необходимо задаться типом нейтральности эндогенной ИД, действующей на систему. Рассмотрим два случая:

XX ; (2.58)

.VV

XXX

(2.59)

Тип нейтральности (2.58) определяет эндогенную ИД, нейтральную по Хиксу, а тип (2.69) – ИД, нейтральную по Харроду.


Моделирование технико-экономических систем Моделирование простого производственного объекта

Рассмотрим производственный объект (ПО), производящий однотипную продукцию, на вход которого поступают основные (ОПФ) и оборотные производственные фонды (ОбПФ), а выходом является готовая продукция в натуральном или денежном выражении.

Производственный объект, выпуск которого измеряется одной скалярной функцией, а вход двумя скалярными функциями, называется простым производственным объектом.

Vвн V Y

Wвн W X

U

VTос

1

WTос

1

VD

1

WD

1

Vm

1

Wm

1 ОМ


В соответствии с функционально-структурной схемой движение в процессе производства ОПФ и ОбПФ и выпуск готовой продукции можно записать так:

,,

,,1

,,0,,1

00вн

ос

00вн

ос

tmtVtYtmtWtX

WtWtWT

tWdt

tdW

TtVtVtVT

tVdt

tdV

VW

tW

W

tV

V

,1 tYtXtU

,при0

,при1

tYtX

tYtX

где WV , – коэффициенты выбытия ОПФ и ОбПФ;

WV TT осос , – время

освоения неосвоенных ОПФ и ОбПФ отрасли; T

– горизонт планирования.

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №30 Моделирование сложного производственного объекта

Vн I

Vвн

U Z P Wвн Wн Т

БЗV

БЗW

Производство

RU

RZ

Vн+Vвн 1Y

1X 1U

U

nY

Wн+Wвн nX

nU

Vb1

Vnb

VD 1

1

VnD

1

1НЭ

Wb1

Wnb

WnD

1

1С

nC

WD 1

1

nНЭ

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №31 Математическая модель отрасли с учетом структур ее подразделений:

,,1,,

,,0,,1,,

00внн

00внн

niXtXtWtWbtXdt

tdX

TtniYtYtVtVbtYdt

tdY

itiWii

Wi

i

itiVii

Vi

i

,1 tYtXtU iii

.1

n

iii tUCtU

Математическая модель замкнутого производственного объекта в матричной форме:

,,

,,

00внн

00внн

XtXtWtWBtXdt

tdX

YtYtVtVBtYdt

tdY

t

WW

t

VV

,1 tYtXtU

,tCUtU

,н tUatW

,1н tUadtV

.11 tUadtP

Эти уравнения получены без учета запаздывания в освоении ОПФ и

ОбПФ, т. е. когда tTtWtItV нн ,

.


Моделирование запаздывания при освоении капитальных вложений и производственных затрат

Математическую модель замкнутого производственного объекта с учетом инерционного запаздывания ввода основных фондов и процесса производства в следующем виде:

,,

,,

,,

,,

н00ннн

0н0ннн

00н

00н

WtWtWtTdt

tdW

VtVtVtIdt

tdV

XtXtWBtXdt

tdX

YtYtVBtYdt

tdY

t

t

t

WW

t

VV

,1 tYtXtU

,при0

,при1

tYtX

tYtX

,tCUtU

,1

,

tUadtI

tUatT

,11 tUadtP

где .1,1 инин


Моделирование многоотраслевой экономики

Математическую модель в матричной форме замкнутой многоотраслевой экономики:

,,1,,

,,1,,

0внн

0внн

0

0

siXtXtWtWBtXdt

tdX

siYtYtVtVBtYdt

tdY

ittiii

W

ii

W

ii

ittiii

V

ii

V

ii

,tUCtU iii ,,1,1 sitYtXtU iii

,,1,1

н sitUatWs

j

jiji

.,1,

,,1,

111

11н

sitUatUdtUatUtP

sitUatUdtV

s

l

ljlj

s

jij

s

j

jijii

s

l

ljlj

s

jiji

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №34 Пример. Рассмотрим вышеизложенный подход к моделированию на примере двухпродуктовой модели народного хозяйства.

Э К О Н О М И К А

Vн21

Vн11 ОТРАСЛЬ 1

V1вн Y1 U1 Z1 V1

W1вн X1 P1 Wн1

Wн11

Wн12

Vн12 ОТРАСЛЬ 2 Vн22

V2вн

U2 Z2 V2 W2вн X2 P2 Wн2

Wн22

Wн21

ОПФ1

ОбПФ1

RU1

RZ1

RV1

RW1

ОПФ2

ОбПФ2

RU2

RZ2

RV2

RW2

ОМ1

ОМ2

Рис. 2.12


Математическая модель в матричной форме замкнутой двухотраслевой экономики:

,2,1,,

,2,1,,

0внн

0внн

0

0

iXtXtWtWBtXdt

tdX

iYtYtVtVBtYdt

tdY

ittiii

W

ii

W

ii

ittiii

V

ii

V

ii

,2,1,1 itYtXtU iii

,при0

,при1

tYtX

tYtX

ii

ii

,2,1, itUCtU iii

,

,

2221212н

2121111н

tUatUatW

tUatUatW

,11

,11

1212211212122122222н

2121122121211211111н

tUadadtUadadtV

tUadadtUadadtV

.1111

,1111

1112122212122122222

2221211121211211111

tUaddatUaddatP

tUaddatUaddatP


Динамическое моделирование экономической системы с учетом деятельности инновационного объекта

Рассмотрим производственный объект (ПО), производящий однотипную продукцию, на вход которого поступают основные (ОПФ) и оборотные производственные фонды (ОбПФ), а выходом является готовая продукция в натуральном или денежном выражении. Зададим механизм воздействия ИД на производственный объект в виде обратной связи с помощью структурно-функциональной блок-схемы:

Величины tVвн и

tWвн являются внешними поступлениями ОПФ и

ОбПФ в производственный объект, например, за счет получения банковского

кредита. Величина tU

– валовой выпуск (готовая продукция) подразделения отрасли в стоимостном или натуральном выражении .1 tYtXtU

Величина tu

– управляющее воздействие ИД на ПО, которое является выходной величиной СКБ ,tUttu

Vвн Wвн U(t)

V(t) W(t)

u(t)

СКБ

ПО


Модель ПО с обратной связью по ИД:

,,

,,0,,

00

00

XtXtutXdt

tdX

TtYtYtutYdt

tdY

t

WW

t

VV

,, tXttutYttu WWVV ,1 tYtXtU

,при0

,при1

tYtX

tYtX

или, исключая управления,

,,

,,0,,

00

00

XtXtXtdt

tdX

TtYtYtYtdt

tdY

t

WW

t

VV

.1 tYtXtU


Инновационная деятельность увеличивает эффективность использования внешних поступлений как основных, так и оборотных производственных фондов:

,,

,,0,,

00вн

00вн

XtXtwtutXdt

tdX

TtYtYtvtutYdt

tdY

t

WW

t

VV

,1 tYtXtU

где WV TtWtwTtVtv освнвносвнвн , – потоки внешних поступлений ОПФ

и ОбПФ; twttwtvttv WVвнвнвнвн , ;

WV TT осос , – время освоения

неосвоенных ОПФ и ОбПФ отрасли.

Vвн Y

Vu

U

Wu

Wвн

X

VD

1

WD

1

t

1

V

V

T

t

ос

W

W

T

t

ос


В частном случае, когда величины внешних поступлений ОПФ и ОбПФ и обобщенные показатели инновационной деятельности постоянны и

являются известными величинами ( constвн V и constвн W , constV и

constW ), система уравнений примет вид:

.,exp

,,0,,exp

00вн

0ос

00вн

0ос

XtXtWmT

ttX

dt

tdX

TtYtYtVmT

ttY

dt

tdY

tWW

WWW

tVV

VVV

,1 tYtXtU

,при0

,при1

tYtX

tYtX

Аналитические зависимости мощности и выпуска ПО с учетом ИД

СКБ:

,expexpexp

,,0,expexpexp

0ос

вн0

0ос

вн0

ttmT

WtXtX

TtttmT

VtYtY

WWW

WWW

WW

VVV

VVV

VV

,1 tYtXtU

,при0

,при1

tYtX

tYtX

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №40 Структурно-функциональная динамическая модель макроэкономической системы с учетом инноваций

Исходя из классических представлений теории управления, предлагается новая функционально-динамическая модель, в которой управляющая роль инновационной деятельности в развитии макроэкономической системы учитывается с помощью механизма обратных связей. При этом новая функционально-динамическая модель развития системы описывается нелинейными дифференциальными уравнениями эволюционного типа.

Аналитическое описание структурно-функциональной динамической модели:

.,

,,

,,

0tWFttWF

tXtWt

ttWFtX

W1

W2 X(t) Wm

t

,WF

WX ,


КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ РАЗВИВАЮЩИХСЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Исследование устойчивости развивающихся систем Рассмотрим развивающуюся экономическую систему, описываемую дифференциальными нелинейными

уравнениями второго порядка следующего вида [6]:

,2,1, iXfdt

dXi

i

где 2,1if i – непрерывные функции, определяемые в некоторой области R

двухмерного евклидова пространства и имеющие в этой области

производные порядка не ниже первого. Состояние системы в каждый момент

времени определяется парой значений неизвестных 21, XX

.

Под устойчивостью системы понимается свойство системы

возвращаться к состоянию установившегося равновесия после устранения

возмущения, нарушившего указанное равновесие.


В вопросах суждения об устойчивости развивающихся систем имеют большое практическое значение общие теоремы устойчивости, сформулированные А.М. Ляпуновым:

1. Нелинейная система устойчива в «малом», то есть при малых начальных отклонениях, если отрицательны все вещественные части корней характеристического уравнения системы, составленного для ее линейного приближения.

2. Нелинейная система неустойчива в «малом», если хотя бы одна вещественная часть корня характеристического уравнения ее линейного приближения положительна.

При наличии чисто мнимых корней указанного уравнения вопрос об устойчивости системы требует в каждом случае дополнительного исследования.


2 2

1 1

а б


Запишем теперь аналитические выражения для различных типов особых точек:

«фокус» ( 21, – комплексные величины) ,042

«центр» ( 21, – чисто мнимые величины)

,, 00

«седло» ( 21 , – вещественные величины различных знаков)

,, 040 2

«узел» ( 21, – вещественные величины одного знака)

., 040 2

Если коэффициенты линейного оператора L зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра

будут соответственно изменяться и

. При изменении соотношения между и

происходит изменение фазового

портрета системы.

2

1

v

u

2Z

1Z

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №45 Анализ устойчивости макросистем

с учетом инновационной деятельности Рассмотрим двухмерную макроструктуру, которая хорошо моделирует взаимодействие двух смежных подотраслей через ИД: разработку и добычу газа (нефти) и транспорт и распределение газа (нефти). Уравнения, описывающие такую макроэкономическую структуру:

,

,

2121222222

2

2112211111

1

XXXXdt

dX

XXXXdt

dX

где

,11

,11 211211

111121

211212

22122

211212

221212

211211

11111

aaC

FCa

aaC

FC

aaC

FCa

aaC

FC

,

1

1,

1

,1

,1

1

211212

22

211211

2121

211212

1212

211211

11

aaCaaC

a

aaC

a

aaC

,2,1,21

iL

Lb

V

Vb

i

ii

i

iii


Найдем состояния равновесия двухмерной макроструктуры из условия

равенства нулю левых частей уравнений, то есть ( 2,1,0

iX i ):

1) ;0,0 2010 XX

2) ;,022

22010

XX

3) ;0, 2011

110 XX

4) .,21122211

11221120

21122211

22112210

XX


1) .0,0 2010 XX

В этом случае ,, 2121

42

1 22,1

откуда ., 2211

Если 0,0 21 , то имеем корни вещественные, одного знака и,

следовательно, это состояние равновесия представляет собой неустойчивый «узел». Физически это означает, что система не может находиться при нулевом выпуске и при малейших изменениях параметров обязательно наблюдается интенсивный рост выпуска как в первой, так и во второй подотрасли.


2) .,022

22010

XX

Для этого случая

,,22

212122

22

2121

., 222212211

Здесь имеем критическую точку 01 при .22

2121

При

22

2121

система будет устойчива, а состояние равновесия представляет

собой устойчивый «узел». При 22

2121

состояние равновесия

представляет собой особую точку типа «седло», которое всегда неустойчиво.


3) .0, 2011

110 XX

В этом случае

,,11

121211

11

1212

., 121121121

Здесь имеем критическую точку 01 при 112112 и система в

ней нейтрально устойчива. При 112112 система будет устойчива, а

состояние равновесия представляет собой устойчивый «узел». При 112112 состояние равновесия представляет собой особую точку типа

«седло», которое всегда неустойчиво. Как во втором, так и в третьем случае критическая точка является точкой перехода из устойчивого «узла» к неустойчивому «седлу», и наоборот.


4) .,21122211

11221120

21122211

22112210

XX

В этом случае

,21122211

12221122111221

,.21122211

122221112211

.2

2

21122211

122221112211

2

21122211

12221122111221

21122211

122211221112212,1

Если подкоренное выражение положительно, то состояние равновесия будет представлять собой устойчивый «узел», при изменении знака подкоренного выражения состояние равновесия превращается в устойчивый «фокус». В критической точке, когда подкоренное выражение равно нулю, система перескакивает из устойчивого «фокуса» в устойчивый «узел» или наоборот.


Для проведения исследований устойчивости макроструктуры необходимо рассмотреть конкретный вариант зависимостей выпусков макросистем от агрегированных ресурсов и обобщенного показателя ИД. Рассмотрим модель взаимодействия ИД и производства в виде модифицированной функции типа Кобба – Дугласа:

,2,1,exp0 itLVaX iiiiiii

где 2,1, iii – эластичность выпуска по соответствующему ресурсу i-й

макросистемы

.2,1,,

i

L

X

X

L

V

X

X

V

i

i

i

ii

i

i

i

ii

Для первых трех состояний равновесия макроструктуры легко определить время попадания системы в критическую точку. В первом случае из условия равенства нулю одного или двух корней характеристического уравнения получим:

2121

12кр

1

a

at

или ,

1

1212

21кр

a

at

во втором случае

1212212121

212112кр

11

aaa

aaat

или ,

1

1212

21кр

a

at

в третьем случае

2121121212

121221кр

11

aaa

aaat

или ,

1

2121

12кр

a

at

и в четвертом случае

1212212121

212112кр

11

aaa

aaat

или

,11

2121121212

121221кр

aaa

aaat

при этом должно выполняться условие .12112 aa


Анализ влияния инноваций из смежных подотраслей на устойчивость их взаимного функционирования. Для проведения исследований устойчивости и прогнозирования возникновения кризисных ситуаций необходима определенная информация по двум подотраслям – газодобывающей и газотранспортной, которая сведена в табл. 1 и 2.

Таблица 1 Газодобывающая подотрасль

Годы Основные фонды V1, млн руб.

Численность работающих L1, тыс. чел.

Выпуск X1, млрд м

3

1990 29439 24,573 785 1995 35929 26,974 953

Таблица 2

Газотранспортная подотрасль Годы Основные фонды

V2, млн руб. Численность работающих

L2, тыс. чел. Выпуск

X2, млрд м3 км

1990 65280 73,719 2011155 1995 83200 80,920 2638426

Предполагаем, что коэффициенты 2,1,, jiiji

медленно

изменяются во времени и могут привести макроэкономическую структуру к критической границе.

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №53 Задавая экспертным путем ijb весовые коэффициенты, которые

определяют значимость различных первичных показателей ИД: ,55,0,45,0,55,0,45,0 22211211 bbbb

определим 2,1ii – средневзвешенные темпы роста ресурсов на входе i-й макросистемы по формулам:

,2,1,21

iL

Lb

V

Vb

i

ii

i

iii

Так как i – обобщенный показатель инновационной деятельности – в

i-й макросистеме определяется по формуле

2

1

,2,1,j

i

j

j

iji iX

Xa

изменяя коэффициенты ija той доли выпуска соответствующей

макросистемы, которая идет на формирование ИД в связанной с ней смежной

макросистеме в диапазоне (0< ija<1) можно построить границу критической

области.


12a 1,0 21a

0,9 0,9 0,893 0,8 0,8 0,7 0,7 Область 0,6 устойчивости 0,6 Область 0,5 0,5 устойчивости 0,4 0,4 0,3 0,3 Область Область 0,2 неустойчивости 0,2 неустойчивости 0,1 0,1

крt крt

0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70


Сбалансированный рост в однопродуктовой макроэкономической системе

Рассмотрим однопродуктовую модель развития региона или отрасли. Взаимосвязь производства и потребления, а также динамику таких экзогенных факторов, как рабочая сила и основные производственные фонды, можно отразить с помощью моделей агрегированных систем. Наиболее простая модель взаимодействия между производством и потреблением предложена Ф. Рамсеем [6]. Уравнения модифицированной модели можно записать в следующем виде:

,0,

,exp,,,

,,

0н

0

н

VVtqVtVtV

tLtLtLVFtX

tPtVtZtZtaXtX

V


Другая форма уравнения модели:

.0,,1 0vvtvfaqdtvtv V

Под сбалансированным ростом понимается такой процесс экономического развития, при котором технико-экономические показатели растут с постоянным темпом. Оказывается, что темпы роста этих показателей не только постоянны, но и равны. Найдем стационарные (равновесные) точки системы из условия

,,1,0 vtvfaqdtv V

откуда получаем два искомых решения 0tv

, vtv . Очевидно, точка

v существует не всегда. Действительно, при

,0v ,,1 vtvfaqd V ,0v ,,1 vtvfaqd V

точка v

отсутствует.


Рассмотрим случай, когда возможно нетривиальное решение. Из рис. 3.6 видно, что для всех

точек vv0 справедливо

неравенство ,,1 vtvfaqd V

то есть

,0,1

vtvfaqdtv V

следовательно, tv будет непрерывно расти во времени. В момент времени vtv этот рост прекратится.

При vtv выражение

,0,1

vtvfaqdtv V

поэтому опять v будет уменьшаться до тех пор, пока не достигнет величины v. Причем малые случайные возмущения не приводят к существенным

отклонениям от v

. Это означает, что равновесная точка vtv

устойчива.

x

vV

tvfaqd ,1

v

v

Рис. 3.6


Таким образом, если vtv , то получаем:

.exp,11

,exp,11

,exp,11

,exp,,

,exp

0

0н

0

0

0

tLtvfatXatZ

tLtvfadtPtXatV

tLtvfadtLtptP

tLtvftLtvftX

tLvtLtvtV

Такую ситуацию будем называть режимом сбалансированного роста. Режим сбалансированного роста обладает тем свойством, что к нему сходятся все траектории модели при постоянной доле капиталовложений d .


АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Исследование оптимального развития однопродуктовой макромодели экономической системы

Рассмотрим экономику, модель которой описывается следующими уравнениями:

.0

,,11

0vv

tvfauqtvtv

Ограничение на управление du : ,u 10

а ограничения на ОПФ заменим ограничениями на фондовооруженность: .з tvtv

Задача оптимизации данной экономики состоит в том, чтобы найти такое управление процессом развития, которое обеспечило бы наибольшее среднедушевое потребление на рассматриваемом интервале времени [0,T] с учетом дисконтирования потребления, то есть

T

dtttL

tPJ

0

.exp


v

0v

0v

t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

u 1,0 0,8442 0,5

t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


Однопродуктовая макросистема. Пусть управляемая система представляет собой экономику региона или отрасли, моделируемую с помощью однопродуктовой модели, то есть процесс экономического развития задается уравнением

,0

,,1

0vv

tptvfaqtvtv

где tp – управляющая функция.

Допустимым управлением назовем любую кусочно-непрерывную

функцию tp , которая удовлетворяет уравнению и граничному условию .,0,,110 Tttvfadtp


Теперь надо уточнить понятие оптимальности. Очевидно, критериев оптимальности может быть множество. Рассмотрим наиболее общий критерий – функционал благосостояния системы в виде:

.exp0

dtttpgJT

Задача оптимизации состоит в выборе такого управления tp в

заданном интервале времени, чтобы соответствующее ему решение уравнения доставляло максимум функционалу. В случае конечного горизонта планирования должны выполняться

условия на конце траектории 1vTv . Для бесконечного горизонта

планирования интеграл благосостояния может оказаться расходящимся, поэтому необходимо задавать ограничения на начальные условия

,0 0 vvv

то есть начальная капиталовооруженность должна быть меньше предельно достижимой.


Двухпродуктовая макросистема. Наряду с однопродуктовой моделью можно построить и многопродуктовые. Рассмотрим для примера двухпродуктовую модель. Пусть имеются различные виды основных производственных фондов и однородный труд. Тогда максимально возможное потребление по аналогии можно записать в виде ПФ:

,,,,, 2121 нн VVVVLtP

где ,, 22221111 VVVqVVVq нн

11 нVq – часть потока выпуска,

которая идет на увеличение ОПФ типа 1, 22 нVq – часть потока выпуска,

которая идет на увеличение ОПФ типа 2.

Предполагая, что tP

– однородная функция, и взяв ее удельное значение, получим

.,,, н2н121 vvvvtv

Модель развития двухпродуктовой экономики имеет вид

,0,0

,,

202101

2н222

1н111

vvvv

vvqdt

dvvvq

dt

dv

где 2,1,нн jLVtv jj – управляющие функции.


Введем, как и ранее, критерий – функционал благосостояния системы в виде:

.,exp,,, 21

0

н2н121 TvTvGdttvvvvgJT

Тогда задачу оптимизации можно сформулировать так: среди

допустимых управлений 2,1, jv jн , найти такое, чтобы соответствующее

ему решение системы уравнений доставляло максимум функционалу. Для решения поставленной задачи воспользуемся принципом максимума. Функция Гамильтона в этом случае будет

,,,,exp 2н2221н111н2н121 vvqbvvqbvvvvgtH

где .exp,exp 2211 ttbtttbt

Оптимальное управление определим так:

,0,0н2н1

v

H

v

H


Вводя эластичность замещения c функции полезности, получим:

.

1

,1

2н

2н

2н

2

1н

1н

1н

1

2

1

tpdtdq

pdt

dp

tpdtdq

pdt

dp

v

v

v

v

v

v

v

v

Сопоставляя два уравнения, видим

.

н2

н2

н2

2

н1

н1

н1

1 21

v

v

v

v

v

v

v

v dtdqdtdq

Это и есть основное условие эффективности.


Оптимальное управление запасами товаров и сырья

Рассмотрим хранение единственного продукта, делимого на любые части.

Количество продукта на складе в момент времени t обозначим tu , при этом

продукт расходуется с постоянно заданной интенсивностью . При

управлении запасами обычно принимается следующая стратегия: выбирается

уровень запаса 1u такой, что при достижении этого уровня запаса посылается

заказ на пополнение запаса в количестве 0u . Пусть заказ выполняется через

некоторый заранее известный промежуток времени 0 (рис. 4.2).

Тогда по истечении отрезка

времени продолжительностью

после выполнения заказа уровень

запасов увеличится на величину

02 uuu . Запишем уравнение

для запаса tu , полагая, что в

начальный момент времени запас

был равен 2u :

tnututu 2 ,

где tn – полное число поставок

за период t,0 .

tu

2u

1u

0u

T t

Рис. 4.2


Обозначим через 01 uuu потребление товара за период между

моментом проведения заказа и моментом получения заказанного количества

товаров. Поскольку интенсивность потребления постоянна и равна , то

u . Поэтому в момент получения заказанного товара его количество

достигает на складе величины 2u , которая подсчитывается по формуле:

uuuu 12 . Будем для определенности считать, что в начальный момент

времени уровень запаса равнялся 2u . Тогда уровень запаса товара достигнет

первый раз величины 1u в момент , определяемый соотношением

12 uu . В момент подается заказ, который удовлетворяется через

промежуток времени , т. е. tu становится равным 2u и все повторяется

сначала.

Число tn легко определить, исходя из количества полных циклов за

период времени t,0 , т. е. Tttn , где обозначает целую часть числа.

При этом время производственного цикла

.02 uuuT (4.53)

Поэтому

. utTttn (4.54)


Таким образом, получаем, что количество запасов в момент времени t

описывается соотношением

.0 ututuutu (4.55)

Критерий оптимальности запаса товаров определяется функцией

издержек, которая имеет вид:

,1

0

210

dttucuccT

uJT

(4.56)

где 0с – стоимость издержек, не зависящая от объема заказа и возникающая в

связи с самим фактом произведения заказа; 1с – стоимость издержек,

пропорциональная количеству заказанного товара; 2с – стоимость издержек,

связанная с хранением единицы товара в течение заданного времени.


4.4. Планирование оптимального развития основных фондов предприятия

Уравнение материального баланса ОПФ будет иметь вид [4]:

.,0,н TttqVtV

dt

tdV V (4.82)

Начальное значение ОПФ будем считать заданным

.0,00

tVVtV

t (4.83)

Следовательно, tV описывает состояние процесса развития ОПФ,

а функцию tqVtu н будем считать управлением.

Критерий оптимальности:

T

TVdttuJ0

2 min, (4.84)

где , – весовые коэффициенты .0,0,1

Ставится следующая задача: среди всех допустимых управлений tu

найти такое, чтобы функционал (4.84) достигал наименьшего значения с учетом

связей (4.82), (4.83).

Введем функцию Гамильтона

,2 tutVttuH V (4.85)

где t – множитель Лагранжа, который определяется из сопряженной

системы

.,

Tt

V tttV

H

dt

td (4.86)

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №70 Так как на управление ограничения отсутствуют, оптимальное

управление можно определить из условия

.2

1,0 ttqItu

u

H

(4.87)

Для получения уравнения оптимальной траектории развития ОПФ фирмы

подставим в (4.82) оптимальное управление (4.87) и с учетом сопряженной

системы (4.86) получим

,,0,,

2

100

TtVtVttVdt

tdVt

V

Tt

V ttdt

td, (4.88)

Однако эту задачу можно разрешить аналитическим путем, так как

второе уравнение системы (4.88) содержит только t и может быть

проинтегрировано независимо от первого уравнения. Интегрируя его, получим

,exp1 tCt (4.89)

где 1C – постоянная интегрирования, которая определяется из условия

,exp,exp 11 TCTC VV

откуда получим

.exp Ttt V (4.90)


Теперь подставим решение (4.90) в уравнение (4.88), получим

дифференциальное уравнение относительно tV :

,,0,,exp

200

TtVtVTttVdt

tdVt

V

(4.91)

Education

Prezentats lek