Matrices

Curso: Pre-Cálculo

Francisco J. Castro Rosario

Karla M. Márquez

4 de mayo de 2012

12a1

Matriz

¿ Que es una matriz?

• Es un arreglo rectangular de números escritos en paréntesis cuadrado, usando filas y columnas.

• Ejemplo:

• A cada número en una matriz se le llama elemento de una matriz.

64

31A

Filas

Columnas

Matriz

• El número de filas y columnas en una matriz se denomina dimensión, si esta tiene el mismo número de filas y columnas se dice que es de orden 2,3,4….

• La matriz A es de tamaño 2x2 ya que tiene dos filas y 2 columnas.

• A esta matriz se le llama matriz cuadrada por la misma cantidad de filas y columnas.

Tipos de matrices

• Matriz Nula- todos sus elementos son cero.

Ejemplo:

• Matriz de Fila- sólo tiene una fila.

Ejemplo:

000

000A

812B

Tipos de matrices:

• Matriz de Columna- sólo tiene una columna.

Ejemplo:

• Matriz Cuadrada - tiene el mismo número de filas y columnas.

Ejemplo:

2

3

1

C

212

329

403

D

Notación de la posición en los elementos de la matriz

• La posición de un elemento en una matriz es el renglón y columna que contiene al elemento. Esto se indica usando notación con doble subíndice aij donde i es el renglón y j es la columna que contiene al elemento aij

• Ej: a₁₁ = 3 a₁₂ = 0

a₂₁ = 8 a₂₂ = 448

03A

Matriz aumentada

• Está formada por dos matrices, separadas por una línea vertical.

• Los elementos a la izquierda de esta línea son los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones (ax + by = c) y los números a la derecha son las constantes.

Ejemplo:

951

047

532

Matriz de coeficientes

51

47

32

F

MatrizF

9

0

5

K

Matriz constante

MatrizK

Diagonal principal de una matriz

La diagonal principal de una matriz cuadrada son los elementos que van desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha.

035

398

521

Renglón Equivalente

• Para realizar una matriz aumentada, esta debe tener el mismo número de filas, a esto se le conoce como renglón equivalente.

• Ejemplo:

951

047

532Tiene la misma cantidad de filas

Teorema 3:

• Esto se utiliza para transformar matrices aumentadas en matrices de renglón equivalente.

• 1) Dos renglones se intercambian (Ri Rj)

• 2) Se multiplica un renglón por una constante diferente de cero (kRi Ri).

• 3) Se suma el múltiplo constante de un renglón con el de otro renglón (kRj + Ri Ri).

• [ Nota la flecha significa “reemplaza”]

Solución de sistemas lineales mediante matrices aumentadas

721

143

Ejemplo:(4)

Objetivo: usar operaciones de renglón a partir del teorema 3 para transformar la matriz (4) en

la forma:

n

m

10

01

Donde m y n son números reales. La matriz aumentada será la siguiente:

x1 = m x1 + 0x2 = mx2 = n 0x1 + x2 = n

(5)

Se utiliza las operaciones renglón para transformar (4) en (5)

• Paso 1: para obtener un 1 en la esquina superior izquierda, se intercambian los renglones 1 y 2. (Ri Rj )

721

143 R1 R2~143

721

Paso 2: para obtener un 0 en la parte inferior izquierda, se multiplica R1 por -3 y se suma a R2.

143

721 (-3) R1 + R2 → R2

3 6 21

20100

721~

Paso 3: para obtener un 1 en el segundo renglón, segunda columna, se multiplica R2 por

10

1

20100

721

10

1 R2 R2~210

721

Paso 4: para obtener un 0 en el primer renglón, segunda columna, se multiplica R2 por 2 y se suma el resultado a R1. Esto cambia a R1 pero no a R2.

210

721

0 2 -4

2 R2 + R1 R1

~210

301

La última matriz es la matriz aumentada para el sistema.

x1 = 3x2 = -2

Sistema consistentes e independientes

• Son aquellos sistemas que tienen una única solución.

• Ejemplo:

n

m

10

01

Sistemas consistentes y dependientes

• Son aquellos sistemas que tienen infinitas soluciones.

• Ejemplo:

000

1 nm

Sistemas inconsistentes

• Son aquellos sistemas que no tienen solución.

• Ejemplo:

p

nm

00

1

Problemas para resolver

15. ¿Cuál es el tamaño de A? ¿Y el de C?•El tamaño de A es 2x3 y el de C es 1x3

17. Identifique a todas las matrices renglón.•Solo hay una matriz renglón y es la C.

19. Identifique a todas las matrices cuadradas.•Solo hay una matriz cuadrada y es la B.

Cont..

21. Para la matriz A, encuentre a₁₂ y a₂₃.

• a₁₂ = -2 a₂₃ = -6

23. Encuentre los elementos en la diagonal principal de la matriz B.

• Los elementos son: -2, 6, 0

Cont…

• 41. 3x₁ - x₂ = 2

x₁ + 2x₂ 10

~

~

10

2

21

13

2

10

13

21

28

10

70

21

R₁ R₂

(-3)R₁ + R₂ R₂

R₂ R₂7

1

Cont…

4

10

10

21

4

2

10

01

Por lo tanto x₁ = 2 y x₂ = 4

-2R₂ + R₁ R₁~

~

Comprobación

Ejercicio original

3x₁ - x₂ = 2 x₁ = 2

x₁ + 2x₂ = 10 x₂ = 4

3(2) - (4) = 2 (2) + 2(4) = 10

6 – 4 = 2 2 + 8 = 10

2 = 2 10 = 10

CIERTO

Opinión personal

• Francisco Castro - Realizar este trabajo sobre matrices expandió más mis conocimientos matemáticos. Además de aprender sobre matrices, domino un poco más el programa de Microsoft PowerPoint. Me gustó llevar a cabo este trabajo, lo tomé como un reto. También porque mi compañera me brindo ayuda realizándolo ya que somos un buen equipo. Me gustaría que los demás trabajos sean así, ya que intriga al estudiante aprender más sobre la tecnología.

Continuación

• Karla Márquez- Creo que el sistema de Matrices es una técnica muy sencilla de realizar. Adicional al conocimiento adquirido por el tema aprendí a realizar estos tipos de ecuaciones en una presentación PowerPoint. Me gustó el buen trabajo en equipo, pues tuve un compañero muy responsable. Aprendí más sobre el tema discutido en clase. La utilización de la tecnología para este tipo de trabajos creo que es bastante efectiva y una muy buena técnica para captar el interés del estudiante.

Referencias:

• PRE-CÁLCULO FUNCIONES Y GRÁFICASAutores: Barnett, Ziegler y Byleen(cuarta edición)